Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Átírás

1 RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: Mobil: Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj kiváltó okok (erők) tnulmányozás nélkül. Mechniki mozgás: megváltozás Két test egymáshoz viszonyított térbeli helyzetének időbeni Anygi pont: A vizsgált testek idelizált lkj. Tömege és más testekkel vló kölcsönhtási képessége z eredeti testével megegyezik. Az eredeti test geometrii méreteit elhnygoljuk z dott vizsgáltnál. 1

2 Anygi pont helyzetének megdás derékszögű koordinát-rendszerben: Anygi pont helyzetének megdás derékszögű koordinát-rendszerben: Koordináták segítségével: r i y j z k Origótól vló távolság segítségével: r r hol: r Az i, j, k vektorok kivételével minden függ z időtől!!! e r r r e r y r i z y z j k r r

3 Definíciók: Pály: A pont helyzetvektoránk végpontji áltl leírt görbe. Mozgástörvény: A pont helyzetét z idő függvényében megdó összefüggés Anygi pont sebessége: Ismert tömegpont két, egymáshoz közeli időponthoz trtozó helyzetvektor. Meghtározhtó tömegpont helyzetének változás. 3

4 Anygi pont sebessége: Az átlgos sebesség: r v átl t A pillntnyi sebesség: lim r dr v r t 0 t Anygi pont sebessége: lim r dr v r t 0 t Az nygi pont helyzete z idő függvényében: r( ( i y( j z( k v( ( i y ( j z ( k v( v ( i v ( j v ( k y Deriválás idő szerint ( v ( y ( v ( z y stb. lklmzás 4

5 Anygi pont sebessége: A sebesség ngyság: v v v v y v z A sebesség mértékegysége: [m/s] A sebesség irány: A htárátmenettel sebességnek pály húrjánk irányáb eső vektor pont pályájánk t időpontnk megfelelő érintőjébe megy át. Az érintőirányú egységvektor és sebesség ngyságánk ismeretében felírhtjuk sebességvektort: v v e Anygi pont gyorsulás: Ismert tömegpont két, egymáshoz közeli időponthoz trtozó sebességvektor. Meghtározhtó tömegpont sebességének változás. 5

6 Anygi pont gyorsulás: Az átlgos gyorsulás: átl v t A pillntnyi gyorsulás: lim v dv v r t 0 t Anygi pont gyorsulás: Az átlgos gyorsulás: átl v t A pillntnyi gyorsulás: lim v dv v r t 0 t 6

7 Anygi pont gyorsulás: lim v dv v r t 0 t Az nygi pont helyzete z idő függvényében: r( ( i y( j z( k Deriválás idő szerint kétszer ( ( i y( j z ( k ( ( y( ( y stb. lklmzás ( ( i ( j ( k y z Anygi pont gyorsulás: A gyorsulás ngyság: y z Mértékegysége: [m/s ] A gyorsulás irány: A gyorsulásvektor pály M pontbeli érintősíkjábn kerül és pály homorú oldl felé mutt. 7

8 Egyenes vonlú mozgás Speciális, gykorlti szempontból jelentős eset. Az eddig vizsgáltkhoz képest egyszerűsítést jelent, hogy mozgás egy kiválsztott tengely mentén történik. DERIVÁLÁS A pont helyzetét megdó függvény A pont sebességét megdó függvény A pont gyorsulását megdó függvény ( v( ( INTEGRÁLÁS Egyenes vonlú mozgás Számítás z ( függvény ismeretében A pillntnyi sebesség: v( ( A pillntnyi gyorsulás: ( v ( ( 8

9 Egyenes vonlú mozgás Számítás z ( függvény ismeretében A pillntnyi sebesség: v v ( 0 t ( t0 A pillntnyi helyzet: ( 0 t v( t0 A pillntnyi sebesség gyorsulásfüggvény egyszeres, pillntnyi helyzet gyorsulásfüggvény kétszeres integrálásávl kphtó. A számításhoz szükséges kezdeti helyzet és sebesség ismerete. Egyenes vonlú mozgás Számítás z ( függvény ismeretében, h (=konstns A pillntnyi sebesség: t v( v0 ( v( v 0 t t0 A pillntnyi helyzet: ( 0 t v( t0 ( 0 t v0 t Az egyszerűsített képleteket htározott integrál meghtározásávl kptuk. 9

10 Ismert pályán vló mozgás Bevezetett jelölések: S A kezdőponttól vizsgált pontig megtett út. e e n A pály vizsgált pontjánk érintőjével párhuzmos, hldási irányb muttó egységvektor. Az előzőre merőleges, pillntnyi középpontb muttó egységvektor. Ismert pályán vló mozgás - Sebesség lim r v t 0 t s Szorzás 1 -gyel s lim r s dr ds v s 0 s t ds t 0 10

11 Ismert pályán vló mozgás - Sebesség A sebességvektor érintő irányú! lim r v t 0 t s Szorzás 1 -gyel s lim r s dr ds v s 0 s t ds t 0 d r ds ds v e v e e behelyettesítése Ismert pályán vló mozgás - Gyorsulás dv v e v e e v e n lklmzásávl v e e Ahol: e n n n v e n A gyorsulásvektor z érintőirányú és normálirányú komponens vektoriális összegzésével kphtó. A gyorsulásvektor minden esetben pály homorú oldl felé mutt. 11

12 Körpályán vló mozgás -A pályát középpontj és sugár egyértelműen megdj. -Egy kezdőpontot kijelölve idő függvényében megdhtó z elfordulás szöge. -A megtett út z elfordulási szöggel megdhtó s( r ( Körpályán vló mozgás - Sebesség ds v( s( r ( lklmzásávl d( r ( ) v( r kiemelhető d( v( r d( ( v( r ( szögsebesség [rd/s] 1

13 Körpályán vló mozgás - Érintő irányú gyorsulás r ( e dv v( r ( d( r ( ) r kiemelhető d( r r ( d( ( lklmzásávl szöggyorsulás [rd/s ] Körpályán vló mozgás - Normál irányú gyorsulás v ( n r v( r ( lklmzásávl ( r ( ) r n egyszerűsítve n r ( r ( n e n vgy v ( r n e n 13

14 Körpályán vló mozgás - A gyorsulás ngyság ( n n r ( r ( lklmzásávl ( ( r ( ) ( r ( t )) egyszerűsítve ( r 4 ( ( Körpályán vló mozgás Egyenletes körmozgás -A sebesség és szögsebesség állndó v ( t ) v const ( t ) const -A szöggyorsulás zérus ( t ) 0 -A gyorsulás megegyezik normálirányú gyorsulássl, értéke állndó v ( t ) n const r 14

15 Körpályán vló mozgás Egyenletes körmozgás Keringési idő: Az z idő, mely ltt pont egy teljes kört ír le. [s] T T Fordultszám: Egységnyi idő ltt megtett fordultok szám. n 1 T [1/s] N 30 [1/min] Köszönöm megtisztelő figyelmet! Az elődás Dr. GYÖRGYI József c. könyvének felhsználásávl készült. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: A témkörhöz elméleti összefoglló és mintfeldtok tnkönyv 9-6. oldlán tlálhtók. 15