Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:
|
|
- Tamás Ábel Pintér
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó, 97, 989,.. Schrnitzki Viktor: Vektorlger és lineáris lger, Tnkönyvkidó, 989. Bércesné Novák Ágnes-Hosszú Ferenc-Pentelényi Pál-Ruds Imre: Mtemtik, BDMF, 994. Bércesné Novák Ágnes
2 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger. Vektor: irányított szksz (síkn, téren) D C A B A B F Kérdések: E - Jelölések - Egyenlőség szd vektorok - Párhuzmosság - Hossz (szolút érték) - Egységvektor - Nullvektor irány Bércesné Novák Ágnes
3 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Műveletek vektorokkl Összedás: - nyílfolym-módszer: eltolás, második vektor kezdőpontját z első végpontjá, és így tová Összegvektor: z első vektor kezdőpontjáól z utolsó vektor végpontjá muttó vektor. (Két vektor esetén prlelogrmm módszernek) Összedás tuljdonsági: (0.Zárt: összedás eredménye is vektor ). Kommuttív (ld. ár). Létezik egységelem: +0= inverze Bércesné Novák Ágnes
4 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji. Létezik inverz (ellentett) elem: +( inverze) =0 Összedás tuljdonsági (folyttás): 4. Asszocitív: + c +c c (+) +c +(+c) + +c c (+) +c = +(+c) Bércesné Novák Ágnes 4
5 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Kivonás értelmezése: inverz elem hozzádás +(-)= =x x+= - +(-) - + +(-) +(-)=x x+= Bércesné Novák Ágnes 5
6 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Összedás tuljdonsági (összefogllás): (- zárt) - sszocitív - létezik egység CSOPORT (- zárt) - sszocitív - létezik egység KOMMUTATíV CSOPORT - létezik inverz - létezik inverz - kommuttív A kommuttív csoportot Ael csoportnk is hívjuk. Feldt: Mondjunk példát más hlmzr, melynek elemei dott műveletre nézve csoportot lkotnk Bércesné Novák Ágnes 6
7 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Szorzás.) Számot vektorrl: számml vló szorzás ( λ).) Vektort vektorrl-eredménye szám, neve: sklárszorzt, ngolul: dot product, () c.) Vektort vektorrl-eredménye vektor, neve: vektoriális (vgy kereszt)szorzt, ngolul cross product ( x ) Megjegyzés: A fenti szorzások közül lgeri értelemen csk c.) nevezhető műveletnek. (Miért?) Bércesné Novák Ágnes 7
8 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Számml vló szorzás / Vektor szorzás számml: Def.: λ R, vektor - λ 0, -vl egyirányú, hossz: λ =λ (ismételt összedás) λ λ<0, -vl ellentétes irányú, hossz: λ = λ ( inverzének, ellentettjének ismételt összedás) Lemm: λ R =λ Biz.: Tegyük fel hogy (Tfh.) = e és = e Ezekől: = (/ ( e ))= (/ ), =λ, λ= / Tfh. λ R =λ, kkor párhuzmosság definícióól közvetlenül dódik. Bércesné Novák Ágnes 8
9 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Tuljdonságok:. λ=λ. µ(λ)=(µ λ) (definícióól közvetlenül dódik). (λ+µ)=λ+µ (definícióól közvetlenül dódik) 4. λ(+)= λ+λ (ld. lái ár) Ár: 4. λ(+)= λ+λ, ár: λ= eset + (+) + Bércesné Novák Ágnes 9
10 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Sklárszorzt vektor vektor=szám (DOT product) Def.: = cosα, hol α vektorok áltl ezárt szög, 0 α 80. Két vektor áltl ezárt szög ( kise!): Speciális eset: = cos(,)= H egységvektor, kkor =. Ezek koordinát rendszertől független eredmények!! Bércesné Novák Ágnes 0
11 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji A sklárszorzt geometrii jelentése: e egységvektor e= e cosα= cosα=x x: z vektor e-re vett előjeles merőleges vetületének hossz. x cosα= x= cosα α e Megjegyzés: x A geometrii jelentés definícó egyszerű következménye. Bércesné Novák Ágnes
12 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji A sklárszorzt tuljdonsági:. Kommuttív: =. NEM sszocitív: ( ) c ( c), ugynis: Bl oldl=szám c =(c-vel párhuzmos vektor) Jo oldl= szám (-vl párhuzmos vektor) DE: λ ( )=(λ ) = (λ ). Disztriutív: ( c)= + c Biz.: ( c)= + c e(+c)=e +e c / λ e λ e= λ e(+c)=(λe) +(λe) c e +c c e e c e (+c) Bércesné Novák Ágnes
13 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Tétel: =0 (milyen koordinát rendszeren?) Biz.: HA =0 kkor : H 0 és 0, kkor cos(,)=0 cos(,)=0 (,) =90 H vlmelyik vektor nullvektor, nnk irány tetszőleges, így merőlegesség teljesül. HA kkor =0 cos90 =0 cos(,)=0 (,) =90 vgy (,) =70, de mivel megállpodás szerint kise szöget tekintjük, ezért két vektor 90 -os szöget zár e Bércesné Novák Ágnes
14 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji H két vektor merőlegessége oly módon iztosított, hogy leglá egyikük nullvektor, kkor 0 def. lpján =0 vgy =0, tehát =0 Bércesné Novák Ágnes 4
15 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R A felontás egyértelmű. Biz.: felonthtóság: A c vektorkezdőpontján át húzzunk -vl, végpontján át -vel (vgy fordív) párhuzmos egyeneseket. Mivel és nem párhuzmosk, ezért M-en metszik egymást. c A M B c Bércesné Novák Ágnes 5
16 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji mivel mivel AM α R AM = α MB β R MB = β, és c= AM + MB =α+β Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R. A felontás egyértelmű. Biz.: Egyértelműség: c=α +β - c=α +β 0=(α -α )+(β -β ) 0 0 Mivel nem párhuzmos -vel, így számszorosik sem párhuzmosk, ezért számszoroik összege nem lehet null jo oldlon. Tehát és együtthtói egyenlők nullávl: α =α és β =β Bércesné Novák Ágnes 6
17 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Definíció: és lineáris kominációj: c=α+β {,}, h nem párhuzmos -vel, kkor függetlenek. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk.. α,β z {,}ázisr vontkozttott koordináták. Bércesné Novák Ágnes 7
18 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Tétel (Vektorok felontás téren): H dott téren három, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor,,, c, kkor ármely d téreli vektorhoz vn olyn α,β,γ R, melyekre igz, hogy d=α+β+γc. Ez felontás egyértelmű. Biz.: S T D d' c c. d tlppontján, T-n át z S síkkl S síkot rjzolunk.. c nem párhuzmos -vl és -vel, tehát d végpontján c-vel húzott egyenes D-en döfi S -t.. D-ől T-e muttó vektor legyen d. d c S d' d=d +c =(α+β)+ γc, Bércesné Novák Ágnes 8
19 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji hiszen d egy síkn vn -vl és -vel, így z előző tétel mitt felírhtó zok lineáris kominációjként. Bázis: A téren ármely, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor független. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk. Például: H,, c, tér egy ázis, z előző tétel értelméen ármely d vektorr: d=α+β+γc. A jo oldlon álló kifejezés z,, c vektorok egy lineáris kominációj. Az α, β,γ számokt d vektor,, c ázisr vontkozttott koordinátáink nevezzük. H ázisvektorok sorrendjét rögzítjük, lineáris kominációt rövidíthetjük következő számhármssl: [α, β,γ]. Bércesné Novák Ágnes 9
20 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Speciális ázisok: Ortogonális: vektorok páronként merőlegesek Normált: vektorok egységnyi hosszúk Ortonormált: ortogonális és normált, szokásos jelölése dimenzión: i, j, k (Descrtes) k i j Bércesné Novák Ágnes 0
21 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: megfelelő koordinátákt összedjuk Biz.: X=α + β + γ Y=δ + ε + φ x+y= (α + β + γ)+(δ + ε + φ)= = (α + δ)+ (β + ε) +(γ+ φ)= (α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ)= x+y=(α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ) VEKTOR ÖSSZEADÁS + SZÁMOK ÖSSZADÁSA+ Bércesné Novák Ágnes
22 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Számml vló szorzás: koordinátánként szorozzuk számml Biz.: HF Kivonás: Megfelelő koordinátákt kivonjuk Biz.: HF Bércesné Novák Ágnes
23 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: + y δ x β α γ X=α+β Y=γ +δ x+y=α+β+γ +δ=(α+γ ) + (β+δ) x+y=(α+γ )+ (β+δ) VEKTOR ÖSSZEADÁS Milyen koordinátrendszeren? Bércesné Novák Ágnes
24 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Műveletek koordinátás lkn, ORTONORMÁLT BÁZISBAN Uu., mint áltlános ázisn: = i+ j+ k xi+yj+zk = i+ j+ k λ=λ( i+ j+ k)=(λ )i+(λ )j+(λ )k += i+ i+ j+ j+ k+ k=( + )i+( + )j+( + )k + + Bércesné Novák Ágn e + s 4
25 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Sklárszorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn A sklárszorzt értéke függ ázistól. Tétel: Legyenek i, j, k páronként merőleges egységvektorok, melyek jorendszert lkotnk. (Descrtes). A felontási tétel szerint ekkor: = i+ j+ k = i+ j+ k = i= i i Alklmzv sklárszorzt disztriutív tuljdonságát: =( i+ j+ k) ( i+ j+ k)= i i+ i j+ i k+ j i+ j j+ j k+ k i+ k j+ k k= + + Bércesné Novák Ágnes 5
26 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Felhsználás: I. Fizik, pl. W=F s II. Vetületek (Pl. fizikán is erők felontás) = + m m α e = (. e ) e = (hossz) irány Bércesné Novák Ágnes 6
27 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji III. Sík normálvektoros egyenlete n z S sík normálvektor (n síkr merőleges) n P 0 p 0 p P S P 0 (x 0, y 0, z 0 ) sík trtópontj (tetszőleges, de rögzített) P(x, y, z) sík tetszőleges pontj, futópont S egyenlete: n P 0 P = 0, hiszen merőleges vektorok P 0 P = p - p 0 Bércesné Novák Ágnes 7
28 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Péld: n(,,) p 0 (4,5,6), P 0 P = (x-4), (y-5), (z-6) P(x,y,z) (x-4) +(y-5) +(z-6) =0 x Rendezve: x+y+z-4-0-8=0 Áltlán z ()x+()y+()z= Ax+By+Cz=D lineáris egyenlet egy A, B, C, normálvektorú sík egyenletének tekinthető. Típusfeldtok:. Koordinátáivl dott sík pontj. Adj meg sík egyenletét!. Adott 4 pont. Hogyn lehet eldönteni, hogy egysíkúk-e? Bércesné Novák Ágnes 8
29 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektoriális szorzt: vektor vektor=vektor (CROSS product) = sin(,) e hossz== sin(,) e = e, e,,e jorendszert lkot(-hüvelyk-,-muttó-,e-középsőujj) e Bércesné Novák Ágnes 9
30 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji A vektoriális szorzt geometrii jelentése: m= sinα lp: e α m x = sinα=terület = (lp mgsság) Bércesné Novák Ágnes 0
31 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Fontos vektoriális szorztok: i i=0 i j=k j j=0 j k=i k k=0 k i=j Jorendszert lkot és merőleges, így nem lehet más, mint. vektor. i k j i k=-j, st. A vektoriális szorzt tuljdonsági: =- ntikommuttív ( ) c ( c) (nem sszocitív) (+) c=( c)+( c) (+c)=( )+( c) kétoldli disztriutivitás Bércesné Novák Ágnes
32 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektoriális szorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) dottk, kkor = i j k = i -j +k Bércesné Novák Ágnes
33 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji =( i i)+( i j)+( i k)+ ( j i)+( j j)+( j k)+ ( k i)+( k j)+( k k) Felhsználv z előzőleg kiszámított vektoriális szorztokt, és lklmzv disztriutivitást (kiemelés): =i( - )-j( - )+k( - ) = i -j +k = i j k (Determináns) Bércesné Novák Ágnes
34 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Determinánsok kiszámítás kifejtési TÉTEL szerint (nem definíció, késő iz.): x : = : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Adott elemhez trtozó (előjeles) ldetermináns: Az elem sorát és oszlopát elhgyv új determinánst kpunk. Előjele skktál szály szerint. Pl. első sor szerint kifejtve: = x : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Bércesné Novák Ágnes 4
35 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Tétel: =0 Biz.: ) =0 H két vektor egymássl párhuzmos, kkor ezárt szög 0 vgy π, és így sin(,)=0, tehát =0. ) =0 H és vektoriális szorzt 0, kkor = sin(,)=0 A jo oldlon álló nullvektor kétféleképpen állht elő. Vgy sin(,)=0, és ekkor ezárt szög =0 vgy π két vektor párhuzmos. A másik eset, hogy vgy leglá egyike nullvektor. Nullvektor irány tetszőleges, így párhuzmosság fennáll. Bércesné Novák Ágnes 5
36 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Bércesné Novák Ágnes 6
37 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vegyes szorzt Definíció: Az ( x ) c szorztot vegyes szorztnk nevezzük. Geometrii jelentés: m c e legyen x -vel egységvektor, tehát merőleges z és vektorok síkjár : lpterület, ( e) c = (lpterület mgsság)= előjeles térfogt mgsság Bércesné Novák Ágnes 7
38 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Az előjel prlelepipedon elhelyezkedését (ttól függően + vgy -, hogy c vektor ugyn térféle mutt-e, mint z x ) dj meg, szám pedig térfogt mérőszámát. Bércesné Novák Ágnes 8
39 Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Bércesné Novák Ágnes 9 Vegyes szorzt kiszámítási módj ortonormált ázis esetén Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) c= (c i+c j+c k) dottk, kkor ( x ) c= c c c = c c c + = Biz.: =i( - )-j( - )+k( - )= c=(i -j +k ) (c i+c j+c k)= c - c + c = = i j k c c c
Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes. Források, ajánlott irodalom:
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,
RészletesebbenNéhány szó a mátrixokról
VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop
RészletesebbenVektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.
Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,
RészletesebbenVektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük
Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenVektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)
Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri
Részletesebben1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok
/0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris
Részletesebben1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenVektorok (folytatás)
Vektorok (folyttás) Vektor szorzás számml (sklárrl) Vektor szorzás számml b 1 c 2b c 2 ( 1 ) 2 Az vektor k-szoros (k R, vgyis k egy vlós szám) z vektor, melynek hossz k, irány pedig k > 0 esetén irányávl
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenAlgebrai struktúrák, mátrixok
A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebben2010/2011 es tanév II. féléves tematika
2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenHatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek
Defiíció: R, Z Htváyozás és égyzetgyök 0 h 0... ( téyezős szorzt) h h 0, 0. A htváyozás zoossági: : m ( ) m m m m m Defiíció: Az x vlós szám ormállkják evezzük z hol 0 és egész szám. 0 kifejezést, h x
RészletesebbenIX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN
4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenA közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak
VEKTORALGEBRA A közönséges geometrii tér vektori 1. Alpfoglmk A hétköznpi tér z elemi geometri háromdimenziós euklideszi tere két különöző pontj, z A és B közti szksznk kétféleképpen dhtunk irányítást.
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
Részletesebben1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,
Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása
Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0
Részletesebben1. A komplex számok definíciója
1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 15.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy
Részletesebben1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2
A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenV. Koordinátageometria
oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
RészletesebbenGyakorló feladatsor 11. osztály
Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy
RészletesebbenPtolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok
Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor
RészletesebbenHeves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)
Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenAbsztrakt vektorterek
Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen
Részletesebben1. Algebrai alapok: Melyek műveletek az alábbiak közül?
1. Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy
RészletesebbenII. A számtani és mértani közép közötti összefüggés
4 MATEMATIKA A 0. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. A számtni és mértni közép közötti összefüggés Mintpéld 6 Számítsuk ki következő számok számtni és mértni közepeit, és ábrázoljuk számegyenesen számokt és közepeket!
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
Részletesebben7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
Részletesebben1. A komplex számok ábrázolása
1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az
Részletesebben4. Hatványozás, gyökvonás
I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok
Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenAz ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.
5 egyes feldtok Az dott körök k : x + ( y- ) = és k : ( x- ) + y = K (; 0), r, K (; 0), r K K = 0 > +, két körnek nincs közös pontj Legyen (; ) Az egyenlô hosszú érintôszkszokr felírhtjuk következô egyenletet:
RészletesebbenGyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés
Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenKinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.
01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj
RészletesebbenBevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton
011.05.19. Másodfokú egyenletek megoldás geometrii úton evezetés A középiskoli mtemtik legszerteágzóbb része másodfokú egyenletek megoldás. A legismertebb módj természetesen megoldóképlet hsznált. A képlet
RészletesebbenMátrixok és determinánsok
Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.
RészletesebbenLineáris algebra I. Vektorok és szorzataik
Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
Részletesebben2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:
. Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenVektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?
Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert
RészletesebbenIV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok
Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol
RészletesebbenAz elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára
8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenA Riemann-integrál intervallumon I.
A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,
RészletesebbenPPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1
PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik = DETERMINÁNSOK = 13 = + + 13 13 Bércesé Novák Áges 1 PPKE ITK Algebr és diszkrét mtemtik DETERMINÁNSOK Defiíció: z sorb és m oszlopb elredezett x m (vlós vgy képzetes)
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben4. előadás: A vetületek általános elmélete
4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenEgybevágósági transzformációk
Egybevágósági transzformációk Párhuzamos eltolás Geometriai transzformációk Egybevágósági transzformációk (9. osztály) Helybenhagyás Tengelyes tükrözés Középpontos tükrözés Pont körüli forgatás Párhuzamos
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
Részletesebben5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?
. Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik
Részletesebben6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat
6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenMegint a szíjhajtásról
Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.
Részletesebben