1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris menniségeknek, számoknk megdott szál szerint tálázt rendezett hlmz Jelölése: A Négzetes mátri: oln mátri, melen sorok és oszlopok szám megegezik 1 Oszlopmátri: 3 T Sormátri: 1 3 ) Műveletek mátriokkl: Mátri trnszponáltj: tükrözés főátlór A mátri főátlóját z zonos indeű elemek lkotják 11 1 T 11 1 A A 1 1 Mátriok összedás, kivonás: csk zonos méretű mátriok dhtók össze, ill vonhtók ki egmásól A B C A ; B c11 c1 A B c1 c Mátri szorzás (sor-oszlop komináció): AB C,

2 A c, c c T T B d, d d c) Különleges mátriok: 1 Egségmátri: E 1 Tuljdonság: E A AE A Az egségmátriszl történő szorzás nem változttj meg megszorzott mátriot T Szimmetrikus mátri: A A, hol i, j 1,,3, A mátri elemei megegeznek főátlór vett tükörképükkel 1 3 éldául: A , zz T ij Ferdeszimmetrikus mátri: A A, zz, hol i, j 1,,3, A mátri ármelik eleme megegezik főátlór vett tükörképének mínusz egszeresével Eől következik, hog főátlón csk zérus elemek lehetnek 5 éldául: A Vektorok skláris, kétszeres vektoriális és didikus szorzt: Vektor: iránított geometrii, vg fiziki menniség, mi jellemezhető iránnl, ngsággl, mértékegséggel ) Vektorok skláris szorzt: Skláris szorzás értelmezése: A skláris szorzás kiszámítás mátriszorzássl: z zz z A szorzás eredméne eg skláris menniség ) Vektorok kétszeres vektoriális szorzt:, vg c c ji ij ji cos, hol vektorok áltl ezárt szög Kiszámítás kétféleképpen lehetséges: - két vektoriális szorzásnk kijelölt sorrenden történő elvégzésével, - kifejtési tétellel: - -

3 c c c, ill c c c c) Vektorok didikus szorzt: Legen dott z, és c tetszőleges vektor Két vektor didikus szorztánk jelölése:, elnevezése: diád Két vektor didikus szorztát szorzás tuljdonságink megdásávl értelmezzük: - didikus szorzás és skláris szorzás sszocitív (csoportosíthtó, zz szorzások elvégzésének sorrendjét felcserélhetjük): c c, - diád skláris szorzás szempontjáól nem kommuttív (nem mindeg, hog eg diádot joról vg lról szorzunk sklárisn eg vektorrl, mert más eredmént kpunk) c c H szorzás fent leírt összefüggéseket kielégíti szorzás didikus Két vektor didikus szorztánk kiszámítás josodrású, derékszögű koordinát rendszeren z z z z z z z z 13 Tenzorok előállítás: ) Tenzorok értelmezése és tuljdonsági: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor függvén áltl megvlósított leképezés (hozzárendelés) w f v T v v hozzárendelés w Ov A T tenzor tetszőleges v vektorhoz w képvektort rendeli hozzá ) Tenzor előállítás josodrtú, derékszögű descrtesi koordinát-rendszeren: Tenzor megdás: - tenzor koordinátáivl (mátriávl) és - koordinát rendszerrel történik Tenzor koordinátáink jelölése mátri rendezve: T T T z T11 T1 T13 - T T T T z T1 T T 3 z Tz Tz T zz T 31 T3 T 33 Ow - 3 -

4 Tenzor előállítás: Legen ismert három értékpár: i f i, i j zk, j f j, i j zk, k c f k, c c i c j czk A tenzor didikus előállítás: T i j c k A tenzor mátri: 131 Tenzor előállítás: Adott: r 1i 4 j m A r A c T c z z z c z O r ) A tenzor előállítás: Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i i, j j A két értékpáról tenzor: T i j A tenzor mátri: 1 T 1 ) Az origór tükrözött r A képvektor meghtározás: ra T r r 1i j m A Feldt: ) Azon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektoroknk koordinátrendszer O kezdőpontjár tükrözött vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r A vektort, mel z r vektor origór vett tükörképe - 4 -

5 13 Tenzor előállítás: Adott: r 8i j m, 6 r A r A Feldt: ) Azon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektorok z tengel körül szöggel elforgtott vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r A vektort, melet z r vektor szöggel történő elforgtásávl kpunk ) A tenzor előállítás: j Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i i sin j j i cos j A két értékpáról tenzor: T i j r i A diádok kiszámítás: cos i 1, sin sin j 1 cos A tenzor mátri: cos sin,5,866 T sin cos,866,5 ) Az elforgtott r A vektor meghtározás: cos sin,5,866 8, 68 ra T r sin cos,866,5 7,98 r, 68i 7,98 j m A - 5 -

6 14 Differenciálszámítás: Az f függvén deriváltján z f : lim h htárértéket értjük (feltételezve, hog létezik és véges) d Az f függvén deriváltjánk jelölései: f, f,,,, st, hol z idő d szerinti első derivált A derivált helen vett f helettesítési értékét szokás függvén helhez trtozó differenciálhándosánk is nevezni A derivált előállítását deriválásnk vg differenciálásnk nevezzük A f f h f h differenciálhándos geometrii jelentése z f érintőjének z irántngense, zz f tg (1 ár) f göre helhez trtozó érintő f tg f 1 ár Amennien eg függvén vlmel helen vg intervllumon deriválttl rendelkezik, kkor függvén itt differenciálhtó A differenciálhtóságól pedig függvén foltonosság következik Deriválási szálok: Legenek u, v, f, g differenciálhtó függvének Ekkor: 1 Cu 3 Cu, C állndó; u v u v ; uv uv uv; u uv uv 4, v ; v v 5 f g fgg láncszál ; 1 6 Legen f és f Ekkor f t, t, kkor 7 H f 1 1 ; - 6 -

7 Alpfüggvének deriváltj: C 1 sin, C állndó cos cos 1 tg 1 tg ; cos 1 sin ctg 1 ctg e e sin ln Értelmezzük függvén második, hrmdik st deriváltját Jelölésük: A f függvén differenciálj: df f d ( ár) n f, f,, f, f df d d ár 141 éld: A f : lim formul lpján htározzuk meg z f és g függvén deriváltját h f h f h h h h h h f lim lim lim lim h ; h h h h h h h 1 1 h 1 1 lim h h h g lim lim lim h h h h h h h h h 1-7 -

8 14 éld: Htározzuk meg z lái függvének deriváltját: ; ; A htároztln integrál: A (ng) F függvént (kis) f függvén primitív függvénének nevezzük vlmel nílt intervllumon, h itt F f Eg függvénnek végtelen sok primitív függvéne vn, és ezek összességét f htároztln integráljánk nevezzük Jelölése: f d C, hol C tetszőleges állndó (integrációs állndó) éldául: d C Alpintegrálok: n1 3 n d C, hol C konstns, például: d C n1 ; 3 1 d ln C ; e d e C ; d C, például d C ln ; ln 5 sin d cos C; 6 cos d sin C Integrálási szálok: k f d k f d k F C, például: cos d sin C f g h d F G H C, például: 1 3 e sin d e cos ln C ; 1 f n1 n1 n f f d C, például: ln 1 ln f n f ; ; d ln d C - 8 -

9 f 4 d ln f C, például: f 1 f d d d ln ln C ln ln ln f, sin f tg d d ln cos C cos f, cos f ctg d d ln sin C sin f 5 F k f k d C, például: k 5 5 e e d C, 1 1 d ln C 6 7 f rciális integrálás: uvd uv uv d n1 n F d C n 1 f f f f e d e C, például: f fsin f d cos f C, például: 8 sin 3 cos3 d C, e d e C ; fcos f d sin f C, például: 6 3 sin 3 3 d cos 3 3 C 9 e cos e d sin e C f 16 A htározott integrál: Az f függvén, intervllumr vontkozó htározott integrálján z integrálközelítő összegek soroztánk htárértékét értjük (feltéve, hog ez létezik és véges), n f d : lim f i i, (1) m i 1 hol i i i 1, hol 1 n, intervllum eg felosztás, i pedig z i i 1 részintervllum eg tetszőleges pontj Azt íg értelmezett integrált Riemnn-integrálnk is nevezzük H létezik z (1) htárérték, kkor zt mondhtjuk, hog f z, intervllumon integrálhtó H függvén foltonos vlmel intervllumon, kkor ott integrálhtó z - 9 -

10 H f z, intervllumon integrálhtó, és itt f göre ltti és, geometrii jelentése z f f, kkor z (1) htározott integrál szksz fölötti síkidom területe f d 3 ár A htározott integrál tuljdonsági:, cf d c f d C állndó; f g d f d g d ; c, f d f d f d c c - 1 -