Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Átírás

1 Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál

2 Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett folytonos függvény. Tekintsük z [, b] intervllum egy 2 n egyenlő részre történő beosztását. Ilyenkor z osztópontok: x i = + i b 2 n, i = 0,1,...,2n. Az egyes részintervllumok hossz b 2 n. Jelölje m i z i-dik részintervllumbn függvényértékek minimumát (ezt felveszi függvény, hiszen folytonos): m i = min {f(x) x [x i 1, x i ] } Ehhez beosztáshoz képezzük z ún. (lsó) közeĺıtő összeget: s n = 2 n i=1 m i (x i x i 1 ) s n szemléletes jelentése (pozitív függvény esetében) nem más, mint z dott beosztáshoz trtozó beírhtó tégllpok területösszege.

3 Álĺıtás. Az s n sorozt konvergens. Bizonyítás. Először zt muttjuk meg, hogy s n felülről korlátos. Ugynis, jelölje M f függvény egy felső korlátját. Nyilván m i M. Ezért s n = 2 n i=1 m i (x i x i 1 ) M 2 n i=1 (x i x i 1 ) = M(b ) Másodjár belátjuk, hogy s n monoton nő. H egy intervllumon egy folytonos függvény minimum m, kkor z intervllum felezésével dódó két részintervllum mindegyikén függvény minimum leglább m. Emitt z s n+1 előálĺıtásábn szereplő két-két tg s n egy-egy tgjávl lulról becsülhető: s n+1 =...+m b 2i 1 2 n+1+m 2i b 2 n m b i 2 n +... = s n

4 Tehát s n monoton növekvő és felülről korlátos, ezért konvergens. Definíció. Az s n lsó közeĺıtő összegek soroztánk htárértéket z f függvény [, b] intervllumr vontkozó htározott integrál jánk nevezzük. Jelölése: f(x) dx vgy b f.

5 Nem folytonos, de korlátos függvény esetében htározott integrál így nem értelmezhető. Ekkor minimumok és mximumok helyett z lsó, illetve felső közeĺıtő összegek képzésében pontos lsó korlát és pontos felső korlát foglmát hsználjuk: m i = inf {f(x) x [x i 1, x i ] } M i = sup {f(x) x [x i 1, x i ] } s ezekkel képezzük z s és S lsó, illetve felső közeĺıtő összegeket. Tekintsük z [, b] intervllum összes lehetséges beosztásához (nemcsk z egyenlő részekre vló felosztásokhoz) trtozó lsó és felső közeĺıtő összegeket:

6 s = S = n i=1 n i=1 m i (x i x i 1 ) M i (x i x i 1 ) Akkor mondjuk f-et [, b]-n integrálhtónk, h z lsó közeĺıtő összegek pontos felső korlátj megegyezik felső közeĺıtő összegek pontos lsó korlátjávl, zz csk egy olyn szám vn, mely ngyobb vgy egyenlő bármely lsó közeĺıtő összegnél, és kisebb vgy egyenlő bármely felső közeĺıtő összegnél. Ezt számot nevezzük f [, b]-re vontkozó htározott integráljánk. Ezt z integrálfoglmt Riemnnintegrálnk is nevezik.

7 Ez utóbbi értelemben természetesen nem minden függvény integrálhtó, de tipikusk, pl. folytonosk, monotonk bizonyíthtón igen. Nem integrálhtó függvényre péld z [0, 1]-en értelmezett függvény, mely minden rcionális x szám esetén 0-át vesz fel értékként, s 1-et minden irrcionális x szám esetén. Ennél függvénynél nyilván minden lsó közeĺıtő összeg 0, s minden felső közeĺıtő összeg 1.

8 A htározott integrál értelmezéséből könnyen dódnk z lábbi tuljdonságok: 1) h f és g [, b]-n folytonos, kkor (f + g) = f + g 2) h f folytonos és λ R konstns, kkor λf = λ f 3) h f folytonos és c (, b), kkor c f = f + f c 4) h m f(x) M minden x [, b]-re, kkor m(b ) f M(b )

9 Megállpodás szerint f = 0 és b f = f. A 4) tuljdonság mitt m 1 b f M, így folytonos f esetén m-nek függvény minimumát, M- nek pedig mximumát válsztv következik, hogy vn olyn ξ (, b), hogy f(ξ) = 1 b f Ez utóbbi értéket z f függvény [, b] intervllumr vontkozó integrálközepének is nevezik.

10 Newton-Leibniz tétel A most bizonyítndó formul zt fejezi ki, hogy htározott integrál könnyen kifejezhető f egy primitív függvényének ismeretében: primitív függvénynek végpontokbn felvett értékeinek különbsége. Ez lényegesen megkönnyíti htározott integrálok kiszámítását. Előbb zt látjuk be, hogy h htározott integrál esetében felső htárt változónk tekintjük, kkor tuljdonképpen f egy primitív függvényét kpjuk. Legyen T(x) = x f (x [, b]) Elnevezése: területmérő függvény vgy integrálfüggvény.

11 Álĺıtás. H f folytonos [, b]-n, kkor T:[, b] R területmérő függvény mindenütt differenciálhtó, és T = f, zz T primitív függvénye (htároztln integrálj) f-nek. Bizonyítás. x 0 [, b]-ben vizsgáljuk differenciálhtóságot. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy x > x 0. A htározott integrál tuljdonságit kihsználv T(x) T(x 0 ) = 1 x x 0 x x 0 ( x x0 f ) f = hol ξ (x 0, x). Ezért zz T (x 0 ) = f(x 0 ). = 1 x x 0 x x 0 f = f(ξ) lim = T(x) T(x 0) = f(x x x 0 ), 0 x x 0

12 Álĺıtás. (Newton-Leibniz szbály) H F primitív függvénye z f [, b]-n folytonos függvénynek, kkor f(x) dx = F(b) F(). Bizonyítás. Az előbb láttuk, hogy T(x) = x f területmérő függvény is primitív függvénye f-nek, ezért F(x) = T(x) + C, hol C R konstns. Így T() = 0 mitt f = T(b) T() = F(b) F(). A jobboldli kifejezésre gykrn tömörített [F(x)] b jelölést lklmzzuk.

13 Péld. Számítsuk ki π/2 0 sin x dx htározott integrált! Mivel sin x dx = cos x + C, π/2 sin x dx = [ cos x] π/2 0 = cos π + cos0 = Ezzel megkptuk szinusz félhullám ltti területet.

14 Integrálási szbályok A prciális integrálás és helyettesítéses integrálás szbályát htározott integrálokr is kiterjeszthetjük. Álĺıtás. H f és g [, b]-n differenciálhtó függvények és léteznek z f g és fg htároztln integrálok, kkor f (x)g(x) dx = f(b)g(b) f()g() f(x)g (x) dx Bizonyítás. A Newton-Leibniz szbály lpján = [ f(x)g(x) f (x)g(x) dx = ] b f(x)g (x) dx [ f (x)g(x) dx ] b = = f(b)g(b) f()g() f(x)g (x) dx

15 Álĺıtás. H f [, b]-n folytonos, vn primitív függvénye és g:[α, β] [, b] bijektív differenciálhtó függvény, g(α) =, g(β) = b, kkor f(x) dx = β α f(g(t))g (t) dt. Bizonyítás. f(x) dx = [ ] b f(x) dx = [ ] b f(g(t))g (t) dt(g 1 (x)) = = [ ] β f(g(t))g (t) dt α = β α f(g(t))g (t) dt.

16 Péld. Számítsuk ki z 1 0 e x dx htározott integrált! 1 + e2x Az x = g(t) = ln t, t = e x helyettesítést válsztjuk. Most g (t) = 1 t, s g(1) = 0, g(e) = 1, ezért 1 0 e x e 1 + e 2x dx = 1 t 1 e 1 + t 2 t dt = t 2 dt = [rctg t]e 1 = rctg e π 4.

17 Alklmzások A) Tegyük fel most, hogy két függvény görbéje zár közre egy síktrtományt, úgy, hogy f() = g() és f(b) = g(b), továbbá f(x) g(x) minden x [, b]-re. Ilyenkor két függvény görbe közötti síktrtomány területe nyilván (f(x) g(x)) dx. Példképp számítsuk ki kör területét! A felső félkört z y = R 2 x 2 függvény írj le, míg z lsót z y = R 2 x 2 függvény. A R T = 2 R 2 x 2 dx R htározott integrált kell kiszámítni.

18 Az x = g(t) = Rsin t helyettesítést lklmzzuk; most g (t) = Rcos t és g( π/2) = R, g(π/2) = R. Így T = R π/2 2 R 2 x 2 dx = 2 R π/2 R2 cos 2 tdt = = R 2 π/2 π/2 (1 + cos2t) dt = R2 [ t + cos2t 2 ] π/2 π/2 = R 2 π.

19 B) Egy függvénygörbe ívhosszát is meghtározhtjuk integrálll. Tegyük fel, hogy [, b]-n egy f folytonosn differenciálhtó függvény dott. Ilyenkor z [, b]-hez trtozó függvénygörbe ívhossz 1 + (f (x)) 2 dx mennyiben szóbnforgó integrál létezik. Ugynis görbe ívhosszát közeĺıthetjük z [, b] egy beosztásához trtozó töröttvonlll, melynek hossz n n d(p i 1 P i ) = (x i x i 1 ) 2 + (f(x i ) f(x i 1 )) 2 i=1 i=1 Lgrnge tétele szerint f(x i ) f(x i 1 ) = f (ξ i )(x i x i 1 ) vlmilyen ξ i (x i, x i 1 )-kel, így n i=1 d(p i 1 P i ) = n i=1 1 + (f (ξ i )) 2 (x i x i 1 )

20 C) Forgástestek felszínét és térfogtát is meghtározhtjuk integrálll. H z y = f(x) folytonosn differenciálhtó függvénygörbe [, b] között részét megforgtjuk z x tengely körül, kkor kpott forgásfelület felszíne: F = 2π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx illetve folytonos f esetén forgástest térfogt V = π f2 (x) dx. Az első szbály csonkkúp plástjánk felszínére vontkozó összefüggés lklmzásávl igzolhtó, második mjd nyilvánvló.

21 Péld. Vezessük le gömb felszínére és térfogtár vontkozó képleteket! Most f(x) = R 2 x 2, így f (x) = x R 2 x 2. F = 2π R R R 2 x 2 x R 2 x 2 dx = V = π = 2π R R R R dx = 2π[Rx]R R = 4πR2. R (R2 x 2 ) dx = π [ R 2 x x3 3 ] R R = 4πR3 3.

22 Improprius integrálok Az integrálfoglom egyfjt kiterjesztését teszik lehetővé z improprius integrálok; egyik esetben nem véges intervllumr, másik esetben pedig nem korlátos függvényekre. A) Tegyük fel, hogy z f(x) folytonos függvény értelmezve vn minden x -r. Tekintsük T(b) = f(x) dx htározott integrált. H T függvénynek vn véges htárértéke végtelenben, kkor zt mondjuk, hogy f-nek z [, ) intervllumon létezik z improprius integrálj. Jelölése: f(x) dx = lim f(x) dx b

23 Most, mint látjuk, ezt z integrált nem közeĺıtő összegek segítségével definiáltuk, hnem korlátos intervllumon vett htározott integrálok htárértékeként. Egy blról végtelen (, ] intervllumon folytonos f függvény improprius integrálj z előbbihez hsonlón értelmezhető: f(x) dx = lim b b f(x) dx Legyen most f z egész számegyenesen folytonos függvény. Ekkor h vlmilyen R mellett létezik z f(x) dx és z f(x) dx improprius integrál, kkor z f függvény egész számegyenesen vett improprius integrálj: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx Könnyen láthtó, hogy z így értelmezett integrál nem függ z szám megválsztásától.

24 Péld. Számítsuk ki z improprius integrált! x 2 dx = 0-nál bontjuk: 1 dx = lim x2 [rctg b x]b 0 = π 2 A szimmetriából dódón blodli rész is ugynnnyi, így x 2 dx = π 2 + π 2 = π.

25 B) A függvény, melynek integrálját krjuk értelmezni, legyen most olyn, hogy csupán (, b]-n értelmezett (és folytonos), de nem feltétlenül korlátos. Ilyenkor z f(x) dx improprius integrálon következő htárértéket értjük, h létezik: lim f(x) dx. y +0 y Hsonlón értelmezendő z improprius integrál, h z f függvény b-ben nincs értelmezve.

26 Péld. Számítsuk ki x dx improprius integrált! dx = lim x y 0 y 1 x dx = lim y 0 [ 2 x ] 1 y = lim y 0 (2 2 y) = 2. Nem létezik viszont pl. következő improprius integrál: x dx = lim y 0 1 y 1 x dx = lim [ln y 0 x]1 y = lim ( ln y) =. y 0 Ilyenkor zt is mondjuk ez z integrál nem konvergens.