INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "INTEGRÁLSZÁMÍTÁS D (I) := {F : F D(I)} Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi feladat."

Átírás

1 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS SIKOLYA ESZTER 1. Primitív üggvény Legyen I tetszőleges intervllm (korlátos vgy nem korlátos, nyílt, zárt, élig nyílt stb.). Jelölje C(I) z I intervllmon értelmezett olytonos üggvények hlmzát és D(I) z I intervllmon dierenciálhtó üggvények hlmzát. Ezek R elett vektorteret lkotnk. Jelölje D (I) z D(I)-beli üggvények deriváltjink hlmzát: 1.1. Állítás. D (I) is vektortér. Bizonyítás. Házi eldt. D (I) := {F : F D(I)} Megjegyzés. C(I) és D(I) nem csk vektortér, hnem gyűrű, sőt lgebr is ( szokásos műveletekkel). D (I) nem lkot sem gyűrűt sem lgebrát Deiníció. Legyen D (I) dott üggvény, zz létezik olyn F D(I), hogy F =. Ekkor minden ilyen F D(I) üggvényt z üggvény primitív (elsődleges vgy eredeti) üggvényének vgy htároztln integráljánk nevezünk Állítás. H D (I) és F D(I) egy primitív üggvénye, kkor bármely c R esetén (F +c) =, így -nek végtelen sok primitív üggvénye vn. Bizonyítás. Triviális Állítás. H F z egy primitív üggvénye, kkor -nek minden más G primitív üggvénye előáll G = F +c lkbn vlmely c R-re. Bizonyítás. Az állítás eltételeiből következik, hogy (F G) = F G = = 0, vgyis (F G) = 0 z egész I intervllmon. Legyenek x 1, x 2 [, b] tetszőleges pontok. A Lgrnge-középértéktétel eltételei nyilván teljesülnek z [x 1, x 2 ] intervllmon F G-re, tehát létezik olyn c (x 1, x 2 ), melyre (F G) (c) = 0 = (F G)(x 2) (F G)(x 1 ) x 2 x 1. Ebből (F G)(x 1 ) = (F G)(x 2 ). Mivel x 1 és x 2 tetszőleges volt, z állítást beláttk Deiníció. Adott üggvény esetén jelölje Dte: ebrár

2 2 SIKOLYA ESZTER ( integrál" ) z üggvény primitív üggvényeinek hlmzát I-n. H / D (I), kkor =. H D (I), kkor láttk, hogy = {F +c : c R}. H nem okoz élreértést, kkor minden elemét is z egyszerűség kedvéért -el jelöljük, tehát ( ) =. Szokásosk még z (x) és (x) dx jelölések is primitív üggvény x pontbeli helyettesítési értékére Péld. Legyen I = R. Ekkor cos x dx = sin x+c, c R. Alpintegrálok: ld. gykorltokon. Problém. Hogyn lehet elismerni egy :I R üggvényről, hogy vn-e primitív üggvénye I-ben, vgyis D (I)? Válsz. Sehogy! De dhtó szükséges és dhtó elégséges eltétel Tétel (Szükséges eltétel primitív üggvény létezésére). H D (I), kkor Drbox-tljdonságú. Bizonyítás. Ld. dierenciálszámítás: egy üggvény deriváltüggvénye Drbox-tljdonságú Tétel (Elegendő eltétel primitív üggvény létezésére). C(I) D (I), zz h olytonos I-n, kkor -nek létezik I-ben primitív üggvénye Megjegyzés. Attól, hogy vn, nem biztos, hogy számolássl megdhtó... Bizonyítás. Később Péld. 1 ln x z I =(1, + )-en, e x2 z I =R-en. Beláthtó, hogy nincs elemi primitív üggvényük. Primitív üggvény-keresés vgy htároztln integrálás: számolási technik (klkls), lényegében dierenciálás műveletének megordítás Állítás (Az integrálás ormális szbályi). I. H, g D (I), kkor +g D (I) (vektortér-tljdonság), emellett ( +g) = + g. II. H D (I), c R tetszőleges állndó, kkor c D (I) (vektortér-tljdonság), emellett c = c Tétel (Prciális integrálás elve). Legyenek és g dierenciálhtók z I intervllmbn, zz, g D(I), és tegyük el, hogy g D (I). Ekkor g D (I), és ez tóbbi (egy) primitív üggvénye: g = g g.

3 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 3 Bizonyítás. Kell: ( g g ) D(I) ez triv, és ( g g ) = g. ( ) g g = g + g g = g Péld. ln x dx = }{{} 1 (x) }{{} ln x dx = g(x) x }{{} (x) ln x }{{} g(x) x }{{} (x) 1 }{{} x g (x) dx = x ln x 1 dx = x ln x x Tétel (Helyettesítéses integrálás elve). Legyenek I és I tetszőleges intervllmok, D (I), g D(I ) dott üggvények, úgy, hogy R(g) I. Ekkor ( g) g D (I ), és ( ) ( g) g = g. Bizonyítás. Legyen F :=, tehát F D(I) és F =. Ismeretes, hogy ekkor F g is dierenciálhtó I -bn, és Így F g = ( ) g = ( g) g. (F g) = (F g) g = ( g) g Megjegyzés. A gykorltbn g : I I bijektív üggvényt érdemes válsztni, mert ekkor ( = ( g) g ) g 1, vgyis z eredeti primitív üggvény meghtározhtó. Klssziks ormlizms. (x) dx x=g(t) = (g(t)) g (t) dt, dx dt = g (t) Péld. 1 x 2 dx kiszámítás z I = [ 1,1] intervllmon. Helyettesítsünk x := = sin t-t, t [ π, π] =: 2 2 I. Ekkor dx = dt sin t = cos t. Így 1 x2 dx x=sin t = 1 sin 2 t cos t cos t dt = cos }{{} 2 t dt = (g(t))= cos 2 t cos }{{} t dt = g (t) 1 2 (1+cos 2t) dt = dt+ 1 2 = 1 2 t+ 1 4 sin 2t = 1 (t+sin t cos t). 2 cos 2t dt Ebből 1 x 2 dx = 1 2 (t+sin t cos t) t=rcsin x = 1 ( ) t+sin t 1 sin 2 t t=rcsin x 2 = 1 ) (rcsin x+x 1 x 2 2.

4 4 SIKOLYA ESZTER 2.1. A Riemnn-integrál deiníciój. 2. Riemnn-integrál A Riemnn-integrál lényege: üggvény görbéje és vízszintes tengely áltl htárolt síkidom területe". A terület mtemtiki oglm: olyn T : M [0, + ) üggvény, hol M sík mérhető részhlmzit jelöli, és következő xiómák teljesülnek: Terület-xiómák. I. H H tégllp, oldlhosszi és b, kkor H M és T (H) = b; II. H H 1, H 2 M és H 1 H 2, kkor T (H 1 ) T (H 2 ) (monotonitás); III. H H 1, H 2 M, és vn olyn e egyenes, hogy z e áltl htárolt élsíkok egyike trtlmzz H 1 -et, másik H 2 -t, kkor H 1 H 2 M és T (H 1 H 2 )=T (H 1 )+T (H 2 ); IV. H sík egy B részhlmz teljesíti következő eltételt: minden ε > 0 esetén léteznek olyn A, C M hlmzok, hogy A B C és T (C) T (A) < ε, kkor B M Deiníció. Az [, b] intervllm egy elosztás egy olyn {I i = [x i 1, x i ] : i = 1,..., n} véges intervllmrendszer, melyre = x 0 < x 1 < x 2 < x n = b vlmely n N esetén. Az [, b] intervllm elosztásink hlmzát jelölje F[, b]. x 0 = x 1 x i 1 I i x i b = x n 1. ábr. Az [, b] intervllm egy elosztás 2.2. Deiníció. Legyen Φ F[, b] és Ψ F[, b] elosztások egyesítése (vgy közös inomítás) z Φ Ψ-vel jelölt elosztás, melyet úgy kpnk, hogy Φ osztópontjihoz hozzávesszük Ψ osztópontjit (vgy ordítv), és z így kpott új osztóponthlmzhoz trtozó intervllmrendszert tekintjük Deiníció. Adott : [, b] R korlátos üggvény és Φ = {I 1,..., I n } F[, b] elosztás esetén deiniálj Φ elosztáshoz trtozó lsó közelítőösszeget ( ) s (Φ) := in I i, I i első közelítőösszeget S (Φ) := ( hol I i := x i x i 1 z I i intervllm hossz. sp I i ) I i,

5 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 5 x 0 = x 1 x 2 x n 1 b = x n 2. ábr. Egy első közelítőösszeg 2.4. Állítás. Tetszőleges : [, b] R korlátos üggvény és Φ F[, b] esetén Bizonyítás. sp Ii = in Ii ( ). S (Φ) = s (Φ) Megjegyzés. Világos, hogy tetszőleges : [, b] R korlátos üggvény és Φ F[, b] esetén s (Φ) S (Φ). Bizonyítás. Minden i N esetén in Ii sp Ii Tétel. Legyen : [, b] R korlátos üggvény. Ekkor bármely Φ, Ψ F[, b] elosztások esetén s (Φ) S (Ψ). (2.1) Bizonyítás. Megmttjk, hogy bármely Φ, Ψ F[, b] elosztások esetén s (Φ) s (Φ Ψ) S (Φ Ψ) S (Ψ), (2.2) miből (2.1) nyilván következik. A 2. egyenlőtlenség 2.5. Megjegyzés lpján nyilvánvló. A következőkben zt bizonyítjk, hogy h Θ F[, b] olyn elosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy EGY új osztópontot hozzáveszünk, kkor s (Φ) s (Θ). (2.3) Ebből z osztópontok számár vontkozó teljes indkcióvl következik z első egyenlőtlenség (2.2)-ben. A 3. egyenlőtlenség pedig ennek és 2.4. Állításnk olyomány. Legyen tehát Θ F[, b] olyn elosztás, melyet Φ-ből úgy nyerünk, hogy nnk x i és x i+1 osztópontji közé elveszünk még egy osztópontot, vgyis Θ osztópontji in [x i,x i+1 ] = x 0 < x 1 < < x i < < x i+1 < < x n = b. A (2.3) egyenlőtlenség két oldláról z zonos tgokt elhgyv be kell látnnk, hogy ( ) ( ) ( ) (x i+1 x i ) ( x i )+ (x i+1 ). in [x i,] in [,x i+1 ] Mivel in [xi,x i+1 ] in [xi,] és in [xi,x i+1 ] in [,xi+1 ] (kisebb hlmzon vett inimm ngyobb vgy egyenlő, mint ngyobb hlmzon vett), ezért

6 6 SIKOLYA ESZTER ( in [x i,] ) ( ( x i )+ így z állítást beláttk Következmény. A in [,x i+1 ] ) ( ) (x i+1 ) in (( x i )+(x i+1 )) [x i,x i+1 ] ( ) = in (x i+1 x i ), [x i,x i+1 ] {s (Φ) : Φ F[, b]} és {S (Φ) : Φ F[, b]} hlmzok közül bl oldli hlmz minden eleme kisebb vgy egyenlő jobb oldli hlmz minden eleménél. Ebből z is következik, hogy z első hlmz elülről, második llról korlátos Deiníció. Deiniálj z : [, b] R korlátos üggvény Drbox-éle lsó integrálját és Drbox-éle első integrálját A 2.7. Következmény lpján := sp {s (Φ) : Φ F[, b]}, (2.4) := in {S (Φ) : Φ F[, b]}. (2.5). (2.6) 2.9. Deiníció. Egy korlátos : [, b] R üggvényt Riemnn-integrálhtónk mondnk, h = H Riemnn-integrálhtó, kkor z lsó és első Drbox-integrálok közös értékét Riemnn-integráljánk nevezzük, és z lábbi módon jelöljük: vgy. (x) dx Péld. A Dirichlet-üggvény nem Riemnn-integrálhtó [0,1]-en. Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy bármely Φ F[0,1] esetén tehát s D (Φ) = 0 és S d (Φ) = 1, 1 0 D = 0 < 1 0 D = 1.

7 2.11. Péld. 1 0 x 2 dx = 1 3. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 Bizonyítás. Rögzített n N esetén legyen Φ n elosztás z z intervllmrendszer, mit { 0, 1 n, 2 n,..., n 1 } n, 1 osztópontok htároznk meg. Ekkor ( ) 2 i 1 s (Φ n ) = 1 n n = (n 1) n (2n 1), 6n 3 ( ) 2 i S (Φ n ) = 1 n n = n (n+1) (2n+1), 6n 3 tehát s (Φ n ) 1 és S 3 (Φ n ) 1, h n. Ebből könnyen láthtó, hogy (x) = x2 3 Riemnn-integrálhtó [0,1]-en, és Riemnn-integrálj 1. 3 A továbbikbn jelölje R[, b] := { : [, b] R : korlátos és Riemnn-integrálhtó} Deiníció. H Φ F[, b], kkor z ( Ω (Φ) := S (Φ) s (Φ) = = sp in I i I i ) I i (sp {(x) (y) : x, y I i }) I i = ω (I i ) I i számot z üggvény Φ elosztáshoz trtozó oszcillációs összegének nevezzük. Az ω (I i ) = sp in = sp {(x) (y) : x, y I i } I i I i z üggvény oszcillációj z I i intervllmon Állítás. H Φ, Ψ F[, b] tetszőleges elosztások, : [, b] R korlátos üggvény, kkor Ω (Φ Ψ) Ω (Φ). Bizonyítás. A (2.2) egyelőtlenségből következik Tétel (Leghsznosbb kritérim Riemnn-integrálhtóságr). Egy korlátos :[, b] R üggvény pontosn kkor Riemnn-integrálhtó, vgyis R[, b] pontosn kkor, h minden ε > 0 számhoz létezik olyn Φ = Φ(ε) F[, b] elosztás, melyre Ω (Φ) < ε. Bizonyítás. 1. irány: Tegyük el, hogy Riemnn-integrálhtó, és legyen ε > 0 rögzítve. A 2.9. Deiníció szerint tdjk, hogy = =.

8 8 SIKOLYA ESZTER A 2.8. Deiníció lpján létezik olyn Φ 1 F[, b], hogy és létezik Φ 2 F[, b], hogy s (Φ 1 ) > S (Φ 2 ) < Ezekből, (2.2) elhsználásávl kpjk, hogy ε 2 = miből Φ := Φ 1 Φ 2 válsztássl ε 2, + ε 2. ε 2 < s (Φ 1 ) s (Φ 1 Φ 2 ) S (Φ 1 Φ 2 ) Ω (Φ) = S (Φ) s (Φ) < S (Φ 2 ) < + ε 2 ( + ε 2 = ε 2 ) = ε. + ε 2, 2. irány: Tegyük el indirekt, hogy tétel állításábn szereplő eltétel teljesül minden pozitív ε-r, de Legyen 0 < ε < tetszőleges, és válssznk ε-hoz Φ F[, b] elosztást úgy, hogy Ω (Φ) < ε. Ekkor Ebből viszont mi ellentmondás. s (Φ) < <. S (Φ) = s (Φ)+Ω (Φ) < s (Φ)+ε. ε = s (Φ)+ε s (Φ) > A Heine-tétel elhsználásávl láthtó be, hogy minden olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó Tétel. C[, b] R[, b], vgyis minden, z [, b] intervllmon olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó [, b]-n.,

9 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 9 Bizonyítás. Legyen C[, b]. A Tétel integrálhtósági eltételét ogjk hsználni, tehát legyen ε>0 rögzített, és keresünk hozzá olyn Φ F[, b] elosztást, melyre Ω (Φ)<ε. A Heine-tétel lpján egyenletesen is olytonos [, b]-n, tehát z ε/(b ) pozitív számhoz létezik olyn δ > 0, hogy h t, s [, b], t s δ, kkor (t) (s) < ε/(b ). Válsszk meg n N-et úgy, hogy b < δ legyen. Legyenek Φ elosztás osztópontji n x i := +i b, i = 1,..., n, n vgyis z I i = [x i 1, x i ] intervllmbn bármely két szám különbsége legeljebb 1/n, így itt üggvény oszcillációj legeljebb ε/(b ). Erre elosztásr tehát Ω (Φ) = ω (I i ) I i ε b I i = ε, mivel z állítást beláttk Tétel. H R[, b], kkor R[, b]. Bizonyítás. Legyen R[, b] és ε > 0 rögzítve. A Tétel lpján ε-hoz létezik olyn Φ F[, b] elosztás, melyre Ω (Φ) < ε. Megmttjk, hogy ekkor Ω (Φ) Ω (Φ) < ε is teljesül. Mivel dott Φ elosztás esetén Ω (Φ) = ω (I i ) I i, ezért elég belátni, hogy minden i-re ω (I i ) ω (I i ). A háromszög-egyenlőtlenség mitt tetszőleges x, y I i esetén miből (x) (y) (x) (y) ω (I i ), ω (I i ) = sp { (x) (y) : x, y I i } ω (I i ) Tétel. H, g R[, b], kkor g R[, b]. Bizonyítás. Legyen ε > 0 rögzítve, és Tétel lpján keresünk hozzá Φ F[, b] elosztást. Deiniáljk K := mx{sp, sp g }, [,b] [,b] és válssznk ε -hoz Φ 2K, Φ g F[, b] elosztásokt, melyekre Ω (Φ ) < ε 2K és Ω g(φ g ) < ε 2K. (H K = 0, z érdektelen eset.) Tekintsük ezen elosztások egyesítését: Ekkor Állítás lpján Ω (Φ) < Φ := Φ Φ g. ε 2K és Ω g(φ) < ε 2K

10 10 SIKOLYA ESZTER is teljesül. Legyen I i Φ, ekkor háromszög-egyenlőtlenség lpján minden x, y I i esetén (x)g(x) (y)g(y) = (x)g(x) (x)g(y)+(x)g(y) (y)g(y) Ebből (x) g(x) g(y) + (x) (y) g(y) K ω g (I i )+ω (I i ) K = K (ω g (I i )+ω (I i )). ω g (I i ) = sp { (x)g(x) (y)g(y) : x, y I i } K (ω g (I i )+ω (I i )). Öszzegezve i = 1,..., n-re kpjk Ω g (Φ) = ω g (I i ) I i K (ω g (I i )+ω (I i )) I i = K Ω g (Φ)+K Ω (Φ) < K Mese: Az integrálhtóság Riemnn-éle eredeti deiníciój ε 2K +K ε 2K = ε Deiníció. H Φ = {I 1,..., I n } F[, b] egy elosztás, kkor deiniálj Φ inomságát Φ := mx { I i : i = 1,..., n} Deiníció. Legyen Φ F[, b], Φ = {I 1,..., I n } elosztás, és ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n tetszőleges, Φ elosztásr illeszkedő vektor, vgyis jelölésben: ξ Φ. Ekkor ξ i I i, i = 1,..., n, σ (Φ, ξ) := (ξ i ) I i számot z üggvény (Φ, ξ) párhoz trtozó Riemnn-összegének nevezzük. x 0 = ξ 1 x 1 x i 1 ξ i x i x n 1 ξ n b = x n 3. ábr. Felosztásr illeszkedő vektor Megjegyzés. Tetszőleges Φ F[, b] és ξ Φ vektor esetén s (Φ) σ (Φ, ξ) S (Φ) Tétel (Az integrálhtóság Riemnn-éle kritérim). Legyen : [, b] R korlátos. Ekkor z lábbi két állítás egymássl egyenértékű: (i) R[, b] és = A; (ii) Minden ε > 0 számhoz létezik olyn δ > 0, hogy minden Φ F[, b], Φ < δ elosztás, és minden ξ Φ esetén σ (Φ, ξ) A < ε Megjegyzés. A tétel z korlátosságánk eltétele nélkül is igz, vgyis bármelyik állításból következik z is, hogy korlátos [, b]-n.

11 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 11 ξ 1 ξ 2 ξ n b 4. ábr. Egy Riemnn-összeg 2.2. A Riemnn-integrál ormális tljdonsági Állítás. R[, b] vektortér R elett szokásos üggvényműveletekre nézve. Bizonyítás. Legyen, g R[, b]. Megmttjk, hogy ekkor +g R[, b] és ( +g) = + g. (2.7) A bizonyításhoz Tételben szereplő integrálhtósági kritérimot hsználjk. Legyen ε > 0 tetszőleges, rögzített. Ekkor ε/2-höz tlálhtók olyn Φ 1, Φ 2 F[, b] elosztások, melyekre Ω (Φ 1 ) < ε 2 és Ω g(φ 2 ) < ε 2. Véve Φ := Φ 1 Φ 2 elosztást, Állítás mitt Ω (Φ) < ε 2 és Ω g(φ) < ε 2. Könnyen láthtók z lábbi egyenlőtlenségek: Ebből s (Φ)+s g (Φ) s +g (Φ) S +g (Φ) S (Φ)+S g (Φ). Ω +g (Φ) = S +g (Φ) s +g (Φ) S (Φ) s (Φ)+S g (Φ) s g (Φ) = Ω (Φ)+Ω g (Φ) < ε. A enti egyenlőtlenségből z is következik, hogy bármely Φ, Ψ F[, b] esetén s (Φ)+s g (Ψ) s (Φ Ψ)+s g (Φ Ψ) s +g (Φ Ψ) S +g (Φ Ψ) S (Φ Ψ)+S g (Φ Ψ) S (Φ)+S g (Ψ). Véve először Φ-ben, vgy Ψ-ben spremmot ill. inimmot, kpjk, hogy + g ( +g) ( +g) + g, miből (2.7) dódik.

12 12 SIKOLYA ESZTER Legyen most R[, b] és c R tetszőleges. Megmttjk, hogy ekkor c R[, b] és b c = c. (2.8) H c = 0, kkor c 0 R[, b]. H c 0, kkor válssznk ε -hoz Φ F[, b]-t, melyre c Ω (Φ) < ε c. Ekkor Ω c = c Ω (Φ) < ε. A (2.8) egyenlőség entihez hsonlón dódik Állítás. Legyen R[, b], α < β b. Ekkor [α,β] R[α, β]. Bizonyítás. A Tétel szerint minden ε > 0-hoz vn olyn Φ F[, b], melyre Ω (Φ) < < ε. Véve ezen elosztás [α, β] intervllmb eső osztópontjit és z így kpott Ψ F[α, β] elosztást kpjk, hogy Ω [α,β] (Ψ) Ω (Φ) < ε Állítás (Intervllm szerinti dditivitás). Legyen : [, b] R üggvény, < c < b. Tegyük el, hogy [,c] R[, c] és [c,b] R[c, b]. Ekkor R[, b] és = c + Bizonyítás. Mivel korlátos [, c]-n és [c, b]-n, ezért korlátos [, b]-n is. Véve tetszőleges Φ 1 F[, c] és Φ 2 F[c, b] elosztásokt, z ezekhez trtozó részintervllmok rendszereinek egyesítéséből kpnk egy Φ F[, b] elosztást. Könnyen láthtó, hogy s [,c] (Φ 1 )+s [c,b] (Φ 2 ) = s (Φ) és S (Φ) = S [,c] (Φ 1 )+S [c,b] (Φ 2 ). Az összes Φ 1 F[, c] ill. Φ 2 F[c, b] elosztásr vett spremmr ill. inimmr kpjk, hogy c + c c. c + A eltétel szerint z egyenlőtlenségsorozt két vége megyegyezik, miből = = c + így 2.9. Deiníció lpján z állítást beláttk. c = c c Állítás (Integrnds szerinti monotonitás). Legyenek, g R[, b] üggvények, és tegyük el, hogy minden x [, b] esetén (x) g(x). Ekkor g. c,.

13 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 13 Bizonyítás. Könnyen láthtó, hogy minden Φ F[, b] esetén miből = s (Φ) s g (Φ), g = Következmény. Bármely R[, b] üggvényre ennáll:. Bizonyítás. Minden x [, b] esetén ( ) (x) = (x) (x) (x) = (x), miből z állítás Állítás lpján következik Állítás (Integrál triviális becslése). Legyen R[, b]. Ekkor g. (in ) (b ) [,b] (sp ) (b ). [,b] Bizonyítás. A bizonyítás zonnl dódik Állításnk z in konstns üggvény és ill. és sp konstns üggvényre vló lklmzásából Következmény. Legyen R[, b]. Ekkor ( ) sp (b ). [,b] Bizonyítás. Könnyen láthtó Következmény és Állítás lpján. Ezen becslések segítségével (olytonos üggvényekre) bizonyíthtó dierenciálszámításbn megismert középértéktétel nlógj Riemnn-integrálr Tétel (Integrálszámítás középértéktétele). Legyen C[, b]. Ekkor létezik olyn c [, b], melyre = (c) (b ). Bizonyítás. A Állítás lpján és Weierstrss-tételből kpjk min [,b] = in [,b] b sp [,b] = mx. [,b]

14 14 SIKOLYA ESZTER A Bolzno-tétel mitt vn olyn c [, b], melyre mivel z állítást beláttk A Newton-Leibniz tétel. (c) = b, Az legtóbb bizonyított integrálási kritérim segítségével be tdjk látni Riemnnintegrálr vontkozó egyik legontosbb tételt Tétel (Newton-Leibniz tétel). H R[, b] és D [, b], vgyis -nek létezik primitív üggvénye, kkor minden F primitív üggvényére = F (b) F () = [F ] b = F b. Bizonyítás. Mivel két primitív üggvénye csk konstnsbn térhet el, jobb oldl üggetlen F válsztásától. Legyen Φ F[, b] tetszőleges. H Φ osztópontjink hlmz {x 0, x 1,..., x n }, kkor F [xi 1,x i ]-re lklmzv Lgrnge-középértéktételt létezik olyn ξ i (x i 1, x i ), melyre F (x i ) F (x i 1 ) = F (ξ i ) (x i x i 1 ) = (ξ i ) (x i x i 1 ). Nyilvánvlón s (Φ) (ξ i ) (x i x i 1 ) = (F (x i ) F (x i 1 )) = F (b) F () S (Φ). Mivel R[, b], ezért entiekből kpjk, hogy miből = F (b) F () = F (b) F (), =, és ezt krtk belátni. A Newton-Leibniz tétel eltételeit teljesítő üggvényekre bizonyíthtók primitív üggvényeknél megismert prciális és helyetettesítéses integrálás szbályi Tétel (Prciális integrálás Riemnn-integrálr). Legyen, g R[, b] és, g D [, b], (egy) primitív üggvényük legyen F ill. G. Ekkor G = [F G] b F g.

15 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 15 Bizonyítás. Mivel F és G dierenciálhtók, így olytonosk, tehát Riemnn-integrálhtók is [, b]-n, ld Tétel. A Tétel lpján pedig szorztok integrálji is léteznek. Mivel ezért Newton-Leibniz tétel lpján (F G) = G+F g, ( G+F g) = [F G] b. Nemsokár látni ogjk Állításbn, hogy ( G+F g) = G+ F g, mivel bizonyítás teljes. Jelölés. R[, b] esetén jelölje :=. b Tétel (Helyettesítéses integrálás Riemnn-integrálr). Legyen I = [, b] intervllm, R[, b] és D [, b]. Legyen továbbá I = [α, β] intervllm, g : I I dierenciálhtó bijekció, melyre ( g) g R[α, β]. Ekkor = g 1 (b) g 1 () ( g) g. Bizonyítás. A eltételekből zonnl következik, hogy g vgy szigorún monoton növő vgy szigorún monoton ogyó, tehát g 1 () = α, g 1 (b) = β, vgy ordítv. Mivel (F g) = ( g) g, ezért Newton-Leibniz tétel szerint { β ( g) g F (b) F (), = F (g(β)) F (g(α)) = F () F (b), α Másrészt, szintén Newton-Leibniz tétel lpján = F (b) F (). h g monoton novő; h g monoton ogyó. (2.9) H g monoton növő, tétel zonnl következik; h monoton ogyó, (2.9) egyenlőség mindkét oldlánk ellentettjét véve kész bizonyítás.

16 16 SIKOLYA ESZTER 2.4. Integrálüggvények Deiníció. Az R[, b] üggvény integrálüggvényei z [, b] intervllmon értelmezett [, b] x c+ üggvények, hol c R tetszőleges. (A Állítás lpján [,x] R[, x]) Tétel. Bármely R[, b] bármely integrálüggvénye Lipschitz-tljdonságú, így olytonos (sőt, egyenletesen olytonos) [, b]-n. x Bizonyítás. Legyen F (x) := c+ és x, y [, b]. Ekkor Állítás lpján F (x) F (y) = x x y = y x. Felhsználv Következményben szereplő becslést kpjk, hogy ( ) F (x) F (y) sp [,b] miből L := sp [,b] válsztássl tétel következik. x y, Tétel. H R[, b] és D [, b], vgyis kielégíti Newton-Leibniz-tétel eltételeit, kkor primitív üggvényeinek hlmz megegyezik integrálüggvényeinek hlmzávl. Ez zt is jelenti, hogy ekkor integrálüggvényei dierenciálhtók, és deriváltjk éppen. Bizonyítás. Legyen F egy primitív üggvénye, vgyis F =. Ekkor Newton- Leibniz tétel szerint bármely x [, b] esetén x = F (x) F (), tehát F egy integrálüggvény c := F () válsztássl. Fordítv, legyen x F (x) := c+. Rögzítsük egy F 0 primitív üggvényét ez eltétel lpján létezik. A Newton- Leibniz tétel lpján F (x) c = x = F 0 (x) F 0 (), miből F (x) = F 0 (x)+d, d = c F 0 (), tehát F is primitív üggvénye -nek. Annk idején z 1.9. Tételt, vgyis hogy minden olytonos üggvénynek vn primitív üggvénye, bizonyítás nélkül mondtk ki. Most elérkeztünk od, hogy ezt tételt igzoljk. Mivel egy olytonos üggvény Riemnn-integrálhtó is, most belátott tétel lpján primitív üggvénye csk integrálüggvénye lehet, és innen bizonyítás könnyen dódik.

17 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Tétel. H R[, b] és olytonos z [, b] helyen, kkor bármely F integrálüggvénye dierenciálhtó -bn, és deriváltj F () = (). Bizonyítás. Legyen x F (x) = c+, x [, b]. Megmttjk, hogy minden ε > 0-hoz létezik olyn δ > 0, hogy h x [, b], x < δ, x, kkor F (x) F () () x < ε. Ebből már következik, hogy F (x) F () lim = F () = (). x x Mivel olytonos -bn, ezért ε-hoz létezik olyn δ > 0, hogy h x [, b], x < δ, kkor (x) () < ε. Megmttjk, hogy ez δ jó lesz. Legyen x [, b], x < δ rögzítve, és tegyük el, hogy x. A F üggvény deiníciój és Állítás szerint F (x) F () x () = 1 x x (t) dt 1 x x () dt = 1 x A Következményből kpjk, hogy F (x) F () () x sp { (t) () : t [, x]} ε. Az x eset hsonlón bizonyíthtó. x ((t) ()) dt Következmény. H C[, b], kkor -nek vn primitív üggvénye [, b]-n (éspedig bármely integrálüggvénye z) Alklmzás. Riemnn-integrálás lklmzásávl igzolhtó z ún. Wllis-orml : [ ] n π = lim 1 n 1 3 (2n 1) n Bizonyítás. Lczkovich-T. Sós: Anlízis II és Tételek. A kövekező tételek pontos bizonyítás megtlálhtó Lczkovich-T. Sós: Anlízis II. 14. ejezetében, de vizsgár csk kimondni kell tdni őket, bizonyítást nem kérem Tétel. H 0 és R[, b], kkor z síkidom területe T (A ) = A := {(x, y) : x [, b],0 x (x)} Deiníció. Az A R 2 hlmzt normáltrtománynk nevezzük, h hol, g R[, b] és g z [, b]-n. A = {(x, y) : x [, b], (x) y g(x)},

18 18 SIKOLYA ESZTER Tétel. Az előbbiekben deiniált normáltrtomány területe T (A) = Tétel. H 0 és R[, b], kkor z (g ). Γ() := {(x, (x)) : x [, b]} grikonjánk z x tengely körüli megorgtásávl kpott A orgástest térogt V (A) = π Tétel. H :[, b] R olytonosn dierenciálhtó, kkor z grikonjánk ívhossz Γ() = 2. 1+( ) Impropris integrál Ki szeretnénk terjeszteni Riemnn-integrál oglmát nyílt, élig nyílt és nem korlátos intervllmokr Deiníció. Legyen I nemeljló intervllm, : I R üggvény. Azt mondjk, hogy lokálisn integrálhtó I-n, h [,b] R[, b] minden [, b] I esetén. Jelölés: R loc (I) Megjegyzés. Könnyen láthtó, hogy h I = [, b], kkor R loc [, b] = R[, b] Deiníció. H R loc (I),kkor integrálüggvényei z I-n értelmezett lkú üggvények, hol c R, I. I x c Deiníció. Legyen I nemeljló intervllm, : I R üggvény. Azt mondjk, hogy improprisn integrálhtó I-n, h R loc (I) és -nek létezik olyn F integrálüggvénye I-n, melyre lim F R és lim F R. in I+0 sp I 0 Ekkor impropris integrálj I-n: I := sp I in I = x lim F lim F. sp I 0 in I Megjegyzés. H enti eltételek mellett lim in I+0 F és lim sp I 0 F htárértékek léteznek, de egyikük végtelen, másik véges; vgy ellenkező előjelű végtelenek, kkor szokás zt mondni, hogy impropris integrálj (+ vgy ) végtelen.

19 3.6. Péld. I. I := [0, + ), : I R, (x) = e x II. I := [1, + ), : I R, (x) = 1 x α III. I := (0,1], : I R, (x) = 1 x α INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megjegyzés. H R[, b], kkor Tétel szerint F integrálüggvénye olytonos z és b végpontokbn, ezért htárértékei is léteznek, és megegyeznek helyettesítési értékkel Lemm (Függvény htárértékére vontkozó Cchy-kritérim). Legyen F értelmezve z I \ {x 0 } hlmzon, hol I intervllm, x 0 I (vgy x 0 = + vgy x 0 = ). Ekkor F -nek pontosn kkor vn véges htárértéke z x 0 helyen, h következő eltétel teljesül: minden ε > 0 számhoz létezik δ > 0 úgy, hogy h x x 0 < δ és y x 0 < δ, x, y x 0 (ill. x, y > δ, x 0 = + esetén; x, y < δ, x 0 = esetén), kkor F (x) F (y) < ε. Bizonyítás. Következik üggvény-htárértékre vontkozó átviteli elvből Tétel (Cchy-éle szükséges és elégséges eltétel impropris integrálhtóságr). Legyen I nemeljló intervllm, R loc (I). Ekkor pontosn kkor improprisn integrálhtó I-n, h minden ε > 0 esetén léteznek olyn, b I, in I < b < sp I számok, hogy h in I < < v <, kkor < ε, és h b < < v < sp I, kkor < ε. Bizonyítás. Következik bból, hogy h F integrálüggvénye -nek I-n, kkor = F (v) F (). Alklmzzk z előbbi tételt F -re Péld. Prciális integrálássl kpjk: : [1, + ) R, (x) = sin x x sin t t [ cos t dt = t ] v cos t t 2 dt.

20 20 SIKOLYA ESZTER Ebből h 2 ε < < v. sin t t dt = cos v v + cos cos t t 2 dt cos v v + cos + cos t t 2 dt 1 v + 1 v + 1 v + 1 [ + 1 ] v = 2 t < ε, 1 t 2 dt Tétel (Összehsonlító kritérim). Legyen R loc (I). Tegyük el, hogy léteznek α, β I, in I < α β < sp I számok és g 1 : I (, α] [0, + ), g 2 : I [β, + ] [0, + ) üggvények, melyek impropris integrálhtók, és mjorálják -et, vgyis x D(g 1 ) : (x) g 1 (x) és x D(g 2 ) : (x) g 2 (x). Ekkor impropris értelemben integrálhtó I-n. Bizonyítás. A enti 3.9. Tétel szerint léteznek, b R, in I < < α és β < b < sp I számok, hogy h in I < < v <, kkor g 1 = g 1 < ε, és h b < < v < sp I, kkor g 2 = g 2 < ε. Ebből Állítás és Következmény lpján in I < < v < esetén g 1 < ε, és b < < v < sp I esetén Így z állítás 3.9. Tételből következik -re Péld. g 2 < ε. : (, + ) R, (x) := e x2 x (, 1] : e x2 e x, x [1, + ) : e x2 e x Következmény. H R loc (I) és impropris értelemben integrálhtó I-n, kkor is impropris értelemben integrálhtó I-n.

21 INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 21 Bizonyítás. Alklmzzk enti Tételt tetszőleges α, β I, in I < α β < sp I számokr és g 1 := I (,α] és g 2 := I [β,+ ] üggvényekre Alklmzás. Impropris integrál lklmzásávl igzolhtó z ún. Stirling-orml : n! n n e n 2πn. Bizonyítás. Lczkovich-T. Sós: Anlízis II és tételek.

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál

Határozott integrál. Newton -Leibniz szabály. alkalmazások. improprius integrál Htározott integrál definíció folytonos függvények esetén definíció korlátos függvények esetén Newton -Leibniz szbály integrálási szbályok lklmzások improprius integrál Legyen z f függvény [, b]-n értelmezett

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26. Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 9. Definíció és lpintegrálok. Definíció. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differenciálhtó

Részletesebben

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0

Molnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0 Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum

Részletesebben

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS II. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így

Részletesebben

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ BSC MATEMATIKATANÁR SZAKIRÁNY 28/29. TAVASZI FÉLÉV Az lábbikbn z el dáson vonlinterálról ill. primitív füvényr l elhnzottk közül zok olvshtók, mik Lczkovich-T. Sós: Anlízis

Részletesebben

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév

BSc Analízis II. előadásjegyzet 2009/2010. tavaszi félév BSc Anlízis II. elődásjegyzet 2009/200. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 20. jnuár 7. ii Trtlomjegyzék Előszó v. Differenciálhtóság.. A derivált foglm és

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL. 7.1 Definíció és alapintegrálok 7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL 7. efiníió és lpintegrálok efiníió. Legyen f : I R dott függvény (I R egy intervllum). A F : I R függvényt f függvény primitív függvényének nevezzük I-n, h F differeniálhtó I-n,

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van) Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS II. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Blogh Tmás 2013. jnuár 16. H hibát tlálsz, kérlek jelezd info@bloghtms.hu e-mil címen! Ez Mű Cretive Commons Nevezd meg! - Ne dd el! - Így dd tovább! 3.0

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Gazdasági matematika I. tanmenet

Gazdasági matematika I. tanmenet Gzdsági mtemtik I. tnmenet Mádi-Ngy Gergely A hivtkozásokbn z lábbi két tnkönyvre utlunk: Cs: Csernyák László (szerk.): Anlízis, Nemzeti Tnkönyvkidó 200. D: Denkinger Géz: Anlízis gykorltok, Nemzeti Tnkönyvkidó

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések Mtemtik A1 vizsg elméleti kérdések Deiíciók Forrás: Szirmi Jeő elődásvázltok, Szász Gáor: Mtemtik 1. tköyv Gépre vitte: Atli Máté 1. Peo-xiómák A természetes számok hlmzát N Peo-xiómák segítségével deiiáljuk.

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

Absztrakt vektorterek

Absztrakt vektorterek Absztrkt vektorterek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 213. 1. 8. Absztrkt vektorterek /1. Absztrkt vektortér definíciój Legyen V egy hlmz, egy test (pl. vlós vgy komplex számtest), és

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológii Kr Klkulus II. Gselmnn Eszter Debrecen, 22 Azoknk, kik nem ismerik mtemtikát, nehézséget okoz keresztüljutni szépség vlódi érzéséhez, legmélyebb szépséghez,

Részletesebben

3.1. Halmazok számossága

3.1. Halmazok számossága 38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 3. Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll.

Részletesebben

1. Az integrál tégla-additivitása

1. Az integrál tégla-additivitása Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Analízis II. harmadik, javított kiadás

Analízis II. harmadik, javított kiadás Ljkó Károly Anlízis II. hrmdik, jvított kidás Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

12. Határozatlan és határozott integrál

12. Határozatlan és határozott integrál . Htároztln és htározott integrál Tnulási cél: Megismerni htároztln és htározott integrál oglmát. Elsjátítni z lpintegrálokt, és z egyszerűbb integrálási tételeket, vlmint Newton-Leibniz-ormulát. Ezen

Részletesebben

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2

Matematika 4 gyakorlat Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mtemtik 4 gykorlt Földtudomány és Környezettn BSc II/2 1. gykorlt Integrálszámítás R n -ben: vonlintegrál, primitív függvény, Newton Leibniz-szbály. Legyen Ω R n egy trtomány, f : Ω R n folytonos függvény

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

5.1. A határozatlan integrál fogalma

5.1. A határozatlan integrál fogalma 9 5. Egyváltozós vlós függvények integrálszámítás 5.. A htároztln integrál foglm Az eddigiekben megismertük differenciálás műveletét, melynek lpfeldt: dott f függvényhez megkeresni z f derivált függvényt.

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS

2. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS numerikus nlízis ii. 39 B - SPLINEOK DERIVÁLTJÁRA ÉRVÉNYES : B mi x =m Bm,i x B m,ix. t i+m t i t i+m+ t i+. NUMERIKUS INTEGRÁLÁS Htározott integrálok numerikus kiszámítás mtemtik egyik legrégebbi problémáj.

Részletesebben

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

A határozott integrál fogalma és tulajdonságai . fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1

Lajk o K aroly Kalkulus II. Debreceni Egyetem Matematikai es Informatikai Int ezet 2003 1 Ljkó Károly Klkulus II. Debreceni Egyetem Mtemtiki és Informtiki Intézet 2003 1 c Ljkó Károly ljko @ mth.klte.hu Amennyiben hibát tlál jegyzetben, kérjük jelezze szerzőnek! A jegyzet dvi, pdf és ps formátumbn

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá. Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben. Htározott integrál, terület és térogt számítás XI. ejezet Htározott integrál, terület és térogt számítás Elméleti áttekintés A htározott integrál deinícióját ld. jegzeten. Newton-Leiniz tétel: ( ) d [

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. LOSONCZI LÁSZLÓ ANYAGAINAK FELHASZNÁLÁSÁVAL. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek,

Részletesebben

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra

MATEMATIKA 1. előadás jegyzet Földtudomány és Környezettan alapszakos hallgatók számára. Csomós Petra MATEMATIKA. elődás jegyzet Földtudomány és Környezettn lpszkos hllgtók számár Csomós Petr Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr, Mtemtiki Intézet Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék

Részletesebben

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0. Földtudomáy lpszk 006/07 félév Mtemtik I gykorlt IV Megoldások A bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, >N eseté A < ε A 0 bármely ε R + számhoz v oly N N küszöbidex, hogy mide N, > N

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I.

KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Írt: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK I. Egyetemi tnnyg 20 COPYRIGHT: 20 206, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pnnon Egyetem Műszki Informtiki Kr Mtemtik Tnszék LEKTORÁLTA: Dr. Molnárk

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

A határozott integrál

A határozott integrál A htározott integrál Bevezető problém: Egyenes úton egy utó időben változó v(t) = ds/dt sebességgel hld. A mindenkori sebesség ismeretében szeretnénk kiszámolni, hogy mekkor utt tesz meg vlmely t b időintervllumbn.

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása

10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása . tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév

Matematika BSc tanárszak Analízis IV. előadásjegyzet 2010/2011. tavaszi félév Mtemtik BSc tnárszk Anlízis IV. elődásjegyzet 2010/2011. tvszi félév Sikoly Eszter ELTE TTK Alklmzott Anlízis és Számításmtemtiki Tnszék 2011. október 11. ii Trtlomjegyzék Előszó v 1. Differenciálegyenletek

Részletesebben

1. Halmazelméleti alapok

1. Halmazelméleti alapok 1. Hlmzelméleti lpok A Mtemtiki kislexikonbn hlmz foglmár következ deníciót tláljuk: A hlmz tetsz leges természet dolgoknk vlmilyen módon összegy jtött összessége. Ez deníció zonbn nem hsználhtó, ugynis

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK... TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I FEJEZET A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 5 II FEJEZET INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK 8 III FEJEZET A HATÁROZATLAN INTEGRÁLOK ALKALMAZÁSAI86 IV FEJEZET A HATÁROZOTT

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke Differenciálszámítás Lokális növekedés (illetve csökkenés): H z f() függvény deriváltj z 0 helyen pozitív: f () > 0 (illetve negtív: f () < 0), kkor z f() függvény z 0 helyen növekvően (illetve csökkenően)

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Mérték- és integrálelmélet

Mérték- és integrálelmélet Debreceni Egyetem Mérték- és integrálelmélet Jegyzet Készítette: Ngy Gergő Dr. Molnár Ljos elődási lpján Trtlomjegyzék Bevezetés 3 1. Mértékterek, mértékek 3 1.1. Alpfoglmk 3 1.2. Mértékek konstruálás,

Részletesebben

4. előadás: A vetületek általános elmélete

4. előadás: A vetületek általános elmélete 4. elődás: A vetületek áltlános elmélete A vetítés mtemtiki elve Két mtemtikilg meghtározott felület prméteres egyenletei legyenek következők: x = f 1 (u, v), y = f 2 (u, v), I. z = f 3 (u, v). ξ = g 1

Részletesebben

AZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA

AZ INTEGRÁLELMÉLET FEJLŐDÉSE RIEMANN ÓTA ÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYGYTM TRMÉSZTTUDOMÁNY KAR LTTNR TÍMA AZ NTGRÁLLMÉLT FJLŐDÉS RMANN ÓTA BSc szkdolgozt ALKALMAZOTT MATMATKUS SZAKRÁNY TÉMAVZTŐ: LÓCZ LAJOS ADJUNKTUS, NUMRKUS ANALÍZS TANSZÉK 1 TARTALOM

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LOSONCZI LÁSZLÓ. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.

Integr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12. Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges

Részletesebben

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a

Tekintsük az I (I R) intervallumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben a . . Egyváltozós függvények htároztln integrálj. Egyváltozós függvények htároztln integrálj PAP MARGIT. A primitív függvény foglm Tekintsük z I (I R) intervllumon értelmezett f : I R függvényt. Ebben prgrfusbn

Részletesebben