3.1. Halmazok számossága

Átírás

1 38 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ Mérték- és integrálelmélet 3.1. Hlmzok számosság Azt mondjuk, hogy egy véges A hlmz számosság n, h z A hlmz n db elemből áll. z zzl ekvivlens, hogy hlmz elemeit egy 1,..., n véges soroztb tudjuk rendezni, más szóvl megdhtó z {1, 2,..., n} és z A hlmz elemei között egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés (bijekció. Végtelen hlmzokr ily módon tudjuk számosság foglmát áltlánosítni. lőször tekintsük természetes számok hlmzánk számosságát. Jelölje N természetes számok, zz pozitív egész számok hlmzát Definíció. gy végtelen A hlmz megszámlálhtó vgy megszámlálhtó számosságú, h létezik természetes számok hlmz és z A hlmz között egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés Megjegyzés. Más szóvl fenti definíció zt jelenti, hogy z A hlmz megszámlálhtó számosságú, h z elemei egy 1, 2,..., n,... végtelen soroztb rendezhetők, hol z A hlmz minden eleme pontosn egyszer szerepel soroztbn. Tegyük fel most, hogy dott egy tetszőleges ( n sorozt. kkor egy elem többször is előfordulht soroztbn. Megmuttjuk, hogy mindig tlálhtó soroztnk egy olyn (esetleg véges részsorozt, melyben minden elem már csk egyszer fordul elő: legyen b 1 = 1. Tekintsük 2 -t. H 2 b 1, kkor legyen b 2 = 2, egyébként kihgyjuk 2 -t, és tekintsük 3 -t. Tegyük fel, hogy már z 1,..., n tgokt átnézve kiválsztottuk b 1,..., b m (m n számokból álló részsoroztot úgy, hogy bbn b 1,..., b m páronként különböző. kkor n+1 -t véve ellenőrizzük, hogy z előfordul-e b 1,..., b m számok között. H nem, kkor z n+1 számml folyttjuk b 1,..., b m soroztot, zz legyen b m+1 = n+1, egyéként nem bővítjük b 1,..., b m soroztot, hnem ismételjük ezt z eljárást z n+2 számml. Íly módon egyértelműen definiálhtó b 1, b 2,... (esetleg véges sorozt, hogy bbn z elemek már nem ismétlődnek. zért z A = { 1, 2,...} hlmz megszámlálhtó számosságú, h vn végtelen sok páronként különböző eleme, egyébként véges számosságú Péld. A nemnegtív egész számok hlmz (N 0 megszámlálhtó, hiszen φ(n = n + 1 egy bijekció N 0 és N között Péld. Az egész számok hlmz (Z megszámlálhtó, hiszen egy lehetséges sorbrendezése Z-nek 0, 1, 1, 2, 2,.... A { 0, n = 0, φ: N Z, φ(n = k, k, n = 2k, k N, n = 2k + 1, k N leképezés tehát egy bijekció N és Z között Péld. A [0, 1] intervllumb eső rcionális számokt következő végtelen háromszög lkú tábláztbn lehet felsorolni:

2 3. Mérték- és integrálelmélet 39 H ezen táblázton soronként megyünk végig, kkor felsorolhtjuk z összes rcionális számot egy soroztbn: 1 1, 1 2, 2 2, 1 3, 2 3, 3 3,... kkor persze néhány rcionális számot többször (sőt végtelen sokszor is felsorolunk. De fenti soroztból 3.2. Megjegyzésben leírt módon kiválszthtunk egy olyn részsoroztot, melyben már minden 0 és 1 közötti rcionális szám pontosn egyszer szerepel, tehát [0, 1] intervllumb eső rcionális számok hlmz megszámlálhtó számosságú Péld. Megmuttjuk, hogy [0, 1] intervllum nem megszámlálhtó számosságú. Tegyük fel, hogy z összes 0 és 1 közötti vlós számot z 1, 2,..., n,... soroztb rendeztük. Vegyük z n szám tizedes tört előállítását, hol tizedes jegyeket jelölje: n = 0, (n 1 (n 2 (n 3 (n Ismert, hogy véges sok tizedesjeggyel leírhtó vlós számok megdhtók végtelen sok tizedesjegygyel is (például 0,5 = 0, Ilyen vlós számokr fenti felírásbn mindig vegyük z n végtelen tizedestörtes lkját. kkor egyértelműen hozzárendeltük 0 és 1 közötti vlós számokhoz végtelen tizedestörtes lkját. Tekintsük ezután zt z x = 0, x 1 x 2 x 3... vlós számot, melynek n-edik tizedesjegye x n = { 2, h (n n = 1, 1, h (n n 1. kkor x nem írhtó fel véges tizedestört lkbn (nem végződhet csup 0-r vgy csup 9-re, és x nem egyezik meg egyik n vlós számml sem, hiszen x és n tizedestört felírás z n-edik tizedesjegyben eltér. z z ellentmondás muttj, hogy [0, 1] hlmz nem megszámlálhtó számosságú. A [0, 1] intervllum számosságát kontinuum számosságnk hívjuk. Megmutthtó, hogy vlós számok hlmz és [0, 1] intervllum között létezik bijekció, zz R számosság is kontinuum Állítás. 1. gy megszámlálhtó hlmz minden végtelen részhlmz is megszámlálhtó. 2. Minden végtelen hlmznk létezik megszámlálhtó részhlmz. 3. Legyen A 1 megszámlálhtó és A 2 véges hlmz. kkor A 1 A 2 is megszámlálhtó. 4. Legyen A 1 és A 2 megszámlálhtó hlmzok. kkor A 1 A 2 is megszámlálhtó. 5. Legyen A 1 és A 2 megszámlálhtó hlmzok. kkor z A 1 A 2 = {( 1, 2 : 1 A 1, 2 A 2 } hlmz is megszámlálhtó. 6. Legyen A i megszámlálhtó hlmz minden i N-re. kkor A i is megszámlálhtó.

3 40 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Bizonyítás: Csk z utolsó állítást látjuk be, többi hsonló módon igzolhtó. Rendezzük z A i hlmz elemeit z (i 1, (i 2, (i 3,... soroztb. kkor z A = A i hlmz elemeit (1 1 (1 2 (1 3 (1 4 (2 1 (2 2 (2 3 (2 4 (3 1 (3 2 (3 3 (3 4 (4 1 (4 2 (4 3 ( (jobbr és lefele is végtelen tábláztbn lehet felsorolni. kkor z összes elemet egy soroztbn fel tudjuk sorolni, h táblázt átlói mentén nyilk irányábn kezdjük felsorolni z elemeket: (1 1, (2 1, (1 2, (1 3, (2 2, (3 1, (4 1, (3 2, (2 3, (1 4, (1 5, (2 4, (3 3, (4 2, (5 1,.... zután fenti soroztból z zonos tgokt elhgyv kphtunk egy olyn részsoroztot, mely z A hlmz összes elemeit pontosn egyszer trtlmzz Péld. A 3.5. Péld és 3.7. Állítás 6. pontj lpján rcionális számok hlmz (Q is megszámlálhtó, mivel Q felírhtó megszámlálhtó sok megszámlálhtó számosságú hlmz uniójként: Q = i=+ i= B i, hol B i = Q [i, i + 1]. Megjegyezzük, hogy fenti végtelen unió megszámlálhtó sok hlmz uniój, mivel 3.4. Péld szerint z egész számok hlmz megszámlálhtó számosságú Péld. Az előző péld és 3.7. pontok hlmz is megszámlálhtó. Állítás 5. pontj lpján síkon rcionális koordinátájú 3.2. Hlmzgyűrűk és hlmzfüggvények bben szkszbn feltesszük, hogy z itt szereplő hlmzok egy X lphlmz részhlmzi (pl. X = R, R n, stb., és H-vl jelöljük z X lphlmz részhlmzink egy hlmzát, vgy más szóvl, hlmzrendszerét. A szokásos jelölést hsználjuk hlmzműveletekre: Legyen A, B H, ekkor A B = {x: x A vgy x B}, A B = {x: x A és x B}, és A \ B = {x: x A és x / B}, z A hlmz komplementere z X \ A hlmz. Jelölje z üreshlmzt. Az A és B hlmzt diszjunktnk nevezzük, h A B =. gy A 1, A 2,... hlmzrendszert páronként diszjunktnk nevezünk, h A i A j = minden i j-re Definíció. A H hlmzrendszert hlmzgyűrűnek vgy röviden gyűrűnek nevezzük, h zárt z unió és különbség hlmzműveletekre, zz tetszőleges A, B H esetén A B H és A \ B H.

4 3. Mérték- és integrálelmélet Állítás. Legyen H egy gyűrű. kkor 1. H zárt metszet műveletre is, 2. H. Bizonyítás: 1. H A, B H, kkor A \ B H, és ezért A B = A \ (A \ B H. 2. Legyen A H. kkor = A \ A H Péld. Legyen H = { R: véges} (z üres hlmzt is véges hlmznk tekintjük. kkor nyilván H gyűrű, hiszen véges hlmzok uniój és különbsége is véges Péld. Legyen H = { N: véges vgy komplementere véges}. Mutssuk meg, hogy H gyűrű! lőször megmuttjuk, hogy H zárt z unió műveletre. Legyen A, B H. Két esetet különböztetünk meg: 1. H A és B is véges, kkor A B is véges. 2. H leglább z egyik hlmz, például B nem véges, de B véges, kkor A B nem véges, de komplementere, A B = A B B véges, függetlenül A számosságától. Most legyen A, B H, és megmuttjuk, hogy A \ B H. Három esetet különböztetünk meg: 1. H A véges, kkor A \ B is véges, függetlenül B számosságától. 2. H A nem véges, de komplementere véges, és B véges, kkor A \ B = A B véges. 3. H A és B nem végesek, de A és B végesek, kkor A \ B B, így A \ B véges. Mindhárom esetben tehát kptuk, hogy A \ B H Definíció. A H hlmzgyűrűt σ-gyűrűnek nevezzük, h zárt megszámlálhtó unióképzésre, zz h A 1, A 2,... H, kkor A n H. A H σ-gyűrűt σ-lgebránk nevezzük, h z lphlmz is hozzátrtozik H-hoz, zz X H Péld. Az X hlmz összes részhlmzink hlmz mindig σ-lgebr Péld. Legyen H = { R : véges vgy megszámlálhtó számosságú}. kkor H σ-lgebr 3.7. Állítás szerint Péld. Tekintsük Példábn definiált H hlmzrendszert. z gyűrű, de nem σ-gyűrű, hiszen hlmzrendszer nem zárt megszámlálhtó uniór. Hsonlón, Példábn definiált H hlmzrendszer is csk gyűrű, de nem σ-gyűrű, hiszen például rcionális számok Q hlmz megszámlálhtó, ezért előáll véges hlmzok megszámlálhtó uniójként, de Q H, hiszen sem Q sem komplementere nem véges Megjegyzés. gy H σ-gyűrű zárt megszámlálhtó metszetképzésre is, mivel h A n H (n = 1, 2,..., kkor A n = A 1 \ (A 1 \ A n H. n=2

5 42 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Nyilván egy H σ-lgebr zárt komplementer képzésre is Definíció. Az F : H R b def = {+, } R függvényt hlmzfüggvénynek hívjuk, h + és egyidejűleg nem eleme F értékkészletének, és vn olyn A H, melyre F (A +. F -et dditív hlmzfüggvénynek nevezzük, h F (A B = F (A + F (B, h A, B H és A B =. H F (A 0 minden A H-r, kkor F -et nemnegtív hlmzfüggvénynek nevezzük. Megmuttjuk z dditív hlmzfüggvények lábbi tuljdonságit Állítás. Legyen F : H R b egy dditív hlmzfüggvény. kkor 1. F ( = 0; 2. F (A 1 A n = F (A F (A n, h A 1,..., A n H páronként diszjunkt, zz A i A j = minden i j-re; 3. F (A 2 \ A 1 = F (A 2 F (A 1, h A 1 A 2, A 1, A 2 H és F (A 1 < ; 4. h F nemnegtív, kkor monoton is, zz F (A 1 F (A 2, h A 1 A 2, A 1, A 2 H; 5. h F nemnegtív, kkor F (A 1 A n F (A 1 + +F (A n minden A 1,..., A n H-r. Bizonyítás: 1. Az F ( = F ( = F ( + F ( = 2F ( összefüggésekből következik, hogy F ( = 0 vgy F ( = + vgy F ( =. H F ( = +, kkor F (A = F (A = F (A + F ( = +, minden A H -r, mi ellentmond hlmzfüggvény definíciójánk. Az F ( = esetben hsonló módon kpunk ellentmondást. 2. Az összefüggés teljes indukcióvl rögtön következik z dditivitási tuljdonságból. 3. Legyen A 1 A 2. kkor A 2 = A 1 (A 2 \ A 1 és A 1 (A 2 \ A 1 =, így z dditivitás mitt F (A 2 = F (A 1 + F (A 2 \ A 1, miből következik z állítás. 4. Legyen A 1 A 2. kkor z előzőhöz hsonló módon F (A 2 = F (A 1 +F (A 2 \A 1 F (A Legyen B 1 = A 1, B i = A i \ (A 1 A i 1. kkor B 1, B 2,..., B n páronként diszjunkt, B i A i és A 1 A n = B 1 B n. zért 2. és 4. tuljdonság szerint F (A 1 A n = F (B 1 B n = F (B F (B n F (A F (A n Péld. Legyen F egy dditív hlmzfüggvény egy H gyűrűn. Mutssuk meg, hogy tetszőleges A, B H-r F (A B + F (A B = F (A + F (B! Mivel A B = (A \ B (A B (B \ A páronként diszjunkt hlmzok uniój, ezért F dditivitás mitt F (A B = F (A \ B + F (A B + F (B \ A. Hsonlón, F (A = F (A \ B + F (A B és F (B = F (B \ A + F (A B, mikből következik z állítás.

6 3. Mérték- és integrálelmélet Definíció. A H gyűrűn értelmezett F hlmzfüggvényt σ-dditívnk vgy megszámlálhtón dditívnk nevezzük, h minden olyn páronként diszjunkt A 1, A 2,... H esetén, melyre A n H, ( F A n = F (A n teljesül. H H σ-lgebr, és F egy σ-dditív hlmzfüggvény H-n, kkor F -et előjeles mértéknek nevezzük. H pedig F nemnegtív is ezen felül, kkor F -et egyszerűen mértéknek nevezzük Megjegyzés. A fenti összefüggés bl oldl hlmzok átrendezésétől független, ezért h F (A n sor konvergens, kkor bszolút konvergens is. gyébként divergens, és divergál + -hez vgy -hez Tétel. Tegyük fel, hogy F σ-dditív egy H σ-gyűrűn. Legyen továbbá A n H (n 1 úgy, hogy A 1 A 2 A 3 A n..., és jelölje A = A n H. kkor F (A n F (A, n + esetén. Bizonyítás: Legyen B 1 = A 1, és n = 2, 3,...-re legyen B n = A n \ A n 1. kkor B 1, B 2,... hlmzok páronként diszjunktk, zz B i B j =, vlmint Mivel F σ-dditív, ezért A n = B 1 B 2 B n és A = F (A = F (A n = F (B 1 B 2 B n = F (B j = j=1 lim n + j=1 F (B j = B n, F (B j. j=1 lim F (A n. n + i j, továbbá Péld. Legyen H z X hlmz összes részhlmzink hlmz, x 0 X rögzített. Minden A X-re legyen { 1, x0 A, µ(a = 0, x 0 A. Mutssuk meg, hogy µ egy σ-dditív hlmzfüggvény H-n! Legyen A 1, A 2,... páronként diszjunkt részhlmz X-nek. Két esetet különböztetünk meg: 1. H x 0 eleme vlmilyen n-re A n -nek, kkor µ(a n = 1 és µ(a k = 0 minden k n-re. 2. H x 0 nem eleme egyik A n hlmznk sem, kkor pedig µ(a n = 0 minden n-re. Mindkét esetben teljesül tehát ( µ A n = µ(a n.

7 44 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ Péld. Legyen H Példábn definiált hlmzrendszer, és { 0, h A véges, µ: H R, µ(a = 1, h A végtelen, de A véges. Mutssuk meg, hogy µ dditív, de nem σ-dditív! Három esetet különböztetünk meg: 1. H A és B véges hlmzok, kkor µ(a = 0, µ(b = 0 és µ(a B = 0, hiszen A B is véges. 2. H z egyik hlmz véges, másik végtelen, pl. A véges és B végtelen, de B véges, kkor, hogy zt Példábn láttuk, A B nem véges, de komplementere z. zért µ(a = 0, µ(b = 1 és µ(a B = 1. Végül, 3. legyen A és B mindkettő végtelen, és komplementerük véges. kkor A B = nem teljesülhet, hiszen ekkor B A, zz B nem lehet végtelen. Azz minden olyn esetben, mikor A B =, µ(a B = µ(a + µ(b is teljesül. Legyen A n = {n}, n = 1, kkor A 1, A 2,... páronként diszjunkt, µ(a n = 0, de 0 = ( µ(a n µ A n = 1, hiszen A n = N végtelen hlmz, de komplementere z üres hlmz, zz véges Definíció. A vlós számegyenes egy I R részhlmzát (véges intervllumnk nevezzük, h I = vgy következő hlmzok vlmelyikével egyenlő: (α, β, [α, β, (α, β], [α, β], hol α β, α, β R. (3.1 H α = β, kkor [α, β] z egy pontból álló hlmzt, (α, α, [α, α és (α, α] pedig z üreshlmzt jelöli. Az R p vektortér egy I részhlmzát p-dimenziós intervllumnk nevezzük, h I = I 1 I p = {(x 1,..., x p R p : x i I i, i = 1,..., p}, hol I i (i = 1,..., p R-beli intervllumok Definíció. Az R p vektortér zon részhlmzink hlmzát, melyek p-dimenziós intervllumok véges sok egyesítéseként állnk elő, elemi hlmzoknk nevezzük. Jelölje p z R p vektortér összes elemi hlmzink hlmzát. A definíció lpján könnyen ellenőrizhetők z elemi hlmzok lábbi tuljdonsági: Állítás. 1. p gyűrű (de nem σ-gyűrű. 2. H A p, kkor A előáll véges sok diszjunkt intervllum egyesítéseként. Bizonyítás: 1. Az p hlmzrendszer uniór vló zártság közvetlenül következik definícióból. A különbségre vontkozó zártságot csk 2 dimenzióbn vizsgáljuk. Legyen I = [ 1, 2 ] [b 1, b 2 ] és J = [c 1, c 2 ] [d 1, d 2 ], és tegyük fel például, hogy 1 < c 1 < 2 < c 2 és d 1 < b 1 < d 2 < b 2, zz tégllpok elhelyezkedése:

8 3. Mérték- és integrálelmélet 45 b 2 d 2 b 1 d 1 kkor például I \ J = ( [ 1, c 1 [b 1, b 2 ] 1 c1 2 c2 ( [c 1, 2 ] (d 2, b 2 ], ezért I \ J p. Végig lehet gondolni, hogy bárhogy is helyezkedik el egymáshoz viszonyítv két tégllp, és bárhogy is válsztjuk zártnk illetve nyíltnk Descrtes-szorztbn szereplő egydimenziós intervllumok végpontjit, különbség mindig felbonthtó diszjunkt kétdimenziós intervllumok uniójár. 2. Legyen például A = I J, hol I és J intervllumok. kkor A = (I \ J (I J (J \ I, és hlmzok páronként diszjunktk. Nyilván I J intervllum. Az 1. pont bizonyítás szerint pedig I \ J és J \ I is felbonthtó diszjunkt intervllumok uniójár. hhez hsonló módon igzolhtó z állítás kettőnél több hlmz uniójár is Definíció. Az elemi hlmzok térfogtán következő m hlmzfüggvényt értjük: gy I p-dimenziós intervllumr legyen m(i = 0, h I =, h pedig I = I 1 I p, hol I i egy (3.1 lkú intervllum, melynek végpontji α i és β i, kkor legyen H z A p elemi hlmz m(i = (β 1 α 1 (β 2 α 2 (β p α p. A = I (1 I (n lkbn írhtó fel p-dimenziós intervllumok diszjunkt uniójként, kkor legyen m(a = m(i (1 + + m(i (n. A definícióból látszik, hogy egydimenziós, síkbeli ill. térbeli intervllumokr m(i z intervllum hosszát, területét ill. térfogtát dj vissz Állítás. 1. H A p, kkor z m(a definíciój nem függ z A felbontásától. 2. m dditív hlmzfüggvény p -n. Bizonyítás: 1. Tegyük fel, hogy z A hlmzt kétféleképpen állítottuk elő páronként diszjunkt p-dimenziós intervllumok uniójként: A = I (1 I (n = Ĩ(1 Ĩ(k. kkor z i,j = I (i Ĩ(j hlmzok (i = 1,..., n, j = 1,..., k is intervllumok, sőt páronként diszjunktk, továbbá k n I (i = i,j és Ĩ (j = i,j, j=1

9 46 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 így m dditivitását lklmzv m(a = k m(i (i = m j=1 ( k n k = m i,j = j=1 j=1 i,j = m(ĩ(j. k k m( i,j = m( i,j j=1 j=1 2. Legyen A és B diszjunkt elemi hlmzok. Írjuk fel hlmzokt diszjunkt intervllumok uniójként: A = I (1 I (n, B = J (1 J (m. kkor z I (1,..., I (n, J (1,..., J (m hlmzok is páronként diszjunktk, és így A B = I (1 I (n J (1 J (m diszjunkt felbontás A B-nek. zért m(a B = m m(i (i + m(j (i = m(a + m(b Péld. A kockdobás lehetséges kimenetelei: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Homogén kock esetén nnk vlószínűsége, hogy lehetséges kimenetek vlmelyike teljesül: p = 1 6. Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, és H jelölje Ω összes lehetséges részhlmzink hlmzát. kkor H elemeit eseményeknek nevezzük. Definiáljuk z események vlószínűségét következő hlmzfüggvénnyel: P : H [0, 1], P (A = z A hlmz elemeinek szám, (P ( = 0. 6 kkor könnyen láthtó, hogy H gyűrű, és P egy nemnegtív, dditív hlmzfüggvény. Áltlánosbbn, legyen Ω = {ω 1, ω 2,..., ω i,...} z állpottér, hol z {ω i } hlmzokt elemi eseményeknek nevezzük, és egy {ω i } elemi esemény vlószínűsége legyen p i (i = 1, 2,..., hol p i 0, (i = 1, 2..., és p i = 1. Legyen most is H z események hlmzrendszere, zz Ω összes lehetséges részhlmzink hlmz. kkor H σ-gyűrű, P (A = p i, A H i: ω i A függvény egy nemnegtív, σ-dditív hlmzfüggvény H-n, P (Ω = 1 és P ( = 0. A P függvényt vlószínűségi mértéknek nevezzük, z (Ω, H, P hármst pedig klsszikus vlószínűségi mezőnek hívjuk Definíció. Azt mondjuk, hogy R p Borel-hlmz, h előállíthtó nyílt intervllumokból kiindulv, megszámlálhtón sok művelettel, melyek z egyesítés, metszet, különbség képzés és komplementum képzés műveletek soroztából áll.

10 3. Mérték- és integrálelmélet Péld. Bármely [, b] zárt intervllum egydimenziós Borel-hlmz, hiszen ( [, b] = 1 n, b + 1. n Hsonló módon, z egy pontból álló {} hlmz is Borel-hlmz, mivel ( {} = 1 n, + 1. n A végtelen ill. félig végtelen intervllumok is Borel-hlmzok, mivel pl. ( ( [, = 1 n n (, + 1 ( + 1 n, + n. n= Állítás. Legyen A R p. A következő állítások teljesülnek. 1. A Borel-hlmzok osztály legszűkebb olyn σ-lgebr, mely trtlmzz z p elemi hlmzokt (zz Borel-hlmzok osztályánk vlódi részhlmzi már nem rendelkeznek ezzel tuljdonsággl. 2. H A megszámlálhtó vgy véges számosságú, kkor A Borel-hlmz. 3. H A nyílt hlmz, kkor A Borel-hlmz. 4. H A zárt hlmz, kkor A Borel-hlmz. Bizonyítás: 1. Az állítás Borel-hlmzok definíciójából és z előbbi példábn látott ötletek segítségével könnyen dódik. A részleteket nem muttjuk meg. 2. Az állítás következik bból, hogy z egy pontból álló hlmz Borel-hlmz, és A előáll A = { i} lkbn. 3. H A nyílt hlmz, kkor előáll megszámlálhtó sok nyílt intervllum uniójként, mivel minden A-hoz tlálhtó olyn I nyílt intervllum, melyre I A, és I végpontji rcionális számok. Az ilyen intervllumokból 3.7. Állítás 5. pontjából következően megszámlálhtó sok vn, ezek uniój visszdj A-t, így következik z állítás. 4. Az állítás bból következik, hogy h A zárt, kkor R p \A nyílt hlmz, ezért Borel-hlmz, így A is z Reguláris, dditív, nemnegtív hlmzfüggvények kiterjesztése Definíció. Az I = (α 1, β 1 (α p, β p p-dimenziós intervllumot nyílt intervllumnk, z I = [α 1, β 1 ] [α p, β p ] p-dimenziós intervllumot pedig zárt intervllumnk nevezzük Definíció. Az p -n értelmezett vlmely F 0 hlmzfüggvényt regulárisnk nevezzük, h minden A p és ε > 0 esetén vn olyn H p zárt és G p nyílt hlmz, hogy H A G és F (G ε < F (A < F (H + ε. H A intervllum, kkor H és G is intervllumok.

11 48 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ Állítás. Az m elemi hlmzok térfogt hlmzfüggvény (lásd definíciót reguláris. Bizonyítás: Legyen A p és ε > 0 rögzített. kkor A = I (1 I (n, hol I (i I (j = (i j, és z I (i p-dimenziós intervllum előllítás I (i = I (i 1 I p (i, hol z I (i j (3.1 egyenletben felsorolt vlmelyik típusú egydimenziós intervllum, hol z intervllum végpontjit jelölje α (i j és β (i j. kkor m(i (i = p k=1 ( β (i k α(i k. Nyilván minden i = 1,..., n-re (kicsit csökkentve z I (i intervllum méreteit tlálhtó olyn Ĩ (i p-dimenziós zárt intervllum, hogy Ĩ (i I (i, Ĩ (i Ĩ (j =, (i j, és m(ĩ (i > m(i (i ε n. Legyen H = Ĩ(1 Ĩ(n. kkor nyilván H A, H zárt hlmz, és m(h = m(ĩ(i > ( m(i (i ε = m(a ε. n Hsonló módon, minden i = 1,..., n-re tlálhtó olyn Î(i p-dimenziós nyílt intervllum, hogy I (i Î(i, és m(î(i < m(i (i + ε n. Megjegyezzük, hogy z Î(i hlmzok már nem biztos, hogy páronként diszjunktk lesznek. Legyen G = Î(1 Î(n. kkor A G, G nyílt hlmz, és Állítás 5. pontj szerint ( n m(g = m Î (i (Î(i ( ( m < m I (i + ε = m(a + ε. n gy reguláris hlmzfüggvény tehát bizonyos értelemben z m hlmzfüggvény áltlánosításánk tekinthető. A következő példábn megdunk egy z m függvénytől eltérő reguláris hlmzfüggvényt Péld. Legyen g : R R egy rögzített monoton növekvő függvény. Definiáljuk µ g függvényt z egydimenziós intervllumokr következő módon: µ g ( = 0, µ g ([α, β = g (β g (α, µ g ([α, β] = g (β+ g (α, µ g ((α, β] = g (β+ g (α+, µ g ((α, β = g (β g (α+. zután µ g -t Definícióhoz hsonló módon egyértelműen kiterjeszthetjük 1 -re, zz z egydimenziós elemi hlmzokr. Világos, hogy µ g egy nemnegtív és dditív hlmzfüggvény 1 -n. H g folytonos, kkor µ g ([α, β = µ g ([α, β] = µ g ((α, β] = µ g ((α, β = g(β g(α, és ekkor µ g reguláris is. Másrészt, h g olyn monoton növő függvény, mely nem folytonos egy α pontbn, kkor µ g ({α} > 0.

12 3. Mérték- és integrálelmélet 49 Megmuttjuk, hogy minden reguláris hlmzfüggvény kiterjeszthető egy z elemi hlmzokt trtlmzó σ-gyűrűre úgy, hogy kiterjesztés σ-dditív legyen. Szükségünk lesz következő foglmkr Definíció. Legyen R p dott hlmz. Az U = {U γ R p : γ Γ} hlmzrendszer z lefedése, h γ Γ U γ. H minden U γ nyílt intervllum, kkor U-t nyílt lefedésnek hívjuk. H Γ indexhlmz megszámlálhtó, kkor zt mondjuk, hogy U megszámlálhtó lefedése -nek, h pedig Γ véges hlmz, kkor U-t véges lefedésnek nevezzük Definíció. gy A hlmzt kompktnk hívunk, h bármely nyílt lefedéséből kiválszthtó véges lefedése is. Az nlízisben lpvető fontosságú következő állítás Tétel. gy A R p hlmz kkor és csk kkor kompkt, h korlátos és zárt Definíció. Legyen µ egy dditív, reguláris, nemnegtív és véges hlmzfüggvény p -n. kkor µ áltl generált külső mértéken { } µ ( = inf µ(a n : A n p-dimenziós nyílt intervllum, A n, R p hlmzfüggvényt értjük, hol z infimumot z összes lehetséges megszámlálhtó, nyílt intervllumokkl történő {A n } n 1 lefedéseire kell venni. A külső mérték tehát z R p tér bármely részhlmzán definiált, értéke lehet + is Állítás. µ egy nemnegtív monoton hlmzfüggvény, zz minden 1 2 -re 0 µ ( 1 µ ( 2. Bizonyítás: Az állítás bból következik, hogy 2 bármely megszámlálhtó lefedése egyben z 1 hlmznk is megszámlálhtó lefedése, így µ ( 1 kiszámításkor bővebb hlmznk kell z infimumát venni, mint µ ( 2 -nél Péld. Tekintsük z m áltl generált m egydimenziós külső mértéket. Megmuttjuk, hogy rcionális számok Q hlmzánk külső mértéke null, zz m (Q = 0. A 3.8. Péld szerint Q elemei egy r 1, r 2,... soroztb rendezhetők. Rögzítsünk egy ε > 0 számot, és definiáljuk z A i = ( r i ε 2 i+1, r i + ε 2 i+1 nyílt intervllumokt i = 1, 2,...-re. kkor nyilván {A n : n = 1, 2...} nyílt lefedése Q-nk, és m (Q m(a n = ε 2 i = ε.

13 50 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Mivel ε > 0 tetszőleges volt, ezért m (Q = 0. hhez hsonló módon be lehet látni, hogy bármely megszámlálhtó R p hlmz m külső mértéke mindig null Definíció. Legyen F egy hlmzfüggvény, mely R p összes részhlmzán értelmezve vn. kkor F -et szubdditív hlmzfüggvénynek nevezzük, h ( F n F ( n Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. kkor 1. µ µ kiterjesztése, zz minden A p -re µ (A = µ(a; 2. µ egy szubdditív hlmzfüggvény. Bizonyítás: 1. Legyen A p tetszőleges rögzített hlmz. kkor legyen A = I 1 I n, hol I 1, I n páronként diszjunkt p-dimenziós intervllumok. kkor µ dditivitás mitt µ(a = µ(i µ(i n. Legyen ε > 0 rögzített. Mivel µ reguláris, ezért minden i = 1,..., n-re létezik olyn J i p- dimenziós nyílt intervllum, hogy Másrészt µ definíciój szerint miből I i J i, µ(i i µ(j i < µ(i i + ε n. µ (A µ(j i < ( µ(i i + ε, n µ (A < µ(a + ε (3.2 dódik. Másrészt ugyncsk µ definíciój lpján vn olyn nyílt intervllumokból álló (A n sorozt, hogy A és A n µ(a n < µ (A + ε. (3.3 A µ mérték reguláris, ezért A trtlmz olyn F zárt elemi hlmzt, melyre µ(f > µ(a ε. Mivel F korlátos és zárt, ezért Tétel lpján z {A n : n = 1, 2,...} lefedéséből kiválszthtó egy véges lefedés is, zz léteznek olyn k 1,..., k N indexek, hogy F A k1 A kn. Tehát Állítás 5. pontj és (3.3 lpján ( N N µ(a < µ(f + ε µ A kn + ε µ(a kn + ε µ(a n + ε < µ (A + 2ε.

14 3. Mérték- és integrálelmélet 51 Megmutttuk tehát, hogy µ (A ε < µ(a < µ (A + 2ε minden rögzített pozitív ε-r. H most ε 0+, kkor µ (A µ(a µ (A dódik, és ezzel bebizonyítottuk, hogy µ(a = µ (A minden A p -re. 2. Legyen = n és tegyük fel, hogy µ ( n < minden n 1-re. llenkező esetben nincs mit bizonyítnunk, ugynis szubdditivitás triviálisn teljesül. Legyen ε > 0 tetszőlegesen rögzített. kkor µ definíciój lpján vn z n hlmznk olyn elemi nyílt intervllumokból álló {A n,k : k N} lefedése, hogy µ(a n,k µ ( n + 2 n ε, n N. (3.4 k=1 kkor ( = n A n,k. k=1 Másrészt µ ( definíció szerint lehetséges lefedések áltl generált összegek infimum, ezért ( µ ( µ(a n,k. k=1 z z egyenlőtlenség összevetve (3.4 becsléssel zt jelenti, hogy µ ( (µ ( n + 2 n ε = µ ( n + 2 n ε = µ ( n + ε minden ε > 0 -r. H most ε 0+, kkor kívánt µ ( µ ( n egyenlőtlenséget kpjuk és ezzel tétel bizonyítás teljes Definíció. Tetszőleges A, B R p hlmzok szimmetrikus differenciáját A B-vel jelöljük és z A B def = (A \ B (B \ A képlettel definiáljuk. Könnyen ellenőrizhetők szimmetrikus különbség hlmzművelet lábbi tuljdonsági: Állítás. Legyen A, B, C, A 1, A 2, B 1, B 2 X tetszőleges. kkor 1. A B =, kkor és csk kkor, h A = B, 2. A B = B A, 3. A B (A C (C B,

15 52 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ (A 1 A 2 (B 1 B 2 (A 1 B 1 (A 2 B 2, 5. (A 1 A 2 (B 1 B 2 (A 1 B 1 (A 2 B 2, 6. (A 1 \ A 2 (B 1 \ B 2 (A 1 B 1 (A 2 B Definíció. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. Az A és B hlmzok µ áltl generált távolságát d(a, B-vel jelöljük és definíciój: d(a, B def = µ (A B. Azt mondjuk, hogy z (A n hlmzsorozt konvergál A-hoz (A n A, h d(a n, A = µ (A n A 0, h n Állítás. Legyen A, B, C, A 1, A 2, A n, B 1, B 2 R p. kkor 1. d(a, B = 0, kkor és csk kkor, h µ (A \ B = 0 és µ (B \ A = 0; 2. d(a, B = d(b, A; 3. d(a, B d(a, C + d(c, B; 4. µ (A µ (B µ (A B. 5. Legyen A n A. kkor µ (A n µ (A. 6. d(a 1 A 2, B 1 B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B d(a 1 A 2, B 1 B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B d(a 1 \ A 2, B 1 \ B 2 d(a 1, B 1 + d(a 2, B 2. Bizonyítás: 1. A µ szubdditivitásából és z A B definíciójából következik. 2. A Állítás 2. pontjából rögtön következik. 3. A Állítás 3. pontj, vlmint µ monotonitás és szubdditivitás lpján µ (A B µ ( (A C (C B µ (A C + µ (C B. 4. Az előbbihez hsonló módon µ (A µ (B (A B µ (B + µ (A B, és ugynígy µ (B µ (A + µ (A B is teljesül, miből következik z állítás. 5. A 4. pont következménye. 6. A Állítás 4. pontját, vlmint µ monotonitását és szubdditivitását felhsználv teljesül. A 7. és 8. pontok bizonyítás hsonló. Megjegyezzük, hogy d nem távolság z Definíció értelemében (lásd z 5.7. szkszt, hiszen, Állítás 1. pontj szerint d(a, B lehet 0 kkor is, h A és B nem zonos. Az Definíció többi pontj viszont teljesül. nnek következtében konvergenci fenti definíciój szerint egy konvergens hlmzsorozt htárértéke nem egyértelmű: Például, h A n A, és h B és A egy olyn pontbn különbözik egymástól, melynek külső mértéke null, kkor könnyen ellenőrizhető, hogy A n B is teljesül Definíció. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n. H z A R p hlmzhoz vn olyn elemi hlmzokból álló (A n sorozt, melyre A n A, kkor zt mondjuk, hogy A végesen µ-mérhető. A végesen µ-mérhető hlmzok osztályát M F (µ jelöli.

16 3. Mérték- és integrálelmélet Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n, M F (µ végesen µ-mérhető hlmzok osztály. kkor M F (µ gyűrű R p -n és µ z M F (µ-n értelmezett dditív nemnegtív hlmzfüggvény. Bizonyítás: Legyen A, B M F (µ. kkor léteznek olyn elemi hlmzokból álló (A n és (B n hlmzsoroztok, hogy A n A és B n B. A Állítás 6. pontj lpján d(a B, A n B n d(a, A n + d(b, B n 0, és mivel A n B n elemi hlmz, ezért A B M F (µ. A Állítás 8. pontj mitt d(a \ B, A n \ B n d(a, A n + d(b, B n. zért A n \ B n A \ B, és így A \ B M F (µ. Beláttuk tehát, hogy M F (µ gyűrű. Megmuttjuk, hogy µ dditív M F (µ-n. Legyen A, B M F (µ diszjunkt hlmzok, és legyen A n A és B n B, hol A n és B n elemi hlmzok. kkor A n B n = (A n \ B n (B n \ A n (A n B n, és z utóbbi három hlmz páronként diszjunkt. Mivel z elemi hlmzokon µ = µ, és µ dditív, ezért µ (A n B n = µ (A n \ B n + µ (B n \ A n + µ (A n B n = µ (A n + µ (B n µ (A n B n. Mivel A B =, ezért A n B n = (A B (A n B n, és így Állítás 5. pontját és µ monotonítását felhsználv µ (A n B n = µ ( (A B (A n B n µ ( (A A n (B B n µ (A A n +µ (B B n 0. zért µ (A B = lim n µ (A n B n ( = lim µ (A n + µ (B n µ (A n B n n = lim n µ (A n + lim n µ (B n lim n µ (A n B n = µ (A + µ (B, zz µ dditív M F (µ-n Megjegyzés. Az M F (µ gyűrű áltlábn nem σ-gyűrű. hhez tekintsük R-en z m hlmzfüggvényt és z M F (m gyűrűt. Tegyük fel, hogy R M F (m. kkor létezik olyn elemi hlmz, hogy m (R <. Viszont R = R \, ezért m (R = m ( (R \ m ( + m (R \ <, emi ellentmond nnk, hogy m (R m ([ n, n] = 2n tetszőleges n-re. zért R M F (m. Másrészt R = ( n, n és ( n, n M F (m. A következő eredmény szerint µ σ-dditív z M F (µ gyűrűn (mely z előző péld szerint nem σ-gyűrű Tétel. Az µ külső mérték σ-dditív z M F (µ gyűrűn.

17 54 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 Bizonyítás: Legyen A i M F (µ (i = 1, 2,... páronként diszjunkt, legyen A = A i, és tegyük fel, hogy A M F (µ. Mivel µ szubdditív, ezért µ (A µ (A i. Megmuttjuk, hogy fordított egyenlőtlenség is teljesül. µ monotonitás mitt, és mivel µ dditív M F (µ-n, ezért minden n-re ( n µ (A µ A i = µ (A i, tehát zz µ σ-dditív M F (µ-n. µ (A µ (A i, A következő tétel szerint M F (µ zárt hlmzok htártéréke műveletre Tétel. Legyen (A n olyn sorozt, melyre A n M F (µ minden n-re, és A n A. kkor A M F (µ. Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetszőleges. kkor létezik olyn N, hogy d(a, A N < ε 2. Mivel A N M F (µ, ezért létezik olyn N p elemi hlmz, hogy De ekkor Állítás 3. pontját felhsználv d(a N, N < ε 2. d(a, N d(a, A N + d(a N, N < ε, miből következik, hogy A M F (µ Definíció. H A = B n, hol B n végesen µ-mérhető minden n-re, kkor A-t µ- mérhetőnek nevezzük. A µ-mérhető hlmzok osztályát M(µ jelöli. A következő tétel szerint µ-mérhető hlmzok között pontosn z M F (µ hlmzhoz trtozóknk véges µ külső mértéke Tétel. M F (µ = {A M(µ: µ (A < } Bizonyítás: Tegyük fel először, hogy A M F (µ. kkor bármely ε > 0-hoz létezik olyn p, hogy µ (A < ε. De ekkor A (A, ezért µ szubdditivitás mitt µ (A µ ( + µ (A <.

18 3. Mérték- és integrálelmélet 55 Most fordítv, tegyük fel, hogy A M(µ és µ (A <. Legyen A = A n, hol A n M F (µ. Legyen B 1 = A 1, és B n = A n \ ( n 1 A i, n = 2, 3,.... kkor A = B n, és B 1, B 2,... hlmzok páronként diszjunkt végesen µ-mérhető hlmzok. Mivel m B n A, M F zárt véges uniór, és µ dditív z M F gyűrűn, ezért ( m m µ (B n = µ B n µ (A. A fenti becslés minden m-re teljesül, így µ (B n <. Legyen C N = N B n. kkor C N M F (µ, és ( d(a, C N = µ (A C N = µ B n n=n+1 zért Tételből következik, hogy A M F (µ. n=n+1 Most már kimondhtjuk ennek szksznk fő tételét: µ (B n 0, h N Tétel. Legyen µ egy dditív, nemnegtív, reguláris véges hlmzfüggvény p -n, µ z áltl generált külső mérték R p -n, M(µ µ-mérhető hlmzok osztály. kkor M(µ σ-lgebr R p -n és µ z M(µ-n értelmezett mérték. Bizonyítás: 1. Legyen A i M(µ (i = 1, 2,..., és legyen A = A i. kkor minden i-re léteznek olyn A ij M F (µ hlmzok, hogy A i = j=1 A ij. De ekkor A = j=1 A ij, és mivel z unió megszámlálhtó, ezért A M(µ. zzel beláttuk, hogy M(µ σ-gyűrű. 2. Most zt indokoljuk, hogy M(µ zárt különbség képzésre. Legyen A, B M(µ. kkor léteznek olyn A i, B i M F (µ hlmzok, hogy A = A i és B = B i. De ekkor ( A \ B = A i \ B = (A i \ B. Megmuttjuk, hogy A i \ B M F (µ minden i-re, miből következik, hogy A \ B M(µ. Legyen ( j 1 C i1 = A i B 1, C ij = A i B j \ B k, j = 2, 3,.... kkor C ij A i minden j-re, C i1, C i2, C i3,... hlmzok páronként diszjunktk, és k=1 ( A i \ B = A i \ C ij. Legyen N 1 tetszőleges. Mivel ( N (A i \ B A i \ j=1 j=1 C ij = j=n+1 C ij,

19 56 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 ezért Másrészt és így ( N d A i \ B, A i \ µ ( j=n+1 j=1 j=n+1 C ij = µ ( C ij A i, j=n+1 C ij µ (A i <, C ij. ezért Tétel szerint j=n+1 C ij M F (µ, tehát Tételt lklmzv bből viszont következik, hogy µ ( ( N d A i \ B, A i \ j=n+1 j=1 C ij = C ij = j=n+1 j=n+1 µ (C ij <. µ (C ij 0, h N, ( N így Tétel szerint A i \ B M F (µ, hiszen A i \ j=1 C ij M F (µ. 3. Másrészt R p = [ n, n] [ n, n], ezért Rp M(µ, zz M(µ σ-lgebr. 4. Megmuttjuk, hogy µ σ-dditív. Legyen A i M(µ (i = 1, 2,... páronként diszjunkt, A = A i. H A M F (µ, kkor Tétel szerint µ (A <, de ekkor µ (A i µ (A <, és így A i M F (µ minden i-re. De ekkor µ (A = µ (A i (3.5 következik Tételből. H A M F (µ, kkor Tétel szerint µ (A =. zért µ szubdditívitás mitt = µ (A µ (A i, így (3.5 most is teljesül Megjegyzés. bben szkszbn kiindulv z elemi hlmzokon értelmezett µ hlmzfüggvényből, vettük z áltl generált µ külső mértéket, melyet M(µ σ-lgebrár megszorítv mértéket kptunk. zt mértéket is µ-vel jelöljük, ezzel is hngsúlyozv zt, hogy ez µ hlmzfüggvény kiterjesztése. A mérhető hlmzok körét következő lépésekben bővítettük ki egyre bővebb hlmzrendszerekre:

20 3. Mérték- és integrálelmélet intervllumok 2. elemi hlmzok gyűrűje: p (intervllumok véges uniói 3. végesen mérhető hlmzok gyűrűje: M F (µ (elemi hlmzok htárértékei 4. mérhető hlmzok σ-lgebráj: M(µ (végesen mérhető hlmzok megszámlálhtó uniói 3.4. A Lebesgue-mérték Definíció. Az m (p-dimenziós elemi hlmzok térfogt hlmzfüggvény kitejesztését z M(m σ-lgebrár p-dimenziós Lebesgue-mértéknek nevezzük, és z M(m σ-lgebr elemeit Lebesgue-mérhető hlmzoknk nevezzük Definíció. Az R p hlmzt µ-nullmértékű, ill. µ = m esetben egyszerűen csk nullmértékű hlmznk nevezzük, h µ ( = 0. A µ definíciójából következik: Állítás. gy R p hlmz µ-nullmértékű kkor és csk kkor, h bármely ε > 0 számhoz léteznek olyn {I 1, I 2,...} nyílt intervllumok, hogy I i és µ (I i < ε. A következő állítás segítséget nyújt nnk elképzeléséhez, hogy milyen hlmzok Lebesguemérhetők Állítás. Legyen m Lebesgue-mérték R p -n, M(m p-dimenziós Lebesgue-mérhető hlmzok σ-lgebráj. kkor: 1. Minden véges és megszámlálhtó hlmz Lebesgue-mérhető és mértéke H A Borel-hlmz, kkor A M(m, zz A Lebesgue-mérhető. 3. Minden nullmértékű hlmz Lebesgue-mérhető, zz h m (A = 0, kkor A M(m. 4. H A Lebesgue-mérhető és B nullmértékű hlmz, kkor A B is Lebesgue-mérhető.

21 58 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ H A M(m és ε > 0, kkor vn olyn zárt H és nyílt G hlmz, melyre H A G és m(g \ A < ε, m(a \ H < ε. 6. H A M(m, kkor léteznek olyn H és G Borel-hlmzok, hogy H A G és m(g \ A = m(a \ H = H A Lebesgue-mérhető, kkor minden b R p -re z A + b def = { + b R p : A} hlmz is Lebesgue-mérhető és m(a = m(a + b (zz Lebesgue-mérték invriáns z eltolásr. Bizonyítás: 1. Legyen = ( 1,..., p R p, és ( n = 1 1 n, n ( p 1 n, p + 1. n kkor n p-dimenziós nyílt intervllum, melyre m( n = (2/n p. zért d({}, n = m ({} n m( n 0, h n, zz {} M F (m M(m és m({} = lim n m( n = 0. H A megszámlálhtó, kkor elemeit rendezzük egy ( n soroztb. kkor A = { n}, ezért A M(m. Másrészt ( m(a = m { n } = m({ n } = Az állítás Állítás 1. pontjából következik. 3. Legyen A olyn, hogy m (A = 0. Mivel p, ezért d(a, = m (A = m (A = 0, és így A M F (m. 4. A 3. pont szerint B Lebesgue-mérhető, ezért A B is z. 5. Tegyük fel először, hogy A M F (m, zz m (A <, és rögzítsünk egy tetszőleges ε > 0-t. A külső mérték definíciój szerint léteznek olyn I 1, I 2,... nyílt p-dimenziós intervllumok, hogy A és m(i i < m (A + ε. Legyen G = I i. kkor G nyílt hlmz, I i A G és m (G m(i i < m (A + ε. kkor, hsználv, hogy m = m Lebesgue-mérhető hlmzokon, következik z állítás. Legyen ezután A M(m, és A = A i, hol A i M F (m minden i-re. kkor z előző eredmény mitt minden i-re létezik olyn G i nyílt hlmz, hogy Legyen G = A i. kkor G nyílt hlmz, A i G i és m(g i \ A i < ε 2 i. ( A G és m(g \ A m (G i \ A i m(g i \ A i < ε 2 i = ε.

22 3. Mérték- és integrálelmélet 59 A zárt hlmzokr vontkozó állítást visszvezethetjük nyílt hlmzokr igzolt eredményre: Legyen A M(m. kkor Ā M(m, ezért z előbbi eredmény szerint tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyn G nyílt hlmz, hogy Legyen H = Ḡ. kkor H zárt hlmz, Legyen Ā G és m(g \ Ā < ε. H A és m(a \ H = m(g \ Ā < ε. 6. Az 5. pont szerint minden n-re léteznek olyn G n nyílt és H n zárt hlmzok, hogy H n A G n és m(a \ H n < 1 n, m(g n \ A < 1 n. H = H n és G = G n. kkor H és G Borel-hlmzok, melyekre teljesül z állítás. 7. Az állítás intervllumokr nyilván teljesül. zután lépésenként megmutthtó, hogy elemi hlmzokr, végesen mérhető és végül mérhető hlmzokr is teljesül z eltolásr vontkozó invrinci. A részleteket itt elhgyjuk Megjegyzés. Az előbbi állítás 2., 4. és 6. pontj szerint tehát Lebesgue-mérhető hlmzok és Borel-hlmzok nullmértékű hlmzokbn térnek el egymástól. Az előbbi állítás szerint minden megszámlálhtó hlmz Lebesgue-mérhető (és mértéke 0. Most megmuttjuk, hogy létezik olyn nullmértékű végtelen hlmz, mely nem megszámlálhtó számosságú Péld. Az 0 = [0, 1] intervllumból kiindulv definiálunk egy ( n hlmzsoroztot: Legyen 1 = 0 \ (1/3, 2/3. kkor 1 két, 1/3 hosszú zárt intervllum( uniój. zután hgyjuk el 1 -ből is két intervllum középső hrmdát: legyen 2 = 1 \ (1/9, 2/9 (7/9, 8/9. kkor 2 4 db 1/9 hosszú zárt intervllum uniój. zután újr mindegyik intervllum középső (nyílt hrmdát elhgyv kpjuk 3 -t, mely 8 db 1/27 hosszú zárt intervllum uniój lesz. Így definiáljuk z n hlmzsoroztot, melyben n 2 n db 1/3 n hosszú zárt intervllum uniój lesz. Nyilván n Lebesgue-mérhető, és m( n = (2/3 n. Definiáljuk C = n hlmzt, melyet Cntor-hlmznk nevezünk. nnek legfontosbb tuljdonsági: 1. C Borel-hlmz. 2. C mérhető és nullmértékű hlmz. 3. C zárt hlmz. 4. C kontinuum számosságú. Az 1. tuljdonság nyilvánvló Cntor-hlmz definíciójából. Mivel C Borel-hlmz, ezért mérhető is (mit definíciójából is nyilván láthtunk. Jelölje F n z n komplementerét [0, 1] intervllumr, zz F n = [0, 1] \ n. Mivel 1 2, ezért F 1 F 2. De ekkor Tétel szerint ( m F n = lim m(f n, n

23 60 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 és ezért ( ( ( ( ( m(c = m n = m ([0, 1] \ F n = m [0, 1] \ F n = 1 m F n = 1 lim n m(f n = 1 lim n m([0, 1] \ n = lim n m( n = 0. zzel 2. állítást is beláttuk. A 3. állítás következik bból, hogy végtelen sok zárt hlmz metszete is zárt hlmz. A 4. tuljdonság vázltos indoklás következő: Úgy mint tizes számrendszerben (lásd 3.6. Példát, hárms számrendszerben is felírhtunk minden x [0, 1] számot z x = (0, x 1 x 2 x = x x x (3.6 végtelen tört lkbn, hol x i {0, 1, 2}. Akár tizes számrendszerben, itt is vnnk olyn számok, melyeket felírhtunk véges sok (nem null tört jeggyel és végtelen sok tört jeggyel is. Például (0,1 3 = (0, Ilyen esetekben mindig vegyük végtelen tört jeggyel felírhtó lkját számnk. kkor egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést dtunk [0, 1] intervllum pontji és (3.6 lkú végtelen törtek között. Az 1 hlmz definíciójából következik, hogy pontosn zok [0, 1]-beli számok nem trtoznk 1 -hez, melyek (3.6 előállításábn x 1 = 1, zz z 1 -beli számokr x 1 = 0 vgy 2. Hsonlón, zokt számokt hgyjuk el 1 -ből z 2 generáláskor, melyekre x 2 = 1. Megmutthtó tehát, hogy zon [0, 1]-beli számok trtoznk Cntor-hlmzhoz, melyekre (3.6-ben x i = 0 vgy 2 minden i-re. Megdunk most egy kölcsönösen egyértelmű leképezést C és [0, 1] között: z x C számhoz rendeljük hozzá zt kettes számrendszerben felírt y = (0,y 1 y 2 y számot, melyre y i = 0, h x i = 0 és y i = 1 h x i = 2. Könnyen ellenőrizhető, hogy ez egy kölcsönösen egyértelmű leképezés lesz, zz C számosság megegyezik [0, 1] számosságávl, zz kontinuum számosságú. A következő pélábn megmuttjuk, hogy nem minden R p -beli hlmz Lebesgue-mérhető, zz hossz, terület ill. térfogt foglmát nem lehet természetes módon kiterjeszteni z összes R-beli, síkbeli ill. térbeli hlmzr Péld. Megmuttjuk, hogy létezik olyn részhlmz [0, 1 intervllumnk, mely nem Lebesgue-mérhető. Vezessük be [0, 1-en z összedás modulo 1 műveletet: legyen tetszőleges x, y [0, 1-re { x + y, h x + y < 1, x y = x + y 1, h x + y 1. [0, 1-re jelölje y def = {x y [0, 1 : x }. Legyen [0, 1 mérhető, y [0, 1, és definiáljuk z 1 = [0, 1 y és 2 = [1 y, 1 hlmzokt. kkor = 1 2, 1 és 2 diszjunkt és mérhető, így m( = m( 1 + m( 2. Mivel 1 y = 1 +y és 2 y = 2 +(y 1 és mivel Lebesgue-mérték eltolás invriáns (3.64. Állítás 7. pont, ezért 1 y és 2 y is mérhető és diszjunkt hlmzok, és m( 1 = m( 1 y, m( 2 = m( 2 y. Másrészt y = ( 1 y ( 2 y, így y is mérhető, továbbá m( y = m( 1 y + m( 2 y = m( 1 + m( 2 = m(. Vezessük be következő ekvivlencirelációt. Jelölje x y, h x y Q. nnek segítségével ekvivlenciosztályokr bontjuk [0, 1 hlmzt: egy osztályb zok számok trtoznk, melyek ekvivlensek, zz különbségük egy rcionális szám. Legyen P [0, 1 olyn hlmz, mely

24 3. Mérték- és integrálelmélet 61 minden ekvivlenciosztályból pontosn egy számot trtlmz. Indirekt bizonyítássl megmuttjuk, hogy P hlmz nem Lebesgue-mérhető. Tegyük fel tehát, hogy P Lebesgue-mérhető. Legyen r 1, r 2,... rcionális számok egy soroztb rendezése, és tekintsük P i = P r i hlmzokt (i = 1, 2,.... Legyen x P i P j vlmely i j-re. kkor x = p i + r i = p j + r j lkú, hol p i P i, p j P j, miből következik, hogy p i p j = r j r i Q, mi ellentmond nnk, hogy P minden ekvivlenciosztályból csk egy elemet trtlmz. zért P 1, P 2,... hlmzok páronként diszjunktk. De mivel [0, 1 = P i, ezért ( 1 = m([0, 1 = m P i = m(p i = m(p, mi ellentmondás. zért P nem lehet Lebesgue-mérhető Mértékterek A 3.3. szkszbn p-dimenziós vektortér elemi hlmzi gyűrűjén megdott µ nemnegtív, dditív, reguláris hlmzfüggvényeit terjesztettük ki z M(µ σ-lgebrár úgy, hogy kiterjesztett függvény mérték legyen M(µ-n. Az ilyen mértékeknek legfontosbb példáj Lebesgue-mérték volt. Más kiindulási feltételekkel (pl. nem z R p tér részhlmzin megdott hlmzfüggvényből, vgy például nem reguláris hlmzfüggvényből kiindulv is lehet z lphlmz vlmely σ-lgebrájár kiterjesztve mértékeket definiálni, illetve bizonyos esetekben direkt módon is meg tudunk dni egy σ-lgebrát és zon egy σ-dditív hlmzfüggvényt (lásd pl Példát. zért tekintsük következő definíciót Definíció. Legyen X tetszőleges hlmz, M z X részhlmziból álló σ-lgebr és µ z M-n értelmezett nemnegtív σ-dditív hlmzfüggvény. kkor z (X, M, µ hármst mértéktérnek nevezzük, és z M hlmz elemeit mérhető hlmzoknk nevezzük. A következőkben rr dunk egyszerű példákt, hogy tetszőleges hlmzon definiálhtunk mértékteret Péld. Legyen X egy tetszőleges hlmz, M z X összes részhlmzink hlmz és legyen tetszőleges véges A X esetén µ(a = z A elemeinek szám, h pedig A végtelen számosságú hlmz, kkor legyen µ(a =. kkor ellenőrizhető direkt módon, hogy µ mérték (z ú.n. számosság mérték, és így (X, M, µ mértéktér Péld. Legyen X egy tetszőleges hlmz, x 0 X rögzített. Legyen M z X összes részhlmzink hlmz, és µ Példábn vizsgált { 1, x0 A, µ(a = 0, x 0 A σ-dditív hlmzfüggvény. kkor (X, M, µ egy mértéktér. zt µ mértéket triviális mértéknek nevezzük. A vlószínűségszámítás elméletében vlószínűségi mező ismeretében tudunk következtetéseket levonni, zz feltesszük, hogy dott egy (Ω, H, P mértéktér, hol H z Ω részhlmziból

25 62 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/2007 álló σ-lgebr, P : H [0, 1] mérték, zz σ-dditív nemnegtív hlmzfüggvény, és melyre P (Ω = 1, P ( = 0. Megjegyezzük, hogy ebben z áltlános esetben Ω nem minden részhlmz mérhető, zz nem minden részhlmzhoz (eseményhez rendelhetünk vlószínűséget Definíció. Adott egy (X, M, µ mértéktér. Legyen T egy pontbeli tuljdonság vlmely hlmzon (például: egy függvény z dott pontbn folytonos, vgy egy függvény z dott pontbn nem zéró. Azt mondjuk, hogy T tuljdonság egy dott hlmzon µ-mjdnem mindenütt teljesül, h zoknk pontoknk hlmz, hol T nem teljesül vgy hol T nincs értelmezve, µ-mérhető hlmz és µ-mértéke null. Pl.: Azt mondjuk, hogy z f, g X R függvények z A X hlmzon µ-mjdnem mindenütt egyenlőek (rövidítve f = g µ-m.m., h z {x A : f(x g(x} hlmz µ-mérhető és µ-mértéke null. (H f és/vgy g egy dott pontbn nincsen értelmezve, kkor zt úgy tekintjük, hogy f és g nem egyenlő ebben pontbn. H fenti definíciókbn µ = m, kkor z m-mjdnem mindenütt helyett egyszerűen mjdnem mindenütt kifejezést hsználjuk Péld. H f és g definíciój közös értelmezési trtományukon véges sok pontbn tér csk el egymástól, kkor f mjdnem mindenütt megegyezik g-vel, mert véges sok pontból álló hlmz Lebesgue-mértéke 0. Legyen most { 1, h x [0, 1] rcionális, f(x = 0, h x [0, 1] irrcionális, és legyen g z zonosn null függvény [0, 1]-en. kkor f mjdnem mindenütt egyenlő g-vel, mert z {x [0, 1]: f(x g(x} = Q [0, 1] hlmz nullmértékű Mérhető függvények bben szkszbn feltesszük, hogy dott egy (X, M, µ mértéktér, így mérhető hlmzokon mindig z M elemeit, mérhetőségen µ-mérhetőséget, mértéken pedig µ mértéket értjük. Olyn függvényeket vizsgálunk, melyek X-en értelmezettek és értékeiket kibővített vlós számok def hlmzából, R b = R {, }-ből veszik fel Definíció. Legyen f : X R b. Azt mondjuk, hogy f mérhető függvény, h z hlmz minden vlós esetén mérhető. {x X : f(x > } Tétel. A következő állítások ekvivlensek: 1. {x X : f(x > } M minden R-re, 2. {x X : f(x } M minden R-re, 3. {x X : f(x < } M minden R-re, 4. {x X : f(x } M minden R-re.

26 3. Mérték- és integrálelmélet 63 Bizonyítás: Az egyes implikációk következnek z lábbi összefüggésekből: 1. 2.: {x X : f(x } = { x X : f(x > 1 n} ; 2. 3.: {x X : f(x < } = X \ {x X : f(x }; 3. 4.: {x X : f(x } = { x X : f(x < + 1 n} ; 4. 1.: {x X : f(x > } = X \ {x X : f(x } Tétel. H f mérhető, kkor f is mérhető. Bizonyítás: Az állítás következik z {x X : f(x > } = {x X : f(x > } {x X : f(x < } összefüggésből Tétel. H f és g mérhető függvények, c R, kkor cf, f, mx {f, g}, min {f, g}, f + g, f g függvények szintén mérhetők. H µ({x X : g(x = 0} = 0, kkor 1/g és f/g is mérhető. Bizonyítás: Tekintsük például z f + g függvény mérhetőségét. Legyen r 1, r 2,... rcionális számok egy soroztb rendezése (lásd 3.8. Példát. kkor {x X : f(x + g(x > } = ( {x X : f(x > r i } {x X : g(x > r i } M Tétel. Legyen f, g : X R mérhető, vlós értékű függvények, és legyen F vlós és folytonos függvény R 2 -n, és legyen kkor h mérhető. h(x = F (f(x, g(x, x X Tétel. Legyen {f n } mérhető függvények sorozt. kkor z sup f n, n 1 függvények szintén mérhetők. inf f n, n 1 lim sup f n és lim inf f n n 1 n 1 Bizonyítás: Legyen például g(x = sup n 1 f n (x. kkor supremum definíciój mitt {x: g (x > } = {x: f n (x > }, így g mérhető. Legyen például h(x = lim sup n 1 f n (x. kkor így z előbbiekből következik z állítás. h(x = inf sup f n (x, m 1 n m

27 64 Győri István, Hrtung Ferenc: MA1114f és MA6116 elődásjegyzet, 2006/ Következmény. 1. H f és g mérhető, kkor mx {f, g} és min {f, g} szintén mérhető. Speciálisn h kkor f + és f mérhető. f + def = mx {f, 0} f def = min {f, 0}, 2. Mérhető függvények konvergens soroztánk htárértéke is mérhető Tétel. H X R p, f : X R folytonos, kkor Lebesgue-mérhető. Bizonyítás: Legyen R tetszőlegesen rögzített, és tekintsük z {x : f(x > } hlmzt. z nyílt hlmz, hiszen h egy tetszőleges x 0 {x : f(x > } pontot veszünk, f folytonosságából következik, hogy létezik olyn δ > 0, hogy f(x > teljesül minden x-re, melyre x x 0 < δ, hol z euklideszi távolság R n -en. A Állítás szerint minden nyílt hlmz Lebesguemérhető, hiszen nyílt hlmzok Borel-hlmzok is, tehát f Lebesgue-mérhető függvény Tétel. Legyen X R p, f, g : X R, f Lebesgue-mérhető és f = g mjdnem mindenütt. kkor g is Lebesgue-mérhető. Bizonyítás: A mjdnem mindenütt definíciójából következik, hogy z {x: g(x f(x} hlmz Lebesgue-mérhető, és m({x : g(x f(x} = 0. kkor persze z {x : g(x = f(x} hlmz is Lebesgue-mérhető lesz. Mivel {x: g(x > } {x: g(x f(x} {x: g(x f(x}, és minden m-nullmértékű hlmz részhlmz is Lebesgue-mérhető, ezért z ( ( {x: g(x > } = {x: f(x > } {x: f(x = g(x} {x: g(x > } {x: g(x f(x} hlmz is Lebesgue-mérhető Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy z előbbi tétel áltlánosíthtó olyn (X, M, µ mértékterekre is, hol minden olyn M hlmznk, melynek µ-mértéke 0, bármely részhlmz is mérhető hlmz. Az ilyen tuljdonságú mértéktereket teljes mértéktérnek nevezzük. Például Lebesgue-mértékhez trtozó (R p, M(m, m mértéktér teljes (lásd Állítást Megjegyzés. A mérhető függvények osztály csk z M σ-gyűrűtől függ ( konkrét mértéknek nincs szerepe definícióbn. Például R p -n beszélhetünk Borel-mérhető függvényekről: Azt mondjuk, hogy f Borel-mérhető, h bármely R-re z {x: f(x > } hlmz Borel-hlmz Péld. Legyen P [0, Példábn definiált olyn hlmz, mely nem Lebesguemérhető, és legyen { 1, h x [0, 1 P, f(x = 0, h x [0, 1 \ P. kkor f nem Lebesgue-mérhető függvény, mivel pl. z {x [0, 1 : f(x > 0, 5} = P hlmz nem Lebesgue-mérhető.

28 3. Mérték- és integrálelmélet gyszerű függvények Definíció. Legyen s z X-en értelmezett vlós értékű függvény. H s értékkészlete véges hlmz, kkor zt mondjuk, hogy s egyszerű függvény Definíció. Legyen X. Az hlmz krkterisztikus függvényének nevezzük { 1, x χ (x = 0, x / egyszerű függvényt. Az egyszerű függvényeket mindig felírhtjuk krkterisztikus függvények lineáris kombinációjként. Legyenek z s egyszerű függvény értékkészletének z elemei c 1,..., c n, és legyen i = {x: s(x = c i } (i = 1,..., n. kkor s = c i χ i Állítás. Az s egyszerű függvény kkor és csk kkor mérhető, h z 1,..., n hlmzok mérhetők. Bizonyítás: Az állítás z és vlmely kis ε > 0-r z {x: s(x > } = i: c i > i i = {x: s(x > c i ε} {x: s(x < c i + ε} összefüggésekből rögtön következik. A következő tétel szerint bármely függvény közelíthető egyszerű függvényekkel Tétel. Legyen f : X R b. kkor létezik olyn egyszerű függvényekből álló (s n sorozt, hogy minden x X-re s n (x f(x, h n +. H f mérhető, kkor (s n mérhető függvényekből álló soroztnk válszthtó. H f 0, kkor (s n monoton növekvő soroztnk válszthtó. Bizonyítás: Legyen n,i = f 0 és { x: i 1 2 n f(x < i 2 n n = 1, 2,...; i = 1, 2,..., n2 n. Definiáljuk z s n függvényt z s n = n2 n }, F n = {x: f(x n}, i 1 2 n χ n,i + nχ Fn képlettel. kkor s n egyszerű függvény minden n-re, s n s n+1, és s n 0, n 1. H z f függvény mérhető, kkor z n,i és F n hlmzok mérhetők, így s n is mérhető függvény Tétel szerint.