Bevezetés a matematikába. Galambos Gábor JGYPK

Átírás

1 Bevezetés mtemtiká. Glmos Gáor JGYPK 4-5 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Az elődás fő témái: Hlmzok: Alpfoglmk, műveletek hlmzokkl, számhlmzok, végtelen hlmzok. Relációk: Alpfoglmk, relációk tuljdonsági (reflexív, szimmetrikus, trnzitív, ekvivlenci reláció, trichotómi, rendezés, jólrendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvények árázolás, műveletek függvényekkel, speciális függvények (pl. rekurzív függvények). Mtemtiki Logik: Alpfoglmk, logiki műveletek, logiki függvények, következtetések és szályik. A lineáris lger lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Komintorik: Alpfoglmk, permutáció és tuljdonsági, kominációk, inomiális együtthtók, vriációk. Gráfelmélet: Alpfoglmk, gráfok árázolás, klsszikus gráfejárások, párosítások, mgyr módszer, fgráfok. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

2 Az elődás Bánhegyesiné Topor Gizell, Bánhegyesi Zoltán: Mtemtik, nem mtemtik szkosoknk.okj informtik sorozt. Műszki Kidó, Budpest,. ISBN (Megrendelhető: Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt. Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 5, ISBN lpján lett összeállítv. (Keress rá Google-n: Csernyák László ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 A közös tuljdonságok lpján csoport fogllhtó tárgykt, foglmkt hlmzoknk nevezzük. Pl. élyeggyűjtemény, emercsoportok, számok, függvények. A hlmzhoz trtozó egyedeket hlmz elemeinek nevezzük. Melyek z elemek legfontos tuljdonsági? Egyértelműen eldönthető, hogy z elem hozzátrtozik-e hlmzhoz. A hlmz minden eleme töi elemtől megkülönöztethető. Egy hlmzn egy elem csk egyszer fordul elő. Egy hlmz nem lehet önmgánk z eleme. Georg Cntor (845-98) lpozt meg hlmzelmélet foglmát. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

3 Azt, hogy egy h dolog eleme H hlmznk h H jelöléssel írjuk le. H h nem eleme H hlmznk, kkor h H jelölést lklmz-zuk. Pl. H N-nel jelöljük természetes számok hlmzát, kkor 5 N és - N. Bármely hlmzt egyértelműen meghtározzák z elemei: h H egy hlmz, kkor ármely x dologr vgy x H vgy x H áll fenn. Két hlmzt kkor tekintünk zonosnk, h elemei ugynzok, zz H és K hlmz kkor egyenlő, h h H esetén h K is teljesül, és h h H kkor h K is igz. Jelölése: H K. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Egy hlmzt megdhtunk elemeinek felsorolásávl vgy egy olyn tuljdonsággl, mely hlmz elemeit egyértelműen meghtározz. Pl. A -ml oszthtó természetes számok hlmz így írhtó le: H {,, 6, 9, } vgy H {x x N és x oszthtó -ml}. Hlmzok árázolás: Venn-digrm Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7

4 Azt hlmzt, melynek egyetlen eleme sincs, üres hlmznk nevezzük, és -vl vgy { }-vl jelöljük. Pl. Tekintsük következő hlmzt: A {zon vlós x számok, melyekre sin x + cos x igz} Mivel sin x és cos x mindig csk - és + közé eső értékeket vehet fel, ezért z egyenlet csk kkor lehet igz, h sin x és cos x egyszerre teljesül. π A sin x megoldás: x + kπ, hol k Z. A cos x megoldás: x kπ, hol k Z. Ezért nincs olyn x vlós szám, mely egyenletünknek megoldás lenne. Ezért A. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Változtssuk meg z A hlmz definícióját: B {zon vlós számok hlmz, melyekre sin x + cos x igz} Vn különség két definíció között? Az A hlmz üres hlmz, B hlmz nem üres hlmz, mert egyetlen elemet trtlmz, ti. z A üres hlmzt. Könnyű elátni, hogy csk egy üres hlmz vn. (Hsználni kell két hlmz zonosságár vontkozó definíciót.) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 4

5 Induljunk ki z utók hlmzáól. Keressünk olyn tuljdonságokt, melyek lpján tová onthtjuk z utók hlmzát! Mondjunk továi hlmzokt, és ontsuk ezeket részekre! Venn digrmml: Autók Személyutók Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Egy K hlmzt H hlmz részhlmzánk nevezünk, h K hlmz minden eleme egyen H-nk is eleme. Jelölése: K H. A definícióól következik, hogy minden hlmz része sját mgánk, hiszen minden x H -ól következik, hogy x H, tehát H H trtlmzás mindig igz. Az üres hlmz minden hlmznk részhlmz. Egy K hlmzt H hlmz vlódi részhlmzánk nevezünk, h K részhlmz H-nk és H-nk vn leglá egy eleme, mely nem eleme K-nk. Jelölése: K H. Tétel: K H kkor és csk kkor igz, h K H, de H K. Tétel: H K H és H K, kkor H K. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

6 Tekintsünk egy A hlmzt, mely részhlmz H-nk. Azt hlmzt, mely H vlmennyi A-hoz nem trtozó elemét trtlmzz, z A hlmz H-r vontkozttott komplementer (kiegészítő) hlmzánk nevezzük. Jelölése: A {x x H és x A } H A A Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Néhány egyszerű megállpítás: Egy hlmz önmgár vontkozttott komplementere z üres hlmz. Az üres hlmz komplementere mg hlmz. Egy hlmz ármely másik hlmzr vontkozttott komplementerének komplementere mg hlmz. H két hlmznk ugynrr hlmzr vontkozttott komplementere egyenlő, kkor két hlmz is egyenlő egymássl. (Ez megfordítv is igz.) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

7 Műveletek hlmzokkl Az A és B hlmzoknk z A B szimólumml jelölt Descrtes-féle szorztán z összes olyn rendezett (,) párokól álló hlmzt értjük, melyekre A és B. Jelölése: A B { (,) Aés B}. H A B, kkor z A A helyett z A jelölést is hsználjuk. Pl. Legyen A {,, } és B {e, f} e f (, e) (, f ) A B (, e) (, f ) (, e) (, f ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 A tálázt felfoghtó egy speciális szorzótálánk. A szorzthlmz elemeinek számát két hlmz elemeinek szorzt dj. Tétel: A Descrtes-szorzás művelete nem kommuttív. (Nem felcserélhető). A szorzthlmz kettőnél tö hlmz szorztár is értelmezett, ekkor rendezett hármsok, négyesek, st. lesznek szorzthlmz elemei. A szorzthlmz lehetővé teszi mtemtiki lkztok konstrukcióját is: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 7

8 N N Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 A műveletekről áltlán Egy H hlmzon értelmezett (első, kétváltozós) művelet nem más, mint H H szorzthlmz leképezése önmgá H hlmz, zz minden (x,y) H H rendezett párhoz H egy elemét rendeljük. Mtemtik jelöléssel: φ: (x,y) H H z f(x,y) H Három lpvető műveleti tuljdonságot fogunk definiálni: Asszocitivitás (csoportosíthtóság) Kommuttivitás (felcserélhetőség) Disztriutivitás (széttgolhtóság) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 8

9 Asszocitivitás Egy H hlmzon értelmezett műveletet kkor mondunk sszocitívnk, h ármely x, y, z H elemre fennáll, hogy (x y) z x (y z) x y z. H egy művelet sszocitív, kkor zárójelet árhov lehet rkni, de z elemek sorrendje lényeges. Asszocitív művelet vlós számok hlmzán értelmezett összedás és szorzás. Nem sszocitív művelet htványozás, hiszen ( ) ( ) A l oldl eredménye 8 64, jo oldlé 9 5. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Kommuttivitás Egy H hlmzon értelmezett műveletet kkor mondunk kommuttívnk, h ármely x, y H elemre fennáll, hogy x y y x. H egy művelet kommuttív, kkor művelet eredménye független műveleten résztvevő elemek sorrendjétől Kommuttív művelet vlós számok hlmzán értelmezett összedás és szorzás, vgy z egyevágósági trnszformációk egymás utáni végrehjtás. Nem kommuttív művelet kivonás, hiszen 5 5. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 9

10 Disztriutivitás Legyen dott H hlmzon értelmezett két művelet és. A műveletet lról disztriutív műveletre nézve, h ármely x, y z H elemre fennáll, x (y z) (x y) (x z). Legyen dott H hlmzon értelmezett két művelet és. A műveletet joról disztriutív műveletre nézve, h ármely x, y z H elemre fennáll, (x y) z (x z) (x y). H egy művelet lról is és joról is disztriutív egy másik műveletre nézve, kkor egyszerűen disztriutivitásról eszélünk. A vlós számok köréen definiált szorzás művelete disztriutív z ugynitt definiált összedás műveletére nézve. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Zártság A H hlmznk egy K részhlmzát műveletre nézve zártnk mondunk, ármely x, y K elemekre igz, hogy x y K. Pl. pozitív pártln számok hlmz z összedásr nézve nem zárt, de szorzásr nézve zárt. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

11 Hlmzok uniój Az A és B hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A és B közül leglá z egyiknek elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z unió tgjink nevezzük. A B A hlmzok egyesítés három vgy tö tgr is definiálhtó: Az A, A,, A n, hlmzok unióján (egyesítésén) zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,, n) hlmzok közül leglá z egyiknek elemei. Jelölése: A A A n. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Az unióképzés műveletének legfontos tuljdonsági: Az unióképzés művelete kommuttív. Az unióképzés művelete sszocitív. Az unióképzés művelete idempotens: A AA. A A. A BBkkor és csk kkor, h A B. A B kkor és csk kkor, h A és B. Legyen A egy hlmz, és legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A' B. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

12 Hlmzok metszete Az A és B hlmzok metszetén (közös részén) zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek mind z A mind B hlmznk elemei. Jelölése: A B. Az A és B hlmzokt z metszet tgjink nevezzük. Pl. Legyen K { osztói}, és L { osztói}. Ekkor K {,,, 4, 6, } és L {,, 4, 5,, }. Így K L{,, 4}. A metszethlmz éppen és közös osztóink hlmz. A hlmzok metszete három vgy tö tgr is definiálhtó: Az A, A,, A n, hlmzok metszetén zt hlmzt értjük, mely zokt és csk zokt z elemeket trtlmzz, melyek A i (i,,, n) hlmzok mindegyikének eleme. Jelölése: A A A n. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Az metszetképzés műveletének legfontos tuljdonsági: Az metszetképzés művelete kommuttív. Az metszetképzés művelete sszocitív. Az metszetképzés művelete idempotens: A AA. A. A B A kkor és csk kkor, h A B. Legyen A egy hlmz, és legyen A B. H A' z A hlmz B-re vontkozttott komplementer hlmz, kkor A A'. Az unió metszetképzésre nézve disztriutív. A metszet z unióképzése nézve disztriutív. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

13 Szemléltessük, hogy unió metszetképésre nézve disztriutív! A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A B A B C C Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Hlmzok különsége Az A és B hlmzok különségén z A hlmznk zt részét értjük, melyek nem trtoznk B hlmzhoz. Jelölése: A \ B. A különségképzés műveletének legfontos tuljdonsági: Az A \ B különséghlmz mindig részhlmz A-nk. Amennyien egy A hlmzól kivonjuk nnk egy B részhlmzát, kkor B hlmznk A-r vontkozó komplementerét kpjuk: A \ B A'. A B \ A különséghlmzt z A \ B szimmetrikus párjánk nevezzük. A B \ A és z A \ B hlmzoknk nincs közös eleme (diszjunktk). A \ A és \ A és A \ A. A különségképzés művelete nem kommuttív. A különségképzés művelete nem sszocitív. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7

14 Szimmetrikus differenci Az A és B hlmzok szimmetrikus differenciáján z A Δ B {A \ B} {B \ A} hlmzt értjük, A B AΔB A definícióól következő tuljdonságok következnek: AΔA AΔBBΔA AΔ Δ A A. ( AΔ B )ΔC AΔ(BΔC ) ( művelet sszocitív). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 hlmz- Venn digrmm segítségével árázoljuk ( AΔB)Δ C műveletet! A B C Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 4

15 Számhlmzok Természetes számok A természetes számok hlmzát Peno xómákkl (889) írhtjuk le. Giuseppe Peno (858 9). Kurt Gödel: Minden xiómrendszeren léteznek olyn állítások, melyek nem eldönthetők, zz melyeknek izonyítás és cáfolt z dott rendszeren elül nem végezhető el. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés A Peno xiómák:. A természetes szám, zz N.. Bármely n természetes számnk létezik egy és csk egy z n számtól különöző n' rákövetkezője, melyik szintén természetes szám.. Nincs olyn természetes szám, melynek rákövetkezője. 4. Különöző természetes számoknk különöző rákövetkezője. 5. H egy K hlmz z N részhlmz, továá K rendelkezik z - es xióm szerinti tuljdonsággl, és minden K-eli elem rákövetkezője is K hlmzn vn, kkor K N. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

16 A Peno xiómák (formlizáltn):. N.. H n N, kkor n' N.. H n', kkor n N. 4. H m, n N, és m n, kkor n' m'. 5. H egy K hlmzr igz, hogy (i) K N, (ii) K, (iii) h n K, kkor n' K, kkor K N. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Az 5-ös xiómát szokás teljes indukció xiómájánk nevezni. Legyen α(n) minden n N-re értelmezett állítás, és tegyük fel, hogy teljesül következő két feltétel: zα() állítás igz, h vlmely n N eseténα(n) igz, kkorα(n+) is igz, Ekkorα(n) minden n N esetén igz. A teljes indukció xiómájánk változt: Legyen k N, és α(n) minden k n N-re értelmezett állítás, és tegyük fel, hogy teljesül következő két feltétel: zα(k) állítás igz, h vlmely n N eseténα(n) igz, kkorα(n+) is igz, Ekkorα(n) minden k n Nesetén igz. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

17 Nézzünk egy teljes indukciós izonyítást: Bizonyítsuk e, hogy z első n természetes szám összege n ( n + ) S ( n ). Biz.. A tétel állítás n -re igz, hiszen S().. Tegyük fel, hogy z állítást vlmely n -re már eláttuk. Ekkor n( n + ) S ( n + ) S ( n) + ( n + ) + ( n + ) ( n + )( n + ). Ezért tétel állítás igz. n( n + ) + ( n + ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 N-en két művelet definiálhtó: z összedás, és szorzás. mindkét műveletre eizonyíthtó, hogy sszocitív és kommuttív, és eláthtó, hogy z összedás szorzásr nézve disztriutív művelet. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 7

18 Egész számok Próáljuk meg kiterjeszteni természetes számok hlmzát, és z zon értelmezett összedás és szorzás műveletét. A hlmz kiterjesztésénél trtsuk e következő elveket: Az új hlmznk természetes számok hlmz legyen részhlmz. Az új hlmz elemein legyen elvégezhető kivonás művelete. Az összedás és szorzás műveletét úgy kell értelmezni z új hlmzon, hogy h műveleteket N-eli elemekre lklmzzuk, kkor ugynzt z eredményt kell kpnunk, mint korán. Érvényesüljön permnenci elve, zz műveletekre minél tö zonosság mrdjon érvényen. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Az n természetes szám ellentettjének nevezzük, és n-nel jelöljük z n + x egyenlet megoldását. Tehát n-et z n +( n) ( n) + n összefüggés értelmezi. A pozitív természetes számok ellentettjei természetes számokkl együtt lkotják z egész számok hlmzát. Az egész számok hlmzánk jele: Z. A permnenci elvének megfelelően z összedás z egész számok hlmzán következőképpen értelmezhető: Tetszőleges n, m N-re, ( n) +( m) (n + m). n m, n + ( m) ( m) + n, ( n m), h n > m h n m h n < m. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 8

19 Rcionális számok Legyen p, q N és q. Keressük qx p egyenlet megoldását z egész számok hlmzán. H megoldás nem egész, kkor p-nek q- vl vló osztását jelöljük p/q-vl, és ezt egy új számnk tekintjük. A p/q lkú számokt, hol q, rcionális (tört)számoknk nevezzük, hol p törtszám számlálój és q törtszám nevezője. A rcionális számok jelölése: Q. Az egész számok olyn törtszámok, melyeknek nevezője. A rcionális számok hlmzán rcionális műveletek összedás, kivonás, szorzás, osztás elvégezhetők. (Ez zt jelenti, hogy e műveletek eredménye nem vezet ki rcionális számok hlmzáól.) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 p Amennyien zt krjuk, hogy lkú számok ugynúgy viselkedjenek, mint z egész számok továá z eddigi műveletek tuljdonsági (sszocitivitás, kommuttivitás, disztriutivitás) érvényen mrdjnk, z összedást és szorzást következőképpen kell definiálni: c d c + + d d c d c d Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 9

20 Bizonyítsuk e, hogy, végtelen szkszos tizedes tört egy rcionális szám tizedes tört lkj!, L L Keressünk áltlános megoldást egy végtelen szkszos tizedes tört rcionális törtszámmá lkításár! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 A rcionális pontok számegyenesen árázolhtók. Beláthtó, hogy számegyenesen ármely két rcionális pont között vn egy két számtól eltérő új rcionális pont. A rcionális pontok számegyenesen egyenletesen sűrűn helyezkednek el. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4

21 Vlós számok Vnnk olyn számok, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként. Ilyen pl.. p Bizonyítsuk e, hogy nem írhtó fel lkn, hol p,q Z. q Biz. p Tfh. z állítás nem igz. Ekkor, hol (p,q). q p Emeljük mindkét oldlt négyzetre:. q Eől dódik, hogy q p, mi lehetetlen, hiszen p és q reltív prímek. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Azokt számokt, melyek nem írhtók fel két egész szám hánydosként, irrcionális számoknk nevezzük. Jele: Q. Az irrcionális számok zok számok, melyek végtelen nem szkszos tizedes tört formáján felírhtók. A rcionális pontok ár mindenütt sűrűn helyezkednek el számegyenesen, mégsem töltik zt teljesen ki. A lukkn helyezkednek z irrcionális számok. A rcionális és z irrcionális pontok teljesen kitöltik számegyenest. A számegyenes pontjink megfeleltethető számok hlmzát vlós számok lkotják. Jele: R. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4

22 Tétel: Az irrcionális számok hlmz rcionális számok komplementer hlmz vlós számok hlmzár vontkozón. Q* R Q. Természetes számok Egész számok Rcionális számok Vlós számok Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 44 Algeri és trnszcendens számok Láttuk zt, hogy számhlmzok között vlós számok hlmz legtág hlmz, mely két diszjunkt hlmzr rcionális és z irrcionális onthtó. Létezik vlós számok hlmzánk másféle felontás részhlmzokr? Kis kitérő következik Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 45

23 Polinomokról áltlán A polinom (tötgú lgeri kifejezés) egy olyn kifejezés, melyen csk számok és változók egész kitevőjű htványink szorzti illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például: p(x,y,z,u) 5x 4 y 6 - xz +y 5 u 7 q(x) x + 6x + 9 A polinomn számokkl szorzott htványszorztokt monomnk (egytgoknk) nevezzük. Pl. p-nél z 5x 4 y 6, xz és z y 5 u 7 tgok). A monomokn lévő számszorzókt polinom együtthtóink hívjuk. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 46 Műveletek polinomokkl Az egyes monomokn változók kitevőinek összege dj meg z dott monom fokát. A polinom fokánk enne lévő monomok fokánk mximumát tekintjük. A fokú monomokt konstns polinomoknk nevezzük. Egyneműnek nevezünk két monomot, h csk együtthtón különöznek. Polinomokt úgy dunk össze, hogy z egynemű egytgok együtthtóit összedjuk: p + ( x, y) 5 x y + xy 6 y q + 6 ( x, y, z) x y 7xy 8yz 6 ( p + q)( x, y, z) 7 x y 5xy + 6 y + 8 yz Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 47

24 A polinomok szorzáskor minden tgot minden tggl eszorzunk és keletkező szorztokn z zonos változók htványit z zonos lpú htványok szorzásánk szályávl számítjuk ki. Pl.: p ( x, y) x + xy q ( x, z) x 7z ( p q)( x, y, z) x x + x ( 7 z ) + xy x + xy ( 7 z ) 5 4 x 7 x z + x y 7 xyz Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 48 Speciális polinomok A polinomok legegyszerű megjelenési formái z egyváltozós polinomok. Például z 8x 7x + 6 egy hrmdfokú, egyváltozós polinom. Az x fokszám szerint csökkenő sorrende írv, z első monom fok, másodiké, hrmdiké. A hrmdfokú tg együtthtój 8, másodfokúé -7, konstns tg 6. Egy polinomot homogén fokszámúnk nevezünk, h enne minden monom fok egyenlő. Pl. inomiális tétel: ( + ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 49 4

25 Egy számot lgeri számnk nevezünk, h létezik olyn rcionális együtthtós polinom, melynek gyöke. H z számhoz ilyen polinom nem tlálhtó, kkor trnszcendens szám. H z számhoz tlálhtó egy n-ed fokú polinom, melynek ő gyöke, de egyetlen lcsony fokú polinomnk már nem gyöke, kkor egy n-ed fokú lgeri szám. Tétel: z elsőfokú lgeri számok rcionális számok. Tétel: Elsőnél mgs fokú lgeri szám nem lehet rcionális szám. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 Az irrcionális lgeri számok megközelíthetők rcionális számok soroztávl. A esetéen ez sorozt: ,,,, Liouville: A L + +L L n q q q q végtelen sor htárértéke minden q > esetén trnszcendens szám. Aπ és z e is trnszcendens szám. (Erről töet gykorlton) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 5

26 Számhlmzok számosság Végtelen hlmzok Természetes számól vgy négyzeteikől vn tö? Az A és B hlmzról kkor mondjuk, hogy egyenlő számosságúk, h vn olyn kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés z elemeik között, mely A minden eleméhez B egy meghtározott elemét rendeli hozzá, és mely B minden elemét hozzárendeli A vlmely eleméhez. 4 9 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés n n Azt z eredményt kptuk, hogy természetes számok és négyzeteik ugynnnyin vnnk, zz N és négyzetszámok hlmz zonos számosságú. Az eredmény meglepő,hiszen zt kptuk, hogy rész ugynnnyi, mint z egész! Végtelen hlmzok esetéen nincs értelme vgy z ugynnyi kifejezéseknek. tö, kevese Végtelennek nevezzük zt hlmzt, melynek vn önmgávl egyenlő számosságú vlódi részhlmz. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 6

27 Megszámlálhtón végtelen hlmzok Megszámlálhtón végtelen vgy megszámlálhtó hlmzoknk nevezzük zokt hlmzokt, melyeknek ugynnnyi elemük vn, mint mennyi természetes szám. H A megszámlálhtó hlmz, kkor elemei kölcsönösen megfeleltethetők természetes számok hlmzánk elemeivel. Könnyű elátni, hogy természetes számok helyett tekinthetjük pozitív természetes számok hlmzát. Miért? A pozitív természetes számoknk vló egyértelmű megfeleltetés zt jelenti, hogy hlmz elemei sorrendezhetők. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 54 H z elemek sorrendezhetők, kkor z A hlmz felírhtó végtelen sorozt formáján:,,, 4,, n, Ennek z következménye, hogy h egy hlmz elemei sorrendezhetők, kkor hlmz elemeinek számosság megegyezik természetes számok számosságávl. Egyszerű példák: A pozitív páros számok és prímszámok hlmz megszámlálhtó. Tétel: Egy megszámlálhtó hlmz ármely végtelen részhlmz szintén megszámlálhtó. Bizonyítás egyszerű. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 55 7

28 Tétel: Megszámlálhtó és véges hlmz egyesítésével nyert hlmz is megszámlálhtó. Biz. H A {,,, 4,, n, } z dott megszámlálhtó hlmz és,,,, k véges hlmz elemei, kkor z új hlmz elrendezése:,,,, k,,,, 4,, n, és hozzárendelés eltolássl ismét megoldhtó. Az összes egész számok hlmz is megszámlálhtó. Ngyság szerint z elemek nem lkotnk soroztot, de sor rendezés más módon elérhető: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 56 Következmény: N és Z zonos számosságúk: N Z. Áltlánosítás-: két megszámlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszámlálhtó. Áltlánosítás-: megszámlálhtón végtelen sok megszámlálhtó hlmz egyesítésével kpott hlmz is megszámlálhtó. A rcionális számok hlmz megszámlálhtó. Figyelem: ez zt jelenti, hogy ugynnnyi rcionális szám vn, mint hány pozitív egész szám! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 57 8

29 Az elői állítás izonyításához először elátjuk, hogy pozitív rcionális számok hlmz megszámlálhtó: Alkossuk meg következő elrendezést: / / / 4/ / / / 4/ / / / 4/ /4 /4 /4 4/4 Járjuk e táláztot átlósn! Hgyjuk ki táláztól z egyszerűsíthető törteket lr tolv sort! A mrdék táláztn minden pozitív rcionális szám egyszer szerepel. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 58 Ugynezt rendezést elvégezhetjük negtív rcionális számokr is, és lklmzzuk két megszámlálhtó hlmz egyesítésére kimondott tételt! H fenti kiinduló táláztn p/q lkú törtek helyére (p,q) lkú rendezett párokt írunk, kkor zt kpjuk, hogy pozitív egész számokól képezhető rendezett párok hlmz is megszámlálhtó. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 59 9

30 Kontinuum számosságú hlmzok Vizsgáljuk meg vlós számok hlmzát, és evezetőként tegyük fel, hogy ezek számok is megszámlálhtón végtelen hlmzt lkotnk. Ekkor (,) intervllum eső vlós számok hlmz mint vlós számok hlmzánk végtelen részhlmz megszámlálhtó. Ezért ee z intervllum eső elemek sorozt rendezhetők. Legyen sorozt tgjink tizedestört kifejtése következő:,...,, 4... hol nk z n-edik vlós szám k-dik tizedes jegyét jelöli Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Most állítsuk elő számot következőképpen:, et úgy válsztjuk, hogy. Ezért. -et úgy válsztjuk, hogy. Ezért. -et úgy válsztjuk, hogy. Ezért. és így tová Olyn számot konstruáltunk tehát, mely nincs megszámlálhtón végtelen sok szám között. Mivel ilyen konstrukcióól végtelen sok készíthető, ezért (,) intervllum vlós számink hlmz nem megszámlálhtón végtelen. Egy olyn hlmzhoz jutottunk, melyen z elemek szám tö, mint megszámlálhtón végtelen számosságú hlmzok elemszám. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

31 A végtelennek ezt másik fokoztát Cntor nyomán kontinuumszámosságnk nevezzük. A vlós számok hlmz tehát nem megszámlálhtó. Ez csk kkor lehet, h z irrcionális számok hlmz sem megszámlálhtó. Cntor: Létezik-e olyn számosság, mely végtelen számosságnál ngyo, de kontinuumszámosságnál kise? P. Cohen (96): A kérdés hlmzelmélet xiómáiól nem cáfolhtó meg, de izonyítni sem lehet. Létezik-e kontinuumszámosságnál ngyo számosság? Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Egy A hlmz összes részhlmzink hlmzát z A htványhlmzánk nevezzük. Jele: P(A). Bizonyíthtó, hogy minden A hlmzr A < P(A). Következmény: Minden számosságnál vn ngyo számosság. A tételnek olyn következményei vnnk, melyek ntinómiához vezetnek. Az ntinómi olyn állítás, melynek z igzság is és tétel tgdás is izonyíthtó Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

32 Az elődás fő témái: Hlmzok: Alpfoglmk, műveletek hlmzokkl, számhlmzok, végtelen hlmzok. Relációk: Alpfoglmk, relációk tuljdonsági (reflexív, szimmetrikus, trnzitív, ekvivlenci reláció, trichotómi, rendezés, jólrendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvények árázolás, műveletek függvényekkel, speciális függvények (pl. rekurzív függvények). Mtemtiki Logik: Alpfoglmk, logiki műveletek, logiki függvények, következtetések és szályik. A lineáris lger lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Komintorik: Alpfoglmk, permutáció és tuljdonsági, kominációk, inomiális együtthtók, vriációk. Gráfelmélet: Alpfoglmk, gráfok árázolás, klsszikus gráfejárások, párosítások, mgyr módszer, fgráfok. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 64 Relációk, függvények A mindennpi életen kpcsoltok vesznek körül ennünket: Szülő gyermek Adós hitelező Eldó vevő st A mtemtik töek között tnulmányozz hlmzok ill. zok elemei közötti kpcsoltokt. Ezeket relációknk nevezzük. Jelölése: R ( reláción vn -vel). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 65

33 Pl. Legyen H {,,, 4, 5}. Az R jelentse: kise -nél. Először árázoljuk relációt egy árávl, melyen pontok jelölik számokt, és nyilk relációt: H reláción vn -vel, kkor -ól irányított nyíl (él) mutt -e: 5 4 Mely számokt jelölik z egyes pontok? Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 66 Pl. Legyen H {,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Az R jelentse: osztój -nek. Az áránkon z előzőhöz hsonlón h reláción vn -vel, kkor -ól irányított nyíl (él) mutt -e. Vegyük figyeleme, hogy ármely N + -r:. (Ezt egy hurok éllel jelöljük.) Mely számokt jelölik z egyes pontok? 9 7 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 67

34 Binér (kételemű) reláció Az A és B hlmzok közötti inér R reláció z z (, ) ( A, B) rendezett párok egy részhlmz. A részhlmznk zon (, ) párok lesznek z elemei, melyekre R teljesül. Áltlánosn foglmzv: reláció két vgy tö hlmz Descrtesféle szorztánk egy részhlmz. Pl. Legyen A {,, 6} és B {,, 4, 5}. Htározzuk meg z + < 7 reláció elemeit, hol A, B. 4 5 (, ) (, ) (, 4) (, 5) (, ) (, ) (, 4) (, 5) 6 (6, ) (6, ) (6, 4) (6, 5) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 68 Egy relációt meghtározhtunk Az lphlmz és vlmely tuljdonság megdásávl A relációhoz trtozó rendezett párok felsorolásávl Gráffl Tálázttl A mtemtik gykrn csk egy hlmz elemei közötti relációkkl fogllkozik. Ilyenkor z A A szorzthlmz részhlmzit kell megdni. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 69 4

35 Binér relációk tuljdonsági H R H hlmzon értelmezett reláció, és z R hlmz minden elemére teljesül, kkor z R reláció reflexív. Példák reflexív relációkr: A pozitív természetes számok hlmzán: osztój -nek. A sík vlmennyi egyenesének hlmzán: párhuzmos -vel. A vlós számok hlmzán: egyenlő -vel. Hogyn néz ki reláció, h zt táláztosn vgy gráffl djuk meg? Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 h h h 4 h h h 5 h h h 4 h 5 h h 5 h h 4 h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 5

36 Egy H hlmzon értelmezett R inér relációt kkor mondunk szimmetrikusnk, h ármely, H-r R és R egyránt fennáll. Példák szimmetrikus relációkr: A pozitív természetes számok hlmzán: egyenlő -vel. A sík vlmennyi háromszögének hlmzán: hsonló -hez. A sík vlmennyi egyenesének hlmzán: merőleges -re. A vlós számok hlmzán: nem egyenlő -vel. Hogyn néz ki reláció, h zt táláztosn vgy gráffl djuk meg? Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 h h h 4 h h h 5 h h h 4 h 5 h h 5 h h 4 h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 6

37 Antiszimmetrikusnk nevezünk egy relációt, h ármely, H-r z R és R relációk közül legfelje z egyik áll fent. H z R reláció jelenlétét kizárjuk, kkor szigorú értelemen ntiszimmetrikus reláció, ellenkező eseten tág értelemen ntiszimmetrikus. Példák szigorún ntiszimmetrikus relációkr: A pozitív természetes számok hlmzán: kise -nél. A vlódi részhlmz B-nek. A természetes számok hlmzán: rákövetkezője -nek. A szigorún ntiszimmetrikus reláció gráfreprezentációj nem trtlmz hurkot. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 74 Egy H hlmzon értelmezett R inér relációt kkor mondunk trnzitívnk, h ármely,,c H-r R és R c-ől következik, hogy R c. Példák trnzitív relációkr: A pozitív természetes számok hlmzán: kise -nél. A pozitív természetes számok hlmzán: osztój -nek. A sík vlmennyi háromszögének hlmzán: hsonló -hez. A sík vlmennyi egyenesének hlmzán: párhuzmos -vel. Az A részhlmz B-nek (A B). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 75 7

38 Ekvivlencirelációk A reflexív, szimmetrikus és trnzitív relációt ekvivlencirelációnk nevezzük. Jelölése: ~. Pl. Legyen H egy cég összes dolgozóink hlmz. Az R jelentse zt, hogy ugynzon z emeleten dolgozik, mint. Világos, hogy ez reláció reflexív, mert R. szimmetrikus, mert h R, kkor R. trnzitív, hiszen R és R c, kkor R c. Továi példák: A pozitív természetes számok hlmzán: egyenlő -vel. A sík vlmennyi egyenesének hlmzán: párhuzmos -vel. A részhlmz B-nek (A B). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 76 Egy nevezetes ekvivlenci reláció kongruenci reláció: Legyen, Z és m N. (mod m) Olvsv: kongruens -vel modulo m. Jelentése: és m-mel osztv ugynzt mrdékot dj. Azok számok, melyek kongruensek egymássl (modulo m), zok egy mrdékosztály trtoznk. Tétel: A mrdékosztályok z egész számok hlmzánk diszjunkt részhlmzit lkotják, h m-et rögzítjük. Bizonyítsuk e (esetleg gykorlton), hogy kongruenci ekvivlencireláció. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 77 8

39 Ekvivlenciosztályok Legyen R T hlmzon értelmezett ekvivlencireláció, és legyen T. Az ekvivlenciosztályánk nevezzük T-nek z -vl ekvivlens elemeinek hlmzát, zz z -vl reláción lévő elemek hlmzát. Jelölése: T(). (T() T). Tétel: Legyen, T, és. H T()-nk és T()-nek vn nem üres metszete, kkor két ekvivlenciosztály megegyezik. Tegyük fel, hogy T() és T() ekvivlenciosztályoknk vn közös eleme. Legyen ez x. Mivel x T() és x T(), ezért x ~ és x ~ egyidejűleg. Így trnzitivitás mitt ~., ezért T(), mi mitt T() T(). Hsonlón megmutthtó, hogy T() T(). Így T() T(). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 78 Következmény: Két különöző ekvivlnciosztály metszete z üres hlmz. Egy ekvivlenciosztályt ármely eleme meghtározz. H T z lphlmz, kkor T* jelöli T hlmzhoz trtozó ekvivlenciosztályok hlmzát. Péld. Legyen T z egész számok hlmz. Az egész számokt írjuk tört lk, és T hlmzon értelmezzük következő relációt:ωrω', holω/ésω' ' / ' és ' ',. 6 Ezért például R. 5 Lássuk e, hogy z így definiált reláció reflexív, szimmetrikus és trnzitív. (Azz ekvivlencireláció.) Htározzuk meg z ekvivlenciosztályok számát! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 79 9

40 Vnnk más relációk is, melyek tuljdonsági mitt kitüntetett figyelmet érdemelnek. A H hlmzt rendezettnek mondjuk, h elemein értelmezve vn egy reláció, mely rendelkezik z lái tuljdonságokkl: hmis (irreflexivitás) h igz, kkor hmis (sszimetri) h igz, és cigz, kkor cigz (trnzitivitás) h, kkor z és közül leglá z egyik igz (trichotómi). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 A természetes számok hlmz, rcionális számok hlmz és vlós számok hlmz rendezett < ( > ) relációr nézve. Egy rendezett hlmzt jólrendezettnek mondunk, h ármely nem üres részhlmzánk vn kezdő eleme, zz olyn eleme, melyet z dott rendezés szerint z dott részhlmz egyetlen eleme sem előz meg. Példák A természetes számok ngyság szerint rendezett hlmz jólrendezett. A rcionális és vlós számok hlmz nem jólrendezett hlmz. Bizonyítsuk e, hogy rcionális számok hlmz nem jólrendezett! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 4

41 Az elődás fő témái: Hlmzok: Alpfoglmk, műveletek hlmzokkl, számhlmzok, végtelen hlmzok. Relációk: Alpfoglmk, relációk tuljdonsági (reflexív, szimmetrikus, trnzitív, ekvivlenci reláció, trichotómi, rendezés, jólrendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvények árázolás, műveletek függvényekkel, speciális függvények (pl. rekurzív függvények). Mtemtiki Logik: Alpfoglmk, logiki műveletek, logiki függvények, következtetések és szályik. A lineáris lger lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Komintorik: Alpfoglmk, permutáció és tuljdonsági, kominációk, inomiális együtthtók, vriációk. Gráfelmélet: Alpfoglmk, gráfok árázolás, klsszikus gráfejárások, párosítások, mgyr módszer, fgráfok. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Függvények H vlmely A hlmz elemeihez dott utsítás szerint egy B hlmz elemeit rendeljük hozzá úgy, hogy A minden elemének megfeleltünk leglá egy B-eli elemet, kkor zt mondjuk, hogy z A hlmzt leképezzük B hlmzr vgy hlmz. H B hlmz összes elemét megfeleltjük A elemeinek, kkor B hlmzr képezünk. H B hlmz egy részhlmzát feleltjük meg A elemeinek, kkor B hlmz képezünk. Az A-t tárgyhlmznk, elemeit tárgyelemeknek nevezzük. Az B-t képhlmznk, elemeit képelemeknek nevezzük. A leképezést hozzárendelési előírás és tárgyhlmz egyértelműen meghtározz. Jelölése:φ: A B, vgy φ(), h A. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 4

42 H minden A-r (;φ()) A B, kkor φrelációt leképezésnek nevezzük. Aφ ésδleképezéseket kkor tekintjük egyenlőnek, h ármely A eseténφ() δ(). A leképezéseket tárgyelemekhez rendelt képelemek szám, ill. képelemekhez rendelt tárgyelemek szám szerint osztályozhtjuk: H minden egyes képelemnek csk egy tárgyeleme vn, kkor leképezés egy-egyértelmű vgy kölcsönösen egyértelmű. A B Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 84 H vlmely képelemnek tö tárgyeleme vn, kkor leképezés tö-egyértelmű. A B Pl. háromszögek területük Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 85 4

43 H tö képelemnek egy tárgyeleme vn, kkor leképezés egytöértelmű. A B Pl. ny gyerekei Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 86 H tö képelemnek tö tárgyeleme is lehet, kkor leképezés tö-töértelmű. A B Pl. tuljdonosok cégek Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 87 4

44 A függvény mint leképezés Legyen dott két hlmz, A és B. Függvénynek nevezünk minden olyn inér (kételemű) relációt, mely z A hlmz minden elemének B hlmz egyetlen elemét felelteti meg. Következmény: Minden függvény reláció, de nem minden reláció függvény: függvény egy A hlmznk egyértelmű leképezése egy B hlmzr. Az A hlmzt függvény értelmezési trtományánk, B hlmzt függvény értékkészletének nevezzük. A függvénykpcsolt jelölése: y f(x). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 88 A fentiek értelméen egy függvény kkor vn pontosn meghtározv, h megdjuk Az értelmezési trtományt (z A hlmzt) z értékkészletet ( B hlmzt) A hozzárendelést, zz zt leképezést, mely minden x A elemet társít egy y B elemmel. H B minden eleme képe z A hlmz egy elemének, kkor z f függvényt szürjektívnek nevezzük. H z A hlmz két különöző elemének mindig különözők B- eli képei, kkor leképezés injektív. H egy függvény egyszerre szürjektív és injektív (zz kölcsönösen egyértelmű), kkor ijektív. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 89 44

45 A függvények árázolás, megdás A függvények, mint speciális inér relációk megdását négy módon végezhetjük: utsítás tálázt Descrtes digrm Venn digrm Függvények árázolás utsítássl Például: f: R R, f(x) x. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 Függvények megdás tálázttl hol i A és i B, i,,,5. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 45

46 Függvények megdás Descrtes digrmml Vegyük észre, hogy digrm elkészítését egy y (x-) függvénykpcsolt lpján végeztük el. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 Függvények megdás Venn digrmml A B A két hlmzt zárt síkidomn elhelyezett pontok árázolják. Minden pontot nyíl köt össze képével. A kiinduló hlmz minden pontj egyetlen nyíl kiindulópontj. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 46

47 Az összetett függvény Legyen dott három hlmz, A, B, C, és legyen f z A egy leképezése B-e, és g B leképezése C-e. Feleltesse meg f z A minden elemének B egy és cskis egy y elemét, és feleltesse meg g B ezen y elemének C egy és cskis egy z elemét. Így z A minden x elemének megfelel C egy és cskis egy z eleme. Az így definiált hozzárendelés leképezte z A hlmzt C hlmz: z g(f(x)). Ez z új leképezés z f és g függvényől álló összetett leképezés, két leképezés szorzt. Jelölése: g f. Az f és g leképezések g f szorztán z f és g leképezések egymás utáni végrehjtását értjük een sorrenden. (Az f függvény értékkészletét trtlmzni kell g függvény értelmezési trtományánk!) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 94 Tétel: Két leképezés összetétele nem kommuttív. Péld: Legyen f : R R, f(x) x, g : R R, g(x) cos x. Ekkor g f cos (x ) és f g cos x. Árázoljuk két függvényt! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 95 47

48 Inverz függvény Az f: A B létesítsen z A és B elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést. Ekkor B minden eleme egyetlen A-eli elemnek képe, zz minden y B-hez trtozik egyetlen x A úgy, hogy y f(x). Így B-n értelmezett g függvényt kptunk: g: B A. H y B, kkor g(y) z z egyértelműen meghtározott x A, melyre f(x) y. Ezt függvényt z f függvény inverz függvényének nevezzük. Jelölése: f -. H f - z f függvény inverze, kkor f értelmezési trtomány z f - függvény értékkészlete, és f értékkészlete z f - értelmezési trtomány. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 96 H z (x, f(x)) z f grfikonjánk egy pontj, kkor z (f(x), x) z f - függvény grfikonjánk egy pontj, zz két függvény grfikonji egymásnk tükörképei, hol tükrözés tengelye z y x egyenes. f : R R, f(x) x, f - (x) log x, f(x) x f - (x) log x Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 97 48

49 Rekurzív soroztok Oldjuk meg következő feldtot: Hány nyúl szármzik egyetlen pár nyúltól, h tudjuk, hogy minden pár hvont új párnk d életet, és z újszülött nyulk két hónpos koruktól lesznek szülőképesek? hónp nyúlpár Fioncci sorozt: n n- + n- n n n 5 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 98 A Fioncci-sorozt néhány tuljdonság: A sorozt n. eleme -gyel ngyo, mint z első n- elem összege. n kkor oszthtó -vel, h h n k lkú. 4 oszój n -nek, h n 6k lkú. Nyitott prolém: A Fioncci-soroztn véges sok, vgy végtelen sok prímszám vn-e? Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 99 49

50 Az elődás fő témái: Hlmzok: Alpfoglmk, műveletek hlmzokkl, számhlmzok, végtelen hlmzok. Relációk: Alpfoglmk, relációk tuljdonsági (reflexív, szimmetrikus, trnzitív, ekvivlenci reláció, trichotómi, rendezés, jólrendezés). Függvények: Alpfoglmk, függvények árázolás, műveletek függvényekkel, speciális függvények (pl. rekurzív függvények). Mtemtiki Logik: Alpfoglmk, logiki műveletek, logiki függvények, következtetések és szályik. A lineáris lger lpji: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldási. Komintorik: Alpfoglmk, permutáció és tuljdonsági, kominációk, inomiális együtthtók, vriációk. Gráfelmélet: Alpfoglmk, gráfok árázolás, klsszikus gráfejárások, párosítások, mgyr módszer, fgráfok. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Az ítélet mint függvény Az táncolt -vel reláció egy lphlmzon értelmezett tuljdonság. H z (,) párr tuljdonság fennáll zz z állítás igz kkor pár relációhoz trtozik. Az így előállított függvény értelmezési trtomány z összes lehetséges párok hlmz, z A B hlmz. A szorzthlmz minden eleméhez egy igz vgy egy hmis érték trtozik. Ezért kpott függvény minden elempárhoz egy logiki értéket rendel. Az így kpott függvényt kijelentésfüggvénynek (predikátumfüggvénynek) nevezzük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

51 A mtemtiki logik lpji A logik gondolkodás tárgyát képező konkrét prolémáktól, trtlmi információktól elvontkoztt, és gondolkodási folymt elemeinek, megállpításink közös, következtetés szempontjáól lényeges trtlmát hsználj fel. Ez közös trtlom, vgy közös jellemző z állítások igzságértéke, mi ltt klsszikus kétértékű logikán zt tényt érjük, hogy egy állítás igz vgy nem igz (hmis). A logikánk zt z ágát, mely fenti módon közelíti gondolkodás kérdéseit klsszikus kétértékű logikánk nevezzük.(ez zt jelenti, hogy klsszikus kétértékű logik számár z állítások két lehetséges igzságértéke z lp. Ez z igzságérték izonytlnságot nem trtlmz, két igzságérték kizárj egymást. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Egy megállpítást logik szempontjáól kkor tekintünk állításnk, h eldönthető ról, hogy igz vgy hmis. Töértékű logikák létezése: fuzzy logik. A mtemtiki logikát elsősorn mtemtiki kuttásokn lklmzzák, de mindennpi élet és kuttások minden olyn területén hsználhtó, hol z igzságérték mint sztrkció elfogdhtó. Így számítástudomány és mesterséges intelligenci is lklmzz mtemtiki logikát. A mtemtiki logik kiemelkedő lkji: Gottfried Wilhelm Leinitz (646 76) George Boole (85 864) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

52 Állításon vgy kijelentésen olyn kijelentő mondtot értünk, mely egyértelműen igz vgy hmis. Egy állítás egyidejűleg nem lehet igz is és hmis is (ellentmondástlnság elve). Egy állítás nem lehet sem nem igz sem nem hmis (kizárt hrmdik elve). Vnnk olyn kijelentések, melyekkel logik nem fogllkozik: x < 5, mert dott x nélkül z állításnk nincs meghtározott igzságértéke. z út holnp csúszós lesz, mert z dott pillntn nem dönthető el z állítás. z zért, mert típusú állítások. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Műveletek állításokkl, logiki értékekkel Logiki műveleten olyn eljárást értünk, mely egy vgy tö kijelentésől (ezek művelet tgji) olyn kijelentést képez (ez művelet eredménye), melynek igz vgy hmis voltát tgok igz, ill. hmis volt egyértelműen meghtározz. A műveleteket egy-, két-, három-, n-változósnk nevezzük szerint, hogy egy-, két-, három-, n kijelentésől képeznek új kijelentést. Az állítások köréen is elegendő logiki értékek közötti műveleteket tisztázni. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 5

53 Negáció Egy p kijelentés negációján (tgdásán) nem igz, hogy p kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A számítógép nem síkidom. Ez egy egyváltozós ítélet, mely egy állítás (ti. A számítógép síkidom ) tgdásáól áll. (Nem vizsgáljuk z eredeti állítás igzságtrtlmát.) A negáció műveletének igzságtáláj: p p i h h i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Konjunkció Két kijelentés, p és q konjunkcióján (összekpcsolásán) p és q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. A osztój -nek és 4 osztój 6-nk. Ez z állítás igz, mert z előtgj és z utótgj is igz. A konjunkció kkor és csk kkor igz, h mindkét tgj igz. Jelölése: p q. A konjunkció műveletének igzságtáláj: p q p q i i i i h h h i h h h h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 5

54 Diszjunkció Két kijelentés, p és q diszjunkcióján (szétválsztásán) p vgy q kijelentést (vgy ennek egy nyelvtnilg átfoglmzott lkját) értjük. (Megengedő értelmű összekpcsolás.) Tejet vgy kkót reggelizünk. Ez z állítás kkor igz, h leglá z egyik tgj igz. Jelölése: p q. A diszjunkció műveletének igzságtáláj: p q p q i i i i h i h i i h h h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Az ítéletklkulusn logiki értékeket, logiki változókt és rjtuk végzett műveleteket leíró jelsoroztokt z ítéletklkulus formuláink nevezzük. Két formulát zonosnk nevezünk, h két formul enne szereplő változók minden lehetséges értékére ugynzt logiki értéket állítj elő. Péld: A (A B ) A A izonyítás ól áll, hogy kimuttjuk z A ( A B ) állítás kkor és csk kkor igz, mikor z Aállítás. Elegendő zt eizonyítni, hogy z állítások változók logiki értékeire megegyeznek. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 54

55 Tehát zt kell igzolnunk, hogy p, q tetszőleges állítások esetén fönnáll-e p p (p q ) egyenlőség. Készítsük el z igzságtáláztot: p q r p q p r i i i i i h h i h i h h h h h h Mivel táláztunk első és utolsó oszlop megegyezik, ezért z állításunk igz. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Tétel: Bármely logiki művelet kifejezhető negáció és konjunkció műveletével. Nem izonyítjuk, de megmuttjuk z előállításokt: p q ( p q ) p q p q p q ( p q) i i h h i i i h h i i i h i i h i i h h i i h h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 55

56 A logiki műveletek tuljdonsági Logiki vgy : kommuttív: p q q p sszocitív: (p q) r p (q r) disztriutív: p (q r) (p q) (p r) idempotens: p p p Logiki és : kommuttív: p q q p sszocitív: (p q) r p (q r) disztriutív: p (q r) (p q) (p r) idempotens: p p p Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Továi logiki műveletek A p kkor q lkú kifejezéseket implikációnk nevezzük. (Itt p z előtg és q z utótg.) H részvények ár csökken, kkor nem dom el őket. (Amennyien részvények ár nem csökken, kkor igznk tekintjük z állítást kár eldtm részvényeket, kár nem, mert erre vontkozón nem mondtunk előre semmit.) Jelölése: p q. Az implikáció műveletének igzságtáláj: p q p q i i i i h h h i i h h i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 56

57 Tétel: Az implikáció nem kommuttív és nem sszocitív művelet. Az implikáció kifejezése diszjunkcióvl és negációvl: p p q p q i h i i i h h h h i i i h i h i p q p q i i i i h h h i i h h i Ezért: p q p q. Amennyien figyeleme vesszük z implikáció kifejezhetőségét negációvl és konjunkcióvl, zt kpjuk, hogy: p q (p q). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 A h p kkor q, és h q kkor p lkú kifejezéseket ekvivlenciánk nevezzük. Egy négyszög kkor és csk kkor húrnégyszög, h szemközti szögeinek összege 8. (Figyeljük meg, hogy itt két állítást tettünk egyszerre.) Jelölése: p q. A definíció szerint p q(p q) ( q p) Az ekvivlenci műveletének igzságtáláj: p q p q p q(p q) ( q p) p q( p q) ( q p) p q (p q) ( p q) i i i i h h h i h h h i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 57

58 A nem igz, hogy h p kkor q, és h q kkor p lkú kifejezéseket ntivlenciánk nevezzük. A művelet kizáró vgy ismert (XOR). Az ntivlenci kkor és csk kkor igz, h két állítás logiki értéke különöző. Jelölése: p q. A művelet z igzságtáláztól kizárj zokt z eseteket, melyeken mindkét állítás igz, tehát formálisn z ekvivlenci tgdását jelenti. p q (p q) Az ntivlenci műveletének igzságtáláj: p q p q p q q p p q (p q) p q (p q) ( p q) p q ( p q) (p q) i i h i h i h i i h h h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 A sem p sem q lkú összetett kifejezéseket sem-sem (We-féle) műveletnek nevezzük. A művelet diszjunkció tgdás (NOR). Jelölése: p q. Érvényes következő zonosság: p q (p q ) A We-féle művelet igzságtáláj: p q p q p qq p i i h i h h h i h h h i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 58

59 A nem p vgy nem q lkú kifejezéseket Sheffer-féle műveletnek nevezzük. Vgy iszik z emer vgy vezet. A művelet konjunkció tgdás (NAND). Een z eseten két kijelentés közül legfelje z egyik igz. Jelölése: p q. Érvényes következő két zonosság: p q (p q ) p q p q Az Sheffer-féle művelet igzságtáláj: p q p q i i h i h i h i i h h i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 A logiki függvény foglm Az eddigieken kétváltozós műveleteket vizsgáltunk, melyek tekinthetők kétváltozós függvényeknek is. Een z eseten z értelmezési trtomány z {i, h} hlmz és z értékkészlet is z {i, h} hlmzól vló. Legyen i és n. Az ilyen típusú függvényeket igzságfüggvénynek vgy Boolefüggvénynek nevezzük. A kétváltozós Boole-függvények mintájár definiálhtó z n- változós Boole-függvény is: ekkor mind z értelmezési trtomány, mind z értékkészlet egy olyn szám n-es, melynek elemei {, } hlmzól szármznk. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 59

60 Hány dr n-változós Boole-függvény vn? Az értéktáláztnk n oszlop vn, és minden helyre vgy -t vgy -et írunk. Ezért összesen n sorunk lesz. Minden sorn kétféle módon válszthtjuk meg függvényértéket, ti. vgy -t vgy -t. Így Boole függvények szám: n. n n n ,84 9 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés p q f f q q mindig f f p q diszjunkció f f p q p q implikáció f 4 f 4 q q f 5 f 5 q p q p implikáció f 6 f 6 p p f 7 f 7 p q(p q) ( q p) ekvivllenci f 8 f 8 p q konjunkció f 9 f 9 q q soh f f p q (p q ) sem-sem f f (p q) p q implikáció tgdás f f q negáció f f (q p) q p implikáció tgdás f 4 f 4 p negáció f 5 f 5 p q ntivlenci f 6 f 6 p q (p q ) Sheffer művelet Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

61 Normálformák és függvényrendszerek A kétváltozós függvényeknél láttuk, hogy mindegyik felírhtó negáció, konjunkció vlmint diszjunkció műveleteinek segítségével. Megmutthtó ez érvényes z n-változós Boole-függvényekre is oly módon, hogy felírhtó egy olyn formul, mely z dott n változóól épül fel, és műveletként, és logiki műveleteket hsználjuk. Az így felírt formul értéke pontosn kkor lesz igz, mikor z átlkítndó függvény értéke is igz. A fenti állítást nem izonyítjuk, hnem egy példát muttunk konstrukciór. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés x x x g(x,x,x ) g(x,x,x ) (x x x ) ( x x x ) ( x x x ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

62 Eljárás-: olyn formulát állítottunk elő, mivel z értéktálázttl megdott igzságfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formul jellemzői: formul konjunkciók diszjunkciój, minden konjunkciós tg vgy egy változó vgy nnk negáltj, minden diszjunkciós tgn minden változó szerepel, ugynz változó egy konjunkción csk egyszer szerepel, nincs két olyn diszjunkciós tg, melyek csk változók sorrendjéen különöznek. A fenti tuljdonságú formulát teljes diszjunktív normálformánk nevezzük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 x x x h(x,x,x ) h(x,x,x ) ( x x x ) (x x x ) (x x x ) (x x x ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 6

63 Eljárás-: olyn formulát állítottunk elő, mivel z értéktálázttl megdott igzságfüggvényt ki tudjuk fejezni. A formul jellemzői: formul diszjunkciók konjunkciój, minden diszjunkciós tg vgy egy változó vgy nnk negáltj, minden konjunkciós tgn minden változó szerepel, ugynz változó egy diszjunkción csk egyszer szerepel, nincs két olyn konjunkciós tg, melyek csk változók sorrendjéen különöznek. A fenti tuljdonságú formulát teljes konjunktív normálformánk nevezzük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 A fenti két előállítás következménye, hogy három művelet (,, ) teljes függvényrendszert lkot, zz ármely igzságfüggvény előállíthtó ezek segítségével. Tétel: A negáció és konjunkció (, ) önmgukn is teljes függvényrendszert lkotnk. Biz. A tétel állítás zonnl következik ól, hogy diszjunkció kifejezhető fenti két művelet segítségével: p q ( p q ) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 6

64 Logiki ármkörök Gykrn előfordul, hogy dott elemekől kell összeállítni ármkört oly módon, hogy z előre meghtározott gykorlti célt elégítsen ki. A legegyszerű eseteken z ármkört ármforrásól, kpcsolókól és fogysztókól kell felépíteni. Soros kpcsolás esetéen nnk feltétele, hogy z ármkören árm folyjék z, hogy mindkét kpcsoló e legyen kpcsolv: x x Legyen x i értéke igz, h z x i kpcsoló ekpcsolt állpotn vn. Annk logiki feltétele, hogy lámp égjen: x x. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 Párhuzmos kpcsolás esetéen nnk feltétele, hogy z ármkören árm folyjék z, hogy leglá z egyik kpcsoló e legyen kpcsolv: x x Legyen x i értéke igz, h z x i kpcsoló ekpcsolt állpotn vn. Annk logiki feltétele, hogy lámp égjen: x x. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 64

65 Az utomták A kiernetikán (informtikán) különféle információ átlkító eszközöket utomtáknk nevezzük. Egy utomtánk véges sok emenete vn, ezek kívülről kpják z információt. Az utomt működése úgy jellemezhető, hogy megdjuk kimeneteken megjelenő dtot emenő dtok függvényéen, zz megdjuk k dr kimeneti információt leíró n-változós függvényeket (hol k kimenetek szám, n pedig emenetek számánk felel meg). Az is nyilvánvló, hogy mind emenetek mind kimenetek igzságfüggvények (z értékkészlete {, } hlmzól kerül ki. Az utomták ennél onyolultk, de nekünk most ennyi elég. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Egyszerű véges utomtáknk nevezzük zokt z elektronikus ármköri egységeket, melyek z egyes logiki ármköröknek felelnek meg. Mivel minden logiki művelet előállíthtó konjunkció, diszjunkció és negáció segítségével (ezek teljes függvényrendszert lkotnk), ezért ezek leggykrn lklmzott ármkörök. Jellemzőik: A konjunkciónk megfelelő ÉS kpunk két (esetleg tö) emenete és egy kimenete vn. A kimeneten kkor és csk kkor vn impulzus ezt jelöljük -gyel h mindegyik emeneten vn impulzus. Jelölése: ÉS Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 65

66 A diszjunkciónk megfelelő VAGY kpunk két (esetleg tö) emenete és egy kimenete vn. A kimeneten kkor és csk kkor vn impulzus ezt jelöljük -gyel h leglá emeneten vn impulzus. Jelölése: VAGY A negációnk megfelelő NEM (INVERTER) kpunk egy emenete és egy kimenete vn. A kimeneten kkor és csk kkor vn impulzus ezt jelöljük -gyel h emeneten nincs impulzus. Jelölése: NEM Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés A digitális készülékek építőelemeinek legjelentőse csoportját z un. logiki ármkörök lkotják. A logiki ármkörök ármely teljes logiki függvényrendszernek megfelelő ármkörökől így z ÉS, VAGY és NEM ármkörökől felépíthetők. Péld A logiki kizáró vgy (XOR) normál formáj: x x ( x x ) (x x ) x NEM ÉS VAGY NEM ÉS x Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 66

67 A lineáris lger lpji Oldjunk meg egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert! Induljunk ki z elsőfokú kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer áltlános lkjáól: x + y c Az un. egyenlő együtthtók módszerét fogjuk lklmzni: olyn konstnsokkl szorozzuk két egyenletet, hogy z egyenletek összedás után csk z x (ill. z y) mrdjon ismeretlenként z egyenleten. Az így kpott egyismeretlenes elsőfokú egyenletet már egyszerűen megoldhtjuk. x + y c Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Szorozzuk meg z első egyenletet -vel, másodikt (- )-gyel, mjd djuk össze z egyenleteket. Azt kpjuk, hogy: ( x c c Eől kpjuk: c c x (Ennek kifejezésnek kkor vn csk értelme, h. ) Hsonlón kpjuk, hogy ) c c c c y, h Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 67

68 68 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Figyeljük meg kpott megoldások szerkezetét! Mind számlálón, mind nevezően négy-négy számól zonos módon képeztünk egy új számot. Vezessük e erre műveleti utsításr következő jelölést: Ezt z új ojektumot z,,, számokól képzett másodrendű determinánsnk nevezzük. Azt mondjuk, hogy z, elemek főátló mentén, míg z, elemek mellékátló mentén fekszenek. Egy másodrendű determináns értékét úgy számoljuk ki, hogy főátlóeli elemek szorztáól kivonjuk mellékátló mentén fekvő számok szorztát.. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 A másodrendű determináns segítségével z egyenletek megoldási következő lkn írhtók fel: hol Itt D-t z egyenletrendszer determinánsánk nevezzük. A D x (ill. D y ) determinánst D-ől úgy kpjuk, hogy z x (ill. z y) együtthtóink helyée eírtuk z egyenletrendszer jo oldlán álló számokt.,, D D c c y D D c c x y x,, D c c D c c D y x

69 Péld: x + y 7 x + y 5 Most rendszer determináns: D. és 7 7 D x 8, Dy. 5 5 Ezért: D 8 D x y x 4, y. D D Helyettesítéssel ellenőrizzük z eredmény helyességét! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 A másodrendű determináns tuljdonsági Tétel: A determináns értéke előjelet vált, h két sorát (vgy két oszlopát) megcseréljük. Biz. ( ), ( ). Következmény-: A determináns értéke nem változik, h z elemeket főátlór tükrözzük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 69

70 Következmény-: Minden olyn tétel, mely érvényes egy másodrendű determináns sorir kimondv, érvényes mrd kkor is, h zt determináns oszlopir mondjuk ki. Tétel: H egy determinánst egy soránk minden elemét megszorozzuk egy k konstnssl, kkor determináns értéke k-szorosár nő. Biz. k k( ) k k k k. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Tétel: H másodrendű determináns két sor elemről-elemre megegyezik, kkor determináns értéke null. Biz. ( ). Következmény-: H másodrendű determináns egyik sor másik soránk töszöröse, kkor determináns értéke null. Biz. k k k. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 7

71 7 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 44 Tétel: H másodrendű determinánsn vlmelyik sor (vgy oszlop) felonthtó két elem összegére, kkor determináns felírhtó két determináns összegeként. Biz ) ( ) ( c c c c + ) ( ) ( c c. c c + Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 45 Tétel: Egy determináns értéke nem változik, h egy soránk konstns-szorosát hozzádjuk másik sorhoz. Biz k k k k k +.

72 Hrmdrendű determinánson következő -s elrendezést értjük: melynek értékét következő képlettel számítjuk ki: + +. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 47 Egy hrmdrendű determináns főátlóján z és z elemeket összekötő egyenes szkszt értjük: A determináns mellékátlój z és z elemeket összekötő egyenes szksz. A determináns értékét Srrus szállyl htározhtjuk meg: + + Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 48 7

73 Kifejtési Tétel: A hrmdrendű determináns értéke kiszámíthtó másodrendű determinánsok súlyozott összegeként. Biz. + + ( ) + ( ) + ( ) + Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 49 Egy hrmdrendű determináns ij eleméhez trtozó ldeterminánson zt másodrendű determinánst értjük, melyet úgy kpunk, hogy elhgyjuk determináns i. sorát és j. oszlopát. Az ij elemhez trtozó Jelölése: A Megjegyzés: Kifejtési Tételen z ldetermináns előjele +, h z indexek összege páros, és ( ), h z indexek összege pártln. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 7

74 Az elsőfokú három ismeretlenes egyenletrendszer Tekintsük következő egyenletrendszert! x + x + x x + x + x x Jelőljük z egyenletrendszer determinánsát D-vel, és jelölje D i zt hrmdrendű determinánst, melyet D-ől úgy kpunk, hogy D i- dik oszlopát z egyenletrendszer jooldlán álló értékekkel helyettesítjük. Pl. D + + x x Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 Tétel(Crmer szály): H z egyenletrendszer determináns nem, kkor z egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyn törttel egyenlő, melynek nevezője rendszer determináns, számlálój pedig D i : Di xi, i,,. D Megjegyzés: A tétel állítás igz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén is. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 74

75 Oldjuk meg következő egyenletrendszert: x x + x x + 8x 6x 6x + x + x Az egyenletrendszer determináns: 5 4 D Számoljuk most ki D i determinánsok értékeit: D D D Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 54 Ezért z egyenletrendszer megoldás: x x D D x D D D D Az értékek visszhelyettesítésével ellenőrizzük megoldás helyességét! Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 55 75

76 A determináns foglmánk áltlánosítás n-ed rendű determinánsnk nevezzük zt z n elemől álló, n sor és n oszlop rendezett táláztot, melynek értékét következőképpen számítjuk ki: M n M n K K O K hol A ij z ij elemhez trtozó (n-)-ed rendű ldetermináns. n n M nn Megjegyzés: fenti kifejtést z ldeterminánsokon ddig folyttjuk, míg másodrendű ldeterminánsokhoz nem jutunk. (Rekurzív definíció) Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 56 n j ( ) i+ j ij A ij Az n-ed rendű determinánsokr érvényes tételek I. A determinánst ármely sor vgy oszlop szerint kifejtve ugynzt z eredményt kpjuk. A determináns értéke nem változik, h elemeit főátlór tükrözzük. (Következmény: sorokr kimondott tételek érvényesek z oszlopokr is.) A determináns értéke előjelet vált, h két sorát megcseréljük. H determináns két sor megegyezik, kkor determináns értéke zérus. H determináns vlmely sor csup zérus elemet trtlmz, kkor determináns értéke zérus. H egy determináns vlmely soránk elemeit egy másik sorhoz trtozó ldeterminánsokkl szorozzuk, kkor kpott szorzt értéke zérus Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 57 76

77 Az n-ed rendű determinánsokr érvényes tételek II. H determináns főátlój felett (ltt) csup zérus elem áll, kkor determináns értékét főátlóeli elemek szorztáól megkphtjuk. H egy determináns egy során minden elem felonthtó két elem összegére, kkor determináns felírhtó két determináns összegeként. H determináns egy soránk minden elemét megszorozzuk egy k konstnssl, kkor determináns értéke k-szorosár növekszik. (Következmény: h determináns egyik sor egy másik sor töszöröse, kkor determináns értéke zérus.) A determináns értéke nem változik, h vlmely sorához egy másik soránk konstnsszorosát hozzádjuk. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 58 Htározzuk meg z lái determináns értékét: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 59 77

78 Htározzuk meg z lái determináns értékét: Htározzuk meg z lái determináns értékét: 5 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Mátrixok Mátrixnk nevezünk n m dr tégllp lkn elrendezet vlós számot. Jelölése A(n,m) vgy A n m, hol n m mátrix típus, n mátrix sorink, m mátrix oszlopink szám. A n m M n M n A mátrixn tlálhtó ij számok mátrix elemei, hol i-t sorindexnek, j-t oszlopindexnek nevezzük. K K O K m m M nm Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 78

79 Két mátrix kkor és csk kkor egyenlő, h zonos típusúk, és z zonos helyen álló elemeik megegyeznek. Azz A ( ij ) n m és B ( ij ) p q esetén A B, h n p és m q, továá ij ij minden i,j párr, hol i n, j m. Speciális mátrixok: négyzetes (kvdrtikus) mátrix: n m. sormátrix: n. oszlopmátrix: m. zérusmátrix: ij, minden i,j párr. egységmátrix: ii és ij, h i j. szimmetrikus mátrix: ij ji ntiszimmetrikus mátrix: ij - ji, h i j, és ii Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Műveletek mátrixokkl Az A ( ij ) n m és B ( ij ) n m mátrixok összegén zt C (c ij ) n m mátrixot értjük, melyre c ij ij + ij. Összedni csk zonos típusú mátrixokt lehet! Péld: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 79

80 8 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 64 Mátrixot egy λ sklárrl úgy szorzunk, hogy mátrix minden elemét szorozzuk konstnssl. H A ( ij ) n m ésλegy vlós szám, kkor C (c ij ) n m λa, h c ij λ ij i n, j m. Péld: 9 6 Legyenek A, A,, A n zonos típusú mátrixok, és legyenek dot-tk k, k, k n konstnsok. Ekkor kifejezést z A, A,, A n mátrixok lineáris kominációjánk nevezzük n i i i n n A k A k A k A k L... Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 65 Az A ( ij ) n m és B ( ij ) p q mátrixokt een sorrenden konformáilisnek nevezünk, h m p. Az A ( ij ) n m és B ( ij ) m l mátrixok szorztán zt C (c ij ) n l mátrixot értjük, melyre m k kj ik nj in j i j i ij c K Péld B A Tétel: A mátrixszorzás nem kommuttív, és nem zérusosztómentes, de sszocitív és z össze-dásr nézve disztriutív.

81 8 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 66 Az A ( ij ) n m mátrix trnszponáltján zt z Az A * ( ji ) * m n mátrixot értjük, melyre ij * ji Péld: 5 4 A 4 5 A Egy négyzetes A mátrix determinánsán mátrix eleemeiől képzett determinánst értjük. Jelölése: A vgy det A. Az A mátrixot regulárisnk nevezzük, h det A. Az A mátrixot szingulárisnk nevezzük, h det A Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 67 Az E n n mátrixot egységmátrixnk nevezzük, h e ii, és e ij, h i j. Egy A ( ij ) n n négyzetes mátrix inverzén zt A - ( ij ) - n n mátrixot értjük, melyre igz, hogy E A A AA Péld: A mátrixszorzás segítségével számítás helyességét! A A

82 Tétel: Legyen A invertálhtó mátrix, z inverzét jelölje B( ij ). Ekkor fennáll, hogy i+ j ( ) det Aji ij. det A hol A ji z A mátrix ji eleméhez trtozó djungált ldetermináns. Péld: Számítsuk ki z A mátrix inverzét, h A det A + + ( ) det A ) det A det A det A ( + ) det A det A ( Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 68 + ) det A det A ( ( + ) det A det A + ) det A det A ( ( + ) det A det A + ) det A det A ( ( + ) det A det A B A Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 69 8

83 8 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 A AB B Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 Lineáris egyenletrendszerek Legyen A mxn egy mátrix,,,, m pedig sklárok. Lineáris egyenletrendszernek nevezzük z lái egyenletrendszert Az n számot z ismeretlenek számánk, míg m-et z egyenletek számánk nevezzük. m n mn m m n n n n x x x x x x x x x K L K K

84 84 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 Bevezetve z ismeretlenekől és jo oldli sklárokól képezett oszlopmátrixokt (oszlopvektorokt), lineáris egyenletrendszert rövidített (mátrix lkn megdott) formán is felírhtjuk: AX B A lineáris egyenletrendszerhez trtozó lpmátrix z A mátrix, míg z un. ővített lpmátrix: x n x x X M m B M m mn m m n n L M M L L Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 H,,, m sklárok mindegyike zéró, kkor homogén lineáris egyenletrendszerről eszélünk, míg ellenkező eseten inhomogén lineáris egyenletrendszerről. A (ξ,ξ,,ξ n ) vektort lineáris egyenletrendszer megoldásánk nevezzük, h teljesül. Triviális megoldás ltt csup zérusól álló megoldást értjük. Az ettől eltérő megoldást nemtriviális megoldásnk nevezzük. m n mn m m n n n n ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ K L K K

85 Tétel: A homogén lineáris egyenletrendszernek mindig vn megoldás, hiszen triviális megoldás egy ilyen rendszernek megoldás. A Crmer szály állítás igz n ismeretlenes egyenletrendszer esetén is. Tétel(Crmer szály): H z egyenletrendszer determináns nem, kkor z egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn. Az i-dik ismeretlen értéke egy olyn törttel egyenlő, melynek nevezője rendszer determináns, számlálój pedig D i : Di xi, i,, K, n. D Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 74 Lineáris egyenletrenszerek numerikus megoldás Guss elimináció x + x + + n x n n+ x + x + + n x n n+ n x + n x + + nn x n nn+ hol in+ i Az eljárás lényege: Olyn egyenletrendszer kilkítás, melynek együtthtó mátrix háromszög lkú. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 75 85

86 Az lgoritmus: () x () + x + + () n x n () n+ () x + () x + + () n x n () n+ () n x + () n x + () + nn x n () nn+. Minden és n- közé eső i-re végezzük el következőket:. Jelöljük s j (i-) -vel z egyenletrendszer j. sorát z i. lépésen. Tegyük fel, hogy ii (i-). Legyen q j (i-) ji (i-) / ii (i-).. Legyen s j (i) s j (i-) q j (i-) s i (i-) minden j>i-re. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 76 A számítások efejezése után következő feldtot kpjuk: () x + () x + + () n x n () n+ () x + + () n x n () n+ (n-) nn x n nn+ (n-) Amiől megoldás: n + ( j ) ( j ) jn jt x t t j +, j n,( n ), K, ( j x j ) jj Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 77 86

87 Htározzuk meg következő egyenletrendszer megoldását! x +x -x 9 x +x +x 4 x -x -x x + x - x x + x 5 - x - x 9-7 x + x x - x + x 6x 9-6 q () / q () / q () -5 A megoldás: + x - 9 ( 6 + ) x x Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 78 Guss elimináció főelem kiválsztássl. Minden és n- közé eső i-re végezzük el következőket:. Legyen ( j ) kj mx j l n ( n ) lj. H k j, kkor cseréljük meg k. sort j. sorrl. 4. Folytssuk z eljárást, Guss-elimináció () és () lépésével. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 87

88 Tétel: H lineáris egyenletrendszer A mátrix nem szinguláris, kkor fenti eljárássl kiválsztott ( ) ( ) ( ) ( n ),,, K, nn elemek egyike sem lehet zérus. Biz.: Mivel z A mátrix nem szinguláris, ezért det(a). A főelemkiválsztásos Guss módszer végén fejtsük ki kiháromszögelt mátrixot főátló eső elemek szerint: det( A) ± ( ) () ( ) ( n ) K nn Attól függően, hogy páros vgy pártln számú sorcserét hjtottunk végre. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Htározzuk meg z előző egyenletrendszer megoldását főelem kiválsztásánk módszerével! x +x -x 9 x +x +x 4 x -x -x x + x x 5 - x - x + x - x 9-9 x + x - x 5 - x - x x + x q () / q () / x + x 5 - x - x - x 4 x q () /5 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 9 x -, x, x 88

89 Guss-Jordn elimináció x + x + + n x n n+ x + x + + n x n n+ n x + n x + + nn x n nn+ hol in+ i Az eljárás lényege: Ekvivlens átlkításokkl olyn egyenletrendszer kilkítás, melynek együtthtó mátrix egységmátrix. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 87 () x () + x + + () n x n () n+ () x + () x + + () n x n () n+ () n x + () n x + () + nn x n () nn+.minden és n- közé eső i-re végezzük el következőt:.legyen s j (i-) z egyenletrendszer j. sor z i. lépésen. Tegyük fel, hogy ii (i-).. Legyen s (i) i s (i-) i / (i-) ii, és s (i) j s (i-) j (i) ij s (i) i minden j i-re. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 88 89

90 () () () x () () x () n x n () n+ () x + () () () () x + + () n x n () n+ () () n x + () () + () + nn x n () n x () nn+ s () s () / (), s j () s j () () s () minden j i-re. j,,n Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 89 Az i. lépésen: x + () + () + n x n () i x + n+ () () n x n () ii x + + n+ () () n x + + nn x n () nn+ s () s () / (), s j () s j () () s () minden j i-re. j,, n Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 9

91 9 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 Htározzuk meg z előző egyenletrendszer megoldását főelem kiválsztásánk módszerével! x +x -x 9 x +x +x 4 x -x -x Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés x - x x Amiől megoldás:

92 Mátrix invertálás Guss-Jordn eliminációvl Az előzőeken leírt módszer egyszerű gykorlti módszert d mátrixok invertálhtóságánk eldöntésére és z inverzmátrix meghtározásár. Megjegyzés. (Mátrix invertálás szimultán Guss eliminációvl.) Legyen dv egy négyzetes mátrix, melyet Guss eliminációvl egységmátrixszá lkítottunk: E k E k K EA I A mátrix tehát invertálhtó és inverze: A E k E k K E E k E k K EI Ez zt jelenti, hogy h z A mátrixot Guss eliminációvl, zz elemi sorátlkításokkl egységmátrixszá lkítjuk, s ugynezeket z elemi sorátlkításokt végrehjtjuk z egységmátrixon, végeredmény A inverze lesz. Tehát z eliminációt egyszerre, szimultán hjtjuk végre két mátrixon, de z elemi sorátlkításokt z A htározz meg, z egységmátrix csk elszenvedi. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 (A módszer végrehjtáskor természetesen nem kell z elemi mátrixokt felírni, zoknk csk izonyításnál vn szerepük.) Gykorltilg leírjuk egymás mellé z invertálndó mátrixot (l oldl) és z egységmátrixot (jo oldl), mjd. Guss eliminációvl lépcsős lkúr hozzuk ezt hosszú mátrixot. H loldli négyzetes mátrix nem trtlmz csup zéróól álló sort (háromszög lkú és főátlón nincs zérus), kkor mátrix invertálhtó, s z eljárást folyttjuk.. Elemi sorátlkításokkl lulról fölfelé hldv elérjük, hogy loldlon egységmátrix legyen. A jo oldlon z inverzmátrix vn. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 94 9

93 9 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 95 Htározzuk meg következő mátrix inverzét! Ellenőrzés: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 97 Legyen V elemeknek egy véges hlmz, és E V elemeiől képezett rendezett párok esetleg üres hlmz. Gráfnk nevezzük V és E áltl meghtározott struktúrát. Jelölése: G(V,E) V(G) A G csúcshlmz E(G) A G élhlmz v v v v 5 v 4 e {v,v 4 } összeköti v és v 4 csúcsokt v és v szomszédos csúcsok, e és e 4 szomszédos élek, e 4 és v 5 illeszkednek. e e e e 4 e 5 Időnként v v jelölést fogjuk hsználni {v,v } helyett. Gráfelmélet lpji

94 V(G) elemeinek számát gráf rendjének nevezzük. Jelölése: n(g). E(G) elemeinek számát gráf méretének nevezzük. Jelölése: m(g). Az n-ed rendű, m méretű gráfot G(n,m) vgy G n,m jelöli. Legyen G gráf csúcshlmz V(G) {v, v,, v n } és élhlmz E(G) {e, e,, e m }. A gráf leírhtó mátrixokkl. A szomszédsági mátrix A(G) [ ij ] nxn hol ij { h v iv j E(G) h v i v j E(G) Az illeszkedési mátrix B(G) [ ij ] nxm hol ij { h v i és e j illeszkedik különen. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 98 e v v e e e 4 A v e 5 v v v v 4 e e e e 4 e 5 v v v v 4 B v 4 v v v v 4 Egy gráf, és hozzá ttozó szomszédsági és illeszkedési mátrixok Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 99 94

95 Csúcsok fokszám Egy G gráf v csúcsánk fokszámán csúcshoz illeszkedő élek számát értjük. Jelölése: deg G v vgy deg v. Jelőlje v csúccsl szomszédos csúcsok hlmzátγ(v). deg G v Γ(v). Egy csúcsot párosnk vgy pártlnnk nevezzük ttól függően, hogy fokszám páros vgy pártln. Egy csúcsot izoláltnk nevezünk, h deg v, és vég-csúcsnk, h deg v. δ(g) min deg G v G gráf minimális fokszám. v G Δ(G) mx deg G v G gráf mximális fokszám. v G Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés v 5 v 6 v 7 v 8 v 5 4 v v v 4 v 9 deg G v deg G v 4 4 deg G v 9 δ(g) deg G v 8 Δ(G) deg G v 6 5 Csúcsfokszámok egy gráfn Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 95

96 Tétel ( Kézfogási Lemm): Tekintsük G(n,m) gráfot, hol V(G) {v, v,, v n }. Ekkor Biz.: n deg G v i m i Az állítás zonnl következik ól tényől, hogy minden él két csúcsr illeszkedik. Következmény: Bármely gráfn pártln csúcsok szám mindig páros. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Azt gráfot, melynek nincsenek élei üres gráfnk nevezzük. A H gráf G gráf részgráfj, h V(H) V(G) és E(H) E(G). Részgráfok és indukált részgráfok Legyen v V(G) és V(G). A H G v gráf v csúcs törlésével áll elő G-ől, h V(H) V(G) {v} és E(H) G zon éleit trtlmzz, melyek nem illeszkednek v-re. H e E(G), kkor H G e (egy él kitörlése) G-nek egy olyn részgráfj, melyre V(H) V(G) és E(H) E(G) {e}. v Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 96

97 v e G G v G e Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 H u és v G nem szomszédos csúcsi, kkor G + f, hol f uv, jelöli zt gráfot, melynek csúcshlmz V(G) és élhlmz E(G) { f }. Ezért G G + f. H G egy H részgráfjánk rendje megegyezik G rendjével, kkor H- t G feszítő részgráfjánk nevezzük. H U V(G) egy részhlmz, kkor U G-nek egy olyn U áltl indukált gráfj, mely csúcshlmz U V(G) és élhlmz minden olyn élet trtlmz G-ől, mely illeszkedik z U két elemére. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 97

98 Speciális gráfok Egy G gráfot r-reguláris gráfnk nevezünk, h deg v r G gráf minden v csúcsár. Egy gráf teljes, h ármely két csúcs szomszédos. H G G(m,n), kkor G (n-)-reguláris, és m n(n-)/. Jelölése: K n. 4-reguláris gráfok. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 A Petersen gráf Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 98

99 Egy G gráf komplemens gráfján zt G gráfot értjük, melyre V( G ) V(G) u,v V(G), uv E( G ) kkor és csk kkor, h uv E(G). Állítás-: H G G(m,n), kkor G egy olyn n-ed rendű gráf, melynek mérete: n m m Állítás- : A K n teljes gráf komplemens gráfj üres. ( K n ) z n-ed rendű Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Egy G gráfot k-részesnek mondunk, k, h V(G) csúcspontjink hlmz úgy prticionálhtó k részhlmzr (V,V,,V k ), hogy E(G) elemei V i és V j -eli csúcsokt kötnek össze, hol i j. H k, kkor gráf kétrészes. Tétel: H G egy r-reguláris kétrészes gráf, r, kkor V V. Egy teljes kétrészes gráfot, hol V r és V s K(r,s)-el vgy K r,s - el jelöljük. (A K,s gráfot csillgnk nevezzük). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 99

100 v v 4 v 5 v 7 v v v 6 v v v 5 v 7 V v v 4 v 6 V Egy kétrészes gráf két különöző (izomorfikus) árázolás Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Műveletek gáfokon Két gráf egyesítésén (unióján) zt G G U G gráfot értjük, melyre V(G) V(G ) U V(G ) és E(G) E(G ) U E(G ). Péld: K U K U K,. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

101 Két gráf összekpcsolásán zt G G +G gráfot értjük, melyre V(G) V(G ) U V(G ) és E(G) E(G ) U E(G ) U{uv u V(G ) és v V(G )}. Péld: G G G +G Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Két gráf direkt szorztán zt G G G gráfot értjük, melyre V(G) V(G ) V(G ) és két csúcs: (u,u ) és (v,v ) kkor és csk kkor szomszédos, h vgy u v és u v E(G ) vgy u v és u v E(G ) Péld: u v w u v w (u,u ) (v,u ) (u,v ) (u,w ) (v,v ) (v,w ) G G G G G Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

102 Gráfok ejárás Legyen u és v G gráf nem szükségképpen különöző két csúcs. Egy W-vel jelölt u v sét G gráfn csúcspontoknk és z éleknek egy olyn W: u u,e,u,e,u,.,u k-,e k,u k v véges, lternáló sorozt, mely z u csúcsponttl kezdődik, v csúccsl végződik, és e i u i- u i mindig egy él, i,,,k. A k számot W sét hosszánk nevezzük. u u 4 u e e e 5 e4 k6 u 6 v e 6 e u u u 5 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Egy u v sétát zártnk vgy nyitottnk nevezünk ttól függően, hogy u v vgy u v. A u-v ösvény z egy olyn u v sét, melyen él nem ismétlődik, és egy u v út z egy olyn u v sét, melyen csúcspont nem ismétlődik. Következmény-: minden út egyen ősvény is. Következmény-: Minden út egyen sét is, de megfordítottj áltlán nem igz. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

103 Péld: v v 4 v v 5 v W : v T : v P : v,v,v,v,v5,v, v4,v,v 5,v,v, v 4,v,v, v 4 egy v -v 4 sét de nem ösvény. egy ösvény de nem út. egy út. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 Tétel: H A G szomszédsági mátrix, és V(G) {v,v,,v n }, kkor z A k htványmátrix (i,j) eleme, k, megdj k hosszúságú v i -v j sétákt G gráfn. Péld: A v v 4 v v A Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 W W W W 4 : : : : A v v v v 4,v,v,v,v,v,v,v,v 4 4,v,v,v,v 4 4

104 Egy nem triviális zárt ösvényt körútnk nevezünk, és zt körutt, melyen n különöző csomópont szerepel, kőrnek nevezzük. Egy ciklikus gráfn nincs kör. Egy kör páros, h hossz páros, egyéként kör pártln. Egy k hosszúságú kört k-körnek nevezünk. A -kör háromszög. Azt z n-ed rendű gráfot, mely út, P n jelöli, és C n egy n csúcspontú kört jelöl. Egy u csúcsról zt mondjuk, hogy összeköthető v csúccsl, gráfn létezik egy u v út. Egy gráf összefüggő, h ármely két csúcs összeköthető. Egyéként gráf nem összefüggő. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Tétel: Egy G gráf csúcshlmzán értelmezett összefüggő reláció egy ekvivlnci reláció. Biz.: Házi feldt Azokt részgráfokt, melyek z ekvivlenci reláció eredményeként létrejött ekvivlenci osztályoknk felelnek meg, G gráf összefüggő komponensének nevezzük. A G gráf komponenseinek számát k(g) jelöli. Egy összefüggő gráfn z u és v csúcsok d(u,v) távolságán két csúcspont között megdhtó uv utk minimális hosszát értjük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 4

105 v v 6 v 7 v 8 v v 4 v 5 v v v 9 v v 6 v v 5 v 9 v 7 szint szint szint v 4 v 8 szint Távolsági szintek v csúcsól kiindulv. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés A feszítő f prolém Egy G gráf feszítő fáján zt feszítő részgráfot értjük, mely f. Tétel: Minden összefüggő gráfnk vn feszítő részgráfj Proof. Konstrukcióvl. Válsszunk egy tetszőleges x V csúcspontot. Legyen V i { y G : d(x,y) i, i,,,m }. H y i V i, i > és x,z,z,,z i-,y i egy x y i út, kkor d(x,z j ) j, < j < i. Az világos, hogy V j Ø, h j < M, és ármely y V i -hez, i M, létezik leglá egy y' V i-, mely szomszédos y-nl. ({y',y} E(G)). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5

106 x V V V V M- V M- V M Következmény-: A G(n,m) feszítőfáj: T(n,n-). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Az optimlizáció-elmélet egyik ismert prolémáj z, hogy hogyn lehet megtlálni egy gráf vlmilyen speciális tuljdonsággl rendelkező feszítő fáját. Legyen dott G(V,E) gráf és egy pozitív értékű f függvény, mely gráf élein vn definiálv: f: E R +. Keressük zt T(V,E ) összefüggő feszítő fát, melyre f ( T ) f ( xy ), minimális. xy E Az ilyen tuljdonságú feszítő részfát gzdságos feszítő fánk nevezzük. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6

107 Egy vlós prolém: Egy dott régión flvkt krunk összekötni vízvezetékkel. Ismerjük, hogy mennyie kerül z egyes flvk közötti vezetékek felépítése. Keressük meg zt hálóztot, mely legkevese költséggel építhető fel! Péld: Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 4 Kruskl Algoritmus (956): Válsszuk ki legolcsó élet G-ől, zz zt z élet, melyre f(e) minimális. A következő élet még ki nem válsztottk közül mindig úgy válsztjuk, hogy z legolcsó legyen. A válsztásnál rr kell ügyelnünk, hogy nem képezhetünk körutt kiválsztott élekől. H ilyen él már nincs, kkor véget ér z lgoritmus f(t )5 4 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 5 7

108 . Algoritmus: Az lgoritmus lényege z, hogy drág élet csk kkor szd válsztni, h iztosítnni krjuk gráf összefüggőségét. Töröljük tehát legdrágá élet gráfól minddig, míg gráf összefüggő mrd. H ilyen él már nincs, kkor véget ér z lgoritmus f(t )5 4 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 6 A legrövide út prolémáj Rendeljünk G gráf minden (u,v ) E(G) éléhez egy w(u,v) függvényt, és nevezzük ezt súlynk. Azt, melynek élei súlyozv vnnk, súlyozott gráfnk nevezzük. Legyen w: E(G) R + egy függvény. Terjesszük ki függvény definícióját egy gráf H Grészgráfjár: w( H ) e E ( H ) w( e). Számos olyn optimlizációs prolém létezik, mely egy súlyozott gráfn keres egy olyn részgráfot, mely vlmilyen tuljdonság szerint minimális (vgy mximális). Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 7 8

109 A legrövide út prolémáj: dott egy súlyozott gráf, (vsút hálózt). Htározzuk meg legrövide utt gráf előre dott két csúcspontj (város) között. Een környezeten z út hosszán út áltl reprezentált részgráf súlyát fogjuk érteni. The Dijkstr lgorithm (959) Tegyük fel, hogy z u és v csúcsok közötti út hosszát krjuk meghtározni: Az lgoritmus egy fokoztosn növekvő S i hlmzt készít, hol i n, és {u } S i V(G). Minden lépésen egy cimkét rendelünk csúcspontokhoz: l:(g) R { } úgy, hogy v Scsúcshoz trtozó l(v) címke v csúcs távolságát dj meg z u csúcstól z S indukált részgráfn. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 8 Előkészítő lépés: i, S { u },, h v u l( v) w( u, v), h u v és ( u, v) E( G) különen Iterációs lépés: H S i V(G) kkor z lgoritmus efejeződik. H S i V(G) kkor W { vi vi Si, l( vi ) min legyen u i+ W egy tetszőleges csúcspontj. l( v )} és H l(u i+ ) vgy u i+ v kkor z lgoritmus megáll. H l (u i+ ) < kkor S i+ S i U {u i+ }, és legyen l( z) min{ l( z), l( ui+ ) + w ( ui+, z) ( ui+, z) E( G), z Si+ } ii+. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés 9 v S i 9

110 Mi Dijkstr's Algoritmus onyolultság? n-en polinomiális: O(n ). Péld: Step l(u ) l(v )l(v )l(v )l(v ) S i v v 7 u 4 7 u v 7 5 u v v u v v ui+ { vi vi Si, l( vi ) min 4 v l( v )} 5 u v v v 5 u v v v v l( z ) min{ l( z ), l(ui + ) + w(ui+,z ) (ui+,z ) E(G ), z Si+ } S i Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Euler gráfok Egy olyn körutt G Euler körnek mondjuk. gráfn, mely trtlmzz G összes élét Egy Euler ösvény trtlmzz z összes élet, de nem zárt. Egy gráf Euler gráf, h enne létezik Euler-kör. Egy G gráfot párosnk (pártlnnk) mondunk, h minden csúcs páros (pártln). Tétel : Egy összefüggő gráfn kkor és csk kkor vn Euler-körút, h gráf minden csúcs páros. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés

111 Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés Definiáljuk következő soroztot: soroztn egy etű zt szárzföldet jelenti, melyhez z út során elérkeztünk, és két egymás utáni elem zt hidt jelenti, melyen át kell kelni útn z egyik területről másikr. H ilyen út létezne, kkor z leírhtó lenne 8 etűvel, melyek mindegyikét z A, B, C és D etűkől válsztjuk Mivel minden hídon pontosn egyszer szd átmenni, ezért z A és B etűk een soroztn kétszer fordulnk úgy elő, hogy ők egymást követik. Ugynez helyzet z A és C etűpárrl is. Mivel öt híd vezet z A áltl jelölt területre, ezért A-nk jó megoldásn háromszor kell megjelenni. (Két pár jelöl egy-egy elépést és kilépést z A területre, egy pedig vgy kilépést vgy elépést A-r.) Hsonló megfontolásól, B, C és D kétszer jelenik meg soroztn. Ezért leglá 9 etűől kell állni soroztnk. Ez pedig lehetetlen. Bevez. mt.- Felsőokttási Szkképzés