1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

Átírás

1 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek elsjátításához. Az elméleti nyg ismertetése után tlálht néhány példát, mi bemuttj gykorlti feldtokon keresztül z nygot. A tnnyg következő témköröket öleli fel: Hlmzelmélet Számfoglmk Logik Mátrixok Gráfelmélet Kombintorik SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM. Alpfoglmk HALMAZELMÉLET A hlmz különböző dolgoknk z összessége, mit meghtároznk z elemei. A következő kifejezéseket lpfoglomnk tekintjük, és ezért külön nem definiáljuk: hlmz, elem, eleme, következő jelöléseket hsználv: A hlmzok jelölése mindig ngybetűvel történik: A, B, C A hlmzok megdásánk módji:. Vegyes hlmzok esetén hlmz elemeinek felsorolásávl pl. : A:={jnuár, február,, december} B:={,,,,5 }. hlmz elemeire jellemző tuljdonság megdásávl pl. : C:={ tnfolym hllgtói} D:={prímszámok} Üres hlmznk nevezzük zt hlmzt, melynek nincs egy eleme sem. Jelölése :

2 A hlmz elemeinek szám jelölésekor hlmzt bszolút érték jelek közé rkjuk : A = Megkülönböztetünk véges és végtelen hlmzokt z elemeik szám lpján: Véges : E:={ x x egész és -5 x 5 } Végtelen : F:={ egy sík pontjink szám } A hlmzokt legtöbbször venn-digrmon ábrázoljuk : sík vlmely trtományávl. A hlmz elemeinek ábrázolásár : trtomány pontji szolgálnk: A B 6 5 Az A hlmzt B hlmz részhlmzánk nevezünk, h z A hlmz minden eleme B hlmznk is eleme. Jelölése : A B, h x A -r x B B A Az A hlmzt B hlmz vlódi részhlmzánk nevezzük, h z A hlmz részhlmz B -nek, és B hlmznk vn leglább egy olyn eleme, mely nem eleme A -nk. Jelölése :A B ( A B és A B) B A

3 . Műveletek hlmzokkl Unióképzés Az A és B hlmz uniójánk más szóvl egyesítésének nevezzük zoknk z elemeknek hlmzát, melynek z A és B hlmzok közül leglább z egyiknek elemei. Jelölése : A B A B A B={ x x A vgy x B } Tuljdonsági : A A=A A B=B A (A B) C=A (B C)=A B C A (B C)=(A B) (A C) A ( B C)=(A B) (A C) idempotenci kommuttív sszocitív disztributívitás Metszet képzés Az A és B hlmz metszetének (közös részének; szorztánk) nevezzük zoknk z elemeknek hlmzát, melyek z A és B hlmzok mindegyikének elemei. Az A és B hlmz diszjunkt, h metszetük üres hlmz. Jelölése : A B A B

4 A B={ x x A és x B } Tuljdonsági : A A=A A B=B A (A B) C=A (B C)=A B C A (B C)=(A B) (A C) A ( B C)=(A B) (A C) idempotenci kommuttív sszocitív disztributivitás Különbségképzés Az A és B hlmzok különbségüknek nevezzük z A hlmz zon elemeinek hlmzát, melyek nem elemei B hlmznk. Jelölése : A \ B A B A \ B={ x x A és x B } Tuljdonsági : A \ A = A \ = A \ A = (A \ B) (B \ A)= (A \ B) B=A B A \ B=A \ (A B)=(A B) \ B Hlmz komplementere (kiegészítő hlmz ) Egy B ( nem üres ) hlmznk legyen egy részhlm A. Az B \ A hlmzt z egy hlmz B lphlmzr vontkozó komplementerének nevezzük. Jelölése : A

5 B A B A A Tuljdonsági : A B = A B A B = A B A A = H A A = A = A Szimmetrikus differenci Két dott hlmz, A és B szimmetrikus differenciájánk nevezzük, zt mikor két hlmz zon elemeit vesszük, mik csk z egyikben szerepelnek. A műveletet így definiáljuk : A B= (A \ B) (B \ A) Jelölése : A B A B Tuljdonsági : AΔB = BΔA (AΔB) ΔC = AΔ(BΔC) AΔA = AΔ = A AΔ(AΔB) = B Összefogllás Mit nevezünk hlmznk? 5

6 Hogyn jelöljük? Hogyn ábrázoljuk? Mi végtelen hlmz? Milyen hlmzműveleteket ismer? SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM LOGIKA A számítástechnikábn, de köznpi életben is sokszor hsználjuk logikát, melynek során bizonyos állítások (premisszák) igzságából következtetünk vlmilyen állítás igzságár. Definíció: Egy következtetést kkor tekintünk logikilg helyesnek, h minden olyn esetben, mikor benne szereplő egyszerű tovább már nem bonthtó kijelentések helyére tetszőleges olyn kijelentéseket teszünk, melyeknél premisszák mind igzk lesznek, konklúzió is mindig igz lesz. Az ítélet foglm: Azok kijelentések, melyek egyértelműen igzk vgy hmisk. Logiki értékek: Az 'igz' és 'hmis' tuljdonságok lehetnek csk.. Műveletek ítéletekkel A logiki műveletek: Az ítélet klkulus műveletei ítéletekből úgymint komponensekből olyn ítéleteket hoznk létre, melyek logiki értékét komponenseik logiki értékei egyértelműen meghtározzák., Negáció: művelete egy ítéletnek tgdás. A negáció művelet eredménye kkor és csk kkor igz ítélet, h művelet komponense hmis. 6

7 Jele : A i h A h i b, Konjunkció: művelete két ítélet z "és" kötőszóvl kpcsol össze. A konjunkció művelet logiki értéke kkor és csk kkor igz, h mindkét komponensének logiki értéke igz jele: A B A B i i i i h h h i h h h h c, Diszjunkció: művelete két ítélet megengedő "vgy" kötőszóvl kpcsol össze. 7

8 A diszjunkció logiki értéke kkor és csk kkor hmis, h mindkét komponense hmis. Jele: A B A B i i i i h i h i i h h h Disztributivitás: (A B) (A C)=A (B C) (A B) (A B=A (B C) Elnyelési szbályok: A (A B)=A A (A B)=A Idempotenci (rövidítési szbály): A logiki lgebrábn nincs -nél ngyobb kitevő és -nél ngyobb együtthtó sem. A A=A A A=A De Morgn zonosságok: 8

9 (A B)= A B ; (A B)= A B Kettős negáció: A=A Impikáció: P és Q ítéletből "h P, kkor Q" lkú ítéletet hoz létre. jele P Q P (előtg); Q (utótg). Rendszerint htároztln logiki értékű ítéletek összekpcsolásár hsználjuk. Implikáció kkor és csk kkor hmis, h z előtg igz és z utótg hmis. Tehát P és Q ítéletek, kkor P Q implikációi áltlábn nem P vgy Q ítéleteket értjük ez kkor és csk kkor hmis, h P igz és Q hmis. H P kkor Q ítélet logiki értéke mindig zonos P Q implikáció logiki értékével. Definíció: Formul: Az ítéletklkulusbn log- értékeket log-i változókt és rjtuk végzett műveleteket leíró jelsoroztokt z ítélet klkulus formuláink nevezzük. Ekvivlenci: A P és Q ítéletre ekvivlenci P kkor és csk kkor, h Q lkú ítéletet hoz létre. Jele: P Q A P Q lkú ítéletek logiki értékét kkor és csk kkor tekintjük igznk, h z egyik komponens igzság esetén másik is igz, z z, h vgy mindkét komponens igz, vgy mindkét komponens hmis. 9

10 Tuljdonságok:. Az implikáció nem kommuttív (Értéktáblázt nem szimmetrikus főátlór) b. Az ekvivlenci kommuttív A B = B A További műveletek: "Vgy" jellemzése:. A B : A és B közül leglább z egyik igz kkor megengedő vgy b. A B : A és B közül pontosn z egyik igz kkor kizáró vgy Kommuttivitás: A B = B A A B = B A A B = B A Asszocitivitás: (A B) C A (B C), mert A = B = i és C = k, kkor bl oldl igz, jobb oldl hmis. (A B) C A (B C), mert A = B = k és C = i, kkor bl oldl hmis, jobb oldl igz. Ítéletklkulus és igzságtáblák Az ítéletklkulus logik zon ág, mely z egyértelműen igz vgy hmis kijelentő mondtokkl, vgyis z ítéletekkel fogllkozik. Ezen ítéletek vizsgáltár igzságtáblákt hsznál. Nézzünk erre egy példát! Vizsgáljuk meg z A B C kifejezést! A B A B C A B C

11 i i i i i i h i i i h i i i i h h h i i i i i h i i i i h i h i i h i h h h h h A táblázt utolsó oszlop dj zt z értéket, mi teljes kifejezésre vontkozik. Láthtjuk, hogy így sokkl áttekinthetőbben és gyorsbbn meg tudjuk állpítni egy kifejezés logiki értékeit. Összefogllás Mivel fogllkozik logik? Milyen lpvető logiki műveleteket ismer? Ismertesse z igzságtáblájukt! Mutss be De-Morgn zonosságokt! Mutsson be egy példát z igzságtáblák hsználtár! SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM SZÁMFOGALMAK Számelmélet

12 A számelmélet mtemtik egyik ág, mely eredetileg természetes számok oszthtósági tuljdonságit vizsgált. Az ilyen vizsgáltok elnevezésére még m is lklmzzák számelmélet eredeti ltinos elnevezését (ritmetik). A számelmélet lptétele: Minden -től különböző pozitív egész szám felbonthtó prímszámok szorztár. Ez felbontás tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Az oszthtóság Hgyományos értelemben kkor mondjuk, hogy z természetes szám oszthtó b természetes számml, röviden b szám osztój z számnk, vgy, h vn olyn egész szám, melyet b-vel szorozv -t kpunk, vgyis, más szóvl, h z szám többszöröse b- nek. Jelölés: b Az oszthtóság tuljdonsági: bármely egész szám esetén. (reflexivitás) bármely egész szám esetén. b bc,,b,c egész szám esetén. b és b c c,,b,c egész szám esetén. Ez trnzitív tuljdonság. b és c b+c,,b,c egész szám esetén. b és c b-c,,b,c egész szám esetén. b és b + c c,,b,c egész szám esetén. b és b d esetén c bd c bc és c -tól különböző esetén b kkor és csk kkor teljesül, h = Oszthtósági szbályok tízes számrendszerben felírt természetes számok körében -vel oszthtó z szám, melynek utolsó számjegye,, 6, 8 vgy, tehát páros -ml oszthtó z szám, melynek számjegyeinek összege -ml oszthtó. -gyel oszthtó z szám, melynek két utolsó jegyéből lkotott szám oszthtó - gyel.

13 5-tel oszthtó z szám, melynek utolsó jegye 5 vgy. 6-tl oszthtó z szám, mely -vel és -ml oszthtó. 7-tel oszthtó z szám, melynek számjegyeit hátulról hármsávl csoportosítv és váltkozó előjellel összedv kpott szám bszolút értéke oszthtó 7-tel. 8-cl oszthtó z szám, melynek utolsó három jegyéből lkotott szám oszthtó nyolccl. 9-cel oszthtó z szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel oszthtó. -zel oszthtó z szám, melynek utolsó jegye. Oszthtóság z egész számok körében Az oszthtóságot kiterjeszthetjük z egész számok hlmzár is. Akkor például 6-nk nem csk z,,, és 6 lesz osztój, hnem -, -, - és -6 is, mert ezekhez is lehet olyn lklms egész számot tlálni, mivel megszorozv őket mind 6-ot dnk. Prímszámok A mtemtik területén prímszámnk, törzsszámnk vgy röviden prímnek nevezzük zokt természetes számokt, melynek pontosn két osztójuk vn ( és önmg). A többi egynél ngyobb természetes számot összetett számnk nevezzük. Mgát z -et egyik ktegóriáb sem soroljuk bele (mivel csk egy osztój vn). Az áltlábn természetes számnk tekintett ugyncsk nem prím és nem is összetett. A prímszámok megkülönböztetését z indokolj, hogy két osztój minden -nél ngyobb természetes számnk vn, z és önmg, de prímszámoknk nincs is több, míg többi -nél ngyobb számoknk vn. Prímfelbontás A számelméletben prímfelbontás más néven prímfktorizáció z folymt, mikor egy összetett számot prím osztóir bontjuk (fktorizáljuk), mik összeszorozv z eredeti egész számot dják. Kiszámítás: Keressük meg z első prímszámot, mi osztój számnk. Osszuk el vele számot, mjd z eredménnyel folytssuk z eljárást, míg -ig nem jutunk. H egymás mellé írjuk z osztókt, megkpjuk szám prímtényezős felbontását. Reltív prímek: Az és b egész számok esetén zt mondjuk, hogy z b-hez reltív prím, vgy egyszerűen és b reltív prím, h z -en kívül nincs más közös osztójuk. Vgy mi ezzel ekvivlens, h és b legngyobb közös osztój. Legngyobb közös osztó Két vgy több egész szám legngyobb közös osztóján értünk egy olyn pozitív egész számot, mely közös osztó és minden közös osztónk többszöröse.

14 Kiszámítás: Prímtényezőkre bontjuk és vesszük közös prímtényezőket legkisebb kitevővel és összeszorozzuk őket. Legkisebb közös többszörös Két vgy több egész szám legkisebb közös többszörösén értünk egy olyn pozitív egész számot, mely közös többszörös és minden közös többszörös osztój. Kiszámítás: Prímtényezőkre bontjuk és vesszük zokt prímtényezőket, melyek szerepelnek vlmelyik számbn. A lehető legngyobb kitevővel és összeszorozzuk őket. Euklideszi lgoritmus Az euklideszi lgoritmus egy számelméleti lgoritmus, mellyel két szám legngyobb közös osztój htározhtó meg. Nevét z ókori görög mtemtikusról, Eukleidészről kpt. H = b * q + r, kkor (, b ) = ( b, r ), Így problémát visszvezeti két kisebb szám legngyobb közös osztójánk meghtározásár. Folyttv z eljárást, z utolsó, -tól különböző mrdék legngyobb közös osztó. Például, htározzuk meg 6 és legngyobb közös osztóját!( 6, ) =? Az euklidészi lgoritmus szerint: 6=*+ =*+ 8 = 8*+ 6 8= 6*+ 6=*+ Tehát ( 6, ) =. Összefogllás: Ismertesse számelmélet lptételét! Ismertesse z oszthtóság foglmát! Milyen oszthtósági szbályokt ismer? Milyen számokt nevezünk prímnek? Ismertesse legngyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös foglmát és kiszámítási módszereit!

15 Ismertesse z Euklideszi lgoritmust! SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM MÁTRIXOK A mátrix foglm, speciális mátrixok Definíció:: Legyen m, n természetes szám. n m-es mátrixnk nevezzük bármilyen nxm számú ik mennyiség (i =,,..., n; k =,,...,m) lábbi, szögletes zárójelbe tett tégllp lkú elrendezését:. n. n m m. nm A mátrix nxm típusú, mert n sorból és m oszlopól áll. Az ik mennyiségek mátrix elemei, hol z ik egy index, mi sor és oszlopszámot dj meg. A mátrixok elemei áltlábn vlós számok. H egy nxm mátrix sorit és oszlopit felcseréljük egymássl, kkor mátrix trnszponáltját kpjuk meg. Az A mátrix trnszponáltját A* jelöli. Az 78 6 mátrix trnszponáltj: 78 6 Az egy sorból álló mátrixot sormátrixnk, z egy oszlopból álló mátrixot pedig oszlopmátrixnk nevezzük. Sormátrix: [ 5] Oszlopmátrix: 65 Egy olyn mátrixot, minek minden eleme, zérusmátrixnk nevezünk. Zérusmátrix 5

16 H egy mátrixnk n sor és n oszlop vn, kkor n-ed rendű négyzetes mátrixnk nevezzük. -d rendű négyzetes mátrix: 5 66 Azt z nxn mátrixot, melynek főátlóbn levő minden eleme, de zon kívül minden eleme, n-ed rendű egységmátrixnk nevezzük. -d rendű egységmátrix: Két mátrix egyenlő, h zonos típusúk és minden elemük megegyezik = 6 78 Műveletek mátrixokkl Összedás: Két zonos típusú mátrixot úgy dunk össze, hogy z A mátrix megfelelő elemét hozzádjuk B mátrix ugyn olyn indexű eleméhez. Minden elemre elvégezve kpunk egy C mátrixot, mi ugyn olyn típusú, mint z A és B mátrix = A kivonást z előbbiekhez hsonlón végezzük el = Mátrix szorzás egy számml úgy történik, hogy mátrix minden elemét megszorozzuk z dott számml *=

17 Mátrixok szorzás mátrixszl kicsit bonyolultbb művelet. Összeszorozni csk zokt mátrixokt lehet hol szorzndó mátrixnk nnyi oszlop vn hány sor szorzónk. Az lábbi péld muttj számítás menetét: (* + * + *) (* + * + *) 7 * = = (* + * + *) (* + * + *) 8 8 Determináns számítás: A determináns kiszámításár igen sok problém megoldásánál lehet szükségünk. Determinánson egy négyzetes mátrixhoz rendelt számot értünk. A jelölése szögletes zárójel helyet két függőleges vonl. H egy A n n-es négyzetes mátrix elemei z ik számok, kkor z (n-ed rendű) determináns következő módszerrel: -es: Mg szám: = -es: b A= esetén det A= c d c b d =d-bc Például: 5 = * - 5* = -7 -s: A Srrus szbály szerint: A= = Péld: 7

18 7 8 5 =**6+**8+*7*5-8**-5**-6*7*= =-59 6 Ennél ngyobb mátrixokr kifejtés tételt és srus szbályt összevonv szoktuk lklmzni. Összefogllás: Mit nevezünk mátrixnk? Milyen különleges mátrixokt ismer? Milyen műveletek végezhetők rjtuk? Ismertesse Determináns foglmát és kiszámításánk módját! SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM GRÁRELMÉLET Egy olyn ábrát, mely pontokból és ezek közül némelyeket összekötő vonlkból áll, ezt vonl lkjár vló tekintet nélkül gráfnk nevezzük. A pontok gráf pontji vgy csúcsi, csúcsokt összekötő vonlk gráf élei. 8

19 D E C A B.ábr Gráf Véges gráf: h pontjink szám véges. Egy csúcs fokszámát z dj meg, hány él fut ki belőle. Pl. z A csúcs fokszám:. H gráfbn vn két olyn pont, melyet több él is összeköt, kkor zt mondjuk, hogy gráf trtlmz többszörös éleket. Az. ábrán B és E csúcs ilyen. H egy gráfbn z pontból úgy jutunk el egy b pontb, hogy közben bármely pontot legfeljebb egyszer érintünk, kkor zt mondjuk, hogy úton hldtunk..h egy út kezdő és végpontj zonos, kkor körről beszélünk Egy út vgy kör hosszán éleinek számát értjük. Az olyn élt, melynek mindkét vége ugynz pont, hurokélnek nevezzük. Egy gráfbn két pontot szomszédosnk nevezünk, h él köti össze őket. Két élt szomszédosnk nevezünk, h egyik végpontjuk közös..ábr Egyszerű gráf Egy gráfot egyszerűnek nevezünk, h sem hurokélt, sem pedig többszörös éleket nem trtlmz. 9

20 .ábr Teljes gráf Az olyn egyszerű gráfot, melyben bármely két különböző pontot egy és csk egy él köt össze, teljes gráfnk nevezzük..ábr Összefüggő gráf H egy gráfbn bármely két pont úttl elérhető, kkor gráfot összefüggőnek nevezzük. 5.ábr Gráf (fekete) és komplementere(piros) Egy gráf komplementerén zt gráfot értjük, melynek z eredeti gráffl vló egyesítése teljes gráfot d. H egy gráf bizonyos éleit és/vgy pontjit - pontokt hozzá illeszkedő élekkel együtt - töröljük, kkor ismét egy gráfot kpunk. Az így kpott gráfot z eredeti gráf részgráfjánk nevezzük. A G gráf zon részgráfját, mely nem zonos G-vel, G gráf egy vlódi részgráfjánk nevezzük.

21 A G gráf egy komponensén G egy olyn részgráfját értjük, mely összefüggő, de nem vlódi részgráfj G egyetlen összefüggő részgráfjánk sem. E C A B 6. ábr F gráf A körmentes, összefüggő gráfot f gráfnk nevezzük. 7.ábr Bináris f Az informtikábn sokszor hsználtos bináris f. Itt olyn fáról beszélünk, hol minden csúcsnk mximálisn két leszármzottj vn. Néhány egyszerű és lpvető tétel gráfokkl kpcsoltbn:. tétel: Minden gráfbn fokszámok összege z élek számánk kétszeresével egyenlő.. tétel: Minden egyszerű gráfbn pártln fokú pontok szám páros.. tétel: Az n-pontú teljes gráf éleinek szám n*(n-)/.. tétel: H egy gráfbn minden pont fok leglább, kkor gráfbn vn kör. 5. tétel: H egy n-pontú gráfnk leglább n éle vn, kkor vn gráfbn kör.

22 8.ábr Euler vonl Euler-vonlnk nevezünk gráfbn egy utt, h gráf minden élén pontosn egyszer hld keresztül. 9.ábr Hmilton kör Hmilton-körnek nevezzük gráf egy olyn körét, mely gráf minden pontján pontosn egyszer hld keresztül. Összefogllás: Ismertesse gráf foglmát! Milyen tuljdonságokkl rendelkezhet egy gráf? Milyen lpvető tételeket ismer gráfokr? Mi z Euler vonl? Ismertesse Hmilton kör foglmát!

23 SZAKMAI INFORMÁCIÓTARTALOM. Permutációk: KOMBINATORIKA Akkor beszélünk permutációról, h vlhány konkrét elemet sorb rendezünk. Ismétlés nélküli permutáció, h minden elem csk egyszer szerepel. Az ismétlés nélküli permutációk szám n elem esetén : P=n! Nézzük meg, miért vn ez így! Az első elem kiválsztás n féleképp történhet. Minden kiválsztás után további (n-) féleképp válszthtjuk másodikt, tehát már n(n-) lehetőségnél trtunk. Ebből mindegyikhez hrmdikt n- féleképp válszthtjuk, tehát már n(n-)(n-). és így tovább., tehát már n(n-)(n-). és így tovább, mi pontosn z n!-l egyenlő! Péld: H vn drb, különböző színű kockánk, kkor hány féleképpen tudjuk sorb rendezni őket? n!=!=*9*8*7*6*5****=688 Akkor beszélünk ismétléses permutációról, h vn olyn elem, miből több is vn sorbn. Ekkor z elemek számánk fktoriálisát el kell osztnunk z ismétlődő elemek számánk fktoriálisávl! n! P = k! d! Péld: Vn drb színes kockánk. db kék és drb piros, de többi különböző színű. Hányféleképpen rendezhetem sorb? P =!!*! = *9*8*7*6*5**** ****! = 688 =. Vriációk: Akkor beszélünk vriációról, h egy dott (k) elemszámú soroztot kell összeállítnunk vlhány (n) fjt elemből. Fontos, hogy sorrend itt számít!

24 A vriáció ismétlés nélküli, h egy elem csk egyszer szerepelhet. Az ismétlés nélküli vriáció mjdnem, úgy számoljuk, mint permutációt, csk hmrbb bbhgyjuk. Csk z első k hely számít. Tehát n elem esetén mjdnem n!, de csk z első k tényezőt írjuk le: Vnk n! = ( n k)! Péld: Vn drb színes kockánk és ebből szeretnénk válogtni elemből álló soroztokt. Hány féleképpen tehetjük ezt meg? V nk!! *9*8*7*6*5**** = = = = *9*8* 7 = 5 ( )! 6! 6*5**** Ismétléses vriáció, h egy dott (k) elemszámú soroztot kell összeállítnunk vlhány (n) fjt elemből, de egy elemet többször is kiválszthtunk. Fontos, hogy sorrend itt számít! lehetséges vriációk szám:. V i n;k = n k Péld: Vn drb színes kockánk és ebből szeretnénk válogtni elemből álló soroztokt, de minden egyes kiválsztás után visszteszem kockákt. Így egy elem többször is szerepelhet! Hány féleképpen tehetjük ezt meg? V= =. Kombinációk:., Az ismétlés nélküli kombinációk szám zt dj meg, hogy n elemből hányféleképp válszthtunk ki k-t, h sorrend nem számít. Ez mjdnem olyn, mint egy ismétlés nélküli vriáció, cskhogy itt sorrend nem számít. Ezért z ismétlés nélküli vriációk számát el kell osztni zzl, hány féleképp sorb lehet rkni kiválsztott k elemet. Cn, k n n! = = k k!( n k)! Péld: Vn drb színes kockánk és ebből szeretnénk válogtni elemet. A sorrend nem számít! Hány féleképpen tehetjük ezt meg? C! *9*8*7*6*5**** *9*8*7 = = = =!6! ****6*5**** *** n, k =

25 b., Az ismétléses kombináció szám zt dj meg, hogy, hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválsztni k drbot, h nem számít kiválsztás sorrendje és egy dolgot többször is válszthtunk: n + k ( n + k )! Ck, i, n = = k k!( n )! Péld: Vn drb színes kockánk és ebből szeretnénk válogtni elemet. A válsztás után minden kockát visszteszünk helyére, így többször is válszthtók! A sorrend nem számít! Hány féleképpen tehetjük ezt meg? n + k ( + )!! ****9*8*7*6*5**** *** Ck, i, n = = = = = = 75 k!( )!!9! ****9*8*7*6*5**** *** A kombintoriki feldtokbn sok esetben nem csk tisztán z egyik típus szerepel. Érdemes sokt gykorolni z ilyen feldtok megoldását, h biztosn fel szeretnénk ismerni feldttípusokt! Összefogllás: Ismertesse permutáció és ismétléses permutáció foglmát! Ismertesse vriáció és ismétléses vriáció foglmát! Ismertesse kombináció és ismétléses kombináció foglmát! Mutsson be egy-egy példát mindegyikre! 5

26 IRODALOMJEGYZÉK FELHASZNÁLT IRODALOM KUROS, A. G. : Felsőbb lgebr. Budpest (Tnkönyvkidó) 978. KNUTH, Donld, E.: A számítógép-progrmozás művészete I-III. Budpest (Műszki) 987. OBÁDOVICS J. Gyul: Mtemtik. Budpest (Műszki) 978. REIMANN József: Mtemtik. Budpest 98. WIRTH, Niklus: Algoritmusok + Adtstruktúrák = Progrmok. Budpest (Műszki) 98. 6