A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

Átírás

1 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88

2 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym. Sün Blázs és testvérei erdei sétár indultk bogyó-, flevél-, kvics-, illetve termésgyűjteményeiket gzdgítni. Mindegyiküknek vn leglább egy gyűjteménye. Azok, kik bogyókt vgy terméseket gyűjtenek, zok fleveleket is gyűjtenek. Azok, kik kvicsokt gyűjtenek, zok terméseket is gyűjtenek. Azok, kik fleveleket és kvicsokt gyűjtenek, zok bogyókt is gyűjtenek. Melyik fjt gyűjteményből vn legtöbb és melyikből legkevesebb Sün Blázséknál?. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért?. Az,, 4, 5 és egy tetszés szerint válsztott számjeggyel írd fel zt legngyobb ötjegyű számot, melyik -vel oszthtó! 4. H z ABCD tégllp és z AQB, vlmint APD szbályos háromszögek megegyező körüljárásúk, igzold, hogy PQ szksz egybevágó tégllp átlójávl! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 89

3 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 0. évfolym. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért?. Htározd meg mindzokt z n Z számokt, melyekre z n n ( n ) 0 egyenletnek egész megoldási vnnk ( Z ).. Egy táblár felírták z összes pozitív egész számot -gyel kezdve és 008-cl bezárólg. A felírt számjegyek hány százlék z 5-ös számjegy? 4. Az AC szksz z ABCD prlelogrmm hosszbbik átlój. Húzd CE AB és CF AD szkszokt, vgyis C csúcsból nem szomszédos oldlkr húzott merőlegeseket, F AD és E AB. Bizonyítsd be, hogy ekkor AB AE AD AF AC. A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 90

4 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december.. évfolym. Egy kis erdei tvt egy forrás táplál friss vízzel. Egyszer megjelent egy 8 tgú elefántcsord és egy np ltt kiitt tó vizét. Később, mikor újr megtelt tó, egy 7 tgú csord 5 np ltt itt ki vizet. Egy elefánt hány np ltt inná ki tó vizét?. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét!. Oldd meg vlós számok hlmzán z 4 4 ( ) ( ) 6 egyenletet! 4. Számítsd ki háromoldlú gúl térfogtát, h lpj derékszögű háromszög 8 cm és 5 cm befogókkl, oldlélei pedig 60-os szögben hjlnk z lplp síkjához! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 9

5 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december.. évfolym. Egy nemzetközi lbdrugó tornán minden cspt minden cspttl pontosn egyszer játszott. Győzelemért, döntetlenért, vereségért 0 pont járt. A bjnokság végén csptok pontszámink összege 5 pont volt. Az utolsó helyezett pontot gyűjtött, z utolsó előtti egyszer sem kpott ki. Hány pontot gyűjtött második helyen végzett cspt?. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét!. Oldd meg, intervllumon következő trigonometrikus egyenletet: cos cos 5 8cos 4 cos. 4. Egy henger lkú edényt, melynek lpátmérője 4 dm és mélysége dm, teletöltöttük vízzel. Mennyi víz mrd benne, h z lp síkjához viszonyítv 0 -os szögben megdöntjük? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 9

6 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 9. évfolym. Sün Blázs és testvérei erdei sétár indultk bogyó-, flevél-, kvics-, illetve termésgyűjteményeiket gzdgítni. Mindegyiküknek vn leglább egy gyűjteménye. Azok, kik bogyókt vgy terméseket gyűjtenek, zok fleveleket is gyűjtenek. Azok, kik kvicsokt gyűjtenek, zok terméseket is gyűjtenek. Azok, kik fleveleket és kvicsokt gyűjtenek, zok bogyókt is gyűjtenek. Melyik fjt gyűjteményből vn legtöbb és melyikből legkevesebb Sün Blázséknál? Megoldás. Legyen S bogyókt gyűjtők, S fleveleket gyűjtők, S kvicsokt gyűjtők, S 4 pedig terméseket gyűjtők hlmz. Ekkor érvényesek z lábbi relációk: () S S4 S, () S S4, () S S S. ()-ből és ()-ből következik, hogy S S, vlmint S S S S, miből S S S következik, miszerint legtöbben fleveleket gyűjtenek. 4 S Mivel S S S S4, ebből dódik, hogy legkevesebben kvicsokt gyűjtenek.. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért? Megoldás. Jelölje z ötezresek, b z ötszázsok, c z ötvenesek és d z ötösök számát, kkor ezekkel egyrészt b 50c 5d , másrészt b c d 500. H z első egyenletet 5-tel elosztjuk és ebből kivonjuk másodikt, kkor b 9c egyenletet kpjuk. Ennek z egyenletnek bl oldlán csup 9-cel oszthtó tg vn, tehát összegük is 9-nek többszöröse. A jobb oldlon álló zonbn nem oszthtó 9-cel. Gzdg Géz áltl közöltek ellentmondásr vezetnek ezért Bercinek vn igz. 9

7 . Az,, 4, 5 és egy tetszés szerint válsztott számjeggyel írd fel zt legngyobb ötjegyű számot, melyik -vel oszthtó! Megoldás. Egy szám -vel pontosn kkor oszthtó, h oszthtó -ml is és 4-gyel is. Ötjegyű számunk -ml kkor és csk kkor oszthtó, h számjegyeinek összege is -nk többszöröse. Mivel z ismert négy számjegy összege, ezért z ötödik jegy, z 5 vgy 8 lehet csk. A néggyel vló oszthtóság szükséges és elégséges feltétele z, hogy z ötjegyű szám utolsó két jegyéből álló kétjegyű legyen 4-nek többszöröse. Ebből persze z is dódik, hogy z utolsó jegy páros kell, hogy legyen. H z ötödik jegy z 5 lenne, kkor 4, 4, 54 vlmelyike lenne ötjegyű számunk utolsó két jegyéből álló kétjegyű szám, ám ezek egyike sem oszthtó 4-gyel, így ez z eset nem lehetséges. H hiányzó ötödik jegy, úgy z,,, 4, 5 jegyekből építhető többszörösei között z 54 legngyobb. H hiányzó ötödik jegy 8, úgy z,, 4, 5 és 8 számjegyekből építhető többszörösei között z 584 legngyobb. A lehetséges esetekből z első, z 54 legngyobb. Ez tehát megoldás. 4. H z ABCD tégllp és z AQB, vlmint APD szbályos háromszögek megegyező körüljárásúk, igzold, hogy PQ szksz egybevágó tégllp átlójávl! Megoldás. Az ABD és APQ háromszögek egybevágók SzOSz tétel lpján, mert AD AP, AB AQ és DAB PAQ 90, tehát hrmdik oldluk is egyenlő, zz DB PQ. 94

8 0. évfolym. Képzeld, tegnp csupán 5, 50, 500 és 5000 dinárosok felhsználásávl fizettem ki dinárt. mondj Gzdg Géz. És hány drbot hsználtál fel? kérdezi Okos Berci. A négyféle címletű pénzből együttesen 500 drbot. válszolj Géz. Ez lehetetlen! mondj nyombn Berci. Kinek volt igz és miért? Megoldás. Jelölje z ötezresek, b z ötszázsok, c z ötvenesek és d z ötösök számát, kkor ezekkel egyrészt b 50c 5d , másrészt b c d 500. H z első egyenletet 5-tel elosztjuk és ebből kivonjuk másodikt, kkor b 9c egyenletet kpjuk. Ennek z egyenletnek bl oldlán csup 9-cel oszthtó tg vn, tehát összegük is 9-nek többszöröse. A jobb oldlon álló zonbn nem oszthtó 9-cel. Gzdg Géz áltl közöltek ellentmondásr vezetnek ezért Bercinek vn igz.. Htározd meg mindzokt z n Z számokt, melyekre z n n ( n ) 0 egyenletnek egész megoldási vnnk ( Z ). Megoldás. Legyen p z dott egyenlet egész megoldás ( p Z ). Ekkor p np np n, zz ( p n)( p n). Egész p és n esetén ez csk úgy lehetséges, hogy vgy. (i) Legyen p n p n. Ebből n p és p ( p ), miből p p 0 következik, mely egyenletnek nincs egész megoldás. (ii) Legyen most p n p n. Ebből n p és p ( p ), miből p p ( p )( p ) 0 következik, honnn p és p z egyenlet egész megoldási. Az eredeti egyenletnek tehát kkor lesznek egész megoldási, h n 0 vgy n, n 0,. zz, h 95

9 . Egy táblár felírták z összes pozitív egész számot -gyel kezdve és 008-cl bezárólg. A felírt számjegyek hány százlék z 5-ös számjegy? Megoldás. Az egyjegyű számok leírásánál db 5-ös számjegy tlálhtó. A kétjegyű számok leírásánál 9 db 5-ös számjegy tlálhtó, z első helyen 0 és második helyen 9 db. A háromjegyű számok leírásánál összesen 80 db 5-ös számjegyet hsználunk fel, z első helyen 00, második helyen 90 90, hrmdik, z egyesek helyén pedig szintén db 5-ös számjegyet. Az -gyel kezdődő négyjegyű számok leírásánál db 5-ös számjegyet írtunk le, míg 000-től 008-ig még db 5-ös számjegyet hsználunk fel, tehát négyjegyű számokt felírv 000-től 008-ig összesen 0 db 5-ös számjegyet hsználunk fel. Ezek szerint -től 008-ig z egész számokt felírv összesen db 5-ös számjegyet írtunk fel. Az összes leírt számjegyek szám: z egyjegyűeknél 9, kétjegyűeknél 90 80, háromjegyűeknél , négyjegyűeknél , tehát összesen 695 számjegyet írtunk fel táblár A keresett százlék: 695: :, honnn 8,68% Az AC szksz z ABCD prlelogrmm hosszbbik átlój. Húzd CE AB és CF AD szkszokt, vgyis C csúcsból nem szomszédos oldlkr húzott merőlegeseket, F AD és E AB. Bizonyítsd be, hogy ekkor AB AE AD AF AC. Megoldás. Legyen G pont B csúcs merőleges vetülete z AC átlór, ekkor érvényes, hogy AEC AGB, vlmint AFC CGB. Ebből következik, hogy AC BA és AC BC. AE AG AF CG Innen AB AE AC AG és BC AF AC CG. Adjuk össze két egyenletet. Ekkor AB AE BC AF AC AG AC CG Adódik, ebből pedig AB AE AD AF AC AG GC AC. 96

10 . évfolym. Egy kis erdei tvt egy forrás táplál friss vízzel. Egyszer megjelent egy 8 tgú elefántcsord és egy np ltt kiitt tó vizét. Később, mikor újr megtelt tó, egy 7 tgú csord 5 np ltt itt ki vizet. Egy elefánt hány np ltt inná ki tó vizét? Megoldás. Legyen teli tó víztrtlm S l, z egy npi növekmény forrásokból n l. Mivel 8 elefánt np ltt issz ki tó vizét, ez zt jelenti, hogy kiissz már meglevő S litert és z egy np ltt még hozzá befolyó n litert. Azz 8 elefánt egy np ltt S n liter vizet iszik meg. Ekkor, feltételezve, hogy minden elefánt egyenlő S n mennyiséget iszik meg, egy np ltt egy elefánt liter vizet iszik meg. 8 A másik feltételből 7 elefánt 5 np ltt S 5n litert iszik meg, ezért egy elefánt egy S 5n S 5n S n S 5n np ltt litert. Ebből dódik, hogy, honnn S 65n. Tehát 8 elefánt egy np folymán 65n n 66n liter vizet iszik meg, miből viszont z is következik, hogy egy elefánt egy np ltt pontosn n litert iszik meg. Ez gykorltilg zt jelenti, hogy n litert fogyszt el teli tó vizéből és plussz zt z n litert, mi np folymán befolyik tób. Mivel teli tó trtlm 65 n liter, ezért pontosn 65-ik np végére ürül ki teljesen tó, h csk egy elefánt iszik belőle.. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét! Megoldás. Az egyenlet mindkét oldlánk logritmálás után kpjuk log 007 log 007 log log 007 egyenletet. Vezessük be z log helyettesítést. 007 Most z egyenlet ekvivlens z másodfokú egyenlettel. A Viete szbály lpján kpott másodfokú egyenlet és megoldásink összege: 007. Ekkor z eredeti egyenlet megoldási 007 és 007, szorztuk pedig , tehát természetes szám. Hátr vn még kpott szorzt utolsó két számjegyének meghtározás, zz szorzt 00-zl vló osztáskor keletkezett mrdék mghtározás. Mivel 7 7, 7 49, 7 4, , ,..., beláthtó, hogy z utolsó két számjegy ciklikusn ismétlődik: 07, 49, 4, 0, hol ciklus hosszúság 4. Mivel , dódik, hogy 007 szám utolsó két számjegye 4. 97

11 . Oldd meg vlós számok hlmzán z 4 4 ( ) ( ) 6 egyenletet! Megoldás. Legyen y, ekkor y és y, z egyenletünk pedig következőképen lkul: y y y y y y y y y y y y 6 4 y 6y 7 0, honnn y vgy y 7, melyek közül csk z y egyenletnek vnnk vlós megoldási, és ezek z y illetve z y. H tudjuk, hogy y, kkor és, vgyis megoldáshlmz, M. 4. Számítsd ki háromoldlú gúl térfogtát, h lpj derékszögű háromszög 8 cm és 5 cm befogókkl, oldlélei pedig 60-os szögben hjlnk z lplp síkjához! Megoldás. Legyen O pont z ABCD háromoldlú gúl D csúcsánk z ABC lpháromszögre vetített merőleges vetülete. Ekkor z OAD, OBD és OCD egybevágók, mert derékszögűek és 60-os hegyesszögük szemben fekszik közös OD mgssággl. Tehát OA OB OC, vgyis z O pont z ABC háromszög körülírt körének középpontj, zz ebben z esetben z átfogó felezőpontj. Ezért 7 kiszámíthtjuk z lp átfogóját, c 8 5 7cm, vgyis r. A test mgsság DO vlójábn DAB egyenlő oldlú háromszög mgsság, honnn 7 H DO. A gúl térfogt t ABC H V 70 cm. 98

12 . évfolym. Egy nemzetközi lbdrugó tornán minden cspt minden cspttl pontosn egyszer játszott. Győzelemért, döntetlenért, vereségért 0 pont járt. A bjnokság végén csptok pontszámink összege 5 pont volt. Az utolsó helyezett pontot gyűjtött, z utolsó előtti egyszer sem kpott ki. Hány pontot gyűjtött második helyen végzett cspt? Megoldás. H egy mérkőzés eldől, kkor, h döntetlen lesz, kkor pontot osztnk el csptok között. Tehát nnál kevesebb csptok pontjink összege, minél több döntetlen. Először állpítsuk meg csptok számát. h csk cspt lenne, kkor mérkőzésen mimum 9 lehetne pontszámösszeg, h pedig 5 cspt lenne, kkor 0 meccsen minimum 0 pont kerülne kiosztásr. Így csptok szám 4. H 4 cspt vn, és nincs döntetlen, pontszámok összege 6 meccsen 8 pont. Itt csptok 5 pontot gyűjtöttek, és mivel minden döntetlen -gyel csökkenti pontszámösszeget, ezen tornán mérkőzés végződött döntetlenre. Az utolsó előtti, zz hrmdik helyezett cspt egy meccset sem vesztett. H nyert voln leglább egy meccset, kkor leglább 5 pontj lenne. De kkor z előtte végzett két csptnk is leglább 5-5 pontj lenne, ekkor zonbn csptok összpontszám már leglább 6 lenne. Ezek szerint hrmdik helyezett cspt minden meccse döntetlenre végződött. Az első két cspt tehát megverte z utolsót és döntetlent játszott hrmdikkl. Mivel több döntetlen nem volt, z első helyezett legyőzte másodikt, vgyis második helyen végzett cspt 4 pontot gyűjtött.. Igzold, hogy z log egyenlet megoldásink szorzt természetes szám, mjd htározd meg ennek szorztnk z utolsó két számjegyét! Megoldás. Az egyenlet mindkét oldlánk logritmálás után kpjuk egyenletet. Vezessük be z log log 007 log log log 007 helyettesítést. Most z egyenlet ekvivlens z másodfokú egyenlettel. A Viete szbály lpján kpott másodfokú egyenlet és megoldásink összege: 007. Ekkor z eredeti egyenlet megoldási 007 és 007, szorztuk pedig , tehát természetes szám. Hátr vn még kpott szorzt utolsó két számjegyének meghtározás, zz szorzt 00-zl vló osztáskor keletkezett mrdék mghtározás. Mivel 7 7, 7 49, 7 4, , ,..., beláthtó, hogy z utolsó két számjegy ciklikusn ismétlődik: 07, 49, 4, 0, hol ciklus hosszúság 4. Mivel , dódik, hogy 007 szám utolsó két számjegye 4. 99

13 . Oldjuk meg, intervllumon következő trigonometrikus egyenletet: cos cos 5 8cos 4 cos. Megoldás. H tudjuk, hogy cos cos5 cos 4 cos, kkor z dott egyenlet következőképpen lkíthtó: cos cos 5 8cos 4 cos cos cos 5 cos cos cos cos 5 cos5 cos cos cos 5 cos 5 cos 5 cos cos 5 cos cos 0 cos 5 cos cos 5 cos cos5 cos cos5 cos 0 cos5 0 cos 0 cos5 cos 0 k H cos5 0, kkor 5 k, vgyis 8 k 6. Innen z dott 0 5 intervllumb eső megoldások 6 és 6. k H cos 0, kkor k, zz 0 k 60. Innen z dott 6 intervllumb eső megoldás 50. H cos cos5 0, kkor cos 4 cos 0, honnn cos 4 0 vgy cos 0. H cos 0, kkor k, mely esetben egy megoldás sem esik z dott intervllumb. k H cos 4 0, kkor 4 k, honnn,5 k Innen z dott intervllumb eső megoldások,5 és 57,5. Összefogllv keresett megoldások:, 5 ; 6 ; 50 ; 57,5 ; Egy henger lkú edényt, melynek lpátmérője 4 dm és mélysége dm, teletöltöttük vízzel. Mennyi víz mrd benne, h z lp síkjához viszonyítv 0 -os szögben megdöntjük? Megoldás. A megdöntés után víz egy része kifolyt, mjd vízszintes helyzetet vesz fel újból. A kiömlött víz térfogt fele nnk henger térfogtánk, melyet z ábrán látunk. Az edény térfogt r dm, H dm V= dm, kifolyt vízé r dm, H 4 dm 8 V dm, tehát mrdék V 8 V dm, 9 liter. 00

14 A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY DÍJAZOTTJAI 9. évfolym. Piri Annmári, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Ripcó Ákos, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj. Kőrösi Blázs, Műszki Középiskol, Ad, II. díj 4. Gyrmti Dénes, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 5. Horvát Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj 6. Körmöczi Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 7. Ngygyörgy Kristóf, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 8. Simonyi Máté, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 9. Milinszki Hjnlk, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 0. Pusin Igor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. Kiss Csb, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. Brusznyi Borisz, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret. Hjnl Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 0. évfolym. Kovcsics Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Bálind Árpád, Műszki Középiskol, Ad, II. díj. Berec Alendr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 4. Vrbski Iván, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. évfolym. Ágó Krisztin, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Kecsenovity Egon, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, II. díj. Kovcsics Tóbiás, Műszki Középiskol, Óbecse, III. díj 4. Blss Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 5. Tóth Szbolcs, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret. évfolym. Knls Vidor, Mtemtiki Gimnázium, Belgrád, I. díj. Tkács Emese, Svetozr Mrković Gimnázium, Szbdk, II. díj. Rók Gáspár, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 4. Bodócsi Endre, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 5. Ksz Ákos, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret 6. Frks Gbriell, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 7. Gimpel Ákos, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, dicséret 0

15 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: dr. Kincses János Elődás címe: Érdekes mtemtiki problémák Verseny előtti megbeszélés (Pp Zoltán, Pp Horváth Erik, Péics Hjnlk, Miklós Gyöngyi, Csikós Pjor Gizell, Meoželj Sonj, Zolni Irén, Ripcó Sipos Elvir, Rozsnyik Andre, Szűcs Emese, Boros István). 0

16 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. A VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulój után továbbjutott versenyzők 5 része. A második fordulón résztvevők 7 része került döntőbe. H z első forduló után jutott voln tovább versenyzők 7 része, és második fordulón résztvevők 5 része került voln döntőbe, kkor három fordulón összesen -vel több dolgoztot kellett voln jvítni. Hányn indultk VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulóján?. Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt?. Egy különböző számjegyekből álló htjegyű szám számjegyei (vlmilyen sorrendben),,, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű szám oszthtó -vel, z első három számjegyből álló háromjegyű szám oszthtó -ml és így tovább, mg szám oszthtó 6-tl. Melyik ez szám? 4. Jelölje egy háromszög csúcsit A, B és C. Legyen z AC oldl felezőpontj E, BC oldl B -hez közeli hrmdoló pontj D. Az AD és BE egyenesek metszéspontját jelölje F. Mekkor BDF háromszög és z FDCE négyszög területének rány? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 0

17 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. Precíz Peti felírt számokt -től 0000-ig. Először láhúzt pirossl zokt számokt, melyek oszthtók 4-gyel, mjd láhúzt zölddel zokt, melyek oszthtók 5-tel, végül láhúzt kékkel z összes 6-tl oszthtót. Hány szám lett így láhúzv pontosn két színnel?. Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt?. Egy számsorozt vlmely tgját jobbminimálisnk nevezzük, h tőle jobbr nem tlálhtó nál kisebb szám. Például (; ; 4; 6; ; 7; 8; 5) soroztbn jobbminimális számok z és ( jobbszélső 5-öst nem tekintjük nnk). Ezek lpján z említett soroztbn második és z ötödik helyen áll jobbminimális szám. Hány olyn sorrendje (permutációj) vn z,,, 8 számoknk, melyekben második és z ötödik helyen (és esetleg másutt is) jobbminimális számok állnk? 4. Legyenek, b és pontjánk rendre z, b és c oldlktól mért távolsági. Jelölje c z ABC hegyesszögű háromszög tetszőleges P belső megfelelő oldlkhoz trtozó mgsságokt. Igzold, hogy b c. m m m b c m, m b és mc A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 04

18 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt?. Egy kétjegyű szám számjegyei közé írtunk egy számjegyet. Az így kpott háromjegyű szám és z eredeti kétjegyű szám számtni közepe egyenlő z eredeti kétjegyű szám számjegyeinek felcserélésével kpott kétjegyű számml. Mi volt z eredeti szám?. Az AB és CD egy O középpontú körnek két, egymásr merőleges átmérője. Az OD szkszt felező E ponton hld z AF húr, z AB és CF szkszok metszéspontj G pont. Igzold, hogy z OB OG és CF DF. 4. Legyenek,,,, 009 pozitív vlós számok. Bizonyítsd be következőket: ) Minden pozitív vlós számr igz, hogy ( ). 4 b) Egyidőben nem teljesülhet következő egyenlőtlenségek mindegyike: ( ), ( ),..., 008 ( 009 ), 009( ) A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 05

19 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november 8.. évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt?. Felírtuk egy táblár -től 009-ig számokt, mjd vlmelyik két szomszédost letöröltük, és helyettük felírtuk különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet). Ezt z eljárást ddig ismételgettük, míg végül csk egy szám mrdt táblán. ) Mutssuk meg, hogy utolsó számként nem jöhet ki z 000. b) Adjunk egy eljárást, mely utolsó számként z 00-et eredményezi!. Adott z ABCD érintőnégyszög, melynek z lpon fekvő szögei és. Igzold, hogy AB ctg ctg. CD 4. Bizonyítsd be, hogy z n n 0 n n egyenlet gyökei vlósk és irrcionális számok minden n természetes számr! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 06

20 VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 009. november 8.. évfolym. Egy bnk páncélszekrényén több különböző zár vn. Kulcsikt úgy osztották szét bnk négy pénztáros között, hogy páncélszekrény kinyitásához leglább hármuknk jelen kell lenni, de mind négynek nem, hogy náluk levő kulcsokkl ki lehessen nyitni z összes zárt. (Egy zárhoz többüknél is lehet kulcs, és egy embernél többféle kulcs is lehet.) Legkevesebb hány zár vn páncélszekrényen?. Htározd meg 4 4 sin cos sin cos sin sin egyenlet vlós megoldásit!. Az y prbol P és, B,6 pontok áltl meghtározott szksz derékszögben látszik. Mekkor z APBP négyszög területe? P pontjából z A és 4. Htározd meg zt pozitív számot, melyre z f függvény lehető legkisebb értékét veszi fel! Htározd is meg ezt legkisebb értéket! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 07

21 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 8. évfolym. A VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulój után továbbjutott versenyzők 5 része. A második fordulón résztvevők 7 része került döntőbe. H z első forduló után jutott voln tovább versenyzők 7 része, és második fordulón résztvevők 5 része került voln döntőbe, kkor három fordulón összesen -vel több dolgoztot kellett voln jvítni. Hányn indultk VI. Fekete Mihály Emlékverseny első fordulóján? Megoldás. Foglljuk tábláztb feltételeket! Mivel (még) nem ismerjük versenyen indulók számát, jelöljük ezt -szel. A versenyzők szám A versenyzők szám vlóságbn mi lett voln esetén. fordulóbn. fordulóbn 5 7 A döntőben A dolgoztok szám A mi lett voln esetén dolgozttl több lenne, tehát. Az egyenlet mindkét oldlából -öt levonv dódik. Szorozzuk meg ennek z egyenletnek mindkét oldlát 5-tel, és 5 7 szorzás során lehetséges egyszerűsítéseket végrehjtv nyerjük, hogy Most 7 kerül levonásr, mjd -ml egyszerűsíthetünk, s dódik: 5, zz Ezt z eredményt természetesen feldtszöveggel egybevetve ellenőriznünk kell! A 40 induló ötöde 8, ennek 7 -e 8 és ez dolgoztot jelent. A 40-nek -e 40, ennek ötöde 8, és 7 dolgoztok szám vlóbn -vel több z előbbi dolgoztszámnál. A versenyen tehát 40 induló volt z első fordulóbn. 08

22 . Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt? I.Megoldás. H kétjegyű szám tizeseinek számát, egyeseinek számát pedig y jelöli, kkor feltételek szerint kétjegyű számnkr 0 y y 7, hol és 0 y 9. Tegyük fenti egyenletbe helyére rendre pozitív egyjegyűeket: 0 y y 7, 0 y y 7, 0 y y 7, 40 y 4y 7, 50 y 5y 7, 60 y 6y 7, 70 y 7y 7, 80 y 8y 7, 90 y 9y 7. A fenti egyenletek közül z elsőnek nincs megoldás, másodikt követő ötnek és z utolsónk egész megoldás nincs. A másodikt z y, míg z utolsó előttit z y 9 elégíti ki, tehát két olyn kétjegyű szám lehet, mely feltételeket kielégíti, és 89. Mivel 7 és , és 89 vlóbn megoldások. II. Megoldás: Előbbi jelölésünket megtrtv 0 y y 7 egyenletet lkítjuk át következőképpen: 0 y 0 y 0 7. Tettük ezt zért, hogy jobb oldl első négy tgját szorzttá lkíthssuk, mint 0 ( )( y 0) 7, miből ( )( y 0) 7. Most már láthtó, hogy z és y 9 egészek mitt bl oldl mindkét tényezője egész szám, mégpedig z első tényező pozitív, második negtív. Ilyen egészek szorzt csk úgy lehet 7, h és y 0 7 vgy 7 és y 0. Az első lehetőség z, y, második z 8, y 9 megoldásokt dj.. Egy különböző számjegyekből álló htjegyű szám számjegyei (vlmilyen sorrendben),,, 4, 5, 6. Az első két számjegyből álló kétjegyű szám oszthtó -vel, z első három számjegyből álló háromjegyű szám oszthtó -ml és így tovább, mg szám oszthtó 6-tl. Melyik ez szám? Megoldás. A htjegyű szám második, negyedik és htodik jegye -vel, 4-gyel és 6- tl vló oszthtóság mitt páros kell legyen, és z ötödik jegy z 5-tel oszthtóság mitt csk 5 lehet. Az első és hrmdik jegy tehát cskis z és lehet vlmely sorrendben. A háromml oszthtóság mitt második jegy csk lehet, hiszen 4 illetve z 6 egyike sem többszöröse -nk. Így h számunk első három jegye sorrendben z, úgy 4-gyel oszthtóság mitt negyedik jegy csk 6 lehet, mivel 4 nem oszthtó 4-gyel, ekkor tehát htjegyű szám 654. H pedig számunk első három jegye rendre, úgy negyedik jegy ismét csk 6, hiszen 4 nem nem többszöröse 4-nek, számunk tehát most 654. Mindkét esetben 6-tl oszthtóságot szám párosság és jegyei összegének ( =) -ml vló oszthtóság biztosítj. 09

23 4. Jelölje egy háromszög csúcsit A, B és C. Legyen z AC oldl felezőpontj E, BC oldl B -hez közeli hrmdoló pontj D. Az AD és BE egyenesek metszéspontját jelölje F. Mekkor BDF háromszög és z FDCE négyszög területének rány? I.Megoldás. Húzzunk z E ponton át egy, z AD -vel párhuzmos egyenest. Messe ez BC -t G -ben (ábr). Mivel z ACD -ben E felezőpont és EG AD, ezért EG e háromszög egyik középvonl és ennélfogv G felezi DC -t, G tehát BC -nek C -hez közelebbi hrmdolópontj. Most tekintsük BEG -et. Ebben D BG -nek felezőpontj és FD EG, tehát FD középvonl háromszögnek, zz F felezi BE -t. A CDE területe BEC területének -, hiszen CD CB és ezekhez z oldlkhoz trtozó mgsságik zonosk. Így területének -. Mivel F felezi BE -t, ezért BDE területe pedig BEC BDF területe és z EFD területe egyenlő, éspedig BEC területének -ávl. A CDFE négyszög területére tehát 6 5 BEC területének - jut, és így keresett területrány : 5. 6 II.Megoldás: Fektessünk z E ponton át egy, z CB -vel párhuzmos egyenest. Messe ez z AD -t H pontbn. Az EH középvonl z ACD -nek, hiszen E felezőpont és EH CD. Ennélfogv EH DC. Ám D hrmdolópontj BC - nek, vgyis BD DC, tehát EH BD, miből következik, hogy z EHBD négyszög prlelogrmm, mert vn két párhuzmos és egyenlő oldl. A prlelogrmmát átlói ( BE és DH szkszok) négy egyenlő területű háromszögre drbolják, tehát vgyis, T BDF T 6 T T, ám BDE területe BCE területének -, BDF DEF BCE 5 és ezért T CDFE T 6 BCE. A keresett rány tehát : 5. III.Megoldás: Húzzunk B, C és z E pontokon át AD -vel párhuzmos egyenest. Az E -re fektetett ilyen egyenes DC szkszt felezi, mert z ACD -ben ez z egyenes középvonl. Húzzunk most C, D és z utóbb nyert G ( DC felezőpontj, zz BC másik hrmdolópontj) pontokon át BE -vel párhuzmost. Így z összehsonlításr váró két sokszöget egy prlelogrmm-rácsb helyeztük, melynek rácsszemei egybevágók, tehát egyenlő területűek is. A 9 egybevágó lpból BEC lpnyit tölt ki, hiszen BHC területe 4. 5 lpnyi, CEH területe pedig. 5 lpnyi. A BFD területe 0. 5 lpnyi, tehát keresett rány 0.5 :.5, mi éppen z : 5 ránnyl egyenlő. 0

24 9. évfolym. Precíz Peti felírt számokt -től 0000-ig. Először láhúzt pirossl zokt számokt, melyek oszthtók 4-gyel, mjd láhúzt zölddel zokt, melyek oszthtók 5-tel, végül láhúzt kékkel z összes 6-tl oszthtót. Hány szám lett így láhúzv pontosn két színnel? Megoldás. Piros és zöld színnel összesen 500 szám vn láhúzv, ugynis ennyiszer vn meg 0000-ben 4 és 5 legkisebb közös többszöröse. Zölddel és 8 szám vn láhúzv, pirossl és kékkel pedig. Mindegyik összegben szerepelnek zok számok is, melyek háromszor lettel láhúzv. Ezek szám 66. A keresett számosságot következő számolás dj: Melyek zok kétjegyű természetes számok, melyekre igz, hogy mg szám 7-tel ngyobb, mint számjegyeinek szorzt? I.Megoldás. H kétjegyű szám tizeseinek számát, egyeseinek számát pedig y jelöli, kkor feltételek szerint kétjegyű számnkr 0 y y 7, hol és 0 y 9. Tegyük fenti egyenletbe helyére rendre pozitív egyjegyűeket: 0 y y 7, 0 y y 7, 0 y y 7, 40 y 4y 7, 50 y 5y 7, 60 y 6y 7, 70 y 7y 7, 80 y 8y 7, 90 y 9y 7. A fenti egyenletek közül z elsőnek nincs megoldás, másodikt követő ötnek és z utolsónk egész megoldás nincs. A másodikt z y, míg z utolsó előttit z y 9 elégíti ki, tehát két olyn kétjegyű szám lehet, mely feltételeket kielégíti, és 89. Mivel 7 és , és 89 vlóbn megoldások. II. Megoldás: Előbbi jelölésünket megtrtv 0 y y 7 egyenletet lkítjuk át következőképpen: 0 y 0 y 0 7. Tettük ezt zért, hogy jobb oldl első négy tgját szorzttá lkíthssuk, mint 0 ( )( y 0) 7, miből ( )( y 0) 7. Most már láthtó, hogy z és y 9 egészek mitt bl oldl mindkét tényezője egész szám, mégpedig z első tényező pozitív, második negtív. Ilyen egészek szorzt csk úgy lehet 7, h és y 0 7 vgy 7 és y 0. Az első lehetőség z, y, második z 8, y 9 megoldásokt dj.

25 . Egy számsorozt vlmely tgját jobbminimálisnk nevezzük, h tőle jobbr nem tlálhtó nál kisebb szám. Például (; ; 4; 6; ; 7; 8; 5) soroztbn jobbminimális számok z és ( jobbszélső 5-öst nem tekintjük nnk). Ezek lpján z említett soroztbn második és z ötödik helyen áll jobbminimális szám. Hány olyn sorrendje (permutációj) vn z,,, 8 számoknk, melyekben második és z ötödik helyen (és esetleg másutt is) jobbminimális számok állnk? Megoldás. Állítsuk össze keresett permutációt blról jobbr hldv. Az első helyen 8 szám közül bármelyik állht. A második szám egyértelműen meghtározott, hiszen csk kkor lehet jobbminimális, h megmrdt számok közül legkisebbet válsztjuk. A hrmdik és negyedik szám megmrdtk közül bármelyik lehet. Az ötödik szám ismét kizárólg még fel nem hsznált 4 szám közül legkisebb lehet. A megmrdt számot beírhtjuk tetszőleges sorrendben. Ez összesen = 440 lehetséges sorrendet d. 4. Legyenek, b és pontjánk rendre z, b és c oldlktól mért távolsági. Jelölje c z ABC hegyesszögű háromszög tetszőleges P belső megfelelő oldlkhoz trtozó mgsságokt. Igzold, hogy b c. m m m b c m, m b és mc Megoldás. Mivel Ter( BCP) Ter( CAP) Ter( ABP) Ter( ABC), így elosztv mindkét oldlt Ter( ABC) -vel dódik: Ter( BCP) Ter( CAP) Ter( ABP). Ter( ABC) Ter( ABC) Ter( ABC) Behelyettesítve sorbn megfelelő háromszögek területeit kpjuk, hogy b b c c. m b mb c mc Elvégezve z egyszerűsítéseket megkpjuk keresett egyenlőséget, zz hogy b c. m m m b c

26 0. évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt? I.Megoldás. Jelöljük tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre t -vel, k -vl és h -vl. Ekkor t k h és t h k. A két egyenletet kivonv dódik, hogy k h h k, zz 4k h, honnn beláthtó, hogy h k. Megállpíthtjuk tehát, hogy kántor nem nyerhetett, ezért most már elegendő tűzoltóprncsnok és hrngozó teljesítményét összehsonlítni. Ehhez fenti egyenletrendszert úgy lkítjuk, hogy k essen ki belőle (-ml szorozzuk z elsőt és hozzádjuk másodikhoz), zz 4t k h 6h k, honnn 4t 5h, vgyis t h. Tehát tűzoltóprncsnok nyert. II.Megoldás. A tűzoltóprncsnok olyn vödröt készíttetett, melynek térfogt pontosn z ő áltl elfogysztott sör mennyiségével egyezett meg. Így z ő teljesítménye vödör volt. Jelöljük továbbr is kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre k -vl és h -vl. Ekkor verseny jegyzőkönyve lpján tpsztltkt már felírhtjuk kétismeretlenes egyenletrendszerrel: k h és h k. Az első egyenletből k h, ezt második egyenletbe helyettesítve h (h ) dódik. Ebből 4 4 h és k h Mivel k és h kisebb -nél, ezért tűzoltóprncsnok nyert. III.Megoldás. A tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. Eszerint hrngozó teljesítménye átlgos. Vgy vn nál jobb és gyengébb, vgy mindhárom egyform. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye háromszor nnyi, mint kántoré. Eszerint viszont, h kántor helyére hrngozó kerül kétfős csptb, kkor kétfős cspt teljesítménye jvul kimrdt egy főhöz képest, tehát hrngozó teljesítménye ngyobb kántorénál. A fentiekből beláthtó, hogy sorrend: tűzoltóprncsnok, kántor,hrngozó.

27 . Egy kétjegyű szám számjegyei közé írtunk egy számjegyet. Az így kpott háromjegyű szám és z eredeti kétjegyű szám számtni közepe egyenlő z eredeti kétjegyű szám számjegyeinek felcserélésével kpott kétjegyű számml. Mi volt z eredeti szám? Megoldás. Legyen z b kétjegyű szám, k pedig számjegyei közé írt hrmdik b kb számjegy. A feltételek lpján b, vgyis háromjegyű szám kisebb 00- nál (másképpen számtni közép is háromjegyű). Tehát z és kkor 0 b 00 0k b 0b, mely lpján 08 0k 8b, zz 5k 9( b 6), tehát 9 osztój z 5k -nk, így k 0 vgy k 9. H k 0, kkor z eredeti szám 6. H k 9, kkor b, b pedig nem lehetséges.. Az AB és CD egy O középpontú körnek két, egymásr merőleges átmérője. Az OD szkszt felező E ponton hld z AF húr, z AB és CF szkszok metszéspontj G pont. Igzold, hogy z OB OG és CF DF. Megoldás. Jelölje r kör sugrát. Az AOE AFB, mert két megfelelő szögük egyenlő. Ugynkkor BFC CFA AFD (zonos hosszúságú ívekhez trtozó AG AF kerületi szögek), ezért GF szögfelező z AFB -ben, tehát, GB BF miből OG r r r OB, zz OB OG. Mivel DE r és CE r, ezért mivel EF szögfelező CFD -ben, így DF DE, zz CF CE CF DF. 4. Legyenek,,,, 009 pozitív vlós számok. Bizonyítsd be következőket: ) Minden pozitív vlós számr igz, hogy ( ). 4 b) Egyidőben nem teljesülhet következő egyenlőtlenségek mindegyike: ( ), ( ),..., 008 ( 009 ), 009( ) Megoldás. ) ( ), ebből, honnn 4 4, zz ( ) b) Tegyük fel, hogy léteznek z állításbn szereplő olyn,,,, 009 pozitív vlós számok, melyekre egyidőben teljesülnek fenti egyenlőtlenségek. Ekkor összeszorozv z egyenlőtlenségeket zt kpjuk, hogy ( ) ( ) 009 ( 009 ) Mivel ( ) minden pozitív vlós szám esetén, így 4 ( ) ( ) 009 ( 009 ) dódik, mi ellentmondást eredményez, tehát b) állítás igz. 4

28 . évfolym. A gödényházi sörivó versenyen hármn kerültek döntőbe: tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó. A kijelölt idő ltt tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye viszont háromszor nnyi, mint kántoré. Ki nyerte versenyt? I.Megoldás. Jelöljük tűzoltóprncsnok, kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre t -vel, k -vl és h -vl. Ekkor t k h és t h k. A két egyenletet kivonv dódik, hogy k h h k, zz 4k h, honnn beláthtó, hogy h k. Megállpíthtjuk tehát, hogy kántor nem nyerhetett, ezért most már elegendő tűzoltóprncsnok és hrngozó teljesítményét összehsonlítni. Ehhez fenti egyenletrendszert úgy lkítjuk, hogy k essen ki belőle (-ml szorozzuk z elsőt és hozzádjuk másodikhoz), zz 4t k h 6h k, honnn 4t 5h, vgyis t h. Tehát tűzoltóprncsnok nyert. II.Megoldás. A tűzoltóprncsnok olyn vödröt készíttetett, melynek térfogt pontosn z ő áltl elfogysztott sör mennyiségével egyezett meg. Így z ő teljesítménye vödör volt. Jelöljük továbbr is kántor és hrngozó áltl elfogysztott sörmennyiséget rendre k -vl és h -vl. Ekkor verseny jegyzőkönyve lpján tpsztltkt már felírhtjuk kétismeretlenes egyenletrendszerrel: k h és h k. Az első egyenletből k h, ezt második egyenletbe helyettesítve h (h ) dódik. Ebből 4 4 h és k h Mivel k és h kisebb -nél, ezért tűzoltóprncsnok nyert. III.Megoldás. A tűzoltóprncsnok és kántor együtt kétszer nnyi sört ivott meg, mint hrngozó. Eszerint hrngozó teljesítménye átlgos. Vgy vn nál jobb és gyengébb, vgy mindhárom egyform. A tűzoltóprncsnok és hrngozó együttes teljesítménye háromszor nnyi, mint kántoré. Eszerint viszont, h kántor helyére hrngozó kerül kétfős csptb, kkor kétfős cspt teljesítménye jvul kimrdt egy főhöz képest, tehát hrngozó teljesítménye ngyobb kántorénál. A fentiekből beláthtó, hogy sorrend: tűzoltóprncsnok, kántor,hrngozó. 5

29 . Felírtuk egy táblár -től 009-ig számokt, mjd vlmelyik két szomszédost letöröltük, és helyettük felírtuk különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet). Ezt z eljárást ddig ismételgettük, míg végül csk egy szám mrdt táblán. ) Mutssuk meg, hogy utolsó számként nem jöhet ki z 000. b) Adjunk egy eljárást, mely utolsó számként z 00-et eredményezi! Megoldás: ) H számsoroztból kihúzok két számot és helyükbe írom különbségüket ( ngyobból kivonv kisebbet), kkor és b szám esetén ( b ) számsorozt tgjink z összege b ( b ) szerint változik, vgyis kisebb szám kétszeresével csökken. Ezek szerint z összeg pritás nem változik. A természetes számokt összegezve 009-ig pártln számot kpunk, mert négy szomszédos szám (két pártln és két páros szám) összege mindig páros. 008-ig számok felbonthtók ilyen szomszédos számok lkott számnégyesekre, tehát összegük is páros. Ehhez hozzádv 009-et pártln számot kpunk. A fentiek lpján 000-et nem kphtunk végeredményként, mivel páros szám, kiindulásul vett számsorozt tgjink összege pedig pártln. b) Az előző rész fejtegetése lpján nem lehetetlen, hogy tláljunk egy ilyen eljárást. Figyeljük ismét szomszédos számokból képzett számnégyeseket. A zárójelbe tett számokt cseréljük ki különbségükre:,,, (, ), (, ), (, ) 0 vgyis szomszédos számokból álló számnégyesek nullár cserélhetők. Könnyen beláthtó, hogy tetszőleges számú 0 soroztos cserékkel egyetlen 0-r cserélhető. Ezek lpján:,,, 4, 5, 6, 7,8,, 997,998,999,000, 00, 00,00,004,005,, 006, 007, 008, 009 (,,, 4),, (997, 998, 999,000), 00, (00,00,004,005),, (006, 007, 008, 009) 0,, 0, 00, 0,, 0 0, 00, 0 00, 0 (00, 0) 00 Más megfelelő eljárás is létezik.. Legyen z ABCD trpéz érintőnégyszög, melynek z lpon fekvő szögei és. Igzold, hogy AB ctg ctg. CD Megoldás. Legyen S z ABCD trpéz beírt körének középpontj, és jelölje beírt kör érintési pontjit z AB és CD oldlkkl rendre M és M. Ekkor 6

30 AM MS ctg és BM MS ctg, MS r beírt kör sugr, ezért AB AM MB MS (ctg ctg ) r ctg ctg. Mivel SDM és SCM, ezért DM MS tg és CM MS tg, ebből következik, hogy CD CM DM MS tg tg r tg tg, vgyis AB CD ctg ctg ctg ctg. tg tg 4. Bizonyítsd be, hogy z n n 0 n n egyenlet gyökei vlósk és irrcionális számok minden n természetes számr! Megoldás. A egyenlet gyökei vlósk, h determináns D 0 és h D nem teljes négyzetszám, kkor zok irrcionálisk. Igzoljuk, hogy nincs olyn k egész szám, 4 n n n n n n melyre teljesül: D 4 k n n, zz k. n 4 Elégséges tehát igzolni, hogy n n n n nem négyzetszám. 4 4 Mivel ( n n) n n n és ( n n ) n n n n, vizsgált összeg két négyzetszám között vn, így z nem négyzetszám. 7

31 . évfolym. Egy bnk páncélszekrényén több különböző zár vn. Kulcsikt úgy osztották szét bnk négy pénztáros között, hogy páncélszekrény kinyitásához leglább hármuknk jelen kell lenni, de mind négynek nem, hogy náluk levő kulcsokkl ki lehessen nyitni z összes zárt. (Egy zárhoz többüknél is lehet kulcs, és egy embernél többféle kulcs is lehet.) Legkevesebb hány zár vn páncélszekrényen? Megoldás. Megmuttjuk, hogy leglább 6 zár vn páncélszekrényen. Mivel két pénztáros jelenléte kevés nyitáshoz, ezért bármelyik két pénztáros együttes kulcskészletéből leglább egy zár kulcs hiányzik. Bármelyik pénztáros párosnk más-más kulcs hiányzik szekrény kinyitásához, mivel h voln két páros, kikkel ugynnnk kulcsnk hiány mitt nem lehet páncélszekrényt kinyitni, kkor párosokból vló három pénztáros nem tudná kinyitni, holott feltétel szerint ennyi pénztáros erre mindig képes. A négy pénztárosból htféleképpen válszthtó ki kettő, tehát fentiek mitt leglább ennyi zár vn. H pénztárosokt A, B, C és D jelöli, zárkt, illetve hozzájuk trtozó kulcsokt z,,, 4, 5 és 6, kkor z lábbi táblázt muttj, hogy 6 zárr teljesülhet vlmennyi feltétel ( + jelenti pénztárosnál levő kulcsot): A B C D Htározd meg 4 4 sin cos sin cos sin sin egyenlet vlós megoldásit! Megoldás. Szorozzuk meg z egyenletet sin -el, ekkor sin 0, 5 7 honnn sin, vgyis k és k. Ekkor z egyenlet így 4 4 lkul: 4 4 sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0 sin cos sin cos sin cos 0 sin cos 0 sin cos sin cos 0 sin cos 0 sin 0 cos 0 8

32 k sin cos 4 7 k k 4 k 4 7 Mivel k értéket kizártuk, így z dott trigonometrikus egyenlet 4 megoldás z, M k k, k 4 hlmz.. Az y prbol P és, B,6 pontok áltl meghtározott szksz derékszögben látszik. Mekkor z APBP négyszög területe? P pontjából z A és Megoldás. Mivel P és P pontokból z AB szksz derékszögben látszik, ezért P és P illeszkedik z AB szksz Thálesz-körére, melynek középpontj C,4 pont, sugr, z egyenlete tehát y 4 4. Mivel P és P illeszkedik prbolár is, így y -tőt kör egyenletébe helyettesítve 4 4. Ennek z egyenletnek megoldási,,. z A, B pontokt dják, másik kettőből y 5. AB PP Így z AP BP négyszög deltoid, területe t 4. 9

33 0 4. Htározd meg zt pozitív számot, melyre z f függvény lehető legkisebb értékét veszi fel! Htározd is meg ezt legkisebb értéket! Megoldás. Vezessük be z t helyettesítést. Ekkor t t 6 6 t t ezért t t t t t t t t t t t f mivel t, ezért 6 f, tehát f legkisebb értéke 6, h.

34 A VII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY DÍJAZOTTJAI 8. évfolym. Bíró Dominik, Kizúr István Áltlános Iskol, Szbdk, I. díj. Horti Krisztin, Stevn Sremc Áltlános Iskol Emlékiskol, Zent, I. díj. Pós Vivien, Kis Ferenc Áltlános Iskol, Orom, III. díj 4. Ptki Zsók, Stevn Sremc Áltlános Iskol November, Zent, dicséret 5. Vörös Friderik, Stevn Sremc Áltlános Iskol November, Zent, dicséret 9. évfolym. Ngy Henriett, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj. Gyorgyevics Elvir, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj. Kiskároly Tíme, Dositej Obrdović Gimnázium, Topoly, III. díj 4. Pletikoszity Johnn, Svetozr Mrković Gimnázium, Szbdk, dicséret 5. Somogyi Hunor, Műszki Iskol, Szbdk, dicséret 0. évfolym. Piri Annmári, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Ripcó Ákos, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj. Körmöczi Andor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj 4. Pusin Igor, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 5. Gyrmti Dénes, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, III. díj 6. Kőrösi Blázs, Műszki Középiskol, Ad, III. díj. évfolym. Kovcsics Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj. Bálind Árpád, Műszki Középiskol, Ad, I. díj. Frks Lur, Svetozr Mrković Gimnázium, Újvidék, II. díj 4. Vrbski Iván, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, III. díj. évfolym. Kecsenovics Egon, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, I. díj. Blss Tmás, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj. Tóth Szbolcs, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, I. díj 4. Ágó Krisztin, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, Zent, II. díj 5, Kovcsics Tóbiás, Műszki Középiskol, Óbecse, III. díj 6. Berec Alendr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret 7. Guzsvány Szndr, Bolyi Tehetséggondozó Gimnázium és Koll., Zent, dicséret Díjzottk

35 A VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: dr. Klukovits Ljos Elődás címe: Egy művészetből született tudomány, projektív geometri Készülődés versenyre.

36 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. A nyáron egy kis flubn volt z osztály kirándulni. Az egyetlen bolt árukészlete minden reggel ugynz volt. Mi voltunk z első vásárlók és kiflik felét, zsemlék negyedét, tej egy ötödét elvittük, és ezért 800 dinárt fizettünk. Másnp z előző npivl zonos árukészletből kifliknek és zsemléknek is hrmdát, tejnek negyedét vittük el és most 500 dinárt fizettünk. Hrmdnp megint másként rendeltek z osztálytársk, és most kiflik htodát, zsemlék öt tizenketted részét, tejnek három tized részét vittük el. Mennyit fizettünk hrmdik npon?. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. Adott z lábbi három igz állítás: () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. El lehet-e dönteni fenti állításokból, hogy pontosn hány zöld spk vn dobozbn? Indokold!. Add meg z y 80 egyenlet pozitív egész megoldásit! 4. Az ABC háromszögben 90. Tükrözzük háromszöget C csúcsból induló mgsságvonlr. Így kpjuk z A BC háromszöget. Bizonyítsd be, hogy BCA háromszög derékszögű! A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát!

37 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. Egy mtemtik teszt megírásábn egy középiskol 00 tnulój vett részt, és z átlgpontszámuk 00 pont volt. Az lsóévesek szám 50%-kl több, mint felsőéveseké, felsőévesek átlg pedig 50%-kl több, mint z lsóéveseké. Mennyi felsőévesek átlgpontszám?. Melyik z legngyobb természetes szám, mely kisebb számjegyei négyzetösszegénél?. Az ABC egyenlőszárú háromszögben ( AC BC ) B csúcsnál lévő belső szög szögfelezője szemközti oldlt egy P pontbn metszi. Bizonyítsd be, hogy BP AP. 4. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. A következő négy állításból pontosn három igz. () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () H kiveszünk 46 spkát, lehet, hogy nincs köztük sem piros, sem kék. (4) Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. Hány zöld spk vn dobozbn? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 4

38 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december évfolym. H és b vlós számok és b [, ], kkor igzold, hogy ( b ) 4( b)( b ).. Egy szöcske ugrál kör kerületén z órmuttó járásávl megegyező irányb. Az első ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, második ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, és áltlábn k -dik ugrásánk egy k -os középponti szög felel meg. Hánydik ugrásávl kerül először olyn pontr, hol már járt?. Az ABC háromszög oldlin dottk z M BC, N AC és P AB pontok úgy, hogy AM, BN és CP egyenesek egy pontbn Q -bn metszik egymást. Htározd meg háromszög A és B szögeinek mértékét, h BAM 0, ABN 0, BCP 0 és ACP Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. A következő négy állításból pontosn három igz. () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () H kiveszünk 46 spkát, lehet, hogy nincs köztük sem piros, sem kék. (4) Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. Hány zöld spk vn dobozbn? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 5

39 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december 4.. évfolym. Egy szöcske ugrál kör kerületén z órmuttó járásávl megegyező irányb. Az első ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, második ugrásnk egy -os középponti szög felel meg, és áltlábn k -dik ugrásánk egy k -os középponti szög felel meg. Hánydik ugrásávl kerül először olyn pontr, hol már járt?. Igzold, hogy nem léteznek olyn m és n pozitív egész számok, melyekre m 4n és n 4m is négyzetszám!. Bizonyítsd be, hogy: cos cos cos 7 sin cos cos cos 4 cos8 sin6 4. Melyik ngyobb, log000 vgy log0 0? A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 6

40 VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 00. december 4.. évfolym. Oldd meg z dott egyenletrendszert: 6 6 y 65, 4 4 y y.. Melyik ngyobb, log000 vgy log0 0?. AB átmérőjű félkörbe beírtunk egy ABCD konve négyszöget ( C és D egy félkörön vnnk). Legyen P CD oldl egy tetszőleges pontj, vlmint Q P merőleges vetülete z AB -re. Igzold, hogy: QA QB PC PD PQ. 4. Az,,, pozitív számok számtni (ritmetiki) soroztot lkotnk. Igzold, hogy:. n n n n n A feldtok kidolgozásár 0 perc áll rendelkezésre. Jó munkát! 7

41 A VIII. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY FELADATAINAK MEGOLDÁSAI 8. évfolym. A nyáron egy kis flubn volt z osztály kirándulni. Az egyetlen bolt árukészlete minden reggel ugynz volt. Mi voltunk z első vásárlók és kiflik felét, zsemlék negyedét, tej egy ötödét elvittük, és ezért 800 dinárt fizettünk. Másnp z előző npivl zonos árukészletből kifliknek és zsemléknek is hrmdát, tejnek negyedét vittük el és most 500 dinárt fizettünk. Hrmdnp megint másként rendeltek z osztálytársk, és most kiflik htodát, zsemlék öt tizenketted részét, tejnek három tized részét vittük el. Mennyit fizettünk hrmdik npon? (A megoldásbn jelöljük kiflik, zsemlék és tej teljes npi árukészletének árát k, z és t betűkkel.) Megoldás. H kiflik, zsemlék és tej teljes npi árukészletének árát k, z és t betűkkel jelöljük, kkor k z t k z t 900 és k z t Arr vgyunk kíváncsik, hogy mennyi értéke. 6 0 Az első két feltételből nem tudjuk meghtározni k, z és t értékét. Mégis milyen összefüggés lehet három törtkifejezés között? Némi próbálgtás után rájöhetünk, hogy h z első egyenletből kivonjuk z második egyenletet, kkor megkpjuk keresett értéket. Vlóbn, k k k z z z t t t,, Eszerint hrmdik npon = 40 dinárt fizettünk.. Egy dobozbn piros, 5 kék, 0 fehér és vlhány zöld spk vn. Ezek csk színükben különböznek. A dobozból csukott szemmel tlálomr vehetünk ki spkákt. Adott z lábbi három igz állítás: () H kiveszünk 6 spkát, biztosn vn köztük fehér. () Leglább 59 spkát kell kivennünk hhoz, hogy biztosn legyen köztük zöld. () Legfeljebb 5 spkát vehetünk ki úgy, hogy ne legyen köztük piros. El lehet-e dönteni fenti állításokból, hogy pontosn hány zöld spk vn dobozbn? Indokold! Megoldás. Vizsgáljuk meg sorbn, melyik állításból milyen következtetést vonhtunk le zöld spkák számáról. () Legfeljebb 6 nem fehér spk vn, így zöldből nél nem lehet több. (Az állításból nem következik, hogy pontosn 4 zöld vn, hiszen lehet, hogy már 60 kihúzott spk között is vn zöld.) () Összesen nem zöld spkánk vn, így ez z állítás mindig igz. () A nem piros spkák szám 5, zz zöld spk vn dobozbn. 8