Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Átírás

1 átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces

2 átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok szám m átrix (i, j)-edik eleme: ij i: soridex i =,,m j: oszlopidex j =,, átrixok/2

3 Egyelő mátrixok, mátrix trszpoáltj Két mátrix egyelő, h típusuk megegyezik és megfelelő elemeik redre megegyezek. átrix trszpoáltj: Az A m x -es mátrix trszpoáltjá zt z x m es mátrixot értjük, melyek (i,j)-edik eleme egyelő z A mátrix (j,i)- edik elemével. Jel.: A T egjegyzés: A trszpoált mátrixot z eredeti A mátrixból sorok és oszlopok felcserélésével kpjuk. A mx = m m2 O 2 m A T xm = O m m2 m átrixok/3

4 Speciális mátrixok Sorvektor: ( x )-es mátrix, Jel.: = (,, ) Oszlopvektor: ( x )-es mátrix, Jel.: = Négyzetes mátrix: ( x )-es mátrix A x = O 2 főátló (fődigoál):, 22,, átrixok/4

5 Speciális mátrixok (folyt.) Digoális mátrix: oly égyzetes mátrix, melyek főátló kívüli elemei mid ullák. 22 A x = = dig ( O Szimmetrikus mátrix: oly A=( ij ) x égyzetes mátrix, melybe ij = ji i,j =,,. egjegyzés: A szimmetrikus, 22,, A = A T ) átrixok/5

6 átrixok/6 Speciális mátrixok (folyt.) Egységmátrix: oly digoális mátrix, melyek főátlójáb egyesek állk. Nullmátrix: oly mátrix, melyek mide eleme ull. = O E x = O mx

7 átrixműveletek átrixok összedás: Legye A = ( ij ) mx és B = (b ij ) mx két zoos méretű mátrix. Ekkor A és B összege: A + B = ( ij + b ij ) mx átrix sklárrl vló szorzás: Legye A = ( ij ) mx és λ R. Ekkor z A mátrix λ- szoros: λ A = (λ ij ) mx Két mátrix külöbsége: szármzttott művelet A - B = A +(-) B = ( ij - b ij ) mx átrixok/7

8 Az összedás és sklárrl vló szorzás tuljdosági A mátrixösszedás és sklárrl vló szorzás tuljdosági:. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + B = B + A 3. A + = A 4. A + ( A) =, hol A=(-) A mátrixot z A mátrix elletettjéek evezzük. 5. (λ+µ) A = λ A + µ A 6. λ (A + B) = λ A + λ B 7. λ (µ A) = (λ µ) A 8. A = A átrixok/8

9 átrixműveletek (folyt.) átrixok szorzás: Legyeek A = ( ij ) mx és B = (b jk ) xp mátrixok. Ekkor z A és B mátrixok szorzt z C mxp-s mátrix, melyek (i,k)-dik eleme: c ik = i b k + i2 b 2k + + i b k Figyelem! Két mátrix összeszorozhtóságák feltétele, hogy z első mátrix oszlopik szám megegyezze második mátrix sorik számávl. átrix htváy: H A égyzetes mátrix, kkor A = A A A ( -szer szorozzuk A-t ömgávl, hol pozitív egész) átrixok/9

10 A mátrixszorzás tuljdosági A mátrixszorzás tuljdosági:. Áltláb: A B B A (em kommuttív) 2. Asszocitív, zz h z A (B C) szorzt létezik, kkor z (A B) C szorzt is létezik és A (B C) = (A B) C 3. A (B + C) = A B + A C (blról disztributív) 4. (A + B) C = A C+ B C (jobbról disztributív) 5. Zérusosztós művelet, zz két mátrix szorzt úgy is lehet ullmátrix, hogy két mátrix egyike sem ullmátrix. 6. A mx xp = mxp, illetve mx A xp = mxp 7. A mx E x = A mx, illetve E mxm A mx = A mx 8. (λ A) B = A (λ B) átrixok/

11 átrixok/ átrix oszlopvektori Tekitsük egy mátrixot! Oszlopvektorok: A = [ ] hol drb m dimeziós oszlopvektor = m m m mx A O = = m m 2 2,,

12 átrix sorvektori Tekitsük egy mátrixot! Sorvektorok: A mx = A mx 2 m = m 2 22 m2 O 2 m hol = (,, ),, m = ( m,, m ) m drb dimeziós sorvektor átrixok/2

13 átrix rgj átrix oszloprgj: Egy mátrix oszloprgjá z oszlopvektoriból álló vektorhlmz rgját értjük, zz h A mx = [ ], kkor r o (A) = r({,, }). átrix sorrgj: Egy mátrix sorrgjá sorvektoriból álló vektorhlmz rgját értjük, zz h A mx = m, kkor r s (A) = r({,, m }). Igzolhtó, hogy bármely mátrix eseté sor- és oszloprg megegyezik. Ezt közös értéket rövide mátrix rgják evezzük: r(a) = r s (A) = r o (A) átrixok/3

14 A trszpoálásr votkozó szbályok (állítások) A trszpoálásr votkozó szbályok: (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (λ A) T = λ A T (A B) T = B T A T r (A) = r (A T ) átrixok/4

15 Négyzetes mátrix iverze Ivertálhtóság, iverzmátrix: Legye A egy x-es égyzetes mátrix. A-t ivertálhtók evezzük, h v oly X x-es mátrix, melyre A X = X A = E x. Ekkor X-t z A mátrix iverzéek hívjuk és A - -gyel jelöljük. Az ivertálhtóság feltétele: Az A x-es mátrix ivertálhtó r (A) =. átrixok/5

16 átrixok/6 átrix ivertálás bázistrszformációvl Legye A x = [ ] egy égyzetes mátrix. Ekkor z A - iverzmátrix z e,, e koikus bázisvektorokk z,, vektorokr, mit bázisr votkozó koordiátáiból épül fel. e e e e K K A E e e K A -

17 Az ivertálás szbályi (állítások) Az ivertálás szbályi: Legyeek A és B ivertálhtó x-es mátrixok. Ekkor: A - ivertálhtó és (A - ) - = A. A B ivertálhtó és (A B) - = B - A -. A T ivertálhtó és (A T ) - =(A -)T. λ A ivertálhtó és (λ A) - =/λ A -, hol λ ullától külöböző vlós szám. átrixok/7

18 Négyzetes mátrix determiás Részmátrix: Legye A = ( ij ) x-es mátrix. Az A mátrix ij elemhez trtozó részmátrixá zt z (-)x(-)-es mátrixot értjük, melyet z A mátrixból k i-edik sorát és j-edik oszlopát elhgyv kpuk. Jel.: A ij. Négyzetes mátrix determiás: (rekurzív defiíció). Legye A = [ ] x-es mátrix. Ekkor A determiás: det (A) =. 2. Legye A = ( ij ) x-es mátrix, hol 2. Ekkor A determiás: (első sor szeriti kifejtés) det( A ) = j= ( ) + j j det( A j ) átrixok/8

19 Négyzetes mátrix determiás (folyt.) A defiícióból dódó észrevételek: 2x2-es mátrix determiás: det (A) = ( főátlóbeli elemek szorzt míusz mellékátlóbeli elemek szorzt ) A determiás meghtározásák számolási igéye rohmos övekszik mátrix méretével. Digoális mátrix determiás egyelő főátlóbeli elemek szorztávl. átrixok/9

20 Sorok és oszlopok szeriti kifejtés tétele Egy égyzetes mátrix determiás bármelyik sor ill. oszlop szerit kifejtve megkphtó. Az i-edik sor szeriti kifejtés képlete: det( A ) = j= ( ) i+ j ij det( A ij ) A j-edik oszlop szeriti kifejtés képlete: det( A) = ( ) det( A Következméy: det (A) = det (A T ). i= i+ j ij ij ) átrixok/2

21 A determiás tuljdosági (állítások) A determiás tuljdosági egyrát igzk sorokr és oszlopokr megfoglmzv.. H mátrix vlmely oszlopáb csup ull áll, kkor determiás értéke. 2. H mátrix két tetszőleges oszlopát felcseréljük, determiás (-)-szeresére változik. 3. H mátrixb v két zoos oszlop, kkor determiás értéke. 4. Legye A x = [ j ], hol j = j + j. Ekkor: det(a) = det([ j ]) + det([ j ]). átrixok/2

22 A determiás tuljdosági (folyt.) 5. Legye A x = [ j ], hol j = λ j. Ekkor: det(a) = λ det([ j ]). 6. Legye A x-es mátrix és λ R. Ekkor: det(λ A) = λ det(a). 7. H mátrix vlmely oszlopához hozzádjuk egy másik oszlop sklárszorosát (zz ú. elemi oszlopátlkítást hjtuk végre), kkor determiás értéke em változik. 8. Szorzás-tétel: Legyeek A és B x-es mátrixok. Ekkor: det(a B) = det(a) det(b). 9. Legye A ivertálhtó mátrix. Ekkor: det(a - ) = / det(a). átrixok/22

23 Négyzetes mátrixok osztályozás Nemsziguláris mátrixok Az lábbi állítások ekvivlesek: oszlopvektorok lieáris függetleek r(a x ) = ( mátrix teljes ivertálhtó det(a) rgú) Sziguláris mátrixok Az lábbi állítások ekvivlesek: oszlopvektorok lieáris összefüggőek r(a x ) < ( mátrix em em ivertálhtó det(a) = teljes rgú) átrixok/23

24 A determiás lklmzás. Négyzetes mátrix djugáltj és z iverzmátrix Négyzetes mátrix djugáltj: Legye A = ( ij ) x egy égyzetes mátrix. Ekkor z A mátrix djugáltj z z x-es mátrix, melyek (i,j)-edik eleme: (-) i+j det(a ji ). Jel.: dj(a) egjegyzés: A feti defiíció lpjá levezethető, hogy egy 2x2-es mátrix djugáltját megkphtjuk úgy, hogy főátlób lévő elemeket megcseréljük, mellékátlób lévő elemeket pedig szorozzuk --gyel. Az djugált és z iverzmátix kpcsolt: Legye z A égyzetes mátrix ivertálhtó. Ekkor: A = dj( A) det( A) átrixok/24

25 A determiás lklmzás 2. A vektoriális szorzt számolás Legye = (, 2, 3 ) és b = (b, b 2, b 3 ) két tetszőleges térbeli vektor. Ekkor z b vektoriális szorzt megkphtó z lábbi determiás első sor szeriti formális kifejtésével: b = i det( b b j 2 2 k b 3 3 ). átrixok/25