1. függelék. Mátrixszámítási praktikum-i. Mátrixaritmetikai eljárások

Átírás

1 . függelék-/5 oldl Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budpest Kemometri tnfolym, Szepesváry Pál. függelék Mátrixszámítási prktikum-i. Mátrixritmetiki eljárások

2 . függelék-2/5 oldl Bevezető megjegyzés A sokváltozós sttisztiki módszereket m lineáris lgebrár és mátrixszámításr támszkodv ésszerű tárgylni. Ez megállpítás egyránt érvényes feltáró, lkfelismerő sttisztik körébe trtozó eljárásokr, és zokr is, melyek jelenségeket leíró jó fiziki és kémii modelleket keresik, megítélik, zok prmétereit becslik. Nyomtékosn jánltos tehát, hogy módszereket lklmzók mátrixszámítás és lineáris lgebr lpjit ismerjék. Szerencsére mindkét területről lklms könyvek íródtk. Ezek közül sok más mellett, mint viszonylg könnyen hozzáférhető források megemlíthetők következők: Rózs P.: Lineáris lgebr és lklmzási. Tnkönyvkidó, Budpest, 99. Schrnitzky V.: Mátrixszámítás. (Bolyi könyvek) Műszki Könyvkidó, Budpest Korn, G.A. és Korn, T.M.: Mtemtiki kézikönyv műszkiknk. Műszki Könyvkidó, Budpest, Horvi G (szerk): Sokváltozós dtelemzés (kemometri), Nemzeti tnkönyvkidó, Budpest, Fng Ki-Ti és Zhng Yi-Ting: Generlized Multivrite Anlysis. Springer Verlg, Berlin, Az itt következő prktikum z ELTE TTK-n elhngzó Sokváltozós sttisztiki módszerek és Kemometri elődásokhoz emlékeztetőként készült, példákt mutt be és bizonyos, idevágó MATLAB és egyes EXCEL progrmozási ismereteket is d. Az nyg, jellegénél fogv nem helyettesíti sem z említett tnkönyveket, sem MATLAB progrmozási kézikönyveket. Nem fogllkozik például beviteli és kiviteli utsításokkl és progrmok közötti dtcserével. A közölt ismeretek elmélyithetők ppirlpú vgy letölthető progrmozási kézikönyvekkel, és természetesen vontkozó szkirodlomml.

3 . függelék-3/5 oldl Trtlom. Mátrixokkl kpcsoltos definíciók és jelölések 2. Egyes fontosbb mátrixok 3. Alpműveletek 3.. Trnszponálás 3.2. Additiv műveletek 3.3. Multipliktív műveletek ) Vektor és mátrix szorzás sklárrl b) Vektor szorzási vektorrl Skláris szorzás Diádikus szorzás c) Mátrix szorzás mátrixszl Értelmezés sorok és oszlopok skláris szorztként Értelmezés diádok összegeként 4. Mátrixok egyes jellemzói és skláris függvényei 4.. A mátrix mérete 4.2 A mátrix átlój 4.3. A mátrix nyom 4.4. A mátrix determináns 4.5. Mátrixok és vektorok normái 5. Mátrixok inverzei 5.. Négyzetes mátrix inverze 5.2. Moore-Penrose inverz

4 . függelék-4/5 oldl. Mátrixokkl kpcsoltos definíciók és jelölések A mátrix vlós vgy komplex számok rendezett táblázt, melyre bizonyos műveletek vnnk értelmezve.... J A =... = [ i, j ] (.) I... I J A mátrixokt A, B, X ngybetűkkel szokás jelölni. Az ij számok mátrix skláris elemei. Az ij elem mátrix i-edik sorábn és j-edik oszlopábn áll.h sorok drbszámát I-vel, z oszlopok drbszámát J-vel jelöljük, z A mátrix I x J méretű. Az egyetlen sorból álló, x J méretű mátrixot (sor)vektornk, egyetlen oszlopból álló, I x méretű mátrixot (oszlop)vektornk nevezik. A vektorokt szokásosn, b,..., x kisbetükkel jelölik. Az A mátrix i-edik sor: [ ] i = i i2 ij... (.2) Az A mátrix j-edik oszlop: j 2 j j = (.3). I j Igen hsznos, h mátrixok jele ltt, vgy mellett feltüntetjük méretüket: A,A,,,. vgy.. A I,J 3,2 I,3,5 I,j, A 3,2, I,3,,5 Bizonyos sorok és oszlopok elhgyásávl z eredeti A mátrix minormátrixát (minorát) kpjuk. Az i-edik sor és j-edik oszlop elhgyásávl keletkezett (I ) x (J ) méretű minor jele A ij. Szintxis: <mátrixnév> = < változónév> <változónév> = <betü> <betü><számjegy> <változónév><betü> <változónév><betü><számjegy <betű> = <kisbetü> <ngybetü> <számjegy> = <kisbetü> = b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z <ngybetü> =A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z N.B. A változónév mx. hossz: 63 jel. Mgános i : imginárius egység. Változónév ne egyezzék MATLAB függvénynávvel! Ellenőrzés: help <változónév>

5 . függelék-5/5 oldl Mátrix, vektor, minor: >> A=[3 4-2;- 0 3; ;3 2 ] A = >> x = [5 6 7] = >> 2=A(2,:3) = >> A43=A(:3,:2)= számávl, I 2. Egyes fontosbb mátrixok Négyzetes (kvdrtikus) mátrix z olyn mátrix, melynél sorok szám egyezik z oszlopok = J A négyzetes mátrix I x I méretű, I-ed rendű. Átlós (digonális) mátrix zérustól eltérõ elemei, zz eltérõ indexű elemei zérusok: 0 h i j i j = z olyn négyzetes mátrix, melynek csk fõátlójábn vnnk Egységmátrix (I) z olyn I x I méretű átlós mátrix, mely csk -eseket trtlmz. Az egységmátrix elemei: i j 0 = δ i j = h i j h i = j Zérusmátrix, (0) z olyn I x J méretű mátrix, melynek minden eleme 0. Egyesmátrix () z olyn I x J méretű mátrix, melynek minden eleme NEGYZ = ATLOS = SZIMM =

6 . függelék-6/5 oldl Bizonyos mátrixok utsítássl is előállíthtók: >> NULL= zeros(4,3) >> EGYES=ones(4,) NULL = EGYES = >> E=eye(3,3) E = Alpműveletek 3.. Trnszponálás Az A I x J méretű mátrix trnszponáltj zon A T J x I méretű mátrix, melynek sori A oszlopi és oszlopi A sori. Azz A T i,j-edik eleme A mátrix ji eleme. A = >> A'= Additiv műveletek Az A I x J és B I x J méretű mátrixok összege(különbsége) zon C I x J méretű mátrix, melynek i,j-edik eleme A és B i,j-edik elemének összege (különbsége): [ ] ± [ b ] = C = [ ± c ] A ± B = (3.) I,J I,J ij ij I,J ij ij

7 . függelék-7/5 oldl A = B = >> C=A+B = Multipliktív műveletek ) Vektor és mátrix szorzás sklárrl A I x J méretű mátrix és b skláris mennyiség szorzt zon I x J méretű mátrix, melynek i,jedik eleme A minden i,j-edik elemének és b-nek szorzt. [ i ] [ b ] b A = b = (3.2) j ij >> A = lf = 3.46 >> lf*a = b) Vektor szorzási vektorrl Skláris szorzás x I méretű és b I x méretű vektor skláris szorzt zon c sklár, mely két vektor zonos indexű elemei szorztánk összege. b I c = b = [ ] LI L = ibi (3.3),I I, i= b I Megjegyzés: EXCEL-ben skláris szorzást =SUMPRODUCT(rry,rry2) utsítássl lehet elvágezni, hol rry és rry2 prméterekben z összeszorzndó vektorok munklpbeli

8 . függelék-8/5 oldl helyét kell megdni. (Esetünkben: A2:A4, B2:b4) Az eredmény számár fenntrtott celláb (esetünkben A5) =SUMPRODUCT(A2:A4,B2:B4) utsítást kell beírni. A B Diádikus szorzás I x méretű és b x J méretű vektor diádikus szorzt zon C mátrix, melynek c ij eleme i és b j elemek szorzt. b b2 L bj C = b = [ ] = L blb J, L (3.4) I,J IJ I Ib I b2 L I bj >> = 2 3 >> b = >> c=*b = 20 >> d = 2 3 >> f= >> C=d*f = c) Mátrix szorzás vektorrl A I x J és b J x méretű mátrixok szorzt zon c I x méretű vektor, melynek i-edik eleme A i-edik soránk és b vektornk skláris szorzt: J A b = c = i jb jk (3.5) T,J J, I, j= d) Mátrix szorzás mátrixszl Értelmezés sorok és oszlopok skláris szorztként A I x J és B J x K méretű mátrixok szorzt zon C I x K méretű mátrix, melynek i,k-dik

9 . függelék-9/5 oldl eleme A i-edik soránk és B j-edik oszlopánk skláris szorzt: (i) A B = C; c = b I,J J,K I,K ik k = J j= ij b jk (3.6) Értelmezés diádok összegeként Miután C mátrix szorzt i,k-dik eleme J drb ij b jk elemszorzt összege c = b + b + L + ik i k i2 2k ij Jk, b z AB szorzt J drb mátrix összegeként is felfoghtó, hol mátrixok és b vektorok diádikus szorzásávl keletkeznek. A B = b + b + I,J JK (3.7) IK I2 2K 2 J L + b = L K 2 2K J IJ JK I [ b Lb ] + L [ b Lb ] + L + L [ b Lb ] I 2 IJ JK 4. Mátrixok egyes jellemzói és skláris függvényei 4.. A mátrix mérete Egy mátrix méretét két szám, I soráink és J oszlopánk szám dj meg. >> A = >> size(a)= 4 3 (Size(A) kételemű vektor) 4.2 A mátrix átlój NEGYZ = >> dig(negyz) = - (I elemű vektor) >> dig(dig(negyz)) =

10 . függelék-0/5 oldl I x I elemú mátrix) 4.3. A mátrix nyom Az A I x I méretű (négyzetes) mátrix Spur nevű és Sp(A) jelű, vgy trce nevű és trce (A) módon jelölt nyom z A fõátlóbn elhelyezkedõ elemek összege: I ii i= trce(a ) = (4.) >>NEGYZ = >> trce(negyz) = 4.4. A mátrix determináns Az A I x I méretű (négyzetes) mátrix determináns zon det(a)-vl jelölt skláris mennyiség, melyet következő kifejtési szbállyl lehet meghtározni: J k = I det(a ) = A = A (4.2) ik ik k = kj kj hol i és j mátrix bármely soránk vgy oszlopánk indexei,. A ik ill. A kj z ik ill. kj elemekhez trtozó előjeles ldeterminánsok. Az A mátrix determináns egyenlő sjátértékeinek szorztávl (l. 2. függelék). I det( A ) = λ (4.3) i= i >>A = >> det(a) = -4 >> lmbd = eig(a) = i i >> deta =lmbd()*lmbd(2)*lmbd(3) deta = i

11 . függelék-/5 oldl 4.5. Mátrixok és vektorok normái A tetszõleges I x J méretű A mátrix normái mátrix elemeinek számértékét jellemző, A k - vl jelölt skláris mennyiségek. Számos norm definiálhtó, melyek közül legelterjedtettebbek legngyobb oszlopösszeg: A I sup j I i= i j (4.4) legngyobb sorösszeg: A II sup i J j= i j (4.5) és p-norm: A p I i= J j= i j p / p p =, 2,... (4.6) (4.6) speciális változt (p = esetén) z bszolutérték-norm: I J A i= j= i j, (4.7) mátrix elemei bszolut értékének összege. p = 2 esetén kphtó z euklideszi vgy Frobenius norm: A 2 I J i= j= i j 2 / 2, (4.8) mátrix sor- (vgy oszlop) vektori euklideszi hosszink összege. Ez norm számíthtó, mint z A T A mátrix nyománk négyzetgyöke: T T A = trce( A A) = trce( AA ) (4.9) F Hsználtos norm még mátrix legngyobb szinguláris értéke.. (l. 2. függelék)

12 . függelék-2/5 oldl MATLAB NORM(X,) is the lrgest column sum of X = mx(sum(bs(x))). NORM(X,inf) is the lrgest row sum of X = mx(sum(bs(x'))). NORM(X,'fro') is the Frobenius norm = sqrt(sum(dig(x'*x))). NORM(X) is the lrgest singulr vlue of X = mx(svd(x)). >> A = >> norm(a,) = 8 >> norm(a,inf) = 9 >> norm(a,'fro') = >> norm(a) = Mátrixok inverzei Vektorok között z osztás nincs értelmezve, vektorrl nem lehet osztni. Mátrixok esetén viszont z osztást reciprok mátrixszl vló szorzás hjtj végre. A reciprok vgy z A módon jelölt inverz mátrix z eredeti A mátrixszl szorozv z E egységmátrixot dj: AA - =A - A = E (5.) Inverz mátrix zonbn csk négyzetes mátrixnk vn, feltéve mellett, hogy determináns nem 0. Tetszõleges I x J méretű A mátrixnál is kiszámíthtó zonbn olyn J x I méretű A + mátrix, melyre teljesülnek z AA + A = A (5.2) A + AA +- = A + (5.3) (AA + ) T = AA + (5.4) (A + A) T = A + A (5.5) követelmények. Ez mátrix z A mátrixnk A + -szl jelölt Moore-Penrose- vgy áltlánosított inverze. Beláthtó, hogy z A - mátrix is teljesíti fenti négy követelményt, vlmint z is, hogy I > J esetén z A + A mátrixszorzt egységmátrix, z AA + szorzt zonbn zérus determinánsú I x I méretű 5.. Négyzetes mátrix inverze A I x I méretű négyzetes és nemszinguláris (nem 0 determinánsú, nem zérus sjátértékű) mátrix inverze A djungált mátrixánk és determinánsánk hánydos:

13 . függelék-3/5 oldl A = ( A) dj det( A) (5.6) Az djungált mátrix zon J x J méretű (J = I) mátrix, melynek i,j -edik eleme z A mátrix j-edik soránk és i-edik oszlopánk elhgyásávl keletkezett minormátrix lgebri (elõjeles) ldetermináns: [ ] dj( A ) = (5.7) A ji összefüggés. Megjegyezhetó, hogy gykorltbn z inverz mátrixot nem z (5.6) összefüggéssel számítják ki. H A nemzérus átlós elemeket trtlmzó digonális mátrix, inverze digonális elemek reciprokit trtlmzó digonális mátrix. / /... 0 A 22 = / II (5.8) MATLAB >>M = >> inv(m) = lehet Megjegyzés: Mátrixot invertálni EXCEL-ben MINVERSE(rry)utsítássl Az utsítást tömbutsításként (rry function) kell kidni. Az invertálás lépései: ) Invertálndó mátrixot beírni (A:C3) 2) Inverz mátrix helyét kijelölni (A5:C7) 3) F2 4) Inverz mátrix első celláj helyére beirni: MINVERSE(A:C3) 5) CTRL SHIFT ENTER

14 . függelék-4/5 oldl A B C Moore-Penrose inverz H A álló tégllp mátrix, zz I > J esetén és J x J négyzetes A T A mátrixszorzt invertálhtó (determináns nem 0), kkor A mátrixnk J x I méretű A + Moore-Penrose inverze A + = (A T A) A T (5.9) müvelettel állíthtó elő. Fekvõ tégllp lkú (J > I), A mátrixnál z I x J méretű inverz: A + = A T (AA T ), (5.0) feltéve, hogy AA T I x I méretű mátrix invertálhtó. MATLAB >> A = >> inv(a'*a)*a'= >> pinv(a)= pinv(a) utsítás (Penrose inverse) (5.9) ill. (5.0) műveleteket hjtj végre.

15 . függelék-5/5 oldl Megjegyzés: EXCELBEN z (esetünkben) A:C4 területre elhelyezett A mátrix Moore-Penrose inverzét A + helyének kijelölése (A6:D8), z F2 billentyű lenyomás és z =MMULT(MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(A:C4),A:C4)),TRANSPOSE(A:C4)) utsítás A6 celláb vitele után, CTRL SHIFT ENTER leütés után lehet megkpni. A B C D