SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kar. Orova Lászlóné dr. Számítástechnika I. Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok. Gödöllő, 2004."

Átírás

1 SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Számítástechnik I. Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllő,.

2 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Bevezető A Számítástechnik I. tntárgy keretében hllgtók megismerkednek z informtiki lpokkl, mjd z Ecel tábláztkezelő hsználtát sjátítják el. Ez feldtgyűjtemény összefogllj e tárgy keretében okttott, Ecellel kpcsoltos főbb témköröket, ismertnek tekintve z lpvető tábláztkezelői műveleteket, mint pl. formázás, képletek bevitele, beépített függvények beszúrás. Az Ecel további lklmzási területeivel Számítástechnik II. tárgy fogllkozik. A példtár szerkezete: témkörönként rövid elméleti összefoglló, kidolgozott péld, mjd gykorlásr jánlott feldtok, melyek megoldás példtár végén megtlálhtók. Jelen példtár Dr. Molnár Sándor Számítástechnik I. tárgy keretében trtott elődásir épül. A példtár hsználtát megkönnyíti Dezső Ottó, Dr. Csikós Miklósné: Számítástechnik II. jegyzetének ismerete, mely Szent István Egyetemen jelenik meg évente. Ez feldtgyűjtemény kézirt, lehetséges, hogy még trtlmz hibákt. Minden egyes, először jelzett hibáért pontjutlmt d szerző. Trtlomjegyzék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS. MÁTRIXMŰVELETEK 8. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA. FELADATOK EREDMÉNYE 8

3 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. FÜGGVÉNYÁBRÁZOLÁS Az Ecel függvényt megdó mtemtiki összefüggés lpján nem tudj közvetlenül függvény görbéjét lerjzolni, de síkbeli (térbeli) pontokt dott koordinátákkl meg tud jeleníteni. A függvényábrázolás főbb lépései: A függvény néhány pontjánk meghtározás: pontok koordinátáit trtlmzó táblázt. A pontok ábrázolás digrmvrázsló segítségével Pont (y), vgy Felület típusú digrmml, ttól függően, hogy függvény egy-, vgy kétváltozós. Függvényábrázolás Descrtes-féle koordinátrendszerben Kidolgozott feldt Ábrázolj z f ( ) ln sin függvényt z [;] intervllumon.-es lépésközzel! (Trigonometrikus függvény rdiánt hsznál z Ecelben.) Kidolgozás

4 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Függvényábrázolás polárkoordinát rendszerben A polárkoordinát rendszerben megdott függvényt először át kell írni Descrtes-féle koordinát rendszerbe, mjd zt z előzőekhez hsonlón lehet ábrázolni: Kidolgozott péld Ábrázolj z r ϕ függvényt [;ϕ ] intervllumon! Kidolgozás

5 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kétváltozós függvény ábrázolás Kidolgozott feldt: Ábrázolj f(,y) y függvényt [-;] intervllumon! Kidolgozás Felület típusú digrm lklmzásávl: Egyenlet megoldás grfikusn Feldt: f()g() meghtározás Egy digrmon ábrázolv f() és g() függvényeket görbék metszéspontjánk leolvsásávl z egyenlet közelítő megoldás meghtározhtó. Kidolgozott péld sin,? [-;] intervllumon.

6 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Kidolgozás Az egyenlet megoldás ±, Egyenlet megoldás Célérték-kereséssel Egyenlet megoldásár z Ecel beépített lehetősége Célérték-keresés. Főbb lépések Az egyenlet konstnsr rendezése Az egyenlet ismeretlent trtlmzó oldlánk celláb vitele Ecel képletként, kezdeti érték felvételével Eszközök menü Célérték-keresés Csk kezdeti értékhez legközelebbi gyököt tlálj meg, többit más kezdeti értékhez trtozó Célérték-kereséssel lehet meghtározni. Érdemes ezért először grfikusn meghtározni gyökök számát és körülbelüli értékét. Kidolgozott péld Oldj meg ln sin, egyenletet z [;] intervllumon, Az egyenlet bl oldlánk ábrázolás megdott intervllumon gyökök szám:, gyökök közelítő helye, ;, 6 ; 6, ld.. oldlon görbét. 6

7 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék A három különböző gyökre külön-külön Célérték-keresés: Célcell: képletet trtlmzó cell (egyenlet bl oldl) Célérték: milyen értéke legyen képletnek (egyenlet jobb oldl). Mindig egy vlós szám! Módosuló cell: hol változó vn. (Az értékét trtlmzó cell, mire képletben hivtkozunk.) Eredmény módosuló cellábn olvshtó le: A8,87 A másik két kezdeti értékre is lefutttv Célérték-keresést:,96997,,769 Feldtok. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [;] intervllumon!. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;] intervllumon,-es lépésközzel!. cos( ) Ábrázolj z h ( ) függvény görbéjét [-;] intervllumon! sin. Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon!. Ábrázolj z r( ϕ ) sin( ϕ / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon.6 Ábrázolj f (, y) sin cos y függvényt [-;] intervllumon! 7

8 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. MÁTRIXMŰVELETEK Összedás, kivonás Mátriok összedás, kivonás: megfelelő elemek összege (különbsége), csk zonos méretű mátriokkl végezhető műveletek. Kidolgozott péld A B?, h Főbb lépések A kiindulási mátriok Ecel tábláztb, tömbbe írás, mátri minden egyes eleme külön celláb kerül. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B:D7 tömb. Szerkesztőlécen képlet beírás: két tömb összege ( tömbök megfelelő celláink összege) A B Az eredménynek több cellábn kell megjelennie (többértékű függvényt lklmztunk), ezért nem Enter-rel, hnem Ctrl Shift Enter együttes lenyomásávl zárjuk szerkesztést. (Érdemes z Enter-t utoljár lenyomni, miközben másik két billentyűt benyomv trtjuk.) Az eredmény: Mátri szorzás konstnssl Kidolgozott péld: Htározz meg B c A mátriot, h c! A megoldás menete z összevonáshoz hsonló: A kiindulási dtok bevitele. Az eredmény mátri helyének kijelölése: B:D7 tömb. Szerkesztőlécen képlet beírás: G*B:D Ctrl Shift Enter Az eredmény: 8

9 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Mátriok szorzás Két mátri összeszorozhtó, h méretükre igz: z első mátri oszlopink szám megegyezik második mátri sorink számávl. Az eredménymátri sorink szám z első mátri sorink számávl, z oszlopink szám második mátri oszlopink számávl egyenlő. A fentiekből következik, hogy tényezők sorrendje csk speciális esetben cserélhető fel. Mátriszorzás lépései Ecelben: A mátriok tábláztr vitele. Eredménymátri tömbjének kijelölése. Beépített függvény hsznált mszorzt(tömb;tömb) Ctrl Shift Enter Kidolgozott péld AB?, h A B Lépések: A mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, mszorzt(b:d6;g:h), Ctrl Shift Enter Eredmény: 9

10 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Mátri trnszponálás A mátri trnszponálás megfelelő sorok és oszlopok felcserélése. Kidolgozott péld Állíts elő z A mátri trnszponáltját! A Megoldás menete mátriok tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, trnszponálás(b:d) Ctrl Shift Enter Mátri determináns Az A négyzetes mátri determináns: det A, egy vlós szám. H det A, kkor z A mátri sori, oszlopi lineárisn függetlenek, zz egyik sor (oszlop) sem állíthtó elő többi sor(ok) (oszlop(ok)) vlmelyikeinek lineáris kombinációjként. (Pl. másik két sor összegeként, különbségeként, z egyik oszlop - szorosként, stb ). H det A, kkor éppen ellenkezőleg, z A mátri sori, oszlopi lineárisn összefüggők. (Pl. egyik sor előállíthtó másik két sor különbségének -szöröseként, stb ) Kidolgozott péld det A?, h A 7 Megoldás menete mátri tábláztb vitele után: Eredmény cellájánk kijelölése, mdeterm(tömb), Enter, mivel z eredményt egyetlen cellábn kell kiírtni.

11 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Mátri inverze Az A mátri inverze z mátri, mellyel bármely oldlról megszorozv z eredmény egységmátri: Fontos tudnivlók * A * A A A E Csk négyzetes mátrink vn inverze, h determináns nem null. Az inverz mátri z eredeti mátriszl zonos méretű. Az egységmátri mindig négyzetes, főátlóbn egyeseket, másutt nullákt trtlmz. (Jelen esetben mérete mátri méretével zonos.) Kidolgozott péld: A?, h A 7 Megoldás menete A mátri tábláztb vitele után: Eredménymátri tömbjének kijelölése, inverz.mátri(tömb), Ctrl Shift Enter Eredmény: Feldtok:. Adottk következő mátriok: A 8 B 7 6 C D Végezze el z lábbik közül z elvégezhető műveleteket Ecel segítségével! ) A D b) B C c) d) A B e) ( B C) det( B) f) D C T A D

12 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK A síkbeli lineáris trnszformációk (eltolás, tükrözés, ngyítás, forgtás) megvlósíthtók egyegy lklmsn megválsztott trnszformációs mátri és síkbeli lkzt jellemző pontjiból lkotott mátri szorztként. Az eltolás mátri mitt szükséges z-es síkbn levő síkidomokt trnszformálni. Kidolgozott péld Forgss el z ABC háromszöget fokkl, ábrázolj z eredeti és trnszformált lkztot ugynbbn koordinát-rendszerben, h A(,), B(6,), C(,7). A háromszöget kkor tudjuk ábrázolttni, h feltüntetjük z összekötendő pontokt, ezért z A pont koordinátái kétszer szerepelnek mátribn. Az Ecel szögfüggvényei rdiánt hsználnk szögek mértékegységeként.

13 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kidolgozás

14 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Az eredeti és z elforgtott háromszög: Forgtás fokkl 9 8 -,8988, 8, , 7 6,696,,9876 Adtsor Adtsor 6,,88,,866, Feldtok. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;;), D(;7;)!. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-;;), B(;;), C(;;)

15 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER MEGOLDÁSA Lineáris egyenletrendszer áltlános lkj.. n n m m nm m m m b b b n Feldt: dott ij és b i i,, n, j,,.m esetén j meghtározás b esetén. Lineáris egyenletrendszer megoldás z együtthtómátri inverzének segítségével A fenti egyenletrendszer átírhtó mátriszorzás szbályink megfelelően z lkbn: Ab, hol A : n n oszlopvektor,... m... m z együtthtómátri : z ismeretlenek... m nm b b : z egyenletrendszer jobb oldlából képzett oszlopvektor. b n Az inhomogén egyenletrendszer ( b ) megoldhtó z lábbi lkbn, h z egyenletek lineárisn függetlenek egymástól, zz, h det A : A - *b A lineáris egyenletrendszer megoldásához szükséges műveletek: det A érvényességének megvizsgálás A - meghtározás szükséges mátriszorzás elvégzése (sorrend fontos!)

16 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok Kidolgozott péld Oldj meg z lábbi egyenletrendszert: A már megismert műveletekkel z Ecelben megoldás: Egyenletrendszer megoldásár z Ecel beépített lehetősége SOLVER. Lineáris egyenletrendszer megoldás Solver segítségével Az előbbi feldt megoldás Eszlözök /Solver segítségével: (H menüben SOLVER nem jelenik meg, rá kell keresni Solver.l-r, mjd el kell indítni, vgy Eszközök/Bővíménykezelő menüpontbn be kell jelölni Solvert. A Solver lklms szélsőéték-feldtok megoldásár, lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek megoldásár, lineáris progrmozási feldt megoldásár ld. később.) Szükséges lépések: Az egyenletrendszert lkotó egyenletek konstnsr rendezése. Az ismeretlenek számár egy-egy cell kijelölése, célszerűen egy tömbben, kezdeti értékek megdásávl. Pl.:. Az egyes egyenletek ismeretlen trtlmzó oldlánk egy-egy celláb vitele képlet formájábn. Solver párbeszédblk kitöltése: Célcell: egyik egyenlet bl oldl, Célérték: z előbbi egyenlet jobb oldl (konstns!!!), Módosuló cell: Ismeretlenek tömbje, Korlátozó feltételek: többi egyenlet. 6

17 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék Kidolgozás Megoldás gomb megnyomás után Solver eredményeket z eredeti tábláztbn kérve z egyenletrendszer megoldás zb:d tömbben jelenik meg. (; -; ) Feldtok. Oldj meg z lábbi egyenletrendszereket z ismertetett módszerekkel: ) b) 8 6 d c b d c b d c b c b z y z y y c) w v u w u v u 7

18 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok. FELADATOK EREDMÉNYE. Ábrázolj z f ( ) e függvény görbéjét [,] intervllumon! f() 6 6. Ábrázolj z g( ) cos( ) e függvényt [;] intervllumon,-es lépésközzel! g() 8 6. Ábrázolj z cos( ) h ( ) függvényt [-;] intervllumon! sin h(),,,, , 6 8

19 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. Ábrázolj z r ( ϕ) sinϕ függvény görbéjét [;π ] intervllumon! rsin(fi),,,, - -, - -, -,,,. Ábrázolj z r( ϕ ) sin( ϕ / ) függvény görbéjét [;π ] intervllumon rsin(fi/)^,8,6,, -, - -, -,, -, -,6 -,8.6 Ábrázolj f (, y) sin cos függvényt [-;] intervllumon! f(,y)sin cos,, -, - -, S S 9 7 S 9

20 SZIE Informtik Tnszék Ecel - kidolgozott feldtok.. Forgss el z ABCD négyszöget z A csúcs körül, h A(;;), B(;;), C(6;;), D(;7;)! A forgtás mátri O körül forgt, így feldt csk több lépésben oldhtó meg: Az lkzt eltolás úgy, hogy z A csúcs z origób kerüljön, mjd trnszformált lkzt elforgtás, s végül z elforgtott lkzt vissztolás, hogy z A csúcs z eredeti helyére kerüljön.

21 Ecel kidolgozott feldtok SZIE Informtik Tnszék. Tükrözze z ABC háromszöget z AB oldl egyenesére, h A(-,,), B(,,), C(,,) Tükrözés mátrii koordinát-tengelyre tükröznek, ezért több trnszformációs lépésben oldhtó meg feldt.. ) b) 8 6 d c b d c b d c b c b z y z y y c) w v u w u v u ) b c d b) Nincs egyértelmű megoldás, mert z együtthtómátri determináns null. c) u - v w

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok

Informatika alapjai Tantárgyhoz Kidolgozott Excel feladatok SZENT ISTVÁN EGYETEM Gépészmérnöki Kr Orov Lászlóné dr. Informtik lpji Tntárgyhoz Kidolgozott Ecel feldtok Gödöllı, 8. Bevezetı Ez feldtgyőjtemény összefogllj z Informtik lpji tntárgy keretében okttott,

Részletesebben

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik

Részletesebben

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

2010/2011 es tanév II. féléves tematika 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok /0 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgebri összefoglló:

Részletesebben

Néhány szó a mátrixokról

Néhány szó a mátrixokról VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK MECHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg Ts; Trni Gáor mérnöktnár) Mtemtiki összefoglló, kiinduló feldtok Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! LI Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m......... n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

FELVÉTELI VIZSGA, július 15. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 8. július. Írásbeli vizsg MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: ) A feleletválsztós feldtok (,,A rész) esetén egy vgy

Részletesebben

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek lineáris elsőfokú, z ismeretlenek ( i -k) elsőfokon szerepelnek. + + n n + + n n m + m +m n n m m n n mn n m (m n)(n )m A A: együtthtó mátri Megoldás: milyen értékeket vehetnek

Részletesebben

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke?

5. Logaritmus. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 125 -öt kapjunk. A 3 5 -nek a 3. hatványa 5, log. x Mennyi a log kifejezés értéke? . Logritmus I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Mennyi kifejezés értéke? (A) Megoldás I.: BME 0. szeptember. (7B) A feldt ritmus definíciójából kiindulv gykorltilg fejben végiggondolhtó. Az kérdés, hogy -öt hánydik

Részletesebben

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Az integrálszámítás néhány alkalmazása Az integrálszámítás néhány lklmzás (szerkesztés ltt) Dr Toledo Rodolfo 4 november 4 Trtlomjegyzék Két függvények áltl htárolt terület Forgástestek térfogt és felszíne 5 3 Ívhosszszámítás 7 4 Feldtok 8

Részletesebben

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.) Dr. Vincze Szilvi Trtlomjegyzék.) Vektortér foglm.) Lineáris kombináció, lineáris függetlenség és lineáris függőség foglm 3.) Generátorrendszer, dimenzió, bázis 4.) Altér, rng, komptibilitás Vektortér

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert: . Guss elimináció.1 Oldjuk meg Guss-Jordn eliminációvl következő egyenletrendszert: x - x + x + x5 = -5 x1-7x + 8x - 5x = 9 x1-9x + 1x - 9x = 15. A t prméter mely értékeire nincs z egyenletrendszernek

Részletesebben

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása) Okttási Hivtl E g r i P e d g ó g i i O k t t á s i K ö z p o n t Cím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. Postcím: 00 Eger, Szvorényi u. 7. elefon: /50-90 Honlp: www.oktts.hu E-mil: POKEger@oh.gov.hu Heves Megyei

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük Vektorlger VE Vektorlger Een részen vektorokt láhúzássl jelöljük Vektorlger VE Szdvektorok Helyzetvektorok (kötött vektorok) Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137 ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN

Részletesebben

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a 44 HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, évfolym MEGOLDÁSOK Mutssuk meg, hogy egy tetszőleges tégltest háromféle lpátlójából szerkesztett háromszög hegyesszögű lesz! 6 pont A tégltest egy

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:

Részletesebben

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2 A 004/005 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny második fordulójánk feldtmegoldási MATEMATIKÁBÓL ( I ktegóri ) feldt Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenletet: log log log + log Megoldás:

Részletesebben

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel

Els gyakorlat. vagy más jelöléssel Els gykorlt Egyszer egyenletek, EHL PDE A gykorlt elején megismerkedünk prciális dierenciálegyenletek (mostntól: PDE-k) lpfoglmivl. A félév során sokt fog szerepelni z ún. multiindex jelöl, melynek lényege,

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

4. Hatványozás, gyökvonás

4. Hatványozás, gyökvonás I. Nulldik ZH-bn láttuk:. Htványozás, gyökvonás. Válssz ki, hogy z lábbik közül melyikkel egyezik meg következő kifejezés, h, y és z pozitív számok! 7 y z z y (A) 7 8 y z (B) 7 8 y z (C) 9 9 8 y z (D)

Részletesebben

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül. 01.03.16. RADNAY László Tnársegéd Debreceni Egyetem Műszki Kr Építőmérnöki Tnszék E-mil: rdnylszlo@gmil.com Mobil: +36 0 416 59 14 Definíciók: Kinemtik: A mechnikánk z része, mely testek mozgását vizsgálj

Részletesebben

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb:

M. 2. Döntsük el, hogy a következő két szám közül melyik a nagyobb: Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás 7. feruár.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény folytonos z, intervllumon, vlmint létezik f()d htárérték

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek . Eponenciális és ritmusos egenletek, egenlőtlenségek Elméleti összefoglló H >, b>, és vlós számok, kkor + ( ) b ( b) H >, kkor z z ( ) ( ) f függvén szigorún monoton növekvő, míg h <

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása Okttási Hivtl Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny 00/0 Mtemtik I ktegóri (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az forduló feldtink megoldás Az x vlós számr teljesül hogy Htározz meg sin x értékét! 6 sin x os x + 6 = 0

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat

Többváltozós analízis gyakorlat Többváltozós nlízis gykorlt Áltlános iskoli mtemtiktnár szk 07/08. őszi félév Ajánlott irodlom (sok gykorló feldt, megoldásokkl: Thoms-féle klkulus 3., Typote, 007. (Jól hsználhtók z -. kötetek is Fekete

Részletesebben

Algebrai struktúrák, mátrixok

Algebrai struktúrák, mátrixok A számítástudomány mtemtiki lpji Algebri struktúrák, mátrixok ef.: Algebri struktúrán olyn nemüres hlmzt értünk melyen leglább egy művelet vn definiálv. ef.: A H nemüres hlmzon értelmezett kétváltozós

Részletesebben

Excel. Feladatok 2015.02.13. Geotechnikai numerikus módszerek 2015

Excel. Feladatok 2015.02.13. Geotechnikai numerikus módszerek 2015 05.0.3. Ecel Geotechniki numerikus módszerek 05 Feldtok Szögtámfl ellenőrzése A Ferde, terhelt térszín, szemcsés háttöltés, elcsúszás, nyomtéki ábr Sávlp süllyedésszámítás B Két tljréteg, krkterisztikus

Részletesebben

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I.

Térbeli pont helyzetének és elmozdulásának meghatározásáról - I. Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző

Részletesebben

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket, Számok és mûveletek + b b + Összedásnál tgok felcserélhetõk. (kommuttív tuljdonság) ( + b) + c + (b + c) Összedásnál tgok csoportosíthtók. (sszocitív tuljdonság) b b ( b) c (b c) 1. Végezd el kijelölt

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke (

Határozzuk meg, hogy a következő függvényeknek van-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és abszolút szélsőértéke ( 9 4 FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT Htározzuk meg, hogy következő függvényeknek vn-e és hol zérushelye, továbbá helyi szélsőértéke és bszolút szélsőértéke (41-41): 41 f: f, R 4 f: 4 f: f 5, R f 5 44 f: f, 1, 1 1, R

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok

MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK. Számegyenesek, intervallumok MATEMATIKA 9. osztály I. HALMAZOK Számegyenesek, intervllumok. Töltsd ki tábláztot! Minden sorbn egy-egy intervllum háromféle megdás szerepeljen!. Add meg fenti módon háromféleképpen következő intervllumokt!

Részletesebben

Improprius integrálás

Improprius integrálás Improprius integrálás. feruár 9.. Feldt: d Megoldás: Egy improprius integrált kell meghtározni, mivel fels integrálási htár. Deníció: H z f() függvény integrálhtó z, intervllum ármely, részin- tervllumán,

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

11. évfolyam feladatsorának megoldásai évolym eldtsoránk megoldási Oldjuk meg természetes számok hlmzán következő egyenleteket x ) y 6 x! 3 b) y 6 3 ) Átrendezve megoldndó egyenlet y 6 x! 3 H x 0, kkor H x, kkor H x, kkor H x 3, kkor H x, kkor

Részletesebben

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:

12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések: A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények

Részletesebben

A Riemann-integrál intervallumon I.

A Riemann-integrál intervallumon I. A Riemnn-integrál intervllumon I. A htározott integrál foglm és kiszámítás Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Mtemtiki Intézet, Anĺızis Tnszék Debrecen, 2017. március 6. Zárt intervllum felosztási A továbbikbn,

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Differenciálgeometria feladatok

Differenciálgeometria feladatok Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

Egy látószög - feladat

Egy látószög - feladat Ehhez tekintsük z 1. ábrát is! Egy látószög - feldt 1. ábr Az A pont körül kering C pont, egy r sugrú körön. A rögzített A és B pontok egymástól távolság vnnk. Az = CAB szöget folymtosn mérjük. Keressük

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - ANALITIKUS MÉRTANBÓL KITŰZÖTT ÁLLAMVIZSGA TÉTELEK KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK - Trtlomjegyzék 1. Anlitikus mértn síkbn 1.1. Síkbeli egyenesek egyenletei Descrtes-féle koordinát rendszerhez

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Matematika példatár 6.

Matematika példatár 6. Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Mtemtik példtár 6 MAT6 modul Lineáris lgebr I SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi

Részletesebben

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok

IV. Algebra. Algebrai átalakítások. Polinomok Alger Algeri átlkítások olinomok 6 ) Öttel oszthtó számok pl: -0-5 0 5 áltlánosn 5 $ l lkú, hol l tetszôleges egész szám Mtemtiki jelöléssel: 5 $ l hol l! Z ) $ k+ vgy$ k- hol k! Z $ m- vgy $ m+ lkú, hol

Részletesebben

Numerikus módszerek 2.

Numerikus módszerek 2. Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n

Részletesebben

1. függelék. Mátrixszámítási praktikum-i. Mátrixaritmetikai eljárások

1. függelék. Mátrixszámítási praktikum-i. Mátrixaritmetikai eljárások . függelék-/5 oldl Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Budpest Kemometri tnfolym, Szepesváry Pál. függelék Mátrixszámítási prktikum-i. Mátrixritmetiki eljárások . függelék-2/5 oldl Bevezető

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

V. Koordinátageometria

V. Koordinátageometria oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón

Részletesebben

HÁZI FELADAT megoldási segédlet Relatív kinematika. Két autó. 2. rész

HÁZI FELADAT megoldási segédlet Relatív kinematika. Két autó. 2. rész HÁZI FELDT megoldási segédlet Reltí kinemtik Két utó.. rész. Htározzuk meg, hogy milyennek észleli utóbn ülő megfigyelő z utó sebességét és gyorsulását bbn pillntbn, mikor z ábrán ázolt helyzetbe érnek..

Részletesebben

Törésmechanika. Statikus törésmechanikai vizsgálatok

Törésmechanika. Statikus törésmechanikai vizsgálatok Törésmechnik (Gykorlti segédlet) A C törési szívósság meghtározás Sttikus törésmechniki vizsgáltok A vizsgáltokt áltlábn z 1. és. ábrán láthtó úgynevezett háromontos hjlító (TPB) illetve CT róbtesteken

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN 4 trigonometri lklmzás geometrián IX TRIGONOMETRI LKLMZÁS GEOMETRIÁN IX szinusz tétel Feldt Számítsd ki z háromszög köré írhtó kör sugrát háromszög egy oldl és szemen fekvő szög függvényéen Megoldás z

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8. átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Amx = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x, A R m x m: sorok szám : oszlopok

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL HAJDER LEVENTE 1. Bevezetés A Lgrnge-féle multiplikátoros eljárást Joseph Louis Lgrnge (1736-1813) olsz csillgász-mtemtikus (eredeti nevén Giuseppe

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. október 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivlók Formi előírások:

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés Htvány, gyök, logritmus áttekintés. osztály Gyökvonás Négyzetgyök: Vlmely nem negtív vlós szám négyzetgyöke olyn nem negtív vlós szám, melynek négyzete z szám. Mgj.: R = Azonosságok: b ; b k ;, h, b R

Részletesebben

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium

Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat október 10. Monopólium űszki folymtok közgzdsági elemzése Elődásvázlt 3 októer onoólium A tökéletesen versenyző válllt számár ici ár dottság, így teljes evétele termékmennyiség esetén TR () = ínálti monoólium: egyetlen termelő

Részletesebben

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői

VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK. A feladatsor jellemzői VI.8. PITI FELFEDEZÉSEK Tárgy, tém A feldtsor jellemzői Szksz hosszúságánk meghtározás, Pitgorsz tétele. Előzmények Cél Háromszög, tégllp, négyzet kerülete és területe, négyzetgyök foglm. Szksz hosszánk

Részletesebben

Néhány egyszerű tétel kontytetőre

Néhány egyszerű tétel kontytetőre Néhány egyszerű tétel kontytetőre ekintsük z ábr szerinti szimmeikus kontytetőt! ábr Az ABC Δ területe: ABC' m,v; ( ) z ABC Δ területe: ABC m ; ( ) z ABC* Δ területe: ABC* m ( 3 ) Az ábr szerint: m,v cos

Részletesebben

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA

Koós Dorián 9.B INFORMATIKA 9.B INFORMATIKA Számítástechnika rövid története. Az elektronikus számítógép kifejlesztése. A Neumann-elv. Információ és adat. A jel. A jelek fajtái (analóg- és digitális jel). Jelhalmazok adatmennyisége.

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

Ellenállás mérés hídmódszerrel

Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. Lbortóriumi gykorlt Ellenállás mérés hídmódszerrel 1. A gykorlt célkitűzései A Whestone-híd felépítésének tnulmányozás, ellenállások mérése 10-10 5 trtománybn, híd érzékenységének meghtározás, vlmint

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

2. modul Csak permanensen!

2. modul Csak permanensen! MATEMATIKA C. évfolym. modul Csk permnensen! Készítette: Kovács Károlyné Mtemtik C. évfolym. modul: Csk permnensen! Tnári útmuttó A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A htványzonosságok

Részletesebben

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz

Gazdasági matematika 1. tantárgyi kalauz Dr Mdrs Lászlóné Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz Szolnoki Főiskol Szolnok 005 Gzdsági mtemtik tntárgyi kluz A kluz következő három kidványhoz készült: Dr Csernyák László: Anlízis, Mtemtik közgzdászoknk sorozt,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük: . Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Megint a szíjhajtásról

Megint a szíjhajtásról Megint szíjhjtásról Ezzel témávl már egy korábbi dolgoztunkbn is foglkoztunk ennek címe: Richrd - II. Most egy kicsit más lkú bár ugynrr vontkozó képleteket állítunk elő részben szkirodlom segítségével.

Részletesebben