1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Átírás

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összeoglló Mátrilgeri összeoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri: skláris menniségeknek, számoknk megdott szál szerint tálázt rendezett hlmz 3 Jelölése: A = Négzetes mátri: oln mátri, melen sorok és oszlopok szám megegezik Oszlopmátri: = 3 T Sormátri: = [ ] 3 ) Műveletek mátriokkl: Mátri trnszponáltj: tükrözés őátlór A mátri őátlóját z zonos indeű elemek lkotják T A = A = ( ) ( ) Mátriok összedás, kivonás: csk zonos méretű mátriok dhtók össze, ill vonhtók ki egmásól A+ B= C A = ; B = ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) c c A+ B = ± = = c c ( ) Mátri szorzás (sor-oszlop komináció): A B = C, ( + ) ( + ) ( + ) ( + = ) - -

2 A= c, + c = = ( ) c + T T B= d, ( ) [ ] = ( + ) ( + ) = [ d d] ( ) c) Különleges mátriok: 0 Egségmátri: E = 0 Tuljdonság: E A= A E = A Az egségmátriszl történő szorzás nem változttj meg megszorzott mátriot T Szimmetrikus mátri: =, hol i, j =,,3, A mátri elemei megegeznek őátlór vett tükörképükkel 3 Például: A = A = A, zz T ij Ferdeszimmetrikus mátri: A = A, zz =, hol i, j =,,3, A mátri ármelik eleme megegezik őátlór vett tükörképének mínusz egszeresével Eől következik, hog őátlón csk zérus elemek lehetnek 0 5 Például: A = Vektorok skláris, kétszeres vektoriális és didikus szorzt: Vektor: iránított geometrii, vg iziki menniség, mi jellemezhető iránnl, ngsággl, mértékegséggel ) Vektorok skláris szorzt: Skláris szorzás értelmezése: = cosα, hol α vektorok áltl ezárt szög A skláris szorzás kiszámítás mátriszorzássl: = z = + + zz z A szorzás eredméne eg skláris menniség ) Vektorok kétszeres vektoriális szorzt: c c ( ), vg Kiszámítás kétéleképpen lehetséges: - két vektoriális szorzásnk kijelölt sorrenden történő elvégzésével, - kiejtési tétellel: ji ij ji - -

3 ( ) c = ( c ) ( c ), ill ( ) ( c c ) = c ( ) c) Vektorok didikus szorzt: Legen dott z, és c tetszőleges vektor Két vektor didikus szorztánk jelölése:, elnevezése: diád Két vektor didikus szorztát szorzás tuljdonságink megdásávl értelmezzük: - didikus szorzás és skláris szorzás sszocitív (csoportosíthtó, zz szorzások elvégzésének sorrendjét elcserélhetjük): ( ) c= ( c), - diád skláris szorzás szempontjáól nem kommuttív (nem mindeg, hog eg diádot joról vg lról szorzunk sklárisn eg vektorrl, mert más eredmént kpunk) c = c H szorzás ent leírt összeüggéseket kielégíti szorzás didikus Két vektor didikus szorztánk kiszámítás josodrású, derékszögű koordinát rendszeren z = z = z z z z z z 3 Tenzorok előállítás: ) Tenzorok értelmezése és tuljdonsági: Tenzor: homogén, lineáris vektor-vektor üggvén áltl megvlósított leképezés (hozzárendelés) w = v = T v v hozzárendelés w A T tenzor tetszőleges Ov v vektorhoz w képvektort rendeli hozzá ) Tenzor előállítás josodrtú, derékszögű descrtesi koordinát-rendszeren: Tenzor megdás: - tenzor koordinátáivl (mátriávl) és - koordinát rendszerrel történik Tenzor koordinátáink jelölése mátri rendezve: T T T z T T T3 - T T T T z T T T = = 3 z Tz Tz T zz T3 T3 T 33 Ow - 3 -

4 Tenzor előállítás: Legen ismert három értékpár: i = ( i), = i + j+ zk, j = ( j), = i + j + k, z k c= ( k), c c i c j c k = + + z T= i + j+ c k A tenzor didikus előállítás: c A tenzor mátri: T = c 3 Tenzor előállítás: Adott: r = i + 4j m P A r A z z z c z O r P ) A tenzor előállítás: Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i = i, j = j T= i + j A két értékpáról tenzor: A tenzor mátri: P 0 T = 0 ) Az origór tükrözött r A képvektor meghtározás: 0 ra = T rp = = ra = ( i j)m Feldt: ) Azon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektoroknk koordinátrendszer O kezdőpontjár tükrözött vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r A vektort, mel z vektor origór vett tükörképe r P - 4 -

5 3 Tenzor előállítás: r = 8i + j m, ϕ= 60 Adott: P r A ϕ r P A P Feldt: ) Azon T tenzor mátriánk előállítás, mel z sík helvektoriól helvektorok z tengel körül ϕ szöggel elorgtott vektorit állítj elő ) Előállítni zt z r A vektort, melet z r P vektor ϕ szöggel történő elorgtásávl kpunk ) A tenzor előállítás: ϕ j ϕ r P i Síkeli eseten tenzort két értékpárj htározz meg: i = ( cosϕ i + sinϕ j), j = ( sinϕ i + cosϕ j) T= i + j A két értékpáról tenzor: A diádok kiszámítás: 0 cosϕ 0 i = [ 0 ] = =, 0 sin ϕ sinϕ [ ] 0 0 cosϕ A tenzor mátri: j = 0 = = cosϕ sin ϕ 0,5 0,866 T = = sin cos ϕ ϕ 0,866 0,5 ) Az elorgtott r A vektor meghtározás: cosϕ sin ϕ P 0,5 0,866 8, 68 ra = T rp = = = sin ϕ cos ϕ P 0,866 0,5 7,98 r =, 68i + 7,98 j m A - 5 -

6 4 Dierenciálszámítás: Az üggvén deriváltján z ( + ) h : = lim h 0 h htárértéket értjük (eltételezve, hog létezik és véges) d Az = üggvén deriváltjánk jelölései:,,,,, st, hol d z idő szerinti első derivált A derivált 0 helen vett ( 0 ) helettesítési értékét szokás üggvén 0 helhez trtozó dierenciálhándosánk is nevezni A derivált előállítását deriválásnk vg dierenciálásnk nevezzük A ( 0 ) dierenciálhándos geometrii jelentése z = göre 0 helhez trtozó érintőjének z irántngense, zz = tgϑ ( ár) 0 = érintő ϑ 0 0 ϑ 0 tgϑ = 0 ár Amennien eg üggvén vlmel helen vg intervllumon deriválttl rendelkezik, kkor üggvén itt dierenciálhtó A dierenciálhtóságól pedig üggvén oltonosság következik Deriválási szálok: Legenek u, v,, g dierenciálhtó üggvének Ekkor: Cu = Cu, C állndó; u± v = u ± v; 3 uv = u v + uv ; 4 u uv uv =,v 0 ; v v 5 ( g ) = ( g ) g láncszál ; 6 Legen és = = ( ) Ekkor = t, = t, kkor = 7 H () () = ( ) ; - 6 -

7 Alpüggvének deriváltj: C α α = 0, C állndó ( sin ) = cos ( cos ) tg tg ; cos =α = sin = = + ( ctg = = + ctg ) ( e ) = e sin = ln A Értelmezzük üggvén második, hrmdik st deriváltját Jelölésük: üggvén dierenciálj: d = d ( ár) ( n),,,, = d 0 d + d ár 4 Péld: ( + h) A : = lim ormul lpján htározzuk meg z = és g h 0 üggvén deriváltját h + h + h+ h h+ h = lim = lim = lim = lim ( +h) = ; h 0 h h 0 h h 0 h h 0 ( + ) h lim h + h h g = + = lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h h h 0 h ( + ) ( + ) = - 7 -

8 4 Péld: Htározzuk meg z lái üggvének deriváltját: = = = = ; ( ) = = = = ; A htároztln integrál: A (ng) F üggvént (kis) üggvén primitív üggvénének nevezzük vlmel nílt intervllumon, h itt F = Eg üggvénnek végtelen sok primitív üggvéne vn, és ezek összességét htároztln integráljánk nevezzük Jelölése: d+ C, hol C tetszőleges állndó (integrációs állndó) Például: d= + C Alpintegrálok: n+ n d = + C, hol C konstns, például: n+ d = ln + C ; 3 ed= e + C; 4 d= + C, például ln 5 sin d = cos + C; 6 cos d = sin + C d= + C; ln 3 d= + C; 3 Integrálási szálok: k d = k d = k F C +, például: cos d = sin + C ( + g h) d = F+ G H+ C, például: 3 = + n+ e + sin d = e cos ln + C ; n+ n d C, például: ; ln ln d = ln d = + C n ; - 8 -

9 4 d = ln + C, például: d = d = d = ln ln C ln ln ln +, } } } } sin tg d = d = ln cos + C cos, cos ctg d = d = ln sin C sin + Fk k d = + C, például: k 5 5 e e d = + C, d = ln + C 5 6 ( + ) ( n+ ) n+ n F + d = + C } sin 3 cos3 d = + C, 3 + 3} e d = e + C, például: e d = e + C; sind = cos + C, például: ( + ) ( + ) = ( + ) sin 3 3 d cos C 9 cosd = sin + C, például: ( e + ) cos( e + ) d = sin ( e + ) + C Prciális integrálás: uv d = uv u v d 6 A htározott integrál: Az üggvén [, ] intervllumr vontkozó htározott integrálján z integrálközelítő összegek soroztánk htárértékét értjük (eltéve, hog ez létezik és véges), n d: = lim ( ξi) i, () m 0 i = [, ] hol i = i i, hol = 0 < < < < n = z pedig z [ ] i i intervllum eg elosztás, ξ i részintervllum eg tetszőleges pontj Azt íg értelmezett integrált Riemnn-integrálnk is nevezzük H létezik z () htárérték, kkor zt mondhtjuk, hog z [, ] intervllumon integrálhtó H üggvén oltonos vlmel intervllumon, kkor ott integrálhtó - 9 -

10 H z [, ] intervllumon integrálhtó, és itt, kkor z () htározott integrál 0 = göre ltti és [, ] geometrii jelentése z = szksz ölötti síkidom területe d> 0 3 ár A htározott integrál tuljdonsági: =, c d c d C állndó; + = + g d d g d; c = +, < < d d d c c - 0 -