A határozott integrál fogalma és tulajdonságai

Átírás

1 . fejezet Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági D. Legyen f z [, b] intervllumon legfeljebb véges számú pont kivételével mindenütt értelmezett korlátos vlós függvény, továbbá legyen B : = x < x < x < < x n = b z [, b] intervllum vlmely beosztás, és legyen ξ [x i, x i ] (i =,,, n). Az n I = f (ξ i )(x i x i ) i= összeget z f függvényhez, B beosztáshoz és nnk [ξ, ξ,, ξ n ] reprezentánsrendszeréhez trtozó integrálközelít összegnek nevezzük. H z [, b] intervllum minden htáron túl nomodó [B m ; m N + ] beosztássoroztához trtozó integrálközelít összegek bármely [I m ] soroztánk vn htárértéke, kkor zt mondjuk, hogy f z [, b] intervllumon integrálhtó; ezt htárértéket mely minden ilyen [I m ] esetén ugynz szám z f függvény [, b] intervllumon vett htározott integráljánk nevezzük és így jelöljük: f (x) vgy T. Bármely integrálhtó f, g függvényekre és bármely, b, c vlós számokr érvényesek z lábbi tuljdonságok: () (c f (x)) = c f (x), () (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x), f (x) =, () (4) f (x) = f (x), b c (5) f (x) = f (x) + f (x), c (6) m (b ) f (x) M (b ), hol m z f függvénynek lsó korlátj, M pedig fels korlátj z [, b] intervllumon. -

2 . Htározott integrál A htározott integrál foglm és tuljdonsági T. (Integrál-középértéktétel.) H z f függvény z [, b] intervllumon folytonos, kkor integrálhtó is, és vn olyn c [, b], hogy b (7) f (x) = f (c). b T.4 NewtonLeibnitz-formul. H f és F függvények z [, b] intervllumon folytonosk, továbbá F f-nek primitív függvénye z (, b) intervllumon, kkor (8) f (x) = [F (x)]b, hol [F (x)]b := F (b) F (). P.5 Keressünk olyn c számot, mely kielégíti z f (x) = [, ] intervllumr vontkozó integrál-középértéktételt. A (8) lpján b b f (x) = + x = [rctg x] = és f (c) = + c ; ezért (7) szerint π 4 = + c, zz c = 4 π π vn: 4 π 4 π c = és c = π π. függvényre és + x [ ( π π )] π = Tehát két ilyen szám Feldtok. Számítsuk ki z f (x) = x + függvénynek B = {,,,, } beosztáshoz 4 és {,,, 4 } reprezentánsrendszerhez trtozó integrálközelít összegét Számítsuk ki megdott integrálokt D. deníció segítségével úgy, hogy z dott intervllumot n egyenl részre osztjuk és reprezentánsrendszernek z intervllumok bl vgy jobb végpontját válsztjuk:. 5. x,. x + x + x. 4. x, ( 5x +. ) ( 5x + ). 7. Adjunk lsó és fels becslést z I = e πx x sin integrál értékére! 4 Keressük meg zokt c számokt, melyek kielégítik z lább megdott f függvényre és [, b] intervllumr vontkozó integrál-középértéktételt. 8. f (x) = x, [ 4, ], 9. f (x) = x +, [4, ],. f (x) = [, cos x, π ] [,. f (x) = sin x;, π ], 4. f (x) = sin x; [, π]. -

3 . Htározott integrál Improprius integrálok Improprius integrálok D.6 Az I = [, ), ill. I = (, b], ill. I = (, ) intervllumon értelmezett f függvény (végtelenbe nyúló) I intervllumon vett improprius integráljánk jele és értelmezése: (9) f := lim b f, ill. f := lim f, ill. f := lim b + mennyiben f minden véges [, b] intervllumon integrálhtó, és jobb oldlr írt htárértékek léteznek ( legutóbbi esetben úgy, hogy és b egymástól függetlenül trt mínusz végtelenhez, illetve végtelenhez). f, D.7 H z I = (, b], ill. I = [, b), ill. I = (, b) intervllumon értelmezett f függvény z I-hez nem trtozó htárpont(ok) környezetében nem korlátos, de integrálhtó minden [t, b] ( < t) ill. [, u] (u < b), ill. [t, u] ( < t < u < b) intervllumon, kkor z f függvény [, b] intervllumon vett improprius integráljánk jele és értelmezése: u u () f ill. f, f := lim t + t f := lim u b f ill. lim t + u b mennyiben feltüntetett jobb-, ill. bloldli htárértékek léteznek ( legutóbbi esetben úgy, hogy t és u egymástól függetlenül trt jobbról -hoz, illetve blról b-hez). D.8 Legyen értelmezve z f függvény z (, u) (u, b) hlmzon. H f nem korlátos z u környezetében és esetleg z vgy b (vgy mindkett ) környezetében sem (vgy = és/vgy b = ), de z f függvénynek z [, u] és [u, b] intervllumokon vett improprius integrálj létezik, kkor z f függvény [, b] intervllumon vett improprius integrálj: u () f (x) := f (x) + f (x). u H fenti deníciókbn szerepl htárértékek vlmelyike létezik, kkor z illet improprius integrált konvergensnek nevezzük (ellenkez esetben divergensnek). P.9 Számítsuk ki z x improprius integrált (h létezik). Az lsó htárr x () ltti els képletet, fels htárr (9) ltti els képletet lklmzzuk. Akkor x x = lim + b = lim + b x x = ( rctg lim + b [ rctg x ] b = ) b rctg = π = π. (Az x x htároztln integrált legegyszer bben z u = x helyettesítéssel számíthtjuk ki.) t -

4 . Htározott integrál Improprius integrálok Feldtok Állpítsuk meg, hogy z lábbi nem korlátos függvények improprius integrálji, illetve végtelen intervllumokon vett improprius integrálok konvergensek-e, s h igen, htározzuk meg z értéküket x, 4. x, 7. x +,.. e x,. 5., 6. x + 5, 5. (x + ) 4 x (x, ) 8. 7 rcsin x x,. + x, 4. ex, 7. x, x +, ln x, + 4x, xe x, 8.. x ln x, 9. ( ) ln x,. x x ln x,. x e x.. Keressünk olyn b vlós számot, melyre ln x =. Számítsuk ki z lábbi htározott, vgy improprius integrálokt. π 4. (6x x 4 x ), 5. cos x, 6. 7., 8., 9. + x (x ) 4. 4x, x. Bizonyítsuk be, hogy h p > konstns, kkor 44. x p = { p, h p >,, h p.. 4. (x ) e x cos x, 4 + x, x, x x. { x p = p, h p <,, h p.

5 . Htározott integrál Terület Terület D.Legyen f z (, b) intervllumon el jelet nem váltó, korlátos, és legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos vlós függvény (z = és b = esetet is megengedve). A síkbeli derékszög koordinát-rendszerben z y = f (x) egyenlet görbe, z (, b) intervllum, vlmint (véges és b esetén) z x = és z x = b egyenlet egyenes áltl htárolt síkidomot z f függvény és z (, b) intervllum áltl meghtározott görbevonlú trpéznk nevezzük, és ennek területén z f (x) htározott vgy improprius integrált értjük, feltéve, hogy ez z integrál létezik. H z y és y is z [, b] intervllumon értelmezett korlátos és legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos vlós függvény úgy, hogy minden x [, b] esetén y y, kkor z y = y (x) és z y = y (x) egyenlet görbék, vlmint z x = és z x = b egyenlet egyenesek áltl htárolt síkidom területét z (y (x) y (x)) integrálll számítjuk. Ezt területet röviden két görbe közötti területnek mondjuk. H z f függvény z (, b) intervllum egyes részintervllumin z f (x) egyenl tlenségnek, többi részintervllumin pedig z f (x) egyenl tlenségnek tesz eleget, kkor részintervllumonként külön számítjuk ki területet, és z ezekre kpott értékeket összedjuk. P.Számítsuk ki z f (x) = x x függvény és [, ] intervllum áltl meghtározott görbevonlú trpéz területét. A függvény grkonj [, ) és (, ] intervllumon z x tengely felett, (, ) intervllumon z x tengely ltt hld, ezért keresett T terület: T = (x x) (x x) + (x x) = 4. T.Görbevonlú trpéz területe, h htároló görbe x = x(t), y = y(t) (t < t < t ) prméteres egyenletrendszerrel vn megdv, kkor z t _ x(t)y(t) dt integrálll számíthtó ki (feltéve, hogy z integrál létezik). t P.Számítsuk ki z y (x) = e x és y (x) = 8 e x egyenlet görbék közti területet -tól görbék metszéspontjánk bszcisszájáig terjed intervllumon. A metszéspont bcisszáj z e x = 8 e x egyenletb l: x = ln. A görbék közti terület: T = ln ((8 e x ) e x ) = [8x 4e x ] ln = 4( ln ). D.4Legyen r egy π-nél nem hosszbb [α, β] intervllumon értelmezett vlós függvény. A síkbeli polárkoordinát-rendszerben z r = r(ϕ) egyenlet görbe, vlmint ϕ = α és -5

6 . Htározott integrál Terület ϕ = β egyenlet félegyenes áltl htárolt síkidomot z r függvény és z [α, β] intervllum áltl meghtározott szektornk nevezzük, és ennek területén z () β α r (ϕ) dϕ htátozott integrált értjük, feltéve, hogy ez z integrál létezik. D.5H két görbe vn dv, r = r (ϕ) és r = r (ϕ) poláregyenletével és r (ϕ) r (ϕ), h ϕ [α, β], kkor két görbe közti területet z β ] [r α (ϕ) r (ϕ) dϕ képlettel számítjuk.h egy síkidom több, páronként közös bels pont nélküli szektorból áll, kkor megfelel részterületeket külön számítjuk ki, és összedjuk. P.6Számítsuk ki z r = cos ϕ egyenlet görbe (lemniszkát) áltl htárolt síkidomból z r = egyenlet körön kívül es rész területét. [ A lemniszkátát megkpjuk, h ϕ befutj H = π, π ] [ π, 5π ] hlmzb es értékeket. A kör és lemniszkát metszéspontjihoz trtozó ϕ értékeknek z = cos ϕ egyenletb l szármzó cos ϕ = egyenletet kell kielégíteniük. Négy ilyen, H-b trtozó ϕ érték vn. ϕ = π, ϕ π =, ϕ 5π =, ϕ 7π 4 =. Tehát () képlet és megjegyzés lpján keresett T terület: T = π 6 π 6 ( cos ϕ ) dϕ 7π 6 + 5π ( cos ϕ ) dϕ. 6 A szimmetri mitt T -t így is kiszámíthtjuk: T = 4 π ( ) 6 ( cos ϕ ) dϕ = π. T.7A szektor területe, h htároló görbe z x = x(t), y = t(t) (t t t ) prméteres egyenletrendszerrel vn megdv, kkor z t t x(t) _ y(t) _ x(t)y(t) dt integrálll számíthtó ki (feltéve, hogy _ x és _ y létezik). T.8A szektor területe, h szektort htároló görbe egyenlete y = f (x) ( x b), kkor z el bbi területképlet szerint T = xf (x) f (x). -6

7 . Htározott integrál Terület Feldtok Számítsuk ki z lábbi függvények és intervllumok áltl meghtározott görbevonlú trpézok területét. 46. x + 4, [, ], 47. x + x +, [, ], 48. x, [, ], 49. sh(x ), [, ], 5. x, [, 4], 5. x x + x, [, ], 5. + x, [, ], x, [, ], x 54. x, [, 4], x 55. ln, [, e], x x, [, 8], 57., [, ], ( 58., [, 5], 59. x /), [, ], x ( ( ) ( x) /) ( ) /,,, 6. lg 4 x, [, 6], x 6. cos, [, π], 6. ch x, [, ], x e x, [, ]. Ábrázoljuk z lábbi egyenlet görbék áltl htárolt korlátos síkidomokt, és számítsuk ki területüket: 65. y = x, y =, 66. y = x = x +, x =, 67. y = x, y = x, 68. y = 4 x, y = x, 69. y = x 4, y = x, 7. y = 8 x + 4, y = 4 x, 7. y = x, y = x, 7. y = x, y = x, y = x, 7. y = x, y x =, 74. x + y =, x + y =, 75. y = x +, y = x, 76. y = x, y = 4 x, y = 4, 77. x = y, x = 4 y +, 78. y = x, y = x, y =, 79. y = x, y = x, ( > konstns), 8. y = b x, y = b x, (b > konstns), -7

8 . Htározott integrál Terület 8. Számítsuk ki z x +(y +) = 6 egyenlet kör és z x-tengely áltl htárolt kisebbik körszelet területét, 8. Számítsuk ki nnk síkidomnk területét, melyet z x +y 4 körlpból z x + (y ) = 4 körön kívül es pontok elhgyásávl kpunk, 8. x / + y / =, x + y =, 84. y = sin x, y = x, x = π, 85. y = cos x, y = 4x π, 86. y = e x, y = e x, 87. y = xe x, y =, x = 4, 88. y = x 4 x, y = 6x, 89. y = x, y = x, y = 4, 9. y = 4 x, y = 4 x, y =, 9. y = x, y = 5 x +, x =, 9. y = x, y = ln x, x = 6, 9. y = ln x, x = e, y =, 94. y = ln x, y = ln x, x = 4, 95. y = ln x, y = ln x, y =, 96. y = ln x, y = ln x, 97. y = ln x, y = ln 8 x, y =, 98. y x = ln, y = ln. Ábrázoljuk z lábbi prméteresen megdott függvények és kijelölt prméter intervllumok áltl meghtározott görbevonlú trpézokt, és számítsuk ki ezek területét ( és b pozitív konstnsok). 99. x = (t sin t), y = ( cos t), [, π] (ciklois),. x = t, y = ( t), [, ],. x = cos t, y = sin t, [, π], (kör),. x = 4 cos t, y = sin t, [, π] (ellipszis),. x = cos t, y = b sin t, [, π ] (sztrois), 4. x = (cos t + t sin t), y = (sin t t cos t), [, π/] (kör evolvense), [ π 5. x = cos t, y = sin t,, π ], 6 6. x = ( cos t cos t), y = ( sin t sin t), [, π/], 7. x = t + cos t, y = t sin t, [, π]. 8. x = t, y = ( cos t), [, π]. Számítsuk ki z lábbi, polárkoordinátásn megdott görbék és feltüntetett intervllumok áltl meghtározott szektor területét (z, b és ϕ pozitív konstns): 9. r =, [, π] (kör),. r = ϕ, [, ϕ ] (prbolikus spirális r = ϕ),. r = ϕ, [, ϕ ], (ϕ > ) (hiperbolikus spirális), [. r = cos ϕ,, π ] (négyszirmú rózs), 4 [. r = cos ϕ,, π ] (lemniszkát), 4 4. r = cos ϕ + b, [, π], -8

9 . Htározott integrál Terület 5. r = [, + π] (ellipszis), cos ϕ, 6. r = [ + cos ϕ, π, π ] (prbol), 4 4 (lásd ábr.) 7. r = ϕ, [, ] (rchimedeszi spirális), 8. r = e bϕ, [, ϕ ] (logritmikus spirális), 9. r = b, [, sin π] ϕ + b cos ϕ (ellipszis),. r = ( + cos ϕ), [, π] (krdioid). Számítsuk ki z lábbi, prméteres egyenletrendszerekkel megdott függvények és feltüntetett intervllumok áltl meghtározott szektorok területét.. x = t, y = ( t), [, ],. x = cos t, y = sin t, [, π] (kör),. x = (t sin t), y = ( cos t), ( > ), [, π] (ciklois), [ 4. x = cos t, y = sin t,, π ], [ π 5. x = cos t, y = cos t,, π ] (prbol), 4 [ π 6. x = cos t, y = sin t,, π ], 6 7. x = 4 cos t, y = sin t, [, π] ( (ellipszis), 8. x = ch t, y = sh t, [ t, t ] t < π (hiperbol). 4 Számítsuk ki derékszög koordinátrendszerben y = f (x) lkú egyenlettel megdott görbék és feltüntetett intervllumok áltl meghtározott szektorok területét. 9. y = x, [, ],. y = [ ] x,, ( > ),. y = [ ], x, ( > ),. y = [ ] x,, ( > ),. y = ( x /), [, ], 4. y = ( x), 5. y = ln x, [, e], 6. y = e x, [, ln 4]. ) [, ], 4 Ábrázoljuk z lábbi, polárkoordinátásn megdott görbék áltl htárolt síkidomokt, és számítsuk ki területüket. 7. r = cos ϕ, r = cos ϕ, ϕ =, ϕ = π 4, 8. r = 4 cos ϕ cos ϕ, ϕ =, ϕ = π 4, 9. r = tg ϕ, ϕ =, ϕ = π 8, 4. r = e ϕ, r = ϕ, ϕ =, ϕ = π, -9

10 . Htározott integrál Ívhossz 4. r = e ϕ, r = e ϕ/, ϕ =, ϕ = π. 4. Számítsuk ki z r = 4 egyenlet kör és z r = egyenlet egyenes áltl cos ϕ htárolt kisebbik (jobb oldli) körszelet területét. (Igzoljuk, hogy z el bbi egyenlet vlóbn egyenes egyenlete.) 4. Számítsuk ki z r = 4 egyenlet kör, vlmint z r = egyenlet egyenesek áltl htárolt síkrész területét. cos ϕ és ϕ = (π/) 44. Számítsuk ki z r = 4 sin ϕ egyenlet körb l z r = egyenlet körön kívül es rész területét. Ívhossz D.9Legyen [t n ; n N + ] G görbe AB ívébe beírhtó töröttvonlk olyn sorozt, hogy z n növekedése közben töröttvonlk oldlink hosszúság -hoz trt. H t n -ek hosszúság minden ilyen sorozt esetén konvergál, kkor ugynhhoz számhoz konvergál, és ezt számot z AB ív hosszúságánk, z AB ívet pedig rektikálhtónk nevezzük. T.H z f függvény z [, b] intervllumon folytonosn dierenciálhtó, kkor z y = f (x) egyenlet görbének z [, b] intervllumhoz trtozó íve rektikálhtó, és z ív hosszúság: + f (x). T.H egy sim görbe prméteres egyenletrendszere x = x(t), y = y(t), (t t t ), kkor ívhosszúság t s = _x (t) + _ y (t) dt. t T.Síkbeli polárkoordinát-rendszerben r = r(ϕ), (α β) lkú egyenlettel megdott görbeív hosszúság β s = r (ϕ) + _ r (ϕ) dϕ. α Megjegyzés. jelentenek. Ezek képletek kkor is érvényesek, h konvergens improprius integrált Feldtok Számítsuk ki z lábbi egyenlet görbéknek megdott intervllumhoz trtozó ívhosszát: 45. y = (x ), [, ], -

11 . Htározott integrál Ívhossz 46. y = x, [, ], y = x /, [, 4], 48. y = x, [, ], p 49. 9y = x(x ), [, ], ( > konstns), (p > konstns), 5. x / + y / = /, [, ], ( > konstns) (sztrois), 5. y = ln x, [, 8], 5. y = ln( x ), [, /], 5. y = ln cos x, [, π/6], 54. y = ln [ π sin x,, π ], 55. y = [ ] x x ln(x + x ), [, + ], [ 56. y = x x,, 5 ], ( > konstns) (cisszoid). Számítsuk ki z lábbi, prméteresen megdott görbeívek hosszát, (z, t és t pozitív konstnsok). 57. x = t, y = t, [, ], 58. x = t, y = 4 ( + t)/, [, ], 59. x = t, y = t, [, t ], 6. x = t sin t, y = t cos t, [, t ], 6. x = cos t, y = sin t, [, π], 8 6. x = (t sin t), y = ( cos t), [, π] (ciklois), 6. x = (cos t + t sin t), y = (sin t t cos t), [, π] (kör evolvense), 64. x = cos 5 t, y = sin 5 t, [, π], 65. x = cos t, y = sin t, [, π/], 66. x = e t sin t, y = e t cos t, [, π/], ( 67. x = cos t t ) [ + ln tg, y = sin t, t, π ] (trktrix), 68. x = + rctg t, y = ln + t, [, ], 69. x = ln cos t, y = t, [, π/6], 7. x = ch t, y = sh t, [, t ], 7. x = sh t, y = sh t, [, ln ], 7. x = rch t, y = rsh t, [t, t ], 7. x = t sh t ch t, y = ch t, [, t ]. Számítsuk ki z lábbi, polárkoordinátásn megdott görbeívek hosszát (z, p és ϕ pozitív konstns): 74. r =, t < π; (kör), 75. r = ϕ, ϕ [, ϕ ] (rchimedeszi spirális), (l. ábr), 76. r = ϕ, ϕ [, ϕ ] (hiperbolikus spirális), 77. r = [, cos ϕ, ϕ π ] r = 4 [ π sin ϕ, ϕ, 5π ] 6 6 (egyenes), (egyenes), -

12 . Htározott integrál Térfogt 79. r = cos ϕ, ϕ [, π] (krdioid), (l. ábr), 8. r [ = cos ϕ, ϕ, π ] (prbol), p 8. r = [ + cos ϕ, ϕ π, π ] (prbol), [ π 8. r = cos ϕ, ϕ, π ] (prbol), 8. r = ( + cos ϕ), ϕ [, ϕ ] (krdioid), 84. r = ϕ sin, [, π], 85. r = ϕ th, ϕ [, π], 86. r = eϕ e ϕ +, ϕ [, ϕ ], 87. r = ϕ, ϕ [, ]. 88. r = e ϕ, ϕ [, ϕ ] (ϕ konstns), (logritmikus spirális: ln r = ϕ), Térfogt D.Legyen f z (, b) intervllumon értelmezett vlós érték függvény (z = és b = esetet is megengedve). A f grkonjánk z x tengely körüli megforgtásávl el álló forgásfelület, vlmint (véges és b esetén) z x = és x = b egyenlet sík áltl htárolt forgástest térfogtán π f (x) htározott vgy improprius integrált értjük, feltéve, hogy ez z integrál létezik. P.4Számítsuk ki x + y = egyenlet görbe x tengely körüli megforgtásávl keletkez forgásfelület, és görbe legkisebb bcisszájú pontjábn z x tengelyre mer legesen állított sík áltl htárolt test térfogtát. El ször megkeressük z integrálás htárit. A x értelmezési trtomány mitt x. A x = y mitt x, tehát x, lásd z ábrát. A V térfogt: V = π ( x) 4 = π 5. -

13 . Htározott integrál Felszín Feldtok Számítsuk ki z lábbi egyenlet görbék x tengely körüli megforgtásávl keletkez forgásfelület, vlmint megdott intervllumok végpontjibn z x tengelyre mer legesen állított síkok áltl htárolt forgástestek térfogtát. 89. y = x x, [, ], 9. y = + x, [, ], 9. y = cos x, [, π], 9. y = ch x, [, ], 9. y = e x, [, ), 94. y = ln x, [, ], 95. y = xe x, (, ], 96. y = x, [, ], (gömbtérfogt). Számítsuk ki z lábbi egyenlet görbék x tengely körüli megforgtásávl keletkez zárt forgásfelületek térfogtát. 97. y = x, (gömbtérfogt), 98. y = x, 99. x / + y / =, ( ) x. y = b, >, b > (forgási ellipszoid). Felszín D.5Legyen f z (, b) intervllumon értelmezett vlós érték függvény (z = és b = esetet is megengedve). Az f grkonjánk z x tengely körüli megforgtásávl el álló forgásfelület felszínén π f (x) + f (x) htározott vgy improprius integrált értjük, feltéve, hogy ez z integrál létezik. T.6H egy sim görbe x = x(t), y = y(t), t t t lkú prméteres egyenletrendszerrel vn megdv, kkor z x tengely körüli megforgtásávl el álló forgásfelület felszíne t s = π y(t) _x (t) + _ y (t) dt. t -

14 . Htározott integrál Tömegközéppont Feldtok Számítsuk ki z lábbi egyenlet görbeívek x tengely körüli megforgtásávl keletkez forgásfelületek felszínét.. y = x, x [, ],. y = sin x, x [, π],. y = tg x, x [, π/4], 4. y = x ch, x [, ] (ktenoid, láncfelület), 5. x / + y / = /, x [, ], ( > konstns). Számítsuk ki z lábbi görbék x tengely körüli megforgtásávl keletkez zárt forgásfelületek felszínét. 6. y = x, (gömbfelszín), 7. y = b (x/), ( > konstns) (ellipszoid), 8. y = ch ch x, 9. y = x. Számítsuk ki z lábbi, prméteresen dott görbék x tengely körüli megforgtásávl keletkez forgásfelületek felszínét ( > konstns).. x = cos t, y = sin t, t [, π], (gömbfelszín),. x = cos t, y = sin t, t [, π ],. x = (t sin t), y = ( cos t), t [, π], (ciklois),. x = ( cos t cos t), y = ( sin t sin t), t [, π], 4. x = e t sin t, y = e t cos t, t [, π ]. Tömegközéppont D.7Az f függvény és z (, b) intervllum áltl meghtározott görbevonlú trpéz P (x s, y s ) tömegkközéppontjánk koordinátái z x M y(, b) s = T (,, y M x(, b) s = b) T (, b) képletekkel számolt értékek, hol T (, b) = f (x) ( görbevonlú trpéz területe), M y (, b) = x f (x), M y (, b) = f (x) (sttiki nyomtékok). T.8H egy görbe sim és prméteres lkbn vn megdv (x = x(t), y = y(t), t t t ), kkor görbéhez és z (x(t ), x(t )) intervllumhoz trtozó görbevonlú trpéz tömegközéppontjánk koordinátáit is x s = M y /T, y s = M x /T htározz meg, hol T = t t y(t) _ x(t) dt, M x = t t x(t) _ x(t) dt, M y = -4 t t y (t) _ x(t) dt.

15 . Htározott integrál Htározott integrál kiszámítás közelít módszerekkel T.9Síkbeli polárkoordinát-rendszerben r = r(ϕ), (α ϕ β) lkú egyenlettel megdott görbe és polártengely közé es görbevonlú trpéz tömegközéppontjánk koordinátái: x s = M y /T, y s = M x /T,hol z x(ϕ) = r(ϕ) cos ϕ és y(ϕ) = r(ϕ) sin ϕ függvényekre vontkozón T = β α y(ϕ)x (ϕ) dϕ, M x = β α x(ϕ)x (ϕ) dϕ, M y = β α y (ϕ)x (ϕ) dϕ. Feldtok Ábrázoljuk z lábbi egyenlet görbék és egyenesek áltl htárolt síkidomot, és htározzuk meg tömegközéppontjánk koordinátáit. 5. y = x, y =, x =, 6. y =, y =, x =, x = 4, x 7. y =, x y =, x =, x =, 8. y = x, ( > konstns), y =, 9. y = b x, ( és b pozitív konstnsok), y =. Htározzuk meg z lábbi, prméteresen megdott görbék és z x tengely áltl htárolt síkidomok tömegközéppontjánk koordinátáit ( és b pozitív konstnsok).. x = cos t, y = sin t, ( t π),. x = cos t, y = b sin t, ( t π),. x = (t sin t), y = ( cos t), ( t π),. x = cos t, y = sin t, t [, π ]. Htározzuk meg z lábbi, polárkoordinátás egyenlet görbék áltl htárolt szektorok tömegközéppontjánk koordinátáit bbn derékszög koordinátrendszer ben, melynek origój pólussl, pozitív x féltengelye pedig polártengellyel esik egybe (z pozitív konstns). 4. r =, ϕ [, π ], 5. r = ϕ, ϕ [, π], 6. r = ( + cos ϕ), ϕ [, π], 7. r = e ϕ, ϕ [, π]. -5

16 . Htározott integrál Htározott integrál kiszámítás közelít módszerekkel Htározott integrál kiszámítás közelít módszerekkel T.Legyen f z [, b] intervllumon értelmezett és integrálhtó vlós függvény. Osszuk fel z [, b] intervllumot z = x < x < x < < x n = b pontokkl n egyenl részre. Legyen h = b n és t i = x i + x i (i =,, n). Minden egyes [x i, x i ] (i =,, n) részintervllumon z y = f (x) egyenlet görbének P i (x i, f (x i )) és P i (x i, f (x i )) pontját összeköt íve helyett z y = f (t i ) egyenlet szkszt véve (tégllpmódszer) n f (x) h f (x i ) ; i= pontos érték és közelít érték közötti D n eltérésre D n (b ) 4n sup{ f } ; x [, b]}, h f z [, b] intervllumon kétszer folytonosn dierenciálhtó. H pedig z el bbi beosztás után minden egyes P i P i (i =,,, n) ív helyett P i P i húrt vesszük (trpézmódszer), kkor n f () + f (b) f (x) h + f (x i ) és D n i= (b ) n sup{ f } ; x [, b]}, h f z [, b] intervllumon kétszer folytonosn dierenciálhtó. A prbol vgy Simpson módszernél z intervllumot páros számú (n) részre osztjuk, és z y = f (x) grkonjánk z x i, x i, x i (i =,,, n) bcisszájú pontjin átmen görbeívét z ugynezen pontokon átmen prbolívekkel (vgy, h ezek pontok kollineárisk, kkor összeköt szkszukkl) helyettesítjük. Ekkor és f (x) b 6n D n f () + f (b) + n i= f (x i ) + 4 (b )5 88n 4 sup{ f (4) } ; x [, b]}, h z f z [, b] intervllumon négyszer folytonosn dierenciálhtó. n f (x i ) i= -6

17 . Htározott integrál Htározott integrál kiszámítás közelít módszerekkel Feldtok Számítsuk ki közelít leg z lábbi integrálokt tégllp-, trpéz-, ill. prbolmódszerrel (z intervllumokt zárójelben feltüntetett számú részre osztv). Amennyiben függvény vlmelyik integrálási htárán nincs értelmezve, tekintsük függvényértéknek z ott felvett htárértékét. Amely feldtokbn trigonometrikus függvény fordul el, ott htárok rdiánbn értend k, és ezért rdiánbn kell számolni. ḳ, (4), 9 + x 4, (4), + x 4 8 ḳ 5 ḳ ḳ 4 ḳ π 6 ḳ 8 ḳ 4 ḳ 6 x, (4), ḳ 5 x, (6), ḳ + x 4, (), 5 ḳ cos x, (), 8 5 π ḳ ḳ rctg x, (), x π + cos x, (6), ḳ 4 4 ḳ 44 ḳ π, (8), ḳ 4 + x + x, (). x, (6), 4 + x x, (), ln x, (6), sin x, (), x x, (4), x, (6), ln( + x) 4 sin x, (6), -7