A határozott integrál

Átírás

1 A htározott integrál Bevezető problém: Egyenes úton egy utó időben változó v(t) = ds/dt sebességgel hld. A mindenkori sebesség ismeretében szeretnénk kiszámolni, hogy mekkor utt tesz meg vlmely t b időintervllumbn. H ismernénk v(t) egy F (t) ntideriváltját, kkor s = F (t) + C és így s b = F (b) F () lenne. H F (t) nem ismert, kkor z [, b] intervllumot felosztnánk kis t t... t n részintervllumokr, úgy, hogy ezek mindegyikén sebesség közelítőleg állndónk legyen vehető. H t i részintervllumon sebesség közelítőleg v i állndó értéknek vehető, kkor s b v t + v t v n t n Reméljük, hogy nnál pontosbb lesz z iménti becslésünk, minél finombb beosztását vesszük z [, b] intevllumnk. ) Riemnn összeg Tekintsünk egy y = f() (folytonos) függvényt z [, b] intevllumon. Osszuk fel z intervllumot n belső pont felvételével n részintervllumr = < < <... < n < b = n Definíció: P = {,,,..., n, n } z [, b] intervllum egy beosztás. Egy beosztásbn k-dik részintervllum [ k, k ], ennek hossz k = k k Definíció: Mindegyik részintervllumon vlmely (tetszőleges) c k pontot kijelölve, k c k k z S P = f(c k ) k (.) k= összeg z f() függvény egy Riemnn összege z [, b] intervllumon. Speciális Riemnn összeget kpunk, h minden részintervllumon z iménti összegbe f(c k ) helyett függvénynek megfelelő részintervllumon vett infimumát vgy szuprémumát írjuk Nyilvánvló, hogy S m,p = S M,P = k= k= m k k hol m k = inf {f()} lsó összeg (.) [ k, k ] M k k hol M k = sup {f()} felső összeg (.) [ k, k ] S m,p S P S M,P Definíció: Egy P beosztás normáj: P. = m k { k }, zz leghosszbb részintervllum hossz. Definíció: H z f() függvény z [, b] intervllumon korlátos és z intervllum egyre finomodó P beosztásir lim S m,p = lim S M,P = I (.4) P P mindkét htárérték létezik és egyenlő z I (véges) számml, kkor zt mondjuk, hogy f() integrálhtó z [, b] intervllumon és ott htározott integrálj z I szám. Tétel: Az [, b] intervllumon z f() függvény pontosn kkor integrálhtó, h bármilyen ε > számhoz tlálhtó olyn δ, hogy z [, b] minden olyn beosztásár, mire P < δ következik, hogy S P I < ε zz f(c k ) k I < ε (.5) c k [ k, k ] bármilyen válsztás mellett. k=

2 H létezik ez z I htárérték, kkor zt következőképpen jelöljük I = lim P n k= f(c k ) k = f() (.6) elnevezése: f() htározott integrálj -tól b-ig. Szóhsznált: integrál jel; [, b] integrációs (integrálási) trtomány; b z integrálás lsó felső htár; f() integrndus; integrációs változó Megjegyzés: A htározott integrál értéke csk z integrálndó függvénytől és z intervllumtól függ, független ttól, hogy hogyn jelöljük z integrációs változót. Azz pl. f() = f(t)dt = f(u)du (.7) Problém: A Riemnn összegek ngyon sokfélék lehetnek, függően ttól, hogy milyen beosztást válsztunk és milyen c k pontokt szemelünk ki részintervllumokbn. A sok lehetséges közelítő összeg mindig ugynhhoz z I számhoz trt, h P??? Tétel: (854, Riemnn) Minden folytonos függvény integrálhtó. Pontosbbn, h f() folytonos z [, b] intervllumon, kkor ott létezik htározott integrálj. Péld: = b. Legyen ugynis beosztás olyn, hogy P = { k k = k, k =,,..n, = b/n} és válsszuk minden részintervllumon c k = k pontokt. Ekkor f(c k ) = (k ) és Riemnn összeg Az összeg htárértéke S n = f(c k ) k = k= k= k ( ) = (b/n) n(n + )(n + ) 6 lim n S == b lim ( + /n)( + /n) n = b H z integrál létezik (h minden más Riemnn összeg ehhez számhoz konvergál), kkor I = b /. Az f() = zonbn folytonos függvény, így ezt joggl hihetjük. b) Területszámítás Rjzoljuk fel z y = f() függvény grfikonját z (, y) síkon. Az [, b] intervllum egy beosztás z -tengelyen pontokt jelöl ki. Az [ k, k ] részintervllumon tégllpot rjzolunk z -tengelytől függvény y k = f(c k ) értékéig. A tégllp előjeles területe ekkor T k = f(c k ) k. Nemnegtív függvényekre z összes ilyen elemi tégllp területe szemléletesen közelíti grfikon ltti felületet A beosztás finomításávl kérdéses terület egyre jobbn hsonlít görbe ltti tényleges felülethez Kérdés: A beosztás elemi tégllpjink z együttes területe tényleg felület közönséges területét közelíti? Definíció: Az [, b] intervllumon dott nemnegtív f() függvény grfikonj ltti terület ngyság T = f() (.8) Péld: Számoljuk ki z y = és z y = függvények görbéje áltl htárolt síkidom területét. Ez y() = 4/ Megjegyzés: H függvény nem mindenhol pozitív, kkor f() = T + T (.9) z -tengely fölötti területek összegéből levonv z -tengely ltti terület ngyságát. c) Középérték

3 Tekintsünk egy y = f() folytonos függvényt z [, b] intervllumon. Osszuk fel z intervllumot n egyenlő részre, beosztásbn ekkor = ( b)/n egyform hosszúságú részintervllumok lesznek. Mindegyik részintervllumon válsszunk ki egy c k [ k, k ] pontot. A függvényből vett f(c k ) minták átlg ekkor f(c ) + f(c ) f(c n ) n = n k= f(c k ) = n k= f(c k ) = b S n (.) Azz függvény így elkészített átlg-, vgy középértéke Riemnn összeg osztv z intervllum hosszávl. A beosztás finomításávl egy htározott értékhez trtunk: Definíció: H f() integrálhtó z [, b] intervllumon, kkor f, z f() [, b]-n vett átlg f = b f() (.) Megjegyzés: H f() nemnegtív, kkor ez szám grfikonj ltti terület osztv z intervllum hosszávl. d) A htározott integrál tuljdonsági Definíció: f() = Definíció: f() = b f() Additivitás intervllum szerint: c f() + c f() = f() Lineáris művelet: λf() = λ f() {f() + g()} = f() + g() ill. kombinálv: Tetszőleges {λ, λ,..., λ m } konstnsok és z [, b]-n integrálhtó {f (), f (),..., f m ()} függvényekre { b m } m λ i f i () = λ i f i () (.) i= Péld: f() = 4 függvény görbéje és z tengely közötti terület ngyság [, ] intervllumon. f() = f() = f() = f() + 4 i= f() = 4 ( ) = 6 4 = 4 ( ) = 7 e) Egyenlőtlenségek, középértéktétel M-Min egyenlőtlenség (b ) min [,b] {f()} f() (b ) m [,b] {f()} (.) másképp mondv (b ) min [,b] {f()} lsó, (b ) m [,b] {f()} felső korlátj htározott integrálnk.

4 4 Péld: + cos() Középértéktétel: H f() folytonos, kkor létezik olyn c pont z [, b] intervllumbn, hol f() felveszi középértékét: f(c) = b f() = f (.4) Bizonyítás: Az előzőből min {f} f m {f} és hsználjuk fel, hogy folytonos függvény zárt intervllumon felveszi mimum és minimum közti összes értéket. Azz kell lennie olyn pontnk, hol f(c) = f Péld: f() = 4 átlg [, ] intervllumon f() = ) (4 = Ezt z értéket 4 =, = ± pontokbn veszi fel. Ezek közül z = + vlóbn z intervllum belsejében vn. Péld: H f() = vlmely folytonos függvényre és vlmely intervllumr, kkor f() = leglább egyszer z intervllum belsejében. Monitonitás: H f() g() integrálhtók z [, b] intervllumbn, kkor f() g() (.5) Péld: A trigonometriából ismert, hogy cos() = cos ( ) sin ( ) = sin ( ). Továbbá sin (t) t és így cos() ) ( = = f) A htározott integrál kiszámítás, Newton-Leibniz formul Tekintsük z F () = f(t)dt (.6) htározott integrált, mint felső htár függvényét. Minden -hez egy számot rendeltünk, mint ilyen F () tehát felső htár függvénye. Tétel: F () folytonos függvény (Bizonyítás z következő tétel bizonyításánk elemeit felhsználv HF!) Tétel: A klkulus lptétele I. rész H f(t) folytonos, kkor F () differenciálhtó és d F () = d f(t)dt = f() Azz F () ekkor z f() egy ntideriváltj vgy primitív függvénye. Bizonyítás: A derivált definíciójár gondolv felírjuk z D h F () = F ( + h) F () h differenci hánydos értékét és megmuttjuk, hogy D h F () f() miközben h. F ( + h) F () h ( = +h f(t)dt h f(t)dt ) = h +h f(t)dt

5 z integrálok dditivitás mitt. A középértéktétel lpján zonbn létezik olyn c pont z [, + h] intervllumbn, mire h +h f(t)dt = f(c) Nyilvánvló, hogy miközben h z [, + h] intervllum z -re zsugorodikból és így lim h f(c) = f(), zz d F () = lim F ( + h) F () h = lim h h h +h f(t)dt = lim h f(c) = f() Péld: Htározzuk meg z d F () függvényt, h F () = cos(t)dt. Közvetett függvényt célszerű hsználni, legyen u =. Ekkor df () = df (u) du du = d du u cos(t)dt = cos(u) = cos( ) Tétel: A klkulus lptétele II. rész: Newton-Leibniz formul H z [, b] intervllumon f() folytonos és F () z f vlmely (bármely) ntideriváltj (primitív függvénye), kkor 5 f(t)dt = F (b) F () = F b Bizonyítás: Az előző tételben definiált F () mint felső htár függvénye f() egy ntideriváltj. f() egyéb ntideriváltji ettől csk konstnsbn térhetnek el Bármelyik ntideriváltt is hsználjuk F () = F () + C F (b) F () = {F (b) + C} {F () + C} = F (b) F () = mi bizonyítj tétel állítását. Péld: π cos(t)dt = sin(t) π = sin(π) sin() = n = n+ n + b f(t)dt = ( b n+ n+) hol n n + f(t)dt = f(t)dt g) Numerikus integrálás Mi vn kkor, h nem tláljuk primitív függvényt? Mert esetleg nem is létezik, mint pl. -nek, vgy + -nek nincs primitív függvénye. A numerikus integrálás során többnyire z [, b] intervllumot n egyenlő részre vágjuk (ekvidisztáns beosztás). Egy részintervllum hossz h = (b ) /n. A függvénynek z { k k = + kh, k =,,..., n} pontokbn felvett y k = f ( k ) értékeit kiszámítjuk. Az így kpott n + számml különböző kifejezéseket írhtunk fel, melyek mindegyike z f(t)dt szám egy közelítése. Téglány szbály: közönséges Riemnn összeget számolunk Erre láttunk példát korábbn. Rritkán hsználjuk, mert z lább ismertetendő módszerek ugynkkor számolási munkávl áltlábn jobb eredményt dnk. Trpéz szbály: A függvény grfikonján minden részintervllumon egyenes vonlll összekötjük z ( k, y k ) és z ( k+, y k+ ) egymás utáni pontokt. Az -tengely megfelelő pontjivl így egy trpéz lkult ki. Egy ilyen trpéz területe T k = h {y k + y k+ } sin()

6 6 z elemi trpézok áltl lefedett összes terület pedig T = h {[y + y ] + [y + y ] [y n + y n ]} = h {y + y + y y n + y n } Péld: Kiszámoljuk n = 4 mellett z f() = integrálját z [, ] intervllumon. Ekkor h = /4 és k 4 k 5/4 6/4 7/4 y k 5/6 6/6 49/6 4 A trpéz formuláb helyettesítve kpjuk, hogy { + 5 } = 75 =.475 Persze ezt z integrált már pontosn kiszámoltuk, tudjuk, hogy = = 7 =. f(t)dt (.7) Láthtón z 5 pontból számolt közelítés egész jó. Más integrálok számolásánál, mikor pontos értéket nem ismerjük, szükségünk lehet vlmi támpontr, hogy numerikus eredményünk mennyire jól közelíti z integrál vlódi értékét. Megmutthtó, hogy: Tétel: H z f () (második derivált) folytonos z [, b]-n és létezik olyn M felső korlát, hogy f () M z egész intervllumon, kkor közelítés hibájár igz, hogy E T = f(t)dt T b h M (.8) Péld: Az előbbi számoláshoz kpcsolódv f () () =, így E T ( ) = 4 96 =.4 6 Az számolásunkbn most speciálisn pontosn ekkor hib, tehát becslésben épp z egyenlőség teljesül. Ez nem áltlános, becslés vlójábn felső korlát hib ngyságár. Péld: Korlátot dunk z π sin() trpéz szbály hsználtávl vló integráláskor hib ngyságár. deriváltj: ( sin()) = sin() + cos() ( sin()) = cos() + cos() sin() melyet felül becsülünk kérdéses intervllumon: ( sin()) cos() + sin() + π 6 Ehhez szükséges z integrndus második A [, π]-n z utolsó egyenlőtlenségekben szigorúbb becslést is írhttunk voln, de célnk így is megfelel. A hib tehát E T π ( π n) 6 = π mi n = esetben E T.55..., míg n = -r E T.55 n

7 Azt gondolhtnánk, hogy ngyon kis h-t válsztv tetszőleges pontosságot érhetnénk el. A gykorltbn zonbn nem lehet tetszőlegesen kis h-t hsználni. Ennek két fő ok vn. A ngyon kis h hsznált sok osztópontot jelent és egy komplikáltbb integrndus esetén z y k függvényértékek kiszámolás, tárolás, kezelése túl ngy munkát jelent. A másik problém, hogy számítógépek csk véges pontossággl számolnk (tipikusn - értékes tizedesjegyre), így hib nem tehető tetszőlegesen kicsinnyé. A következő eljárás ugynkkor beosztás mellett, ugynkkor számolási munkávl várhtólg jobb eredményt d trpéz összegnél. Simpson szbály: Az [, b] intervllumot páros számú, egyenlő hosszúságú részintervllumr osztjuk. Minden részintervllum páron másodfokú polinomml y() = A + B + C közelítjük függvényt. Egy ilyen polinom integrálj egy intervllum páron 7 Ezeket összedv h h y() = h (y + 4y + y ) S = h {(y + 4y + y ) + (y + 4y + y 4 ) (y n + 4y n + y n )} = h {y + 4y + y + 4y y n + 4y n + y n } f(t)dt A közelítés hibáj: Tétel: H f (4) (negyedik derivált) folytonos z [, b]-n és létezik olyn M 4 felső korlát, hogy f (4) M 4 z egész intervllumon, kkor (.9) E S b 8 h4 M 4 (.) Nem mitt jobb, mint trpéz szbály, hogy helyett 8 osztj z intervllumot, hiszen M és M 4 rányáról mitsem tudunk. A lényeg, hogy h helyett h 4 htvány szerint csökkenthető hib beosztás finomításávl. Péld: Tudjuk, hogy 5 4 = mit közelítsünk most n = 4 pontos Simpson formulávl. Tehát és S = Mivel f (4) = 5 4 = állndó, hibbecslés k 4 k /4 /4 /4 4/4 5 y k { } = =.6... E S 8 ( ) = 4 84 mi véletlenül megint kkor, mint ténylegesen elkövetett hib, csk zért, mert ilyen speciális függvényt integráltunk. h) Görbék átl htárolt terület Számítsuk ki felülről y = f(), lulról z y = g(), jobbról = és blról pedig z = b görbék áltl htárolt területet Beosztást véve, z -tengelyen tégllpokt rjzolhtunk A k = {f(c k ) g(c k )} k

8 8 területekkel. Ezek összege {f(c k ) g(c k )} k k= egy Riemnn összeg. A beosztás finomításávl ez egy htározott integrál, zz keresett terület A = lim P k= {f(c k ) g(c k )} k = {f(t) g(t)} dt (.) Péld: Kiszámítjuk cos() és sin() görbék áltl [, π/] intervllumon közbezárt idom területét: A = π/ {cos(t) + sin(t)} dt = [sin(t) cos(t)] π/ = Hsonlón járunk el, h görbék = F (y) és = G(y) lkúk és z y = c és z y = d egyenesek közötti trtomány területe szükséges: A = d c {F (t) G(t)} dt (.) H keresett síkidom ezeknél áltlánosbb lkú, kkor feldrbolhtjuk koordinát tengelyekkel párhuzmos vonlkkl olyn részekre, hogy zokr z előbbi formulák már lklmzhtók legyenek. i) Síkgörbék ívhossz Tekintsük egy y = y() vgy = (y) görbét síkon. Vegyünk egy beosztást és z összetrtozó ( k, y k ) és ( k+, y k+ ) pontokt kössük össze egyenessel. Az így kpott poligon síkgörbét nnál jobbn közelíti, minél finombb beosztás. Egy elemi szksz hossz L k = ( k ) + ( y k ) teljes poligon hossz pedig L L k = k= k= ( k ) + ( y k ) = ( ) yk + k k A beosztás finomításávl tehát zt várjuk, hogy ez z összeg (leglábbis jól viselkedő görbék esetén) görbe hosszához trt. De hogyn lehetne ezt formálisn kiszámolni? Definíció: H y() folytonosn differenciálhtó, kkor sim görbének nevezzük. Sim görbére vn olyn {c k, y(c k )} pont k c k k+, hol görbe érintője párhuzmos szelővel ( Lgrnge-féle középértéktétel szerint). Így tehát k= y k = y( k+) y( k ) = y (c k ) k k+ k L k= + (y (c k )) k mi láthtón egy Riemnn összeg. Mivel feltevésünk szerint y () folytonos, így biztosn létezik Riemnn összeg htárértéke és lim + (y (c k )) k = + P k= ( ) dy + (y ()) is z. Ekkor viszont

9 Definíció: Az [, b] intervllumon sim y() görbe hossz L = + ( ) dy (.) H így nehéz lenne kiszámolni, kkor tekinthetjük z = (y) görbét is megfelelő y = c és y = d htárok között. Az előzőekhez hsonlón ekkor d ( ) L = + dy (.4) dy c Péld: Kiszámítjuk negyedkörív hosszát. Az R sugrú, origó középpontú kör egyenlete +y = R. A negyedkörív hosszához z iménti formulábn [, R] trtományon kell integrálnunk, kár z (y) = R y, kár z y() = R eplicit képletet hsználjuk. Legyen z előbbi, ekkor 9 (y) = y R y és + ( ) = + y R y = R R y mivel R L = R ( y R ) d y R = R u du = R [rc sin(u)] = Rπ j) Impropius integrálok Eddig Riemnn integrált csk véges [, b] intervllumokr definiáltuk és ott is csk olyn függvényekre, melyek z intervllumon korlátosk. Most kiterjesztjük htározott integrál foglomát végtelen intervllumokr, és függvények szingulritási helyeire is. Definció: H z lábbi htárértékek léteznek és: f() integrálhtó z [, b] intervllumon tetszőleges b > -r, kkor f() = lim b f() integrálhtó z [, b] intervllumon tetszőleges < b-re, kkor f() = lim f() integrálhtó z [c, b] intervllumon tetszőleges < c < b-re, kkor f() = lim c + c f() integrálhtó z [, c] intervllumon tetszőleges < c < b-re, kkor f() = c lim c b f() (.5) f() (.6) f() (.7) f() (.8) H z előbbi hárérték léteznek, kkor zt mondjuk, hogy z impropius integrál konvergál és értéke htárérték. H htárérték nem létezik, kkor z impropius integrált divergensek mondjuk. A divergens integrálok két típusát különböztetjük meg. Előfordul, hogy htárérték tágbb értelemben létezik, de nem véges. Ilyenkor gykrn írjuk például, hogy f() =

10 A másik eset, h htárérték nem létezik. Akkor zt mondjuk, hogy z impropius integrál nem létezik. Péld: ln()/ integrálj [, ) intervllumon: és ln()/ = [ ( ln() )] b Péld: / integrálj (, ] intervllumon: és ( ) ( ) = ln(b) b [ ] b = ln(b) b b + [ lim ln(b) ] [ b b b + = lim ln(b) ] [ + = lim /b ] + = b b b Péld: Az lábbi integrál divergens, htáréték végtelen = lim c c c / = [ ] c = ( c) lim ( c) = c + Péld: Az lábbi integrál divergens, htáréték nem létezik = lim [ ln c ]c = lim [ ln ( c) + ] = c cos() = lim [sin()] b = nem létezik, [, ] minden pontj torlódási pont b Definció: H z integrndus végtelenné válik z [, b] egy belső d pontjábn, kkor f() = d f() + z integrál konvergens, h mindkét impropius integrál konvergens, egyébként divergens Péld: = lim / ( ) c = lim c c Definció: H tetszőleges R mellet z Péld: + lim / ( ) c + c ( ) / [ (c ) / ( ) /] + lim c + Ahol limesz külön jelölését elhgyjuk + = + + f() és f() = + = f() + Kritériumok konvergenci divergenci eldönhetőségére (például) d f() (.9) [ ( ) / (b ) /] = + / f() létezik, kkor f() (.) + = [ tn () ] = [ π ] H f() és g() folytonos z [, ) intervllumon és f() g() ebben trtománybn, kkor konvergens, h g() z. H f() és g() folytonos z [, ) intervllumon és f() és g() ebben trtománybn, és kkor = π f() lim f() g() < (.) f() és g() vgy mindkettő konvergens, vgy mindkettő divergens.

11 Péld: e -nek nincs elemi primitív függvénye, így nem tudjuk z impropius integrált direkt módon kiszámolni, de e e = Péld: f() = / és g() = /( + ) z [, ) intervllumon lim + = e = [ e ] = e tehát egyszerre divergensek konvergensek. És vlóbn mindkettő konvergens, ugynis = és + = π 4 k) Vegyes megjegyzések z integrálok elméletéből H függvény z [, b] intervllumon korlátos és folytonos (, b)-n, kkor integrálhtó [, b]-n. H függvény z [, b] intervllumon korlátos és monoton (, b)-n, kkor integrálhtó [, b]-n. H függvény z [, b] intervllumon integrálhtó, kkor függvény értékének véges sok pontbn vló megváltozttás z integrálhtóságon és z integrál értékén nem változtt. H függvény z [, b] intervllum integrálhtó, kkor z bszolút értéke is integrálhtó (!fordítv nem következik!). Igz továbbá, hogy f() f() (.) Ahhoz, hogy f() létezzen nem szükséges, hogy függvény végtelenben nullához trtson (elég, h gyorsn oszcillál ) H f() létezik, kkor minden ε > számhoz vn olyn T küszöbszám, hogy f() < ε, h > T és b > T (.)

12 Gykorló feldtok ) Mutssuk, meg, hogy h f() folytonos z [, b]-n és f() =, kkor f() = leglább egyszer z [, b]-n. Válsz: (Középértététel) ) Mutssuk, meg, hogy π + cos() Válsz: (Min-M tétel) ) Hsználjuk, hogy cos() / mivel djunk lsó korlátot cos() értékére. Válsz: (I 5/6) 4) Adjuk meg következő kezdeti-érték problém megoldását htározott integrálll: Válsz: ( F () = tn() egy ntiderivált, y() = F () + C, 5 = + C) 5) Adjuk meg következő kezdeti-érték problém megoldását htározott integrálll: Válsz: ( F () = + egy ntiderivált, y() = F () + C, = + C ) { dy = tn(), y() = 5 }. { dy = + }, y() =. 6) Számítsuk ki Newton-Leibnitz formul segítségével: π és 4 ( ) 4 = 4 π cos() =, π cos () = 7) Adjuk meg z f() = függvény grfikonj és z -tengely áltl htárolt terület ngyságát trtományr. Vigyázt, függvény előjelet vált jelzett intervllumon! Válsz: (T = 5/ + 8/ = 7/) 8) Mennyi ( z y() = vezérgörbéjű forgástest (kúp) térfogt [, 4]. Válsz: V = ) 4 π = π 4 = 4 π 4 9) Számítsuk ki z R sugrú kör területét és z R sugrú gömb térfogtát! Válsz: y() = R ( R { } { }) ( ) T = 4 R = R u = R R du = R = R u = ( { } { }) = 4R π/ u du = u u = sin(t) du = cos(t)dt u = t = π/ = 4R cos (t)dt = R π V = R π ( ) ) R = π (R R R = 4 R π ) Kétszer prciálisn integrálv számítsuk e értékét! Válsz: e = e = e e e = e + e ) Mekkor beosztást kell vennünk, hogy z ln() = módszerrel 4 hibánál jobbn megkpjuk? Válsz: ( ) () = m [,] = E S h = 6 e + = ( + ) e e = /4 e 6 5/4 e 4 értéket numerikus integrálássl trpéz, illetve Simpson ( ) ( n 4 6 n ) n 6 4

13 Házi feldtok ) Rjzoljuk fel z f() = függvényt z lábbi intervllumokon. Adjuk meg mindegyik esteben z intrvllumr vett átlgot és zt helyet, hol függvény felveszi átlgértékét. ) [, ] b) [, ] c) [, ] ) A Min-M egyenlőtlenséggel djunk lsó és felső korlátot z + és z / korlátot z / integrálnk egy finomított korlátj. ) Számítsuk ki Newton-Leibnitz formul segítségével: 6/5 π sin() +cos() π/ (u = helyettesítéssel) ( + 4) (u = + 4 helyettesítéssel) π/4 sin() (prciálisn) π/4 + htározott integrálr. Hsonlón djunk + integrálokr, figyeljük meg, hogy z utóbbi két szám összege z első 4) Integrálássl számítsuk ki, hogy mekkor térfogt egy egyenes kúpnk. Az lpkör sugr r és h kúp mgsság. 5) Htározzuk meg ln(5) közelítő értékét z ln(5) = 5 / numerikus integrálásávl. Legyen beosztás részintervllumink hossz h =. A becslést végezzük el Riemnn összeg számolásávl két módon is. (c k = k ), mjd jobboldli (c k = k ) htárpontokt válsszuk. Az intervllumokból előbb bloldli Számítsuk ki z inetgrált trpéz szbály segítségével. Számítsuk ki hibát! Alklmzzuk Simpson-szbályt is, hibát ismét djuk meg!