Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Átírás

1 Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint, nehezebb; E emelt szint, könnyebb; E emelt szint, nehezebb feldt Lektorok: dr Jeliti Árpád, Pálmy Lóránt, Tmás eát Szkábr: Szlóki Dezsõ Tipográfi: jti Zoltán Felelõs szerkesztõ: Tóthné Szlonty Ann, Szelindiné Glánti Melind Juhász István, Orosz Gyul, Próczy József, Szászné Dr Simon Judit, Nemzedékek Tudás Tnkönyvkidó Zrt, 0 Nemzedékek Tudás Tnkönyvkidó Zrt wwwntkhu Vevõszolgált: info@ntkhu Telefon: A kidásért felel: Kiss János Tmás vezérigzgtó Rktári szám: RE 7 Mûszki igzgtó: bicsné Vsvári Etelk Mûszki szerkesztõ: Orli Márton Grfiki szerkesztõ: Mikes Vivien Terjedelem: 0,6 (A/) ív kidás, 0

2 TARTALOM I HALMAZOK, KOMINATORIKA Vegyes kombintoriki feldtok A sktuly-elv 8 Sorbrendezési és kiválsztási problémák I 0 Sorbrendezési és kiválsztási problémák II II ALGERA Irrcionális számok 9 6 Számok n-edik gyöke 7 8 A négyzetgyökvonás zonossági 9 A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzás I 0 A négyzetgyökvonás zonosságink lklmzás II 8 A n-edik gyökvonás zonossági (emelt szint) A n-edik gyökvonás zonosságink lklmzás (emelt szint) A négyzetgyökfüggvény Az inverz függvény foglm 9 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK Másodfokú egyenletek megoldás szorzttá lkítássl 6 Másodfokú egyenletek megoldás teljes négyzetté kiegészítéssel 7 A másodfokú egyenlet megoldóképlete 8 Az egyenletmegoldás gykorlás 9 9 Nem kell mindig megoldóképlet! 0 A másodfokú függvények és másodfokú egyenletek kpcsolt Másodfokú egyenlõtlenségek I 9 Másodfokú egyenlõtlenségek II 6 Másodfokúr visszvezethetõ egyenletek 6 Másodfokúr visszvezethetõ egyenletek, egyenlõtlenségek (nem érettségi tnnyg) 6 Gyökök és együtthtók közötti összefüggések 67 6 Viète-formulák hsznált feldtmegoldásokbn 70 7 Prméteres egyenletek (emelt szint) 7 8 Prméteres egyenlõtlenségek (emelt szint) 7 9 Szöveges, gykorlti feldtok I 77 0 Szöveges, gykorlti feldtok II 78 Másodfokú egyenletrendszerek 80 O Diofntoszi egyenletek (olvsmány) 8 Szélsõérték-problémák, nevezetes közepek 86 Négyzetgyökös egyenletek I 88 Négyzetgyökös egyenletek II (emelt szint) 9 Négyzetgyökös egyenlõtlenségek (emelt szint) 97 O Mgsbb fokú egyenletek megoldás (olvsmány) (emelt szint) Új sttisztiki jellemzõk 0

3 TARTALOM IV HASONLÓSÁG 8 9 Középpontos ngyítás és kicsinyítés, középpontos hsonlósági trnszformáció 0 0 Szerkesztések középpontos hsonlóság lklmzásávl 0 A hsonlósági trnszformáció foglm 06 Derékszögû háromszögre vontkozó tételek 07 6 Szögfelezõtétel 08 7 Hsonló síkidomok területének rány; hsonló testek térfogtánk rány 0 O A háromszög területe és háromszög oldlit érintõ körök (olvsmány) V A VEKTOROKRÓL 9 Vektor szorzás számml 0 Egyértelmû vektorfelbontási tétel 6 Vektorok koordinátsíkon Helyvektorok 7 Felezõpont, osztópont 8 A háromszög súlypontjáb muttó vektor 0 O A tetréder súlypontj (olvsmány) (emelt szint) Vektor elforgtás! 90 -kl VI TRIGONOMETRIA Hegyesszögek szögfüggvényei 6 Derékszögû háromszögek dtink meghtározás 7 7 Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között 8 Háromszögek dtink meghtározás 9 Síkbeli és térbeli számítások szögfüggvények segítségével 8 VII FÜGGVÉNYEK 60 6 Szögfüggvények áltlánosítás 6 6 Szögfüggvények ábrázolás VIII VALÓSZÍNÛSÉG-SZÁMÍTÁS 6 Vlószínûség-számítási lpfoglmk 66 Mûveletek eseményekkel Események vlószínûsége 69 A vlószínûség kiszámításánk kombintorikus modellje 70 Néhány érdekes problém IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK 7 Középponti és kerületi szögek 7 7 Érintõszárú kerületi szög 60 7 Látószöggel kpcsoltos mértni hely Húrnégyszög 6 O A körhöz húzott szelõszkszok tétele (olvsmány) 70

4 FONTOSA JELÖLÉSEK Az A pont és z e egyenes távolság: d(a; e) vgy Ae vgy Ae Az A és pont távolság: A vgy A vgy d(a; ) Az A és pont összekötõ egyenese: e(a; ) Az f és f egyenesek szöge: vgy A csúcspontú szög, melynek egyik szárán z A, másik szárán C pont tlálhtó: AC A C csúcspontú szög: C Szög jelölése:, b, c, f Az A, és C csúcsokkl rendelkezõ háromszög: AC9 Az AC9 területe: T(AC) vgy T AC Az, b és c oldlú háromszög fél kerülete: s b c + + A derékszög jele: * (; f f) (; f f) A pozitív, negtív egész számok hlmz: Z +, Z {; ; ; }, { ; ; ; } A rcionális, z irrcionális számok hlmz: Q, Q* A pozitív, negtív rcionális számok hlmz: Q +, Q A vlós számok hlmz: R A pozitív, negtív vlós számok hlmz: R +, R Eleme, nem eleme hlmznk:!, ";! N, - g Z Részhlmz, vlódi részhlmz:, ; A R, N Q Nem részhlmz hlmznk: j; Z Y Q Hlmzok uniój, metszete:,, +; Hlmzok különbsége: \; A \ Üres hlmz: Q, {} Az A hlmz komplementere: A + A,, A+ + Az e egyenes merõleges z f egyenesre: e f Az A hlmz elemszám: A ; " 0;;, Az e egyenes párhuzmos z f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ACO, AllCO l A hsonlóság rány: m Az A pontból pontb muttó vektor: A A v vektor: v vgy v vgy Egyenlõ, nem egyenlõ:,!; Azonosn egyenlõ: /; Közelítõleg egyenlõ: ;,; Kisebb, kisebb vgy egyenlõ: <, #; <, # Ngyobb, ngyobb vgy egyenlõ: >, $; 6 >, $ A természetes számok hlmz: N; {0; ; ; } Az egész számok hlmz: Z { ; ; ; 0; ; ; } v " + b /, b! 8, 8, Zárt intervllum: [; b] lról zárt, jobbról nyílt intervllum: [; b[ lról nyílt, jobbról zárt intervllum: ]; b] Nyílt intervllum: ]; b[ Az szám bszolút értéke: ; -,, Az szám egész része, tört része: [], {}; [,], {,} 0, Az osztój b-nek, b többszöröse -nk: b; Az és b legngyobb közös osztój: (, b); (, 6) Az és b legkisebb közös többszöröse: [, b]; [, 6] Az f függvény hozzárendelési szbály: f: 7 f]g ; f: 7 + f]g y; f ] g + Az f függvény helyettesítési értéke z 0 helyen: f0 ( ); f(), h 0 8

5 I HALMAZOK, KOMINATORIKA VEGYES KOMINATORIKAI FELADATOK Adott 9 külsõre egyform érme Az érmék közül z egyik hmis, tömege könnyebb többinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni K ) Legkevesebb hány mérésbõl lehet biztosn megtlálni hmis érmét? E b) Legkevesebb hány mérésre vn szükség kkor, h hmis érme tömegérõl csk zt tudjuk, hogy eltér többiétõl? (Tehát nem ismert, hogy könnyebb vgy nehezebb, mint többi) Sorszámozzuk z érméket,,,, 9-cel ) ármelyik érme könnyebb lehet többinél, így hmis érmére kezdetben 9 lehetõség dódik Egy mérésnek háromféle kimenetele lehet ( mérleg blr vgy jobbr billen ki, illetve egyensúlybn mrd), így méréssel legfeljebb, méréssel legfeljebb 9 lehetõséget tudunk megkülönböztetni Vgyis mérésre biztosn szükség vn H érme között egy könnyebb vn, kkor ezt egyetlen méréssel meg tudjuk htározni Ugynis felteszünk egy-egy érmét mérlegre H ez kibillen, megtudjuk, melyik érme könynyebb; míg h egyensúlybn mrd, mérlegre fel nem tett hrmdik érme hmis Így célszerû három drb hárms csoportr osztni z érméket (ez z ún hrmdolásos technik), s z elsõ mérésként két csoportot összehsonlítni H z {; ; } és {; ; 6} érmék összehsonlításkor mérleg kibillen jobbr (ezt továbbikbn így jelöljük: {; ; } < {; ; 6}), kkor könnyebb érme z {,, } között tlálhtó H blr billen, kkor {,, 6} között vn; míg h egyensúlybn mrd, kkor {7; 8; 9} között Most már csk három érme közül kell kiválsztni z egy könnyebbet, s ehhez elég egy további mérés, mint fentebb láttuk b) Kezdetben 8 eset lehetséges (minden érme kétféle lehet, könnyebb vgy nehezebb, mint többi), méréssel 7 lehetõséget tudunk megkülönböztetni Elvileg mérés elegendõ Az elsõ mérést úgy kell megtervezni, hogy következõ két méréssel legfeljebb 9 eset szétválsztását végezzük el H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi Ez 0 eset, mérés befejezéshez áltlábn nem elegendõ H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi Ez 6 eset, további mérés elegendõ lehet H pedig mérleg kibillen, kkor szintén 6 esetet kell tovább vizsgálni ( érme mindegyike lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi) H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén eset mrd, h mérleg kibillen, kkor pedig 8 Elvileg méréssel befejezhetjük z eljárást, de kényelmesebb kezdõmérés, mert ekkor kevesebb eset megkülönböztetésére vn szükség Legyen z () kezdõmérés {; ; } és {; ; 6} összehsonlítás H (): {; ; } < {; ; 6}, kkor 6 lehetséges eset:,, könnyebb vgy,, 6 nehezebb Alklmzzuk z ún átpkolási technikát, legyen (): {; } és {; } összehsonlítás (, helyben mrdt;, átkerült;, 6 lekerült mérlegrõl) H most (): {; } < {; }, kkor könnyebb, vgy nehezebb; (b): {; } > {; }, kkor könnyebb, vgy nehezebb;

6 I HALMAZOK, KOMINATORIKA (c): {; } {; }, kkor könnyebb, vgy 6 nehezebb Mindhárom esetben elég egyetlen további mérés H (): {; ; } > {; ; 6}, kkor szimmetrikus helyzet z elõzõhöz hsonlón tárgylhtó H pedig (): {; ; } {; ; 6}, kkor 7, 8, 9 vlmelyike lehet könnyebb vgy nehezebb, mint többi érme Egy lehetséges folyttás például (): 7 és 8 összehsonlítás Ez mérés hrmdolj z eseteket; egy további mérés elegendõ Megjegyzés: Elég ngy szbdsági fokkl dolgoztunk Az igzi kérdés 9 helyett érme vizsgált Ekkor 6 lehetõség elvileg méréssel szétválszthtó; kérdés, hogy ez technikilg megoldhtó-e E Ann és él brkochb játékukt kissé módosítják Ann gondol egy 6-nál nem ngyobb pozitív egész számr, él pedig lehetõ legkevesebb eldöntendõ kérdéssel megpróbálj számot kitlálni ( Rákérdeznie már nem kell) Most zonbn él csk elõre rögzített kérdéseket tehet fel, z egyes válszok eredményétõl függetlenül Azz például leír egy ppírr néhány kérdést, mjd Ann ezekre sorbn válszol, s válszok meghllgtás után kell élánk kitlálni gondolt számot Legkevesebb hány kérdésre vn szüksége ehhez? H él klsszikus feldtbn A gondolt szám ngyobb, mint 8? elsõ kérdésre nem válszt kpott, kkor z, 6, 7, 8 számokkl folyttt kérdezést; míg h z elsõ kérdésre válsz igen volt, kkor,,, 6 számokkl De két kérdés kár össze is kombinálhtó, vgyis egyszerre feltehetõ z, 6, 7, 8,,,, 6 kérdéssel Az lábbi táblázt muttj, hogy ezt z ötletet további kérdésekre lklmzv kérdés most is elegendõ () () () () 6 K A kérdéseket () () jelöli Minden kérdéssel z 6 számok egy részhlmzár kérdezünk rá; z egyes kérdéseknél jelet írtunk nnk számnk z oszlopáb, melyik z éppen kérdezett hlmzb trtozik Például h egy konkrét játékbn él négy kérdésére rendre z igen, nem, igen, nem válszokt kpt, kkor gondolt szám z () és () részhlmzokbn tlálhtó; ez szám pedig Tekintsük következõ -ös méretû számtábláztot! Válsszunk ki minden sorból és minden oszlopból egy-egy számot (összesen ötöt) úgy, hogy számok összege lehetõ ) legkisebb; b) legngyobb legyen! A kiválsztott számok összege mindig ugynnnyi Elsõ bizonyítás: Az egyes sorokbn, illetve oszlopokbn lévõ szomszédos számok különbsége megegyezik Ezért h z ábr szerinti A és mezõk szerepelnek egy kiválsztásbn, kkor A A helyettük z A és mezõket is válszthtjuk A + A +, z öt szám összege nem változott Hsonló mozgtásokkl pedig bármelyik számötösbõl bármelyikbe eljuthtunk Második bizonyítás: Szorozzunk meg minden számot -vel! A kiválsztott számötösök ngyságrendi viszonyi nem változtk Most bármelyik öt lehetséges számot válsztjuk, tízesek helyiértékén,,, ; z egyesek helyiértékén pedig 0,,, 6, 8 fog szerepelni A számok összege tehát állndó

7 VEGYES KOMINATORIKAI FELADATOK Hrmdik bizonyítás: A számokt írjuk fel -ös számrendszerbeli lkjukbn! Most is igz, hogy z öt szám kiválsztáskor mind két helyiértéken mind z öt számjegy szerepelni fog K E 6 K 7 K 8 E Mivel egyenlõ z,,, 000 számok számjegyeinek összege? A párbállítás módszerét lklmzzuk ; ,, A számok összedáskor nincs átvitel, így számpárok számjegyeinek összege mindig 7 A teljes összeg A bergengócii Sárkánynk 77 feje vn, Királyfink pedig olyn Vrázskrdj, mellyel egy cspásr 7, 9 vgy fejét tudj levágni Sárkánynk Igen ám, de z elsõ esetben Sárkánynk új feje nõ ki, másodikbn 8, hrmdik esetben pedig 0 H Sárkány összes feje lehullott, nem nõ ki több Le tudj-e gyõzni Királyfi Sárkányt? A fejek számánk változás vágásonként +6, +9, Láthtó, hogy Sárkány fejei számánk -s mrdék állndó Kezdetben volt mrdék, s ez z egész küzdelem ltt megmrd A Királyfi kkor tudná legyõzni Sárkányt, h nnk z utolsó vágás elõtt 7, 9 vgy feje lenne; ezek számok zonbn -ml osztv rendre, 0, mrdékot dnk A Királyfi nem gyõzhet Két kupcbn érmék vnnk, z egyikben 6, másikbn 7 drb Ann és él felváltv vehet el vlmelyik (de csk z egyik) kupcból tetszõleges számú, de leglább érmét Az játékos nyer, ki z utolsó érmét elveszi ) Hogyn játsszon Ann? b) Hogyn játsszon Ann, h kezdéskor három kupcbn rendre,, érme vn? ) Annánk szimmetrikus állásokr kell törekednie A szimmetriát él sját lépésével elrontj, Ann pedig ismét elõállítj A végállpot szimmetrikus (0, 0), így Ann nyer b) él állíthtj elõ szimmetriát, neki vn nyerõ strtégiáj H Ann vlmelyik kupcot megszünteti, él másik kettõt szimmetrikusr állítj ármilyen más lépésével Ann két szimmetrikus kupcot hoz létre, ezért élánk elég elvennie hrmdik kupcot A 8 8-s skktábl bl lsó srkábn egy básty áll ejárhtó-e skktábl (bástylépésekkel) úgy, hogy básty minden mezõt pontosn egyszer érint, s jobb felsõ srokbn ér véget z útj? Lépései során básty felváltv érint fekete és fehér mezõket Tegyük fel, hogy bl lsó mezõ fekete Mivel fekete mezõrõl indul básty, és 6 mezõn kell áthldni, ezért útj csk fehér mezõn végzõdhet A jobb felsõ srok fekete, így bejárás nem lehetséges Egy -s kockát z oldllpokkl párhuzmos síkokkl 7 drb egybevágó kis kockár vágtunk Elvehetjük-e ezeket kis kockákt sorbn egymás után úgy, hogy mindegyik elvett kock z elõzõvel lpszomszédos, s hámozás végén középsõ kis kock megmrd? A hámozás nem vlósíthtó meg A kis kockákt skktáblszerûen feketére és fehérre színezzük úgy, hogy például srokkockák feketék legyenek Ekkor drb fekete és drb fehér kockából áll burok; hámozás során pedig felváltv veszünk el fekete és fehér kis kockákt 7

8 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 9 E Az szám jegyû, és 6 pozitív osztój vn Szorozzuk össze ezeket z osztókt; mit kpunk eredményül? H d egy osztój -nek, kkor d egy társosztó, és d$ d Így z 6 pozitív osztót 8 olyn osztópárr d bonthtjuk fel, melyek szorzt páronként -et d Ezért z eredmény: 8 A SKATULYA-ELV K K ember együttes életkor év Igz-e, hogy kiválszthtó közülük 0 ember úgy, hogy életkoruk öszszege leglább 00 év legyen? Az emberek átlgéletkor év H z összes ember éves, kkor bármelyik 0 kiválsztás megfelelõ H pedig z emberek között vn évnél fitlbb, kkor vn idõsebb is, így 0 legidõsebb ember életkoránk összege több, mint 00 év Egy szbályos háromszög lkú céltábl oldl méter A céltáblát 0 lövés érte Igzoljuk, hogy vn két olyn tlált, melyek cm-nél közelebb vnnk egymáshoz! A szbályos háromszöget z ábrán láthtó módon 9 egybevágó, szbályos részháromszögre bontjuk fel A sktuly-elv mitt vn olyn részháromszög, melyben vn lövés Mivel egy kis háromszög oldl cm-nél kisebb, ezen két lövés távolság is kisebb, mint cm K K K Adott 9 áltlános helyzetû pont síkon (A pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen) Két egyenest húzunk úgy, hogy ezek 9 pont egyikén sem mennek át Tekintsük zokt háromszögeket, melyek csúcsit z dott pontok közül válsztjuk ki izonyítsuk be, hogy bárhogyn is húztuk két egyenest, mindig lesz olyn háromszög, melynek oldlit egyik egyenes sem metszi! A két egyenes síkot legfeljebb négy trtományr osztj A sktuly-elv mitt lesz olyn trtomány, melybe (leglább) pont kerül, s ennek háromszögnek z egyenesek nem metszik z oldlit Az,,, 7 számok egy sorrendje,,, 7 Igzoljuk, hogy z S ( )( ) ( 7 7) szorzt páros! Tegyük fel, hogy szorzt és így minden tényezõ pártln Az,, és 7 tényezõben,, és 7 -nek párosnk kellene lennie, de csk három páros szám vn A tovább már nem egyszerûsíthetõ lkú rcionális szám tizedestört-lkjábn legfeljebb milyen hosszú b lehet periódus? (, b pozitív egész számok) 8

9 A SKATULYA-ELV Az osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy b z osztási mrdékok rendre z,,,, (b ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõbb b lépésben z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktuly-elv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfeljebb (b ) lehet 6 E 7 K 8 E 9 E 0 E Adott síkon végtelen sok pont Igzoljuk, hogy végtelen sok különbözõ távolság lép fel közöttük! Tegyük fel, hogy z egyik ponttól, A-tól, véges sok különbözõ távolságr helyezkedik el többi pont Ez zt jelenti, hogy pontok z A középpontú, koncentrikus körökön vnnk, s ezen körök szám véges Ekkor sktuly-elv mitt vlmelyik körön lesz végtelen sok pont; ezek között pedig már végtelen sok különbözõ távolság lép fel Hét teherutóvl melyek teherbírás egyenként tonn 0 drb követ szeretnénk elszállítni A kövek rendre 70, 7, 7,, 68 kg súlyúk El lehet-e egy fordulóvl szállítni köveket? Leglább egy teherutór leglább 8 követ kell tenni A 8 legkönnyebb kõ tömege 06 kg; köveket nem lehet egy fordulóvl elszállítni különbözõ pozitív egész szám összege 087 Leglább hány páros szám vn z összedndók között? A legkisebb pártln szám összege , tehát számok között vn leglább egy páros Mivel pártln és páros szám összege páros, ezért z is igz, hogy számok között leglább két páros szám vn Ennyi elég is: z összegben két pártln számot kicserélünk náluk eggyel kisebb párosr ergengóciábn négy híres klub mûködik, jelöljük ezeket A,, C és D-vel Egy 9 fõs bráti társság tgjiról kiderül, hogy mind négy klubnk éppen 7-7 közülük tgj Amikor ezt egyikük meghllj, így szól: Milyen érdekes! Akkor biztosn vn közöttünk olyn, ki tgj mind négy klubnk! Vjon igz vn? Jelöljük z embereket,,,, 9 módon, s hogy ki melyik klubnk tgj, zt például egy táblázttl dhtjuk meg Az A,, C, D sorokbn z egyes i személyeknél -et írunk, h i tgj klubnk, 0-t pedig, h nem tg Például tgj z A klubnk, de nem tgj C-nek A feldt feltétele lpján tábláztbn 8 drb szerepel, s kérdés, hogy vn-e olyn oszlop, melyben drb vn Ez pedig sktulyelv mitt nyilvánvló: h minden oszlopbn csk drb lenne, kkor összesen csk 9 7 drb lenne tábláztbn A klubtgnk igz vn 9 A C 0 0 D izonyítsuk be, hogy h z,,, n számokból kiválsztunk (n + ) drbot, kkor ezek között lesz kettõ, melyek reltív prímek! A szomszédos számokból lkotott (, ), (, ), (, 6),, (n, n) n drb számpárból sktuly-elv mitt vn olyn, melynek mindkét elemét kiválsztottuk Ez két szám reltív prím (A közös osztójuk két szám különbségét is osztj) 9

10 I HALMAZOK, KOMINATORIKA E Egy kör lkú sztlon 00 drb cm sugrú golyó helyezkedik el Igzoljuk, hogy leglább még egy ugynekkor golyó lerkhtó z sztlr többi elmozdítás nélkül, h z sztl sugr leglább méter! Felülnézetbõl vizsgáljuk z állást, ekkor golyók cm sugrú körlpokkl helyettesíthetõk Akkor rkhtó le 0 golyó, h vn olyn P pont z sztlon, mely minden golyó középpontjától leglább cm-re vn, és P-nek z sztl szélétõl vló távolság ngyobb, mint cm (Az sztl széle zárt, golyó nem lóght le) Ekkor P lesz 0 golyó középpontj P számár 00 cm sugrú sztlból egy 99 cm sugrú kör területe jöhet számításb: T 99 r Minden golyó, mi már z sztlon vn, egy cm sugrú környi területet zár ki ebbõl, ezek területösszege legrosszbb esetben (h nincs köztük átfedés) t r 00 Mivel t r 00 < 99 r T, biztosn vn olyn P pont z sztlon, mire elhelyezhetjük 0 golyót H golyók részben lelóghtnk z sztlról, kkor természetesen könyebben elhelyezhető 0 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK I K Hányféleképpen rendezhetünk sorb egyform méretû golyókt, h z egyes színekbõl drbszámuk K ) fehér, piros, zöld, kék és fekete; K b) fehér, piros, zöld, kék és fekete; E c) fehér, piros, zöld, kék és fekete; vlmint további feltétel, hogy piros és fehér golyó ne legyen egymás mellett? (Az zonos színû golyók nem különböztethetõk meg) ) különbözõ elem összes sorrendjérõl vn szó:! 0 b) Ismétléses permutációkt számolunk össze:! ! $! $! $! c) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Összes eset: 8! H piros és fehér golyó szomszédos, egyetlen objektumnk tekinthetõ, és felcserélhetõ:! $! 7! $ A piros és fehér golyó nincs egymás mellett:! $! 8! $ 7! 7! - 0 esetben! $!! $! Az lecke példájábn egy ppírlpot kezdetben részre vágunk, mjd z így kpott drbok bármelyikét további vgy részre vághttuk szét, és így tovább Az eljárást folyttv hányféleképpen érhetjük el, hogy ppírlpunk legyen? (Különbözõnek tekintünk két vágássoroztot, h -s vgy z -ös vágások sorrendje különbözik) H egy ppírlpot részre vágunk, kkor ppírdrbok szám -vel nõ; h pedig részre, kkor -gyel A ppírlpok szám z elsõ vágás után Innen drbszám úgy érhetõ el, h 8-cl növeljük drbszámot eset: Négy drb -ös és egy -s vágást végzünk, ezt -féleképpen tehetjük meg ( + 8) eset: Három -ös és három -s vágás kell: 6! 0 lehetõség (Ismétléses permutáció:,,,! $!,, elemeknek ennyi sorrendje vn) eset: Két -ös és öt -s vágás: 7! lehetõség! $! eset: Egy -ös és hét -s vágás: 8 lehetõség eset: Kilenc -s vágás: lehetõség Összesen megfelelõ vágássorozt vn 0

11 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK I K A lpos mgyr kártycsomgból vissztevés nélkül húzunk lpokt Hányféleképpen húzhtunk ) ászt; b) pirost; c) különbözõ figurát (figur z ász, király, felsõ, lsó); d) egyform színt? Oldjuk meg feldtokt bbn z esetben is, h lpokt vissztevéssel húzzuk ki, zz húzás után lejegyezzük, hogy mit húztunk, és lpot vissztesszük csomgb! (Mindkét esetben számít kihúzott lpok sorrendje) ) Egy pklibn ász vn, ezért lehetõségek szám b) Egy pklibn 8 piros vn, így lehetõségek szám c) 6 figur vn csomgbn Az elsõ húzás 6-féle lehet; második már csk (z elõzõ figurát nem húzhtjuk), hrmdik 8, negyedik -féle A szorzási szbály mitt eset vn d) Az elsõ lp bármi lehet, következõ három pedig ugynolyn színû kell, hogy legyen A lehetõségek szám H vissztevéssel húzunk, z esetek szám: ) 6; b) 8 ; c) (nem számít, hogy vissztettük kihúzott figurát, mert még egyszer nem húzhtjuk ki); d) K 6 Adott síkon z A hlmzbn, hlmzbn és C hlmzbn drb pont oly módon, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen K ) Hány olyn háromszög vn, melynek három csúcs rendre z A,, C hlmzok pontji közül kerül ki? K b) És olyn hány vn, melynek két csúcs z A hlmzbn, hrmdik pedig vgy C hlmzbn vn? ) Az A hlmzbn lévõ pontok ( lehetõség) bármelyikét összeköthetjük hlmzbn lévõ pont és C hlmzbn lévõ pont bármelyikével A szorzási szbály mitt háromszögek szám 60 b) Az A hlmzból két csúcsot -féleképpen válszthtjuk ki (mindig z egyik pont mrd ki) Ehhez két ponthoz többi + 9 pont bármelyikét válszthtjuk Eredmény: 9 7 A -s számrendszerben hány ) legfeljebb jegyû; b) pontosn jegyû természetes szám vn? ) Az számnál kisebb természetes számok szám b) A legngyobb helyiértéken vgy áll, többi számjegy -féle lehet, 0, vgy Eredmény: 6 A számegyenes 0 pontjábn áll egy bolh, mely minden másodpercben jobbr vgy blr ugrik egy egységnyit Hányféleképpen érkezhet meg 6 koordinátájú pontb K ) 6 másodperc ltt; K c) 0 másodperc ltt; K b) 0 másodperc ltt; K d) 009 másodperc ltt? ) Minden lépést jobbr kell tennie; lehetõség b) 8 lépést tesz jobbr és lépést blr Minden megfelelõ ugrássoroztot modellezhetünk egy 8 drb j és drb b betûbõl álló szóvl A megfeleltetés kölcsönösen egyértelmû, így nnyi

12 I HALMAZOK, KOMINATORIKA ugrássorozt vn, hány sorrend készíthetõ j, j, j, j, j, j, j, j, b, b betûkbõl Eredmény: 0! 8! $! c) 7-et ugrik blr és -t jobbr, tetszõleges sorrendben: 0! 77 0 lehetõség 7! $! d) Ilyen ugrássorozt nincs Páros koordinátájú pontb csk páros számú ugrás után érkezhet bolh 7 E 8 E Hány szám készíthetõ z lábbi számjegyekbõl? (0-vl nem kezdõdhet szám) Ahol külön nem jelezzük, minden megdott számjegyet fel kell hsználni ) 0,,,, ; b) 0,,,,,,,, és szám -tel oszthtó; c) 0,,,,,,,,, és -s és -es nem szomszédos számjegyek; d) 0,,,,,,,, és hétjegyû számot készítünk; e) 0,,,,,,,, és olyn hétjegyû számot készítünk, melyben vn -es ) H minden szám különbözõ lenne,! sorrendet kpnánk (A 0 nem lehet z elsõ helyiértéken) Mivel vn két egyform elem, sorrendek szám $! 8! b) H z utolsó helyiértéken 0 áll, kkor sorrendek szám 7! ; h -ös áll, kkor 6$ 6! Összesen!! 7$ 6! 6$ 6! + $ 6 $ $ 60 lehetõség!! c) Összesen 8$ 8! -féle szám készíthetõ A rossz esetek zok, mikor és szomszédos számjegyek Tekintsük két jegyet egyetlen objektumnk, és jelöljük -szel Ekkor 0,,,,,,, elemekbõl kell! $! számokt készítenünk, ezt 7$ 7! -féleképpen tehetjük meg Arr kell még figyelni, hogy kétféle lehet! $! ( és különbözik), ezért rossz esetek szám 7$ 7! $ Az összes lehetõségbõl kivonv rossz eseteket, megkpjuk z eredményt:! $! 8$ 8! 7$ 7! 6 $ 7! $ 7! 0 $ 7! $ 7! - $ - 000! $!! $!! $!! $!! $! 6 d) H 0 mrd ki, 7! ; h -es mrd ki, 6$ 6! ; h -es, kkor 6$ 6! ; végül h -s vgy -es, 6$ 6!! $!! $!!! $! lehetõségek szám Összesen 7! 6$ 6! 6$ 6! $ 6$ 6! 6! $ ^ h 90! $!! $!!! $!! $! szám készíthetõ e) Az elõzõ feldt lpján összesen 90 drb hétjegyû szám készíthetõ, s ezek közül 6$ 6! 60 olyn! $! vn, melyben nincs -es Ezek szerint esetben lesz számjegyek között -es Hányféleképpen lehet ht embert (A,, C, D, E, F) egy kör lkú sztl köré leültetni? És h további megkötés, hogy A és egymás mellé kerüljön? (Két ültetés nem különbözik, h mindenkinek ugynz jobb és bl szomszédj) Elsõ megoldás A ht embernek 6! permutációj vn Mivel körben ülnek, ugynzt kört 6 sorozt is elõállítj, ezért különbözõ körök szám 6!! 0 6 Második megoldás Válsszuk ki például A-t, így kört megszkítottuk A többi embert A-hoz képest!-féle sorrendben ülhet le H A és egymás mellett ül, kkor õket egy objektumnk tekintve!!-féle ültetési sorrend lehetséges Mivel szomszédságok szempontjából A és A különbözik, z eredmény! 8

13 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK I 9 K Hányféleképpen olvshtó ki DERECEN szó z lábbi két tábláztból, h minden lépésben jobbr vgy lefelé lehet hldni? D E R E C E N E R E C E N R E C E N R E C E N E C E N C E N E N N D E R E R E R E C R E C E E C E N Az elsõ tábláztbn 7 lépés egymástól függetlenül -értékû lehet (jobbr vgy lefelé), így kiolvsások szám 7 8 A második tábláztbn 7 lépésbõl -et teszünk jobbr és -t le, tetszõleges sorrendben Jelöljük jobbr lépéseket J, lefelé történõ lépéseket L betûkkel, ekkor drb J és drb L betû lehetséges sorrendjeinek számát kell meghtároznunk Összesen: 7! kiolvsás vn! $! 0 Feldobunk egyszerre egy sárg, egy kék és egy zöld dobókockát K ) Hányféle eredménye lehet dobásnk? K b) Hány esetben kphtunk leglább egy htost? K c) Hány esetben lesz dobott számok összege leglább 7? K d) Hány esetben lesz dobott számok összege pártln? K e) Hány esetben lesz dobott számok szorzt páros? K f) Hány esetben lesz dobott számok szorzt -ml oszthtó? E g) Hány esetben lesz dobott számok között -ös és 6-os is? ) Mindhárom dobókock 6-féle értéket muttht Ezek egymástól függetlenek, ezért szorzási szbály lpján dobásnk féle eredménye lehet b) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Az összes lehetõség szám 6 A 6-os nélküli dobások szám Összes rossz jó : 6 9 esetben vn dobott számok között 6-os c) Vgy minden dobás 6-os ( eset), vgy két drb 6-ost és egy -öst dobunk ( eset) Összesen + lehetõség d) A piros és fehér dobás tetszõleges lehet: eset A zöld kockán z elsõ két dobás eredményétõl függõen mindig -féle szám esetén lesz z összeg pártln Így 6 08 megfelelõ esetek szám e) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Az összes lehetõség szám 6 Mindhárom kockán pártln számot 7-féleképpen dobhtunk A számok szorzt esetben lesz páros f) A komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk A szorzt nem lesz -ml oszthtó, h egyik kockán sem dobunk -st vgy 6-ost A rossz esetek szám tehát esetben oszthtó -ml szorzt g) A szit-formulát lklmzzuk Nincs -ös: lehetõség Nincs 6-os: szintén lehetõség Az összes esetbõl kivonjuk zt, mikor nincs -ös, mjd kivonjuk, mikor nincs 6-os: 6 De ekkor kétszer vontuk ki zokt z eseteket, mikor sem -öst, sem 6-ost nem dobtunk; ezek számát tehát egyszer hozzá kell dni z összeghez Nincs sem -ös, sem 6-os: 6 eset Eredmény:

14 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 0 diák között szeretnénk 6 jutlomtárgyt kiosztni Hányféleképpen tehetjük ezt meg, h tárgyk különbözõk, és K ) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht; K b) egy diák több tárgyt is kpht; K c) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht, de egy elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; K d) egy diák legfeljebb egy tárgyt kpht, de három elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; E e) egy diák több tárgyt is kpht, de nem kell minden jándékot kiosztni? ) Az elsõ tárgy 0, második 9,, htodik tnulónk oszthtó ki Összesen lehetséges kiosztások szám b) Mindegyik tárgy 0-féleképpen oszthtó ki, így lehetõségek szám c) A kijelölt diák 6-féle jándékot kpht A mrdék tárgyt 9 ember között kell szétosztni A szorzási szbály mitt z eredmény d) e) Most minden jándékkl dolgot tehetünk: vgy kiosztjuk 0 diák vlmelyikének, vgy egyáltlán nem osztjuk ki A lehetõségek szám (Azt is egy esetnek számítottuk, mikor senki semmit nem kpott) SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II K K K Hány mérkõzést játszik cspt összesen, h mindegyik mindegyikkel játszik? ármely két cspt egy mérkõzést játszik, tehát mérkõzések szám nnyi, hányféleképpen csptból -t kiválszthtunk A kiválsztás sorrendje nem számít, így z eredmény e o 66 Egy skkegyesület játékosiból négyfõs csptot 0-féleképpen lehet kiállítni Hány tgú z egyesület? n H n tgú z egyesület, kkor e o 0; innen n 0 Hányféleképpen lehet egyform méretû golyókt sorb rendezni, h ) piros és kék golyó dott; b) piros, kék és zöld golyó dott? ) Úgy képzeljük, hogy golyók számár dott hét rögzített hely H ezek közül kiválsztunk piros golyók 7 számár -t, kkor kék golyó helye egyértelmûen dódik A 7 helybõl -t e o -féleképpen válszthtunk ki (A kiválsztás sorrendje nem számít) b) Hsonló okoskodássl piros golyók számár e o-féle, kék golyók számár mrdék 9 helybõl 9 9 e o-féle elhelyezés lehetséges, s ekkor z zöld golyó helye egyértelmû Eredmény: e o$ e o 7 70 (Ezt z eredményt kpjuk kkor is, h golyókt más színsorrendben például kék, piros, zöld helyezzük el

15 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II K K 6 K 7 K Az,,,,,, számjegyekbõl hány 7 jegyû számot készíthetünk? 7 e o szám készíthetõ A számjegyeket modellezhetjük z elõzõ ) feldt piros és kék golyóivl Megjegyzés: Mint korábbn már láttuk, feldtot ismétléses permutáció lklmzásávl is megoldhtjuk: 7! 7 e o! $! Hozzuk egyszerûbb lkr következõ kifejezéseket! )! ] ; b) n + g! ] ; c) n + g! ; d) ] ; e) n + g! ] $ n + g! 7$ 6! $ 8 ] n -g! ] n+ g] n+ g ] n -g! - n! ] n + g! ] n -g! )! 0 9 8! ^n+ h^n+ h^n+ hn^n- h! b) ^n + h^n + h^n + hn ^n -h! ^n+ h^n+ hn! c) n! ^n+ h^n+ h d) A közös nevezõ n! n n (vgy ) n -! - n! n! - n! n - ^ h! nn ^ - h! e) Egyszerûsíthetünk z (n + )! és (n )! tényezõkkel: ^n + h! ^n + h! n + ^n+ hn $ $ (n + )(n + )n ^n + h! ^n -h! Adott síkon z A hlmzbn 6, hlmzbn 7 drb pont úgy, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen Hány olyn háromszög vn, melynek leglább egyik csúcs z A hlmz pontji közül kerül ki? Elsõ megoldás 6 7 Olyn háromszög, melynek z A hlmzbn, hlmzbn csúcs vn, e o$ e o 6 drb vn Az A hlmzbn csúcs e o$ e o 0, z A hlmzbn csúcs pedig e o$ e o 0 háromszögnek vn Összesen megfelelõ háromszög vn 0 Második megoldás A pontból összesen e o 86 háromszög készíthetõ Ezek közül kihgyjuk zokt, 7 melyek mindhárom csúcs hlmzból kerül ki Összesen tehát e o- e o 86 megfelelõ háromszög vn Hányféleképpen jöhetett létre egy 6 : végeredményû teniszjátszm? Ez végeredmény csk :-es állás után lkulhtott ki H meghtározzuk, hogy z elsõ 9 játékból melyik -et nyerte meg késõbbi vesztes fél, kkor egyértelmûen megdtuk játszmsoroztot Ez e o 6-féleképpen történhetett 9

16 I HALMAZOK, KOMINATORIKA 8 K 9 E 0 E Egy kmionbn 60 termék között % selejtes Az ellenõr terméket válszt ki Hány esetben lesz kivett termékek között ) 0 selejtes; b) selejtes; c) selejtes? A termékek között összesen selejtes vn 7 ) Az 7 hibátln termék közül válszt ki -öt: e o b) A selejtes termék közül válszt ki egyet, és z 7 hibátln közül -et: e o$ e o c) A selejtes termék közül válszt ki -t, és z 7 hibátln közül -t: e o$ e o 96 Hány ötjegyû szám vn, melynek számjegyei ) növekvõ; b) csökkenõ sorrendben következnek egymás után? (Egyenlõség nem lehet számjegyek között) ) Az,,, 9 számjegyek közül válsszunk ki ötöt! Minden kiválsztás egyúttl egyetlen növekvõ sorrendet is d; ez e o 6 lehetõség (A 0-t nem válszthttuk ki, mert 0-vl nem kezdõdhet szám) 9 b) Most 9, 8,, 0 számjegyek közül válsztunk ki ötöt Minden kiválsztás egyúttl egyetlen csökkenõ 0 sorrendet is meghtároz, ezért e o lehetõségek szám Hányféleképpen olvshtó ki ALATONOGLÁR szó z lábbi három tábláztból, h minden lépésben lefelé, jobbr vgy blr lehet hldni? A b) feldtbn egy, c) feldtbn két mezõ tiltott, ezeken nem hldhtunk át ) b) c) A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R A A L L L A A A A T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R ) ármely kiolvsásnál 6 lépést kell jobbr és 6 lépést blr tenni H lépésbõl kiválsztjuk jobbr történõket, kkor teljes kiolvsást megdtuk lépésbõl 6-ot kiválsztni z elemek sorrendjére vló tekintet nélkül e o 9-féleképpen lehet 6 Egy lehetséges modell: 6 drb J és 6 drb betûbõl álló szvk számát htározzuk meg b) Az összes kiolvsásból ki kell hgynunk zokt, melyek érintik O-t A O útvonlon lépést teszünk, -t jobbr és -t blr; z útvonlt ezért e o-féleképpen tehetjük meg Az OR útvonl + lépésbõl 7 7 áll, ez e o-féleképpen járhtó be A R teljes útvonl, tiltott O mezõn áthldv, O $ OR e o$ e o 7 -féleképp tehetõ meg A tiltott mezõt elkerülõ kiolvsások szám így R - O $ OR e o- e o$ e o 6 7 6

17 SORARENDEZÉSI ÉS KIVÁLASZTÁSI PROLÉMÁK II c) Az összes kiolvsásból kivonjuk tiltott O-n áthldókt és tiltott G mezõn áthldókt Ez 9 utóbbik szám G $ GR e o$ e o Ekkor zonbn kétszer vontuk ki zokt z utkt, melyek O-t és G-t is érintik Ezek szám O $ OG $ GR e o$ e o$ e o 7 9 Eredmény: e o-e o$ e o- e o$ e o+ e o$ e o$ e o

18

19 II ALGERA IRRACIONÁLIS SZÁMOK K E ecsüljük meg, hogy z lábbi rcionális számok közül ) melyik véges, és melyik végtelen, szkszos tizedestört-lkú; b) vlmint hogy milyen hosszú lehet z ismétlõdõ szksz tizedestört-lkjukbn! c) A becslés után htározzuk meg számok tizedestört-lkját! (Vigyázt: zsebszámológép nem mindig ír ki pontos értéket!) A 9 ; 87 ; C 67 ; D 7 ; E 7 ; F 9 ; G 99 ; H ) A és tizedestört-lkj véges, mert 0-nek osztój, és 000 oszthtó 8-cl (H például törtet -tel bõvítjük, kkor 87 $ törtet kpjuk, s ennek tizedestört-lkj nyilván 000 véges) A többi törtrõl kpásból nem látni, hogy milyen típusú tizedestört-lkj b) Az osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), b vgy z osztási mrdékok rendre z,,,, (b ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõbb b lépésben z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktulyelv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfeljebb (b ) lehet c) A 8,6; 77,; C 0, 6 o ; D 60, 08 o ; E, 86 ( számológép,86 hánydost írt ki); F, 0769 ( számológép áltl kiírt szám,0769 (!)); G ; H 0, (Ugynz számológép most 0,76708-t írt ki, zz nem kerekített (!) A forglombn lévõ zsebszámológépek többsége szerencsére kerekít, és 0,76709-et ír ki) Adjuk meg következõ számokt közönséges tört lkbn! ) A 0, o ; b) 0, ; c) C 0, ; d) D, 6 ; e) E 9, o ) 0A, o A két egyenlet kivonásából 9A, A 9 b) 00, A két egyenlet kivonásából 99, 99 b l, c) 00C, ; 99C,; C b 9 l, d) 000D, 66; 999D,, D b 00 l e) 0E 9, 9 o ; 9E 8, E (!) (A véges rcionális számok tizedestört-lkj nem egyértelmû) 9

20 II ALGERA K Az ókori Mezopotámi tudósi szerint Négy tizedesjeggyel számolv, mennyire voltk pontosk tudósok? r 8 r esetén h r-t hosszú intervllum közepére helyezzük, kkor legfeljebb :, lehet becslés hibáj (Ekkor r-nek tuljdonított érték és átlg, 9, (A pontosbb érték r,9; z eltérés r,06 0,079) E Az lábbi számok rcionálisk vgy irrcionálisk? ) ; b) ; c) ; d) + ; e) - ; f) + + ) Mivel 6 irrcionális, így 6, s ezért is irrcionális 6 - b) Tegyük fel indirekt módon, hogy rcionális Ekkor, hol, b pozitív egész számok Innen 8 8 b, zz b 8 Ellentmondást kptunk: bl oldl prímfelbontásábn kitevõje pártln, 8 b jobb oldlon páros c) 8, így 8 rcionális szám d) Tegyük fel indirekt módon, hogy + r! Q Négyzetre emelés és rendezés után r, s ez ellentmondás: bl oldl irrcionális e) A d) feldthoz hsonlón járunk el A - r egyenletbõl r, s innen 60 7 r ellentmondást kpjuk f) Az indirekt feltevést átlkítv + r -, s négyzetre emelés után 6 r - r Ismét négyzetre emelünk: r - r + 0r Ellentmondás: jobb oldl irrcionális K 0 6 K Láttuk leckében, hogy 7 megszerkeszthetõ úgy, hogy sorbn megszerkesztjük,,,, 7 értékeket, mjd z és 7 befogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz Ez elég hosszdlms munk Nem járhtunk el ügyesebben? 7 8 Vn gyorsbb eljárás Például Megszerkesztjük z és befogójú derékszögû háromszög átfogóját (ennek hossz 0 ), ezután 0 és 8 befogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz (ábr) Még gyorsbbn célhoz érünk, h észrevesszük, hogy ; keresett szksz tehát z és 7 befogójú derékszögû háromszög átfogój Vn-e, y rcionális megoldás ( ) + ( )y 7 0 egyenletnek? Tegyük fel, hogy vn megoldás Az egyenlet átlkítv ^ + y- 7h + y-0lkú A jobb oldlon rcionális szám áll, bl oldlon pedig rcionális többese A bl oldlon csk kkor állht rcionális szám, h + y 7 0, s ekkor jobb oldlon teljesülnie kell, hogy + y 0 0 Az egyenletrendszer megoldás, y, s ezek rcionális számok 0

21 IRRACIONÁLIS SZÁMOK 7 Vn-e két olyn irrcionális szám, és b, K ) melyek összege és szorzt is egész szám; E b) melyekre + b és + b is egész szám? ) Például és b megfelel Egy másik lehetõség n + és b n - válsztás, hol n! Z Ekkor + b n és b n b) Ilyen irrcionális számok nincsenek H + b és y + b is egész számok, kkor y + b ( + b) b is egész szám lenne (Márpedig nem z; sõt, még csk nem is rcionális szám) E Keressünk olyn n természetes számokt, melyekre z lábbi kifejezések értéke rcionális szám lesz! K ) A n + 9 ; K b) n + n; E c) C n + n+ A gyökjel ltt négyzetszámnk kell állni ) n + 9 k A szomszédos négyzetszámok távolság rendre,,, 7, 9,, Lehetséges megoldások: n 6, k vgy n 0, k 9 b) n + n n(n + ) Az n és (n + ) tényezõk közös osztój csk vgy lehet H reltív prímek, kkor mindkét tényezõ négyzetszám: n, n + H mindkét tényezõ oszthtó -ml, kkor szorztuk csk z n 0, n + esetben lesz négyzetszám c) n + n + (n + ) < n + n + # n + n + (n + ), vgyis C kifejezés két szomszédos négyzetszám közé esik Csk kkor lehet C négyzetszám, h n + n + n + n +, zz n 0 Adjunk meg olyn pozitív egész számot, melyik K ) elõáll két rcionális szám négyzetének z összegeként; E b) nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének z összegeként! ) A pitgorszi számhármsokból végtelen sok megoldást kpunk Például +, ezen kívül -tel osztv b l + b l b) + Azt állítjuk, hogy viszont már nem áll elõ két rcionális szám négyzetösszegeként Az elõzõ megoldássl fordított iránybn okoskodunk Tegyük fel, hogy, innen c k + b b c l + b c A négyzetszámok -ml osztv 0 vgy mrdékot dnk H vgy b vlmelyike mrdékot d, kkor bl oldl nem lehet -ml oszthtó H pedig és b egyránt 0 mrdékot d, kkor és b oszthtó 9-cel is, így bl oldl oszthtó 9-cel Vgyis bl oldl prímtényezõs felbontásábn páros kitevõn szerepel, míg jobb oldlon pártln kitevõn vn Ellentmondást kptunk: nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének összegeként A lecke 6 példájábn megállpítottuk, hogy r tizedestört-lkjábn vn olyn számjegy, melyik végtelen sokszor elõfordul Igz-e, hogy biztosn vn két olyn számjegy is, melyik végtelen sokszor fordul elõ? Tegyük fel indirekt módon, hogy csk egyetlen számjegy fordul elõ végtelen sokszor Mivel többi számjegybõl véges sok vn, tizedes tört vlmely helyiértéktõl kezdve csup -bõl fog állni Ekkor viszont szám rcionális lenne vegyes szkszos tizedes tört, hosszú periódussl Ellentmondást kptunk: leglább két számjegy fordul elõ végtelen sokszor Egy érdekesség: megoldtln problém, hogy r tizedestört-lkjábn vn-e olyn számjegy, melyik véges sokszor fordul elõ

22 II ALGERA 6 SZÁMOK N-EDIK GYÖKE K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; 8 ; -8 ; ] g 7 ; ; 8 ; - 8 -; ]- g -; K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! 9 ; ; 7 ; ; ; ; 7 ; -, ; K Keressük meg mûveletsorok eredményét! ) ; b) 8 ; c) 0, , ) ^ h+ - ; b) 8 ; b- l+ c) 0, 00-0, 0 0, 0, 0, 0, E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát! 7 6 ; b ; c - ; d - ; e b c - d - e -0 értelmezett, h! R; értelmezett, h b $ 0; értelmezett, h c! R; értelmezett, h d $ ; értelmezett, h e $ E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát, mjd htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; ; ; y z w 6 y z w, h $ 0; y, h y! R; z, h z! R; w, h w! R 6

23 7 8 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI 7 8 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI K K Keressünk egyenlõket kifejezések között! ; $ ; ]-g ; ; ; 8 - b l ^ h A kifejezések mindegyike, tehát egyenlõk Számológép hsznált nélkül válsszuk ki zokt kifejezéseket, melyek pontos értékét megállpíthtjuk! Írjuk fel pontos értékeket! 0 6 ; 0 ; 9 ; 000 ; 6 ; 6, ; ; 0 0 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 9 ; 000 z 000 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 6 ; 6, 6, ; 00 K Állpítsuk meg, hogy két szám közül melyik ngyobb! ) 60 vgy 0 Egyenlõk, mert b) $ vgy $ 0 Egyenlõk, mert $ $ 60 $ 0 $ 0 c) ^ h vgy ^ h > b + l d) $ 9 vgy Egyenlõk, mert $ 9 $ 9 $ 7

24 II ALGERA K Végezzük el mûveleteket! ) ^ 8 - h ^ 8 - h $ 8 - $ 6$ 6 $ 8 b) ^ + 7- h ^ + 7- h $ + $ 7- $ c) ^ + 7 h^ - 7 h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + 7h^ - 7h ^ h - ^ 7h d) ^ + h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + h e) ^ 7 - h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ 7 - h f) ^ - + h^- + h ^ - + h^- + h K 6 K Igz-e bármely és y vlós szám esetén:? y y Nem igz, csk h $ 0, és y 0 Végezzük el mûveleteket! ) ^ + bh H $ 0, és b $ 0, kkor ^ + bh + b+ b b) ^ c - dh H c $ 0, és d $ 0, kkor ^ c - dh c+ d- cd

25 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I c) _ - y + zi H $ 0, y $ 0, és z $ 0 kkor _ - y + z i + y + z - y + z - yz 7 K Mely egyenlõségek zonosságok? ) ] + g + Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- b) Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- c) ] b- g b- Azonosság d) y - 6y+ 9+ y- ^y- h Nem zonosság, csk h y $ e) c - 0c+ c c + - Nem zonosság, c - 0c+ ^c - h c - c - c -, h c 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I K Végezzük el mûveleteket! ) ^ - h- ^ + h ^ - h- ^ + h 8^ - h- ^ + h ^- h- b) ^ 7 - h - ^ 7 + h ^ 7 - h - ^ 7 + h

26 II ALGERA c) ^ 8 - h + ^ 8 + h ^ 8 - h + ^ 8 + h d) ^ - h+ ^ - h ^ - h+ ^ - h , 7 K Végezzük el mûveleteket! ) - - (gyöktelenítsük számlálót) - - ^ - + h^ - h + b) (gyöktelenítsük számlálót) ^ h^ 0-8h 0-8 c) : : $ 0 0 K Állpítsuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) - 8 Értelmezett, h 8 $ 0, $ 8 - b) 9k + k + 9k + k+ ^k+ h, ezért minden k! R esetén értelmezett c) ] b+ g] c+ g Értelmezett, h ^b- h^c+ h$ 0, vgyis h b # és c #-, vgy b $ és c $- 6

27 9 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA I d) + Értelmezett, h $ 0, zz h $- + y + e) y - 8 y + Értelmezett, h $ 0, zz, h y #-, vgy y 8 y - 8 Alkítsuk szorzttá kifejezéseket! Ahol szükséges, szorzt lkhoz djuk meg z értelmezési trtományt is! K ) ^ + h K b) ^ h K c) ^ h E d) b - c + d b - c + d ^ b - c + dh, h bcd,,, $ 0 E e) - + y - + y _ - + yi, h y, $ 0 E f) bc - b c + bc bc- bc+ bc bc^ - b+ ch, h bc,, $ 0 E g) pq - rs + qr - ps pq - rs+ qr - ps p_ q - si+ r_ q - si _ q - si_ p+ ri 7

28 II ALGERA E A szorztokt írjuk összeg lkbn, h lehet, végezzünk összevonásokt! ) ^ + bh^ - bh+ ^ - bh ^ + bh^ - bh+ ^ - bh - b+ + b- b - b, h b, $ 0 b) ^ + b - bh^ + b + bh- ^ + bh H b, $ 0, kkor ^ + b - bh^ + b + bh- ^ + bh ^+ bh -b-- b - b - b -b c) - y $ + y H $ y, y $ 0 - y $ + y _ - yi_ + yi - y 0 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA II K Függvénytáblázt és számológép hsznált nélkül állpítsuk meg kifejezések ngyságviszonyát! Hozzuk egyszerûbb lkr kifejezéseket, lklmzzuk bevitel gyökjel lá módszert! ; ; $ 0 $ 8 $ ; 8 ; Írjuk egyszerûbb lkb kifejezéseket! Alklmzzuk bevitel gyökjel lá módszert! Adjuk meg z értelmezési trtományokt! p q K ) $ q p p q p q $ q p c m $ q p p p, h 0 q q K b) mn m n mn m mn m mn m mn, h, n ^ h $ n mn $ 0 n! 0 8

29 0 A NÉGYZETGYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA II K c) y + y H y, 0, kkor y y y+ y + y c^ h c + y mm ^ h y y ^ + y h K d) + b - b+ b - b - b H, és + b - $ 0, kkor - b - K e) ] b - g - b b b H b, kkor b - - b ^ - h ^ - h ] g ^+ bh^- bh + b K Írjuk egyszerûbb lkb kifejezéseket! Alklmzzuk kihoztl gyökjel lól módszert! Adjuk meg z értelmezési trtományokt! ) 0 ; b) 8 ; c) ; d) ; e) b ; f) c ) 0 ; d), h $ 0; b) 8 ; e) b b b, h b $ 0; c) 9 ; f) ^ 7 7, h c $ Végezzük el mûveleteket! K ) K b) K c) 6 6b - b + b b - b 8 b H $ 0, b $ 0, kkor 6 6b - b + b b - b 8 b 8b 7b - b 7b + b 7b - 0b 7b 0b b 9

30 II ALGERA Gyöktelenítsük törtek nevezõit, végezzük el mûveleteket! K ) 7 ; K b) ; K c) ; K d) ; K e) ; 7 y ) 7 7 ; b) ; c), h 0; d) ; e) y, h y 0; y y K f) ; K g) ; K h) n ; K i) k ; + - m - t - s f) $ - ; g) - $ + - ^ + h ; h) H, és, kkor n m n m $ + ^ + h m $ 0 m! 6 ; m - m + m - 6 i) H, és, kkor k t s k t s $ + ^ + h t $ 0 t! s ; t - s t + s t- s K j) 7 - ; K k) - ; K l) + b - -b ; b + - b j) 7 - $ $ 8 $ 9 0 $ ; k) - $ ; - + l) b b b b b b b $ ^ + h- - + ^ - h b - - ; + b + - b + b - -b ^+ bh-^-bh b E m) ; E n) ; m) n) ; ^- 6 - h $ $ ; ^ h E o) ; E p) ; + b+ c ^ + h - $ + - $ + + ^ + h o) $ $ ; p) H b c $ 0, kkor $ b+ c b c b + $ - b+ c b+ c b+ c b- c c b b c bc c c b - c 0

31 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI 6 E 7 E Oldjuk meg z egyenletet! Értelmezési trtomány: $- Alkítsuk át z egyenlet bl oldlát: , tehát A kpott gyök megfelel feltételeknek Állpítsuk meg z -6y-y ; y + -! - + kifejezés értékét, h , y 9-0 6, y, tehát -6y- y ^ h-6 -^9-0 6h E Hogyn tudnánk ügyesen kiszámolni z lábbi kifejezést: f +? Gyöktelenítünk: $ - -, $ - -,, $ Összedáskor közbülsõ tgok kiesnek, z eredmény: 00-9 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI Emelt szint E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) 6 ; b) -6 ; c) 6 ; d) 8 ; e) 8 ) 6 ; b) - 6 -; c) 6 ; d) ; e) E Adjuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) ; értelmezhetõ, h! R;

32 II ALGERA b) b ; b értelmezhetõ, h b $ 0; c) c - ; c - értelmezhetõ, h c! R; 6 d) d - 8; 6 d - 8 értelmezhetõ, h d $ E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) $ $ 9; $ $ b) 6 $ 6 $ ; 6 $ 6 $ 7 $ $ 7 $ $ 7 $ ; c) ; 0 $ $ $ ; $ d) 6 8: ; 8: 8: ; E Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével kifejezéseket, mjd számítsuk ki számológép nélkül z értéküket, h lehet! ) ; 6 6; b) ; ;

33 AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAI c) ; ; 0 d) $ 9; $ $ ; e) $ $ ; 6 $ $ $ $ E Adjuk meg kifejezés értelmezési trtományát és legegyszerûbb lkját! ) $ 8 ; $ 8 értelmezhetõ, h $ 0; $ ; 6 b) b $ b $ b ; 6 b $ b $ b értelmezhetõ, h b $ 0; b b 6 b b 8 b 9 b 0 b 7 $ $ $ $ b $ b c) c $ c $ c; c $ c $ c értelmezhetõ, h c $ 0; c c c c 6 c c $ $ $ $ $ c c c; d) ^ d : d h ; ^ d : d h értelmezhetõ, h d $ 0; d : d d ^ h e 9 o ^ d h d d; d 0 60 e) b ; 0 60 b értelmezhetõ, h! R, b! R; 0 60 b b b 0 60 ;

34 II ALGERA Emelt szint AZ n-edik GYÖKVONÁS AZONOSSÁGAINAK ALKALMAZÁSA E Vigyük be gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) 8; b) ; c) ; d) 7 8 ) 8 ; b) 86 ; c) ; d) E E E E Vigyük be gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) b b ; b) c 6 d ; c) ] e f + g ; d) ] m n mn + g d c e+ f ] m+ ng ) b ; b) 6 c ; c) e f ; d) mn ^ + h d ] m+ ng Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõket! ) 8; b) 6 ; c) 6 ; d) $ 7 ; e) 8 ) $ ; b) $ $ ; c) $ ; d) $ 8 ; e) Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõt! ) $ b ; b) c $ d $ e ; c) k k+ k+ p $ q ; d) n+ n+ n+ $ y ) b $ ; b) cd e $ cde ; c) pq $ k pq ; d) y$ n+ y Végezzük el mûveleteket! ) ^ h$ 6 - $ + $ b) ^ - + h + $ + - $ + $ - $ 6 c) ^ 9 6 b - b h$ ^ b + bh 6 b b 6 b b b $ + - $ -b $ b d) k k b b $ - l $ b $ k k b b - l k - k $ k - k $ k + kb $ b 6 k

35 A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY 6 E Válsszuk ki z állítások közül z zonosságokt! ) n n, $ 0; Azonosság 6 b) b $ b 9 0 b 6 Nem zonosság: b $ b 9 b c) c $ c $ 0 c 7 c Nem zonosság: c $ c $ 0 c 9 c d) d + 9 d d Nem zonosság A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY K Rjzoljuk meg következõ függvények képét értéktáblázt segítségével! ) 7 - ; c) 7 - -; b) 7- + ; d) 7 - Vizsgáljuk meg, hogy milyen trnszformációt kell végrehjtnunk z 7 hogy megkpjuk végeredményt! függvény képén, ) Készítsünk tábláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz, és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk behelyettesíteni y R f 0 D f A négyzetgyök függvény képét egységgel eltoltuk z y tengely mentén negtív irányb + ÉT R 0, ÉK [ ; [

36 II ALGERA b) Készítsünk tábláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz,és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk behelyettesíteni y 0 + ÉT R 0, ÉK ] ; ] A négyzetgyök függvényünket elõször megnyújtottuk kétszeresére, után tükröztük z tengelyre, mjd feljebb toltuk ( z y tengely mentén pozitív irányb) egységgel c) Mivel csk -et, vgy nnál ngyobb számot lehet behelyettesíteni képletbe, ezért csk ezeket írjuk tábláztb y 0 ÉT [; [, ÉK ] ; ] A négyzetgyök függvényünket elõször eltoltuk jobbr egységgel (z tengely mentén pozitív irányb), után tükröztük z tengelyre, mjd feljebb toltuk (z y tengely mentén pozitív irányb) egységgel d) A négyzetgyök jel ltt csk nemnegtív szám állht, tehát - $ 0 /+ $, vgyis képletbe csk négyet vgy nnál kisebb számot lehet behelyettesíteni 0 6-0

37 A NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY y 0 ÉT ] ; ], ÉK [0; +[ A négyzetgyök függvényünket elõször tükröztük z y tengelyre, után eltoltuk jobbr egységgel (z tengely mentén pozitív irányb) K Oldjuk meg következõ egyenleteket grfikus módszerrel! ) ; c) ; b) + + ; d) ) Elõször átlkítjuk z egyenletet /+ ; - 0 Az egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell b) Elõször átlkítjuk z egyenletet + + / ; + Az egyenlet értelmezési trtomány [ ; [ intervllum Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás lesz Ezt z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell y 0 M (0;0) y + M(;) M (;) + c) Elõször átlkítjuk z egyenletet - + / ; - - Az egyenlet értelmezési trtomány [0,; [ Itt fogjuk ábrázolni két függvényt A metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás z Ezt z eredeti egyenletbe történõ behelyettesítéssel ellenõrizni kell y M(;) 0 7