I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

Átírás

1 I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni K ) Legkevese hány mérésõl lehet iztosn megtlálni hmis érmét? E ) Legkevese hány mérésre vn szükség kkor, h hmis érme tömegérõl csk zt tudjuk, hogy eltér töiétõl? (Tehát nem ismert, hogy könnye vgy neheze, mint töi) Sorszámozzuk z érméket,,,, 9-cel ) ármelyik érme könnye lehet töinél, így hmis érmére kezdeten 9 lehetõség dódik Egy mérésnek háromféle kimenetele lehet ( mérleg lr vgy jor illen ki, illetve egyensúlyn mrd), így méréssel legfelje, méréssel legfelje 9 lehetõséget tudunk megkülönöztetni Vgyis mérésre iztosn szükség vn H érme között egy könnye vn, kkor ezt egyetlen méréssel meg tudjuk htározni Ugynis felteszünk egy-egy érmét mérlegre H ez kiillen, megtudjuk, melyik érme könynye; míg h egyensúlyn mrd, mérlegre fel nem tett hrmdik érme hmis Így célszerû három dr hárms csoportr osztni z érméket (ez z ún hrmdolásos technik), s z elsõ mérésként két csoportot összehsonlítni H z {; ; } és {; ; 6} érmék összehsonlításkor mérleg kiillen jor (ezt továikn így jelöljük: {; ; } < {; ; 6}), kkor könnye érme z {,, } között tlálhtó H lr illen, kkor {,, 6} között vn; míg h egyensúlyn mrd, kkor {7; 8; 9} között Most már csk három érme közül kell kiválsztni z egy könnyeet, s ehhez elég egy továi mérés, mint fente láttuk ) Kezdeten 8 eset lehetséges (minden érme kétféle lehet, könnye vgy neheze, mint töi), méréssel 7 lehetõséget tudunk megkülönöztetni Elvileg mérés elegendõ z elsõ mérést úgy kell megtervezni, hogy következõ két méréssel legfelje 9 eset szétválsztását végezzük el H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnye vgy neheze, mint töi Ez 0 eset, mérés efejezéshez áltlán nem elegendõ H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén mrdék érme lehet könnye vgy neheze, mint töi Ez 6 eset, továi mérés elegendõ lehet H pedig mérleg kiillen, kkor szintén 6 esetet kell tová vizsgálni ( érme mindegyike lehet könnye vgy neheze, mint töi) H z elsõ méréskor - érmét hsonlítunk össze, kkor egyensúly esetén eset mrd, h mérleg kiillen, kkor pedig 8 Elvileg méréssel efejezhetjük z eljárást, de kényelmese kezdõmérés, mert ekkor kevese eset megkülönöztetésére vn szükség Legyen z () kezdõmérés {; ; } és {; ; 6} összehsonlítás H (): {; ; } < {; ; 6}, kkor 6 lehetséges eset:,, könnye vgy,, 6 neheze lklmzzuk z ún átpkolási technikát, legyen (): {; } és {; } összehsonlítás (, helyen mrdt;, átkerült;, 6 lekerült mérlegrõl) H most (): {; } < {; }, kkor könnye, vgy neheze; (): {; } > {; }, kkor könnye, vgy neheze;

2 I HLMZOK, KOMINTORIK (c): {; } {; }, kkor könnye, vgy 6 neheze Mindhárom eseten elég egyetlen továi mérés H (): {; ; } > {; ; 6}, kkor szimmetrikus helyzet z elõzõhöz hsonlón tárgylhtó H pedig (): {; ; } {; ; 6}, kkor 7, 8, 9 vlmelyike lehet könnye vgy neheze, mint töi érme Egy lehetséges folyttás például (): 7 és 8 összehsonlítás Ez mérés hrmdolj z eseteket; egy továi mérés elegendõ Megjegyzés: Elég ngy szdsági fokkl dolgoztunk z igzi kérdés 9 helyett érme vizsgált Ekkor 6 lehetõség elvileg méréssel szétválszthtó; kérdés, hogy ez technikilg megoldhtó-e E nn és él rkoch játékukt kissé módosítják nn gondol egy 6-nál nem ngyo pozitív egész számr, él pedig lehetõ legkevese eldöntendõ kérdéssel megpróálj számot kitlálni ( Rákérdeznie már nem kell) Most zonn él csk elõre rögzített kérdéseket tehet fel, z egyes válszok eredményétõl függetlenül zz például leír egy ppírr néhány kérdést, mjd nn ezekre sorn válszol, s válszok meghllgtás után kell élánk kitlálni gondolt számot Legkevese hány kérdésre vn szüksége ehhez? H él klsszikus feldtn gondolt szám ngyo, mint 8? elsõ kérdésre nem válszt kpott, kkor z, 6, 7, 8 számokkl folyttt kérdezést; míg h z elsõ kérdésre válsz igen volt, kkor,,, 6 számokkl De két kérdés kár össze is kominálhtó, vgyis egyszerre feltehetõ z, 6, 7, 8,,,, 6 kérdéssel z lái tálázt muttj, hogy ezt z ötletet továi kérdésekre lklmzv kérdés most is elegendõ () () () () 6 K kérdéseket () () jelöli Minden kérdéssel z 6 számok egy részhlmzár kérdezünk rá; z egyes kérdéseknél jelet írtunk nnk számnk z oszlopá, melyik z éppen kérdezett hlmz trtozik Például h egy konkrét játékn él négy kérdésére rendre z igen, nem, igen, nem válszokt kpt, kkor gondolt szám z () és () részhlmzokn tlálhtó; ez szám pedig Tekintsük következõ -ös méretû számtáláztot! Válsszunk ki minden soról és minden oszlopól egy-egy számot (összesen ötöt) úgy, hogy számok összege lehetõ ) legkise; ) legngyo legyen! kiválsztott számok összege mindig ugynnnyi Elsõ izonyítás: z egyes sorokn, illetve oszlopokn lévõ szomszédos számok különsége megegyezik Ezért h z ár szerinti és mezõk szerepelnek egy kiválsztásn, kkor helyettük z és mezõket is válszthtjuk + +, z öt szám összege nem változott Hsonló mozgtásokkl pedig ármelyik számötösõl ármelyike eljuthtunk Második izonyítás: Szorozzunk meg minden számot -vel! kiválsztott számötösök ngyságrendi viszonyi nem változtk Most ármelyik öt lehetséges számot válsztjuk, tízesek helyiértékén,,, ; z egyesek helyiértékén pedig 0,,, 6, 8 fog szerepelni számok összege tehát állndó

3 VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK Hrmdik izonyítás: számokt írjuk fel -ös számrendszereli lkjukn! Most is igz, hogy z öt szám kiválsztáskor mind két helyiértéken mind z öt számjegy szerepelni fog K E 6 K 7 K 8 E Mivel egyenlõ z,,, 000 számok számjegyeinek összege? párállítás módszerét lklmzzuk ; ,, számok összedáskor nincs átvitel, így számpárok számjegyeinek összege mindig 7 teljes összeg ergengócii Sárkánynk 77 feje vn, Királyfink pedig olyn Vrázskrdj, mellyel egy cspásr 7, 9 vgy fejét tudj levágni Sárkánynk Igen ám, de z elsõ eseten Sárkánynk új feje nõ ki, másodikn 8, hrmdik eseten pedig 0 H Sárkány összes feje lehullott, nem nõ ki tö Le tudj-e gyõzni Királyfi Sárkányt? fejek számánk változás vágásonként +6, +9, Láthtó, hogy Sárkány fejei számánk -s mrdék állndó Kezdeten volt mrdék, s ez z egész küzdelem ltt megmrd Királyfi kkor tudná legyõzni Sárkányt, h nnk z utolsó vágás elõtt 7, 9 vgy feje lenne; ezek számok zonn -ml osztv rendre, 0, mrdékot dnk Királyfi nem gyõzhet Két kupcn érmék vnnk, z egyiken 6, másikn 7 dr nn és él felváltv vehet el vlmelyik (de csk z egyik) kupcól tetszõleges számú, de leglá érmét z játékos nyer, ki z utolsó érmét elveszi ) Hogyn játsszon nn? ) Hogyn játsszon nn, h kezdéskor három kupcn rendre,, érme vn? ) nnánk szimmetrikus állásokr kell törekednie szimmetriát él sját lépésével elrontj, nn pedig ismét elõállítj végállpot szimmetrikus (0, 0), így nn nyer ) él állíthtj elõ szimmetriát, neki vn nyerõ strtégiáj H nn vlmelyik kupcot megszünteti, él másik kettõt szimmetrikusr állítj ármilyen más lépésével nn két szimmetrikus kupcot hoz létre, ezért élánk elég elvennie hrmdik kupcot 8 8-s skktál l lsó srkán egy ásty áll ejárhtó-e skktál (ástylépésekkel) úgy, hogy ásty minden mezõt pontosn egyszer érint, s jo felsõ srokn ér véget z útj? Lépései során ásty felváltv érint fekete és fehér mezõket Tegyük fel, hogy l lsó mezõ fekete Mivel fekete mezõrõl indul ásty, és 6 mezõn kell áthldni, ezért útj csk fehér mezõn végzõdhet jo felsõ srok fekete, így ejárás nem lehetséges Egy -s kockát z oldllpokkl párhuzmos síkokkl 7 dr egyevágó kis kockár vágtunk Elvehetjük-e ezeket kis kockákt sorn egymás után úgy, hogy mindegyik elvett kock z elõzõvel lpszomszédos, s hámozás végén középsõ kis kock megmrd? hámozás nem vlósíthtó meg kis kockákt skktálszerûen feketére és fehérre színezzük úgy, hogy például srokkockák feketék legyenek Ekkor dr fekete és dr fehér kockáól áll urok; hámozás során pedig felváltv veszünk el fekete és fehér kis kockákt 7

4 I HLMZOK, KOMINTORIK 9 E z szám jegyû, és 6 pozitív osztój vn Szorozzuk össze ezeket z osztókt; mit kpunk eredményül? H d egy osztój -nek, kkor d egy társosztó, és d$ d Így z 6 pozitív osztót 8 olyn osztópárr d onthtjuk fel, melyek szorzt páronként -et d Ezért z eredmény: 8 SKTULY ELV K K emer együttes életkor év Igz-e, hogy kiválszthtó közülük 0 emer úgy, hogy életkoruk öszszege leglá 00 év legyen? z emerek átlgéletkor év H z összes emer éves, kkor ármelyik 0 kiválsztás megfelelõ H pedig z emerek között vn évnél fitl, kkor vn idõse is, így 0 legidõse emer életkoránk összege tö, mint 00 év Egy szályos háromszög lkú céltál oldl méter céltálát 0 lövés érte Igzoljuk, hogy vn két olyn tlált, melyek cm-nél közele vnnk egymáshoz! szályos háromszöget z árán láthtó módon 9 egyevágó, szályos részháromszögre ontjuk fel sktuly-elv mitt vn olyn részháromszög, melyen vn lövés Mivel egy kis háromszög oldl cm-nél kise, ezen két lövés távolság is kise, mint cm K K K dott 9 áltlános helyzetû pont síkon ( pontok közül semelyik három nincs egy egyenesen) Két egyenest húzunk úgy, hogy ezek 9 pont egyikén sem mennek át Tekintsük zokt háromszögeket, melyek csúcsit z dott pontok közül válsztjuk ki izonyítsuk e, hogy árhogyn is húztuk két egyenest, mindig lesz olyn háromszög, melynek oldlit egyik egyenes sem metszi! két egyenes síkot legfelje négy trtományr osztj sktuly-elv mitt lesz olyn trtomány, melye (leglá) pont kerül, s ennek háromszögnek z egyenesek nem metszik z oldlit z,,, 7 számok egy sorrendje,,, 7 Igzoljuk, hogy z S ( )( ) ( 7 7) szorzt páros! Tegyük fel, hogy szorzt és így minden tényezõ pártln z,, és 7 tényezõen,, és 7 -nek párosnk kellene lennie, de csk három páros szám vn tová már nem egyszerûsíthetõ lkú rcionális szám tizedestört-lkján legfelje milyen hosszú lehet periódus? (, pozitív egész számok) 8

5 SKTULY ELV z osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy z osztási mrdékok rendre z,,,, ( ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõ lépésen z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktuly-elv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfelje ( ) lehet 6 E 7 K 8 E 9 E 0 E dott síkon végtelen sok pont Igzoljuk, hogy végtelen sok különözõ távolság lép fel közöttük! Tegyük fel, hogy z egyik ponttól, -tól, véges sok különözõ távolságr helyezkedik el töi pont Ez zt jelenti, hogy pontok z középpontú, koncentrikus körökön vnnk, s ezen körök szám véges Ekkor sktuly-elv mitt vlmelyik körön lesz végtelen sok pont; ezek között pedig már végtelen sok különözõ távolság lép fel Hét teherutóvl melyek teherírás egyenként tonn 0 dr követ szeretnénk elszállítni kövek rendre 70, 7, 7,, 68 kg súlyúk El lehet-e egy fordulóvl szállítni köveket? Leglá egy teherutór leglá 8 követ kell tenni 8 legkönnye kõ tömege 06 kg; köveket nem lehet egy fordulóvl elszállítni különözõ pozitív egész szám összege 087 Leglá hány páros szám vn z összedndók között? legkise pártln szám összege , tehát számok között vn leglá egy páros Mivel pártln és páros szám összege páros, ezért z is igz, hogy számok között leglá két páros szám vn Ennyi elég is: z összegen két pártln számot kicserélünk náluk eggyel kise párosr ergengócián négy híres klu mûködik, jelöljük ezeket,, és D-vel Egy 9 fõs ráti társság tgjiról kiderül, hogy mind négy klunk éppen 7-7 közülük tgj mikor ezt egyikük meghllj, így szól: Milyen érdekes! kkor iztosn vn közöttünk olyn, ki tgj mind négy klunk! Vjon igz vn? Jelöljük z emereket,,,, 9 módon, s hogy ki melyik klunk tgj, zt például egy tálázttl dhtjuk meg z,,, D sorokn z egyes i személyeknél -et írunk, h i tgj klunk, 0-t pedig, h nem tg Például tgj z klunk, de nem tgj -nek feldt feltétele lpján táláztn 8 dr szerepel, s kérdés, hogy vn-e olyn oszlop, melyen dr vn Ez pedig sktulyelv mitt nyilvánvló: h minden oszlopn csk dr lenne, kkor összesen csk 9 7 dr lenne táláztn klutgnk igz vn izonyítsuk e, hogy h z,,, n számokól kiválsztunk (n + ) drot, kkor ezek között lesz kettõ, melyek reltív prímek! D szomszédos számokól lkotott (, ), (, ), (, 6),, (n, n) n dr számpáról sktuly-elv mitt vn olyn, melynek mindkét elemét kiválsztottuk Ez két szám reltív prím ( közös osztójuk két szám különségét is osztj) 9

6 I HLMZOK, KOMINTORIK E Egy kör lkú sztlon 00 dr cm sugrú golyó helyezkedik el Igzoljuk, hogy leglá még egy ugynekkor golyó lerkhtó z sztlr töi elmozdítás nélkül, h z sztl sugr leglá méter! Felülnézetõl vizsgáljuk z állást, ekkor golyók cm sugrú körlpokkl helyettesíthetõk kkor rkhtó le 0 golyó, h vn olyn P pont z sztlon, mely minden golyó középpontjától leglá cm-re vn, és P-nek z sztl szélétõl vló távolság ngyo, mint cm (z sztl széle zárt, golyó nem lóght le) Ekkor P lesz 0 golyó középpontj P számár 00 cm sugrú sztlól egy 99 cm sugrú kör területe jöhet számítás: T 99 r Minden golyó, mi már z sztlon vn, egy cm sugrú környi területet zár ki eõl, ezek területösszege legrossz eseten (h nincs köztük átfedés) t r 00 Mivel t r 00 < 99 r T, iztosn vn olyn P pont z sztlon, mire elhelyezhetjük 0 golyót H golyók részen lelóghtnk z sztlról, kkor természetesen könyeen elhelyezhető 0 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I K Hányféleképpen rendezhetünk sor egyform méretû golyókt, h z egyes színekõl drszámuk K ) fehér, piros, zöld, kék és fekete; K ) fehér, piros, zöld, kék és fekete; E c) fehér, piros, zöld, kék és fekete; vlmint továi feltétel, hogy piros és fehér golyó ne legyen egymás mellett? (z zonos színû golyók nem különöztethetõk meg) ) különözõ elem összes sorrendjérõl vn szó:! 0 ) Ismétléses permutációkt számolunk össze:! ! $! $! $! c) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk Összes eset: 8! H piros és fehér golyó szomszédos, egyetlen ojektumnk tekinthetõ, és felcserélhetõ:! $! 7! $ piros és fehér golyó nincs egymás mellett:! $! 8! $ 7! 7! - 0 eseten! $!! $! z lecke példáján egy ppírlpot kezdeten részre vágunk, mjd z így kpott drok ármelyikét továi vgy részre vághttuk szét, és így tová z eljárást folyttv hányféleképpen érhetjük el, hogy ppírlpunk legyen? (Különözõnek tekintünk két vágássoroztot, h -s vgy z -ös vágások sorrendje különözik) H egy ppírlpot részre vágunk, kkor ppírdrok szám -vel nõ; h pedig részre, kkor -gyel ppírlpok szám z elsõ vágás után Innen drszám úgy érhetõ el, h 8-cl növeljük drszámot eset: Négy dr -ös és egy -s vágást végzünk, ezt -féleképpen tehetjük meg ( + 8) eset: Három -ös és három -s vágás kell: 6! 0 lehetõség (Ismétléses permutáció:,,,! $!,, elemeknek ennyi sorrendje vn) eset: Két -ös és öt -s vágás: 7! lehetõség! $! eset: Egy -ös és hét -s vágás: 8 lehetõség eset: Kilenc -s vágás: lehetõség Összesen megfelelõ vágássorozt vn 0

7 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I K lpos mgyr kártycsomgól vissztevés nélkül húzunk lpokt Hányféleképpen húzhtunk ) ászt; ) pirost; c) különözõ figurát (figur z ász, király, felsõ, lsó); d) egyform színt? Oldjuk meg feldtokt n z eseten is, h lpokt vissztevéssel húzzuk ki, zz húzás után lejegyezzük, hogy mit húztunk, és lpot vissztesszük csomg! (Mindkét eseten számít kihúzott lpok sorrendje) ) Egy pklin ász vn, ezért lehetõségek szám ) Egy pklin 8 piros vn, így lehetõségek szám c) 6 figur vn csomgn z elsõ húzás 6-féle lehet; második már csk (z elõzõ figurát nem húzhtjuk), hrmdik 8, negyedik -féle szorzási szály mitt eset vn d) z elsõ lp ármi lehet, következõ három pedig ugynolyn színû kell, hogy legyen lehetõségek szám H vissztevéssel húzunk, z esetek szám: ) 6; ) 8 ; c) (nem számít, hogy vissztettük kihúzott figurát, mert még egyszer nem húzhtjuk ki); d) K 6 dott síkon z hlmzn, hlmzn és hlmzn dr pont oly módon, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen K ) Hány olyn háromszög vn, melynek három csúcs rendre z,, hlmzok pontji közül kerül ki? K ) És olyn hány vn, melynek két csúcs z hlmzn, hrmdik pedig vgy hlmzn vn? ) z hlmzn lévõ pontok ( lehetõség) ármelyikét összeköthetjük hlmzn lévõ pont és hlmzn lévõ pont ármelyikével szorzási szály mitt háromszögek szám 60 ) z hlmzól két csúcsot -féleképpen válszthtjuk ki (mindig z egyik pont mrd ki) Ehhez két ponthoz töi + 9 pont ármelyikét válszthtjuk Eredmény: 9 7 -s számrendszeren hány ) legfelje jegyû; ) pontosn jegyû természetes szám vn? ) z számnál kise természetes számok szám ) legngyo helyiértéken vgy áll, töi számjegy -féle lehet, 0, vgy Eredmény: 6 számegyenes 0 pontján áll egy olh, mely minden másodpercen jor vgy lr ugrik egy egységnyit Hányféleképpen érkezhet meg 6 koordinátájú pont K ) 6 másodperc ltt; K c) 0 másodperc ltt; K ) 0 másodperc ltt; K d) 009 másodperc ltt? ) Minden lépést jor kell tennie; lehetõség ) 8 lépést tesz jor és lépést lr Minden megfelelõ ugrássoroztot modellezhetünk egy 8 dr j és dr etûõl álló szóvl megfeleltetés kölcsönösen egyértelmû, így nnyi

8 I HLMZOK, KOMINTORIK ugrássorozt vn, hány sorrend készíthetõ j, j, j, j, j, j, j, j,, etûkõl Eredmény: 0! 8! $! c) 7-et ugrik lr és -t jor, tetszõleges sorrenden: 0! 77 0 lehetõség 7! $! d) Ilyen ugrássorozt nincs Páros koordinátájú pont csk páros számú ugrás után érkezhet olh 7 E 8 E Hány szám készíthetõ z lái számjegyekõl? (0-vl nem kezdõdhet szám) hol külön nem jelezzük, minden megdott számjegyet fel kell hsználni ) 0,,,, ; ) 0,,,,,,,, és szám -tel oszthtó; c) 0,,,,,,,,, és -s és -es nem szomszédos számjegyek; d) 0,,,,,,,, és hétjegyû számot készítünk; e) 0,,,,,,,, és olyn hétjegyû számot készítünk, melyen vn -es ) H minden szám különözõ lenne,! sorrendet kpnánk ( 0 nem lehet z elsõ helyiértéken) Mivel vn két egyform elem, sorrendek szám $! 8! ) H z utolsó helyiértéken 0 áll, kkor sorrendek szám 7! ; h -ös áll, kkor 6$ 6! Összesen!! 7$ 6! 6$ 6! + $ 6 $ $ 60 lehetõség!! c) Összesen 8$ 8! -féle szám készíthetõ rossz esetek zok, mikor és szomszédos számjegyek Tekintsük két jegyet egyetlen ojektumnk, és jelöljük -szel Ekkor 0,,,,,,, elemekõl kell! $! számokt készítenünk, ezt 7$ 7! -féleképpen tehetjük meg rr kell még figyelni, hogy kétféle lehet! $! ( és különözik), ezért rossz esetek szám 7$ 7! $ z összes lehetõségõl kivonv rossz eseteket, megkpjuk z eredményt:! $! 8$ 8! 7$ 7! 6 $ 7! $ 7! 0 $ 7! $ 7! - $ - 000! $!! $!! $!! $!! $! 6 d) H 0 mrd ki, 7! ; h -es mrd ki, 6$ 6! ; h -es, kkor 6$ 6! ; végül h -s vgy -es, 6$ 6!! $!! $!!! $! lehetõségek szám Összesen 7! 6$ 6! 6$ 6! $ 6$ 6! 6! $ ^ h 90! $!! $!!! $!! $! szám készíthetõ e) z elõzõ feldt lpján összesen 90 dr hétjegyû szám készíthetõ, s ezek közül 6$ 6! 60 olyn! $! vn, melyen nincs -es Ezek szerint eseten lesz számjegyek között -es Hányféleképpen lehet ht emert (,,, D, E, F) egy kör lkú sztl köré leültetni? És h továi megkötés, hogy és egymás mellé kerüljön? (Két ültetés nem különözik, h mindenkinek ugynz jo és l szomszédj) Elsõ megoldás ht emernek 6! permutációj vn Mivel kören ülnek, ugynzt kört 6 sorozt is elõállítj, ezért különözõ körök szám 6!! 0 6 Második megoldás Válsszuk ki például -t, így kört megszkítottuk töi emert -hoz képest!-féle sorrenden ülhet le H és egymás mellett ül, kkor õket egy ojektumnk tekintve!!-féle ültetési sorrend lehetséges Mivel szomszédságok szempontjáól és különözik, z eredmény! 8

9 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK I 9 K Hányféleképpen olvshtó ki DEREEN szó z lái két táláztól, h minden lépésen jor vgy lefelé lehet hldni? D E R E E N E R E E N R E E N R E E N E E N E N E N N D E R E R E R E R E E E E N z elsõ táláztn 7 lépés egymástól függetlenül -értékû lehet (jor vgy lefelé), így kiolvsások szám 7 8 második táláztn 7 lépésõl -et teszünk jor és -t le, tetszõleges sorrenden Jelöljük jor lépéseket J, lefelé történõ lépéseket L etûkkel, ekkor dr J és dr L etû lehetséges sorrendjeinek számát kell meghtároznunk Összesen: 7! kiolvsás vn! $! 0 Feldounk egyszerre egy sárg, egy kék és egy zöld doókockát K ) Hányféle eredménye lehet doásnk? K ) Hány eseten kphtunk leglá egy htost? K c) Hány eseten lesz doott számok összege leglá 7? K d) Hány eseten lesz doott számok összege pártln? K e) Hány eseten lesz doott számok szorzt páros? K f) Hány eseten lesz doott számok szorzt -ml oszthtó? E g) Hány eseten lesz doott számok között -ös és 6-os is? ) Mindhárom doókock 6-féle értéket muttht Ezek egymástól függetlenek, ezért szorzási szály lpján doásnk féle eredménye lehet ) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk z összes lehetõség szám 6 6-os nélküli doások szám Összes rossz jó : 6 9 eseten vn doott számok között 6-os c) Vgy minden doás 6-os ( eset), vgy két dr 6-ost és egy -öst dounk ( eset) Összesen + lehetõség d) piros és fehér doás tetszõleges lehet: eset zöld kockán z elsõ két doás eredményétõl függõen mindig -féle szám esetén lesz z összeg pártln Így 6 08 megfelelõ esetek szám e) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk z összes lehetõség szám 6 Mindhárom kockán pártln számot 7-féleképpen dohtunk számok szorzt eseten lesz páros f) komplementer leszámolás módszerét lklmzzuk szorzt nem lesz -ml oszthtó, h egyik kockán sem dounk -st vgy 6-ost rossz esetek szám tehát eseten oszthtó -ml szorzt g) szit-formulát lklmzzuk Nincs -ös: lehetõség Nincs 6-os: szintén lehetõség z összes esetõl kivonjuk zt, mikor nincs -ös, mjd kivonjuk, mikor nincs 6-os: 6 De ekkor kétszer vontuk ki zokt z eseteket, mikor sem -öst, sem 6-ost nem dotunk; ezek számát tehát egyszer hozzá kell dni z összeghez Nincs sem -ös, sem 6-os: 6 eset Eredmény:

10 I HLMZOK, KOMINTORIK 0 diák között szeretnénk 6 jutlomtárgyt kiosztni Hányféleképpen tehetjük ezt meg, h tárgyk különözõk, és K ) egy diák legfelje egy tárgyt kpht; K ) egy diák tö tárgyt is kpht; K c) egy diák legfelje egy tárgyt kpht, de egy elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; K d) egy diák legfelje egy tárgyt kpht, de három elõre kijelölt diáknk jándékot kell kpni; E e) egy diák tö tárgyt is kpht, de nem kell minden jándékot kiosztni? ) z elsõ tárgy 0, második 9,, htodik tnulónk oszthtó ki Összesen lehetséges kiosztások szám ) Mindegyik tárgy 0-féleképpen oszthtó ki, így lehetõségek szám c) kijelölt diák 6-féle jándékot kpht mrdék tárgyt 9 emer között kell szétosztni szorzási szály mitt z eredmény d) e) Most minden jándékkl dolgot tehetünk: vgy kiosztjuk 0 diák vlmelyikének, vgy egyáltlán nem osztjuk ki lehetõségek szám (zt is egy esetnek számítottuk, mikor senki semmit nem kpott) SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II K K K Hány mérkõzést játszik cspt összesen, h mindegyik mindegyikkel játszik? ármely két cspt egy mérkõzést játszik, tehát mérkõzések szám nnyi, hányféleképpen csptól -t kiválszthtunk kiválsztás sorrendje nem számít, így z eredmény e o 66 Egy skkegyesület játékosiól négyfõs csptot 0-féleképpen lehet kiállítni Hány tgú z egyesület? n H n tgú z egyesület, kkor e o 0; innen n 0 Hányféleképpen lehet egyform méretû golyókt sor rendezni, h ) piros és kék golyó dott; ) piros, kék és zöld golyó dott? ) Úgy képzeljük, hogy golyók számár dott hét rögzített hely H ezek közül kiválsztunk piros golyók 7 számár -t, kkor kék golyó helye egyértelmûen dódik 7 helyõl -t e o -féleképpen válszthtunk ki ( kiválsztás sorrendje nem számít) ) Hsonló okoskodássl piros golyók számár e o-féle, kék golyók számár mrdék 9 helyõl 9 9 e o-féle elhelyezés lehetséges, s ekkor z zöld golyó helye egyértelmû Eredmény: e o$ e o 7 70 (Ezt z eredményt kpjuk kkor is, h golyókt más színsorrenden például kék, piros, zöld helyezzük el

11 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II K K 6 K 7 K z,,,,,, számjegyekõl hány 7 jegyû számot készíthetünk? 7 e o szám készíthetõ számjegyeket modellezhetjük z elõzõ ) feldt piros és kék golyóivl Megjegyzés: Mint korán már láttuk, feldtot ismétléses permutáció lklmzásávl is megoldhtjuk: 7! 7 e o! $! Hozzuk egyszerû lkr következõ kifejezéseket! )! ] ; ) n + g! ] ; c) n + g! ; d) ] ; e) n + g! ] $ n + g! 7$ 6! $ 8 ] n -g! ] n+ g] n+ g ] n -g! - n! ] n + g! ] n -g! )! 0 9 8! ^n+ h^n+ h^n+ hn^n- h! ) ^n + h^n + h^n + hn ^n -h! ^n+ h^n+ hn! c) n! ^n+ h^n+ h d) közös nevezõ n! n n (vgy ) n -! - n! n! - n! n - ^ h! nn ^ - h! e) Egyszerûsíthetünk z (n + )! és (n )! tényezõkkel: ^n + h! ^n + h! n + ^n+ hn $ $ (n + )(n + )n ^n + h! ^n -h! dott síkon z hlmzn 6, hlmzn 7 dr pont úgy, hogy semelyik három pont nincs egy egyenesen Hány olyn háromszög vn, melynek leglá egyik csúcs z hlmz pontji közül kerül ki? Elsõ megoldás 6 7 Olyn háromszög, melynek z hlmzn, hlmzn csúcs vn, e o$ e o 6 dr vn z hlmzn csúcs e o$ e o 0, z hlmzn csúcs pedig e o$ e o 0 háromszögnek vn Összesen megfelelõ háromszög vn 0 Második megoldás pontól összesen e o 86 háromszög készíthetõ Ezek közül kihgyjuk zokt, 7 melyek mindhárom csúcs hlmzól kerül ki Összesen tehát e o- e o 86 megfelelõ háromszög vn Hányféleképpen jöhetett létre egy 6 : végeredményû teniszjátszm? Ez végeredmény csk :-es állás után lkulhtott ki H meghtározzuk, hogy z elsõ 9 játékól melyik -et nyerte meg késõi vesztes fél, kkor egyértelmûen megdtuk játszmsoroztot Ez e o 6-féleképpen történhetett 9

12 I HLMZOK, KOMINTORIK 8 K 9 E 0 E Egy kmionn 60 termék között % selejtes z ellenõr terméket válszt ki Hány eseten lesz kivett termékek között ) 0 selejtes; ) selejtes; c) selejtes? termékek között összesen selejtes vn 7 ) z 7 hiátln termék közül válszt ki -öt: e o ) selejtes termék közül válszt ki egyet, és z 7 hiátln közül -et: e o$ e o c) selejtes termék közül válszt ki -t, és z 7 hiátln közül -t: e o$ e o 96 Hány ötjegyû szám vn, melynek számjegyei ) növekvõ; ) csökkenõ sorrenden következnek egymás után? (Egyenlõség nem lehet számjegyek között) ) z,,, 9 számjegyek közül válsszunk ki ötöt! Minden kiválsztás egyúttl egyetlen növekvõ sorrendet is d; ez e o 6 lehetõség ( 0-t nem válszthttuk ki, mert 0-vl nem kezdõdhet szám) 9 ) Most 9, 8,, 0 számjegyek közül válsztunk ki ötöt Minden kiválsztás egyúttl egyetlen csökkenõ 0 sorrendet is meghtároz, ezért e o lehetõségek szám Hányféleképpen olvshtó ki LTONOGLÁR szó z lái három táláztól, h minden lépésen lefelé, jor vgy lr lehet hldni? ) feldtn egy, c) feldtn két mezõ tiltott, ezeken nem hldhtunk át ) ) c) L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R L L L T T T T T O O O O O O N N N N N N N O O O O O G G G G L L L Á Á R ) ármely kiolvsásnál 6 lépést kell jor és 6 lépést lr tenni H lépésõl kiválsztjuk jor történõket, kkor teljes kiolvsást megdtuk lépésõl 6-ot kiválsztni z elemek sorrendjére vló tekintet nélkül e o 9-féleképpen lehet 6 Egy lehetséges modell: 6 dr J és 6 dr etûõl álló szvk számát htározzuk meg ) z összes kiolvsásól ki kell hgynunk zokt, melyek érintik O-t O útvonlon lépést teszünk, -t jor és -t lr; z útvonlt ezért e o-féleképpen tehetjük meg z OR útvonl + lépésõl 7 7 áll, ez e o-féleképpen járhtó e R teljes útvonl, tiltott O mezõn áthldv, O $ OR e o$ e o 7 -féleképp tehetõ meg tiltott mezõt elkerülõ kiolvsások szám így R - O $ OR e o- e o$ e o 6 7 6

13 SORRENDEZÉSI ÉS KIVÁLSZTÁSI PROLÉMÁK II c) z összes kiolvsásól kivonjuk tiltott O-n áthldókt és tiltott G mezõn áthldókt Ez 9 utóik szám G $ GR e o$ e o Ekkor zonn kétszer vontuk ki zokt z utkt, melyek O-t és G-t is érintik Ezek szám O $ OG $ GR e o$ e o$ e o 7 9 Eredmény: e o-e o$ e o- e o$ e o+ e o$ e o$ e o

14

15 II LGER IRRIONÁLIS SZÁMOK K E ecsüljük meg, hogy z lái rcionális számok közül ) melyik véges, és melyik végtelen, szkszos tizedestört-lkú; ) vlmint hogy milyen hosszú lehet z ismétlõdõ szksz tizedestört-lkjukn! c) ecslés után htározzuk meg számok tizedestört-lkját! (Vigyázt: zseszámológép nem mindig ír ki pontos értéket!) 9 ; 87 ; 67 ; D 7 ; E 7 ; F 9 ; G 99 ; H ) és tizedestört-lkj véges, mert 0-nek osztój, és 000 oszthtó 8-cl (H például törtet -tel õvítjük, kkor 87 $ törtet kpjuk, s ennek tizedestört-lkj nyilván 000 véges) töi törtrõl kpásól nem látni, hogy milyen típusú tizedestört-lkj ) z osztás elvégzésekor vgy vlmikor fellép 0 mrdék (ekkor tizedestört véges lesz), vgy z osztási mrdékok rendre z,,,, ( ) számok közül kerülnek ki Ekkor tizedesvesszõ leírás után legkésõ lépésen z osztási mrdék ismétlõdni fog (sktulyelv), és innentõl kezdve hánydos számjegyei periodikusn ismétlõdnek Vgyis periódus hossz legfelje ( ) lehet c) 8,6; 77,; 0, 6 o ; D 60, 08 o ; E, 86 ( számológép,86 hánydost írt ki); F, 0769 ( számológép áltl kiírt szám,0769 (!)); G ; H 0, (Ugynz számológép most 0,76708-t írt ki, zz nem kerekített (!) forglomn lévõ zseszámológépek tösége szerencsére kerekít, és 0,76709-et ír ki) djuk meg következõ számokt közönséges tört lkn! ) 0, o ; ) 0, ; c) 0, ; d) D, 6 ; e) E 9, o ) 0, o két egyenlet kivonásáól 9, 9 ) 00, két egyenlet kivonásáól 99, 99 l, c) 00, ; 99,; l, d) 000D, 66; 999D,, D l e) 0E 9, 9 o ; 9E 8, E (!) ( véges rcionális számok tizedestört-lkj nem egyértelmû) 9

16 II LGER K z ókori Mezopotámi tudósi szerint Négy tizedesjeggyel számolv, mennyire voltk pontosk tudósok? r 8 r esetén h r-t hosszú intervllum közepére helyezzük, kkor legfelje :, lehet ecslés hiáj (Ekkor r-nek tuljdonított érték és átlg, 9, ( pontos érték r,9; z eltérés r,06 0,079) E z lái számok rcionálisk vgy irrcionálisk? ) ; ) ; c) ; d) + ; e) - ; f) + + ) Mivel 6 irrcionális, így 6, s ezért is irrcionális 6 - ) Tegyük fel indirekt módon, hogy rcionális Ekkor, hol, pozitív egész számok Innen 8 8, zz 8 Ellentmondást kptunk: l oldl prímfelontásán kitevõje pártln, 8 jo oldlon páros c) 8, így 8 rcionális szám d) Tegyük fel indirekt módon, hogy + r! Q Négyzetre emelés és rendezés után r, s ez ellentmondás: l oldl irrcionális e) d) feldthoz hsonlón járunk el - r egyenletõl r, s innen 60 7 r ellentmondást kpjuk f) z indirekt feltevést átlkítv + r -, s négyzetre emelés után 6 r - r Ismét négyzetre emelünk: r - r + 0r Ellentmondás: jo oldl irrcionális K 0 6 K Láttuk leckéen, hogy 7 megszerkeszthetõ úgy, hogy sorn megszerkesztjük,,,, 7 értékeket, mjd z és 7 efogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz Ez elég hosszdlms munk Nem járhtunk el ügyeseen? 7 8 Vn gyors eljárás Például Megszerkesztjük z és efogójú derékszögû háromszög átfogóját (ennek hossz 0 ), ezután 0 és 8 efogójú derékszögû háromszög átfogój 7 lesz (ár) Még gyorsn célhoz érünk, h észrevesszük, hogy ; keresett szksz tehát z és 7 efogójú derékszögû háromszög átfogój Vn-e, y rcionális megoldás ( ) + ( )y 7 0 egyenletnek? Tegyük fel, hogy vn megoldás z egyenlet átlkítv ^ + y- 7h + y-0lkú jo oldlon rcionális szám áll, l oldlon pedig rcionális töese l oldlon csk kkor állht rcionális szám, h + y 7 0, s ekkor jo oldlon teljesülnie kell, hogy + y 0 0 z egyenletrendszer megoldás, y, s ezek rcionális számok 0

17 IRRIONÁLIS SZÁMOK 7 Vn-e két olyn irrcionális szám, és, K ) melyek összege és szorzt is egész szám; E ) melyekre + és + is egész szám? ) Például és megfelel Egy másik lehetõség n + és n - válsztás, hol n! Z Ekkor + n és n ) Ilyen irrcionális számok nincsenek H + és y + is egész számok, kkor y + ( + ) is egész szám lenne (Márpedig nem z; sõt, még csk nem is rcionális szám) E Keressünk olyn n természetes számokt, melyekre z lái kifejezések értéke rcionális szám lesz! K ) n + 9 ; K ) n + n; E c) n + n+ gyökjel ltt négyzetszámnk kell állni ) n + 9 k szomszédos négyzetszámok távolság rendre,,, 7, 9,, Lehetséges megoldások: n 6, k vgy n 0, k 9 ) n + n n(n + ) z n és (n + ) tényezõk közös osztój csk vgy lehet H reltív prímek, kkor mindkét tényezõ négyzetszám: n, n + H mindkét tényezõ oszthtó -ml, kkor szorztuk csk z n 0, n + eseten lesz négyzetszám c) n + n + (n + ) < n + n + # n + n + (n + ), vgyis kifejezés két szomszédos négyzetszám közé esik sk kkor lehet négyzetszám, h n + n + n + n +, zz n 0 djunk meg olyn pozitív egész számot, melyik K ) elõáll két rcionális szám négyzetének z összegeként; E ) nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének z összegeként! ) pitgorszi számhármsokól végtelen sok megoldást kpunk Például +, ezen kívül -tel osztv l + l ) + zt állítjuk, hogy viszont már nem áll elõ két rcionális szám négyzetösszegeként z elõzõ megoldássl fordított irányn okoskodunk Tegyük fel, hogy, innen c k + c l + c négyzetszámok -ml osztv 0 vgy mrdékot dnk H vgy vlmelyike mrdékot d, kkor l oldl nem lehet -ml oszthtó H pedig és egyránt 0 mrdékot d, kkor és oszthtó 9-cel is, így l oldl oszthtó 9-cel Vgyis l oldl prímtényezõs felontásán páros kitevõn szerepel, míg jo oldlon pártln kitevõn vn Ellentmondást kptunk: nem írhtó fel két rcionális szám négyzetének összegeként lecke 6 példáján megállpítottuk, hogy r tizedestört-lkján vn olyn számjegy, melyik végtelen sokszor elõfordul Igz-e, hogy iztosn vn két olyn számjegy is, melyik végtelen sokszor fordul elõ? Tegyük fel indirekt módon, hogy csk egyetlen számjegy fordul elõ végtelen sokszor Mivel töi számjegyõl véges sok vn, tizedes tört vlmely helyiértéktõl kezdve csup -õl fog állni Ekkor viszont szám rcionális lenne vegyes szkszos tizedes tört, hosszú periódussl Ellentmondást kptunk: leglá két számjegy fordul elõ végtelen sokszor Egy érdekesség: megoldtln prolém, hogy r tizedestört-lkján vn-e olyn számjegy, melyik véges sokszor fordul elõ

18 II LGER 6 SZÁMOK N-EDIK GYÖKE K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; 8 ; -8 ; ] g 7 ; ; 8 ; - 8 -; ]- g -; K Htározzuk meg következõ gyökök értékét! 9 ; ; 7 ; ; ; ; 7 ; -, ; K Keressük meg mûveletsorok eredményét! ) ; ) 8 ; c) 0, , ) ^ h+ - ; ) 8 ; l+ c) 0, 00-0, 0 0, 0, 0, 0, E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát! 7 6 ; ; c - ; d - ; e c - d - e -0 értelmezett, h! R; értelmezett, h $ 0; értelmezett, h c! R; értelmezett, h d $ ; értelmezett, h e $ E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát, mjd htározzuk meg következõ gyökök értékét! ; ; ; y z w 6 y z w, h $ 0; y, h y! R; z, h z! R; w, h w! R 6

19 7 8 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGI 7 8 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGI K K Keressünk egyenlõket kifejezések között! ; $ ; ]-g ; ; ; 8 - l ^ h kifejezések mindegyike, tehát egyenlõk Számológép hsznált nélkül válsszuk ki zokt kifejezéseket, melyek pontos értékét megállpíthtjuk! Írjuk fel pontos értékeket! 0 6 ; 0 ; 9 ; 000 ; 6 ; 6, ; ; 0 0 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 9 ; 000 z 000 nem rcionális szám négyzete, pontos értékét gyökvonás hsznált nélkül nem tudjuk megállpítni; 6 ; 6, 6, ; 00 K Állpítsuk meg, hogy két szám közül melyik ngyo! ) 60 vgy 0 Egyenlõk, mert ) $ vgy $ 0 Egyenlõk, mert $ $ 60 $ 0 $ 0 c) ^ h vgy ^ h > d) $ 9 vgy Egyenlõk, mert $ 9 $ 9 $ 7

20 II LGER K Végezzük el mûveleteket! ) ^ 8 - h ^ 8 - h $ 8 - $ 6$ 6 $ 8 ) ^ + 7- h ^ + 7- h $ + $ 7- $ c) ^ + 7 h^ - 7 h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + 7h^ - 7h ^ h - ^ 7h d) ^ + h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ + h e) ^ 7 - h Nevezetes zonosságot felhsználv: ^ 7 - h f) ^ - + h^- + h ^ - + h^- + h K 6 K Igz-e ármely és y vlós szám esetén:? y y Nem igz, csk h $ 0, és y 0 Végezzük el mûveleteket! ) ^ + h H $ 0, és $ 0, kkor ^ + h + + ) ^ c - dh H c $ 0, és d $ 0, kkor ^ c - dh c+ d- cd

21 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I c) _ - y + zi H $ 0, y $ 0, és z $ 0 kkor _ - y + z i + y + z - y + z - yz 7 K Mely egyenlõségek zonosságok? ) ] + g + Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- ) Nem zonosság, csk h + $ 0, zz h $- c) ] - g - zonosság d) y - 6y+ 9+ y- ^y- h Nem zonosság, csk h y $ e) c - 0c+ c c + - Nem zonosság, c - 0c+ ^c - h c - c - c -, h c 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I K Végezzük el mûveleteket! ) ^ - h- ^ + h ^ - h- ^ + h 8^ - h- ^ + h ^- h- ) ^ 7 - h - ^ 7 + h ^ 7 - h - ^ 7 + h

22 II LGER c) ^ 8 - h + ^ 8 + h ^ 8 - h + ^ 8 + h d) ^ - h+ ^ - h ^ - h+ ^ - h , 7 K Végezzük el mûveleteket! ) - - (gyöktelenítsük számlálót) - - ^ - + h^ - h + ) (gyöktelenítsük számlálót) ^ h^ 0-8h 0-8 c) : : $ 0 0 K Állpítsuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) - 8 Értelmezett, h 8 $ 0, $ 8 - ) 9k + k + 9k + k+ ^k+ h, ezért minden k! R esetén értelmezett c) ] + g] c+ g Értelmezett, h ^- h^c+ h$ 0, vgyis h # és c #-, vgy $ és c $- 6

23 9 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS I d) + Értelmezett, h $ 0, zz h $- + y + e) y - 8 y + Értelmezett, h $ 0, zz, h y #-, vgy y 8 y - 8 lkítsuk szorzttá kifejezéseket! hol szükséges, szorzt lkhoz djuk meg z értelmezési trtományt is! K ) ^ + h K ) ^ h K c) ^ h E d) - c + d - c + d ^ - c + dh, h cd,,, $ 0 E e) - + y - + y _ - + yi, h y, $ 0 E f) c - c + c c- c+ c c^ - + ch, h c,, $ 0 E g) pq - rs + qr - ps pq - rs+ qr - ps p_ q - si+ r_ q - si _ q - si_ p+ ri 7

24 II LGER E szorztokt írjuk összeg lkn, h lehet, végezzünk összevonásokt! ) ^ + h^ - h+ ^ - h ^ + h^ - h+ ^ - h , h, $ 0 ) ^ + - h^ + + h- ^ + h H, $ 0, kkor ^ + - h^ + + h- ^ + h ^+ h c) - y $ + y H $ y, y $ 0 - y $ + y _ - yi_ + yi - y 0 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS II K Függvénytálázt és számológép hsznált nélkül állpítsuk meg kifejezések ngyságviszonyát! Hozzuk egyszerû lkr kifejezéseket, lklmzzuk evitel gyökjel lá módszert! ; ; $ 0 $ 8 $ ; 8 ; Írjuk egyszerû lk kifejezéseket! lklmzzuk evitel gyökjel lá módszert! djuk meg z értelmezési trtományokt! p q K ) $ q p p q p q $ q p c m $ q p p p, h 0 q q K ) mn m n mn m mn m mn m mn, h, n ^ h $ n mn $ 0 n! 0 8

25 0 NÉGYZETGYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS II K c) y + y H y, 0, kkor y y y+ y + y c^ h c + y mm ^ h y y ^ + y h K d) H!!, és + $ 0, kkor ^ - h $ l ^+ h^- h K e) ] - g H, kkor - - ^ - h ^ - h ] g ^+ h^- h + K Írjuk egyszerû lk kifejezéseket! lklmzzuk kihoztl gyökjel lól módszert! djuk meg z értelmezési trtományokt! ) 0 ; ) 8 ; c) ; d) ; e) ; f) c ) 0 ; d), h $ 0; ) 8 ; e), h $ 0; c) 9 ; f) c c c, h c $ 0 Végezzük el mûveleteket! K ) K ) K c) H $ 0, $ 0, kkor

26 II LGER Gyöktelenítsük törtek nevezõit, végezzük el mûveleteket! K ) 7 ; K ) ; K c) ; K d) ; K e) ; 7 y ) 7 7 ; ) ; c), h 0; d) ; e) y, h y 0; y y K f) ; K g) ; K h) n ; K i) k ; + - m - t - s f) $ - ; g) - $ + - ^ + h ; h) H, és, kkor n m n m $ + ^ + h m $ 0 m! 6 ; m - m + m - 6 i) H, és, kkor k t s k t s $ + ^ + h t $ 0 t! s ; t - s t + s t- s K j) 7 - ; K k) - ; K l) ; j) 7 - $ $ 8 $ 9 0 $ ; k) - $ ; - + l) $ ^ + h- - + ^ - h - - ; ^+ h-^-h E m) ; E n) ; m) n) ; ^- 6 - h $ $ ; ^ h E o) ; E p) ; + + c ^ + h - $ + - $ + + ^ + h o) $ $ ; p) H c $ 0, kkor $ + c c + $ - + c + c + c - c c c c c c c 0

27 Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGI 6 E 7 E Oldjuk meg z egyenletet! Értelmezési trtomány: $- lkítsuk át z egyenlet l oldlát: , tehát kpott gyök megfelel feltételeknek Állpítsuk meg z -6y-y ; y + -! - + kifejezés értékét, h , y 9-0 6, y, tehát -6y- y ^ h-6 -^9-0 6h Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGI Emelt szint E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) 6 ; ) -6 ; c) 6 ; d) 8 ; e) 8 ) 6 ; ) - 6 -; c) 6 ; d) ; e) E djuk meg kifejezések értelmezési trtományát! ) ; értelmezhetõ, h! R; ) ; értelmezhetõ, h $ 0; c) c - ; c - értelmezhetõ, h c! R; 6 d) d - 8; 6 d - 8 értelmezhetõ, h d $

28 II LGER E Számítsuk ki kifejezések értékét! ) $ $ 9; $ $ ) 6 $ 6 $ ; 6 $ 6 $ 7 $ $ 7 $ $ 7 $ ; c) ; 0 $ $ $ ; $ d) 6 8: ; 8: 8: ; E Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével kifejezéseket, mjd számítsuk ki számológép nélkül z értéküket, h lehet! ) ; 6 6; ) ; ; c) ; ; 0 d) $ 9; $ $ ; e) $ $ ; 6 $ $ $ $

29 Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS E djuk meg kifejezés értelmezési trtományát és legegyszerû lkját! ) $ 8 ; $ 8 értelmezhetõ, h $ 0; $ ; 6 ) $ $ ; 6 $ $ értelmezhetõ, h $ 0; $ $ $ $ $ c) c $ c $ c; c $ c $ c értelmezhetõ, h c $ 0; c c c c 6 c c $ $ $ $ $ c c c; d) ^ d : d h ; ^ d : d h értelmezhetõ, h d $ 0; d : d d ^ h e 9 o ^ d h d d; d 0 60 e) ; 0 60 értelmezhetõ, h! R,! R; ; Z n-edik GYÖKVONÁS ZONOSSÁGINK LKLMZÁS Emelt szint E Vigyük e gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) 8; ) ; c) ; d) 7 8 ) 8 ; ) 86 ; c) ; d) E Vigyük e gyökjel elõtti szorzótényezõt gyökjel lá! ) ; ) c 6 d ; c) ] e f + g ; d) ] m n mn + g d c e+ f ] m+ ng

30 II LGER ) ; ) 6 c ; c) e f ; d) mn ^ + h d ] m+ ng E Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõket! ) 8; ) 6 ; c) 6 ; d) $ 7 ; e) $ 8 E ) $ ; ) $ $ ; c) $ ; d) $ 8 ; e) Vigyük gyökjel elé lehetséges szorzótényezõt! ) $ ; ) c $ d $ e ; c) k k+ k+ p $ q ; d) n+ n+ n+ $ y ) ; ) ; c) ; d) y n pq k cd e $ $ cde $ pq $ + y E Végezzük el mûveleteket! ) ^ h$ 6 - $ + $ ) ^ - + h + $ + - $ + $ - $ 6 c) ^ h$ ^ + h 6 6 $ + - $ - $ d) k k $ - l $ $ k k - l k - k $ k - k $ k + k $ 6 k 6 E Válsszuk ki z állítások közül z zonosságokt! ) n n, $ 0; zonosság 6 ) $ Nem zonosság: $ 9

31 NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY c) c $ c $ 0 c 7 c Nem zonosság: c $ c $ 0 c 9 c d) d + 9 d d Nem zonosság NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY K Rjzoljuk meg következõ függvények képét értéktálázt segítségével! ) 7 - ; c) 7 - -; ) 7- + ; d) 7 - Vizsgáljuk meg, hogy milyen trnszformációt kell végrehjtnunk z 7 hogy megkpjuk végeredményt! függvény képén, ) Készítsünk táláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz, és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk ehelyettesíteni y R f 0 D f négyzetgyök függvény képét egységgel eltoltuk z y tengely mentén negtív irány ÉT, ÉK [ ; [ R 0 + ) Készítsünk táláztot! Mivel függvény értékkészlete nemnegtív számok hlmz,és gyökvonást végezzük el elõször, ezért négyzetszámokt fogjuk ehelyettesíteni

32 II LGER y 0 + ÉT R 0, ÉK ] ; ] négyzetgyök függvényünket elõször megnyújtottuk kétszeresére, után tükröztük z tengelyre, mjd felje toltuk ( z y tengely mentén pozitív irány) egységgel c) Mivel csk -et, vgy nnál ngyo számot lehet ehelyettesíteni képlete, ezért csk ezeket írjuk tálázt y 0 ÉT [; [, ÉK ] ; ] négyzetgyök függvényünket elõször eltoltuk jor egységgel (z tengely mentén pozitív irány), után tükröztük z tengelyre, mjd felje toltuk (z y tengely mentén pozitív irány) egységgel d) négyzetgyök jel ltt csk nemnegtív szám állht, tehát - $ 0 /+ $, vgyis képlete csk négyet vgy nnál kise számot lehet ehelyettesíteni 0-0 6

33 NÉGYZETGYÖK FÜGGVÉNY y 0 K ÉT ] ; ], ÉK [0; +[ négyzetgyök függvényünket elõször tükröztük z y tengelyre, után eltoltuk jor egységgel (z tengely mentén pozitív irány) Oldjuk meg következõ egyenleteket grfikus módszerrel! ) ; c) ; ) + + ; d) ) Elõször átlkítjuk z egyenletet /+ ; - 0 z egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell ) Elõször átlkítjuk z egyenletet + + / ; + z egyenlet értelmezési trtomány [ ; [ intervllum Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás lesz Ezt z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y 0 M (0;0) y + M(;) M (;) + c) Elõször átlkítjuk z egyenletet - + / ; - - z egyenlet értelmezési trtomány [0,; [ Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspont M(; ) Ez z jelenti, hogy megoldás z Ezt z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y M(;) 0 7

34 II LGER d) z egyenlet értelmezési trtomány nemnegtív számok hlmz Itt fogjuk árázolni két függvényt metszéspontok M (0; 0), M (; ) Ez z jelenti, hogy megoldások z 0, Ezeket z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizni kell y M (0;0) 0 M (;) K Keressük meg z lái grfikonok közül következõ függvények megfelelõit! f]g + 9-; g]g - + ; h]g - -; i]g $ () y () y (;8) 0 () y 0 0 () y ( ; 8) 0 z elsõ grfikon olyn függvénynek képe, minek z ÉT-je ] ; ] Ez csk h függvény lehet második függvény ÉT-je [0; [ Ez csk g függvény lehet hrmdik függvény ÉT-je [ 9; [ Ez csk z f függvény lehet Így negyedik függvény csk z i lehet 8

35 Z INVERZ FÜGGVÉNY FOGLM Z INVERZ FÜGGVÉNY FOGLM Rjzoljuk meg következõ függvények képét! Keressük meg z inverz függvényt, és rjzoljuk meg nnk képét is! K ) f: [ ; ] " [ ; 8], 7 + ; E c) h: [0; 9] " [ ; 0], 7 - K ) g: [ ; 0] " [0; 9], 7 ; ) z inverz függvény képlete y + / y /: y - f () - f : [ ; 8] [ ; ], - R f y 8 R f 0 8 D f D f ) Mint tudjuk négyzetre emelés inverz mûvelete gyökvonás, ezért g : [0; 9] [ ; 0], 7 - y 9 R f 0 9 D f R f D f c) z inverz függvény képlete? y - /+ y + /() (y + ) h () ( + ) Tehát h : [ ; 0] [0; 9], 7 ( + ) R f y 9 ( ) y 0 9 D f D f R f K Keressünk olyn függvényeket, melyeknek inverze önmg! f(), g() +, h() 9

36 II LGER K ) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,, } Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? iztosn nem invertálhtó, mert lesz olyn függvényérték mit kétszer is felvesz sktuly-elv mitt z állítás nyilvánvló Nincs ilyen függvény ) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,,, } Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? iztosn invertálhtó, mert D-nek és z R-nek ugynnnyi eleme vn, tehát minden D-eli elemhez pontosn egy R-eli trtozik $ $ $ $! 0 pár állítás lehetséges c) z f függvényrõl következõket tudjuk: D f {,,,, }, R f {,,,,, 6} Invertálhtó-e f? Hány ilyen függvény vn? Nics ilyen függvény z R-nek nem lehet tö eleme mint D-nek Nincs ilyen függvény E Keressünk olyn függvényeket, melyeknek értelmezési trtomány [0; ], z értékkészlete pedig [0; ] intervllum! Vizsgáljuk függvényeket z invertálhtóság szempontjáól! Pl: f^h függvény jó Szigorún monoton nõ f - ^h Hsonló okok mitt g is megfelel ^h Számtln más megoldás is elképzelhetõ 0

37 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS SZORZTTÁ LKÍTÁSSL K lkítsuk szorzttá z lái másodfokú kifejezéseket z elsõfokú tgok megfelelõ széttgolásávl! ) ^+ h+ ^+ h ^+ h^+ h ) z ) esethez hsonlón ^+ h^+ h c) ^-h^-7h d) + - ^- h^+ 7h Szorzttá lkítás segítségével htározzuk meg z lái másodfokú egyenletek gyökeit! K ) ^+ h^+ h K )

38 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K c) ^+ h^+ h 0 K d) K e) + ; ; l + + l + l + 0 l K f) K g) K Írjunk fel olyn másodfokú egyenletet, melynek megoldási: ), ; z - 0 egyenletnek, z - 0 egyenletnek megoldás, szorztuknk, zz z ^-h^- h 0 egyenletnek mindkét szám megoldás, és z egyenlet másodfokú Felontv zárójelet, z egyenletet kpjuk Tetszõleges 0-tól különözõ számml eszorozv gyökök megegyeznek egyenlet gyökeivel ), ; ^- h^+ h 0; c), ; - vgy ^-h^- h 0; l^ - h 0

39 6 MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS TELJES NÉGYZETTÉ d), -! ^+ h^- h 0 vgy más lkn MÁSODFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS TELJES NÉGYZETTÉ KIEGÉSZÍTÉSSEL K lkítsuk teljes négyzetté z lái másodfokú kifejezéseket! ) ^ - h ) ^ - h + c) ^ + h + d) ^ + 6h - 6 e) ^ +, h + 7, f) - + ^ -, h -, g) Elõször emeljünk ki -t, ^ + + 7h mjd zárójelen lévõ kifejezést lkítsuk szorzttá ^ + h + 6 h) ^ + 6h +

40 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Oldjuk meg z lái egyenleteket teljes négyzetté történõ átlkítássl ) ; ^ + h 0 - ) ^ -h - 0; ^ - h ; - - vgy - -; Így tehát és c) ; ) részen leírtk lpján ^ -h d) ^ + h - 0; - és e) ^ + h , eõl 8 és -8 f) - - 0, eõl és - l g) ^ +, h - 0, 0 gyökei: és -7 K Lesz-e egész megoldás z lái másodfokú egyenleteknek? + ] - g + 0, h ) -, 0; Helyettesítsük e z és értékét, mjd lkítsunk szorzttá ; 0; 8^ -h - 0; ^ - h ;, Een z eseten tehát z egyenlet gyökei egészek

41 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE ) -, ; megoldndó egyenlet: ; teljes négyzetté lkított egyenlet 8^ -, 7h -, 6 0;, Een z eseten nem egész szám mindkét gyöke z egyenletnek c) 7, ; ehelyettesítés után kpjuk: + + 0; Átlkítv 6 + egyenletet kpjuk l 6 z egyenlet gyökei: -, - Een z eseten nem egész szám mindkét gyöke z egyenletnek 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE K Oldjuk meg következõ egyenleteket megoldóképlet lklmzásávl! ) z! c ; - megoldóképletet lklmzv -, -, c ;! $ $! 6 ; -- ^ h ^ - h - ; $ -!, ) - - 0, -, c -; D - c ;! c! 9, 9,, 9 - +, , Ellenõrzés Ellenõrzéskor pontos értékkel számoljunk! H 9 +, kkor 0

42 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK $ c + 9 m $ $ H 9 -, kkor 0 $ c - 9 m $ $ Tehát kpott gyökök vlón kielégítik z egyenletet c) + 0-0, 0, c -;, -6 d) ; + - 0,, c ; , 767; ,767 Megjegyzés: H z egyenletet eszorozzuk -vel, gyökei nem változnk, viszont egész számokkl dolgozhtunk e) - + 0, -, c ;, Megjegyzés: -ml végigosztv z egyenletet könyeen számolhtunk f) gyök ltti szám negtív, ezért nem végezhetõ el gyökvonás vlós számhlmzon, így nincs megoldás z egyenletnek g) , K Oldjuk meg z lái egyenleteket megoldóképlet lklmzás nélkül! hiányos másodfokú egyenleteknél elõször 0-r rendezünk, mjd szorzttá lkítássl gyorsn meghtározhtjuk megoldásokt (h létezik gyöke z egyenletnek) szorzttá lkításnál kiemelést, illetve z - ^- h^+ h zonosságot lklmzhtjuk 6

43 7 MÁSODFOKÚ EGYENLET MEGOLDÓKÉPLETE ) - 0 ^- h^+ h 0;, - ) - 0 6, -6 c) ^ - 6h 0 0, 6 d) + 0 0, 6 - e) 0 0, f) ; ^7+ h 0 0, 7 - g) ] - 7g + 0, -8 K Htározzuk meg z lái másodfokú egyenleteknek gyöktényezõs lkját megoldóképlet felhsználásávl! ) z egyenlet gyökei: -; Hsználjuk fel másodfokú egyenlet gyöktényezõs lkját ^ -h^- h 0, hol ; z egyenlet gyökei Ennek lpján ^- h^+ h 0 ) z egyenlet gyökei: -, 7-7

44 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK gyöktényezõs lk: + l^ + 7h 0 c) 0 z egyenlet gyökei , , gyöktényezõs lk c mc m 6 0 d) 0 z egyenlet gyökei:! 9, 0 gyöktényezõs lk c mc - 0 m 0 0 e) másodfokú egyenletnek nincs gyöke, ezért nincs gyöktényezõs lkj sem lkítsuk szorzttá z lái másodfokú kifejezéseket gyöktényezõs lk segítségével! K ) Oldjuk meg egyenletet Gyökei:, Felhsználv gyöktényezõs lkot: - 6+ ^-h^-h keresett szorzt K ) Oldjuk meg z egyenletet gyökök:, - gyöktényezõs lk: 6+ l - 0 l Így szorzttá lkítás l - l ^ + h^ - h 8 K c) z egyenlet gyökei:, szorzttá lkítás: l 0 l ^ + h - l

45 8 Z EGYENLETMEGOLDÁS GYKORLÁS 8 Z EGYENLETMEGOLDÁS GYKORLÁS z egyenlet gyökeinek meghtározás nélkül állpítsuk meg, hogy vlós számok hlmzán hány megoldás vn z lái egyenleteknek! K ) feldtn diszkrimináns elõjelének megvizsgálásávl megdhtjuk válszt, ugynis h diszkrimináns pozitív, kkor két vlós megoldás vn másodfokú egyenletnek, h diszkrimináns negtív, kkor nincs vlós megoldás, h diszkrimináns értéke 0, kkor egy vlós megoldás vn diszkrimináns, hol z ; ; c másodfokú egyenlet megfelelõ együtthtói D ^8h -$ $ ^- h 96 > 0, tehát két vlós megoldás vn z egyenletnek K ) D 9 < 0, nincs vlós megoldás K c) Rendezzük 0-r z egyenletet D 7 > 0, két vlós megoldás vn K d) D 0, egy vlós megoldás vn K e) r rendezve, mjd közös nevezõvel eszorozv egyenletet kpjuk D < 0, nincs vlós megoldás K f) D ^ 9h - $ $ , nincs vlós megoldás K g) - ^7 - h + 0 D 8-^7 -h - $ $ 9 $ - $ $ $ nincs vlós megol dás, 9

46 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Oldjuk meg z lái egyenleteket vlós számok hlmzán! megoldás során kpott értékeket z eredeti egyenlete történõ ehelyettesítéssel ellenõrizzük ) ] + 8g] - g 6 ontsuk fel zárójeleket, mjd rendezzünk 0-r megoldások, -, - 8 ) ] + 6g] + 7g-0- Átlkítv , melynek gyökei -, -7, c) Tegyünk kikötést:!- eszorzás után kpott egyenlet: + - 0, melynek gyökei, - d) - - Kikötés! gyökök:, 7, e) ] -g 6-6, - ] f) + g] + 7g ] g - 6 -, g) Kikötés:! 0 0-r rendezett egyenlet:

47 8 Z EGYENLETMEGOLDÁS GYKORLÁS gyökök:, - 7 h) ] - g ] g ] - g + Átlkítás után 0-r rendezett egyenlet: , melynek gyökei: 8 +, 8 - E Htározzuk meg z lái egyenletek megoldását természetes számok hlmzán! z egyenletek megoldáskor ne felejtkezzünk meg kikötésrõl, és lklmzzuk megfelelõ nevezetes zonosságot nevezõ szorzttá lkításához ) ^ -h Kikötés:!! Szorozzuk e z egyenletet ^- h^+ h közös nevezõvel 0^- h+ ^+ h^+ h Elvégezve eszorzásokt és 0-r rendezve kpjuk: kpott gyökök 6, -, megfelelnek kikötésnek Ellenõrzéssel meggyõzõdhetünk gyökök helyességérõl ) Kikötés:!! eszorozv közös nevezõvel: ^+ h^- h ^7 + h^-h- 6 ^+ 7h^- h+ ^+ h 0-r rendezve: 0 0 z egyenlet gyökei 6, c) Kikötés:!- Hsználjuk fel közös nevezõhöz z + ^+ h ^ - + h zonosságot ^7+ 0h^+ h ^ - + h r rendezve , -

48 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK 9 NEM KELL MINDIG MEGOLDÓKÉPLET! Oldjuk meg z lái egyenleteket megoldóképlet lklmzás nélkül! Minden eseten lkítsunk szorzttá Hsználjuk fel megoldás során, hogy egy szorzt kkor és csk kkor egyenlõ nullávl, h vlmelyik tényezõje 0 K ) ^ - 7h 0, 0, 7 K ) - ] - g 0 - ^ - 0h 0, 0, 0 K c) ;,! K d) nincs megoldás vlós számok hlmzán K e) ] - g + ] + g ] + 7g - ] + g] -g-] -8g Felontv zárójeleket, mjd összevonv: ; 6 9; 7,! E djuk meg c prméter értékét úgy, hogy másodfokú egyenletnek ne legyen konstns tgj! Oldjuk meg z egyenletet kiszámított prméter ehelyettesítésével! ) - + c- 0 c - 0 kell, hogy teljesüljön c Ekkor z egyenlet - 0, melynek gyökei 0,

49 9 NEM KELL MINDIG MEGOLDÓKÉPLET! ) c - 7c + 9 Rendezzük 0-r z egyenletet: + + c Nincs konstns tgj, h c zz c Ekkor z egyenlet gyökei: 0, - c) - -] c- g+ c+ 0 Rendezve - - c+ + c+ 0 Nincs konstns tgj, h c - Ekkor gyökök 0, d) + c] - g+ c c -] -g Zárójelfelontás és csökkenõ htványi szerinti rendezés után kpjuk - c+ -c- 0 0 Nincs konstns tgj, h c -0 Ekkor z egyenlet -0^-h- 0-0-^-h; + 0; 0, - E djuk meg p prméter értékét úgy, hogy másodfokú egyenletnek ne legyen elsõfokú tgj! Oldjuk meg z egyenletet kiszámított prméter ehelyettesítésével! másodfokú egyenletnek nincs elsõfokú tgj, h z -es tg együtthtój 0 ) + ^p - h - p 0 p - 0; p Ekkor z egyenlet - 0 Gyökei:,! ) - + p+ -p- 0 p - esetén nincs lineáris tg, ekkor z egyenlet - + 0, melyõl,!

50 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK c) + p] - g+ p p -] -g Felontv zárójeleket: + p- p+ p p- + Rendezve - p+ + p- 0; -^p- h+ p- 0; p - 0; p, Ekkor z egyenlet +, 0; nincs megoldás vlós számok hlmzán 0 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK KPSOLT K Árázoljuk függvénytrnszformációk segítségével z lái másodfokú függvényeket! ) f: 7 ; g: 7 - ; h: 7 ] - g ; l: 7 ] -g - y ( (ár) 0 ( ) f: 7 ; g: 7- ; h: 7 ; l: 7 ; n: 7- y (ár) 0

51 0 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK KPSOLT K Teljes négyzetté lkítás után árázoljuk z lái függvényeket! ) f: teljes négyzetté lkított lk: f: 7 ^- h + y ( ) 0 ) g: y teljes négyzetté lkított lk: g: 7 ^+ h - ( ) 0 c) h: teljes négyzetté lkított lk: h: 7 ^+ h - y 0 ( )

52 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK d) l: teljes négyzetté lkított lk: l: 7- ^+ h + y 0 ( ) e) n: ; teljes négyzetté lkított lk: n: 7- ^+ h + 8 y ( ) 8 0 f) m: teljes négyzetté lkított lk: m: 7- ^ - h + y 0 ( ) 8 6

53 0 MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK KPSOLT K djunk meg olyn másodfokú függvényeket, melynek zérushelyei: K ) és gyöktényezõs lkot felhsználv másodfokú! 0 másodfokú egyenletnek gyökei ; Ekkor z f: 7 ^-h^-h függvény tetszõleges esetén! 0 keresett függvényt dj Például esetén f: függvényt kpjuk ) és z ) eset lpján például: f: 7 ^+ h^- h -- c) és f: 7 ^ + h - lkú függvények teljesítik feltételt Válsszuk most -nek Ekkor l függvény f: 7 ^ + h - lkú l - - d) 8 és 9 f: e) - és 0 f: 7 ^+ h H, kkor f: 7 + f) 6 -és -- 6 Legyen f: 7 8-^ 6 -h8-^-- 6h Elvégezve eszorzást, + - lkot kpjuk g)! H f: 7 ^- h Egy másodfokú függvény minimumértéke 6, zérushelyei és 6 Írjuk fel másodfokú függvény hozzárendelési szályát! Mivel ismerjük függvény zérushelyeit, írjuk fel függvény hozzárendelési szályát gyökényezõs lk felhsználásávl f: 7 ^-h^-6h Mivel minimum vn, ezért > 0 függvény minimumát zérushelyek számtni közepénél veszi fel, zz keresett függvény + 6 -hez 6-ot rendel 7

54 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK Írjuk fel egyenlet lkján: - 6 ^-h^-6h; függvény hozzárendelési szály:, zz f: f: ^ - h^ - h - + K 6 K Egy másodfokú függvény mimumértéke, zérushelyei és Írjuk fel másodfokú függvény hozzárendelési szályát! feldt megoldásához hsonlón: függvénynek mimum vn, ezért függvény mimumhelye -, + z értékét z ^, + h^, - h egyenletõl htározhtjuk meg -6, függvény hozzárendelési szály f: 7-6, ^+ h^- h; f: 7-,6 + 8, + 6, z f: függvény mely értékek esetén vesz fel ) 0 0 kell hogy legyen függvény zérushelyeit z egyenlet gyökei dják ) pozitív Árázolv függvényt: vgy y c) negtív értéket? K 8 E z f: függvény mely értékek esetén vesz fel ) 0; ) pozitív; c) negtív értéket? függvény értékek esetén vesz fel 0-t H, kkor függvény értékei pozitívok, h vgy kkor negtívok z prméter mely értékénél lesz z f: 7 ] -g függvénynek ) minimum? ) mimum? c) Vn-e olyn érték, hol semmilyen szélsõértéke nincs függvénynek?

55 MÁSODFOKÚ EGYENLÕTLENSÉGEK I másodfokú függvénynek kkor vn minimum, h fõegyütthtój ( együtthtój) pozitív, kkor vn mimum, h fõegyütthtó negtív Ezek lpján - 0; esetén minimum vn, esetén mimum vn H kkor lineáris függvényt kpunk, melynek vlós számok hlmzán nincs se mimum, se minimum MÁSODFOKÚ EGYENLÕTLENSÉGEK I K Oldjuk meg z lái egyenlõtlenségeket vlós számok hlmzán! ) z függvény zérushelyeit z másodfokú egyenlet dj - másodfokú függvény grfikonj z tengely ltt hld, h - z egyenlõtlenség 6 ) megoldási - vizsgált másodfokú függvény fõegyütthtój pozitív, függvény grfikonj z tengely felett hld, h - vgy z ; 6 c) $ 0 fõegyütthtó negtív ezért prolánk mimum vn, ezért! d) - +, -, # 0! : ; : e) $ 0 minden esetén, mert ^- h,ez zt jelenti, hogy nincs olyn melyre f) - 0 $ 0 - $ 0, 6; 6 9

56 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Oldjuk meg pozitív számok hlmzán z lái egyenlõtlenségeket! ) vlós számok hlmzán z egyenlõtlenség megoldás 9, ez részhlmz pozitív vlós számoknk, így tehát ; 96 ) --60 $ 0 pozitív számok hlmzán megoldás! 60; 6 c) # 0 K vlós számok hlmzán egyenlet megoldási - z függvény fõegyütthtój negtív, ezért pozitív számok hlmzán megoldás! 60 eletrtozik-e z lái egyenlõtlenség megoldáshlmzá - + # 0 :-; D intervllum? z egyenlõtlenség megoldás! 6- ; Összevetve -; : intervllumml, láthtó, hogy D nem trtozik megoldáshlmz K Htározzuk meg, mely értékek esetén teljesül egyszerre $ 0 egyenlõtlenség! z $ 0 egyenlõtlenség megoldás vgy! D-; - ; D, : 0 : egyenlõtlenség megoldás! ; D- : Árázoljuk két megoldást számegyenesen és Egyszerre teljesül két egyenlõtlenség: D- ; - D 60

57 MÁSODFOKÚ EGYENLÕTLENSÉGEK II MÁSODFOKÚ EGYENLÕTLENSÉGEK II K Oldjuk meg z lái egyenlõtlenségeket vlós számok hlmzán! ] ) - g] + g 0 - számláló szorzótényezõinek és nevezõnek zérushelyei ; ; Ezek számegyenest négy intervllumr ontják Vizsgáljuk tényezõk elõjelét z egyes intervllumokon, z egyenlõséget nem vizsgáljuk, mivel sem nevezõ, sem számláló (z egyenlõtlenség mitt) értéke nem lehet 0 tört értéke kkor pozitív, h negtív tényezõk szám páros táláztól kiolvshtó, hogy ez teljesül, ; 6 ) < < < < < > z egyes tényezõk zérushelyei ; ; 6 z elõjelek meghtározásához tálázt: < < < < < 6 > tört értéke negtív, h negtív tényezõk szám pártln Ez teljesül, h 6 vgy K Árázoljuk z lái egyenlõtlenségek megoldását számegyenesen! ) lkítsuk szorzttá számlálót gyöktényezõs lk segítségével l^ -h z elõzõ feldthoz hsonlón elkészített tálázt lpján felírhtó megoldás:! D-; - ; :, D : ) - + $ 0 -- számlálót és nevezõt is lkítsuk szorzttá 6

58 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK - + ^-h^-h -- ^- h + l számláló zérushelyei: ;, nevezõ zérushelyei -, Most öt intervllumot kell megvizsgálnunk Figyeljünk rr, hogy tört értéke lehet 0 is, ezért számlálón megengedhetjük 0-t is tört értéke kkor nemnegtív, h negtív tényezõk szám páros, illetve számláló 0 Így megoldás:! D-; - ; ; :, 6 6, 6 6 c) - l] $ g Átlkítv kpjuk következõ egyenlõtlenséget: ^-h^- h $ ; 6 d) # < < < < > Kikötés:!- ; Hozzunk mindkét oldlon közös nevezõre # Rendezzünk 0-r, és emeljünk ki ^ - h-t ^ - h # 0; - - l + 7 ^ - h # 0 ^+ h^- h tálázt segítségével meghtározv z elõjeleket, kpjuk ;, : ; : E z prméter milyen értéke esetén teljesül minden esetén ? 7-6+ függvényt tekintve fõegyütthtó pozitív ezért minimum vn Minden vlós szám esetén - 6+ kkor lesz pozitív, h másodfokú egyenletnek nincs megoldás, zz z egyenlet diszkrimináns negtív D Eõl 9 6

59 MÁSODFOKÚR VISSZVEZETHETÕ EGYENLETEK E minden vlós szám ese- Htározzuk meg prméter értékét úgy, hogy z tén teljesüljön! kifejezésen fõegyütthtó pozitív, ezért minimum vn Ezért D - 0 kell, hogy teljesüljön 8-ól dódik megoldás - E Vn-e olyn érték, mely esetén z minden vlós számr igz? kifejezés kkor lesz minden esetén negtív, h I fõegyütthtó negtív, és II Nincs z egyenletnek gyöke, zz diszkrimináns negtív I-õl 0 II-õl D 6-0, így 8 9 I-nek és II-nek nincs közös része, így nincs olyn érték mely esetén z minden vlós számr igz MÁSODFOKÚR VISSZVEZETHETÕ EGYENLETEK K Oldjuk meg z lái egyenleteket! ) Vezessük e ismeretlent Ekkor z egyenlet lkú lesz, melynek gyökei ; 9 Visszhelyettesítve kpjuk, hogy, melyõl, illetve 9, melyõl ) Új ismeretlen evezetése után kpjuk, hogy, így z egyenlet gyökei,! ;,! c) ,! ;,!,!,! 6

60 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK d) Két megoldás vn:,! Megfelelõen válsztott új ismeretlen evezetésével oldjuk meg z lái egyenleteket! E ) ^ + h + ^ + h- 0 Legyen +, ekkor z egyenlet lkú lesz Ennek másodfokú egyenletnek gyökei ; - Most visszhelyettesítve új két másodfokú egyenletet kpunk: +, illetve + - z egyenletek gyökei:, illetve - E ) ^ -h -^ - h+ 6 0 Hsonlón z ) részhez - ismeretlen evezetésével redukált egyenlet Ennek gyökei 9; Visszhelyettesítve értékeit z - 9, illetve - egyenletekhez jutunk Ezen egyenletek megoldási és -; K c) ^ -8h -9^ - 8+ h + 7 0,!,!! Vezessük e z - 8 ismeretlent Ekkor - 9^ + h egyenletet kpjuk Ennek megoldási ; 9 Visszhelyettesítve z értékét, mjd megoldv z újonnn kpott másodfokú egyenleteket -, 9 és 8! 66, -t kpjuk, MÁSODFOKÚR VISSZVEZETHETÕ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK (Nem érettségi tnnyg) E Oldjuk meg z lái egyenleteket z egész számok hlmzán! ) Hsználjuk fel zt z ismeretet, hogyh egy n-edfokú egész együtthtós egyenletnek fõegyütthtój, kkor és csk kkor vn egész megoldás, h megoldás osztój konstns tgnk Így megoldások 6 osztói közül kerülhetnek ki 6 osztóit megvizsgálv kphtjuk, hogy z megoldás z egyenletnek 6

61 MÁSODFOKÚR VISSZVEZETHETÕ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK Polinomok osztásánk felhsználásávl kpjuk, hogy ^-h ^ -7-6) h következõken már z hrmdfokú egyenlet egész megoldásit keressük Hsonlón z elõzõhöz eláthtó, hogy megoldás z egyenletnek Ekkor -7-6 ^- h^ + + h szorztlkot kpjuk kpott másodokú egyenlet gyökei megoldóképlet segítségével meghtározhtók Így megdott negyedfokú egyenlet egész megoldási -; -; ; ) z ) résznél felhsznált módszerrel z egyenlet gyökei -; -; ; - E Oldjuk meg z lái negyedfokú szimmetrikus egyenleteket! ) z 0 nem megoldás z egyenletnek, ezért -tel végigoszthtjuk z egyenletet Rendezzük át z egyenletet: ; - + l - + l - 0 Jelöljük + -vl Ekkor + - Így z egyenletünk ^ - h lesz Eõl ; 0 - Visszhelyettesítve z és egyenleteket kpjuk, melynek megoldási: - ; ;, ) z ) részen leírt módszerrel kpott gyökök ; ; ; - - E Mely vló számok lkotják z lái egyenletek megoldáshlmzát? ) Szimmetrikus hrmdfokú egyenleteknél z ^ +h soportosítsuk tgokt: kiemelhetõ 6

62 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ^ + h + ^ + h 0 Hsználjuk fel, hogy + + ^+ h ^ - + h lkítsuk szorzttá l oldlt ^+ h ^ + + h 0 Eõl nek nincs megoldás vlós számok hlmzán ) Szorzttá lkítv kpjuk, hogy ^+ h ^ - + h 0, melyõl megoldások -; + ; - c) szorzttá lkított lk: ^+ h ^ - + h 0, melyõl megoldások -; + ; 0-0 E Oldjuk meg z lái egyenlõtlenséget! # 0 Keressük z egyenlet megoldásit z egész számok köréen Mivel egész együtthtós negyedfokú egyenletrõl vn szó, h vn egész megoldás, z csk osztói közül kerülhet ki z osztókt vizsgálv megállpíthtó, hogy z megoldás z egyenletnek Polinom osztást végezve, szorzttá lkíthtó kifejezés ^- h ^ + --h Tová vizsgálv hrmdfokú kifejezést szorzttá lkíthtó, és negyedfokú polinom felonthtó elsõfokúk szorztár ^- h^+ h^+ h^- h# 0 Tálázttl megvizsgálv zérushelyek áltl meghtározott intervllumokt: < < < > +; ; ; ; 0 + négytényezõs szorzt kkor lesz negtív, h negtív tényezõk szám pártln, és ott lesz 0, hol vlmelyik tényezõ 0 megoldás 6-; -@, 66

63 GYÖKÖK ÉS EGYÜTTHTÓK KÖZÖTTI ÖSSZEFÜGGÉSEK GYÖKÖK ÉS EGYÜTTHTÓK KÖZÖTTI ÖSSZEFÜGGÉSEK K Írjunk fel olyn másodfokú egyenletet, melynek gyökei ), Hsználjuk fel gyökök és együtthtók közötti összefüggéseket + - ; c $ Legyen, ekkor + -, zz -; $ c, zz c Ekkor másodfokú egyenlet Megjegyzés: z tetszõleges 0-tól különözõ szám lehet ), z elõzõhöz hsonlón kpjuk -8; c z egyenlet: c), d) 8, e) -, K lkítsuk szorzttá Viète-formulák segítségével következõ kifejezéseket! Hsználjuk fel megoldás során, hogy h fõegyütthtó, kkor gyökök szorzt konstns tg, gyökök összege lineáris tg együtthtójnk ( )-szerese ) ^- 7h^+ h 67

64 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ) ^+ h^+ h c) ^-h^-h d) l^ + h ^ - h^ + h e) Nem onthtó, mert nincs zérushelye K z lái egyenlet gyökeinek kiszámítás nélkül htározzuk meg gyökök elõjelét! Elõször minden eseten meg kell vizsgálni, vnnk-e gyökei z egyenletnek Ehhez diszkrimináns elõjelét kell megnézni z elõjel vizsgáltához hsználjuk fel gyökök és együtthtók közötti összefüggéseket ) D 6 0, léteznek gyökök gyökök szorzt $ 0, ezért két gyök zonos elõjelû gyökök összege + 6 0, és zonos elõjelûek ezért mindkét gyök pozitív ) D 0, léteznek gyökök $ 9 0, tehát zonos elõjelûek, és , tehát mindkét gyök negtív c) D 0, vnnk gyökök $ -7 0 különözõ elõjelûek d) Különözõ elõjelûek gyökök 68

65 GYÖKÖK ÉS EGYÜTTHTÓK KÖZÖTTI ÖSSZEFÜGGÉSEK e) + Mindkét gyök pozitív f) Különözõ elõjelûek gyökök K Egyszerûsítsük z lái törteket! gyökök és együtthtók közötti összefüggések felhsználásávl lkítsuk szorzttá nevezõt és számlálót, mjd egyszerûsítsünk ) ^-h^- h - ^ + h^ - h + ) ^+ h^+ h + ^- h^+ h - c) l^ + h - ^ + h^ + h + d) ^- h^+ h - - ^ + h - l - 69

66 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK 6 VIÉTE-FORMULÁK HSZNÁLT FELDTMEGOLDÁSOKN Htározzuk meg egyenleten K ) gyökök összegét! Elõször zt kell megvizsgálni, hogy léteznek-e gyökök Mivel vn z egyenletnek D, ezért két különözõ gyöke K ) gyökök szorztát! $ K c) gyökök összegének négyzetét! ^ + h 6 K d) gyökök négyzetének összegét! c 6 + ^ + h - - $ l - - K Htározzuk meg egyenleten ) gyökök négyzetösszegét! Elõször zt kell megvizsgálni, hogy léteznek-e gyökök Mivel D 7, ezért két különözõ vlós gyöke vn z egyenletnek c 9 + ^ + h - - l - l - $ 9 ) gyökök reciprokink összegét! c - c - c) gyökök köeinek z összegét! c 80 + ^ + h^ + - h - l; - l - E ; l - le 7 70

67 6 VIÈTE-FORMULÁK HSZNÁLT FELDTMEGOLDÁSOKN d) gyökök különségét! c ^ - h ^ + h - - ; l - l - $ 9 - gyökök különségének elõjele kétféle lehet ttól függõen, hogy kise szolút értékûõl vonjuk ki ngyo szolút értékût, vgy fordítv -! K Htározzuk meg z egyenleten gyökök négyzetének különségét! Mivel D - 0, z egyenletnek nincsenek gyökei, ezért nem lehet gyökök négyzetének különségét számolni E Htározzuk meg z c egyenleten c értékét úgy, hogy ) z egyenletnek megoldás legyen! megoldás vn, h D 0 ^-h - c 0; c 9 Ekkor z egyenlet gyöke ) z egyenletnek pozitív gyöke legyen! hhoz, hogy két gyöke legyen kell, hogy D 0 teljesüljön ^-h -c 0, miõl c 9 hhoz, hogy két zonos elõjelû gyöke legyen, kell hogy gyökök szorzt pozitív legyen c 0 Továá, hhoz, hogy mindkét gyök pozitív legyen, kell, hogy gyökök összege pozitív legyen +, ez mindig teljesül Összevetve feltételeket, két pozitív gyöke kkor vn z egyenletnek, h 0 c 9 c) z egyenletnek különözõ elõjelû gyökei legyenek! hhoz, hogy két különözõ elõjelû gyöke legyen, kell hogy gyökök szorzt negtív legyen c 0 c 0 eseten teljesül 7

68 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK E Hogyn kell megválsztni c prméter értékét úgy, hogy z + ] c- g+ 6c+ 0 egyenleten gyökök négyzetösszege 78 legyen? gyökök létezésének feltétele, hogy D 0 teljesüljön D ^c-h - ^6c+ h 0 c egyenlõtlenség megoldás c 7 -c- 0 - vgy c 7 gyökök négyzetösszege c + ^ + h - - ; l - 6 -^c-h@ - ^6c+ h 78; 9c 8c 9 c ; 9c 0c 7 0; c ; c - Ellenõrizve mindkét c érték esetén teljesül, hogy gyökök négyzetösszege 78 Emelt szint 7 PRMÉTERES EGYENLETEK E E E 7 Htározzuk meg milyen értékénél lesz z egyenletnek z egyik gyöke? Számítsuk ki másik gyök értékét! Helyettesítsük e z helyére -öt + $ + 0; -8 Ekkor másodfokú egyenlet Gyökei ; djuk meg z értékét úgy, hogy z ] - g egyenletnek z egyik gyöke legyen! Számítsuk ki másik gyök értékét! H ehelyettesítjük z --et, kkor z egyenletet kpjuk 6 Így z egyenlet gyökök ekkor ; - p milyen értékénél vn két egyenlõ gyöke z lái egyenleteknek? ) - 8+ p 0 Két egyenlõ gyöke vn z egyenletnek, h D 0 D ^-8h - p 0; p 6 gyökök

69 7 PRMÉTERES EGYENLETEK ) + 0-p- 0 D 00-8 $ ^-p- h 0; p -, gyökök - c) ^p + h + 6p + p + 0 D ^6ph - ^p+ h^p+ h 0; p ; p - H p, kkor z egyenlet , melynek gyökei - H p -, kkor z egyenlet 9 6, ennek gyökei E Oldjuk meg z lái prméteres egyenleteket, hol c prméter vlós szám! ) c + ] c - g 0 H c 0, kkor 0 H c! 0, kkor emeljünk ki -et c ^ + c- h 0; 0 vgy c + c - 0 c - c, és c! 0; c c - ) c c + ] - g - 0 Vn megoldás, h D $ 0 D c 8 c ^ - h + $ $ 0, eõl dódik, hogy c + 6c+ 9 $ 0 Mivel l oldl teljes négyzet, ezért minden c esetén teljesül z egyenlõtlenség z egyenlet megoldási: H c, kkor két egyenlõ gyöke vn - H c!-, kkor c! c 6c 9 c! c, -^ - h ^ + h c - ; 7

70 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK E p prméter értékétõl függõen djuk meg z lái egyenletek megoldásink számát és megoldásit! ) + ^- ph 6+ p- p Nullár rendezve + ^- ph+ p -p- 6 0 Vn megoldás z egyenletnek, h D ^-ph -^p -p-6h $ 0 D $ 0 minden p esetén teljesül z egyenlet gyökei p! p!, - ^ - h - ; p- ; p+ ) p -8p - p 0 H p 0, kkor minden szám megoldás H p! 0, kkor oszthtunk p-vel -8- p 0 egyenletnek kkor vn megoldás, h D 6-9p $ 0, zz p #, ekkor gyökök 8! 6-9p,! p - H p, kkor nincs megoldás Emelt szint 8 PRMÉTERES EGYENLÕTLENSÉGEK E Vizsgáljuk meg, hogy z lái egyenlõtlenségnek milyen megoldás vn megdott p értéknél! + 6+ p- 6 $ 0 z dott prméter értékét ehelyettesítve másodfokú egyenlõtlenségeket kpunk, melyeket zérushelyek meghtározásávl megoldhtunk ) p $ 0 egyenlõtlenség megoldását keressük z egyenletnek diszkrimináns negtív, másodfokú függvénynek minimum vn, és nincs zérushelye, ezért minden esetén teljesül z egyenlõtlenség ) p ^p+ h $ 0, minden vlós szám esetén teljesül 7

71 8 PRMÉTERES EGYENLÕTLENSÉGEK c) p $ 0 egyenlõtlenséget kell vizsgálni z egyenlet gyökei - -, ezért z egyenlõtlenség 6-; 6 d) p $ 0 egyenlõtlenség esetén z egyenlet gyökei -- ; - +, z ; 6 E Htározzuk meg, hogy p értéktõl függõen mely értékekre teljesül z lái egyenlõtlenség! - 0+ p- 7 0 Vizsgáljuk meg - 0+ p- 7 0 egyenlet diszkriminánsát D 00-8^p- 7h 6-6p H D 0, zz 9 p, kkor z egyenletnek nincs megoldás, zz z 7-0+ p- 7 függvénynek nincs zérushelye, és minimum vn, ezért nincs olyn vlós szám, melyre teljesül z egyenlõtlenség H D, zz p 9 0, kkor minimumml rendelkezõ prol érinti z tengelyt, de nincs olyn érték, melyre negtív lenne, ezért een z eseten nincs megoldás 0! 6-6p H D 0, zz p 9, kkor két zérushelye vn prolánk,! 9- p két zérushely közötti értékeknél teljesül - 0+ p- 7 0 Így tehát - 9- p + 9- p megoldás: h p 9, kkor E Htározzuk meg prméter értékét úgy, hogy tetszõleges vlós szám esetén igz legyen z egyenlõtlenség! (p prméter) ) + - p $ 0 $ p- p # lkr átírv, kkor teljesül tetszõleges vlós szám esetén, h p - # 0, zz ) ^p+ h - 8 # 0 H p -, kkor -8 # 0 minden vlós esetén teljesül H p, kkor # 8, és 8 - pozitív szám p + + z 8 egyenletnek két megoldás vn, így h! ; 8, 8 ;, p E- - p E ; p ; + + kkor z egyenlõtlenség nem teljesül Így h p, kkor nincs olyn p érték melynél minden -re # 8 - p + + p 7

72 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK H p -, kkor ^p+ h - 8 # 0 l oldl negtív, tehát tetszõleges érték esetén igz z egyenlõtlenség c) ^7p- h + $ 0 Hsonlón z elõzõhöz p $ esetén tehát tetszõleges érték esetén igz ^7p- h + $ 0 egyenlõtlenség 7 E Oldjuk meg vlós számok hlmzán z lái egyenlõtlenségeket, hol p vlós prméter! ) p 0 Rendezzük z egyenlõtlenséget 9 p $ - 9- p H # 0, kkor minden vlós esetén teljesül z egyenlõtlenség 9- H p 9 p 9- p 9- p 0, kkor z - egyenlet gyökei ;, így megoldás! E-; - ;, E ; ; - 9-p 9-p ) + - p # 0 Rendezve z egyenlõtlenséget p - # p - H 0, zz p, kkor nincs megoldás z egyenlõtlenségnek p - H, zz p, kkor z egyenlõtlenség 0 esetén teljesül 0 p - p p - H, zz, kkor z - 0 p egyenlet gyökei,!, így z p- p- egyenlõtlenség megoldás! ;- ; E c) ^p-h - $ 0 H p 0, zz p -, kkor - $ 0 dódik, így nincs megoldás z egyenlõtlenségnek H p 0, zz p -, kkor z egyenlõtlenség l oldl negtív, ezért nincs megoldás H p 0, zz p, kkor! ;, - E- - ; p- ; E p- ; 76

73 9 SZÖVEGES, GYKORLTI FELDTOK I 9 SZÖVEGES, GYKORLTI FELDTOK I K K K K Egy szám és nál néggyel ngyo szám szorzt 7 Melyik ez két szám? Jelöljük kise számot -szel Ekkor ^ + h egyenlet megoldás 7; - Két ilyen számpár vn: 7 és, illetve és 7 Három egymást követõ természetes szám négyzetösszege Melyik ez három szám? Jelöljük középsõ számot -szel Ekkor ^- h + + ^+ h ; + ; ;,! természetes számok hlmzán csk egy megoldás vn, három szám : 0; ; szövege történõ ehelyettesítéssel ellenõrizhetjük kpott megoldást Egy ráti társság szállást fogllt egy hegyi pnzión Együttesen 0 euró került szállás Ketten nem tudtk elmenni, így z õ részüket is ki kellett fizetni Ezért minden résztvevõnek z eredetileg meghtározott összegnél euróvl drágá volt szállásköltség Hányn vettek részt z összejövetelen, és mennyit kellett szállásért fizetni? Jelöljük -szel z eredetileg jelentkezettek létszámát Ekkor egy fõ részére 0 euró került voln szállás H két fõvel keveseen mennek el, kkor 0 lesz szállásköltség egy résztvevõnek Ezek lpján ;! 0; Közös nevezõre hozv és rendezve egyenletet kpjuk i ; -0 Eredetileg tehát -en jelentkeztek, vlóján 0-en vettek részt kiránduláson, és fõnek eurót kellett fizetni Kétfjt mndrinól vásároltunk picon z egyik fjtáól 00 Ft értéken, másik fjtáól 00 Ft értéken második fjtájú 80 Ft-tl olcsó kg-onként, így eõl kg-ml töet vettünk Hány kg-ot vásároltunk z egyes fjtákól? Legyen drágá fjtáól vásárolt mennyiség kg, így drágá fjtáól 00 Ft- kerül egy kg, z olcsóól 00 Ft kg-onkénti ár + Ekkor felírhtó összefüggés ;! 0; közös nevezõvel eszorozv és rendezve egyenletet kpjuk i: 6; -0 Válsz: 6 kg-ot vásároltunk drágá, 0 kg-ot z olcsó fjtájú mndrinól 77

74 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K 6 K Egy telefontársság trifcsomgj 00 Ft Egy kció keretéen Ft-tl csökkentették hívás percdíját, így ezért z összegért perccel töet lehet eszélni Mennyi ideig lehet z kciós idõszkn trifcsomgdíjért eszélni, és mennyi eszélgetés percdíj? Jelöljük z kció elõtti percdíjt -szel szövegnek megfelelõ összefüggés ;! 0 ; ; 0; -7 z kció elõtt 0 Ft volt percdíj, z kció idõszkn 7 Ft/perc, és 00 Ft-ért 0 percig lehet telefonálni Két üdülõflu 6 km-re vn egymástól z egyik üdülõfluól két kerékpáros egyszerre indul másik üdülõflu lssn mozgó kerékpáros minden órán km-rel keveseet tesz meg, mint másik Mekkor kerékpárosok seessége, és mennyi idõ ltt érnek céljukhoz? Legyen lssn mozgó seessége v km, ekkor h gyors seessége (v + ) km h lss 6 ór ltt ér célhoz, míg gyors 6 ór ltt v v + 0 SZÖVEGES, GYKORLTI FELDTOK II K Hány oldlú z konve sokszög, melyen 9 átló húzhtó? nn ^ - h Egy n oldlú sokszöge átló húzhtó nn ^ - h egyenlet megoldási: n 7; n - 9 sokszög 7 oldlú 78 K K Egy nyelvvizsgár készülõ diáknk 00 szót kellett megtnulni következõ számonkérésig Tudt, hogy két npig nem lesz ideje tnulni, ezért npont öt szóvl töet tnult meg tervezettnél Hány np múlv lesz számonkérés? H -szel jelöljük npont megtnulndó szvk számát tervek szerint, kkor ;! 0; ; ; 0; - Válsz: 0 np múlv lesz számonkérés Egy ruh árát két egymás utáni lklomml emelték ugynkkor %-kl, így ruh ár Ft-ról 000 Ft-r emelkedett Hány %-os volt z áremelés? Jelöljük z áremelés mértékét p%-kl Ekkor z elsõ áremelés után + p áremelés + l -szerese lesz z eredeti árnk 00 p 00 l-szoros lesz z új ár, z újóli

75 MÁSODFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK p $ + l ; p + l 7 ; 00 p +! 7! 8, ; p 8 00 feldt értelmezése lpján csk pozitív szám lehet megoldás Ez zt jelenti, hogy k 8%- os volt z áremelés mértéke K Egy kikötõe két hjó érkezik, egyik észki irányól kétszer kkor seességgel, mint másik keleti irányól Egy dott idõpontn z észkról érkezõ hjó 700 m-re, keletrõl érkezõ hjó 0 m-re vn kikötõtõl perc múlv hjók 00 m-nyire vnnk egymástól Mekkor hjók seessége? Legyen lssú hjó seessége m, kkor gyorsé m s s 00 hjók áltl megtett út (0 00) m; illetve (700 00) m perc s Rjzoljuk fel hjók elhelyezkedését Írjuk fel Pitgorsz tételét derékszögû háromszög oldlir ^0-00h + ^700-00h 00 Átlkítv, rendezve kpjuk: ; 9, ; 7, 9, m nem lehet lssú hjó seessége, mert kkor már 0 m-nél töet s tett voln meg 00 s ltt Így feldt megoldás: 7, m lssn közlekedõ s hjó, m gyorsn közlekedõ hjó seessége s MÁSODFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK K Oldjuk meg z egyenletrendszereket vlós számok hlmzán! ( ) y 8 ) ( ) + y Fejezzük ki () egyenletõl y-t: () y - ehelyettesítve z elsõ egyenlete: () ^ - h 8, rendezéssel: , visszhelyettesítve ()-: y 7 7, visszhelyettesítve ()-: y Tehát z egyenletrendszernek két megoldás vn 79

76 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ( ) -y-y 9 ) ( ) - y 7 () y+ 7, ehelyettesítve: () ^y+ 7h - ^y+ 7hy- y 9 () - y + 7y+ 0 0 y 0 7; y - Tehát z egyenletrendszernek két megoldás vn ( ) c) + y 8 ( ) + y Kikötés:! 0, y! 0 () y -, ehelyettesítve: (), rendezéssel + - () y ; y 8 Tehát z egyenletrendszernek két megoldás vn ( ) + y 6 d) ( ) y+ y Kikötés: + y+ y! 0 () y 6 - () + + _ ^6- h i, rendezve () y -0; y kpott megoldások nem mondnk ellent kikötésnek: ! 0, és + +! 0 Tehát z egyenletrendszernek két megoldás vn K Milyen vlós számpárokr teljesülnek z lái egyenletrendszerek? ( ) + y ) ( ) y Nyilván egyik szám sem lehet 0, mert szorztuk, így y () +, rendezéssel l () re másodfokú egyenletet kptunk Legyen, hol $ 0 80

77 MÁSODFOKÚ EGYENLETRENDSZEREK - + 0; 6 és 9 H, kkor 6 6 ; y, és -; y - H 9, kkor 9 ; y, és -; y - Tehát z egyenletrendszernek négy megoldás vn ( ) + y+ y 0 ) ( ) - y+ y - Összedv z egyenletek megfelelõ oldlit: + y 8 + y y -, ehelyettesítve ()-e: + ^- h+ - 0, rendezéssel 0; y ; y Tehát z egyenletrendszernek két megoldás vn ( ) ^+ yh^- yh- c) ( ) ^ + yh] 8- g 0 Mivel l oldli tényezõk értéke iztosn nem 0, így osszuk el () egyenletet z () egyenlettel () (Itt, ez nem lehetne megoldás z elsõ egyenlet mitt) 8 y y! 8-0y ehelyettesítve ()-e: ^9-9yh^ - yh-; 9y - 0y + 9 0, gyökei: y 6, y 9 () visszhelyettesítve: 9 H y 6, kkor - H y 9, kkor 9 9 Ellenõrzéssel megállpíthtjuk, hogy két megoldás kielégíti z egyenleteket K Egy kétjegyû szám négyszerese számjegyei összegének, és kétszer kkor, mint számjegyeinek szorzt Melyik kétjegyû számról vn szó? Legyen szám y lkú Ekkor szám felírhtó y 0 + y lkn szövegõl felírhtó összefüggések: () 0+ y ^+ yh, illetve () 0+ y y Fejezzük ki ()-õl y-t, mjd helyettesítsük e z ()-e Ekkor 0^- h+ 0 ^- h+ 0 egyenletet kpjuk Rendezve ^- 6h 0; 0 nem kpunk kétjegyû számot esetén kétjegyû szám 6 Ellenõrzés szöveg lpján 8

78 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Egy osztályól két színházi elõdásr vásároltk jegyeket z elsõ elõdásr Ft-ot, második elõdásr 6 00 Ft-ot fizettek jegyekért második elõdásr három diákkl kevese jelentkezett, és második elõdás jegyár 00 Ft-tl tö volt, mint z elsõ elõdásr szóló jegy ár Hányn jelentkeztek z egyes elõdásokr, és mennyi volt jegy ár? Vezessük e következõ jelöléseket: Jelentkezõ tnulók szám d jegy ár (Ft) Elsõ elõdás y Második elõdás y szöveg lpján felírhtó összefüggések: () y 0 000; () ^- h^y+ 00h 6 00 Fejezzük ki z elsõ egyenletõl y-t, mjd helyettesítsük e második egyenlete ^ - h l 6 00 Rendezve: egyenletet kpjuk, melynek gyökei -0; szöveg értelmezése szerint csk második megoldás lehet jó Ekkor y Így tehát z elsõ elõdásr -en jelentkeztek, jegy ár 000 Ft- került, második elõdásr -en fizettek, és jegy ár 00 Ft volt 8 K 6 E Egy derékszögû háromszög területe 670 cm, átfogój 9 cm Mekkorák efogói? Jelöljük derékszögû háromszög efogóit, illetve -vel Írjuk fel Pitgorsz tételt, és derékszögû háromszög területére vontkozó összefüggést () + 9 ; () 670 Megoldv z egyenletrendszert négy számpárt kpunk 7; 80 80; 7-7; ; -7 háromszög oldli pozitív számok, ezért z utolsó két számpár nem lehet szöveges feldt megoldás z elsõ két számpár háromszög efogóink felcserélésével kphtó meg, ez nem d különözõ megoldásokt Tehát egy ilyen derékszögû háromszög vn, melynek efogói 7 cm, és 80 cm Egy háromszög kerülete cm, egyik oldlánk hossz 8 cm, területe cm Mekkor háromszög másik két oldl? Hsználjuk háromszög területét, kerületét és oldlit trtlmzó összefüggést, Heron képletet: t s^s-h^s-h^s-ch, hol s kerület fele Legyen c 8 cm Ekkor kerület () terület () $ ^ -h^ -h z () és () megoldásáól kpjuk, hogy 7, 9, illetve 9, 7 háromszög másik két oldl 7 cm és 9 cm

79 SZÉLSÕÉRTÉK-PROLÉMÁK, NEVEZETES KÖZEPEK SZÉLSÕÉRTÉK-PROLÉMÁK, NEVEZETES KÖZEPEK K Htározzuk meg következõ két-két szám számtni, illetve mértni közepét! ), 0 Számtni közepe: +, mértni közepe 7 0 ; ; 0 ), 8 Számtni közepe, mértni közepe nem számolhtó, mert z egyik negtív szám c) 6, Számtni közepe 6 + 6,, mértni közepe , 08 E Htározzuk meg z lái számok hrmonikus és négyzetes közepét, h számok ), 8 Hrmonikus közép H 6,, négyzetes közép N 8, + +, 9 ), 0 Hrmonikus közepe, négyzetes közép + ^- h + 0 9, c), 8 Hrmonikus közepe 8 8, négyzetes közép + 8, 6 + 8

80 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK K Két pozitív szám számtni közepe, z egyik szám 7 Mekkor másik szám? 7 + ; 77 K Két pozitív szám mértni közepe $ 80 ; 0 80, z egyik szám Mekkor másik szám? E Két pozitív szám négyzetes közepe 8, z egyik szám Mekkor másik szám? 8; + 99; 99, 9 6 K Két szám összege 0 Mekkor számok négyzetösszegének minimum? Jelöljük számokt és ^0 - h-szel Négyzetösszegük: N^h + ^0 - h Teljes négyzetté lkítás után kpjuk, hogy N^h ^- h + 0 kifejezés kkor minimális, h négyzetes tg 0, zz, ekkor minimumérték 0 7 K 8 K Egy 0 cm kerületû egyenlõ szárú háromszög oldli fölé négyzeteket rjzolunk Hogyn válsszuk meg háromszög oldlit, hogy négyzetek területének összege minimális legyen? Legyen háromszög lpj, szári hosszúságúk Ekkor kerülete K + 0; 0 - z oldlk fölé rjzolt négyzetek területének összegét jelölje N() N + + ^0 - h Átlkítv N ; N 6^- 0h + 800, kkor minimális, h négyzetes tg 0, zz 0 Ekkor 0 z egyenlõ szárú háromszögek fölé rjzolt négyzetek területösszege szályos háromszög esetén lesz legkise, és ekkor területösszeg 800 cm 0 m kerületû tégllpok közül milyen oldlhosszúságúnk lesz területe mimális? tégllp kerülete K ^+ h 0, és területe T, + Hsználjuk fel két pozitív szám számtni és mértni közepe közötti összefüggést + $ 8

81 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK I Emeljünk négyzetre Mivel mindkét oldl pozitív, négyzetre emelés ekvivlens átlkítás + l $ T l $ zt kptuk, hogy terület -nál nem ngyo, legngyo értéke, Ez l 906 l kkor teljesül, h, zz tégllp négyzet, oldlhosszúság, m 9 E Tégllp lkú telket vásárolunk telek ngyság 800 m Hogyn válsszuk meg telek méreteit, h elsõdleges szempont, hogy ekerítésnél lehetõ legkevese kerítést kelljen építeni? tégllp területe T 800 Hsználjuk fel két pozitív szám számtni és mértni közepe közötti összefüggést + $ + + $ ; ; 800 ; + $ 0 ; ^+ h$ 80 kerület értéke 80 -nél nem kise Legkise értéke 80, ez kkor teljesül, h 0, zz kerület kkor minimális, h tégllp négyzet, oldli 0 8, 8 m hoszszúk NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK I Oldjuk meg grfikusn és lgeri úton is z egyenleteket! K ) - y lgeri úton: Kikötések: $ 0, gyök ltt nem állht negtív szám, - $ 0, zz # 0, mert egy szám négyzetgyöke nemnegtív z értelmezési trtomány egyetlen eleme 0, ez kielégíti z egyenletet 0 M(0;0) K ) - y lgeri úton: Kikötés: - $ 0 $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - ; 0 7 M(7;) 8

82 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK - ; 7 Ellenõrzés: 7- E c) y M 0 grfikus megoldásól nnyi derül ki, hogy feldtnk egy megoldás vn pontos értéket nem lehet megállpítni lgeri úton: Kikötés: $-, illetve - + $ 0 - # # 0, összegezve: - # # 0 Ezen z lphlmzon ^+ h+ - Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ; + ^- h ; 0 --!, feltételeket csk z -, elégíti ki K Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) - 8 Kikötés: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - 8; - 6; 6, megfelel meg kikötéseknek ) - Kikötés: # Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - ; - ;, eleme z lphlmznk 86

83 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK I c) Nincs megoldás vlós számok hlmzán, mert vlós szám négyzetgyöke nem lehet negtív d) Kikötés: + 7 $ 0 7 $- Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: + 7 ; ; 00 6,, megfelel kikötéseknek e) ] -g] - g 0 Kikötés: ^-h^-h$ 0 teljesül, h tényezõk zonos elõjelûek: # vgy $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ^-h^- h 0;, h, vgy ^-h^- h 0 (Rövide megoldás: egy szám négyzetgyöke 0, h mg szám is 0, eõl rögtön következik: ^-h^- h 0) f) Kikötések: - 0+ $ 0, minden vlós esetén igz, mivel - 0+ ^- h jo oldl mitt: - $ 0, zz $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ; - ^- h Ez csk kkor teljesülhet, h $ K Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! Megjegyzés: grfikus megoldássl is vizsgálhtjuk z egyenleteket ) - -0 Kikötések: #, és $ 0 Nincs olyn vlós szám, mely megfelel kikötéseknek, tehát z egyenletnek nincs megoldás y

84 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ) - + y 0 Kikötések: $, és $-, összegezve: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - + ; ; Mivel diszkrimináns negtív, ezért z egyenletnek nincs vlós megoldás c) y Kikötések: # és, összevetve: $-0-0 # # Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - + 0; ; ;,! 08, csk z 08 + felel meg kikötéseknek 0 0 d) Kikötések: $ és, összevetve: $ $- Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - + ; ; - 0; ^- h 0 0,, csk z felel meg kikötéseknek y 0

85 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK I e) + + ] - g Kikötések: $- és $, összevetve: $ + ; ^ - h + + ; Mivel diszkrimináns negtív, ezért z egyenletnek nincs vlós megoldás y 0 ( ) K Létezik-e rcionális szám megoldás z egyenleteknek? ) Kikötés: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ; ;, rcionális szám, megfelel meg kikötéseknek ) Kikötések + - $ 0, h #-, vgy $, illetve $- Összevetve: -, vgy $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ; ; - rcionális szám, megfelel meg kikötéseknek c) + - Kikötések: + - $ 0, zz $ és $ 0, összevetve: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: + - ; - ; - Mivel nem felel meg kikötéseknek, ezért nincs megoldás vlós számok hlmzán 89

86 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK d) ] - g+ + + Kikötések: ^- h+ $ 0, zz #, vgy $ + + $ 0, minden vlós számr igz Összevetve: #, vgy $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ^- h+ + + ; ; 7 0;, 7! nem rcionális számok, tehát nincs megoldás z lphlmzon Emelt szint NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK II E Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) - + Kikötés: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - + ; ^- h ; ^ - h Új kikötés négyzetre emelés elõtt:, zz $ 0 # Összevetve már meglevõ kikötéssel: # # 8, Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: 6 6 ^ - h ; 00 ; 9 9 kpott gyökök közül csk felel meg kikötéseknek 9 ) Kikötések: 9 és, összevetve: 9 $- # # # Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ^+ 9h^- h ; ^+ 9h^- h - Új kikötés négyzetre emelés elõtt: #, nem efolyásolj z eddigi lphlmzt ^+ 9h^ - h - + ; 0; 0, mindkét gyök megfelel meg kikötéseknek 9 90

87 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK II c) Rendezéssel kezdjük, hogy ne különség legyen z egyik oldlon: Kikötés: 9 $- és $, összevetve: $ ; Új kikötés négyzetre emelés elõtt: $ Összevetve z eredeti kikötéssel: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ^ - h; 0 ; 0 9 sk z 0 felel meg kikötéseknek d) Rendezéssel kezdjük, hogy ne különség legyen z egyik oldlon: Kikötések: $-7 és 6 $-, összevetve: 6 $ ; + 6 Új kikötés négyzetre emelés elõtt: $ 0, összevetve z elõzõvel: $ 0 Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: gyökök közül, csk z felel meg kikötéseknek E Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) + + Kikötés: $-, illetve + + $ ; + 9- Új kikötés négyzetre emelés elõtt: # ; 6; z 6 nem felel meg z összevont kikötésnek, még ellenõriznünk kell, hogy esetén teljesül-e: + + $ 0 + $ + 9 $ 0, tehát z egyenlet egyetlen megoldás: 9

88 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ) - + z elõzõ feldt megoldásmenetét lklmzv ( 0 hmis gyök) z egyetlen megoldás: E Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) Kikötések: $,,, összegezve: Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: $- $- $ ^- h^+ h 0+ 6; ^- h^+ h + Új kikötés négyzetre emelés elõtt: $-, nem efolyásolj z eddigi lphlmzt sk z felel meg kikötéseknek ) Rendezéssel kezdjük, hogy ne különség legyen z egyik oldlon: Kikötések: $,,, összevetve: $- $ $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ^+ h^- h; 0 ^+ h^- h - (hmis gyök), megfelel meg kikötéseknek E Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) Kikötés: + $ 0, zz #-, vgy $ 0 Vezessünk e új ismeretlent: + y, hol y $ 0 Ekkor: y + y- 0; y!, -, y $ 0 mitt csk z y felel meg - + Visszhelyettesítve: + - +, négyzetre emelve, mjd rendezve: ;!, -, mindkét gyök megfelel feltételeknek - 9

89 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK II ) Kikötés: $ 0 7, tehát minden vlós szám esetén teljesül feltétel l + 7 Vezessünk e új ismeretlent: y, hol y $ 0 Ekkor y y feltételnek z y - + felel meg Visszhelyettesítve: ; ;! 6, - z egyenlet két megoldás, mivel ekvivlens átlkításokt hjtottunk - végre K Oldjuk meg z egyenleteket vlós számok hlmzán! ) ] - g , hol teljesül 8- $ 0, # feltétel Ekkor - -, tehát - 8- Ez vlón kielégíti z egyenletet ) ] + g] -g ^+ h^- h - 9 Kikötés: $ 9 mitt #-, vgy $ Legyen ^+ h^- h y, ekkor y y y 0, vgy y H y 0: ^+ h^- h 0, kkor,!, megfelelnek feltételeknek H y : ^+ h^- h, kkor, megfelelnek feltételeknek 0,! c) Kikötés: $ Vegyük észre gyök ltti teljes négyzetet: ^ - + h eset - +, h, ez megfelel feltételnek eset , mi ellentmondás 9

90 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK Emelt szint NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLÕTLENSÉGEK E Oldjuk meg z egyenlõtlenségeket grfikusn, mjd lgeri úton is vlós számok hlmzán! ) - 7 $ 0 Grfikus megoldássl: Kikötés:, zz 7-7 $ 0 $ Ezen z lphlmzon zonos egyenlõtlenség, tehát megoldás: $ 7 y ) - # 0 Grfikus megoldássl: Kikötés: $ Egy megoldás vn:, mert egy szám négyzetgyöke nemnegtív y 0 c) - $ Kikötés: # Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: - $ ; # Összevetve kikötéssel, megoldásunk # d) $ - Grfikus megoldássl: Kikötés: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: 6 $ -; # 7 Összevetve kikötéssel, megoldásunk # # 7 y 0 7 9

91 NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLÕTLENSÉGEK E Oldjuk meg z egyenlõtlenségeket vlós számok hlmzán! Válszthtunk grfikus megoldást is ) - Kikötés: $ 0 : 0 Grfikus megoldássl: y 0 ) - # Kikötés: # 0 : 0 Grfikus megoldássl: y 0 c) -9 $ - Kikötés: $ 9, ekkor jo oldl pozitív Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: -9 $ - 0+ ; 0 $ - + Mivel jo oldl diszkrimináns negtív, így minden -re - + pozitív Tehát nincs megoldás vlós számok hlmzán d) ] -g # 6- Kikötés: $ Mivel l oldl értéke nemnegtív, jo oldl értéke nem kise ennél, ezért 6, zz - $ 0 # Nincs megoldás vlós számok hlmzán E Oldjuk meg z egyenlõtlenségeket vlós számok hlmzán! ) - # + Kikötés: $,, összevetve: $ Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens $- átlkítás, ezért: - # + ; 9

92 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK # Összevetve kikötéssel, megoldás # # ) 8- $ + 8 Kikötés: # 8, $-, összevetve: - # # 8 Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: 8- $ + 8; # 0 Összevetve kikötéssel, megoldás: - # # 0 c) Kikötés: #-, vgy $-, illetve jo oldlon levõ kifejezés mitt: $- Összevetve kikötéseket: $- Ezen z lphlmzon négyzetre emelés ekvivlens átlkítás, ezért: ; - Összevetve kikötéssel, nincs megoldás vlós számok hlmzán E Oldjuk meg z egyenlõtlenséget vlós számok hlmzán! - $ 0 - Kikötés: 0 # #,! Mivel számláló nemnegtív, ezért nevezõnek pozitívnk kell lennie: - 0; Összevetve kikötéssel, megoldás: 0 # # E Oldjuk meg -re z egyenlõtlenségeket vlós számok hlmzán, hol p vlós prméter! ) ^p+ h - Kikötés: # Vizsgáljuk ^p + h elõjele szerint z egyenlõtlenséget H p -, kkor # esetén teljesül z egyenlõtlenség H p -, kkor szintén # esetén teljesül z egyenlõtlenség H p -, kkor négyzetre emelés ekvivlens átlkítás: ^p+ h ^- h; - ^p + h # ) p- p Kikötés: # Vizsgáljuk p elõjele szerint z egyenlõtlenséget 96

93 MGS FOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS (OLVSMÁNY) H p 0, kkor --õl - $ 0, és! 0 mitt 0 p H p 0, kkor # 0 p H p 0 és # 0, kkor minden # esetén igz z egyenlõtlenség p H p 0 és $ 0, kkor négyzetre emelés ekvivlens átlkítás: + - p 0; -- + p p, összevetve kezdeti feltétellel: p MGSFOKÚ EGYENLETEK MEGOLDÁS (OLVSMÁNY) Emelt szint E E rdno-formul olyn hrmdfokú egyenletek esetén lklmzhtó, melyeken hiányzik másodfokú tg H tehát egy hrmdfokú egyenlet nem hiányos, kkor megfelelõ átlkításokkl formul hsznált elõtt ki kell küszöölni másodfokú tgot Ez lpján oldjuk meg egyenletet! fõegyütthtót eltüntethetjük, h -vel osztunk: +, + 0 Ezután megpróálunk teljes köé lkítni z ( + ) zonosság lpján: +, lklmzzuk l l + + l- z + helyettesítést, ekkor megoldndó egyenlet z z lkú rdno-képletõl p és q értékekkel gyökre - z,, l + l + - l l Visszhelyettesítéssel meggyõzõdhetünk rról, hogy z vlón megoldás: Ezután szorzttá lkítunk: z z z z z második tényezõ diszkrimináns negtív, így egyetlen megoldás vn: z, zz + - ^ - h + + l Oldjuk meg z lái mgs fokú egyenleteket! 6 ) ; ) ; c) ; d) ; e) ; f)

94 III MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK ok ) Szorozzunk 8-cl és lkítsuk át z egyenletet: Észrevehetjük, hogy megoldás, s ekkor is z Tö gyök pedig nem lehet, mert z egyenlet l oldl > 0 esetén szigorún monoton nõ, míg jo oldl konstns Egy másik lehetséges eljárás z y helyettesítés z így kpott hrmdfokú egyenletnek y-n egy gyöke vn, lklmzhtjuk rdno-képletet ) megoldás Szorzttá lkítunk: ( + )( + + 7) Nincs tö megoldás, mert ( + ) + 6 > 0 (z utói lépés helyett y helyettesítéssel könnyen megoldhtó másodfokú egyenletet kpunk) c) Észrevehetjük, hogy megoldás, ezért kiemeljük z gyöktényezõt: - + l második tényezõ zérushelyét megkereshetjük például rdno-képlettel, eredmény: l l d) Teljes köé lkítássl próálkozunk: ( + ) +, s innen ( + ) megoldás - - e) teljes negyedik htványól indulunk ki: ( + ) Így ( + ), +!, -! f) z egyenletet átlkítjuk: l oldl lk írhtó, honnn z y helyettesítés után y + y - ^ - h + ^ - h- rdno képletét lklmzv y 0, dódik, honnn 8 8 0, 6 7 ÚJ STTISZTIKI JELLEMZÕK K Htározzuk meg következõ számsokságr vontkozó középértékeket és szórási mérõszámokt! ) 90, 8, 60, 7, 8,, 8, 6, 6,, 9; ) 7, 69, 7,, 86, 60, 6, 6, 6, 9, 7; c), 6, 6, 9, 8, 68, 8, 9, 8, 6, 6 ) ) c) átlg 6,8 6,6,8 medián módus 7 szórásnégyzet 996,76 7, 89,96 szórás,7 0,67 9,90 átlgos eltérés 6,,79,9 dr E Htározzuk meg mediántól vló átlgos szolút eltérést, szórásnégyzetet és szórást következõ gykorisági eloszlások esetén! ) dt Gykoriság

95 6 7 ÚJ STTISZTIKI JELLEMZÕK átlg 9, medián 0 módus 8 szórásnégyzet, szórás,08 ) dt Gykoriság átlg,9 medián 9 módus szórásnégyzet, szórás,08 c) dt Gykoriság átlg, medián 6 módus 0 szórásnégyzet 7,6 szórás 6, K Készítsünk listát osztályunk tnulóink cipõméretérõl! list lpján számítsuk ki megismert középértékeket és szóródási mérõszámokt! z olvsór ízzuk 99

96

97 IV HSONLÓSÁG 8 9 KÖZÉPPONTOS NGYÍTÁS ÉS KISINYÍTÉS, KÖZÉPPONTOS HSONLÓSÁGI TRNSZFORMÁIÓ K K Rjzoljunk egy háromszöget és egy kkor szkszt, mekkorár háromszöget ngyítni krjuk! Legyen hsonlóság középpontj ) z egyik csúcs; ) z egyik oldl elsõ pontj; c) háromszög elsõ pontj! z olvsór ízzuk z árán megdtuk izonyos szkszok hosszát z e és d egyenesek párhuzmosk Töltsük ki tálázt üres mezõit! e E d E 8,, E 9,6 7 D D E D 6,6, 6 6, K dott egy, egy és egy egységnyi hosszúságú szksz Szerkesszük meg z z hosszúságú szkszokt!, z, z és Vegyünk fel egy hegyesszöget, melynek csúcs O, szári e és f félegyenesek Legyen e, zz O-tól mérjünk z e szárr egységnyi, z f szárr egy hosszúságú szkszt, mjd folyttásán újr Q S egy egységnyi szkszt Végpontj R Kössük össze z hosszúságú szksz O-tól különözõ végpontját (P) másik szárr mért egységszksz O-tól különözõ végpontjávl (Q) Húzzunk párhuzmost PQ-vl z R ponton keresztül, ennek e-vel vló metszéspontj legyen S keresett szksz QS szksz Hsonlón átírhtó ránnyá töi szerkesztendõ szksz is : (y ; z ; u ) y ; ; z rány jo oldlán nevezõen álló szkszt mérjük z f z u szárr, folyttásán számlálón álló szkszt, míg l oldl nevezõen álló szksz z e szárr kerül, és nnk végpontjától z elõzõeken leírtk szerint szerkesztett párhuzmos e-vel vló metszéspontjáig trt keresett szksz O P R f 0

98 IV HSONLÓSÁG K Szerkesszünk egyenlõ szárú háromszöget, h z lpj 6 cm és z lp és szár rány ) : ; Itt szár 8 cm, tehát három oldl ismeretéen háromszög megszerkeszthetõ ) : Itt szár cm, tehát háromszög-egyenlõtlenség mitt háromszög nem szerkeszthetõ K P z y Q z y dott egy tégllp és egy háromszög Jelöljük ki tégllp egyik csúcspontját, kerületén pedig tûzzünk ki még két pontot úgy, hogy kerület három drjánk rány megegyezzék háromszög oldlink rányávl! y z és y z y z ( ) Q P Mérjük egymás mögé egy szög egyik szárár háromszög oldlit, mjd másik szárr tégllp kerületét Kössük össze háromszög kerületének végpontját tégllp kerületének végpontjávl Ezzel párhuzmosokt húzv háromszög másik két oldlánk végpontján át tégllp kerületét kívánt rányn osztottuk fel Ezeket szkszokt kell tégllp egyik csúcsáól z oldlkr visszmásolni y z 0 SZERKESZTÉSEK KÖZÉPPONTOS HSONLÓSÁG LKLMZÁSÁVL K Kicsinyítsünk egy kört egy tetszõleges elsõ pontjáól z olvsór ízzuk -ár! K dott két kör úgy, hogy z egyik trtlmzz másikt Szerkesszük meg hsonlósági pontjikt! Rjzoljunk z egyik köre egy ( centrálisr nem illeszkedõ ) sugrt, másik köre egy vele párhuzmos átmérõt Húzzuk meg centrálist ( két kör középpontját összekötõ egyenest) Kössük össze sugár köri pontját z átmérõ végpontjivl, és hol ezek z egyenesek metszik centrális egyenesét, ott vnnk keresett pontok 0

99 0 SZERKESZTÉSEK KÖZÉPPONTOS HSONLÓSÁG LKLMZÁSÁVL K K K 6 K dott két kör, melyek középpontjink távolság 0 cm ) z egyik kör sugr cm, másiké cm ) z egyik kör sugr cm, másiké 7 cm c) z egyik kör sugr cm, másiké 7 cm Szerkesszük meg hsonlósági pontjikt! Számítsuk is ki, milyen messze vnnk kise sugrú kör középpontjától! szerkesztés megegyezik z elõzõ feldtn leírtkkl elsõ hsonlósági pont meghtározás: Jelölje keresett távolságot hsonló háromszögek mitt, rendezve külsõ hsonlósági pont meghtározás: Jelölje y keresett távolságot, rendezve y y0 + y 0 második feldtnál elsõ hsonlósági pont z érintési pont ( ); y 7, hrmdik eseten és y 6 Szerkesszünk háromszöget, h dott két szöge és hrmdik oldlhoz trtozó súlyvonl hossz! Szerkesszünk háromszöget, melynek két szöge keresett háromszög két megdott szögével egyenlõ Ez háromszög keresett háromszöghöz hsonló lesz, és hsonlóság rány megdott súlyvonl és szerkesztett háromszög megfelelõ súlyvonlánk rány Ngyítsuk (kicsinyítsük) z dott rányn háromszöget Szerkesszünk négyzetet, h dott z egyik csúcsot szemközti oldl felezõpontjávl összekötõ szksz hossz! Szerkesszünk egy tetszõleges négyzetet, és rjzoljuk ele een négyzeten z egyik csúcsot szemközti oldl felezõ pontjávl összekötõ szkszt Mivel minden négyzet hsonló, ezért csúcstól felmérve megdott szkszt, megkpjuk hsonlóság rányát, mellyel mi négyzetünket ngyítni (kicsinyíteni) kell dott egy konve körcikk Szerkesszünk ) kört, mely érinti körcikket htároló sugrkt és z ívet is; ) négyzetet, melynek két csúcs z íven vn, másik kettõ pedig egy-egy htároló sugáron! Szerkesszünk meg elõször körcikk szimmetritengelyét ) körcikk és tengely metszéspontjá érintõt húzv olyn egyenlõ szárú háromszöget kpunk sugár félegyenesekkel, melynek eírt köre z elsõ feldtnk megfelel ) Most szerkesszünk olyn négyzetet, melynek oldli szimmetritengelyre merõlegesek, illetve párhuzmosk, középponthoz közelei két csúcs pedig sugrkr illeszkedik Ez középpontosn hsonló keresett négyzethez, hsonlóság középpontj körcikk középpontj középpontot négyzet másik két csúcsávl összekötõ félegyenesek ezért kimetszi keresett négyzet két csúcsát, honnn másik két csúcs szerkeszthetõ 0

100 IV HSONLÓSÁG HSONLÓSÁGI TRNSZFORMÁIÓ FOGLM K K E K Egy háromszög oldli ; 7 és 0 cm hosszúk Egy hozzá hsonló háromszög kerülete 80 cm Mekkorák z oldli? mi háromszögünk kerülete 0 cm Ez zt jelenti, hogy hsonló háromszög megdottnk 8 -szörös ngyítás hsonló háromszög oldli ezért 0,8 cm, 7, cm és cm dott tégllpól vágjunk le egy egyenessel olyn tégllpot, mely hsonló z eredetihez! feldt szerint h tégllp hossz oldl, rövide pedig zt z hosszú szkszt kell megszerkeszteni, mire z csúcsól induló oldlr -tól indulv mérjük rá -t Húzzunk végpontján át párhuzmost z -vl szemközti átlóvl, ez kimetszi oldlól zt z szkszt, mi tégllp rö- vide oldl lesz Ezt z szkszt mérjük fel -ól z oldlr, ezen ponton kell -r merõlegest húzni lemetszett tégllp hsonló z eredetihez Megjegyzés: H tégllp négyzet, kkor nincs megoldás izonyítsuk e, hogy trpéz átlói z lpok rányán osztják egymást! z D trpéz lpji és D, átlói és D, z átlók metszéspontj M z M háromszög hsonló DM háromszöghöz (csúcsszögek és M MD, mert egyállásúk), ezért z lpok rány megegyezik hsonlóság rányávl, tehát z átlók osztásrányávl is Egy trpéz lpji cm és cm hosszúk Osszuk két szárt 7-7 egyenlõ részre, és kössük össze hossz lptól számított hrmdik osztópontokt! Milyen hosszú z összekötõ szksz? D trpéz lpji cm és D cm, egyik átlój hossz lptól számított hrmdik osztópontokt összekötõ, z lpokkl párhuzmos szksz szárkon levõ pontji E és F, z átlóvl vló metszéspontj P z EP háromszög hsonló z D háromszöghöz, ezért EP Hsonlón PF háromszög hsonló háromszöghöz, így PF Tehát EF 7 $ cm 7 $ K Egy tégllp egyik csúcsát kössük össze szemközti oldl felezõpontjávl, és húzzuk meg csúccsl szemközti átlót! Milyen rányn osztják ezek egymást? Legyen z D oldl felezõ pontj E, és ezt kössük össze z ponttl Húzzuk meg D átlót Nézzük z ED trpézt Itt z lpok rány, ezért péld lpján hrmdolják egymást szkszok DE 6 K z D négyszög oldlit - egyenlõ részre osztottuk D-hez legközelei osztópontokt kössük össze szemközti oldlk - tõl számított hrmdik osztópontjávl! Milyen rányn osztják egymást szkszok? D D-hez közeli osztópontok z D oldlon legyen E és D oldlon F; -tõl számított hrmdik osztópont oldlon le- 0

101 DERÉKSZÖGÛ HÁROMSZÖGEKRE VONTKOZÓ TÉTELEK gyen pedig G és másik legyen H Húzzuk e z átlót mivel DEF, és HG +, m Eõl következik, hogy EFGH trpéz, mert EF HG, és z lpok rány 9+ D9 m l 9 9 l EF GH trpéz átlói z lpok rányán osztják egymást, ezért EG FH E D F G H DERÉKSZÖGÛ HÁROMSZÖGEKRE VONTKOZÓ TÉTELEK K dott egy szksz és z egységszksz Szerkesszünk hosszú szkszt! Húzzunk Thlész kört z (+) hosszúságú szksz mint átmérõ fölé Állítsunk merõlegest z : rányú osztópontn z átmérõre z átmérõ és Thlész kör metszéspontj közti szksz mgsságtétel szerint hosszúságú K K E Egy derékszögû háromszög egyik efogój méter, ennek merõleges vetülete z átfogón méter Mekkor z átfogó és másik efogó? efogó, merõleges vetület és derékszögû háromszög mgsság áltl lkotott derékszögû háromszögõl z átfogóhoz trtozó mgsság hossz cm Innen mgsságtétel szerint z átfogó másik szelete kiszámíthtó: 6 Eõl következik, hogy z átfogó c 6 ; és másik efogó efogótételõl 6 $, honnn 6 $ + ^ + h 9 0 Mekkorák derékszögû háromszög oldli, h z átfogóhoz trtozó mgsság z átfogót egy cm-es és egy cm-es drr osztj? lklmzzuk mindkét efogór efogótételt (z átfogó 7 cm) Eõl z egyik efogó 7 $ 8, másik pedig 7 $ 0 dott területû tégllpok között melyiknek kerülete legkise? tégllp területe T, hol és tégllp két oldlánk hosszát jelöli kerülete K (+), így számtni és mértni közép közti egyenlõtlenséget felírv: # +, miõl T # K Egyenlõség kkor és csk kkor áll fenn, h, vgyis h tégllp négyzet 0

102 IV HSONLÓSÁG E 6 E Egy kör h hosszúságú húrj rá merõleges átmérõt egy p és egy q hosszúságú részre ontj izonyítsuk e, hogy h pq! z átmérõ felezi rá merõleges húrt húr végpontjit z átmérõ végpontjivl összekötve derékszögû háromszögek keletkeznek (Thlész kör) mgsságtétel szerint h pq Derékszögû háromszöge z átfogór állított négyzetet írunk izonyítsuk e, hogy z átfogón keletkezett három szelet közül középsõ két szélsõ mértni közepe! Toljuk z átfogóvl párhuzmosn z egyik kis háromszöget másik mellé (Ez középsõ szksszl vló eltolást jelent) z állítás éppen megfelel mgsságtételnek, mivel négyzet oldli egyenlõk 6 SZÖGFELEZÕTÉTEL K Egy háromszög oldlink hossz 8 cm, 9 cm, c 0 cm Mekkor részekre osztj csúcsól induló szögfelezõ oldlt? 9 szögfelezõ szemközti oldlt közrefogó oldlk rányán osztj Ezért 9 -, honnn, és c K izonyítsuk e, hogy h z -ól induló külsõ szögfelezõ D-en metszi oldlt, kkor D! D P D hhoz, hogy -õl szögfelezõ messe szemközti oldlt z kell, hogy háromszög ne legyen egyenlõ szárú, zz Feltehetjük, hogy háromszögen > Legyen külsõ szögfelezõ metszéspontj D z egyenesen Mérjük fel -õl felé oldlr z oldlt végpontot jelölje P P háromszög egyenlõ szárú, tehát -õl induló szögfelezõ merõleges P oldlr Tnultuk, hogy elsõ és külsõ szögfelezõ is merõleges egymásr, tehát P D, ezért P 9 ~ D 9 Felírhtjuk tehát, hogy D D Innen D - - D D - - D D D 06

103 6 SZÖGFELEZÕTÉTEL E z háromszög oldlánk felezõpontján át húzzunk -eli szögfelezõvel párhuzmost! z ár jelöléseit hsználv izonyítsuk e, hogy P Q! Q P R Jelölje szögfelezõ metszéspontját z oldlon R Mivel P 9 ~ R 9 ( középpontú hsonlóság) és Q 9 ~ R 9 ( középpontú hsonlóság), ezért felírhtó z oldlk rányár, hogy és R Q Q R R P P R szögfelezõ tétel mitt és, mert felezõ R R pont, tehát P Q Q P R E z háromszög oldlánk felezõpontját összekötjük szemközti csúccsl kpott két háromszögen -õl induló szögfelezõk háromszög oldlát E-en, oldlát D-en metszik izonyítsuk e, hogy DE párhuzmos -vel! (Lásd z árát!) E D Mivel, ezért háromszög mindkét oldlát -õl s induló szögfelezõk szögfelezõ tétel mitt Így tehát 0, c c ED 9 ~ 9, mivel két oldl rány és köze zárt szög megegyezik ( középpontú középpontos hsonlóság) Eõl viszont következik, hogy ED E Egy háromszög két oldl és, közezárt c szög szögfelezõje f Tudjuk, hogy c 0 izonyítsuk e, hogy! f + Mérjük fel oldl -n túli meghosszításár z oldlt, végpontj legyen D D háromszög egyenlõ oldlú, mert D, és szárszöge Jelöljük E-vel -õl induló szögfelezõ és z oldl metszéspontját z E háromszög hsonló z D háromszöghöz, mert közös szög és mindkettõen vn 60 -os szög Felírhtjuk megfelelõ oldlk rányát:, honnn átrendezéssel dódik z állítás f + 0 f D 07

104 IV HSONLÓSÁG 7 8 HSONLÓ SÍKIDOMOK TERÜLETÉNEK RÁNY; HSONLÓ TESTEK TÉRFOGTÁNK RÁNY K K K K Hogyn változttj meg síkidomok területét ) m ; ) m ; c) rányú hsonlósági trnszformáció? síkidomok területe ) kilencszeresére növekszik; ) negyedére csökken; c) 9 -szorosár csökken 6 Hogyn változttj meg testek térfogtát ) m ; ) m ; c) m ; d) rányú hsonlósági trnszformáció? testek térfogt ) 8-szorosár nõ ) 7-szeresére növekszik; c) nyolcdár csökken; d) 7 -szorosár csökken Egy háromszög minden oldlát osszuk részre! z áránk megfelelõ vonlkázott háromszög területe mekkor része z eredetinek? három levágott háromszög mind egyevágó és z eredetihez hsonló hsonlóság rány, ezért egy kis háromszögnek területe z eredeti háromszög területének -szerese vonlkázott rész területe tehát z eredetinek z $ - része Osszuk fel egy kör területét vele koncentrikus körrel két egyenlõ részre! m m hhoz, hogy vele koncentrikus kör területe z eredetinek fele legyen, sugr z eredetinek része, zz -szerese kell legyen Ekkor például z r sugrú négyzet köré írt kör sugr -ed K 08 Egy trpéz lpji cm és cm Hányszoros kiegészítõ háromszög területe trpéz területének? kiegészítõ háromszög hsonló trpéz és kiegészítõ háromszög áltl együtt lkotott háromszöghöz tkieg hsz Ezért felírhtjuk, hogy Innen egyenletrendezéssel kiegészítõ háromszög területe trpéz területének -e t t kieg hsz + l trpéz 9

105 HÁROMSZÖG TERÜLETE ÉS HÁROMSZÖG OLDLIT ÉRINTÕ KÖRÖK 6 K Rjzoljuk meg egy háromszög súlyvonlit! z oldlk felezõpontjiól húzzunk párhuzmost z egyik súlyvonlll másik súlyvonlig! ) Mekkor része vonlkázott háromszög területe z eredetinek? ) Mekkor része súlyvonlkól szerkesztett háromszög területe z eredetinek? D S ) Tnultuk, hogy súlyvonlt csúcsokkl összekötve három egyenlõ területû részre ontjuk háromszöget Eõl következik, hogy mivel z S háromszögen S súlyvonl z S háromszög területe htod z háromszög területének Legyen D z S szksz felezõ pontj D súlyvonl z D háromszögen, ezért z SD háromszög területe fele z S háromszög területének Eõl következik, hogy z SD háromszög területe tizenkettede z háromszög területének ) Mivel z SD háromszög oldlink hossz hrmd súlyvonlkól szerkesztett háromszög oldlink, ezért hsonló hozzá, és hsonlóság rány m Tehát z SD háromszög területe m -e z háromszög területének Mivel mindkétszer z SD háromszög 9 területét fejeztük ki, ezért súlyvonlkól lkotott háromszög területének kilencede egyenlõ z eredeti háromszög területének tizenkettedével Így súlyvonlkól szerkesztett háromszög területe z eredetinek 9 része HÁROMSZÖG TERÜLETE ÉS HÁROMSZÖG OLDLIT ÉRINTÕ KÖRÖK (OLVSMÁNY) E Jelölje r z háromszög eírt körének sugrát (z árán r O O Q ) Igzoljuk, hogy ármely háromszögen teljesül z r t összefüggés! s z O, O, O szkszok ehúzásávl z háromszöget három részháromszögre ontjuk fel (O eírt kör középpontj) részháromszögek területösszege z eredeti háromszög területével egyenlõ: t t O + t O + t O z érintési pont húzott sugár merõleges z érintõre, ezért O r z O O háromszög oldlához trtozó mgsság z O háromszög területe t $ O c$ r O másik két részháromszögre is felírhtjuk szimmetrikus kifejezéseket, ezért t c$ r $ r $ r r c r s H z + + $ + + l $ háromszög területét t-vel jelöljük, kkor keresett összefüggés: r t s Vgyis h háromszög területét kifejezzük z oldlk segítségével, kkor eírt kör sugr is megdhtó z oldlkkl 09

106 IV HSONLÓSÁG E Jelölje r z háromszög oldlához írt körének sugrát (z árán r Q Q Q ) Igzoljuk, hogy ármely háromszögen teljesül z r t összefüggés! s - z elõzõ feldt megoldási módszerét követjük z Q, Q, Q szkszok ehúzásávl z Q, Q és Q háromszögeket r kpjuk (Q oldlhoz írt kör középpontj, melynek su- gr r ) z háromszög területe t t Q + t Q t Q megfelelõ háromszögeken Q r Q, Q és Q mgsságok, hosszuk egyenlõ: r (Mindegyik hozzáírt kör sugr) Ez lpján r c$ r $ r $ r t r c r s r s + - $ + - l $ - l $ ^ - h H z háromszög területét t-vel jelöljük, kkor keresett összefüggés: r t s - etûzési szimmetri mitt természetesen háromszög és c oldlihoz írt körök sugr r t, s - illetve r t c s - c Vgyis h háromszög területét kifejezzük z oldlk segítségével, kkor hozzáírt kör sugr is megdhtó z oldlkkl E r K E háromszög területét megdhtjuk z oldli segítségével Próáljuk igzolni nevezetes Héron-képletet, mely szerint ármely háromszög területe felírhtó t s] s-g] s-g] s-cg lkn! (Útmuttás: Elõször mutssuk meg, hogy z O és Q, vlmint O és Q háromszögek hsonlók Ezután írjuk fel megfelelõ oldlk megegyezõ rányit nevezetes körök sugrivl; végül hsználjuk fel z feldt eredményét) G z háromszög K középpontú eírt köre z,, oldlkt F rendre z E, F, G pontokn érinti; hsonlón K középpontú, oldlhoz hozzáírt kör megfelelõ oldlkkl vett érintési pontjit jelöljük G K E, F, G -vel (Emlékeztetõ: K és K középpontok megfelelõ elsõ vgy F r külsõ szögfelezõk metszéspontji) z KE és K E háromszögek hsonlók, mert szögeik egyenlõek E megfelelõ oldlk rány megegyezik: KE l l KE Vezessük e E l E K E r, KE r jelöléseket; két továi szkszt pedig már kifejeztük háromszög oldlink segítségével: E s, és E s r Így z () egyenlethez jutottunk s r s - Egy másik összefüggést nyerünk, h K E és EK háromszögek hsonlóságát igzoljuk KE és K E merõleges szárú hegyesszögek, így egyenlõk K E és EK háromszögek vlón hsonlók, mert szögeik egyenlõk megfelelõ oldlk rányát felírv E l EK, innen () s - c r EK l l E r s - () és () megfelelõ oldlit összeszorozv s- c r ; kifejezést átlkítv s ^ s - h^ s - h r s s(s )(s )(s c) z feldtn kpott t rs összefüggést felhsználv kpjuk nevezetes területképletet: t s(s )(s )(s c) tétel ismerte lkj következõ: Tétel ármely háromszög területe felírhtó t s^s-h^s-h^s-ch lkn, hol,, c háromszög oldli, s pedig félkerülete 0

107 8 9 KÖZÉPPONTOS NGYÍTÁS ÉS KISINYÍTÉS, KÖZÉPPONTOS Megjegyzés Mit is kptunk? háromszög három oldláól kiszámíthtjuk területét; terület ismeretéen pedig már meghtározhtók eírt és z oldlkhoz hozzáírt körök sugri teljesség kedvéért, izonyítás nélkül közöljük háromszög köré írt körére vontkozó formulát, mellyel körülírt kör R sugr is kiszámíthtó: R c t E Egy konkrét feldt: Legyen háromszög három oldl 0 cm, cm és c 6 cm Számoljuk ki háromszög nevezetes köreinek sugrát! háromszög félkerülete s c (cm); területe t s^s-h^s-h^s- ch 0 $ 0 $ 6 $ 00 0 (cm ) nevezetes kö - rök sugri: r t 0 (cm) eírt kör sugr; s 0 r t 0 (cm) z oldlhoz írt kör sugr; s r t 0 (cm) oldlhoz írt kör sugr; s r t 0 c (cm) c oldlhoz írt kör sugr; végül s - c 0 R c 0 $ $ 6 (cm) háromszög köré írt kör sugr t $ 0 Megjegyzés körülírt kör sugr fele c oldlnk, így háromszög derékszögû (Thlész-tétel) Ezért kptunk szép egész számokt eredményül H számdtokól hmr észrevesszük, hogy + c, kkor gyorsn célhoz érünk

108

109 V VEKTOROKRÓL 9 VEKTOR SZORZÁS SZÁMML K dott vektorhoz szerkesszük meg,,,, - 7 -, vektorokt! 7 K dott és vektorokhoz szerkesszük meg ) ) ; ) + ; c) ; ] - g d) - vektorokt! + ] - g (ár) ) c) d)

110 V VEKTOROK K Legyenek ; ; ; D és E tetszõleges pontok Milyen m-r igz, hogy + + D m_ DE + Ei? + + D D ^- h$ D ; m_ DE + Ei md ; Tehát m - 0 EGYÉRTELMÛ VEKTORFELONTÁSI TÉTEL K Egy csónkot két kötéllel, egyenlõ erõvel húzunk kötelek egymássl 60 -os szöget zárnk e Mekkor köteleken htó erõ, h z eredõ erõ 00 N? köteleken éredõ erõ szályos háromszög tuljdonsági mitt F F $ F N 60 F K Egy 6 kg tömegû lámp függ z egymástól m távolságr lévõ póznák között kifeszített kötél felezõ pontján lámp elógás cm Mekkor erõk keletkeznek köteleken? 6 kg tömegû lámp 60 N erõvel húzz köteleket két kötélerõ trt egyensúlyt lámp súlyávl z m háromszög hsonló PQ háromszöghöz, és Pitgorsz tételõl kiszámítv 6,08 m, tehát P Q m P 0 608, P 8, N 60 N E E z és vektorok nem párhuzmosk Htározzuk meg és értékét! ) ( + ); ) ( + ) ( ) 0 z egyértelmû vektorfelontási tétel szerint, h két vektor egyenlõ, kkor egyértelmûen írhtó fel dott -nk és -nek számszorosiként Ezért ) 7 és + 9,, illetve ) ( + ) 0 és ( ) 0; és izonyítsuk e, hogy háromszög köré írt kör középpontjánk egy oldltól mért távolság felekkor, mint mgsságpontnk szemközti csúcstól mért távolság! háromszög köré írt kör K középpontjáól háromszög csúcsi egyenlõ hosszú vektorok muttnk következõ feldt megoldás szerint KP - c P +, és romusz átlói merõleges felezik egymást,

111 VEKTOROK KOORDINÁTSÍKON HELYVEKTOROK így z szksz felezõ pontjá muttó vektor +, mi fele csúcsól mgsságpont muttó vektornk, hiszen P zonos z M ponttl E háromszög köré írt kör középpontjáól csúcsok vezetõ vektorok,, c izonyítsuk e, hogy ugyninnen mgsságpont muttó vektor + + c! háromszög köré írt kör K középpontjáól háromszög csúcsi egyenlõ hosszú vektorok muttnk Jelölje P zt pontot, hov z + + c vektor mutt, tehát KP + + c Eõl következik, hogy KP - c + Mivel + romuszt feszít ki, így z oldlr merõleges KP - c P +, és ezért P pont rjt vn -õl induló mgsság vonlon Hsonlón igzolhtó, hogy másik két mgsság vonlr is illeszkedik, tehát P mgsságpont VEKTOROK KOORDINÁTSÍKON HELYVEKTOROK K Htározzuk meg z háromszög oldlvektorit, h (; ), ( ; ) és (0; )! y (0; ) -^-; h; -^; h; -^; -h (;) ( ;) 0

112 V VEKTOROK K Ngyítsuk z elõzõ feldt háromszögét kétszeresére z origóól! Mik lesznek keletkezõ háromszög csúcsi, oldlvektori? y (0;0) csúcsok: (; 6) ; ( ; ) és (0; 0) z oldlvektorok: l l l-l^-6; -h; l l l-l^; 8h; l l l-l^; -h (;6) (0; ) (;) ( ;) ( ;) 0 K z háromszöget (lásd feldt) ) tükrözzük z tengelyre; ) tükrözzük z origór; c) tükrözzük (; ) pontr; d) toljuk el v( ; ) vektorrl! ) (; ); ( ; ); (0 ; ) ) ( ; ); (; ); (0; ) c) tükrözés után P pont felezõ pontj lesz * szksznk Ezért P * +, honnn * P- keresett pontok koordinátái: *(6; ), *(9; ) és *(8; ) d) ( ; ); ( 6; ); ( ; 6) FELEZÕPONT, OSZTÓPONT K, kkor z és D szkszok vlmely O pontr szimmetri- izonyítsuk e, hogy h kusk! P P P PD + + Osszuk végig -vel z egyenletet P + P P PD Ez éppen zt jelenti, hogy z és D szkszok + felezõ pontj ugynz pont, tehát erre szimmetrikusk 6

113 FELEZÕPONT, OSZTÓPONT K K E E Írjuk fel z szksz -hez közelei ) negyedelõpontjá; ) : 7 rányú osztópontjá muttó vektort z és pontok muttó vektorok segítségével! ) Legyen ez pont P P ontsuk fel két pont közötti vektorokt helyvektorokr - P Átrendezve és P helyvektorát kifejezve: ^ - h P - ^ - h + ) Itt kiinduló egyenlõség : P P, honnn z elõihez hsonló lépések után z dódik, hogy 7 P Hosszítsuk meg z szkszt -n túl ) felével; ) -ávl; c) z -ávl! Írjuk fel z ide muttó vektort z és pontok muttó vektorok segítségével! ) Jelölje keresett pontot P Most kiinduló összefüggés: P - Eõl felontás és z átrendezés után P - ) kiinduló összefüggés: P -, honnn P - c) kiinduló összefüggés: P -, honnn P 8 - Írjuk fel z háromszög csúcsáól induló szögfelezõjének oldlll vló metszéspontjá muttó vektort z és vektorok segítségével! szögfelezõ tétel szerint szög szemközti oldlt közrefogó oldlk rányán osztj z eljárás megegyezik z elõzõeken emuttottkkl szemközti oldlll vló metszéspontot P-vel jelölve és szokásos jelöléseket hsználv P c + dódik + c z O középpontú kören vegyünk fel két egymásr merõleges húrt, ezek végpontji,, illetve, D, metszéspontjuk M izonyítsuk e, hogy O + O + O + OD OM! z húr F felezõ pontjá muttó vektor OF O O +, D húr G fe- lezõ pontjá muttó vektor OG O OD + E két vektor egymásr merõleges, mert húrok is zok voltk két vektort összedv két húr metszéspontjá jutunk Tehát OM O O O OD + Innen -vel + + átszorozv dódik z állítás O F M G D 7

114 V VEKTOROK HÁROMSZÖG SÚLYPONTJÁ MUTTÓ VEKTOR K K E E izonyítsuk e, hogy háromszög súlypontjáól háromszög csúcsi muttó vektorok összege 0! s c + + Válsszuk közös O kezdõpontot súlypontnk, így l oldlon nullvektor áll z háromszög súlypontj S, tõle különözõ tetszõleges XYZ háromszögé pedig Q izonyítsuk e, hogy X + Y + Z SQ! ontsuk fel két pont közötti vektorokt helyvektorok különségére X + Y + Z X - + Y - + Z - Felhsználv súlypont muttó vektorról tnultkt: SQ Q S X Y Z _ - i c + + X Y Z, és ezt kellett izonyítni m ^ + + h z háromszög,, oldlán jelöljük ki rendre P, Q, R pontokt úgy, hogy ) P P, Q Q és R R; ) P P, Q Q és R R fennálljon! izonyítsuk e, hogy z és PQR háromszögeknek közös súlypontj! ) z osztópont muttó vektort kell elõször meghtározni kncsl szorzási szály lklmzásávl P ; és R + Q három egyenlet összedásáól z dódik, hogy + + P+ Q+ R + + Háromml osztv z egyenletet kpjuk z állítást ) z osztópont muttó vektort kell elõször meghtározni kncsl szorzási szály lklmzásávl P Szétontv és rendezve zt kpjuk, hogy P P + Hsonlón kpjuk, hogy + Q és R + + három egyenlet összedásáól z dódik, hogy + + P+ Q+ R + + Háromml osztv z egyenletet kpjuk z állítást z háromszög,, oldlegyenesén jelöljük ki rendre P, Q, R pontokt úgy, hogy ) P, Q és R ; ) P, Q és R fennálljon! izonyítsuk e, hogy z és PQR háromszögeknek közös súlypontj! ) P -õl P- ^- h P - Hsonlón kpjuk, hogy Q - és R - három egyenlet összedásáól z dódik, hogy P+ Q+ R + + Háromml osztv z egyenletet kpjuk z állítást ) P P + ^ - h Hsonlón Q + ^ - h és R + ^ - h három egyenlet összedásáól z dódik, hogy P+ Q+ R + + Háromml osztv z egyenletet kpjuk z állítást 8

115 TETRÉDER SÚLYPONTJ (OLVSMÁNY) E z háromszög súlypontj legyen S, z XYZ háromszögé pedig Q z X, Y, Z szkszok felezõpontji legyenek rendre U, V és W izonyítsuk e, hogy h R z UVW háromszög súlypontj, kkor R felezi z SQ szkszt! Ehhez feldthoz igzáól még árát sem lehet készíteni Nem mondtuk, hogy két háromszög egysíkú-e vgy sem, mégis vektorok segítségével ki tudjuk számítni, hogy z állítás igz Tudjuk, hogy súlypontok z S +, illetve Q vektorok muttnk + X + Y + Z felezõ pontok muttó vektorok: U X ; V Y + és W z UVW háromszög súlypontjá muttó vektor R + + Z U V W X Y Z + + c m X Y Z, ez pedig zonos z SQ szksz felezõ pontjá muttó vektorrl, 6 ^ h mert F S Q X Y Z X Y Z R _ + i c SQ m ^ h izonyítás zt is megengedi, hogy háromszögek közül egy vgy tö elfjuló háromszög legyen (vgyis egy egyenes három pontj) TETRÉDER SÚLYPONTJ (OLVSMÁNY) K E izonyítsuk e, hogy tetréder súlypontjáól csúcsok muttó vektorok összege 0! s c d Válsszuk közös O kezdõpontot súlypontnk, így l oldlon nullvektor ^ h áll izonyítsuk e, hogy tetréder lpjink súlypontji áltl meghtározott tetréder súlypontj egyeesik tetréder súlypontjávl! tér tetszõleges pontjáól lpsúlypontok vezetõ vektorok S c ; S d + ; + D + + S d c és S d c + E négy pont áltl meghtározott tetréder súlypontj s S S S S c d c d d c _ D i l c d c d l ^ h E izonyítsuk e, hogy tetréder súlypontj felezi szemközti élpárok felezõpontjit összekötõ szkszokt! szimmetri mitt elég megmuttni például z és D élek felezõ pontjit összekötõ szksz felezõ pontjáról, hogy súlyponttl zonos szemközti élpárok felezõpontji muttó vektorok (h tér tetszõleges pontjáól tetréder csúcsi muttó vektorok ; ; F és D ): F + és F D Ezek felezõ pontj: F D + D + + S, és ezt kellett izonyítni + + D + FD + + 9

116 V VEKTOROK VEKTOR ELFORGTÁS ±90 -KL K Egy négyzet két szomszédos csúcs (; ), (; ) Számítsuk ki D oldl felezõpontjánk koordinátáit! Felezõ pont () F^ ; h ^; -h Felezõ pont (D) ^; h P^7 ; h (!90 -os forgtás) ^-; -h P ^; h - ^+F h K Egy négyzet egyik csúcspontjánk koordinátái (8; ), átlóink metszéspontj töi csúcspont koordinátáit! csúcsot megkpjuk, h -t tükrözzük G-re (,; 8) ^ ;, h ^-, ; h (!90 -os forgtás) ^-; -, h ^, 7;, h D^7, ; 7, h ^+ G h G 7 ; l Számítsuk ki K Egy egyenlõ szárú derékszögû háromszög átfogójánk végpontji ( ; ) és (; ) Számítsuk ki súlypontjánk koordinátáit! Felezõ pont F^ ; h F^; h ^; -h ; - l S ; l - (!90 -os forgtás) ^-; h - ; l S ; 7 l F O! 90 l ^+F h E z D tégllp hossz oldl háromszoros rövidenek rövide oldl végpontjink koordinátái ( ; ) és (; ) Számítsuk ki töi csúcspont koordinátáit! ^7 ; h (!90 -os forgtás) ^; -7h ^-; 7h! ^9; -h ^-9; h _ D 90O i ^6; h ^ ; 9h ^+ h - D ^; 0h D ^ ; h ^+ h

117 VEKTOR ELFORGTÁS ±90 -KL E Egy szályos háromszög két csúcs (; csúcspontjánk koordinátáit! ), (; 0) Htározzuk meg háromszög hrmdik Felezõ pont F 7 c ; m ^-; - h ^ ; -h c 9 ; - m ^ 8; 0 h (!90 -os forgtás) ^- ; h c 9 ; - m ^ ; h c F ^+F h O! 90 m

118

119 VI TRIGONOMETRI HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI K Htározzuk meg szögfüggvényértékeit függvénytálázt segítségével, h ) 80 ; ) 7 ; c) 6, ; d) 0 ; e) 0,7 rdián! ) sin 0,988, cos 0,76, tg,67, ctg 0,76 ) sin 0,9, cos 0,6, tg,90, ctg 0, c) 0, 8 sin 0,88, cos 0,68, tg,90, ctg 0,0 d) sin 0,7687, cos 0,697, tg,0, ctg 0,8 0, 7 $ 80 e) 0,7 rdián r sin 0,66, cos 0,9, tg 0,879, ctg,78 K K Htározzuk meg szögfüggvényértékeit zseszámológép segítségével, h ) 9 ; ) r rdián! 7 ) 9, sin 0,978, cos 0,988, tg 0,970986, ctg, ) r rdián 80 o 7 7 sin 0,8879, cos 0, , tg 0,8768, ctg,07697 Megjegyzés: számológépek tösége z utolsó jegyet kerekítve írj ki (de nem mindegyik) Melyik z z hegyesszög, melyre ) sin 0,; ) cos 0,; c) tg,78; d) ctg,0? szög visszkeresését függvénytálázt vgy zseszámológép segítségével végezhetjük Két tizedesjegy pontossággl: ),, ) 70,7, c) 78,8, d) 0,87 K definíciók segítségével igzoljuk szögfüggvények lái egyszerû tuljdonságit! H hegyesszög, kkor ) 0 < sin <, 0 < cos < ; ) 0 < tg, 0 < ctg, és mindkét szögfüggvény tetszõlegesen ngy értéket felvehet; c) tg sin, ctg cos ; cos sin d) tg, ctg ctg tg z derékszögû háromszögen lklmzzuk hgyományos jelöléseket c

120 VI TRIGONOMETRI ) sin, cos összefüggés mitt z < és < egyenlõtlenségeket kell igzolnunk Ezek c c c c pedig zért igzk, mert derékszögû háromszög átfogój ngyo, mint efogój ) tg pozitív érték tetszõlegesen ngy lehet, mert h -t rögzítjük, kkor ármilyen nggyá növelhetõ Hsonlón ctg rány értéke minden htáron túl nõ, h -t rögzítjük, és -t növeljük c) sin vlón, és ctg cos c is teljesül sin c cos c tg c d) két zonosság definíciók közvetlen következménye K definíciók segítségével igzoljuk szögfüggvények lái tuljdonságit! H és hegyesszögek és <, kkor ) sin < sin ; c) tg < tg ; ) cos > cos ; d) ctg > ctg z ) és ) eseten tekintsünk egy továi derékszögû háromszöget, melyen > és c c (tehát két derékszögû háromszög átfogój ugynkkor) szerkesztéséõl dódik, hogy > és < Így sin és cos sin l cos c c l c l c l c c c) eseten z derékszögû háromszög efogój legyen rögzített hosszúságú H most <, kkor <, és tg l tg l d) eseten felhsználjuk c) eredményét, vlmint tg összefüggést H <, kkor tehát ctg 0 < tg < tg Mindkét oldl reciprokát véve z egyenlõtlenség megfordul,, zz tg tg l ctg ctg l 6 K 7 K Egy templomtorony 0 méter távolságól -os szögen látszik Milyen mgs torony? H torony mgsság m, kkor tg m, s innen m 0 tg, torony mgsság tehát 0 k méter Egy kilencemeletes lkóház emeleti szintjei átlgosn méter mgsk Mekkor látószög ltt látszik 00 méter távolságól z épület? H földszintet is számítjuk, kkor ház mgsság 0 0 méter z látószögre tg 6,7 0 00, innen

121 6 DERÉKSZÖGÛ HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS 6 DERÉKSZÖGÛ HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS z derékszögû háromszögen (c 90 ) hgyományos jelölésrendszert lklmzzuk Htározzuk meg háromszög szögeit és oldlit, h K ) 8 cm, cm; K ), 0 cm; K c), q 7 cm; K d) cm, p cm; K e) c 0 cm, m cm! q c D m p ) Pitgorsz tételéõl c (cm) sin, innen 8, és 90 c ,9 ) 90 6 ; sin, eõl c 0,66 (cm) tg, innen c o sin sin 0, (cm) tg o tg q q c) 90 ; cos, innen 7 8, (cm) tg m o, innen cos cos q 90, m q tg 7 tg,90 (cm) sin m, eõl m o,98 (cm) Pi- sin sin tgorsz tételéõl c + 0, (cm) p d) cos, innen 67, 90,6 sin m, eõl m sin sin 67,,00 (cm) sin m, innen m o, (cm) Végül sin sin, 6 c +,8 (cm) e) c 0 cm, m cm mgsságtételt lklmzv m pq p(c p), így p pc + m 0 Eõl p 0p másodfokú egyenlethez jutunk, melynek két gyöke p és p 8 Szimmetriokok mitt feltehetjük, hogy p és q 8 (p és q szerepe felcserélhetõ) tg m, innen 6,6, és 90 6, Mivel sin m, így q 8 m 8,9 (cm), és hsonlón m o o,7 (cm) sin sin 6, 6 sin sin6, Megjegyzés: számításokn, hol csk lehetséges, z eredeti lkokkl dolgoztunk K Egy kertrész egyenlõ szárú háromszög lkú, melynek szári m hosszúk, szárk áltl ezárt szög Mekkor kert lpj és területe? z egyenlõ szárú háromszögen legyen m, z lp hosszát jelölje szárk áltl ezárt szög F felezõje egyúttl z lp felezõmerõlegese, így sin 6, s innen 0 sin 6, (m) cos 6 m, így m cos 6,8 (m) háromszög területe $ m 88,6 (m ) m 6 m F

122 VI TRIGONOMETRI K z D deltoidn szimmetritengely, z D oldl kétszer olyn hosszú, mint D oldl, és D Mekkorák deltoid oldli és szögei, h D 0 egység? Két megoldás vn, ttól függõen, hogy négyszög konve vgy konkáv deltoid konve deltoid áráj szerinti jelöléseket lklmzzuk: D, D, z átlók metszéspontj M tengelyes szimmetri mitt DM M egység, D 7, és legyen D c D M D M z MD derékszögû háromszögen sin 7, innen,0 (egység), o sin 7, (egység) sin c, innen c 6, konve deltoid oldli D,0 egység,, D, (egység); szögei, c 0,, D 60 o -- 87,8 konkáv deltoidn csk szögek mások 60 c 9,6, s így D 8, K dott z O középpontú, r 0 egység sugrú kör Mennyivel hossz kör 00 -os középponti szögéhez trtozó rövideik íve, mint húrj? 00 -os középponti szöghöz trtozó húr felezõpontját jelölje F, húr hosszát h z OF derékszögû háromszögen FO 0, így h sin 0 összefüggésõl h 0 sin0 0,6 (egység) rövideik ív hossz 0 00 $ r r,9 (egység) 60 Vgyis z ív,7 egységgel hossz O 0 0 F h K Szerkesszük meg zt hegyesszöget, melynek ) szinusz 0,; ) koszinusz ; c) tngense ; d) kotngense! Jelöljük -vl szerkesztendõ hegyesszöget megoldás során zt hsználjuk ki, hogy egy szögfüggvénye hsonló derékszögû háromszögeket htároz meg z ) és ) eseten olyn derékszögû háromszögeket szerkesztünk, melyeken megfelelõ efogó és átfogó rány 0,, illetve 6

123 6 DERÉKSZÖGÛ HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS ) ) O 0 O ) z 0 hosszúságú szksz Thlesz köre, vlmint középpontú, sugrú kör metszéspontj kijelöli -t, melyre ) z hosszúságú szksz Thlesz köre, vlmint z középpontú, sugrú kör metszéspontj jelöli ki -t Ekkor cos z utolsó két eseten pedig olyn csúcsú derékszögû háromszögeket szerkesztünk, melyek efogói c), ; d), ( szerkeszthetõ: Pitgorsz tétele értelméen z és efogójú derékszögû háromszög átfogój) 6 K 7 K z láikn pitgorszi számhármsok két tgját djuk meg Htározzuk meg hrmdik tgot és számhármsok áltl meghtározott derékszögû háromszögek legkise szögét! (z < < c pozitív egész számokt pitgorszi számhármsnk nevezzük, h vn olyn derékszögû háromszög, melynek oldli,, c hosszúk) ), ; ), c ; c), c ; d) 6, c 0 Pitgorsz-tételt lklmzzuk, z + c egyenletõl: ) c ; sin, innen 6,9 ) ; cos, innen,6 c) 7; tg, innen 6, 7 d) 8; ez háromszög hsonló z ) háromszöghöz, így 6,9 Ptolemiosz Kr u 0 körül úgy tlált, hogy z egységsugrú kör -os középponti szögéhez trtozó húrj hosszúságú ( kissé furcs számlknk z z ok, hogy tudós eredetileg 60-s számrendszeren dt meg számot) Mennyire volt pontos közelítés? Nem lett voln helyese z utolsó tg esetéen 9, vgy törttel számolniuk görögöknek? Ptolemiosz eredményének közelítõ értéke H 0,0770 z -os középponti szög olyn O egyenlõ szárú háromszöget htároz meg, melyet z O csúcshoz trtozó szögfelezõ két egyevágó, 0, -os derékszögû háromszögre ont Így z húr fele r sin 0, sin 0, hosszú, hossz pedig h sin 0, 0,0707 két érték eltérése kicsi: H h 6, 0 7 Vizsgáljuk változást:, , 0 7, s ez jóvl ngyo, mint H h Így 60 zt mondhtjuk, hogy een z lkn Ptolemiosz eredménye pontos volt O r 0, 7

124 VI TRIGONOMETRI 8 K z derékszögû háromszögen (c 90 ), 6 egység Milyen hosszú csúcsól húzhtó szögfelezõ? Elsõ megoldás hgyományos jelölésekkel dolgozunk:,,, és jelölje f D szögfelezõ hosszát z háromszögen tg, innen 6,87, 8, D 6 háromszögen cos, innen pedig f 6 6,86 (egység) o f c cos cos 8, D Második megoldás f Nem szükséges szögfüggvények hsznált c + 0 szögfelezõ-tétel szerint elsõ szögfelezõ szemköztes oldlt szomszédos oldlk rányán osztj Ez lpján D 6, így D 0 D 6 $ Végül Pitgorsz tételét lklmzzuk D háromszögen: f + D ,87 (egység) l 9 E z r cm sugrú köre írt húrtrpéz párhuzmos oldlink hossz 0 cm és D 0 cm Mekkorák trpéz szári és szögei? húrtrpéz egyenlõ szárú, tengelyesen szimmetrikus négyszög z ár szerint jelölje csúcsokt,,, D, körülírt kör középpontját O, z egyes oldlkhoz mint húrokhoz trtozó középponti szögeket,, c párhuzmos oldlk és O helyzete lpján két esetet különöztetünk meg D D O 0 0 z elsõ eseten párhuzmos oldlk közrefogják z O középpontot Ekkor sin 0, innen 6, ; és sin 80, így,6 c o -- 9, trpéz szögei: 80 c 7, ; ; D 80 0,9 trpéz D és szár sin c 8, egység hosszú második eseten O trpézon kívül esik Ekkor és értéke változtln, c -,9 90 c (90 ) c 0, ; ; D 80 9, trpéz D és szár sin c 6,8 egység hosszú 8

125 7 ÖSSZEFÜGGÉSEK HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI KÖZÖTT 0 K Milyen hosszú Ráktérítõ? ( Földet tekintsük R 670 km sugrú gömnek) Ráktérítõ {, -os észki szélességi kör Föld függõleges tengelyén átmenõ sík áltl kimetszett fõkörõl (ez egy hosszúsági kör) z erre merõleges Ráktérítõ síkj z ár szerinti húrt metszi ki Ráktérítõ középpontját jelölje, ekkor O { szintén (váltószögek) H r jelöli Ráktérítõ sugrát, kkor cos { r, s innen r R cos { R Ráktérítõ hossz R cos { r 6 70, (km) O r R 7 ÖSSZEFÜGGÉSEK HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI KÖZÖTT K trigonometri lpegyenletének felhsználásávl htározzuk meg z hegyesszög töi szögfüggvényének pontos értékét, h ) sin 0,6; ) cos ; c) tg ; d) ctg 0,! K sin + cos egyenletõl kifejezhetjük sin és cos értékét is Mivel hegyesszögek szögfüggvényei pozitívk, sin - cos és cos - sin Kifejezhetõ tg és ctg is szinusz- vgy koszinusz függvényekkel: tg sin cos cos sin, és ctg cos - sin tg ) cos 06, 0,8; tg sin - 0, 6 0,7; ctg cos 08, tg ) sin 8 ; tg sin 8, ctg - l cos 8 c) cos Négyzetre emelhetünk:, zz cos, cos cos - cos cos 6 6 (Ismét kihsználtuk, hogy cos > 0) ctg ; sin cos - 6 d) tg z elõzõ gondoltmenetet lklmzv cos, sin Oldjuk meg z elõzõ ) d) feldtokt, de most trigonometri lpegyenletének felhsználás nélkül! lklmzzuk háromszög oldlir és szögeire hgyományos jelöléseket! ) Mivel sin 0,6, legyen 6, c 0 hosszú (Vgy derékszögû háromszögek hsonlóság folytán válszthtó 6, c 0; vgy, c ) Ekkor Pitgorsz tételéõl ^0h - ^6h 8 cos 0,8; tg 6 0,7 és ctg c 8 tg c 9

126 VI TRIGONOMETRI E E ) Legyen, c Ekkor - 8 ; sin ; tg, ctg c) Legyen, Ekkor c ; sin, cos + 6, ctg 6 6 d) Legyen, Ekkor c + ; sin, cos, tg z háromszögen c 90, 0, 0 egység Milyen hosszú csúcsól húzhtó szögfelezõ? (Pontos értéket djunk meg!) z fél szályos háromszög tuljdonság mitt 0 egység és 0 $ 0 $ Jelölje D szögfelezõ hosszát f szögfelezõ-tételt lklmzv c D 0, így D D $ 0 Végül lklmzzuk Pitgorsz tételét D háromszögen: f + D 00 $ f D 0 $ + 00 $ +, így 7 + f H szögfüggvényeket lklmzunk, csk közelítõ értékeket kpunk D háromszögen cos, f innen f 0 $ 7,909 számológéppel pontosság ez eseten csk elvi jelentõségû, mert f 00 cos o o cos 00 + számológéppel kiszámolt értéke 8 tizedesjegy pontosságig ugynennyi 7 + z elõzõ feldt lpján htározzuk meg pontos szögfüggvényértékeit! Felhsználjuk z elõzõ megoldás eredményeit efogóvl mint prméterrel számolv c és szögfelezõ-tételõl D $ $ z D háromszögen fel- + c + + írjuk Pitgorsz-tételt: f + D +, és innen f keresett szögfüggvények pontos értékeit z D háromszög oldlivl dhtjuk meg ( hánydosok nem függnek -tól) sin D + $ 7+ $ 7+ f $ ; 8+ $ + cos 7+ ; f 8+ tg D és ctg + + D 0

127 7 ÖSSZEFÜGGÉSEK HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI KÖZÖTT E Htározzuk meg, pontos szögfüggvényértékeit! z elõzõ feldt megoldási módszerét követjük z egységnyi efogójú egyenlõ szárú derékszögû háromszögen (c 90, ) D f szögfelezõ z oldlt szomszédos oldlk rányán osztj Mivel, így D szög- + felezõ hossz f + + c m + + sin, D + $ + f ,, f D $ + ; cos, + ; f + tg, D és ctg, + + D 6 K 7 K izonyítsuk e, hogy tetszõleges hegyesszög esetén érvényesek z lái zonosságok! ) sin tg ; c) tg sin ; + tg - sin ) cos ctg ; d) cos + tg + ctg sin sin sin sin tg ) cos cos cos cos sin $ cos sin + tg cos sin cos sin + + cos cos cos cos cos vlón ) nevezõ átlkítv ismét, így cos cos + tg cos c) z zonosság közvetlenül dódik cos - sin összefüggésõl ctg ctg ctg ctg d) ctg sin cos + ctg sin cos + sin sin sin sin Melyik hegyesszögre igz, hogy ) sin ( + ) cos ( + 6 ); ) tg ( ) ctg ( + 7 )? pótszögek segítségével egynemû szögfüggvényekre térünk át ) cos( + 6 ) sin(90 ( + 6 )) sin(6 ) sin( + ) sin(6 ) egyenlõség hegyesszögek esetén csk kkor teljesülhet, h + 6, zz, 6 ) ctg( + 7 ) tg(90 ( + 7 )) tg( ) Innen tg( ) tg( ), zz, s ennek megoldás

128 VI TRIGONOMETRI 8 HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS K z ár szerinti épület homlokzt h 8 méter széles tetõszerkezetet l 6 méter hosszú gerendákól építik Mekkor lesz z eresz d szélessége, h tetõgerend vízszintessel ezárt szöge ) 0 ; ) 6? c) Mekkoránk válsszák z szöget z építõk, h terveken d 0 cm széles eresz szerepel, és nem krnk levágni gerendákól? d l gerend vízszintes vetülete l cos, z eresz hossz d l cos h $ - o ) d 6$ cos0-0,96 (m), zz k 60 cm ) d 6$ cos 6 o - 0,68 (m), zz k 7 cm c) 0, 6$ cos - egyenletõl, h h E K K Egy 6 méter mgs épület tetejérõl 0 méter távolságr lévõ templomtornyot -os szögen látjuk Milyen mgs torony? Mekkor szögen látszik z épület tövéõl? d c D z péld gondoltmenetét követjük Jelölje torony lpját, csúcsát, z épület tetejét, lját E z háromszögen torony mgsság c keresett mennyiség Ismertek még z ár szerinti E h 6 m és E d 0 m távolságok, vlmint c pontól merõlegest ocsátunk -re, ennek tlppontját jelölje D Így z háromszöget két derékszögû részháromszögre ontottuk Jelölje z D lehjlási szöget c, D emelkedési szöget c tg c D h 6, innen D d 0 c, és c c c 9, tg c D c- h, innen c h d tg c, D d zz c h + d tg c tg 9, 9, templomtorony mgsság k 0 méter Htározzuk meg z D prlelogrmm lkú szántóföld területét, h ) két szomszédos oldl 0 méter és 0 méter hosszú, és z oldlk ezárt szöge 7 ; ) két átlój 0 méter és 0 méter hosszú, és z átlók ezárt szöge 7! ) z 0 m és D 0 m oldlú prlelogrmmát D átlój két egyevágó részháromszögre ontj háromszög területe trigonometrikus területképletõl $ D $ sin7 o, prlelogrmm területe ennek kétszerese, zz D sin (m ) ) két átló egymást kölcsönösen felezve, prlelogrmmát négy zonos területû részháromszögre osztj Egy ilyen részháromszög területe 0 $ 0 $ sin7 o, prlelogrmm területe ennek négyszerese, zz 0 0 sin 7 08 (m ) Ez z érték z ) terület fele

129 8 HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS K z egyenes országúttól h 0 méterre elhelyezkedõ megfigyelõtõl z országúton lévõ és útjelzõ tálák méter, illetve 7 méter távolságn vnnk Mekkor lehet tálák távolság? Jelölje megfigyelõ helyzetét, s vezessük e hgyományos m, 7 m, D h 0 m, D D c, D c jelöléseket (D merõleges -re) h cos D h c, innen c 6, ; hsonlón cos c D h, innen c, sinc D, így D sin c ; hsonlón D sin c Két megoldás vn, ttól függõen, hogy háromszögen z csúcsnál hegyesszög vn, vgy tompszög z elsõ eseten D + D sin c + sin c 97,6 (m); második eseten D D sin c sin c, (m) z árán jelöli z pont második lehetséges helyzetét K Egy domon egyenes országút hld át z út pontjáól -os emelkedõn érjük el dom O tetejét, mjd 7 -os lejtõ vezet z út pontjá z és pontok zonos tengerszint feletti mgsságn vnnk Milyen mgs hozzájuk képest dom, h és távolság légvonln felülnézetõl 0 méter? (Felülnézetõl, O és egy egyenese esik) feldtot modellezhetjük z O háromszöggel, melyen ismert O, O 7, és O d 0 méter; s meghtározndó háromszög OD m mgsság (z O csúcsnál lévõ lejtõ szöge megegyezik csúcsnál lévõ emelkedõ szögével, mert váltószögek) m Jelöljük D távolságot -szel, ekkor D d z d OD és OD derékszögû háromszögeken felírt Pitgorsz-tételek segítségével és m is meghtározhtó d- D Egy másik megoldási út szögfüggvények lklmzás tg m, illetve m tg két d - d $ tg egyenletõl m-et kiküszöölve (d ) tg tg, s innen tg + tg 0 Ezt visszhelyettesítve m d o o $ tg $ tg $ tg $ tg 7 o o 8, 7 tg + tg tg + tg 7 domocsk tehát 9 méter mgs 6 K z háromszög három oldl 8 cm, 6 cm és c 0 cm Milyen hosszú z csúcsól kiinduló mgsság, szögfelezõ és súlyvonl? Mekkorák háromszög szögei? z csúcsól húzhtó mgsság, szögfelezõ és súlyvonl hosszát jelöljük D m, E f és F s módon z D és D háromszögeken felírjuk Pitgorsz-tételét: () ( ) + m c, c () + m s m kifejezéséõl c ( ) f z egyenletet átlkítv c +, s innen + - c F E D m

130 VI TRIGONOMETRI számdtokt ehelyettesítve 0 Ekkor D 8, és m (cm) (D oldl elsõ pontj, mert z háromszög hegyesszögû) szögeket töféleképpen meghtározhtjuk megfelelõ derékszögû háromszögekõl Például sin m, innen, ; tg c, innen c 67, ; és 80 c 9, c 0 0 z E f szögfelezõ hosszát z DE derékszögû háromszögõl htározzuk meg ED 7,, így cos ED, s innen f -^90 o -ch m m o f cos ED cos 7,,9 (cm) z F s súlyvonl hossz z DF derékszögû háromszögen felírt Pitgorsz-tételõl számíthtó Mivel F oldl felezõpontj, DF, és így s m + DF + súlyvonl hossz s, (cm) - 7 E Htározzuk meg z elõzõ feldtn szereplõ háromszög körülírt és eírt körének sugrát! körülírt kör hosszár lklmzhtjuk z R összefüggést Innen $ sin R 6, (cm) Jelölje eírt kör középpontját O, sugrát r, eírt kör és háromszög oldlink érintési pontjit rendre,, r eírt kör sugrát töféleképpen is meghtározhtjuk r z egyik lehetõség z feldt eredményének felhsználás, z ottni O országút-dom modell O háromszöge megfelel z itteni O háromszögnek Most O és O, mert eírt kör középpontj r c c $ tg l $ tg k szögfelezõk metszéspontj Ez lpján r 80, (cm) c tg l + tg k Egy másik lehetõség kiszámolás után tg felírás Tvly megmutttuk, hogy s, hol l s háromszög félkerülete ( izonyítás lpj z z észrevétel volt, hogy eírt körhöz külsõ pontól húzott érintõszkszok egyenlõ hosszúk Így, és, és ht szksz összege háromszög kerülete) Ez lpján tg o, r, innen r s $ tg ^ - 6h $ tg l 8,0 (cm) l ^ - h l s - Végül lklmzhtjuk megfelelõ területképletet is: r t $ m $ m 8 $ 8 (cm) s $ s + + c ( koráikkl ellentéten ez már pontos érték) 8 K c z háromszögen dm, dm, 6 Milyen hosszú z csúcsól húzhtó szögfelezõ? t f t z háromszöget z D f szögfelezõ két részháromszögre ontj részháromszögek területösszege megegyezik z háromszög területével: t + t t, zz c$ f$ sin f sin c sin, innen $ $ k k $ $ + f $ c$ sin, 9 (dm) c $ sin ^ + h k D

131 8 HÁROMSZÖGEK DTINK MEGHTÁROZÁS 9 K z háromszög csúcsnál lévõ szöge 80, területe 60 cm Mekkorák háromszög oldli, h háromszög ) derékszögû; ) egyenlõ szárú? ) H c z átfogó hossz, kkor sin, innen c sin Hsonlón cos, c c c cos, s háromszög területe t c sin cos z összefüggésõl c kifejezhetõ: c t 6,9 (cm) c cos 80,60 (cm), és c sin 80 6,09 (cm) sin cos ) H szárk áltl ezárt szög, kkor szárkt -vel, z lpot -vl jelölve t sin, és innen t,0 (cm) Mivel sin, így háromszög lpj sin k sin k,9 (cm) H z lpon fekvõ szög, kkor szárk áltl ezárt szög 80 0 Jelöljük szárk hosszát -vl, z lpot -vel; ekkor t 8,7 (cm), sin 6, (cm) l sin 0 K R 0 cm sugrú, kör lkú krtonppíról kivágjuk lehetõ legngyo oldlú, szályos tízszöget Milyen hosszúk tízszög oldli, és hány százlék lesz ppírhulldék? szályos tízszög egy oldlát jelölje, z húr felezõpontját F, körülírt kör középpontját O z húrhoz trtozó középponti szög 60 o 6, így z OF derékszögû háromszögen sin 8, és innen Rsin 8,6 (cm) 0 R F R 8 R O z O háromszög területe t R sin6 o, tízszög területe ennek tízszerese: T 0t R sin 6 Mivel kör területe T k R r, hulldék T k T R r R sin 6 R (r sin 6 ) 8,07 (cm )

132 VI TRIGONOMETRI 9 SÍKELI ÉS TÉRELI SZÁMÍTÁSOK SZÖGFÜGGVÉNYEK SEGÍTSÉGÉVEL K K K Egy csvr menetének középátmérõje, mm, menetemelkedése mm Mekkor menetemel kedés szöge? z menetemelkedési szögre teljesül, hogy tg Innen,, prszek z távolság, honnn Föld Np távolság másodperc ngyságú szögen látszik Hány kilométer prszek? ( Föld Np középtávolság k 9,6 millió km) 9, 6 9, 6 z prszek távolságot d-vel jelölve, { 0 0 szögre tg { Innen d 0 87 d tg { (millió km), zz 0,87 illió km ( pontos érték 0,86 78 illió km) Egy 90 cm-es fonálon lengõ pontszerû test két szélsõ helyzete közötti távolság 0 cm Mekkor szöget zár e fonáling két szélsõ helyzet között? Jelölje fonl hosszát l, fél nyílásszöget, két szélsõ helyzet közötti távolságot d Ekkor d sin d, z dtokkl 6,8 keresett nyílásszög,8 l l l l d K Milyen mgs hegy tetején áll z 8 m mgs kilátótorony, melynek lját, -os, tetejét,6 -os emelkedési szög ltt látni? Jelölje m hegy, t torony mgsságát, d megfigyelõtõl vló távolságát, és legyen, és,6 Ekkor () tg m, d () tg m+ t d két egyenletõl m m t, és innen m ehelyettesítés után m 890,, zz hegy tg + t $ tg tg tg - tg k 890 méter mgs 6

133 9 SÍKELI ÉS TÉRELI SZÁMÍTÁSOK SZÖGFÜGGVÉNYEK SEGÍTSÉGÉVEL K Egy körív lkú híd görületi sugr 00 méter, nyílásmgsság 0 méter Mekkor két hídpillér távolság, és milyen hosszú körív? Jelölje két hídpillért és, távolságukt h, híd nyílásmgsságát m, körív középpontját O, sugrát r H híd íve középponti szögen látszik, kkor cos r m, s innen,8, zz,7 Mivel k - r sin h, innen h sin r 7, (m) két hídpillér távolság k r k o, 7 körív hossz o $ rr 80, (m) 60 r h O m rm r 6 K Egy kilátó ljáról vele éppen szemközt álló, széles és lpos épület homlokzt 8 -os (vízszintes) látószögen látszik Felmegyünk kilátó méter mgs tetejére Innen mekkor szögen látjuk z épület homlokztát? kilátó és z épület távolság 60 méter Vezessük e következõ jelöléseket: legyen kilátó lj, teteje, távolság t (ekkor t méter); z épület két végpontj és D, felezõpontj E, z E távolság d ( D egyenlõ szárú háromszögen E d 60 méter); D látószög, D látószög (ismert 8 ; keressük -t) t d D E E, E d tg +, így cos cos d d $ tg t d E derékszögû háromszögõl sin E + Innen cos t d + cos 7,6, keresett látószög tehát, 7 K Egyenlõ szárú trpéz lkú földterület lpj 0 m, szári 0 m hosszúk z lp és szárk ezárt szöge 7 Hány hektár terület ngyság? Jelölje z D trpéz lpját, szárink hosszát, z lppl párhuzmos oldl hosszát D c, z lpon fekvõ szögeket D ocsássunk D csúcsól z lpr D c merõlegest, z így kpott DE mgsság hosszát pedig jelöljük m-mel z ED derékszögû háromszögen sin m, innen m sin m Hsonlón z E vetület hossz cos, s így c meghtározhtó: c cos trpéz területe t + c m + - cos sin ( cos )sin 88, (m ), zz k, hektár E Megjegyzés: Érdemes c értékét kiszámolni: c cos, > 0, zz trpéz létezik 7

134 VI TRIGONOMETRI 8 E Egy futlledzésen játékosok pályán olyn e egyenes mentén állnk föl, mely z lpvonlr merõlegesen áll, de nem metszi z gólvonlt játékosoknk kpuhoz közeledve egy kedvezõ P pontot kell megtlálniuk, honnn z üres kpur kell rárúgniuk ldát Melyik P ponthoz trtozó lövõszög lehetõ legngyo? Jelölje z e egyenes és z lpvonl metszéspontját Mekkor, h d,00 m, és kpu h 7, m széles? Vegyük fel zt k kört, melyik áthld z és pontokon, és érinti z e egyenest z E pontn z szksz k körív minden pontjáól ugynkkor szögen látszik, körön elüli pontokól látószög ennél ngyo, körön kívüli pon- tokól pedig látószög kise (Végig pályán mrdunk, zz z lpvonl F zonos félsíkján mozgunk) z E pont kivételével z e egyenes minden pontj körön kívüli pont, ezért z E érintési pontól látszik mimális szög ltt, zz E P z érintési ponthoz trtozó OP sugár merõleges e-re Jelölje F z szksz P felezõpontját, OF z szksz felezõmerõlegese Ekkor r OP F 8,66 kör sugr, F,66, OF P z FO derékszögû háromszögen felírjuk Pitgorsz tételét: OF r F 6,6, innen OF P 7,8 Legyen E és E tg ( + ),, így + 7, P 78, tg, innen, P 78, legkedvezõ lövõszög meghtározás: 7,, Más elindulási lehetõség: z érintõ- és szelõszkszokr vontkozó tételt lklmzv P, O e E innen OF P $, közvetlenül dódik 9 K O O Két egyenes gúl testmgsság egyránt 0 cm z egyik gúl lpj egységsugrú köre írt négyzet, másiké egységsugrú köre írt szályos htszög Melyik gúl oldléle zár e ngyo szöget z lplppl? Melyik gúl oldllpj zár e ngyo szöget z lplppl? Mekkorák különségek? F F m m O O F F z oldlél és lplp hjlásszöge test mgsságától és kör sugrától függ Ezek z dtok két test esetéen megegyeznek, így z oldlélek és z lplp hjlásszögei egyenlõk z oldllp lplp hjlásszög meghtározásához jelöljük testek egy lpélét -vel, z él felezõpontját F-fel, testmgsságot m O-vel ( test csúcs, z O pont z lpkör középpontj) négyzet lpú gúl esetéen O egyenlõ szárú derékszögû háromszög, így, F FO z oldllp lplp hjlásszöge z FO derékszögû háromszögen áll elõ, z F csúcsnál lévõ szög Erre felírhtó: tg m m OF szályos htszög lpú gúl esetéen O szályos háromszög,, így OF z oldllp lplp hjlásszöge FO, erre tg m m OF Láthtó, hogy tg > tg, zz > (tg esetéen testmgsságot kise számml osztjuk) különséget meghtározzuk: 86,0, 8,, így 0,9 8

135 VII FÜGGVÉNYEK 60 6 SZÖGFÜGGVÉNYEK ÁLTLÁNOSÍTÁS K supán hegyesszögek szögfüggvényeinek ismeretéen htározzuk meg következõ szögek öszszes szögfüggvényét! 0, 0, 70,, 0, 80 sin 0 o sin (80 o 0 o ) sin 0 o ; cos 0 o cos (80 o 0 o ) cos 0 o - ; tg 0 o tg (80 o 0 o ) tg 0 o - ; ctg 0 o -ctg (80 o -0 o ) ctg 0 o - sin 0 o sin (0 o 80 o ) sin 0 o - ; cos 0 o cos (0 o 80 o ) cos 0 o - ; tg 0 o tg (0 o 80 o ) tg 0 o ; ctg 0 o ctg (0 o 80 o ) ctg 0 o sin 70 o ; cos 70 o 0; tg 70 o o sin 70 mi nincs értelmezve; 0 o cos 70 ctg 70 o o cos 70 0 o 0 sin 70 sin o sin (60 o o ) sin o - ; cos o cos (60 o o ) cos o ; tg o tg ( o 80 o ) tg o tg (80 o o ) tg o ; ctg o ctg ( o 80 o ) ctg o ctg (80 o o ) ctg o sin 0 o sin (0 o 0 80 o ) sin ( o ) sin ( o 80 o ) sin o 0,76; cos 0 o cos (0 o 0 80 o ) cos ( o ) cos ( o 80 o ) cos o 0,89; tg 0 o tg (0 o 80 o ) tg o 0,700; ctg 0 o ctg (0 o 80 o ) ctg o,8 sin ( 80 o ) sin ( 80 o + 60 o ) sin 0 o sin(0 o 80 o ) sin 60 o - ; cos ( 80 o ) cos ( 80 o + 60 o ) cos 0 o cos(0 o 80 o ) cos 60 o - ; tg ( 80 o ) tg ( 80 o + 80 o ) tg 60 o ; 9

136 VII FÜGGVÉNYEK ctg ( 80 o ) ctg ( 80 o + 80 o ) ctg 60 o K Keressük meg z összes olyn szöget, melyekre ) sin ; ) sin 0,9; c) cos 0,; d) cos ; e) tg ; f) tg ; g) ctg! ) sin ; 70 o + k 60 o k! Z y O e 70 k60 ) sin 0,9; 69, o + k 60 o, 80 o 69, o + k 60 o 0,9 o + k 60 o k ; k! Z y e 0,9 k 60 e 69, k 60 0,9 O c) cos 0,; 60 o + k 60 o, 60 o 60 o + k 60 o 00 o + k 60 o, k ; k! Z teljesen tökéletes megoldás z!60 o + k 60 o, k! Z y e 60 k 60 O 0, e 00 k 60 0

137 60 6 SZÖGFÜGGVÉNYEK ÁLTLÁNOSÍTÁS d) cos ;!0 o + k 60 o, k! Z y e 0 k 60 O e 0 k 60 e) tg ; o + k 80 o, k! Z y e k60 O e k 60 f) tg ; 78,7 o + k 80 o, k! Z y e 78,6 k60 O e 8,6 k 60

138 VII FÜGGVÉNYEK g) ctg ; 8, o + k 80 o, k! Z y e 98, k 60 O e 78, k 60 K Melyek zok 0 és 60 közé esõ szögek, melyekre igz, hogy ) sin ; ) sin + cos? ) sin ; y sin!! ; o, o, o, o e e O e e ) számtni és négyzetes közép közti egyenlõtlenség értelméen + # + Jelen eseten feltételezhetjük, hogy sin és cos értékei pozitívk,hiszen csk így lehet z összeg egynél ngyo sin + cos # sin + cos, mi zt jelenti, hogy sin + cos # / sin + cos #, egyenlõség csk kkor vn, h két érték megegyezik, ez pedig 0 o és 60 o közzé esõ szögek között csk o -nál és o -nál vn, de mivel mindkét értéknek pozitívnk kell lennie, ezért csk z o megoldás

139 6 6 SZÖGFÜGGVÉNYEK ÁRÁZOLÁS 6 6 SZÖGFÜGGVÉNYEK ÁRÁZOLÁS K Írjuk át rdián következõ szögeket! 7, 0,, 0, 0, 00, 080, 7 7 r r ; 0 0 r ; ; 0 ; r r r 0 r r 0 0 r 7 r; r ; 080 ; r 080 r 6r r r K K Írjuk át fok következõ szögeket! r, r, r, 0,r, 0,r,, r 80 ; 80 0 ; r ; 0,r 0, 80 ; r, 0,r 0, 80 8, ;, 80 8,9 r Árázoljuk következõ függvényeket, mjd htározzuk meg, hogy milyen trnszformációvl juthtunk el z lpfüggvényõl végeredményhez! Jellemezzük függvényeket! Jellemezzük h() és k() feldtn kpott függvényt szélsõérték és monotonitás szempontjáól! Keressük meg függvény zérushelyeit! ) f() sin, g() sin, h() sin ; ) l() cos r - l, j() cos, i() cos, k() cos ) z f() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 sin függvény képét háromszorosár nyújtjuk z y tengely mentén g() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 sin függvény képét tükrözzük z tengelyre h() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 sin függvény képét eggyel felje toljuk(z y tengely mentén pozitív irány) y sin sin sin sin 0

140 VII FÜGGVÉNYEK h() függvény jellemzése D h R, R h [ ; ] függvény periódus r függvény mimumánk értéke, mimum helye i r + ir, i! Z függvény minimumánk értéke, mimum helye k r + kr, k! Z függvény szigorún monoton nõ minden I r l ; l : l, l! Z + r r + rd függvény szigorún monoton csökkenõ minden I r m 9- mr; m, m! Z + r r + y sin 0 Zérushelyek zok z értékek, hol függvény null értéket vesz fel Tehát meg kell oldnunk z sin 0 egyenletet sin 0 /+sin y sin /: sin ; 9,7 +k60 0,08r + kr, k! Z; 80 9,7 + n60 60, + n60 0,89r + nr, n! Z e 60, n60 9,7 k60 e O

141 6 6 SZÖGFÜGGVÉNYEK ÁRÁZOLÁS ) z l() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 cos függvény képét r -vel jor toljuk (z tengely mentén pozitív irány), így éppen sin képét kpjuk j() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 cos függvény képét zsugorítjuk z tengely irányá felére Így függvényünk periódus 80 r lesz k() függvény képét úgy kpjuk meg, h z 7 cos függvény képét tükrözzük z tengelyre, mjd eltoljuk -vel felfelé (z y tengely mentén pozitív irány) y cos cos 0 cos cos k() függvény jellemzése D k R, R k [0; ] függvényünk periódus 80 r lesz függvény mimumánk értéke, mimum helye i r + ir, i! Z függvény minimumánk értéke 0, minimum helye k 0 + r, k! Z függvény szigorún monoton nõ minden Il 90 + lr; r l, l! Z + r függvény szigorún monoton csökkenõ minden I r m 9 mr; r mr, m! Z + + függvény zérushelyei megegyeznek minimumhelyekkel K djuk meg következõ függvények hozzárendelési szályát! ) y 0 ) y 0

142 VII FÜGGVÉNYEK c) y 0 d) y 0 ) z elsõ függvény periódus r, ez zt jelenti, hogy fele olyn lssn járj e z eredeti sin függvény r periódusát Tehát függvényünk z 7 sin lesz mit néhány érték ehelyettesítésével könnyen ellenõrizhetünk ) második függvény koszinusz függvény r -ml jor tolásávl ( tengely mentén pozitív irány) keletezett Ezek szerint hozzárendelési szály 7 cos r - mit néhány érték ehelyettesítésével k könnyen ellenõrizhetünk c) hrmdik függvényünk szinusz függvény képének z tengelyre tükrözése, mjd négyszeresre nyújtásávl (z y tengely mentén) keletkezett Tehát hozzárendelési szály: 7 sin mit néhány érték ehelyettesítésével könnyen ellenõrizhetünk d) negyedik függvény képe úgy keletkezett, hogy koszinusz függvény képét eggyel felje (z y tengely mentén pozitív irány) eltoltuk Tehát hozzárendelési szály: 7 + cos mit néhány érték ehelyettesítésével könnyen ellenõrizhetünk 6

143 VIII VLÓSZÍNÛSÉG- SZÁMÍTÁS 6 VLÓSZÍNÛSÉG-SZÁMÍTÁSI LPFOGLMK K K K E Egy jól megkevert pkli frncikártyáól kiveszünk egy lpot (Tegyük fel, hogy pklin nincs jolly joker, így lp vn pklin) ) Hány elemi esemény vn? ) Legyen z { kihúzott lp vgy treff, vgy ász} Hány elemi eseményõl áll z esemény? c) { kihúzott lpon egy prímszám szerepel} Hány elemi eseményõl áll esemény? ) elemi esemény lesz ) (treff) + (ász) treff ász 6 c) prímek:,,, 7 ez összesen 6 Egy szályos ötszög csúcsi (,,, D, E) közül véletlenszerûen kiválsztunk hármt Ezeket öszszekötve egy háromszöget kpunk ) Hány elemi esemény vn? ) { kpott háromszög tompszögû} Hány elemi eseményõl áll z esemény? ) z öt csúcsól hármt kell válsztni sorrendtõl függetlenül Tehát e o 0 eset vn ) háromszögek mindegyike egyenlõszárú, fele hegyes, fele pedig tompszögû Tehát tompszögû vn,, számjegyek felhsználásávl elõállítjuk z összes háromjegyû számot Ezek közül válsztunk egyet ) Hány elemi esemény lehetséges? ) { kiválsztott számn mindhárom számjegy szerepel} Hány elemi eseményõl áll z esemény? ) z összes esetet egy ismétléses vriáció dj meg V 7 eset vn ) Itt ismétlés nélküli vriációról vn szó V 6 eset vn Otthoni dominókészletünkkel négyen kezdenek játszni: ldár, él, ecíli és Dór készleten nullától nyolcig minden párosítás egyetlenegyszer szerepel Kezdeten mindenki ugynnnyi dominót kp, és fennmrdó egy dominó lesz kezdõ Kísérletünken játék elején megnézzük kiosztást Két kiosztást különözõnek tekintünk, h vn leglá egy olyn játékos, ki nem ugynzokt dominókt kpt ) Hány dominóól áll készlet? ) Hány elemi esemény lehetséges? c) {ldár megkpt z összes ötöst trtlmzó dominót} Hány elemi eseményõl áll z esemény? 7

144 VIII VLÓSZÍNÛSÉG-SZÁMÍTÁS ) Kilenc különözõ szám vn Eõl válsztunk két különözõ, vgy két egyform számot, sorrend nem 9 9 számít Így e o+ e o d dominó vn ) Mindenki dominót kp kezdõ lehet -féle, ldár kpht e o, él e o, ecíli e o, Dór e o drot kpht Így összesen $ e o$ e o$ e o$ e o, 78 $ 0 Ez egy htlms szám, ez iztosítj, hogy játék igen sok, vriációs lehetõséget djon c) ldár iztosn megkpt 9 ötöst trtlmzó dominót és kp még kettõt 6 Összesen e o$ e o$ e o$ e o$, 9 $ 08 lehetõség vn 66 MÛVELETEK ESEMÉNYEKKEL K K Két különözõ pénzérmét feldov nézzük következõ eseményeket! {pontosn egy fejet dounk}, {mimum egy írást dounk}, {kevese mint két fejet dounk}, D {pontosn két fejet dounk} Végezzük el következõ mûveleteket! +,, +,, + D, D, + D,, z eseményeket írjuk le egyszerûen: {if, fi}, {if, fi, ff}, {ii, if, fi}, D {ff} Ez után könnye megoldás +,, +,, + D, D 0, + D H, {ii, ff}, {ii} Egy jól megkevert mgyrkártycsomgól ( 8 d lpól áll) kiválsztunk négyet { kihúzott lpok között vn piros}, {kevese mint három pirost húzunk}, {leglá két pirost húzunk}, D {z összes kihúzott lp piros} Végezzük el következõ mûveleteket! +,,,,, D, +, +,, + D + H, {egy vgy két pirost húzunk}, {nincs piros}, {leglá három pirost húzunk}, {mimum egy pirost húzunk} {null vgy egy pirost húzunk}, D { kihúzott lpok között vn leglá egy, mi nem piros}, +, + H, {két pirost húzunk}, + D E 8 Legyen véletlen kísérletünk, hogy tévéen megnézünk egy ötöslottó-sorsolást (90 számól véletlenszerûen kihúznk -öt) Jegyezzük fel kihúzott öt számot sorn! Nézzük következõ eseményeket! {mind z öt szám pártln}, { legngyo szám ngyo mint nyolcvn), { kihúzott számok között vn prím}, D {z öt számot emelkedõ sorrenden húzták ki} ) djunk meg egy-egy elemi eseményt, mi hozzátrtozik z egyes eseményekhez! ) Hány elemi eseményõl áll z,, illetve esemény? { (,,, 7), (,,, 9), (8, 8, 8, 87, 89)}összesen e o 79 elemi esemény vn {(,,,, 8), (,,,, 8), (8, 86, 87, 88, 89), (86, 87, 88, 89, 90)}összesen e o- e o elemi eseményõl áll esemény z összes elemi eseményõl kihgytuk zokt, hol mind z öt szám z elsõ nyolcvnól kerül ki

145 67 68 ESEMÉNYEK VLÓSZÍNÛSÉGE elemi eseményeinek számát h meg krjuk kpni, kkor ismernünk kell prímeket egytõl 90-ig Ezek z,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7,,, 7,, 9, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89 Õsszesen prímet tláltunk Tehát olyn szám vn mi nem prím {(,,,, ), (,,,, 6), (8, 86, 87, 88, 89), (86, 87, 88, 89, 90)} összesen e o- e o 0 0 elemi esemény vn D {(,,,, ), (,,,, 6), (8, 86, 87, 88, 89), (86, 87, 88, 89, 90)} összesen mivel 90 minden szám ötöst csk egyféle módon húzhtjuk ki emelkedõ számsorrenden ezért e o elemi esemény vn E fõs osztályn lány vn mtemtiktnár véletlenszerûen válszt három felelõt z {mindhárom felelõ fiú}, { felelõk között vn fiú}, { felelõk között vn lány} Htározzuk meg következõ eseményeket! +,,,, +, + +,, 0, {egy lány és két fiú vgy két lány vgy két lány és egy fiú felel}, + H, + H ESEMÉNYEK VLÓSZÍNÛSÉGE K K E Végezzünk kísérletet nnk megállpításár, hogy z olvsmányn szereplõ események reltív gykoriság hogyn lkul ngyo kísérletszám esetén! H mindenki 0 kísérletet végez és feljegyzi kilences, tízes és z újr doás gykoriságát, mjd ezeket következõ órán egyesítjük, kkor tö mint ezer kísérletõl tudunk reltív gykoriságot számolni Remélhetõleg z ezres kísérletszám esetén két esemény reltív gykoriság elég jól közelíti z elméletileg megdott értékeket Három egyform pénzérmét feldov figyeljük felül lévõ jeleket Hányféle elemi eseményt tudunk megkülönöztetni? Melyik modell lpján számoltunk? Mekkor három fej doásánk vlószínûsége? leckéen mondottk lpján szerencsése zt modellt lklmznunk, hol látszólg egyform dolgokt mégis megkülönöztetjük Ezért három érme esetén úgy dom meg z elemi eseményeket, hogy elõször z egyes, mjd kettes, végül hárms számú érmén doott eredményt sorolom fel z elemi események:iii, iif, ifi, fii, iff, fif, ffi,fff, vgyis összesen nyolc elemi esemény vn Ezt számot úgy is megkphttuk voln, hogy mivel tudjuk, hogy mindhárom érmével kétfélét dohtunk egymástól függetlenül így 8 eset lehetséges Feltételezzük, hogy doások egyenletesen oszlnk el nyolc elemi esemény között P 8 Egy skktálár véletlenszerûen elhelyezünk két különözõ színû ástyát (6 mezõõl válsztunk kettõt) Mennyi vlószínûsége, hogy ütik egymást? Mi helyzet más áok esetén? 6 Összesen e o 06 féle módon helyezhetjük el két ástyát Eõl, h egy sorn, vgy egy oszlopn vnnk kkor két ásty, kkor ütik egymást Mivel nyolc sor és nyolc oszlop vn, 9

146 VIII VLÓSZÍNÛSÉG-SZÁMÍTÁS 8 így 6 8 ilyen eset vn Tehát z összes lehetséges eset 8 részéen ütik egymást P 8 e o Nézzünk egy másik gondoltmenetet Tegyük fel, hogy z elsõ ástyát már lerktuk H z õ sorá, vgy oszlopá tesszük másik ástyát, kkor zok ütik egymást ilyen hely vn kárhol is vn z elsõ ásty második ástyát 6 helyre tehetjük le Ez zt jelenti, hogy z esetek részéen üti egymást 6 9 két ásty E Mennyi vlószínûsége, hogy egy doókockát kétszer egymás után feldov ugynzt számot dojuk? két kockát megkülönöztetve féle lehet két doás eredménye Tehát 6-féle elemi esemény vn Ezek közül 6 olyn elemi esemény vn, mikor két doott szám megegyezik Eõl rr következtetünk, hogy z összes doásnk -od részéen lesz két kockán doott szám egyform Második megoldás Teljesen mindegy milyen z elsõ kockán doott szám, másodikkl vlószínûséggel dounk ugyn olyn 6 számot 69 VLÓSZÍNÛSÉG KISZÁMÍTÁSÁNK KOMINTORIKUS MODELLJE K E Mennyi z esélye, hogy három pénzérmét feldov három fejet vgy három írást dounk? Mivel három különözõ érmével dov 8 egyformán vlószínû elemi eseményt tudunk megkülönöztetni és nekünk csk z III vgy z FFF kedvezõ kedvezõ esetek P 0, % 8 összes eset Egy kisregény lpji 7-tõl 00-ig vnnk megszámozv Véletlenszerûen kinyitjuk könyvet vlhol, és ott ráökünk z egyik oldlr Mennyi z esélye, hogy z oldlon láthtó sorszám prím? Mivel 7-tõl 00-ig 9 szám vn és ezek között pontosn prím, ezért P,% 9 7 0

147 70 NÉHÁNY ÉRDEKES PROLÉM 70 NÉHÁNY ÉRDEKES PROLÉM K K K E Egy kosárn lm vn, közülük elülrõl kicsit férges Kettõt véletlenszerûen kiválsztottm, hogy elvigyem uzsonnár Mennyi z esélye, hogy kellemes uzsonnán lesz részem, mi zt jelenti, hogy mindkét lm teljesen ép? 9 e o kedvezõ esetek P(mindkét lm teljesen ép) 6 6 összes eset 66 e o Igz-e, hogy htos lottón tö mint ötször kkor telitlált vlószínûsége, mint z ötös lottón? 90 e o e o p(telitlált htos lottón) 6,, tehát válsz igen p(telitlált z ötös lottón) 90 e o e o 6 Egy osztály fiú és néhány lány jár két hetest véletlenszerûen kiválsztv, nnk vlószínûsége, hogy mindkettõ fiú lesz, Hány lány jár z osztály? 0 7 Tegyük fel Hogy k lány jár z osztály e o P k ^ + kh^ + k-h ^ + kh^ + kh ^ + kh^ + kh e o Vgyis: 0 / $ 0 $ k $ k ^ + h ^ + h ^ + kh^ + kh ( + k)( + k) 600 k + 9k 90 0 k 0, k 9 feldt feltételeinek csk k 0 felel meg Ez zt jelenti, hogy 0 lány jár z osztály e o Vlón e o mtemtikérettségire elõzetesen öt feldtsort készítettek, melyek közül kiválsztják z eredeti és pótérettségi feldtsorát z egyes sorszámú trtlmz egy nehéz vlószínûség-számítási feldtot Mennyi z esélye, hogy ez feldtsor is közte lesz két kitûzött feldtsornk? $ e o kedvezõ esetek P 0% Tehát 60% z esélye nnk, hogy kiválsztott összes eset 0 e o feldtsorok között lesz z egyes sorszámú

148

149 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK 7 LEKE KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK E E Mekkor középponti szögek trtoznk 7 ; 89, ; 6 8 kerületi szögekhez? djuk meg ezeket szögeket rdiánn is! Egy kören kerületi szög fele z ugynzon íven nyugvó középponti szögnek, így középponti szögek értéke 7, 89, 78,8 és (,6 ) 80 -nk r rdián felel meg, szögnek r rdián középponti szögek értékei rdiánn 80 o mérve rendre o $ r 78, 8, 6 0,9 rd, o $ r, rd és o $ r o o o,98 rd Mekkor kerületi szögek trtoznk 6 ; 8, ; 6 középponti szögekhez? djuk meg ezeket szögeket rdiánn is! o kerületi szögek 6 o 8,, o 6,, 6l (,7 ) rdiánn, 7 mért értékek rendre o $ r 6, 0,9 rd, o $ r, rd és o $ r o o o, rd E E Egy kören két ív hossz 8 cm és cm z elsõhöz trtozó középponti szög Mekkor második ívhez trtozó kerületi szög? z ívek hossz egyenesen rányos hozzájuk trtozó középponti szögek ngyságávl második ívhez trtozó kerületi szöget jelölje, ekkor, s innen $ o 78,7 o 8 8 Egy kören 7 -os kerületi szöghöz cm hosszú körív trtozik Mekkor ív trtozik -os középponti szöghöz? keresett ívet jelölje i 7 -os kerületi szöghöz trtozó középponti szög 7 7 z elõzõ o feldt megoldásához hsonlón felírhtjuk z i rányt, és innen i $ o o o 7 7 7,7 (cm)

150 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK E Egy húr körvonlt két olyn ívre osztj, melyek rány : 7 Mekkorák z ívekhez trtozó középponti és kerületi szögek? Egyrészt középponti szögek ngyság rányos hozzájuk trtozó ívek hosszávl, másrészt két szög öszszege 60 Így két középponti szög $ 60 0 és 7 $ os, hozzájuk trtozó kerületi szögek értéke pedig o o o o 0 o és 0 o E Mekkor kerületi szög trtozik kör ; ; ; részéhez? 8 80 kör részéhez trtozó középponti szög ngyság 60, kerületi szög pedig ennek fele: $ o 80 6 Hsonlón: z részhez trtozó kerületi szög 80,, részhez trtozó kerületi szög $ 80, 8 $ $ o 8 o részhez trtozó kerületi szög pedig $ 80 o o 7 E 8 E Két húr 8 -es szögen metszi egymást E szög egyik ívéhez trtozó középponti szög 6 Mekkor másik ívhez trtozó középponti szög? O M D Jelölje kör középpontját O, z és D húrok metszéspontját M feltételek szerint ismert M MD, vlmint ívhez trtozó O középponti szög, minek ngyság legyen ~ Vegyük fel z segédszkszt! Ekkor ~, mert felekkor ngyságú, mint ívhez trtozó középponti szög z M ~, mert z M háromszögen z M csúcsnál lévõ külsõ szög Mivel z M D egyúttl z D ívhez trtozó kerületi szög, ezért z D ívhez trtozó középponti szög ennek kétszerese: OD ( ~) (z eredmény független O és M viszonylgos helyzetétõl) konkrét dtokkl 8, ~ 6, ~, s így keresett középponti szög OD (8 ) 6 z árán és c ívekhez trtozó kerületi szögek, illetve c Mekkor z szög és c ismeretéen? c c H z ívhez trtozó kerületi szög, kkor D (ár) Hsonlón h D ívhez trtozó kerületi szög c, kkor D D c z DM háromszög M-nél lévõ külsõ szöge, így + c M O D

151 7 LEKE KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK M O D Hsonlón járunk el een z eseten is D és D D c Most DM háromszög -nél lévõ külsõ szöge c, így c +, zz c 9 E Rjzoljunk két egymást metszõ kört, és húzzunk egyeneseket z egyik metszéspontjukon át! Igzoljuk, hogy ezeknek két kör kivágt szkszi mind ugynkkor szögen láthtók másik metszéspontól! (z M metszéspont elválsztj z és második metszéspontokt) M N Jelöljük z M metszésponton át húzott egyenesek, vlmint két kör metszéspontjit -vl és -vel, két kör másik metszéspontját -vel (ár) Ekkor zt kell izonyítnunk, hogy z szög állndó (zz nem függ z egyenes helyzetétõl) M rögzített, így M z O középpontú kör kerületi szöge, tehát állndó Hsonlón M Q középpontú kören kerületi szög, ezért ngyság is állndó Végül 80 ( + ), mi szintén állndó érték; s ezzel z állítást igzoltuk O M M Q O 80 Q

152 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK 7 ÉRINTÕSZÁRÚ KERÜLETI SZÖG E Szerkesszük meg egy háromszög köré írt kör ponteli érintõjét kör középpontjánk megszerkesztése nélkül! e z c z íven nyugvó kerületi szög Ugynilyen ngyságú z ponteli e érintõ és z húr áltl ezárt hegyesszög is (érintõszárú kerületi szög), ezért elegendõ egy olyn D pont megszerkesztése, melyre D c Ekkor e D keresett érintõ O D E Számítsuk ki z háromszög köré írt kör ponteli érintõjének és oldl egyenesének szögét, h háromszög -nél és -nél levõ szögei és c! z e érintõ és oldlegyenes metszéspontját jelöljük D-vel (ár) Ekkor D c (érintõ szárú kerületi szög), s mivel z D háromszög -nél lévõ külsõ szöge, így keresett szög D c O e D Ezt z eredményt n z eseten kpjuk, h > c H c, zz háromszög egyenlõ szárú, kkor két egyenesnek nincs metszéspontj; h pedig < c, kkor szksz -n túli meghosszítás metszi z e érintõt, s ezárt szög c D e O 6

153 7 ÉRINTÕSZÁRÚ KERÜLETI SZÖG E Rjzoljunk egy háromszög csúcspontjin háromszög köré írt körhöz érintõket! Mekkorák z érintõk áltl meghtározott háromszög szögei, h z eredeti háromszög szögei,, c? z húrhoz trtozó érintõszárú kerületi szögek ngyság c, húrhoz trtozóké, és z húrhoz trtozóké (ár) Jelölje z érintõk metszéspontját D, E, F; ekkor keresett szögek ngyság FDE 80, DEF 80 c, EFD 80 Megjegyzés: három szög összege 80 ( + + c) 80 természetesen D O F E E Igzoljuk, hogy egy háromszög egyik szögfelezõje és szemközti oldl felezõmérõlegese köré írt körön metszik egymást! Jelöljük csúcsól húzott szögfelezõ és körülírt kör metszéspontját E-vel (ár)! Mivel E E, és ugynkkor kerületi szögekhez zonos hosszúságú ívek trtoznk, ezért z E és E ívek egyenlõk Eõl következik, hogy E z ív felezõpontj, s ezen ponton z szksz felezõ merõlegese vlón átmegy O F E E Húzzunk két kör egyik metszéspontján át egyeneseket! két körrel vló új metszéspontjikn húzzunk érintõket körökhöz! Mutssuk meg, hogy mindezek z érintõpárok ugynkkor szöget zárnk e egymássl! (z M metszéspont elválsztj z és második metszéspontokt) M 7

154 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK E O M Q két kör M metszéspontján át húzott egyenes z és pontn metszi köröket, z ezen pontok húzott érintõk metszéspontját pedig jelölje E izonyítnunk kell, hogy z E állndó Egy lehetséges megoldás következõ Jelölje két kör M-tõl különözõ metszéspontját z elõzõ leckéen igzoltuk, hogy z állndó (Emlékeztetõül: z ár szerinti és kerületi szögek ngyság állndó, és 80 ( + )) Észrevehetjük, hogy EM M c és EM M f (érintõ szárú, illetve normál kerülti szögek) Mivel c + f állndó, így E 80 (c + f) szintén állndó érték (zt is megkptuk, hogy E + ) M O Q E 7 LÁTÓSZÖGGEL KPSOLTOS MÉRTNI HELY e m f következõ feldtok megoldás során áltlán dott szksz látókörét kell megszerkesztenünk szerkesztésre tö lehetõségünk vn Tegyük fel, hogy sík zon pontjit keressük, melyekõl egy szksz ngyságú szögen látszik ponthlmz két, z -re szimmetrikus helyzetû körív, s z egyik körközéppontot például leckéen leírt módon, z ár szerinti f és g egyenesek metszéspontjként kphtjuk meg (g merõleges z ponteli érintõre, míg f z szksz felezõmerõlegese) O OF OF 90 szerkeszthetõ, így egy másik lehetõség például g és h egyenesek szerkesztése (mindkét eseten 90 ngyságú g h szöget kell felmérnünk z szkszr) Elvileg úgy is eljárhtunk, hogy megszerkesztjük körív vlmely továi F pontját z árán és D pontok szerkeszthetõk könnyen: D 90, D 90, így D pont h és m egyenesek metszete (m z szkszr -n állított merõleges) pont szerkesztéséen pedig z z észrevétel segít, hogy F 90 Mindkét eseten ismerjük körvonl három pontját, így visszvezethetjük feldtot három pont köré írt kör szerkesztésére továikn tehát ismert szerkesztési lépésként hivtkozunk látókör-szerkesztésre leckéen kitûzött szerkesztési feldtok teljes és részletes megoldásár nincs lehetõségünk; megelégszünk szerkesztés vázltos menetének leírásávl, s minimális elsõsorn megoldásszámr vontkozó diszkuszszióvl (elemzéssel) 8

155 7 LÁTÓSZÖGGEL KPSOLTOS MÉRTNI HELY E Rjzoljunk egy egyenest, és tûzzünk ki rjt kívül két pontot! Szerkesszünk z egyenesen olyn pontot, melyõl kitûzött pontokt összekötõ szksz dott szögen láthtó! Jelölje szkszt, z dott szöget! Ekkor keresett pont z szksz szögû látókörének, vlmint z dott egyenesnek metszéspontj Mivel látókör két körív, megoldások szám 0,,, vgy lehet E Vegyünk fel egy kört és kör elsejéen két pontot! Szerkesszünk körön olyn pontot, melyõl két dott pontot összekötõ szksz dott szögen láthtó! Hsonlón járunk el, mint z elõzõ feldtn H szkszt, z dott szöget jelöli, kkor z szksz szögû látókörének, vlmint z dott körnek metszéspontj megfelelõ lesz Most is legfelje megoldás lehet E Szerkesszünk egy szályos háromszög elsejéen olyn pontot, melyõl z egyik oldl 90 -os, másik 0 -os szögen láthtó! keresett pontok z egyik oldl 90 -os, és másik oldl 0 -os látókör-íveinek metszéspontji z árán megrjzoltuk z oldl 0 -os, vlmint és oldlk 90 -os látóköreit (ez utóik Thlesz-körök) Keresett tuljdonságú pontok G és H z ár lpján zt is megállpíthtjuk, hogy feldtnk 6 megoldás vn E O F G H D E Szerkesszünk egy négyzet elsejéen olyn pontot, melyikõl két szomszédos oldl egyike 0 -os, másik 0 -os szögen láthtó! Tekintsük feldtot megoldottnk, zz tegyük fel, hogy z D négyzet elsejéen z E pont olyn tuljdonságú, hogy E 0 és E 0 (ár) Ekkor E c 90 dódik Ez zonn nem lehetséges: könnyen igzolhtó, hogy mindig teljesülnie kell z E < 90 egyenlõtlenségnek (izonyítás: külsõszög-tételt kétszer lklmzzuk, ez lpján E < F < 90 ) feldtnk tehát nincs megoldás D E F 9

156 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK E 6 E P Keressünk egy derékszögû háromszög elsejéen olyn pontot, melyõl mind három oldl ugynkkor szögen láthtó! Mindig vn feldtnk megoldás? keresett P pontr P P P 0, így P z, és oldlkr emelt, 0 -os látókörívek metszéspontjként állht elõ z áráról leolvshtó, hogy h z szksz 0 -os látókörívéhez pontn érintõt húzunk, kkor z e érintõ z szksszl 60 -os szöget zár e Ezért z és oldlkr emelt 0 -os látókörívek minden olyn eseten metszik egymást, mikor < 0 derékszögû háromszögre ez feltétel teljesül, tehát z és oldlkr emelt 0 -os látókörívek mindig metszik egymást egy P pontn Mivel P P 0, szükségképpen P 0, tehát P ponton át kell hldni z oldlr emelt 0 -os látókörívnek tehát feldtnk mindig vn pontosn egy megoldás Megjegyzés: három látókörívet tetszõleges háromszög esetén is megszerkeszthetjük H háromszög minden szöge kise, mint 0, kkor pont egyértelmûen létezik, ezt nevezik háromszög izogonális pontjánk Egy kör elsejéen vegyünk fel egy pontot! Szerkesszünk ponton át olyn húrt, melyhez dott ngyságú kerületi szög trtozik! k c g h Töféle megoldás dhtó dott ngyságú kerületi szögekhez ugynkkor húrok trtoznk (és fordítv), így ismeretéen keresett húr h hossz meghtározhtó h hosszúságú húrok felezõpontji z eredeti körrel koncentrikus c kört htározzák meg (egyúttl c-t érintik), tehát elegendõ z dott P ponton át c körhöz érintõt szerkesztenünk O P konkrét eljárás következõ (ár): z dott O középpontú k köre tetszõleges ngyságú kerületi szöget szerkesztünk, z ehhez trtozó húr hossz tehát h Megszerkesztjük z szksz F felezõpontján átmenõ, O középpontú c kört ( c-t érintõ húrok hossz h) Végül F P-õl érintõt szerkesztünk c körhöz, z érintõ k köre esõ szksz keresett húr z érintõ szerkesztésétõl függõen 0, vgy megoldás lehet (z árán két megoldás láthtó, z és húr) 7 E Rjzoljunk egy kört és egy háromszöget! Szerkesszünk köre háromszöget, melynek szögei egyenlõk z dott háromszög szögeivel! Elsõ megoldás Jelölje háromszög szögeit, és c! Ezekhez kerületi szögekhez z dott k kören állndó,, c hoszszúságú húrok trtoznk szerkesztés tehát egyszerûen nnyiól áll, hogy z, és c hosszúságú húrok megszerkesztése után, ezeket egymáshoz cstlkozv felmérjük kören (Elég és felmérése; c szükségképpen teljesül) Második megoldás Megszerkesztjük z dott háromszög köré írhtó c kört, mjd c-t hsonlósági trnszformációvl átvisszük k- k kören keletkezett háromszög megfelelõ lesz 8 E 60 Szerkesszünk négyszöget, h dott két átlój, két szomszédos oldl és másik két oldl szöge! Legyen z D négyszögen z átlók hossz e, D f, vlmint ismert mennyiségek még D d, D c és Észrevehetjük, hogy z D háromszög könnyen szerkeszthetõ, hiszen három oldl ismert (H z oldlk más sorrenden dottk, kkor is szerkeszthetõ háromszöget kpunk két szomszédos oldl és megfelelõ átló segítségével) hiányzó pont két ponthlmz metszeteként áll elõ: egyrészt rjt vn D középpontú, f sugrú körön, másrészt pedig z átló szögû látókörén fekszik

157 7 7 HÚRNÉGYSZÖG Tö megoldást is kphtunk, s ezek között konkáv négyszög is lehet ( látókörívet z átló mindkét oldlár megszerkeszthetjük) Természetesen megoldhtóság egyik szükséges feltétele, hogy z e, d, c hoszszúságú szkszokól háromszöget szerkeszthessünk) D c d e f f 7 7 HÚRNÉGYSZÖG E prlelogrmmák közül melyek húrnégyszögek? prlelogrmmák szemközti szögei egyenlõk H ezek összege 80, kkor szögek szükségképpen 90 -osk Tehát h egy prlelogrmm húrnégyszög, kkor tégllp E Lehet-e trpéz vgy deltoid húrnégyszög? húrtrpéz húrnégyszög (és h egy húrnégyszög trpéz, kkor z húrtrpéz) H z D deltoidn D, és húrnégyszög-tuljdonság mitt + D 80, kkor D 90 feltétel elégséges, mert ekkor másik két szög összege is 80 Tehát z ún derékszögû deltoid húrnégyszög; ekkor konve, és körülírt kör középpontj z átló felezõpontj E izonyítsuk e, hogy egy háromszög két mgsságvonlánk meghosszítási hrmdik csúcstól egyenlõ távolságn levõ pontokn metszik háromszög köré írt kört! Metsszék z háromszögen z és csúcsól húzott mgsságok D, illetve E pontn körülírt kört Ekkor igzolnunk kell, hogy E D (ár) Legyen, ekkor E szintén, mert mindkét szög z íven nyugvó kerületi szög z árán f-nl, illetve m-vl jelölt szögek egyenlõk, mert megfelelõ derékszögû háromszögeken pótszögeik Készen vgyunk: E D, s mivel ezen kerületi szögek egyenlõk, hozzájuk trtozó E, illetve D ívek hossz is megegyezik O D E 6

158 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK O megfontolásink tompszögû háromszög esetén is érvényesek mrdnk (Például z árán csúcsnál lévõ tompszög mitt G és F háromszögön kívül hldó mgsságvonlk E, mert kerületi szöge z G és FE derékszögû háromszögeken m 90 és f 90, tehát m f) E F D G M E E 6 E Tükrözzük egy tompszögû háromszög mgsságpontját háromszög egyik oldlegyenesére! Igzoljuk, hogy mgsságpont tükörképe háromszög köré írt körön vn! z elõzõ ár jelöléseit hsználv z G és F mgsságok M metszéspontj háromszög mgsságpontj z FE és FM derékszögû háromszögek egyevágóság mitt, h z M pontot tükrözzük z oldlegyenesre, kkor z E pont jutunk, mi vlón rjt vn körülírt körön (M-et G-re tükrözve D pontot kpjuk) Igzoljuk, hogy ármely nem derékszögû háromszög két csúcs és szemközti oldlukhoz trtozó mgsságtlppontok húrnégyszöget htároznk meg! Mivel D E 90, így z szkszr emelt Thlesz-kör átmegy D és E pontokon z,,, D pontok tehát vlón egy körön vnnk Tompszögû háromszögre is igz mrd z állítás ( tompszögû háromszöget úgy képzelhetjük el, hogy és M pont szerepet (és helyet) cserél) z árán és D egy-egy kör párhuzmos húrji Igzoljuk, hogy z EDF négyszög húrnégyszög! E D D M E F Legyen E, ekkor FE 80, mert EF húrnégyszög EF FE kiegészítõ szöge, így EF z és D húrok párhuzmosság mitt D 80 D 80 Kptuk, hogy z EDF négyszögen D + F 80, így EDF vlón húrnégyszög O E 80 F 80 D Q 6

159 7 7 HÚRNÉGYSZÖG 7 E Igzoljuk, hogy z árán szereplõ ED négyszög húrnégyszög! E D O Thlesz tétele mitt D 90, így ED négyszögen + D 80, vgyis ED vlón húrnégyszög D E O 8 E Igzoljuk, hogy h egy konve négyszög szögfelezõi négyszöget lkotnk, kkor ez négyszög húrnégyszög! z D négyszög szögeit jelölje,, c, d, szögfelezõk áltl kpott négyszög csúcsit pedig E, F, G, H! z EFGH négyszög H-nál levõ elsõ szöge z ár szerint H r ( + d), z F-nél lévõ elsõ szöge pedig F r ( + c) két szög összege H + F r ( + + c + d) Mivel ármely négyszög elsõ szögeinek összege r, ezért + + c + d r, zz + + c + d r z EFGH négyszög szemköztes szögeinek összege így r, vgyis eláttuk, hogy (h létezik) EFGH húrnégyszög D H E G F 9 E Két kör metszéspontjin át egy-egy szelõt húztunk Igzoljuk, hogy z D négyszög trpéz! (Ne feledkezzünk meg diszkusszióról!) D 6

160 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK O M 80 Q 80 D z O és Q középpontú körök metszéspontjit jelöljük M-mel és N-nel, s legyen N (ár)! NM húrnégyszög, ezért MN 80 Ennek NMD kiegészítõ szöge, így NMD ; továá ND 80, mert NDM húrnégyszög D vlón trpéz, mert + 80 Meg kell vizsgálnunk zt z esetet, h z egyik szelõ, pl D, másik (z árán: rövideik) MN ívén metszi Q középpontú kört N O M Q Jelöljük z ár szerinti és D szelõk metszéspontját E-vel, s legyen N Ekkor MN szintén (zonos N íven nyugvó kerületi szögek) De hsonló okok mitt DMN DN szintén Mivel E ED váltószögek, így és D párhuzmos, tehát D trpéz D E N M Végül hsonlón igzolhtó hrmdik eset is, mikor mindkét szelõ rövideik MN ívén metszi Q középpontú kört ( izonyítás leolvshtó z áráról) O E Q D N 0 E Egy háromszög egyik oldlán levõ mgsságtlppontól ocsássunk merõlegest másik két oldlr! Igzoljuk, hogy ezeknek tlppontji és kiindulásul vett oldl végpontji egy körön helyezkednek el! D T 90 E z csúcsól oldlr ocsátott merõleges tlppontját jelölje T, T pontól z és oldlkr ocsátott merõlegesek tlppontjit pedig jelölje D és E (ár) H c, kkor ET c (merõleges szárú hegyesszögek), vlmint ED c is teljesül Ugynis DTE húrnégyszög (D + E 80 ), és ET és ED z E húrhoz trtozó kerületi szögek Ekkor zonn DE 80 c, s így ED négyszögen + D 80 z állítást eláttuk: ED húrnégyszög 6

161 7 7 HÚRNÉGYSZÖG Hsonlón igzolhtó tompszögû háromszögekre is z állítás Segítségül egy árát mellékelünk D E T E Igzoljuk, hogy h négy kör ármelyike két másikkl kívülrõl érintkezik, kkor négy érintési pont egy körön vn! Elsõ megoldás Jelölje körök középpontját O, O, O, O D, körök érintési pontjit,,, D, körközéppontoknál keletkezett szögeket pedig,, c, d (ár)! o Mivel O D egyenlõ szárú háromszög, így O D 90 -, s hsonlón O D o D 90 d - z D 80 O D O D D + d Szimmetriokok mitt + c z D négyszögen D c+ d 80, mert + + c + d 60 (négyszög elsõ szögeinek összege) z állítást eláttuk, D húrnégyszög Második megoldás Húzzuk meg közös érintõket z,,, D pontok négyszög elsejéen lévõ D ívhez trtozó kerületi szög c z és D pontoknál is Hsonlón,, d szögek dódnk z,, D ívnél keletkezõ érintõ szárú kerületi szögekre Mivel + + c + d 60 (négyszög elsõ szögeinek összege), ezt -vel osztv + + c+ d 80, és ez éppen z és, vlmint és D csúcsoknál keletkezõ kerületi szögek összege O O D O O D 6

162 IX KÖZÉPPONTI ÉS KERÜLETI SZÖGEK E Igzoljuk, hogy z öt húrnégyszögõl összetett D négyszög szintén húrnégyszög! D S R P Q D z öt húrnégyszögre tíz összefüggést írhtunk fel ( szemközti szögek összege 80 ), továá vn még négy összefüggésünk: elsõ csúcsok körüli szögek összege 60 Ez egyenlet; tehát négyszögek 0 elsõ szögei közül 6-ot szdon válszthtunk Legyenek ezek,, c, d, f, ~, és töi szög értékét ezek segítségével kifejezhetjük (ár) külsõ négyszög két szemköztes szögének összege ( f + d) + (f + r d) r ( 80 ), tehát külsõ négyszög vlón húrnégyszög (h elsõk is zok) KÖRHÖZ HÚZOTT SZELÕSZEKSZOK TÉTELE (OLVSMÁNY) E E Egy körhöz P pontól húzott szelõ kört -n és -en metszi P szksz cm-rel rövide, pedig cm-rel hossz, mint P-õl körhöz húzott érintõ Mekkor z érintõszksz? Jelöljük z érintõszksz hosszát e-vel feldt szövege szerint P e, és e + Ezért P P + ^e - h+ ^e + h e Mivel z érintõszksz hossz mértni közepe szelõszkszokénk, így e e^e - h Innen e 0 mitt oszthtunk e-vel Átrendezve e 0 dódik Egy külsõ P pont kör középpontjától 7 cm távolságr vn, szelõszkszok 0 cm és cm Mekkor kör sugr? Jelöljük z érintõszksz hosszát e-vel Mivel z érintõszksz hossz mértni közepe szelõszkszokénk, így e d - r d - P $ P; r d - e 7 - $ ; r 69; r 66

163 KÖRHÖZ HÚZOTT SZELÕSZEKSZOK TÉTELE (OLVSMÁNY) E Egy körhöz P pontól húzott érintõszksz 0 cm, egy P pontól húzott szelõ kör középpontjától 8 cm-re vn E szelõnek hossz szelete 0 cm Mekkor kör sugr? Jelöljük rövide P szelõszkszt -szel (ár) Mivel z érintõszksz hossz mértni közepe szelõszkszokénk, így 0 0, honnn 0 cm Tehát z húr hossz 0 cm, szksz F felezõ pontj -tól cm-re vn H O-vl jelöljük kör középpontját, kkor felírhtjuk Pitgorsz tételt z FO háromszögre r ; r 7 cm r F 8 O 0 P E E dott egy f egyenes és két rá nem illeszkedõ pont z egyik félsíkn Szerkesszünk olyn kört, melyik érinti z egyenest és átmegy két ponton! Legyen két pont és Mivel két pont illeszkedik körre, ezért keresett kör középpontj rjt vn felezõ merõlegesén Most két esetre ontjuk megoldást ) egyenes metszi z f egyenest Jelölje metszéspontot P Ekkor szelõszkszok tétele mitt P $ P f Meg tudjuk szerkeszteni szelõszkszok mértni közepének hosszát, mi z érintõszksz hossz Ezt P pontól mindkét irány felmérhetjük z f egyenesre Két lehetséges érintési ponthoz (E, E ) jutunk Mindkét pontn merõlegest állítunk z f egyenesre Ezeknek z felezõ merõlegesével lkotott metszéspontji (O, O ) dják két keresett kör középpontját körök sugri O E és O E szkszok ) egyenes párhuzmos z f egyenessel Ekkor felezõ merõleges szimmetri tengely z érintési pont ezért felezõ merõleges és z f egyenes metszéspontj (E ) keresett kör pedig z E háromszög köré írt köre izonyítsuk e, hogy elsõ pontr nézve igz, hogy P $ P r - d, hol d P pont távolság kör középpontjától! Húzzuk meg P-t kör O középpontjávl összekötõ húrt (z átmérõt) H P z O szkszr esik, kkor P r + d, és P r d kettõ összeszorzásáól dódik z állítás 67