Nevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét

Átírás

1 Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók közül zok dolgozk eredméyesebbe, kik feldtot, problémát, h szükséges át tudják foglmzi. A feldtmegoldás sorá megjeleő kifejezések átlkításához, összehsolításához szükséges mtemtiki eszközökkel redelkezek. Sok feldt megoldásához v szükségük középértékekre és köztük lévő összefüggésekre. Az lábbi feldtokb ezekre tláluk példákt. A középiskoláb hszáltos égy középérték foglm: z,,, pozitív vlós számok.) számti közepé z ( ) A,,, = G i.) mérti közepé (,,, ) = ;.) hrmoikus közepé H (,,, = 4.) égyzetes közepé N (,,, ) = i i ; ; i kifejezést értjük. A középértékek között H G A N egyelőtleséglác áll fe. Az egyelőség potos kkor teljesül, h = =... =. A tulás folymtát segíti, h z bsztrkt foglomhoz társíti tuduk szemléletes, vizuális megjeleíthető jeletést is. Feldtok: A. Két változó eseté egy trpézb keressük meg középértékekek megfelelő, lpokkl párhuzmos szkszokt! 85

2 Mgs szitű mtemtiki tehetséggodozás B. Tekitsük következő ábrát! Legye > b > 0 és KV =, KS = b. Fejezzük ki z lábbi szkszokt és b segítségével: AK = GK = HK = NK = Hrmoikus középérték. feldt Bizoyítsuk be, hogy h egy derékszögű trpéz éritőégyszög is, kkor z lpokr merőleges szár hrmoikus közepe z lpokk!. feldt Bizoyítsuk be, hogy szbályos hétszög oldl egyelő hétszög két külöböző átlój hossz hrmoikus közepéek felével!. feldt Adott két egymást kívülről éritő kör. Htározzuk meg zo kör sugrát, mely ériti két kört és zok közös éritőjét. 4. feldt Bizoyítsuk be! ) Bármely háromszögbe beírt kör sugr mgsságok hrmoikus közepéek hrmd. b) Bármely tetréderbe beírt gömb sugr mgsságok hrmoikus közepéek egyede. 5. feldt Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszög szögeire teljesül, hogy 86

3 Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb! + + siα si β si γ Mérti középérték 6. feldt Bizoyítsuk be, hogy h egy szimmetrikus trpéz mgsság mérti közepe z lpokk kkor trpéz éritőégyszög! 7. feldt Egy körbe beíruk és köré íruk egy-egy yolcszöget. Bizoyítsuk be, hogy kör sugr mérti közepe köré írt yolcszög köré írt köre sugrák és beírt yolcszög beírt köre sugrák! 8. feldt Egy háromszög belsejébe felvett tetszőleges poto át háromszög oldlivl párhuzmos egyeeseket húzuk. Ezek z egyeesek háromszög területét ht részre osztják. Mekkor z dott háromszög területe, h dv v három háromszög területe: t, t, t. 9. feldt Bizoyítsuk be, hogy egy háromszög kkor és csk kkor szbályos, h szögeire feáll egyelőség! 0. feldt cosα cos β cosγ = Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe α β γ si si si! 87

4 Mgs szitű mtemtiki tehetséggodozás. feldt Tekitsük egy egységyi oldlú szbályos háromszöget. Az oldlit osszuk egyelő részre, mjd középső szkszok fölé rjzoljuk egyelő oldlú háromszögeket. Hgyjuk el középső szkszokt. Így oly sokszöget kptuk, melyek mide oldl. Ezt z eljárást -szer elvégezve htározzuk meg kpott sokszög oldlik hosszát, számát, kerületét és területét!. feldt Tekitsük egy élű szbályos tetrédert. Mide lpo kössük össze lpokt htároló élek felezési potjit. Így mide lpot égy egybevágó egyelő oldlú háromszögre botottuk. A középső háromszögek fölé mide egyes lpo állítsuk szbályos tetrédereket. Az így kpott test oldllpji hosszúságú szbályos háromszöglpok. Az előbb leírt eljárást ismételjük meg többször egymás utá. Az -edik ráépítés utá mekkor lesz kpott test felszíe és térfogt?. feldt Adott egy egyees és ugyzo oldlá két pot. Szerkesszük oly kört, mely illeszkedik két potr és ériti z dott egyeest! 4. feldt Egy körhöz egy külső potból húzott éritők éritési potji A és B. A kör egy tetszőleges Q potjából z éritőkre, vlmit AB-re bocsátott merőlegesek tlppotji redre E, F, T. Bizoyítsuk be, hogy ekkor QT = QE QF! 5. feldt Az ABCD húrégyszög (AB em párhuzmos CD) átlóik metszéspotj M Az M poto át DC oldlll párhuzmos húzott egyees z AB oldl egyeesét P-be metszi. Igzoljuk, hogy 6. feldt Pot körre votkozó htváy PM = PA PB! 88

5 Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Számti középérték 7. feldt Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe + ρb + ρc k, hol ρ, ρb, ρ c háromszög, b illetve c oldlához írt körök sugri, k háromszög kerülete! 8. feldt Igzoljuk, hogy h k egy háromszög kerülete R háromszög köré írhtó kör sugr, kkor k R! 9. feldt Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe k 6 ρ, hol ρ háromszög beírt köréek sugr, k háromszög kerülete! 0. feldt Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe cosα + cos β + cosγ! Négyzetes középérték. feldt Az R sugrú körbe AC és BD húrok merőlegesek egymásr. A húrokt metszéspotjuk égy szeletre botj. Bizoyítsuk be, hogy ) égy szelet égyzetes közepe egyelő R-rel! b) z ABCD égyszög két-két szemközti oldlák égyzetösszege egyelő! 89

6 Mgs szitű mtemtiki tehetséggodozás. feldt Bizoyítsuk be, hogy bármely háromszögbe. feldt α β γ tg + tg + tg! Egy csok kúp lp-, illetve fedőköréek sugr R, illetve r. Az lplp síkjávl párhuzmos síkkl két oly csok kúpr osztjuk, melyek ) plástjik területe egyelő b) térfogtik egyelők. Mekkorák síkmetszetek sugri? Középértékek közötti kpcsoltok lklmzás 4. feldt Az x + y = r sugrú kör első síkegyedbeli éritői közül melyik metszi le koordiáttegelyekből legkisebb területű háromszöget? 5. feldt Egy pici kof tudj, hogy kétkrúmérlege em mér potos, ( krok em egyform hosszúk). A pottlságot úgy próbálj korrigáli, hogy kért áru, egyik felét z egyik serpeyőbe, másik felét másik serpeyőbe méri ki. Igzságos-e z így korrigált mérés? 6. feldt Bizoyítsuk be, hogy mide oly pozitív és b számr, melyre + b = igz következő egyelőtleség: b +! b 90

7 Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb 7. feldt Bizoyítsuk be, hogy háromszög, b, c és t területe között fe áll következő összefüggés: 8. feldt b c 4 t + +! Adott gömb köré írt egyees körkúpok közül melyikek legkisebb térfogt? Mekkor ekkor gömb és kúp felszíéek z ráy? 9. feldt Bizoyítsuk be, hogy háromszög mgsságir feáll következő egyelőtleség: m + mb + mc s s háromszög félkerületét jelöli! 0. feldt 6 6 Adott z f : R + R, f ( x) = x + függvéy. Htározzuk meg függvéy x miimum helyét és miimumértékét! Irodlom: Ábrhám Gábor: Egyelőtleségek Boifert Domokos: Néháy tipikus problémszituáció mtemtikából, MOZAIK Okttási Stúdió, Szeged 99. D.O. Skljrszkij-N.N. Csecov-I.M. Jglom: Válogtott feldtok és tételek z elemi mtemtik köréből I. (Aritmetik és lgebr), Tköyvkidó, Budpest 979. Molár Emil: Mtemtik verseyfeldtok gyűjteméye, Tköyvkidó, Budpest 974. Dr. Gerőcs László: Azok csodáltos húrégyszögek, Műszki Köyvkidó, Budpest