( ) Schultz János EGYENLŐTLENSÉGEK A HÁROMSZÖG GEOMETRIÁJÁBAN

Átírás

1 Shultz János EGYENLŐLENSÉGEK A HÁOMSZÖG GEOMEIÁJÁBAN Igzoljuk hogy egy szályos háromszög első pontját súsokkl összekötő három szkszól mindig szerkeszthető háromszög Egy tégllp elsejéen vegyünk fel egy tetszőleges pontot és kössük össze súsokkl Mutssuk meg hogy e négy összekötő szksz között mindig vn három melyekől háromszög szerkeszthető 3 Bizonyítsuk e hogy háromszög leghossz oldlához trtozó mgsság nem hossz mint ugynezen oldl egy tetszőleges pontjáól másik két oldlegyenesre állított merőleges szkszok hosszánk z összege 4 Egy háromszög olyn hogy első szögfelezők hosszánk összege egyenlő súlyvonlk hosszánk összegével Igzoljuk hogy háromszög szályos 5 Igzoljuk hogy ármely háromszögre s m r hol háromszög köré írt kör r pedig eírt kör sugr s és m pedig rendre oldlhoz trtozó súlyvonl és mgsság 6* Egy ABC háromszög oldlhosszúsági legyenek Egy P első pontnk z A B C súsoktól vett távolsági rendre p q r z oldlegyeneseitől vett távolsági pedig rendre x y z Igzoljuk hogy ) r x y ( ) ) p q r x y z 7* Legyenek egy hegyesszögű háromszög oldlához trtozó súlyvonli és mgssági rendre s s s illetve m m m Igzoljuk hogy s m s s m m r hol és r jelöli köré illetve eírt kör sugrát

2 8* Legyenek háromszög oldlához trtozó súlyvonli rendre s s s köré írt kör sugr pedig Igzoljuk hogy s s s 9* Legyenek háromszög oldlához trtozó súlyvonli rendre s s s köré írt kör sugr pedig Igzoljuk hogy 9 s s s 0* Az ABC háromszög BC CA és AB oldlir kifelé zonos körüljárás szerinti hsonló háromszögeket írunk melyek rendre következők: BDC CEA és AFB Igzoljuk hogy AF FB BD DC CE EA AD BE CF ** Legyenek egy háromszög oldli hozzájuk trtozó súlyvonlk pedig s s s Igzoljuk hogy ) 3 ) s s s s s s ** Legyen P tetszőleges pont z ABC háromszög síkján Igzoljuk hogy ) PB PC PC PA PA PB ) PA PB PC 3 3 hol és szokásos módon jelölve háromszög három oldlánk hosszúság 3 Jelölje S z ABC háromszög súlypontját pedig köré írhtó kör sugrát Jelölje rendre 3 z SBC SCA SAB háromszög köré írhtó körének sugrát Igzoljuk hogy 3 3 4* Az és egy háromszög oldlhosszúsági melyekre = teljesül Igzoljuk hogy: 4 < 5 Az ABC háromszög BC CA és AB oldlin dottk rendre z A B és C első pontok úgy hogy z AA BB és CC egyenesek egy pontr illeszkednek Igzoljuk hogy ta BC t 4 ABC

3 3 6* A területű ABC háromszög egy első pontján át három egyenest húzunk melyek segítségével kpjuk z eredeti háromszög egy-egy oldlán nyugvó 3 területű háromszögeket z ár szerint Igzoljuk hogy 8 > 3 7 Igzoljuk hogyh egy háromszög oldlhosszúsági kkor 8 Egy háromszög oldlhosszúsági és Igzoljuk hogy < 8 9 Legyenek egy háromszög oldli s kerület fele és r eírt kör sugr Igzoljuk hogy ( s ) ( s ) ( s ) r 0 Egy háromszög oldlhosszúsági és Igzoljuk hogy ( ) ( ) ( ) 0 * Igzoljuk hogyh és egy háromszög oldlhosszúsági kkor 3 ** Igzoljuk hogyh és egy háromszög oldli kkor ( ) ( ) ( ) 9 3** Igzoljuk z lái egyenlőtlenségeket hol köré r eírt kör sugr míg pl r z oldlt kívülről érintő hozzáírt kör sugr: ) r ) s r r r s r

4 4 4* Igzoljuk hogyh egy háromszög oldlhosszúsági és t területe kkor ) t 4 3 ) ( ) ( ) ( ) 4 3 t 9 ) 4 3 t 5** Igzoljuk hogyh p q r pozitív számokt jelölnek és egy háromszög oldlhosszúsági és t területe kkor p q r ) 3 t q r r p p q ) p q r 4 pq qr rp t 6* Az ABC hegyesszögű háromszög mely P első pontjár lesz z x y z összeg minimális hol x y és z P pontnk z oldlktól mért távolsági? Szerkesszük meg ezt pontot! 7 Igzoljuk hogyh vlmely háromszög oldlhosszúságir < kkor megfelelő szögekre < is igz 8 Mutssuk meg hogyh és egy tetszőleges háromszög szögei kkor sin sin sin sin sin sin 9 Igzoljuk hogy tetszőleges hegyesszögű háromszög szögeire teljesül hogy sin sin sin > 30* Igzoljuk hogy ármely háromszög esetén 3 Igzoljuk hogy tetszőleges háromszög esetén 3 os os os os os os ( ) 3* Igzoljuk hogy tetszőleges háromszög szögeire: 3 3 sin sin sin os os os

5 5 Irodlom: Jglom-Sklrszkij-Csenov: Válogtott feldtok és tételek / ypotex 00 eimn István: A geometri és htárterületei Gondolt itu Andreesu-Dorin Andri: Complex Numers from A toz Birkhuser Molnár Emil: Mtemtiki versenyfeldtok gyűjteménye nkönyvkidó Shultz János: lgeri egyenlőtlenség fzekshu Mtek portál tnítási nygok 6 Mitrinovi-Peri-Volene: eent Advnes in Geometri Inequlities Kluwer Ademi Pulishers Viktor Prsolov-Dimitry Leites: Prolems in Plne Geometry Eook Art of Prolem Solving 8 Shultz János: Elemi mtemtiki versenyfeldtok Zlmt Alpítvány 0 9 Surányi János: Mtemtiki versenytételek II nkönyvkidó KVAN KöML