Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/

Átírás

1 Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/

2 Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának hívjuk. Az n elem permutációinak számát P n -nel jelöljük. Tétel. Az adott n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = n!. Definíció. Adott n elem, amelyek között r (r n) különböző található, ezek a 1, a 2,...a r. Az a 1 elem k 1 -szer, az a 2 elem k 2 -ször,..., az a r elem k r -szer fordul elő és k 1 + k k r = n. Az adott n elem egy meghatározott sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba jöhető ismétléses permutációk számát P k 1,k 2,...,k r n szimbólummal jelöljük. Tétel. Rögzített n, r és k 1, k 2,...,k r esetén az ismétléses permutációk száma: P k 1,k 2,...,k r n! n = k 1! k 2!... k r!. Kombinatorika p. 2/

3 Kombináció Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak számát C k n szimbólummal jelöljük. Tétel. Az n különböző elem egy k-adosztályú kombinációinak a száma: C k n = n k. Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak számát Cn k,i szimbólummal jelöljük. Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma: C k,i n = n + k 1 k. Kombinatorika p. 3/

4 Variáció Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak számát V k n szimbólummal jelöljük. Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma: V k n = n! (n k)! = n (n 1)... (n k + 1). Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak számát Vn k,i szimbólummal jelöljük. Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma: V k,i n = nk. Kombinatorika p. 4/

5 A binomiális tétel Definíció. Tetszőleges kéttagú kifejezés bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá alakítható a következő formában: (a + b) n = n k=n k a n k b k, ahol n N és a, b R. Tétel. Bármely k, n N és 0 k n esetén fennáll a(z) 1. szimmetria-tulajdonság: n n n k, k = 2. összegtulajdonság (A Pascal-háromszög képzési szabálya): 3. és teljesül a következő egyenlőség: n k + n k + 1 = n + 1 k + 1, n + n 1 + n n n =2 n Kombinatorika p. 5/

6 A Pascal háromszög A binomiális együtthatókat (n = 0, 1, 2,... értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben helyezhetjük el. n = 0 0 n = n = n = n = A következő dián a kiszámított együtthatók láthatók. Figyeljük meg a binomiális együtthatók tulajdonságait! 4 Kombinatorika p. 6/

7 A Pascal háromszög A binomiális együtthatókat (n = 0, 1, 2,... értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben helyezhetjük el. n = 0 1 n = n = n = n = A háromszög szimmetrikussága a binomiális együtthatók szimmetriatulajdonságából következik. Ha egy sor bármely két szomszédos elemét összeadjuk, akkor az alattuk lévő elemet kapjuk. Ez a Pascal háromszög képzési szabálya. A sorbeli elemeket összeadva mindig 2 megfelelő hatványát kapjuk. Ez volt a harmadik tulajdonság. Kombinatorika p. 7/

8 Mintavételezési eljárások Visszatevés nélküli mintavételezés. Legyen adott egy N elemű termékhalmaz, amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból egyszerre egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan k darab selejtes termék szerepel: ( ) S k ( ) N S. n k Visszatevéses mintavételezés. Legyen adott egy N elemű termékhalmaz, amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból visszatevéssel egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan k darab selejtes termék szerepel: ( ) n k S k (N S) n k. Kombinatorika p. 8/