GAZDASÁGI MATEMATIKA Gyakorlat

Átírás

1 GAZDASÁGI MATEMATIKA Gyakorlat

2 Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik Fogadóóra: ben egyeztetett időpontban Szoba: D.II.12.

3 Általános információk A tantárggyal kapcsolatos minden fontos információ elérhető lesz a félév folyamán a honlapomon, a Coospace rendszerben, vagy a Neptunban. Folyamatosan figyeljék az online felületeket! A tantárgy heti 1 sáv előadásból és 1 sáv gyakorlatból áll. Kreditértéke: 4. Ez 120 tanulmányi munkaórát jelent. A tárgy kizárólag a gimnáziumi érettségi tananyagának ismeretére épít.

4 A tantárgy teljesítése Az aláírás feltételei: Max. 2 hiányzás a félév során. (TVSZ) A szintfelmérő dolgozat megfelelt minősítése. A minimumfeladatok megoldására kapható 30 pontból minimum 20 pont elérése. A számonkérés rendje: 1. ZH: 4. tanítási hét, 7 feladat, 60 perc, 10 pont (4 + 6) 2. ZH: I. ZH hét, 10 feladat, 80 perc, 35 pont ( ) 3. ZH: II. ZH hét, 12 feladat, 100 perc, 55 pont ( ) A félévközi ZH dolgozatok nem pótolhatók vagy javíthatók.

5 Az értékelés Az aláírást szerzett hallgatók értékelésére a pontszámaik alapján az alábbi táblázatot használjuk: pont jeles (5) pont jó (4) pont közepes (3) pont elégséges (2) 0 49 pont elégtelen (1) Elégtelen gyakorlati jegy esetén a vizsgaidőszakban 100 pontos, 90 perces ismétlővizsga tehető a TVSZ szerint.

6 Irodalom Kötelező irodalom: Az előadásokon és gyakorlatokon elhangzottak Dr. Csernyák László: Analízis Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, Szentelekiné Dr. Páles Ilona: Analízis példatár Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, Ajánlott irodalom: Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás (Bolyai-könyvek), Műszaki Könyvkiadó, Bárczy Barnabás: Integrálszámítás (Bolyai-könyvek), Műszaki Könyvkiadó, 2006.

7 A félév témakörei 1. 1 Alapfogalmak, jelölések Számhalmazok, logikai alapok, kvantorok, matematikai eszköztár 2 Számsorozatok, függvények és alkalmazásaik N R függvények, sorozat monotonitása, korlátossága, határértéke, konvergenciája, küszöbindex számítás, R R függvények, inverz függvény, összetett függvény, folytonosság, monotonitás, függvényhatárérték

8 A félév témakörei 2. 3 Differenciálszámítás és alkalmazásai Deriválási szabályok, módszerek, szélsőértékek, elaszticitás, érintő egyenes egyenlete, határköltség, határhaszon, teljes függvényvizsgálat, többváltozós függvények vizsgálata 4 Integrálszámítás és alkalmazásai Határozatlan integrál, határozott integrál, integrálási szabályok, módszerek, improprius integrál, területszámítás, gazdasági alkalmazások

9 Számhalmazok

10 Jelölések, alapfogalmak A legfeljebb n-ed fokú polinom: P n (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 x-et a fenti polinom gyökének nevezzük, ha a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0. A matematikai logika eszköztára: létezik:, nem létezik:, minden:, tagadás:, részhalmazok:, üreshalmaz: /0, eleme:, nem eleme: /, következtetés: =, akkor és csak akkor:.

11 Számsorozatok 1. Definíció A két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük és az alábbi módon jelöljük: f : A B Definíció Az (a n ) : N R függvényeket számsorozatoknak nevezzük. a n jelöli az (a n ) sorozat n-edik tagját. Példa Legyen a 1 = a 2 = 1, a n = a n 1 + a n 2. Ekkor a sorozat első néhány tagja: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... Ez az úgynevezett Fibonacci-sorozat.

12 Számsorozatok 2. Példa Legyen a n = 6n+1 2n 1. Ekkor a sorozat tagjai egy Descartes-féle koordinátarendszerben ábrázolhatók:

13 Sorozatok tulajdonságai 1. A sorozatok globális szintű, hosszú távú viselkedését a monotonitás, illetve annak hiánya (oszcilláció vagy véletlenszerű viselkedés) határozza meg. Erre vonatkozóan az alábbi definíciókat fogalmazzuk meg: Definíció (Monotonitás) Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat szigorúan monoton növekedő, ha a n < a n+1 n N esetén. monoton növekedő, ha a n a n+1 n N esetén. monoton csökkenő, ha a n a n+1 n N esetén. szigorúan monoton csökkenő, ha a n > a n+1 n N esetén.

14 Sorozatok tulajdonságai 2. Az előbbi definícióval ekvivalens az alábbi: Definíció (Monotonitás) Ha az (a n ) sorozatra n N esetén igaz, hogy a n a n+1 < 0, akkor az (a n ) szigorúan monoton növekedő. a n a n+1 0, akkor az (a n ) monoton növekedő. a n a n+1 0, akkor az (a n ) monoton csökkenő. a n a n+1 > 0, akkor az (a n ) szigorúan monoton csökkenő. Egy sorozat monotonitását tehát legegyszerűbb módon az a n a n+1 különbség és a 0 relációjának megállapításával tudjuk bizonyítani.

15 Sorozatok tulajdonságai 3. Definíció (Korlátosság) Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k R szám, amelyre k a n minden n N esetén. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat felülről korlátos, ha létezik olyan K R szám, amelyre a n K minden n N esetén. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, azaz létezik olyan k,k R, amelyekre teljesül, hogy k a n K minden n N esetén.

16 Sorozatok tulajdonságai 4. Ha létezik az (a n ) sorozatnak egy alsó illetve egy felső korlátja, akkor könnyen látható, hogy végtelen sok alsó illetve felső korlát létezik. Ezért bevezetjük a következő két fogalmat: Definíció Az (a n ) sorozat legnagyobb alsó korlátját infimumnak nevezzük. Jelölése: infa n Az (a n ) sorozat legkisebb felső korlátját supremumnak nevezzük. Jelölése: supa n

17 Sorozatok tulajdonságai 5. Definíció (Határérték és konvergencia) Az (a n ) sorozat határértéke az A szám, ha minden ε>0 valós számhoz létezik olyan n 0 N küszöbindex, hogy minden n > n 0 (n N) esetén a n A < ε. Ha egy sorozatnak van véges határértéke, akkor konvergensnek, ha nincs, akkor divergensnek nevezzük, és az alábbi módon jelöljük: lim a n = A n

18 Feladat Vizsgáljuk meg monotonitás, korlátosság és konvergencia szempontjából az alábbi sorozatot, számoljuk ki a határértékét, majd határozzuk meg az n 0 N küszöbindexet ε = esetén! a n = 6n + 1 2n 1.

19 Köszönöm a figyelmet! Kérdések? Gyakorlófeladatok elérhetők a Coospace-n!