Kidolgozott. Dudás Katalin Mária

Átírás

1 Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok során leginkább szükséges matematikai hátteret. Az egyetem első féléveiben alapozó tárgyként oktatják a matematikát, azonban a későbbi szakmai jellegű ismeretek elsajátításakor amikor igazán szükség lenne erre a tudásra már gyakran sok mindent elfelejtünk. Hiányos matematikai tudással nehézkessé válik a bonyolult mérnöki levezetések értelmezése és használata, ami a későbbiekben problémát jelenthet a könyv megszületésének ez volt az egyik ihletője. A mű segítséget nyújt emellett a vizsgákra, zárthelyi dolgozatokra és a szigorlatra való felkészülésben is. Fejezetei a BME Vegyész- és Biomérnöki Kara matematika szigorlatának szóbeli tételsorát követik. A tételes kidolgozás, a rövid, tömör, tematizált fejezetek lehetővé teszik a definíciók és a főbb tételek logikai sorrendben való bemutatását. Egyszerű mintapéldákon keresztül, közérthetően gyűjti össze az A1 és A2 tantárgyprogramját, ami nem tér el jelentősen a B1 és B2 tantárgyprogramjától sem. A könyv témakörei: sorozatok, numerikus sorok, egy- és többváltozós függvények, ezek differenciálszámítása, illetve integrálása, hatvány- és függvénysorok, Taylor- és Fourier-sorok, a mérnöki gyakorlatban sokszor előforduló vektoranalízis (gradiens, divergencia, rotáció), a lineáris algebra és a lineáris leképezések, mátrixelmélet. A könyvnek várhatóan megjelenik egy második kötete is, amely a differenciálegyenletek és a valószínűség számítás témaköreit foglalja össze tömören. Typotex Kiadó 2013

2 Copyright Dudás Katalin Mária, Typotex, 2013 ISBN Témakör: matematika mérnököknek Kedves Olvasó! Köszönjük, hogy kínálatunkból választott olvasnivalót! Újabb kiadványainkról, akcióinkról a és a facebook.com/typotexkiado oldalakon értesülhet. Kiadja a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Felelős vezető: Votisky Zsuzsa Az elektronikus kiadást Dudás Katalin Mária készítette.

3 Tartalomjegyzék 1. Valós számsorozatok, Bolzano Weierstrass tétel, korlátosság, monotonitás, határértékek Valós számsorozat Korlátosság Monotonitás Határérték Konvergencia Bolzano Weierstrass-tétel Műveletek sorozatok határértékeivel Nevezetes sorozatok határértékei Numerikus sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Sorok konvergenciakritériumai. Sorok átrendezhetősége Numerikus sor Konvergencia Abszolút és feltételes konvergencia Sorok átrendezhetősége Sorokkonvergencia kritériumai Műveletek sorokkal Nevezetes sorok konvergenciái Példák konvergens sorokra Függvények, határérték, folytonosság. Inverz, implicit függvény. Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Függvény Műveletek függvényekkel Határérték Műveletek függvények határértékeivel Folytonosság Zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai Függvény szakadási helye Egyváltozós függvények differenciálszámítása. Középértéktételek. L Hospital-szabály Egyváltozós függvények differenciálszámítása Középértéktételek L Hospital-szabály Példák 24 Dudás Katalin, Typotex Kiadó

4 6 Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára 5. Egyváltozós függvények szélsőértéke. Függvényvizsgálat Függvényvizsgálat lépései Függvények monotonitása Függvények szélsőértéke Konvexitás Inflexióspont Példa Határozatlan integrál, primitív függvény. Határozott integrál. Newton Leibniz-tétel Primitív függvény Határozatlan integrál Határozott integrál Newton Leibniz-tétel Integrálszámítás alkalmazásai (terület, ívhossz, térfogat, felszín). Improprius integrál Területszámítás Ívhossz Térfogat Felszín Improprius integrál Függvénysorok, konvergencia, egyenletes konvergencia. Hatványsorok, konvergenciatartomány Függvénysorok Hatványsorok Taylor-sor. Taylor-tétel. Függvények Taylor-polinommal való közelítése Taylor-sor Taylor-polinom Taylor-tétel Taylor-formula Például az euler-szám értékének kiszámítása Fourier-sor. Konvergenciatétel Fourier-sor Konvergenciatétel Példa 46 Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013

5 Tartalomjegyzék Többváltozós függvények értelmezése. Szintvonalak Többváltozós függvény Kétváltozós függvények értelmezése, ponthalmazok Többváltozós függvények differenciálszámítása, szélsőérték. Középértéktételek Kétváltozós függvény határértéke Kétváltozós függvény folytonossága: Elsőrendű parciális derivált Érintősík egyenlete Másodrendű parciális derivált Parciális deriváltak jelölése: Gradiens Iránymenti derivált Kétváltozós függvény lokális szélsőértéke Többváltozós függvény integrálása, helyettesítések, alkalmazások Kettős integrál Hármas integrál Helyettesítés kettős integrálokban Helyettesítés hármas integráloknál Területszámítás Térfogatszámítás Skalár-vektor, vektor-vektor függvények differenciálása. Gradiens, divergencia, rotáció Skalár-vektor függvény, skalártér, skalármező Vektor-vektor függvény, vektortér, vektormező Vektor-vektor függvények vonal és felületi integrálja Vonalintegrál Felületi integrál Integrálátalakító tételek (Gauss Osztrogradszkij, Stokes, Green). A potenciálelmélet elemei Gauss Osztrogradszkij-tétel Stokes-tétel Green-formula Green-tételek Potenciálfüggvény 66 Dudás Katalin, Typotex Kiadó

6 8 Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára 17. Lineáris tér alapfogalmai (altér, lineáris kombináció, független bázis, dimenzió) Lineáris tér, vektortér Lineáris kombináció Bázis, dimenzió Példa A lineáris algebra alapjai (determináns műveletek, mátrix műveletek, tulajdonságok) A Mátrix tulajdonságai Mátrixműveletek Mátrix determinánsa Lineáris egyenletrendszerek. Megoldhatóság, megoldási módszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer megoldhatósága Megoldási módszerek / Cramer szabály Megoldási módszerek / Gauss féle módszer Megoldási módszerek / Homogén lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések. Mátrix sajátértéke, sajátvektor. A valós szimmetrikus mátrix Lineáris leképezés Sajátvektor, sajátérték Karakterisztikus egyenlet Valós szimmetrikus mátrix 81 Felhasznált irodalom 83 Dudás Katalin, Typotex Kiadó 2013