Egy vektorrendszert lineárisan függ nek nevezünk, ha nem lineárisan független.
|
|
- Anna Bakosné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 GAZDASÁGI MATEMATIKA II DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK A LINEÁRIS ALGEBRÁBÓL ÉS ANALÍZISBŽL A deniciókat (D) a tételeket (T) jelöli A fontosabb deníciókat és tételeket jelöli (D)k-dimenziós euklideszi tér: A k-dimenziós euklideszi tér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k R 2 R= k := R { x = (x1, x 2,, x k ) : x i R (i = 1, 2,, k) } Az x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatokat a tér pontjainak mondjuk, az x 1, x 2,, x k számok az x = (x 1, x 2,, x k ) pont koordinátái (D)vektorok összege és skalárral való szorzata: Az x = (x 1, x 2,, x k ), y = (y 1, y 2,, y k ) R k vektorok összegét és az x R k vektor λ R skalárral való szorzatát -val deniáljuk x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x k + y k ) λx : = (λx 1, λx 2,, λx k ) (D) vektorok lineáris kombinációja: Az a 1, a 2,, a n R k vektorok λ 1, λ 2,, λ n R együtthatókkal képezett lineáris kombinációján a vektort értjük λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n (D) vektorrendszer lineárisan függetlensége, függ sége: Az a 1,, a n R k vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha csak λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 esetén áll fenn λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 Egy vektorrendszert lineárisan függ nek nevezünk, ha nem lineárisan független A deníció alapján könnyen belátható, hogy lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független, és lineárisan függ vektorrendszert további vektorokkal b vítve, a b vített rendszer is lineárisan függ (T)lineárisan függetlenség jellemzése: Az a 1,, a n R k vektorrendszer akkor és csakis akkor lineárisan független, ha b = λ 1 a λ n a n, csak λ 1 = λ 1,, λ n = λ n esetén teljesül b = λ 1a λ na n Megjegyzés Az R k vektortér k dimenziós a következ értelemben: van R k -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k + 1 darab vektort R k -ból, azok lineárisan függ k (D) bázis: Az R k (k dimenziós) vektortér bármely k számú lineárisan független b 1,, b k vektorát a tér bázisának nevezzük (T)koordináták egy bázisra nézve: Ha b 1,, b k a (k dimenziós) R k vektortér egy bázisa, akkor a tér minden b vektora egyértelm en b = β 1 b 1 + β 2 b β k b k 1
2 2 alakba írható Az itt szerepl β 1, β 2,, β k skalárokat a b vektor b 1,, b k bázisára vonatkozó koordinátáinak nevezzük (D) természetes bázis: Az e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1,, 0), e k = (0, 0,, 1) R k vektorok az R k tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázisnak nevezünk (D)altér: Az R k vektortér alterén R k olyan (nemüres) L részhalmazát értjük, mely zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b L, λ R esetén a + b L, λa L teljesül Az egész R k és a {0} alterek, melyeket triviális altereknek nevezünk Tetsz leges a 1, a 2,, a n vektorrendszer általában nem alkot alteret Van viszont olyan altér mely tartalmazza ezt a vektorrendszert, pl az egész vektortér (D)vektorrendszer által generált (vagy kifeszített) altér: Egy a 1, a 2,, a n vektorrendszert tartalmazó legsz kebb alteret a vektorrendszer által generált (vagy kifeszített) altérnek nevezzük, és L(a 1, a 2,, a n )-nel jelöljük Mivel alterek metszete is altér, így L(a 1, a 2,, a n ) éppen az a 1, a 2,, a n vektorrendszert tartalmazó összes alterek metszete Könny bebizonyítani, hogy ez a metszet (vagy a generált altér) azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhet összes lineáris kombinációk halmazával, azaz L(a 1, a 2,, a n ) = { α 1 a α n a n : α 1,, α n R } (D) vektorrendszer rangja: Az L(a 1, a 2,, a n ) generált altér dimenzióját az a 1, a 2,, a n vektorrendszer rangjának nevezzük, és rang(a 1, a 2,, a n )-nel jelöljük (T) vektorrendszer rangja és e vektorok lineáris függetlensége: Az a 1, a 2,, a n vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerb l kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával (T) vektorrendszer rangjának invarianciája: Az a 1, a 2,, a n vektorrendszer által generált altér nem változik meg, (és így a vektorrendszer rangja sem változik) ha megváltoztatjuk az vektorok sorrendjét, valamelyik vektort egy λ 0 skalárral megszorozzuk, valamely vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk (D) k n típusú mátrix: Ha k n darab (valós) számot, az a ij (i = 1, 2,, k; j = 1, 2,, n) számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el (és zárójelbe teszünk) az alábbi módon: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn akkor egy k n típusú (valós) mátrixot deniáltunk Az összes k n típusú mátrixok halmazát R k n -nel jelöljük A típus megadásánál mindig a sorok száma az els adat! Az el bbi mátrixot A-val jelölve, mondhatjuk, hogy a ij az A mátrix i-edik sorának j-edik eleme, vagy az A mátrix (i, j)-edik eleme Gyakran használjuk az A = (a ij ) tömör jelölést, ha ez nem okoz félreértést
3 3 (D) mátrix transzponáltja: Az A = (a ij ) R k n mátrix transzponáltján az A = (a ji ) R n k mátrixot, értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját) (D) mátrixok összege és skalárral való szorzása: Legyenek A = (a ij ), B = (b ij ) R k n azonos típusú mátrixok, és legyen λ R, akkor az A + B és λa mátrixokat -vel deniáljuk A + B := (a ij + b ij ), λa := (λa ij ) (T) mátixm veletek tulajdonságai: Az összes k n típusú valós mátrixok R k n halmaza k n dimenziós valós vektortér a fenti m veletekre nézve Továbbá bármely A, B R k n, λ R mellett (A + B) = A + B, (λa) = λa Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az els tényez (mátrixnak) annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második tényez (mátrixnak) (D) mátrixok szorzása: Az A = (a ij ) R k n és B = (b ij ) R n m mátrixok C = AB szorzatán azt a C = (c ij ) R k m mátrixot értjük melyre n c ij := a is b sj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj (i = 1, 2,, k; j = 1, 2,, m) s=1 Ezt a szorzást röviden "sor-oszlop kombinációnak " mondjuk, mert a szorzatmátrix c ij eleme, éppen az A mátrix (els tényez ) i-edik sorvektorának és a B mátrix (második tényez ) j-edik oszlopvektorának a bels szorzata (mindkét vektor n dimenziós) (T) mátrixok szorzásának tulajdonságai: Mátrixok szorzására teljesülnek az A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (AB) = B A azonosságok, ahol A, B, C tetsz leges mátrixok, melyekre a felírt m veleteknek van értelme Megjegyezzük, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB BA, továbbá kvadratikus mátrixokra AE = EA = A, AO = OA = O (D) mátrix invertálhatósága és inverze: Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha van olyan B (kvadratikus) mátrix melyre AB = BA = E teljesül Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A 1 -gyel jelöljük (D)permutáció: Az N n = {1, 2,, n} számok egy elrendezését (valamely sorrendben való felírását) ezen elemek egy permutációjának nevezzük Két permutációt akkor tekintünk különböz nek, ha azok legalább egy elem elhelyezésében különböznek N n összes permutációinak halmazát S n -nel jelöljük (D)inverzió: Legyen (a 1, a 2,, a i,, a j,, a n ) az 1, 2, 3,, n elemek egy permutációja Azt mondjuk, hogy e permutációban az a i és a j pár inverzióban áll, ha i < j és a i > a j
4 4 Aszerint, hogy az inverzióban álló párok száma páros vagy páratlan, szokás páros vagy páratlan permutációról beszélni (D) determináns deníciója: Legyen A = (a ij ) egy n-edrend kvadratikus mátrix determinánsán az A := Az A mátrix α S n ( 1) I(α) a 1α1 a 2α2 a nαn számot értjük, ahol az összegezés kiterjed az 1, 2,, n számok összes α = (α 1, α 2,, α n ) permutációjára, és I(α) az α permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) jelöli Másod és harmadrend determinánsok kiszámítására vannak egyszer (és könnyen megjegyezhet képletek: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 a f átlóban lév elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlóban lév elemek szorzatát a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Ez a Sarrus szabály, melyet úgy lehet megjegyezni, hogy a determináns els két oszlopát a determináns jobboldal hoz hozzáírva képzeljük, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t le jobbra lév két másik átlóban lév elemeket összeszorozzuk, e szorzatokat összeadjuk, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t le jobbra lév két másik átló elemeit összeszorozzuk, e szorzatokat kivonjuk az el z összegb l (T) a determináns alaptulajdonságai: (1) Ha egy determináns sorait és oszlopait felcseréljük, akkor a determináns értéke nem változik (vagy egy négyzetes mátrixnak és transzponáltjának determinánsa megegyezik) (2) Ha egy determináns valamely sorának minden eleme tartalmaz egy c faktort, akkor ez kiemelhet a determináns jele elé (3) Ha egy determináns két sorát felcseréljük akkor a determináns el jelet vált (4) Ha egy determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke nulla (5) A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelel elemeinek c-szeresét hozzáadjuk (6) Ha egy determináns valamely sorának minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként melyeknek megfelel sorukban éppen az egyes összeadandók állnak (7) Ha egy determináns egy sorában csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla (8) Ha egy determináns f átlójában minden elem 1 és a determináns többi eleme 0, akkor a determináns értéke 1 (T) a determinánsok szorzástétele: (Kvadratikus) mátrixok szorzatának determinánsa a tényez mátrixok determinánsainak szorzata, azaz ha A, B (azonos rend ) kvadratikus mátrixok, akkor AB = A B Következmény Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla (D) adjungált aldetermináns: Egy n-edrend kvadratikus A = (a ij ) mátrixból, hagyjuk el az a ij elem sorát és oszlopát (azaz az i-edik sort és a j-edik oszlopot), a visszamaradó n 1-edrend kvadratikus mátrix determinánsát ( 1) i+j -vel megszorozva, a kapott számot az A mátrix a ij eleméhez tartozó adjungált aldeterminánsnak nevezzük, és A ij -vel jelöljük
5 5 Az adjungált aldetermináns tehát egy részmátrix determinánsa, vagy annak negatívja, attól függ en, hogy mi az elhagyott sor és oszlop indexe Az el jel megállapítására a sakktábla szabály szolgál: helyezzük el mátrixunkat egy képzeletbeli n n-es sakktáblán, de a mez ket színezés helyett + és jelekkel látjuk el, úgy, hogy a bal fels sarokban + jel van Ha egy mez ben + jel van akkor ( 1) i+j = 1, ha jel van, akkor ( 1) i+j = 1 (T) determinánsok kifejtési tétel: Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix, akkor n { A ha i = i a ij A i j = 0 ha i i j=1 ez a sor szerinti kifejtés, továbbá n { A ha j = j a ij A ij = 0 ha j j ez az oszlop szerinti kifejtés i=1 (T) az inverz mátrix el állítása: Legyen A egy n-edrend invertálható mátrix (azaz legyen A 0, akkor az A 1 = (b ij ) inverz mátrix elemei b ij = A ji A (i, j = 1, 2,, n) alakúak (azaz A inverze az A adjungált aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltjának szorosa) 1 A - (D)mátrix rangja: Egy tetsz leges k n típusú mátrix rangján oszlopvektorainak rangját értjük (ami azonos a maximális lineárisan független oszlopvektorok számával) A rangját rang A-val jelöljük Legyen 1 l min{k, n}, akkor A egy l-edrend aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjunk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és ezek metszetében lév elemekból alkotott l-edrend determinánst képezünk (T) rangszámtétel: Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rend nullától különböz aldeterminánsainak rendjével A zérusmátrix rangja nulla (D) lineáris egyenletrendszer: Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = egyenletrendszert, ahol a ij, b i (i = 1,, k; j = 1,, n) adott valós számok, x i (i = 1,, n) ismeretlen valós (vagy komplex) számok Az a ij számokat a fenti egyenletrendszer együtthatóinak nevezzük (pontosabban a ij a rendszer i-edik egyenletében az x j ismeretlen együtthatója, a b i az i-edik egyenlet szabad tagja A fenti egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkez esetben inhomogénnek mondjuk Azt mondjuk, hogy a c 1,, c n számok az egyenletrendszer egy megoldását adják, ha az ismeretlenek helyére helyettesítve ket a rendszer minden egyes egyenletében egyenl ség áll A egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenl b k
6 6 Bevezetve az együtthatómátrixot, és az a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a k1 a k2 a kn x = x 1 x 2 x n, b = oszlopmátrixokat (oszlopvektorokat) a rendszerünk tömören az alakba írható A x = b b 1 b 2 b k (D) egyenletrendszerek ekvivalenciája: Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenl Lineáris egyenletrendszerek esetén (nyilvánvaló módon) az alábbi átalakítások eredményeznek ekvivalens rendszereket (ezeket ekvivalens átalakítások nak mondjuk): az egyenletek sorrendjének megváltoztatása, az egyenletekben szerepl tagok sorrendjének megváltoztatása, a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal, a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez A Gauss elimináció az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölése A Gauss elimináció lépései: Tegyük fel, hogy a 11 0 Az els egyenlet a i1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = a 11 2, 3,, k esetén, az x 1 ismeretlen elt nik a második, harmadik, k-adik egyenletb l Ha a 11 = 0, akkor az els egyenletben keresünk egy ismeretlent melynek együtthatója 0 és ez veszi át x 1 szerepét Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik, k-adik egyenletb l (T) általános lin egyenletrendszer megoldhatósága: Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = lineáris egyenletrendszer akkor is csakis akkor oldható meg, ha a rang A = rang (A b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer mátrixa, (A b) a b vített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát (T) homogén lin egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezése: Ax = 0 (A R k n, x = (x 1,, x n ) R n 1 ) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor is csakis akkor van triviálistól különböz megoldása, ha rang A < n b k Az
7 (azaz a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma) Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai R n -nek egy dimenziós alterét alkotják n rang A (T) lin egyrendszer megoldásának szerkezete: Az Ax = b (A R k n, x R n 1, b R k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a megfelel homogén egyenlet egy tetsz leges megoldása megoldásalterének az x vektorral való eltoltja Ax = 0 (T) Cramer szabály: Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix A Így a megoldások halmaza az utóbbi egyenletrendszer Ax = b (A R n n, x, b R n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszer akkor és csakis akkor határozott (egyértelm en megoldható), ha A 0 Ha ez teljesül akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = A i A (i = 1, 2,, n) ahol A i az a mátrix melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki (T) szabályos homogén egyrendszer nemtriviális megoldásának létezése: Legyen A egy n-edrend kvadratikus mátrix A Ax = 0 (A R n n, x R n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha A = 0 (D)lineáris leképezés: A ϕ : R n R n leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely x, y R n és bármely λ R esetén ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) (azaz ϕ additív), ϕ(λx) = λϕ(x) (azaz ϕ homogén) (D)lineáris leképezés mátrixa: A ϕ lineáris leképezés mátrixán azt az A ϕ = (a ij ) (n-edrend kvadratikus) mátrixot értjük, melynek j-edik oszlopában a ϕ(b j ) képvektornak a b 1,, b n bázisra vonatkozó koordinátái állnak Az összes ϕ : R n R n lineáris leképezések és a hozzájuk rendelt A ϕ R n n mátrixok közötti n ϕ A ϕ (A ϕ = (a ij ), ahol ϕ(b j ) = a ij b i ) leképezés bijektív, minden ϕ lineáris leképezéshez egyetlen n-edrend A ϕ mátrix tartozik, és minden ilyen mátrix egyetlen lineáris leképezést határoz meg S t, ez a bijektív leképezés meg rzi a mátrixm veleteket is i=1 7
8 8 Ha ϕ, ψ : R n R n lineáris leképezések, úgy összegüket, számszorosukat és kompoziciójukat az alábbi módon értelmezzük: (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (x R n ), (λϕ)(x) := λϕ(x) (λ R, x R n ), (ϕ ψ)(x) := ϕ(ψ(x)) (x R n ) (T) a lineáris leképezések és hozzájuk tartozó mátrixok kapcsolata: Rögzített bázis és tetsz leges ϕ, ψ : R n R n lineáris leképezések esetén A ϕ+ψ = A ϕ + A ψ a ϕ A ϕ leképezés megtartja az összeadást, A λϕ = λa ϕ a ϕ A ϕ leképezés megtartja az számmal való szorzást, A ϕ ψ = A ϕ A ψ a ϕ A ϕ leképezés a kompoziciót szorzatba viszi át Továbbá ϕ : R n R n akkor és csakis akkor bijektív, ha A ϕ invertálható (T): Legyen b 1,, b n és b 1,, b n az R n tér két bázisa, és A ϕ = (a ij ), ahol ϕ(b j ) = n a ij b i i=1 A ϕ = (a ij ), ahol ϕ(b j ) = n a ij b i i=1 a ϕ : R n R n lineáris leképezés mátrixai Akkor van olyan S = (s ij ) R n n invertálható mátrix, hogy A ϕ = S 1 A ϕ S (D) mátrix sajátértéke, sajátvektora: Legyen A egy n n-es mátrix A λ R számot A sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböz x R n vektor, melyre Ax = λx teljesül Az x vektort A (λ sajátértékhez tartozó) sajátvektorának nevezzük A sajátértékeket a A λe = 0 egyenletb l határozzuk meg, a sajátvektorokat pedig a lineáris homogén egyenletrendszerb l (A λe)x = 0 (D) mátrix diagonalizálhatósága: Egy n n-es A mátrixot diagonalizálhatónak nevezünk, ha van olyan invertálható n n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre teljesül S 1 AS = D Diagonális mátrixokra használni fogjuk a λ λ 2 0 D = diag(λ 1, λ n ) := 0 0 λ n jelölést is (T)sajátérték invarianciája: Ha A, S n n-es mátrixok, S invertálható, akkor az A és S 1 AS mátrixok sajátértékei megegyeznek
9 (T) a diagonalizálhatóság kritériuma: Egy n n-es A mátrix akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x 1,, x n Ekkor λ S 1 0 λ 2 0 AS = diag(λ 1, λ n ) = 0 0 λ n ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x 1,, x n, a λ 1,, λ n sajátértékek 9 számok pedig a hozzájuk tartozó Nem minden mátrix diagonalizálható! Nincs a diagonalizálhatóságra könnyen ellen rizhet szükséges és elegend feltétel Ha az n n-es A mátrixnak n különböz sajátértéke van, akkor A diagonalizálható Ez elegend, de nem szükséges feltétel (D) szimmetrikus, ortogonális mátrixok: Egy n n-es A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A = A, ortogonálisnak nevezünk, ha A A = E Egy mátrix akkor és csakis akkor szimmetrikus, ha elemei a f átlóra nézve szimmetrikusak (D) ortogonális vektorok: Két (R n -beli) vektort akkor mondunk ortogonálisnak, ha bels szorzatuk zérus (D) ortonormált bázis: Az R n tér egy bázisát ortonormált bázisnak nevezzük, ha vektorai páronként ortogonális egységvektorok Azaz a b 1,, b n bázis akkor és csakis akkor ortonormált ha { 1 ha i = j, b i, b j = (i, j = 1,, n) 0 ha i j, (T): Ha b 1,, b n és b 1,, b n az R n tér két ortonormált bázisa, ϕ : R n R n egy lineáris leképezésés A ϕ = (a ij ), A ϕ = (a ij ) e leképezés mátrixai a megfelel bázisokra nézve, akkor a A ϕ = S 1 A ϕ S transzformációs képletben szerepl S mátrix ortogonális (T) szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai: Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor A sajátértékei mind valós számok, A különböz sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak (T) szimmetrikus mátrixok spektráltétele: Legyen A egy n n-es szimmetrikus mátrix, akkor létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre U 1 AU = diag(λ 1, λ n ) ahol λ 1,, λ n az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λ i -hez tartozó sajátvektora (i = 1,, n) (D) bilineáris, kvadratikus függvény: Legyen A = (a ij ) R n n, akkor a F (x, y) := Ax, y (x, y R n ) függvényt bilineáris függvénynek nevezzük, a Q(x) := Ax, x (x R n ) függvényt kvadratikus függvénynek nevezzük
10 10 Szokás Ax, y -t bilineáris formának, Ax, x -et kvadratikus formának nevezni Korábbi számításunkat felhasználva kapjuk, hogy Q(x) = Q(x 1,, x n ) = n i=1 j=1 Mivel x i x j = x j x i így feltehet, hogy A szimmetrikus mátrix n a ij x i x j, (D) pozitív, negatív denit, indenit kvadratikus függvények: Azt mondtuk, hogy a Q : R n R kvadratikus függvény pozitív denit, ha Q(x) > 0 minden x R n, x 0 esetén, a Q : R n R kvadratikus függvény negatív denit, ha Q(x) < 0 minden x R n, x 0 esetén, a Q : R n R kvadratikus függvény indenit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is Hogyan lehet eldönteni azt hogy Q : R n R pozitív, negatív, vagy indenit? (T) kritérium kvadratikus függvény denitségére: A szimmetrikus A = (a ij ) R n n mátrixszal képezett Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív denit, ha A összes sajátértéke pozitív, negatív denit, ha A összes sajátértéke negatív, indenit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is (T) kritérium kvadratikus függvény denitségére: Legyen A = (a ij ) R n n szimmetrikus mátrix, és legyen k (k = 1,, n) az A mátrix bal fels k k-s sarokmátrixának determinánsa, azaz 1 = a 11, 2 = a 11 a 12 a 21 a 22, a 11 a 12 a 13 3 = a 21 a 22 a 23 n = A a 31 a 32 a 33 ( k -k az A mátrix sarokf minorjai), akkor Q(x) := Ax, x (x R n ) kvadratikus függvény akkor és csakis akkor pozitív denit, ha k > 0 ha k = 1,, n, negatív denit, ha ( 1) k k > 0 ha k = 1,, n (D) vektorok skaláris vagy bels szorzata: Az x = (x 1, x 2,, x k ), y = (y 1, y 2,, y k ) R k vektorok skaláris vagy bels szorzatát -val deniáljuk x, y := x 1 y 1 + x 2 y x k y k Könny ellen rizni, hogy a skaláris szorzat teljesíti az alábbi tulajdonságokat Bármely x, y, z R k és bármely λ R esetén x + y, z = x, z + y, z, λx, y = λ x, y, x, y = y, x, x, x 0 és x, x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 Ez a 4 tulajdonság alkotja a skaláris szorzás axiómáit
11 11 (T): [Cauchy-Schwarz egyenl tlenség] Bármely két x, y R k vektor esetén érvényes a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség: x, y x, x y, y (D) vektor hossza: Az x = x, x számot az x = (x 1, x 2,, x k ) R k vektor hosszának (vagy normájának ill abszolút értékének ) nevezzük A Cauchy-Schwarz egyenl tlenség felhasználásával könnyen igazolhatjuk a norma tulajdonságait: bármely x, y R k és bármely λ R esetén x 0 és x = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 λx = λ x x + y x + y (D)távolság: Az x, y R k pontok távolságát -nal deniáljuk d(x, y) = x y (D)környezet: Egy a R k pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a halmazt értjük K(a, ε) := { x R k : d(x, a) = x a < ε } (D)sorozat: Egy a : N R k függvényt R k -beli sorozatnak nevezünk Jelölések a(n) = a n = (a n,1, a n,2,, a n,k ) (n N), a = (a n ) (D)konvergens, diveregens sorozat: Az (a n ) (R k -beli) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha van olyan b R k, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N(ε) R szám, hogy a n b < ε ha b-t a sorozat határérték ének (limeszének) nevezzük és az n > N(ε) a n b (n ) vagy lim n a n = b jelölést használjuk N(ε)-t az ε-hoz tartozó küszöbszámnak nevezzük Egy R k -beli sorozatot divergensnek nevezünk, ha nem konvergens (T): [R k -beli sorozat koordinátánként konvergens] akkor és csakis akkor, ha a n = (a n,1, a n,2,, a n,k ) b = (b 1, b 2,, b k ) (n ) a n,i b i (n ) minden i = 1, 2,, k mellett Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens és határértéke a határvektor megfelel koordinátája (D)függvény határértéke: Legyen f : D R k R és legyen x 0 D (=D torlódási pontjainak halmaza) Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges, vagy végtelen) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R b b vített valós szám, hogy bármely olyan D-beli (x n ) n N sorozatra, melyre lim x n = x 0 és x n x 0, n teljesül a lim f(x n) = a egyenl ség a R b -t az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük n és lim f(x) = a-vel, vagy f(x) a (x x 0 )-vel jelöljük x x 0
12 12 Korábbi deníció: Legyen f : D R k R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja) Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = lim f(x) x x 0 vagy f(x) a ( ha x x 0 )-t használjuk (D) függvény folytonossága: Az f : D R R függvényt folytonosnak nevezzük az x 0 D pontban, ha bármely D-beli x 0 -hoz konvergáló D x n x 0 (n ) sorozat esetén a függvényértékek f(x n ) (n N) sorozata az x 0 pontbeli függvényértékhez tart, azaz lim n f(x n) = f(x 0 ) Korábbi deníció: Az f : D R k R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy teljesül f(x) f(x 0 ) < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) és x D (D) függvény (totális) dierenciálhatósága, deriváltja: Az f : D R k R függvényt az x 0 D bels pontban (totálisan) dierenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A R k vektor melyre f(x) f(x 0 ) A, x x 0 lim = 0 x x 0 x x 0 Az f (x 0 ):=A vektort az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük (D) függvény irány menti dierenciálhatósága, irány menti deriváltja: Az f : D R k R függvényt az x 0 D bels pontban az e (ahol e egy R k -beli egységvektor) irány mentén dierenciálhatónak nevezzük, ha létezik a f(x 0 + te) f(x 0 ) lim t 0 t (véges) határérték E határértéket D e f(x 0 )-lal jelöljük, és az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezzük az x 0 pontban (D) függvény parciális deriváltja: Legyen e = u i = (0,, 0, 1, 0,, 0) az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az u i vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0) akkor a D ui f(x 0 ) iránymenti deriváltat az f függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük az x 0 pontban Jelölésére az i f(x 0 ) szimbólumot használjuk Egyéb jelölések: xi f(x 0 ), f x i (x 0 ), f xi (x 0 ) (D) parciális dierenciálhatóság: Az f : D R k R függvényt az x 0 D bels pontban parciálisan dierenciálhatónak nevezzük, ha i f(x 0 ) minden i = 1,, n-re létezik (T) iránymenti derivált kiszámítása: Ha f : D R n R az x 0 D bels pontban (totálisan) dierenciálható, akkor bármely e = (e 1,, e k ) R k, e = e e2 k = 1 irány mentén is dierenciálható x 0 -ban, és az iránymenti deriváltjára D e f(x 0 ) = A, e = A 1 e A k e k
13 13 áll fenn, ahol A = f (x 0 ) (T) (totális) dierenciálhatóság folytonosság: (totálisan) dierenciálható, akkor f folytonos x 0 -ban Ha f : D R k R az x 0 D bels pontban (T) parc deriv folytonossága (totális) dierenciálhatóság : Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D bels pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt úgy mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan dierenciálhato e környezetben) akkor f az x 0 pontbanban (totális) dierenciálható, (így folytonos is) TÉTEL [láncszabály: összetett függvény dierenciálhatósága] Ha a g i : D R k R (i = 1, 2,, l) függvények dierenciálhatók az x 0 D bels pontban, és f : E R l R dierenciálható az y 0 = g(x 0 ) E bels pontban, ahol g(x) := (g 1 (x), g 2 (x),, g l (x)) (x D), akkor a h(x) := f(g(x)) összetett függvény (mely x 0 D egy környezetében biztosan értelmezve van) dierenciálható x 0 D-ben és l i h(x 0 ) = j f(g(x 0 )) i g j (x 0 ) (i = 1, 2,, k) j=1 Utóbbi képletet nevezzük láncszabálynak (D) magasabb rend parciális deriváltak: Tegyük fel, hogy az f : D R k R függvénynek az x 0 D bels pont egy környezetében létezik pl az i-edik változó szerinti i f parciális derivált Ha ez parciálisan dierenciálható pl az j-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a j i f(x 0 ) := j ( i f(x 0 )) második parciális deriváltját f-nek az x 0 pontban az i-edik és j-edik változók szerint (ebben a sorrendben) Hasonlóan ha a j i f(x) drivált létezik x 0 egy környezetében és ez parciálisan dierenciálható pl a l-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a l j i f(x 0 ) := l ( j i f(x 0 )) harmadik parciális deriváltat Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrend parciális deriváltakat is (T) Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjét l: Ha az f : D R k R függvénynek az x 0 D bels pont egy környezetében az összes m 2-edik parciális deriváltjai léteznek és folytonosak az x 0 pontban, akkor a függvény m-edik parciális deriváltjai az x 0 pontban a dierenciálás sorrendjét l függetlenek (D) maximum, minimum: Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha esetén f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D
14 14 Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha esetén f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x D, x x 0 (T) a széls érték létezésének elegend feltétele: Korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek inmumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illet korlátos zárt halmazon) (T) a széls érték els rend szükséges feltétele: Ha f : D R k R f ggvénynek az x 0 D bels pontban lokális széls értéke van, és léteznek f els parciális deriváltjai x 0 -ban, akkor 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0 Az el z feltételnek elegettev x 0 pontokat az f függvény stacionárius pontjainak nevezzük (T) a széls érték másodrend elegend feltétele: Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá azaz x 0 stacionárius pontja f-nek I Ha a 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, Q(h) = Q(h 1,, h k ) := k j=1 i=1 k j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív denit, azaz Q(h) > 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha a Q kvadratikus függvény negatív denit, azaz Q(h) < 0 minden h R k, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III ha a Q kvadratikus függvény indenit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban (T) a széls érték másodrend elegend feltétele determinánsok segítségével: Tegyük fel, hogy az f : D R k R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, továbbá 1 f(x 0 ) = 2 f(x 0 ) = = k f(x 0 ) = 0, azaz x 0 stacionárius pontja f-nek Legyen A = ( i j f(x 0 )) R k k az f függvény x 0 pontbeli második parciális deriváltjaiból álló mátrix, és legyen i (i = 1,, k) az A mátrix bal fels i i típusú sarokmátrixának determinánsa, azaz 1 : = 1 1 f(x 0 ) 2 : = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 3 : = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 3 f(x 0 ) 2 1 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) 2 3 f(x 0 ) 3 1 f(x 0 ) 3 2 f(x 0 ) 3 3 f(x 0 ) k : = A I Ha 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0,, k > 0 akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban,
15 II ha 1 < 0, 2 > 0, 3 < 0,, ( 1) k k > 0 akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban Két változós függvény esetén az el z tétel második része kissé b víthet : 15 I Ha 1 = 1 1 f(x 0 ) > 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, II ha 1 = 1 1 f(x 0 ) < 0, 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban III ha 2 = 1 1 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 1 2 f(x 0 ) 2 2 f(x 0 ) < 0 akkor f-nek nincs széls értéke x 0 -ban > 0 > 0 (D)lokális feltételes maximum (minimum): Legyenek f : D R k R, g i : D R k R i = 1,, l, l < k adott függvények Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és van olyan ε > 0 hogy mellett, melyre f(x 0 ) f(x) (f(x 0 ) f(x)) teljesül minden x D K(x 0, ε) Ha g 1 (x 0 ) = = g l (x 0 ) = 0, és g 1 (x) = = g l (x) = 0 f(x 0 ) > f(x) (f(x 0 ) < f(x)) teljesül minden x 0 x D K(x 0, ε) mellett, melyre g 1 (x) = = g l (x) = 0, akkor szigorú lokális feltételes maximum (minimum)-ról beszélünk (T) a feltételes széls érték szükséges feltétele: Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), az f függvénynek az els parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels egy környezetében f-nek az x 0 D pontban a g 1 (x) = 0, g 2 (x) = 0,, g l (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes széls értéke van, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) R l k mátrix rangja l (azaz van nemzérus l-edrend aldeterminánsa) Akkor vannak olyan λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) R l valós számok, hogy az függvényre L(λ, x) := f(x) + λ 1 g 1 (x) + + λ l g l (x) (λ = (λ 1,, λ l ) R l, x D) 1 L(λ 0, x 0 ) = = l+k L(λ 0, x 0 ) = 0 A λ 1, λ l változókat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt a feltételes széls érték probléma Lagrange-féle függvény ének nevezzük
16 16 A feltételes széls érték probléma megoldása úgy történik, hogy a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 l + k db egyenletb l álló egyenletrendszert megoldjuk a λ 1, λ l, x 1,, x k, ismeretlenekre, a kapott (λ 0, x 0 ) = (λ 01,, λ 0l, x 01,, x 0k ) R l D megoldások a Lagrange függvény stacionárius pontjai Ennek az x 0 = (x 01,, x 0k ) koordinátái a feltételes széls érték lehetséges helyei, λ 0 = (λ 01,, λ 0l ) a megfelel Lagrange multiplikátorok (T) a feltételes széls érték elegend feltétele: Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, λ 0 R l, x 0 D, a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása, ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) R l k 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a mátrix jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) (1) Ha a k k Q(h) = Q(h 1,, h k ) := i j L(λ 0, x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény pozitív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre k j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha a k k Q(h) = Q(h 1,, h k ) := i j L(λ 0, x 0 )h i h j j=1 i=1 kvadratikus függvény negatív minden olyan h R k, h 0 esetén, melyre j=1 k j g i (x 0 )h j = 0 minden i = 1,, l mellett, akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x 0 pontban (T) a feltételes széls érték elegend feltétele determinánsokkal: Tegyük fel, hogy az f, g i : D R k R (i = 1,, l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D bels pont egy környezetében, (λ 0, x 0 ) R l D a 1 L(λ, x) = = l+k L(λ, x) = 0 k + l db egyenletb l álló rendszer megoldása (azaz L stacionárius pontja), ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, a 1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) R l k j=1
17 mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a jobboldali l l-es sarokdetermináns, azaz k l+1 g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) 0 k l+1 g l (x 0 ) k g l (x 0 ) Legyen j (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k) a g 1 (x 0 ) k g 1 (x 0 ) g l (x 0 ) k g l (x 0 ) 1 g 1 (x 0 ) 1 g l (x 0 ) l+1 l+1 L(λ 0, x 0 ) l+1 l+k L(λ 0, x 0 ) k g 1 (x 0 ) k g l (x 0 ) l+k l+1 L(λ 0, x 0 ) l+k l+k L(λ 0, x 0 ) szimmetrikus blokkmátrix bal fels j-edrend sarokdeterminánsá (1) Ha ( 1) l j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x 0 pontban, (2) Ha ( 1) l+j j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2,, l + k), akkor f-nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x 0 pontban Vegyük észre, hogy a blokkmátrix éppen a Lagrange függvény összes második parciális deriváltjaiból álló mátrix azaz ( i j L(λ 0, x 0 )) R (l+k) (l+k) 17
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest feletti
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenEgyenletrendszerek. Egyenletrendszerek megoldása
Egyenletrendszerek Egyenletrendszerek megoldása 1D Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert értünk, mely véges sok elsőfokú egyenletből áll, és véges sok ismeretlent tartalmaz Az n-ismeretlenes,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenMatematika példatár 6.
Matematika példatár 6 Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Matematika példatár 6: Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Lektor: Dr Pfeil, Tamás Ez a modul a TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenAnalízis deníciók és tételek gy jteménye
Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenLineáris algebra (tömör bevezetés)
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 007-06-03, 04 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet-alakja Egyenletrendszerek
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenMatematika II. Nagy Ábris. 2015/2016. II. félév. Debreceni Egyetem. Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71
Matematika II. Nagy Ábris Debreceni Egyetem 2015/2016. II. félév Nagy Á. (Debrcenei Egyetem) Matematika II. 1 / 71 Hasznos információk e-mail: abris.nagy@science.unideb.hu honlap: math.unideb.hu/nagy-abris/oktatas.html
RészletesebbenMÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA. 1. Definíció alkalmazásával megoldható feladatok
Bevezetés: MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA Jelölés: A mátrix sajátértékeit λ 1, λ 2, λ 3,.stb. betűkkel, míg a különböző sajátvektorokat x 1, x 2, x 3 stb. módon jelöljük Definíció:
RészletesebbenLineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 11. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach 2005. november 22.
1 Diszkrét matematika I, 11 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 22 Permutációk Definíció Permutáción n különböző elem valamely sorrendjét
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenSajátérték, sajátvektor, sajátaltér
5. fejezet Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 5.. Alapfogalmak Egy mátrix jellemzésének különösen hatékony eszköze azoknak az x vektoroknak a meghatározása, amelyeket a mátrixszal való szorzás egy önmagával
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenKidolgozott. Dudás Katalin Mária
Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat) f(x) = 2x 2 x 4. 2x 2 x 4 = 0, x 2 (2 x 2 ) = 0.
Feladatok megoldásokkal a negyedik gyakorlathoz (Függvényvizsgálat). Feladat. Végezzük el az f(x) = x x 4 ) Értelmezési tartomány: x R. ) A zérushelyet az f(x) = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: amiből
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
RészletesebbenMátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE
BEVEZETÉS AZ ANALÍZISBE Székelyhidi László A felsőbb matematika kapujában Jelen kiadvány a Palotadoktor Bt. kiadásában készült. A munkát lektorálta: Lovas Rezső (Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet)
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I. DEFINÍCIÓ: (Helyvektor) A derékszögű koordináta - rendszerben a pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. TÉTEL: Ha i az (1; 0) és j a (0; 1) pont helyvektora, akkor
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenBUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET
BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET BUDAPEST, 1997 A szerzők Lineáris Algebra, illetve Lineáris Algebra II c jegyzeteinek átdolgozott
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Részletesebben170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 7. Fixpont tételek Az x = f(x) (7.1) egyenletet fixpont egyenletnek nevezzük, annak egy p megoldását pedig az f függvény fixpontjának
RészletesebbenValószín ségelmélet házi feladatok
Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott
RészletesebbenMIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY
MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
Részletesebben3. KÖRGEOMETRIA. 3.1. Körrel kapcsolatos alapismeretek
3. KÖRGEOMETRIA Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 89 109. és 121. oldal. Pelle Béla: Geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 86 97. és 117 121. oldal. Kovács Zoltán: Geometria,
RészletesebbenVektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam
Vektorszámítás Fizika tanárszak I. évfolyam Lengyel Krisztián TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék. Deriválás.. Elmélet........................................... Deriválási szabályok..................................
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
Részletesebben4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
RészletesebbenMATEMATIKA HETI 3 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 010 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 010. június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
RészletesebbenMatematika példatár 2.
Matematika példatár 2. Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Matematika példatár 2.: Sorok, függvények határértéke és Csabina, Zoltánné Lektor: PhD. Vigné dr Lencsés, Ágnes Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
RészletesebbenWassily Leontieff Az amerikai gazdaság szerkezete 1919-1939 c. úttörő munkájára támaszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent tartalmaztak.
Wssily Leontieff Az meriki gzdság szerkezete 99-99 c. úttörő munkájár támszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent trtlmztk. Szovjetunióbn Leonyid Kntorovics modelljeivel célj z volt, hogy második
Részletesebben1. forduló. MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév
MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak
RészletesebbenÁttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.
Kiegészítés az előadássorozathoz. Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről. A valószínűségszámítás (és a matematika) bizonyos kérdéseiben fontos szerepet játszik a lineáris algebra néhány
RészletesebbenGeometria II. Vázlat Kovács Zoltán el adásaihoz. 2012. május 27.
Geometria II Vázlat Kovács Zoltán el adásaihoz 2012. május 27. 2 Tartalomjegyzék 1. Geometria R 2 -ben 5 1.1. R 2 euklideszi struktúrája..................... 6 1.2. Tengelyes tükrözések a síkban..................
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenADATBÁZIS-KEZELÉS. Funkcionális függés, normál formák
ADATBÁZIS-KEZELÉS Funkcionális függés, normál formák KARBANTARTÁSI ANOMÁLIÁK beszúrási anomáliák törlési anomáliák módosítási anomáliák DOLG_PROJ(Dszsz, Pszám, Dnév, Pnév, Órák) 2 MÓDOSÍTÁSI ANOMÁLIÁK
RészletesebbenTrigonometria és koordináta geometria
Tantárgy neve Trigonometria és koordináta geometria Tantárgy kódja MTB1001 Meghirdetés féléve I. Kreditpont 4k Összóraszám (elm+gyak) 30+30 Számonkérés módja Gyakorlati jegy (2 zárthelyi dolgozat) Előfeltétel
Részletesebbenmatematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
Részletesebben(Gyakorló feladatok)
Differenciálszámítás (Gyakorló feladatok) Programtervező matematikus szakos hallgatóknak az Analízis 3. című tárgyhoz Összeállította: Szili László L-Sch -sel hivatkozunk a Leindler Schipp jegyzetre 2004.
RészletesebbenElektromágneses hullámok - Hullámoptika
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (c) Elektromágneses hullámok - Hullámoptika Utolsó módosítás: 2015. január 17. 1 Az elektromágneses hullámok visszaverődési és törési törvényei (1) Kérdés: Mi történik
RészletesebbenHalmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenA kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
RészletesebbenA lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenA skatulya-elv alkalmazásai
1 A skatulya-elv alkalmazásai Számelmélet 1. Az első 4n darab pozitív egész számot beosztjuk n számú halmazba. Igazoljuk, hogy mindig lesz három olyan szám, amelyek ugyanabban a halmazban vannak és valamely
RészletesebbenElektronikus tananyag MATEMATIKA 10. osztály II. félév
Elektronikus tananyag MATEMATIKA 0. osztály II. félév A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok A párhuzamos szelők tétele TÉTEL: Ha egy szög szárait párhuzamos
RészletesebbenÉS TESZTEK A DEFINITSÉG
MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
Részletesebben1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
RészletesebbenGazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
Részletesebben