Határozatlan integrál

Átírás

1 . fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá F dierenciálható a H halmazon, mégpedig F ) = f), ha H. Az egyváltozós valós f függvény primitív függvényeinek összességét az f határozatlan integráljának nevezzük és a következ képpen jelöljük: f), vagy f. T. Ha az egyváltozós valós f függvénynek valamely I intervallumon primitív függvénye F és G, akkor van olyan valós C szám, hogy az I intervallum minden elemére G) = F ) + C. D.3 Az elemi függvények dierenciálási szaályaiól adódó integrálási képleteket alapintegráloknak nevezzük. A fontosaak: n = n+ n + + C, ha n, = ln + C ; e = e + C, cos = sin + C, cos = tg + C, = arcsin + C = arccos + C, ch = sh + C, ch = th + C, = ln C = arsh + C, + = ln + + C = arch + C, = { ln + arth + + C C =, ha <, arcth + C, ha >. - a = a ln a + C; sin = cos + C; sin = ctg + C ; + = arctg + C; sh = ch + C; sh = cth + C;

2 . Határozatlan integrál Az integrálás általános szaályai Ahol C jelöli az integrációs konstanst, ott ezzel azt jelezzük, hogy az integrandus értelmezési tartománya tö intervallumól áll az n függvénynél csak negatív n esetén), az összefüggés pedig csak egy, de ármelyik intervallumon érvényes. Az egész értelmezési tartományon érvényes összefüggést úgy kapunk, ha minden intervallumon külön konstanst használunk. Pl.: = { ln, ha > 0, ln ), ha < 0. T.4 A függvények dierenciálási szaályaiól közvetlenül adódnak az integrálás alái általános szaályai: ) f) ± g)) = f) ± g) ; ) k f)) = k f) k R) ; 3) f v )f ) = f v+ ) + C, v R, v ) ; v + f 4) ) = ln f) + C. f) Ha f) = F ) + C, akkor ármely a és a 0) konstansokkal 5) fa + ) = F a + ) + C, a speciálisan fa) = F a) + C. a Ha fu) du = F u) + C, akkor ármely dierenciálható g els függvénnyel 6) fg))g ) = F g)) + C. P.5 Számítsuk ki az sin ) 4 határozatlan integrálját. A 3) szaályt alkalmaz- ctg zuk: sin ) 4 ctg = P.6 Számítsuk ki az f) = ctg ) 4 ctg ) = ctg ) C = 4 4 ctg C. sin cos + sin függvény határozatlan integrálját. Mivel + sin ) = sin cos, a 4) szaály alapján f) = f) = ln + sin + C. P.7 Számítsuk ki az a +, a, > 0) határozatlan integrált. Átalakítás után az 5) szaályt alkalmazzuk: f) = a ) = arctg + a a a a + C = arctg a a + C. P.8 Legyen f) = + +. Állítsuk el f) -et! A 5) szaállyal: f) = + ) = ) = arctg + + C

3 . Határozatlan integrál Az integrálás általános szaályai P.9 Számítsuk ki az f) = sin cos határozatlan integrált. A 6) szaállyal: sin = cos = arch cos ) + C. cos ) cos ) = Feladatok Az összeg- és különségfüggvény, illetve a konstanssal szorzott függvény integrálási szaályát alkalmazva oldjuk meg az alái feladatokat. A gyökös kifejezéseket írjuk át törtkitev s alaka.) ,. t + 6t 5) dt, 4., 6. 5, + 3 ), e cos ). Oldjuk meg maradékos osztás után az alái feladatokat: , 8. 3, , ,. + a,. 3 a 3, e e +. A T.4 alatti 3) és 4) integrálási szaályok alapján oldjuk meg az alái feladatokat: ) 00, ) 3, 8. r 3 + r 3 dr,. sin 3 cos, 4. sin 5, 7. sin 3 9., 30. cos 3., 33. sin cos ) 3, , ,. cos 3, 5. sin cos 3, 8. sin cos 3, 3. ln, ), a + ) n,, sin 3, sin 3 cos 4, sin + cos 3, sin cos 3 ln,

4 . Határozatlan integrál Parciális integrálás 35. sh ch 3, 36. ch 3, 37. ch +, , , , , a, 43. a 3 + 3, 44. sin cos, 45. sin, 46. sh ch. 47. sh, 48. e a, e a +, A T.4 alatti 5) és 6) integrálási szaályok alapján oldjuk meg az alái feladatokat: , , 5. 3, 53., , , a 4 4, 57. 8, 58., , 60. 9, , , 63. e, 66. sin ln, 69. ln ln ln, 7. 3, 64. e, e 67. sh ch, 70. sin + cos, ), a + a, ln, a a sin + cos. Parciális integrálás D.0A szorzatfüggvény dierenciálási szaályáól nyerhet f )g) = f)g) f)g ) képletet a parciális integrálás képletének nevezzük, és ha ezt a képletet alkalmazzuk, akkor azt mondjuk, hogy az illet függvényt parciálisan integráljuk. A parciális integrálásra különösen alkalmas függvények típusai:. típus. A p) ta + ) a, R ; a 0) alakú függvények, amelyeken p: polinomfüggvény, t: a sin, cos, sh, ch, ep valamelyike. Een az eseten legyen f ) = ta + ) és g) = p). Annyi parciális integrálásra -4

5 . Határozatlan integrál Parciális integrálás lesz szükségünk, amennyi p foka.. típus. Az v ln n n N, v R, v ) alakú függvények. Een az eseten legyen f ) = v és g) = ln n. Itt n parciális integrálásra lesz szükség. 3. típus. A ta + ) tc + d) a,, d R; a 0, c 0) alakú függvények, ahol t és t az. típusnál a t-ként felsorolt öt függvény valamelyike. Az f ) és g) megválasztásához lásd P..) 4. típus. A p) a) akakú függvények, amelyeken p: polinomfüggvény, a: arkusz- vagy areafüggvény. Een az eseten legyen f ) = p) és g) = a). P.A 3. típusú függvények parciális integrálásánál egyenletet írhatunk fel a kiszámítandó határozatlan integrálra, mely egyenlethez két módon is eljuthatunk. Szemléltessük ezt az I = e a sin a, 0 konstans) kiszámításán. Eljárhatunk úgy, hogy I-t két különöz módon parciálisan integráljuk, egyszer f ) = sin és g) = e a választással, majd f ) = e a, g) = sin választással: I = e a cos I = ea a sin a + a e a cos, e a cos. Az els egyenletet a -val, a másodikat a -vel szorozva és összeadva kapjuk, hogy a I + a I = a + a I = ea ea sin cos, ami l I = ea a a + a sin cos )+C. Eljárhatunk úgy is, hogy a fenti els egyenleten tová integráljuk parciálisan a második tagot f ) = cos, g) = e a választással: I = e a cos E l ismét + a e a sin a I = ) e a sin = ea a a sin cos ) I. ea a + a sin cos ) + C. -5

6 . Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel Feladatok A parciális integrálás módszerével oldjuk meg az alái feladatokat: 74. cos, 75. sin, 76. cos, 77. cos, 78. sin, sin, cos, 8. cos. 8. 3, 83. e, 84. e, 85. e sin, 86. e cos, 87. e a cos, 88. e 6 cos 4, 89. e sin, 90. arcsin, 9. arcsin ), 9. arcsin, 93. arccos, 94. arctg 3, arctg, 96. arctg +, 99. ln, 0. ln + ), 05. ln + ), 08. ln cos cos,. ) sh, 4. arctg, arctg +, 00. ln 3, 03. ln 8 3 arctg, ln, ) ln,, 06. lg 4, ln 3, 09. v ln, v ), sh,. 3 ch 3, ch cos Igazoljuk, hogy cos n = n cosn sin + n n 6. Igazoljuk, hogy sin n = n sinn cos + n n -6 cos n n N + ). sin n n N + ).

7 . Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel D.Az f) függvény helyettesítéssel történ integrálásáról eszélünk, ha. az változó helyée valamely t változónak egy invertálható és dierenciálható ut) függvényét helyettesítjük; kimutatható, hogy ekkor a helyée az u t) dt kifejezést kell írnunk, és a számítást a következ képpen kell folytatnunk:. elvégezzük a t szerinti integrálást; 3. végül az u függvény u inverzét véve a t = u) helyettesítéssel visszaírjuk az eredeti változót. Képleten: ) f) = fut))u t) dt t=u). Megjegyzés. A gyakorlatan esetenként nem közvetlenül az változó helyée vezetjük e az ut) függvényt, hanem az f valamely els függvényét helyettesítjük valamely más függvénnyel, vagy egyszer en valamely függvénye helyée írjuk a t változót. Ez az utói eset azonos a 6) képleten leírttal. T.3A leggyakori helyettesítések: Legyen R, y) egy racionális törtfüggvény. Az alá konkrétan megnevezett f és g függvények l felépített Rf, g) függvények integrálásához használatos helyettesítések: Az Rsin, cos ) típus esetén a tg = t helyettesítés. Ekkor sin = t t dt + t, cos = + t, = + t. Ha Rsin, cos ) = R sin, cos ), akkor használható az általáan egyszer tg = t helyettesítés is. Ekkor sin = t + t, cos = dt + t, = + t. Az Rsh, ch ) típus esetén vagy az Re ) eseten használható) e = t helyettesítés, amikor = dt t, vagy a th = u helyettesítés, amikor Az R Az R Az R sh = u + u du u, ch = u, = u., ) esetén a helyettesítés = sin t., + ) esetén a helyettesítés = sh t., ) esetén a helyettesítés = ch t, ha 0, és az R, ) esetén a helyettesítés = ch t, ha 0. ) Az R a, d c,..., k l a,, c, d,..., k, l N + ) esetén a helyettesítés = u λ, ahol λ a kitev k nevez inek legkise közös töszöröse. -7

8 . Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel P.4Gyakran az alkalmas helyettesítés megtalálásához az integrálandó függvényen átalakítást kell végeznünk. Keressük például a + függvény határozatlan integrálját. El átalakítjuk a függvényt: I = + = ) = ). Ez utói alak az u = helyettesítéssel R u, u ) típusú lesz, amelyre a T.3 szerint az u = sin t helyettesítést alkalmazzuk. A tö lépés l álló helyettesítés egy lépésen is elvégezhet : = sin t. Ekkor = cos t dt, és I = cos t cos t dt = cos + cos t sin t t dt = dt = t + + C = = arcsin + sin t cos t + C = arcsin + ) + C = = arcsin + ) + + C. P.5El fordulhat, hogy a fentieken ajánlott helyettesítésnél kevese számolással járó helyettesítést is találhatunk. Számítsuk ki például az > ) integrált. Az ajánlott helyettesítés: = ch t. Ekkor = sh t dt és I = = sh t dt ch t sh t = dt ch t. Ez utóit megoldhatjuk a th t = u helyettesítéssel: a 3) képletek szerint I = du arctg u+c. A ch t = + u u egyenlet l u = arctg + + C. ch t ch t + = +, tehát + u = = Számítsuk ki ugyanezt a feladatot t = helyettesítéssel. Ekkor = t, és I = t t ) t dt dt = t = arccos t + C = arccos + C. Látható, hogy ezutói helyettesítés kevese számolással jár. dt Megjegyzés. Az integrált más módon is kiszámíthatjuk. B vítve a törtet ch t-vel ch t és ch t helyére + sh t)-et írva, u = sh t helyettesítéssel ch t dt I = + sh t = du + u = arctg u + C = arctgsh t) + C = arctg + C. Más átalakítással és u = e t helyettesítéssel: dt I = ch t = dt et + e t ) = e t e t + dt = du + u = arctget ) + C. Az = ch t egyenl ség l t = arch t = ln + ), tehát I = arctg + ) + C. Dierenciálással meggy z dhetünk arról, hogy mind a négy módon a megadott függvény -8

9 . Határozatlan integrál Integrálás helyettesítéssel határozatlan integrálját kaptuk meg az, ) intervalluman. Ez azt is jelenti, hogy az eredmények jo oldalán els tagként álló függvények legfelje konstans összeadandóan térhetnek el egymástól. Feladatok A T.3 alatt felsorolt helyettesítések valamelyikével vagy más alkalmas helyettesítéssel oldjuk meg az alái feladatokat a,, c konstansok és a > 0). 7., 8. a, 9. a +, ,. a,. c +, 4. ) 3, 5. c +, ) 3, 6. +, + 7., 8., 9., 30. 3, , , , , , a, , , ) 46. cos + cos, cos, sin 4, 53. ln ln 55., e e, , a + ) a +, , 4. 4, , + 3 ), sin + cos, + sin, cos, cos, sin, sin 3 cos 3, ) 3, sin 4, 57. e,, 60. sh c + cos. -9

10 . Határozatlan integrál Racionális törtfüggvények integrálása Racionális törtfüggvények integrálása T.6A valós együtthatós racionális R) törtfüggvény maradékos osztással R) = g) + P ) Q) alakra hozható, ahol P ) fokszáma kise Q) fokszámánál. T.7A Q) valós együtthatós polinomfüggvény egyértelm en el állítható els fokú, és negatív diszkriminánsú másodfokú polinomfüggvények szorzataként: Q) = a0 ) α k ) α k + + c) β + l + c l ) βl. T.8Ha Q)-nek az el z tétel szerinti felontása ismeretes, akkor P ) Q) törtfüggvényt a P ) Q) = A) + + Ak) + k A) ) + + A ) α ) α + Ak) k ) + + A k) α k k ) α + k + B) + C) + + c + B) + C) + + c ) + + B) β + C) β + + c ) + β + Bl) + Cl) + Bl) + l + + Cl) c l + l + ) + c + Bl) β l + C l) β l ) l + l + βl + c l képlet szerint elemi törtfüggvények parciális törtek) összegére onthatjuk. Az itt még ismeretlen A i), B i), C i) számok meghatározására egyenletrendszert írhatunk fel. P.9Számítsuk ki az függvény határozatlan integrálját. A nevez t a T.7 szerinti alakra hozzuk: = 4 + ). Ezt felhasználva a függvényt el állítjuk elemi törtek összegeként: 4 + ) = A + A + A A B + C +. A jo oldalt összevonva, a két oldal számlálójának azonosan egyenl nek kell lennie: = A 3 + ) + A + ) + A3 + ) + A4 + ) + B + C) 4. Átrendezve hatványai szerint: = A + B) 5 + A + C) 4 + A + A3) 3 + A + A4) + A3 + A4. A megfelel együtthatók összehasonlításával: A4 =, A3 = 0, A + B = 0, A + C = 0, A + A3 = 0, A + A4 = 0. Ezek l A = 0, A =, B = 0, C =. Tehát 6 + = ) = arctg + C. Amennyien Q) gyökei között tö egyszeres gyök van, az A i) j, Bi) j, C i) j számok meghatározását célszer en az alái példáan szemléltetett módon végezhetjük. -0

11 . Határozatlan integrál Vegyes feladatok. 4 függvény határozatlan integrálját. Elemi törtek összegére P.0Számítsuk ki az ontjuk a függvényt: 4 = 4 = ) + ) = A + B + + C + D +. E l = A + ) + ) + B ) + ) + C + D) ). Legyen = ; akkor = 4A, azaz A = 4. Legyen = ; akkor = 4B, azaz B = 4. Legyen = 0 ; akkor 0 = A B D, azaz D =. A C-t az együtthatóiól állapítjuk meg: A + B C = 0, azaz C = 0. Tehát 4 = ) 4 = 4 ) ) = + ) = 4 ln + 4 ln + arctg + C = 4 ln + arctg + C. Feladatok Integráljuk az alái racionális törtfüggvényeket, illetve helyettesítéssel ilyenekre visszavezethet függvényeket , 6. 3, ) + 5), , 65. 4, ) + ) + 3), ) 4, ), ) + ), 70. 3, ), u = 6 ), , u = 4 ), 6 ln e, 74. 3, Vegyes feladatok. 76. Határozzuk meg az 77. Határozzuk meg az f ) integrált. f ) integrált. 78. Határozzuk meg az f függvényt, ha f ) = > 0). 79. Határozzuk meg az f függvényt, ha f sin ) = cos. -

12 . Határozatlan integrál Vegyes feladatok. 80. Legyen f folytonos és invertálható függvény, inverzét jelölje f. Mutassuk meg, hogy ha f) = F ) + C, akkor f ) = f ) F f )) + C. Ellen rizzük e formulát az n, e, arcsin függvényekkel! Határozzuk meg az alái integrálok értékét. 8., 8., ), 84. e, 85. ma, arcsin ), 86., , 88. ln4 + 4 ), 89. ) , , , , , 94. +, 95. 4, 96. cos 3, 97. sin 3, 98. sh cos 4, 00. sin 4, 0. tg 3, + tg + cos 0., 03., 04. tg, sin + cos 05. tg 5 sin 4, 06. cos, 07. cos 6, 08. arctg ), 09. a a > ), 0.. a + sh,. a + sh ), , 5. sin cos + 3 cos, sin cos cos 6 + sin 6, 9. sh 5 ch 4, sin ln. sin cos a sin + cos, tg + cos 4, a + cos ), -