Analízis előadások. Vajda István február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
|
|
|
- Dezső Török
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
2 Az elemi függvények csoportosítása Elemi függvények Algebrai függvények Transzcendens függvények Racionális függvények Irracionális függvények Polinomok Racionális törtfüggvények Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. / 3
3 Polinomok integrálása Felhasználjuk az x k dx = xk+1 + C (k N) k + 1 alapintegrált, és a következő szabályokat: cf = c f (c R), f ± g = f ± g Pl.: ( x 3x + 5 ) dx = x3 3 3x + 5x + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
4 Polinomok integrálása Felhasználjuk az x k dx = xk+1 + C (k N) k + 1 alapintegrált, és a következő szabályokat: cf = c f (c R), f ± g = f ± g Pl.: ( x 3x + 5 ) dx = x3 3 3x + 5x + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
5 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője elsőfokú: A dx = A ln x a + C x a Felhasználtuk: 1 dx = ln x + C x F (ax + b) f (ax + b) dx = a + C 5 5 ln x + 3 dx = + C x + 3 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
6 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője elsőfokú: A dx = A ln x a + C x a Felhasználtuk: 1 dx = ln x + C x F (ax + b) f (ax + b) dx = a + C 5 5 ln x + 3 dx = + C x + 3 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
7 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője elsőfokú: A dx = A ln x a + C x a Felhasználtuk: 1 dx = ln x + C x F (ax + b) f (ax + b) dx = a + C 5 5 ln x + 3 dx = + C x + 3 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
8 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy elsőfokú kifejezés hatványa: A (x a) n dx = A (1 n) (x a) n 1 (n N \ {0, 1}) Felhasználtuk: x k dx = xk+1 k C k Z \ { 1} F (ax + b) f (ax + b) dx = + C a (3x 1) 3 dx = 1 3 (3x 1) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
9 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy elsőfokú kifejezés hatványa: A (x a) n dx = A (1 n) (x a) n 1 (n N \ {0, 1}) Felhasználtuk: x k dx = xk+1 k C k Z \ { 1} F (ax + b) f (ax + b) dx = + C a (3x 1) 3 dx = 1 3 (3x 1) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
10 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy elsőfokú kifejezés hatványa: A (x a) n dx = A (1 n) (x a) n 1 (n N \ {0, 1}) Felhasználtuk: x k dx = xk+1 k C k Z \ { 1} F (ax + b) f (ax + b) dx = + C a (3x 1) 3 dx = 1 3 (3x 1) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
11 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy másodfokú kifejezés: A x dx =? + px + q Ha x + px + q felbontható két elsőfokú tényező szorzatára, akkor ez az integrál visszavezethető az előző esetek egyikére. Ha x + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két elsőfokú tényező szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az 1 dt = arctg t + C 1 + t alapintegrálra vezethető vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
12 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy másodfokú kifejezés: A x dx =? + px + q Ha x + px + q felbontható két elsőfokú tényező szorzatára, akkor ez az integrál visszavezethető az előző esetek egyikére. Ha x + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két elsőfokú tényező szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az 1 dt = arctg t + C 1 + t alapintegrálra vezethető vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
13 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy másodfokú kifejezés: A x dx =? + px + q Ha x + px + q felbontható két elsőfokú tényező szorzatára, akkor ez az integrál visszavezethető az előző esetek egyikére. Ha x + px + q a valós számok halmazán nem bontható fel két elsőfokú tényező szorzatára (ún. felbonthatatlan másodfokú polinom), akkor a fenti integrál az 1 dt = arctg t + C 1 + t alapintegrálra vezethető vissza. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
14 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy másodfokú kifejezés: A x dx =? + px + q 4 x 3x + dx = 4 (x ) (x 1) dx = ( 4 = x 4 ) ( 1 dx = 4 x 1 x 1 ) dx = x 1 = 4 (ln x ln x 1 ) + C = x 4 ln x 1 + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
15 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans, nevezője egy másodfokú kifejezés: A x dx =? + px + q 3 x x + 5 dx = 3 (x 1) + 4 dx = = ( ) x 1 dx = 3 arctg x 1 + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
16 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója elsőfokú, nevezője egy másodfokú kifejezés: Ax + B x + px + q dx = A x + p x + px + q dx + B Ap x + px + q dx Itt az egyenlőség jobboldalán álló első integrandus az f (x) f (x) dx = ln f (x) + C szabály segítségével integrálható, a második pedig a már vizsgált esetek egyike. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
17 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója elsőfokú, nevezője egy másodfokú kifejezés: Ax + B x + px + q dx = A 4x + 6 x + 4x + 5 dx = x + p x + px + q dx + x + 4 x + 4x + 5 dx = ln x + 4x (x + ) dx = B Ap x + px + q dx 1 x + 4x + 5 dx = = ln ( x + 4x + 5 ) arctg (x + ) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
18 Elemi törtek integrálása Ha a törtfüggvény számlálója konstans vagy elsőfokú kifejezés, a nevező pedig egy felbonthatatlan másodfokú kifejezés hatványa: A (x + px + q) n dx, illetve Ax + B (x + px + q) n dx, akkor az integrálás ugyancsak elvégezhető, de ezzel nem foglalkozunk. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
19 Racionális törtfüggvények integrálása Ha a törtfüggvény számlálója alacsonyabbfokú, mint a nevezője (ún. valódi tört), akkor felbontható az eddigiekben vizsgált elemi törtek összegére, amelyek külön-külön integrálhatók. Az összeggé alakítást szokás résztörtekre bontásnak nevezni. Ha a törtfüggvény számlálójának fokszáma nem kisebb mint a nevezőé, akkor először szétbontjuk egy polinom és egy valódi tört összegére (pl. polinomosztással) és a két részt külön integráljuk. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
20 Racionális törtfüggvények integrálása Ha a törtfüggvény számlálója alacsonyabbfokú, mint a nevezője (ún. valódi tört), akkor felbontható az eddigiekben vizsgált elemi törtek összegére, amelyek külön-külön integrálhatók. Az összeggé alakítást szokás résztörtekre bontásnak nevezni. Ha a törtfüggvény számlálójának fokszáma nem kisebb mint a nevezőé, akkor először szétbontjuk egy polinom és egy valódi tört összegére (pl. polinomosztással) és a két részt külön integráljuk. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
21 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 6 x + x dx = 6 (x 1) (x + ) dx = ( ) = (x 1) dx = (x + ) = ln x 1 ln x + + C = x 1 ln x + + C Résztörtekre bontás: 6 (x 1) (x + ) = A x 1 + B x + x = 1 6 = 3A A = 6 = A (x + ) + B (x 1) x = 6 = 3B B = Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
22 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 6 x + x dx = 6 (x 1) (x + ) dx = ( ) = (x 1) dx = (x + ) = ln x 1 ln x + + C = x 1 ln x + + C Résztörtekre bontás: 6 (x 1) (x + ) = A x 1 + B x + x = 1 6 = 3A A = 6 = A (x + ) + B (x 1) x = 6 = 3B B = Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
23 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 5x 0x + 3 (x 3) (x ) (x + 1) dx = ( = Résztörtekre bontás: (x 3) 1 (x ) + 4 (x + 1) 5x 0x + 3 (x 3) (x ) (x + 1) = A x 3 + ) dx = = ln x 3 ln x + 4 ln x C B x + D x + 1 5x 0x + 3 = A (x ) (x + 1) + B (x 3) (x + 1) + D (x 3) (x ) x = 3 x = x = 1 8 = 4A 3 = 3B 48 = 1D A = B = 1 D = 4 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
24 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 5x 0x + 3 (x 3) (x ) (x + 1) dx = ( = Résztörtekre bontás: (x 3) 1 (x ) + 4 (x + 1) 5x 0x + 3 (x 3) (x ) (x + 1) = A x 3 + ) dx = = ln x 3 ln x + 4 ln x C B x + D x + 1 5x 0x + 3 = A (x ) (x + 1) + B (x 3) (x + 1) + D (x 3) (x ) x = 3 x = x = 1 8 = 4A 3 = 3B 48 = 1D A = B = 1 D = 4 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
25 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 7x 9x + 5 (x ) (x + 1) dx = ( = Résztörtekre bontás: 3 (x ) + 4x (x + 1) 1 (x + 1) ) dx = = 3 ln x + ln ( x + 1 ) arctg x + C 7x 9x + 5 (x ) (x + 1) = A x + Bx + D x + 1 7x 9x + 5 = A ( x + 1 ) + Bx (x ) + D (x ) x = x = 0 x 15 = 5A 5 = A D 7 = A + B A = 3 D = 1 B = 4 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
26 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 7x 9x + 5 (x ) (x + 1) dx = ( = Résztörtekre bontás: 3 (x ) + 4x (x + 1) 1 (x + 1) ) dx = = 3 ln x + ln ( x + 1 ) arctg x + C 7x 9x + 5 (x ) (x + 1) = A x + Bx + D x + 1 7x 9x + 5 = A ( x + 1 ) + Bx (x ) + D (x ) x = x = 0 x 15 = 5A 5 = A D 7 = A + B A = 3 D = 1 B = 4 Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
27 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 7x + 13x 1 (x 1) (x 3) dx = = (x 1) + 3 (x 1) 9 (x 3) dx = Résztörtekre bontás: = ln x ln x 3 + C x 1 7x + 13x 1 (x 1) (x 3) = A x 1 + B (x 1) + D x 3 7x + 13x 1 = A (x 1) (x 3) + B (x 3) + D (x 1) x = 1 x = 3 x 6 = B 36 = 4D 7 = A + D B = 3 D = 9 A = Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
28 Racionális törtfüggvények integrálása résztörtekre bontással 7x + 13x 1 (x 1) (x 3) dx = = (x 1) + 3 (x 1) 9 (x 3) dx = Résztörtekre bontás: = ln x ln x 3 + C x 1 7x + 13x 1 (x 1) (x 3) = A x 1 + B (x 1) + D x 3 7x + 13x 1 = A (x 1) (x 3) + B (x 3) + D (x 1) x = 1 x = 3 x 6 = B 36 = 4D 7 = A + D B = 3 D = 9 A = Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
29 ax + bx + c alakú függvények integrálása Integrálszámítás Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a 1 t 1 + t t 1 függvények valamelyikének integrálására vezethetők vissza. x + x + 5 dx = x + x dx = = (x + 1) + 4 dx = 1 + ( ) x + 1 dx = = 1 + t dt = t dt ahol t = x+1 x = t 1 dx = dt Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
30 ax + bx + c alakú függvények integrálása Integrálszámítás Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a 1 t 1 + t t 1 függvények valamelyikének integrálására vezethetők vissza. x + x + 5 dx = x + x dx = = (x + 1) + 4 dx = 1 + ( ) x + 1 dx = = 1 + t dt = t dt ahol t = x+1 x = t 1 dx = dt Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
31 Az 1 t függvény integrálása Mivel csak valós értékű függvényekkel foglalkozunk, t [ 1, 1]. Legyen t = sin(ϕ), ϕ [ π, ] π. Ekkor 1 t = 1 sin (ϕ) = cos(ϕ), ϕ = arcsin(t) továbbá dt dϕ = cos(ϕ) dt = cos(ϕ) dϕ. 1 + cos(ϕ) 1 t dt = cos (ϕ) dϕ = dϕ = ( 1 = + cos(ϕ) ) dϕ = 1 ϕ + sin(ϕ) + C = 4 = 1 sin(ϕ) cos(ϕ) ϕ + + C = 1 arcsin(t) + t 1 t + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
32 Az 1 + t függvény integrálása Legyen t = sh(u). Ekkor 1 + t = továbbá dt du = ch(u) dt = ch(u) du. 1 + sh (u) = ch(u), u = arsh(t) ch(u) t dt = ch (u) du = du = ( ch(u) = + 1 ) du = sh(u) u + C = sh(u) ch(u) = + 1 u + C = t 1 + t + 1 arsh(t) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
33 Az t 1 függvény integrálása Legyen t = ch(u). Ekkor t 1 = továbbá dt du = sh(u) dt = sh(u) du. ch (u) 1 = sh(u), u = arch(t) ch(u) 1 t 1 dt = sh (u) du = du = ( ch(u) = 1 ) du = sh(u) 1 4 u + C = sh(u) ch(u) = 1 u + C = t t 1 1 arch(t) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
34 1 ax + bx + c Integrálszámítás alakú függvények integrálása Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a 1 1 t t 1 t 1 függvények valamelyikének integrálására vezethetők vissza, ezek pedig alapintegrálok. 1 4x 4x + 10 dx = = (x 1) + 9 dx = ( ) dx = 1 x 1 3 arsh x C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
35 1 ax + bx + c Integrálszámítás alakú függvények integrálása Ezek az integrálok alkalmas helyettesítéssel a 1 1 t t 1 t 1 függvények valamelyikének integrálására vezethetők vissza, ezek pedig alapintegrálok. 1 4x 4x + 10 dx = = (x 1) + 9 dx = ( ) dx = 1 x 1 3 arsh x C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
36 Az R ( m x ) alakú függvények integrálása Ha R racionális törtfüggvény és g (x) = m x, akkor az R g összetett függvényt x = t m helyettesítéssel oldhatjuk meg. x + x + t + t + dx = t dt = x + 1 t + 1 t 3 + t ( + 4t = dt = t ) dt = t + 1 t + 1 = t 3 x x + 4t 4 ln t C = + 4 x ( ) 4 ln x C 3 3 A x = t helyettesítést alkalmaztuk, x = t dx dt = t dx = t dt. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. / 3
37 Az R ( m x ) alakú függvények integrálása Ha R racionális törtfüggvény és g (x) = m x, akkor az R g összetett függvényt x = t m helyettesítéssel oldhatjuk meg. x + x + t + t + dx = t dt = x + 1 t + 1 t 3 + t ( + 4t = dt = t ) dt = t + 1 t + 1 = t 3 x x + 4t 4 ln t C = + 4 x ( ) 4 ln x C 3 3 A x = t helyettesítést alkalmaztuk, x = t dx dt = t dx = t dt. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. / 3
38 sin n (x) cos(x), illetve cos n (x) sin(x) alakú függvények integrálása sin n (x) cos(x) dx = sinn+1 (x) + C n + 1 cos n (x) sin(x) dx = cosn+1 (x) + C n + 1 Felhasználtuk: f α (x) f (x) dx = f α+1 (x) α C α 1 sin 4 (x) cos(x) dx = sin5 (x) 5 + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
39 sin n (x) cos(x), illetve cos n (x) sin(x) alakú függvények integrálása sin n (x) cos(x) dx = sinn+1 (x) + C n + 1 cos n (x) sin(x) dx = cosn+1 (x) + C n + 1 Felhasználtuk: f α (x) f (x) dx = f α+1 (x) α C α 1 sin 4 (x) cos(x) dx = sin5 (x) 5 + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
40 sin n (x) cos(x), illetve cos n (x) sin(x) alakú függvények integrálása sin n (x) cos(x) dx = sinn+1 (x) + C n + 1 cos n (x) sin(x) dx = cosn+1 (x) + C n + 1 Felhasználtuk: f α (x) f (x) dx = f α+1 (x) α C α 1 sin 4 (x) cos(x) dx = sin5 (x) 5 + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
41 sin n+1 (x), illetve cos n+1 (x) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következő átalakítást: sin n+1 (x) = sin n (x) sin(x) = ( 1 cos (x) ) n sin(x) A ( 1 cos (x) ) n kifejezés a cos(x) egy polinomja. Az integrandus tagonként integrálható az előzőleg ismertetett módszerrel. sin 5 (x) dx = sin 4 (x) sin(x) dx = (1 cos (x) ) sin(x) dx = (1 = cos (x) + cos 4 (x) ) sin(x) dx = cos(x)+ cos3 (x) cos5 (x) +C 3 5 Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
42 sin n+1 (x), illetve cos n+1 (x) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következő átalakítást: sin n+1 (x) = sin n (x) sin(x) = ( 1 cos (x) ) n sin(x) A ( 1 cos (x) ) n kifejezés a cos(x) egy polinomja. Az integrandus tagonként integrálható az előzőleg ismertetett módszerrel. sin 5 (x) dx = sin 4 (x) sin(x) dx = (1 cos (x) ) sin(x) dx = (1 = cos (x) + cos 4 (x) ) sin(x) dx = cos(x)+ cos3 (x) cos5 (x) +C 3 5 Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
43 sin n+1 (x), illetve cos n+1 (x) alakú függvények integrálása Alkalmazzuk a következő átalakítást: sin n+1 (x) = sin n (x) sin(x) = ( 1 cos (x) ) n sin(x) A ( 1 cos (x) ) n kifejezés a cos(x) egy polinomja. Az integrandus tagonként integrálható az előzőleg ismertetett módszerrel. sin 5 (x) dx = sin 4 (x) sin(x) dx = (1 cos (x) ) sin(x) dx = (1 = cos (x) + cos 4 (x) ) sin(x) dx = cos(x)+ cos3 (x) cos5 (x) +C 3 5 Hasonló átalakítást alkalmazunk a másik integrandus esetén is. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
44 sin n (x), illetve cos n (x) alakú függvények integrálása Az integrandust az alábbi ún. linearizáló formulák segítségével olyan kifejezéssé alakíthatjuk, amelyben a trigonometrikus tagok fokszáma kisebb: cos (α) = 1 + cos(α) sin (α) = 1 cos(α) A linearizáló formulák alkalmazását addig ismételjük, amíg minden tag integrálható lesz a korábban ismertetett módszerek valamelyikével. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
45 sin n (x), illetve cos n (x) alakú függvények integrálása ( ) 1 + cos(x) cos 4 (x) dx = dx = = 1 (1 + cos(x) + cos (x) ) dx = 4 = 1 ( 1 + cos(x) cos(4x) ) dx = 4 = 3 8 x sin(x) sin(4x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
46 sin n (x), illetve cos n (x) alakú függvények integrálása ( ) 1 cos(x) 3 sin 6 (x) dx = dx = = 1 (1 3 cos(x) + 3 cos (x) cos 3 (x) ) dx = 8 = 1 ( 1 3 cos(x) (1 + cos(4x)) ( 1 sin (x) ) ) cos(x) dx = = 5 16 x 1 4 sin(x) sin(4x) sin3 (x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
47 tg n (x), illetve ctg n (x) alakú függvények integrálása Először vizsgáljuk az n = 1 esetet: sin(x) tg(x) dx = cos(x) dx = ln cos(x) + C, illetve ctg(x) dx = cos(x) sin(x) dx = ln sin(x) + C Mindkét esetben a f (x) f (x) dx = ln f (x) + C szabályt alkalmaztuk. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
48 tg n (x) alakú függvények integrálása tg n (x) dx = tg n (x) tg (x) dx = = tg n (x) 1 cos (x) cos dx = (x) = tg n 1 (x) cos (x) dx tg 4 (x) dx = tg3 (x) 3 = tg3 (x) 3 tg n (x) sin (x) cos (x) dx = ) 1 cos (x) 1 dx = tg n (x) dx ( tg n (x) tg n (x) dx = tgn 1 (x) n 1 tg (x) dx = tg(x) + 1 dx = tg3 (x) 3 tg(x) + x + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
49 tg n (x) alakú függvények integrálása tg n (x) dx = tg n (x) tg (x) dx = = tg n (x) 1 cos (x) cos dx = (x) = tg n 1 (x) cos (x) dx tg 4 (x) dx = tg3 (x) 3 = tg3 (x) 3 tg n (x) sin (x) cos (x) dx = ) 1 cos (x) 1 dx = tg n (x) dx ( tg n (x) tg n (x) dx = tgn 1 (x) n 1 tg (x) dx = tg(x) + 1 dx = tg3 (x) 3 tg(x) + x + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
50 ctg n (x) alakú függvények integrálása ctg n (x) dx = ctg n (x) ctg (x) dx = = ctg n (x) 1 sin (x) sin dx = (x) = ctg n 1 (x) sin (x) dx ctg 3 (x) dx = ctg (x) ( ctg n (x) ctg n (x) dx = ctgn 1 (x) n 1 ctg(x) dx = ctg n (x) cos (x) sin (x) dx = ) 1 sin (x) 1 dx = ctg n (x) dx = ctg (x) ln sin(x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
51 ctg n (x) alakú függvények integrálása ctg n (x) dx = ctg n (x) ctg (x) dx = = ctg n (x) 1 sin (x) sin dx = (x) = ctg n 1 (x) sin (x) dx ctg 3 (x) dx = ctg (x) ( ctg n (x) ctg n (x) dx = ctgn 1 (x) n 1 ctg(x) dx = ctg n (x) cos (x) sin (x) dx = ) 1 sin (x) 1 dx = ctg n (x) dx = ctg (x) ln sin(x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
52 Trigonometrikus kifejezések racionális függvényeinek integrálása ( x t = tg helyettesítéssel. ) Ekkor x = arctg(t) dx = 1 + t dt. sin(x) = t 1 + t, cos(x) = 1 t 1 + t. 1 sin(x) dx = 1 t 1+t 1 + t dt = 1 = t ( dt = ln t + C = x ln ) tg + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
53 Trigonometrikus kifejezések racionális függvényeinek integrálása ( x t = tg helyettesítéssel. ) Ekkor x = arctg(t) dx = 1 + t dt. sin(x) = t 1 + t, cos(x) = 1 t 1 + t. 1 sin(x) dx = 1 t 1+t 1 + t dt = 1 = t ( dt = ln t + C = x ln ) tg + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
54 Exponenciális kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = e x helyettesítéssel. Ekkor x = ln(t) dx = 1 dt. t e x 1 t 1 e x + 1 dx = 1 + t 1 dt = t ( = 1 + t 1 t + t ) 1 + t dt = = arctg(t) ln t + 1 ln ( 1 + t ) + C = = arctg (e x ) x + 1 ln ( 1 + e x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
55 Exponenciális kifejezések racionális függvényeinek integrálása t = e x helyettesítéssel. Ekkor x = ln(t) dx = 1 dt. t e x 1 t 1 e x + 1 dx = 1 + t 1 dt = t ( = 1 + t 1 t + t ) 1 + t dt = = arctg(t) ln t + 1 ln ( 1 + t ) + C = = arctg (e x ) x + 1 ln ( 1 + e x) + C Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február / 3
Határozatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
Matematika példatár 4.
Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda
Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten ANALÍZIS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 Nevezetes halmazok
Halmazok és függvények
Halmazok és függvények Óraszám: 2+2 Kreditszám: 6 Meghirdető tanszék: Analízis Debrecen, 2005. A tárgy neve: Halmazok és függvények (előadás) A tárgy oktatója: Dr. Gilányi Attila Óraszám/hét: 2 Kreditszám:
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a
Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden
Határozatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
Matematika példatár 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
Határozatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
Matematika POKLICNA MATURA
Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika POKLICNA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 0-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
Elemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Speciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Számhalmazok. n n. a valós számok halmaza, ahol : nem írható fel két egész szám hányadosaként az irracionális számok halmaza.
Matematika Számok, műveletek A természetes számok halmaza: Számhalmazok Ha m és n természetes szám, akkor az m természetes számok halmazán. Példa: 6+x=2. n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a Az egész
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
![Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0](/thumbs/29/13507015.jpg "Analízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0")
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)
GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,
lim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?
FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z
PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA. 2003. május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ
PRÓBAÉRETTSÉGI 2003. május-június MATEMATIKA SZÓBELI EMELT SZINT Tanulói példány Vizsgafejlesztő Központ 1. Halmazok, halmazműveletek Alapfogalmak, halmazműveletek, számosság, számhalmazok, nevezetes ponthalmazok
(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése
Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Tudományos diákköri dolgozat Írta: DOMBI PÉTER Témavezetô: DR. OSVAY KÁROLY JATE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék Szeged 1998.
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
IDEIGLENES PÉLDATÁR. A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz. Szabados Ágnes
IDEIGLENES PÉLDATÁR vegyészhallgatók számára A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz kézirat gyanánt Összeállította: Surján Péter Szabados Ágnes Lázár Armand ELTE TTK Elméleti Kémia Tanszék ELŐSZÓ Ez a példatár
Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ ÈÖÓ Ö ÑÓÞ ÔÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÐÐ Ø Ò ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò
Függvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).
FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat
Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)
Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy
Elsőfokú egyenletek...
1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1
A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Polinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 10 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat
NT-17112 Az érthető matematika 9. Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Juhász István
(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Jelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
Számítógépes geometria (mester kurzus)
2010 ősz, Debreceni Egyetem A grafikus szállítószalag 1 a geometriai (matematikai) modell megalkotása 2 modelltranszformáció (3D 3D) 3 vetítés (3D 3D) 4 képtranszformáció (2D 2D) 5... 6 raszterizáció A
Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Algebrai alapismeretek Tantárgy kódja MTB1003 Meghirdetés féléve 1 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja Gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) Tantárgyfelelős neve
Matematikai programozás gyakorlatok
VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17 XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Beregszászi István Programozási példatár
Beregszászi István Programozási példatár 2 1. fejezet 1. laboratóriumi munka 1.1. Matematikai kifejezések Írja fel algoritmikus nyelven a megadott kifejezést megfelelő típusú változók segítségével! Figyeljen
Irányítástechnika 4. előadás
Iránítátechnika 4. előadá Dr. Kovác Levente 3. 4. 3. 3.5.. artalom ipiku tagok amplitúdó- é fázimenete Bode diagram példák Frekvencia átviteli függvén Hurwitz kritérium A zabálozái kör ugráválaza, minőégi
Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Fourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
Matematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
Kombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 2. félév IV. Háromszögek, négyszögek, sokszögek Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzete Néhány alapvető geometriai fogalom A háromszögekről.
Számelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
Lineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat) Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
Javítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
Algebrai és transzcendens számok
MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat
GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. 1. Gyakorlat Bemutatkozás Chmelik Gábor óraadó BGF-KKK Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály chmelik.gabor@kkk.bgf.hu http://www.cs.elte.hu/ chmelik Fogadóóra: e-mailben egyeztetett
86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ
MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: középszinten a
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
Gazdasági matematika I.
I. évfolyam TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. 2011/2012 I. félév Tantárgy megnevezése Tantárgyi útmutató Gazdasági Matematika I. (Analízis) Tantárgy kódja: Tantárgy jellege/típusa: Módszertani
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam
Nemzeti versenyek 11 12. évfolyam Szerkesztette: I. N. Szergejeva 2015. február 2. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
y + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Analízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította