Lineáris algebra gyakorlat
|
|
- Mariska Tamás
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Lineáris algebra gyakorlat 3 gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012 február 27 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
2 Tartalom Egyenletrendszerek Cramer-szabály 1 Egyenletrendszerek Cramer-szabály 2 Ismétlés Szorgalmik Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
3 Cramer-szabály Egyenletrendszerek Cramer-szabály Deníció Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m egyenletrendszer lineáris egyenletrendszernek nevezzük Ez felírható mátrixos alakban is: A m n X n 1 = B n 1 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
4 Cramer-szabály Egyenletrendszerek Cramer-szabály Deníció Egy lineáris egyenletrendszert szabályosnak nevezünk, ha ugyanannyi egyenletb l áll, mint ahány ismeretlen van benne, és az együtthatómátrixának determinánsa nem nulla Tétel Az AX = B szabályos lineáris egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, és a megoldás megkapható a következ alakban: x i = a 11 a 12 a 1,i 1 b 1 a 1,i+1 a 1n a 21 a 22 a 2,i 1 b 2 a 2,i+1 a 2n a n1 a n2 a n,i 1 b n a n,i+1 a nn A Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
5 Tartalom Egyenletrendszerek 1 Egyenletrendszerek Cramer-szabály 2 Ismétlés Szorgalmik Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
6 Egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Deníció Az (1) egyenletrendszer megoldásának nevezünk egy (x 1, x 2,, x n ) szám n-est, ha azt az (1)-be visszahelyettesítve minden egyenl ség teljesül Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
7 Egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Jelölések Deníció Az (1) egyenletrendszer felírható Ax = b formában is, ahol A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, b = b 1 b 2, x = x 1 x 2 a m1 a m2 a mn b m x m Az A mátrix az egyenletrendszer (együttható)mátrixa, az egyenletrendszer b vített mátrixa pedig ( A b a 11 a 12 a 1n b 1 ) a 21 a 22 a 2n b 2 = a m1 a m2 a mn b m Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
8 Elemi átalakítások Egyenletrendszerekre Egyenletrendszerek Az elemi átalakítások a lineáris egyenletrendszer olyan átalakításai, melynek során az egyenletrendszer megoldásainak halmaza nem változik, azaz az elemi átalakítások végrehajtása után mindig az eredetivel ekvivalens egyenletrendszerhez jutunk Deníció Egyenletrendszer elemi átalakításai: 1 Két egyenletet felcserélése 2 Egy egyenletet megszorzása egy tetsz leges nemnulla skalárral 3 Valamelyik egyenlethez egy másik egyenlet skalárszorosának hozzáadása 4 Ha az egyik egyenletben minden együttható és a jobb oldali konstans is nulla, akkor az egyenletet elhagyjuk Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
9 Elemi átalakítások B vített mátrixra Egyenletrendszerek Deníció Egyenletrendszer b vített mátrix elemi átalakításai: 1 Két sort felcserélünk 2 Egy sort megszorzunk egy tetsz leges nemnulla skalárral 3 Valamelyik sorhoz hozzáadjuk egy másik sor skalárszorosát 4 A csupa nulla sort elhagyjuk Fontos Az elemi átalakítások végrehajtása után mindig az eredetivel ekvivalens egyenletrendszer b vített mátrixához jutunk Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
10 Lépcs s alak Egyenletrendszerek Deníció Egy egyenletrendszer lépcs s alakú, ha a b vített mátrixának 1 nincs csupa nulla sora; 2 minden sorának els nemnulla eleme hátrább van, mint a fölötte álló sor els nemnulla eleme; 3 (minden sorának els nemnulla eleme 1) Példa Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
11 Egyenletrendszerek Bármely nem azonosan nulla b vített mátrixú egyenletrendszer lépcs s alakra hozható elemi átalakításokkal, és ebb l az egyenletrendszer megoldása könnyen kiolvasható Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
12 példák 1 Példa Oldjuk meg a következ egyenletrendszert! x 1 + 2x 2 x 3 = 3 2x 1 5x 2 = 2 3x 1 10x 2 2x 3 = 6 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 Megoldás: darab megoldás van: ( 28 ) 3, 10 3, 1 3
13 példák 2 Példa Oldjuk meg a következ egyenletrendszert! x y + 2z + 3w = 0 2x y + z + 10w = 0 x 2y + 5z w = 1 4x + 7y 17z = 2 Megoldás: Az egyenletrendszernek NINCS megoldása
14 példák 3 Példa Oldjuk meg a következ egyenletrendszert! x 1 3x 2 2x 3 + 2x 4 = 4 2x 1 6x 2 3x 3 + x 4 + 4x 5 = 5 3x 1 + 9x 2 + 5x 3 2x 4 2x 5 = 10
15 Egyenletrendszerek Kötött és szabad változók Deníció Az (1) lineáris egyenletrendszer b vített mátrixának lépcs s alakjában a soronkénti els nem nulla elemek oszlopainak megfelel változókat kötött változóknak nevezzük Deníció Az (1) lineáris egyenletrendszer nem kötött változóit szabad változóknak nevezzük Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
16 példák 3 Példa Oldjuk meg a következ egyenletrendszert! x 1 3x 2 2x 3 + 2x 4 = 4 2x 1 6x 2 3x 3 + x 4 + 4x 5 = 5 3x 1 + 9x 2 + 5x 3 2x 4 2x 5 = 10 Megoldás: Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, az általános megoldás ilyen alakú: ( 6 + 3x2 16x5, x2, 6 10x5, 1 2x5, x5), x2, x5 R
17 Egyenletrendszerek - Összefoglaló Tétel Bármely lineáris egyenletrendszernek 0, 1 vagy végtelen sok megoldása van Az egyenletrendszernek pontosan akkor nincs megoldása, ha a b vített mátrixában van ellentmondó sor: ( ) c, ahol c 0 Az egyenletrendszernek pontosan akkor van végtelen sok megoldása, ha van szabad változója Az egyenletrendszernek pontosan akkor van egyetlen megoldása, ha a b vített mátrixának lépcs s alakjának ugyanannyi sora van, mint ahány ismeretlen, azaz nincs szabad változó Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
18 Paraméteres példa Egyenletrendszerek 4 Példa Határozza meg az alábbi egyenletrendszer megoldását az a paraméter függvényében! x 1 3x 2 + 4x 3 = 1 x 1 + 4x 2 2x 3 = 2 2x 1 5x 2 + (a 2 + 6)x 3 = a + 3 Megoldás: (10 10x3, 3 2x3, x3), x3 R, ha a = 2, nincs megoldás, ha a ( ) = 2, 10 10, a+2 3 2, 1, különben a+2 a+2 Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
19 Tartalom Ismétlés Szorgalmik 1 Egyenletrendszerek Cramer-szabály 2 Ismétlés Szorgalmik Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
20 Szorgalmik Ismétlés Szorgalmik 26 Feladat Adjuk meg az x paraméter értékét úgy, hogy az alábbi determináns értéke 4 legyen! x 1 2 x x Feladat =? Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
21 Szorgalmik Ismétlés Szorgalmik 29 Feladat Igaz-e, hogy bármely, nem 0 érték determináns els sorában található olyan elem, amit le lehet cserélni úgy, hogy a determináns már 0 legyen? 219 Feladat Igazak-e a következ állítások? Ha egy mátrix minden eleme racionális szám, akkor a mátrix determinánsa is racionális szám Ha egy mátrix determinánsa páros szám, akkor a mátrix minden eleme páros szám Ha egy n n-as mátrix minden eleme páros szám, akkor a mátrix determinánsa 2 n -nel osztható egész szám Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (3 gyakorlat)
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2008. május 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest feletti
RészletesebbenOperációkutatás. 2. konzultáció: Lineáris programozás (2. rész) Feladattípusok
Operációkutatás NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 00/003 tanév, II évf félév Előadó: Dr Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 9400 Sopron, Bajcsy Zs u 9 GT fszt 3 (99) 58 640
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 10 X DETERmINÁNSOk 1 DETERmINÁNS ÉRTELmEZÉSE, TULAJdONSÁGAI A másodrendű determináns értelmezése: A harmadrendű determináns értelmezése és annak első sor szerinti kifejtése: A
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDiszkrét matematika I. gyakorlat
Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. Gyakorlat Bogya Norbert Bolyai Intézet 2012. szeptember 4-5. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika I. gyakorlat 2012. szeptember 4-5. 1 / 21 Információk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 15 XV DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS 1 DERIVÁLT, deriválás Az f függvény deriváltján az (1) határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Az függvény deriváltjának jelölései:,,,,,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben2011. március 9. Dr. Vincze Szilvia
. márius 9. Dr. Vinze Szilvia Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. október 3. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem / 40 Fogalmak A függvények értelmezése Definíció: Az (A, B ; R ) bináris relációt függvénynek nevezzük, ha bármely a A -hoz pontosan egy olyan
Részletesebben2004. december 1. Irodalom
LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK I. 2004. december 1. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenEgyenletrendszerek. Egyenletrendszerek megoldása
Egyenletrendszerek Egyenletrendszerek megoldása 1D Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert értünk, mely véges sok elsőfokú egyenletből áll, és véges sok ismeretlent tartalmaz Az n-ismeretlenes,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
005-05 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenA döntő feladatai. valós számok!
OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és
RészletesebbenMatematika példatár 6.
Matematika példatár 6 Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Matematika példatár 6: Lineáris algebra I Csordásné Marton, Melinda Lektor: Dr Pfeil, Tamás Ez a modul a TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 11. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach 2005. november 22.
1 Diszkrét matematika I, 11 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 22 Permutációk Definíció Permutáción n különböző elem valamely sorrendjét
RészletesebbenA Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel
A Hozzárendelési feladat megoldása Magyar-módszerrel Virtuális vállalat 2013-2014/1. félév 3. gyakorlat Dr. Kulcsár Gyula A Hozzárendelési feladat Adott meghatározott számú gép és ugyanannyi független
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK INTEGRÁLJA Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenDifferenciál egyenletek (rövid áttekintés) d x 2
Differeniál egenletek (rövid áttekintés) Differeniálegenlet: olan matematikai egenlet, amel eg vag több változós ismeretlen függvén és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges
RészletesebbenProgramozás I. - 9. gyakorlat
Programozás I. - 9. gyakorlat Mutatók, dinamikus memóriakezelés Tar Péter 1 Pannon Egyetem M szaki Informatikai Kar Rendszer- és Számítástudományi Tanszék Utolsó frissítés: November 9, 2009 1 tar@dcs.vein.hu
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 9. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 6. Bogya Norbert Lineáris algebra gyakorlat (9. gyakorlat Bázistranszformáció és alkalmazásai (folytatás Tartalom Bázistranszformáció
RészletesebbenWassily Leontieff Az amerikai gazdaság szerkezete 1919-1939 c. úttörő munkájára támaszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent tartalmaztak.
Wssily Leontieff Az meriki gzdság szerkezete 99-99 c. úttörő munkájár támszkodó modellek több száz egyenletet és ismeretlent trtlmztk. Szovjetunióbn Leonyid Kntorovics modelljeivel célj z volt, hogy második
RészletesebbenMBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
MBLK12: Relációk és műveletek (levelező) (előadásvázlat) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Jelölje Z az egész számok halmazát, N a pozitív egészek halmazát, N 0 a nem negatív egészek halmazát, Q a racionális
RészletesebbenAnalízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 24. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)
Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1/8 A halmaz alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Jelölés: A halmazokat általában nyomtatott nagybetu vel jelöljük Egy H halmazt akkor tekintünk
RészletesebbenLineáris algebra jegyzet
Lineáris algebra jegyzet Készítette: Jezsoviczki Ádám Forrás: Az előadások és a gyakorlatok anyaga Legutóbbi módosítás dátuma: 2011-12-04 A jegyzet nyomokban hibát tartalmazhat, így fentartásokkal olvasandó!
Részletesebben5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
Részletesebben3. Matematikai logika (megoldások)
(megoldások) 1. Hamis, ugyanis P, Q és R logikai értékét behelyettesítve kapjuk: (P Q) R = (1 0) 0 = 0 0 = 0. (Ebben és a további feladatok megoldásában alkalmazzuk a D 3.1 denícióit. A megoldást célszer
RészletesebbenMÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA. 1. Definíció alkalmazásával megoldható feladatok
Bevezetés: MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉKEINEK ÉS SAJÁTVEKTORAINAK KISZÁMÍTÁSA Jelölés: A mátrix sajátértékeit λ 1, λ 2, λ 3,.stb. betűkkel, míg a különböző sajátvektorokat x 1, x 2, x 3 stb. módon jelöljük Definíció:
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai
Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Rel aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Relációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Relációk reláció lat. 1. kapcsolat, viszony; összefüggés vmivel 2. viszonylat, vonatkozás reláció lat. 3. mat halmazok elemei
RészletesebbenLineáris algebra (tömör bevezetés)
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 007-06-03, 04 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet-alakja Egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Részletesebben2. Halmazelmélet (megoldások)
(megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek
RészletesebbenKombinatorika. 9. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Kombinatorika p. 1/
Kombinatorika 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kombinatorika p. 1/ Permutáció Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség
Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták, lineáris függetlenség Feladatok: 1) A koordinátarendszerben úgy helyezzük el az egységkockát, hogy az origó az egyik csúcsba essék,
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2011/2012-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 011/01-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az ábrán látható ABC derékszögű háromszög
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás
LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenJelek tanulmányozása
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenÉS TESZTEK A DEFINITSÉG
MÁTRIX DEFINITSÉGÉNEK FOGALMA ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG ELDÖNTÉSÉRE DR. NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-..1.B-10//KONV-010-0001
RészletesebbenLineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
RészletesebbenBevezetés a lágy számítás módszereibe
BLSZM-07 p. 1/10 Bevezetés a lágy számítás módszereibe Nem fuzzy halmaz kimenetű fuzzy irányítási rendszerek Egy víztisztító berendezés szabályozását megvalósító modell Viselkedésijósló tervezési példa
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldása Matematika B.Sc., elemz szakirányú szakdolgozat Írta: Sölch András János Témavezet : Kurics Tamás Alkalmazott
RészletesebbenHiányos másodfokú egyenletek. x 8x 0 4. A másodfokú egyenlet megoldóképlete
Hiányos másodfokú egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1. = 0 /:. = 8 /:. 8 0 4. 4 4 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete A másodfokú egyenletek általános alakja: a
Részletesebben5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!
5. gyakorlat Lineáris leképezések Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét! f : IR IR, f(x) 5x Mit rendel hozzá ez a függvény két szám összegéhez? x, x IR, f(x +
RészletesebbenMatematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 1. Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 1. : Kombinatorika Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel
RészletesebbenSzimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot:
Szimplex módszer, szimplex tábla Példaként tekintsük a következ LP feladatot: z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x 3 11 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 = maximum, feltéve, hogy
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő. x 3x 2 <
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 011/01 Matematika I. kategória (SZKKÖZÉPISKOL) Döntő 1. Határozza meg az összes olyan egész számot, amely eleget tesz az egyenlőtlenségnek! log
RészletesebbenAzonosító jel: Matematika emelt szint
I. 1. Hatjegyű pozitív egész számokat képezünk úgy, hogy a képzett számban szereplő számjegy annyiszor fordul elő, amekkora a számjegy. Hány ilyen hatjegyű szám képezhető? 11 pont írásbeli vizsga 1012
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebben1. Írja fel prímszámok szorzataként a 420-at! 2. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen!
1. Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! 40 =. Bontsa fel a 36 000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5 : 4 legyen! A részek: 3. Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma.
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2012. NOVEMBER 24.) 3. osztály
3. osztály Két szám összege 33. Mennyi ennek a két számnak a különbsége, ha az egyik kétszerese a másiknak? Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege legalább 25? 4. osztály A Zimrili
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor
Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény Szeszlér Dávid, Wiener Gábor Tartalomjegyzék Előszó 2 1. Feladatok 5 1.1. Térbeli koordinátageometria........................... 5 1.2. Vektortér, altér..................................
RészletesebbenJavítóvizsga témakörei matematika tantárgyból
9.osztály Halmazok: - ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát - halmazműveletek : ismerje és alkalmazza gyakorlati és matematikai feladatokban a következő
RészletesebbenIV.5. GARÁZS 1. A feladatsor jellemzői
IV.5. GARÁZS 1. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Lineáris egyenlet, egyenletrendszer. Elsőfokú függvény. Többismeretlenes problémák megoldása egyenletrendszerek felírásával algebrai úton, illetve intuitív
RészletesebbenHatározatlan integrál
. fejezet Határozatlan integrál Határozatlan integrál D. Azt mondjuk, hogy az egyváltozós valós f függvénynek a H halmazon primitív függvénye az F függvény, ha a H halmazon f és F értelmezve van, továá
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenSzámelmélet I. 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései
Számelmélet I. Tantárgy neve Számelmélet I. Tantárgy kódja MTB 1011 Meghirdetés féléve 3. félév Kreditpont 3 Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Számonkérés módja Kollokvium Előfeltétel (tantárgyi kód) MTB 1003
RészletesebbenI. rész. Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati. Név:...osztály:... Matematika kisérettségi. 2012. május 15. Fontos tudnivalók
Matematika kisérettségi 2012. május 15. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az id elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetsz leges. 3. A
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 2005. november. I. rész
Szászné Simon Judit, 005. november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Szászné Simon Judit; dátum: 005. november. feladat I. rész Oldjuk meg a valós számok halmazán a x 5x
RészletesebbenKibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását
RészletesebbenPárhuzamos programozás
Párhuzamos programozás Rendezések Készítette: Györkő Péter EHA: GYPMABT.ELTE Nappali tagozat Programtervező matematikus szak Budapest, 2009 május 9. Bevezetés A számítástechnikában felmerülő problémák
RészletesebbenKidolgozott. Dudás Katalin Mária
Dudás Katalin Mária Kidolgozott matematikatételek mérnökök számára Ez a könyv műfaját tekintve az összefoglaló kézikönyv és az egyetemi jegyzet közé helyezhető. Tömören összegyűjti a mérnöki tanulmányok
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenOsztály szint tagok. Krizsán Zoltán 1 [2012. március 12.] Objektumorientált programozás C# alapokon tananyag
Krizsán Zoltán 1 [2012. március 12.] Általános Informatikai Tanszék Miskolci Egyetem Objektumorientált programozás C# alapokon tananyag Tartalom Bevezetés Bevezetés Outline Bevezetés Bevezetés Példány
RészletesebbenSztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben... ahol l 0. Minden tranzakcióhoz létezik. = f(σ i. A sorozat nem bővíthető. Ha véges, akkor az utolsó konfigurációnak nincs rákövetkezője.
Szekvenciális tranzakciós s diagram A program vezérlési szerkezete egy címkékkel ellátott irányított gráf. Tranzakciós diagram T = ( L, T, s, t ) Gráf csúcsok a program állapotai entry kitüntetett csúcs:
Részletesebben170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
170 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007 7. Fixpont tételek Az x = f(x) (7.1) egyenletet fixpont egyenletnek nevezzük, annak egy p megoldását pedig az f függvény fixpontjának
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
RészletesebbenSajátérték, sajátvektor, sajátaltér
5. fejezet Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 5.. Alapfogalmak Egy mátrix jellemzésének különösen hatékony eszköze azoknak az x vektoroknak a meghatározása, amelyeket a mátrixszal való szorzás egy önmagával
RészletesebbenMATLAB. 4. gyakorlat. Lineáris egyenletrendszerek, leképezések
MATLAB 4. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek, leképezések Menetrend Kis ZH MATLAB függvények Lineáris egyenletrendszerek Lineáris leképezések Kis ZH pdf MATLAB függvények a szkriptekhez hasonlóan az
RészletesebbenGazdasági informatika vizsga kérdések
Gazdasági informatika vizsga kérdések 1. Mi az adatbázis? Adatbázisnak a valós világ egy részhalmazának leírásához használt adatok összefüggı, rendezett halmazát nevezzük. 2. Mit az adatbázis-kezelı rendszer?
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenProlog 1. Készítette: Szabó Éva
Prolog 1. Készítette: Szabó Éva Prolog Logikai, deklaratív nyelv. Egy logikai program egy modellre vonatkoztatott állítások halmaza, melyek a modell tulajdonságait, és az azok között fellépő kapcsolatokat
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 1. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 1. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 20 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)
0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
RészletesebbenAnalízis előadások. Vajda István. 2013. február 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem
Analízis előadások Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 013. február 10. Vajda István (Óbudai Egyetem) Analízis előadások 013. február 10. 1 / 3 Az elemi függvények csoportosítása
RészletesebbenMATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam
MATEMATIKA Emelt szint 9-12. évfolyam évfolyam 9. 10. 11. 12. óra/tanév 216 216 216 224 óra/hét 6 6 6 7 Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről
RészletesebbenBOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY FŐVÁROSI DÖNTŐ SZÓBELI (2005. NOVEMBER 26.) 5. osztály
5. osztály Írd be az ábrán látható hat üres körbe a 10, 30, 40, 60, 70 és 90 számokat úgy, hogy a háromszög mindhárom oldala mentén a számok összege 200 legyen! 50 20 80 Egy dobozban háromféle színű: piros,
RészletesebbenKomplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 20. ELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIM Elektronikai alapismeretek
RészletesebbenAnalízis deníciók és tételek gy jteménye
Analízis deníciók és tételek gy jteménye Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Ez a jegyzet az Analízis el adásokon a két félév alatt elhangzott legfontosabb deníciókat és tételeket tartalmazza,
RészletesebbenLogaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!
Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8.
MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. I. rész Fontos tudnivalók A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot
RészletesebbenFordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián
Fordítóprogramok Készítette: Nagy Krisztián Reguláris kifejezések (FLEX) Alapelemek kiválasztása az x karakter. tetszőleges karakter (kivéve újsor) [xyz] karakterhalmaz; vagy egy x, vagy egy y vagy egy
RészletesebbenÉrettségi feladatok Algoritmusok egydimenziós tömbökkel (vektorokkal) 1/6. Alapműveletek
Érettségi feladatok Algoritmusok egydimenziós tömbökkel (vektorokkal) 1/6 A tömbök deklarálásakor Pascal és C/C++ nyelvekben minden esetben meg kell adni az indexelést (Pascal) vagy az elemszámot (C/C++).
RészletesebbenMATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK
MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY Az érettségi követelményeit két szinten határozzuk meg: - középszinten a mai társadalomban tájékozódni és alkotni tudó ember matematikai ismereteit kell
Részletesebben1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok
1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat
Részletesebben