1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok"

Teréz Dudásné
9 évvel ezelőtt
Látták:

1 1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára

2 Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat (3 hallgató) Projekt ütemezés (4 hallgató) Program: Excel makrókkal, solver parancs használatáva. Végső jegy: program+dokumentáció+bemutatás azaz illetve 26.(6)+6.(6)+6.(6) I. előadás 2

3 Bemutatás 5. héten 1 óra áll rendelkezésre. Mindegyik hallgató a projekten belül elvégzett saját részét is be kell mutassa (forráskód + magyarázat). Feladat: generál Pótvizsga: 1 feladat a 6 projekt közül. Maximális jegy: I. előadás 3

be kell mutassa (forráskód + magyarázat).

4 Könyvészet Makó Z., Salamon J.: Operációkutatási példatár közgazdászoknak, Ed. Scientia, Cluj Napoca, (29 db. a könyvtárban) Winston W.: Operációkutatás I. II., Ed. AULA, Budapest, (5 db. a könyvtárban) Darnyi P., Varró Z.: Operációkutatás, Ed. Carbocomp, Pécs, (19 db. a könyvtárban) Hiller F. S., Lieberman G. J.: Bevezetés az Operációkutatásba LSI Okt.központ, Budapest, (1 db. a könyvtárban) I. előadás 4

a könyvtárban) Darnyi P., Varró Z.: Operációkutatás, Ed. Carbocomp, Pécs, 2001. (19 db. a könyvtárban) Hiller F. S.

5 Lineáris programozás A lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálási feladat, amelyben: maximalizáljuk vagy minimalizáljuk a döntési változók egy lineáris függvényét. Ezt a maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük; a döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Ezen a feltételek vagy lineáris egyenlőtlenségek vagy lineáris egyenletek kell legyenek; a döntési változókhoz tartozhat előjel-korlátozás is. Ha a döntési változókra pluszban kikötjük, hogy értékei egész számok, akkor egész értékű lineáris programozási feladatról beszélünk I. előadás 5

Ezt a maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük; a döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket.

6 Általános alakja I. előadás 6

7 Lineáris programozás Matematikai modell felírásának lépései: 1. lépés: A döntési változók és a mértékegységek meghatározása. x 1,x 2,.. 2. lépés: A célfüggvény felírása. 3. lépés: A korlátozó feltételek és a döntési változókra vonatkozó előjel-korlátozó feltételek megadása I. előadás 7

8 Lineáris programozás Feladat Egy cég kéttípusú robot összeszerelésével foglalkozik. Az első típusú robot R1-nek nevezik és darabja 50 euró profitot, a második típust R2-nek nevezik és darabja 40 euró profitot jövedelmez. A következő héten a két robot összeszerelésére 150 munkaóra áll rendelkezésre. Egy darab R1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egy darab R2 összeszereléséhez pedig 5 munkaóra szükséges. A R2 olyan speciális processzort tartalmaz, amiből csak 20 darab van raktáron. A cég raktározási helysége 300 négyzetméter, amiből egy R1 8 négyzetmétert és egy R2 pedig 5 négyzetméter területet foglal el. A cég vezetősége maximalizálni szeretné a profitját. Milyen termelési tervet kövessen? I. előadás 8

A következő héten a két robot összeszerelésére 150 munkaóra áll rendelkezésre.

9 Matematikai modell 1. A döntési változók és a mértékegységek meghatározása: x 1 az összeszerelendő R1 robotok darabszáma; x 2 az összeszerelendő R2 robotok darabszáma. 2. A célfüggvény felírása. Mivel a cél a profit maximalizálása, ezért meghatározzuk, hogy ha a cég az (x 1,x 2 ) termelési tervet választja, azaz x 1 darabot szerel össze a R1-ből ésx 2 -őt ar2-ből, mennyi lesz a profitja. Tudjuk, hogy 1 darab R1 50 euró profitot eredményez. Tehát x 1 darabnak 50x 1 a profitja. Teljesen hasonlóan x 2 darabr240x 2 profitot eredményez. Tehát, a teljes profit: 50x x 2. Következésképpen a célfüggvény: z = 50x x I. előadás 9

Mivel a cél a profit maximalizálása, ezért meghatározzuk, hogy ha a cég az (x 1,x 2 ) termelési tervet választja, azaz x 1 darabot szerel össze a R1-ből ésx 2 -őt

10 3. A korlátozó feltételek megadása. Az összeszerelés időigényével kapcsolatos feltétel: mivel egy darab R1 összeszereléséhez 3 munkaóra és egy darab R2 összeszereléséhez 5 munkaóra szükséges, ezért x 1 darab R1-et és x 2 darab R2-t 3x 1 +5x 2 munkaóra alatt szerelnek össze, ami nem lehet nagyobb, mint a rendelkezésre álló 150 munkaóra, vagyis 3x 1 + 5x A R2 processzorigényével kapcsolatos feltétel: mivel csak 20 darab processzor van raktáron, ezért: x A raktározási feltétel: mivel egy R1 8 m 2 -tésegyr25m 2 -t foglal el, ezért x 1 darab R1 és x 2 darabr2összesen8x 1 +5x 2 m 2 területet igényel, ami nem lehet nagyobb, mint a rendelkezésre álló 300 m 2 raktározási felület. Következésképpen: 8x 1 + 5x A döntési változókra vonatkozó előjelkorlátozó feltételek: mivel az x 1 és x 2 darabszámokat jelölnek, ezért x 1 0, x 2 0, és x 1,x 2 egész számok I. előadás 10

1 +5x 2 munkaóra alatt szerelnek össze, ami nem lehet nagyobb, mint a rendelkezésre álló 150 munkaóra, vagyis 3x 1 + 5x 2 150.

11 Ha összegezzük az és 3. pontokban kapott összefüggéseket, az alábbi matematikai modellhez jutunk: I. előadás 11

12 A lehetséges megoldások halmazának megszerkesztése Tekintünk egy olyan koordinátarendszert, amelynek a vízszintes tengelyen x 1 döntési változót, a függőleges tengelyén pedig az x 2 döntési változót vesszük fel. Az egyenlőtlenségekkel megadott korlátozó feltételek egy félsíkot, az egyenlőséggel megadott feltételek pedig egy egyenest határoznak meg. Ábrázoljuk a határegyeneseket: 3x 1 + 5x 2 = 150 x 2 = 20 8x 1 + 5x 2 = 300 Ahhoz, hogy meghatározzuk a lehetséges megoldások halmazt ki kell számítsuk a három határegyenes páronkénti metszéspontjainak koordinátáit, azaz meg kell oldani a I. előadás 12

Az egyenlőtlenségekkel megadott korlátozó feltételek egy félsíkot, az egyenlőséggel megadott feltételek pedig egy egyenest határoznak meg.

13 Metszéspontok: F( 50/3, 20), G(25, 20) és H(30, 12). Az M (lehetséges megoldások halmaza) egy olyan poliéder, amelynek csúcspontjai: O,E, F, H, D I. előadás 13

14 Sajátos esetek Alternatív vagy többszörös megoldások. Ha két egymásmelletti csúcspontban optimális megoldásokat kapunk, akkor a két csúcspontot összekötő szakasz minden pontja optimális pont. Ebben az esetben a szintvonal párhuzamos az optimális szakaszt tartalmazó egyenessel. Nincs lehetséges megoldás. Előfordulhat, hogy a korlátozó feltételek és az előjelkorlátozások által meghatározott tartományok metszete üres. Ekkor a LP-nek nincs megoldása. Az LP feladat nem nemkorlátos. Egy maximalizálási problémában a nemkorlátos eset akkor fordul elő, ha a lehetséges megoldások halmazában találhatók olyan pontok, amelyekhez tetszőlegesen nagy z értékek tartoznak. Ez csak akkor fordulhat elő, ha a profit szintvonalat a növekvő z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát. Hasonlóan a minimalizálási feladatoknál, ha a költség szintvonalat a csökkenő z irányába saját magával párhuzamosan mozgatjuk, és soha nem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát I. előadás 14

Előfordulhat, hogy a korlátozó feltételek és az előjelkorlátozások által meghatározott tartományok metszete üres. Ekkor a LP-nek nincs megoldása. Az LP feladat nem nemkorlátos.

15 Szállítási feladatok A lineáris programozási feladatok bizonyos speciális típusai a szállítási és hozzárendelési feladatok. Egy általános szállítási feladat valamilyen tárolóhelyek(raktárok) valamilyen halmazából a felvevőhelyek (keresleti helyek) valamilyen halmazába történő minimális szállítási összköltséget igénylő elszállításával foglalkozik. Egy szállítási feladatban általában az alábbi információk szerepelnek: Az m darab tárolóhelyről álló halmaz az, ahonnan a szállítás történik. Az i-edik tárolóhelyről legfeljebb s i egységet képes szállítani. Az n darab felvevőhelyből álló halmaz az, ahová a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább d j egységnyire van szükség. Minden olyan egység, amit az i-edik helyről a j-edik helyre szállítanak c ij költséggel jár I. előadás 15

elszállításával foglalkozik. Egy szállítási feladatban általában az alábbi információk szerepelnek: Az m darab tárolóhelyről álló halmaz az, ahonnan a szállítás történik.

16 Ha x ij -vel (i = 1,...,m; j = 1,..., n;) jelöljük az i-edik tárolóhelyről a j-edik felvevőhelyre szállítandó egységek számát, akkor a szállítási feladat általános formában így írható fel: I. előadás 16

17 Ha egy feladatban akkor a teljes kínálat egyenlő a teljes kereslettel. Ilyenkor kiegyensúlyozott szállítási feladatról beszélünk. Ha akkor feladatnak van megoldása, de nem kiegyensúlyozott,hapedig akkor a feladatnak nincs lehetséges megoldása, mivel ebben az esetben az összkínálat kisebb mint az összkereslet és így a felvevőhelyek szükségleteit nem tudják a tárolóhelyek teljesíteni I. előadás 17

Ha akkor feladatnak van megoldása, de nem kiegyensúlyozott,hapedig akkor a feladatnak nincs lehetséges

18 Fiktív kínálati hely Az utóbbi esetben kívánatos azt a lehetőséget is megengedni, hogy a felvevőhelyek egy része kielégítetlen maradjon. Ilyenkor a kielégítetlen kereslet gyakran büntetőköltséggel jár. A feladat kiegyensúlyozására bevezetünk egy fiktív kínálati helyet, ahol a hiányt állítják elő. Erről a helyről a valamelyik felvevőhelyre való szállítási költség éppen az arra a helyre vonatkozó, a hiányból fellépő egy egységre számított büntetőköltség. Hogy ezt meghatározzuk szerre meg kell oldanunk azokat a szállítási feladatokat, amelyben az egyes felvevőhelyek keresletét szerre a hiánnyal csökkentjük I. előadás 18

Erről a helyről a valamelyik felvevőhelyre való szállítási költség éppen az arra a helyre vonatkozó, a hiányból fellépő egy egységre számított büntetőköltség.

19 Feladat Egy vállalathoz három fogyasztótól érkezett megrendelés egy bizonyos termékre, mindegyiktől 30 egységre. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 60 egység, a 2. raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre. Az alábbi táblázatban láthatók a raktárakból a fogyasztókhoz történő szállítások egységköltségei (euróban): Bizonyos meghibásodások miatt a vállalat a második raktárt nem tudja feltölteni csak 40 egységgel, vagyis a teljes megrendelést nem tudja kielégíteni. Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik. Számold ki ezeket és oldjuk meg a feladatot számítógép segítségével I. előadás 19

Az alábbi táblázatban láthatók a raktárakból a fogyasztókhoz történő szállítások egységköltségei (euróban): Bizonyos meghibásodások miatt a vállalat a második

Hasonló dokumentumok

1. Előadás Lineáris programozás

1. Előadás Lineáris programozás Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Operációkutatás Az operációkutatás az alkalmazott matematika az az ága, ami bizonyos folyamatok és