10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

Átírás

1 .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9. w a) b) c) ( ) + Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( +) Zérushel:,. Minimum értéke:, hele:. ( ) 9 9 Zérushel:,. Minimum értéke: 9, hele:. d) e) f ) ( +) ( ) 6 Zérushel: 6,. Minimum értéke:, hele:. Zérushel:. Minimum értéke:, hele:. 9 ( 6) 9 Zérushel:, 9. Minimum értéke: 9, hele: 6. g) h) i) ( +)+ Zérushele nincs. Minimum értéke:, hele:. ( ) 8 8 Zérushel:,. Minimum értéke: 8, hele:. ( ) + Zérushel:,. Maimum értéke:, hele:.

2 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM j) k) l) 7 8 Zérushel:., Minimum értéke:, 8 7 hele:. w a) a(), zérushelek: és. b) b() ( + ) +, nincs zérushel. c) c() ( ), zérushel:. d) d() ( + ), zérushelek: és. e) e() ( ), zérushelek: és. f) f() ( + ), zérushelek: és. g) g() ( ), zérushelek: és. h) h() ( + ) + 9, zérushelek: és 7. w a) f () ( + ) + c 9. Nincs zérushel, ha c > 9. Eg zérushel van, ha c 9. Két zérushel van, ha c < 9. b) g() ( ) + c 6. Nincs zérushel, ha c > 6. Eg zérushel van, ha c 6. Két zérushel van, ha c < 6. c) h() c. + Nincs zérushel, ha c > Eg zérushel van, ha c Két zérushel van, ha c <... w a) + p ( 7) 9 + p minden valós helen pozitív, ha p > 9. b) 6 + p 9 minden valós helen pozitív, ha p > 9 + p. c) 8 + p 6 minden valós helen pozitív, ha p > 6 + p. w a) f () ( ) + +. Tehát b ; c. b) f () ( ) +. Tehát b ; c. c) f () ( + ) Tehát b 6; c 6. ( +) + Zérushel: 7,. Maimum értéke:, hele:. ( +) + Zérushel:,. Maimum értéke:, hele:.

3 w f () ( ), a függvén grafikonja az ábrán látható. a) Az adott intervallumon eg zérus helvan:. b) Az adott intervallumon maimum található az helen, értéke:. Minimum az helen van, értéke:. c) A függvén szigorúan monoton csökken, ha Î[ ; ], növekszik, ha Î[; ]. f w6 a) b + 8, ebbõl b. b b) f () 8 Nincs zérushel, ha 8 >, < b <. b b c) f () b 8 tehát b esetén lesz az helen a minimum, ekkor b b +. 8, f () ( ) + 6, a minimum érték 6 és nem. Tehát nincs a feltételnek megfelelõ b. A másodfokú egenlet megoldóképlete megoldások w7 a), ; b) ; c) ;,, d), e), ; f), ; ; g), ; h) nincs megoldás; i), ; j) 7, 7; k), ; l),. w8 a), ; b), 7; c), ; d), e), f), ; ; ; g), 9 7 h), 7 ;. w9 a), ; b), 6; c), 6; d), 9; e) nincs megoldás; f), 9; g), 9; h), ; i) 6, 8. w6 a), ; b), ; c), ; d), 7; e), ; f) ; g), h), ; i), ; ; 7 j) ; k),, ; l) nincs megoldás;

4 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM m) 7 n) o) ;, ;, ; 9, 7 p) 7; q) r) 7, ;,. w6 a), ; b), ; c), ; d), ; e) f) 8;, ;, g), ; h) i), ;, 8 ; j), k), ; l), ; ; m), ; n), ; o) ; p),. w6 a) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után:. Nincs megoldás. b) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után: Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. c) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után: Nincs megoldás. d) ¹ és ¹, ÎR. Beszorzás és rendezés után:. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: és. e) ¹ ±, ÎR. Átalakítás után: 6 ( + ) ( ). Rendezve: + 7 6, amibõl: és. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. f) a¹ ±, a ÎR +. Átalakítás után: + a a a + 7 ( a+ ) ( a ) a + a. Rendezve: 6a 7a, amibõl: a és a. 6 Az egenletnek az adott számhalmazon nincs megoldása. g) b ¹ ±, b ÎQ. Átalakítás után: 6 + b b b + ( b+ ) ( b ) ( b + ). ( b ) Rendezve: 7b b, amibõl: b és b. 7 Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: b. 7

5 h) d ¹, d ¹ ±, d ÎN. Átalakítás után: d d ( d + ) ( d + ) ( d ) d ( d ). Rendezve: d d + 6, amibõl: d és d. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon: d. i) e ¹, e ¹, e ÎN. Átalakítás után: e ( + e) ( ) + e e e + Rendezve: e e + 96, amibõl: e és e 8. Az egenletnek mindkét göke megoldás az adott számhalmazon. j) ¹, ¹, ÎZ. Átalakítás után:. + ( ) ( + ) Rendezve: 6, amibõl: és. Az egenlet megoldása az adott számhalmazon:. w6 Az egenlet diszkriminánsa: 6 c. a) Két különbözõ valós megoldás van, ha 6 c >, vagis c <. b) Eg valós megoldás van, ha 6 c, vagis c. c) Nincs valós megoldás, ha 6 c <, vagis c >. w6 a) a ( ) + 6 ( ), ha a 9 9. b) Az egenlet diszkriminánsa: 6 + a. Eg valós megoldás van: I. Ha az egenlet elsõfokú: a, ekkor 6. II. Ha a ¹, D 6 + a, vagis a 9. Ebben az esetben. c) Két különbözõ valós megoldás van, ha a ¹ és 6 + a >, vagis ha a > 9, de a ¹. d) Nincs valós megoldás, ha 6 + a <, vagis ha a < 9. w6 Az egenlet diszkriminánsa (m + ) m (m ) 6m +. a) Eg valós megoldás van: I. Ha az egenlet elsõfokú, azaz m, ekkor. II. Ha m ¹, a diszkrimináns 6m +, amibõl m. 6 9 Az egenlet:, a megoldása b) Két megoldás van, ha 6m + >, azaz m >, de m ¹. 6 c) Nincs megoldás, ha 6m + <, azaz m <. 6.

6 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w66 w67 Vizsgáljuk meg az egenlet diszkriminánsát: D (k + ) (k + 6k + ) 6. Eredménünk azt mutatja, hog können megkaphatjuk az egenlet gökeit: ( k + ) + k + ( k + ) k + k + és k +. A gökök különbsége:, valóban független k-tól. Ha van valós gök, akkor az egenlet diszkriminánsa nemnegatív: D (a b + c) (a + b + c ) ³. Átalakítva: [(a b + c) (a + b + c )] 8 (a + b + c + ab ac + bc). Teljes négzeteket kialakítva: D [(a + b) + (a c) + (b + c) ], ez a kifejezés soha nem pozitív, csak akkor van megoldás, ha -val egenlõ. Ekkor a + b, a c és b + c. Mindhárom feltétel teljesül, ha a c b. Ekkor a c helére a-t, és b helére ( a)-t helettesítve és -mal osztva azt az egenletet kapjuk, hog a + a +, ahol a ¹. Az egenlet egetlen megoldása. a A gökténezõs alak. Gökök és egütthatók közötti összefüggés megoldások w68 a) ( ) ( + ); b) ( + ) ( + ); c) ( ) ( + 7); d) ( + ) ( + 6); e) ( 8) ; f) nincs megfelelõ szorzat; g) ( + ) ( ); h) ( + 7) ; i) ( + ) ( + ); j) ( ) ( + ); k) ( ) ( + 6); l) ( ) ( + ). w69 a) 7 + ; b) ; c) ; d) + ; e) 6 ; f) + ; g) + ; h) ; i) + ; j) ; k) ; l) 7 9. w7 Például: a) + ; b) + ; c) + ; d) ; e) + ; f) ; g) + ; h) ( + ) ( + ) w7 a) + b) + 8 ( + ) ( ) ; + ( + ) ( ) c) d) ; + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + ; 7 ( + ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) 6

7 w7 a) + ; b) ; c) + + ; d) 9 + ( + ) ; e) + ( + ), az egenlet:., w7 w7 w7 f) Ha és, akkor: + + és ( + )+ Az egenlet: a) Az + kifejezést átalakítva: ( + ), majd ebbe helettesítve a Vietéformulákkal kapott eredméneket ( + 7; ) kapjuk, hog: + 8. Vegük észre, hog + ( + ). Ebbe helettesítsük a Viéte-formulákkal kapott eredméneket ( + 7; ). Íg kapjuk, hog: +. b) Hasonlóan az a) feladathoz, kapjuk, hog: + és + c) Hasonlóan az a) feladathoz, kapjuk, hog: + és + Az + ( + ) átalakítást elvégezve, az egenletbe helettesítjük a Viéteformulákkal kapott eredméneket ( + p; ), íg kapjuk, hog: ( p) ( ), amibõl p ±. Oldjuk meg a megfelelõ egenleteket paraméteresen, és alakítsuk szorzattá: ( + ) ( ) a) + + ( ) ( ) ; b) c) d) ( ) 6 ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( ) ; ( ) ( + ) + ( ) ( + ) + ; 6 + ( + ) + ( + ) ( + ) ( 9) 6 ( + ) ( )

8 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w76 A gökök és egütthatók közötti összefüggések alapján: + ( + ) p q, + ( + ) ( + ) ( + ) ( p) q ( p) p+ p q. A keresett egenlet egütthatói szintén felírhatók a gökökkel, ezért a megfelelõ egenlet: [(p q) + (p q p )] + (p q) (p q p ). Felbontva a zárójeleket: + (p p p q + q) p + p q 6p q. Másodfokúra visszavezethetõ magasabb fokszámú egenletek, másodfokú egenletrendszerek megoldások w77 a) :, ; vag :,. b) 9:, ; vag :,. c) :, ; vag : nincs megoldása. d) 9:, ; vag : nincs megoldása. e) :, ; vag : nincs megoldása. f) vag 7: nincs megoldása. g) vag. :, ; 6 :, h) ; vag : nincs megoldása. :, i) : ; vag 8:. j) 7: ; vag :. k) : ; vag 8:. l) : ; vag :. w78 a), ; 7 b) 8, ;, ;, ; c), ; 8 7 d), ;, ;, 9 ; e), ;, ; f), ;, ; g), ; 6, h), 8;, ; ; 8 i), ;, ; j) ;,., 8

9 w79 a) Ha a ( ) az egenlet: a a +. Megoldásai: a és a. Visszahelettesítve: ( ), amibõl, ; ( ), amibõl,. b) A b ( + ) helettesítéssel: b 7b 8, aminek megoldásai: b 9, b. Visszahelettesítve: ( + ) 9, ahonnan, 6; ( + ), aminek nincs megoldása. c) A c ( + ) helettesítéssel: c c 8, aminek megoldásai: c 6, c. Visszahelettesítve: ( + ) 6, amibõl, 9; ( + ), aminek nincs megoldása. d) A d ( ) helettesítéssel: 6d d +, aminek megoldásai: d d Visszahelettesítve: ( ) 7 amibõl,, ;, 9. ( ) 8 amibõl 9,,. w8 a) Az a + 6 helettesítéssel: a (a + ) 77, aminek megoldásai: a 7, a. Visszahelettesítve: + 6 7, amibõl, 7; + 6, aminek nincs megoldása. b) A b helettesítéssel: b (b ), aminek megoldásai: b, b. Visszahelettesítve:, amibõl, ;, amibõl +,. c) Az egenlet átalakítható: ( ) ( ) +. A c helettesítéssel: c c +, aminek megoldásai: c 8, c. Visszahelettesítve: 8, amibõl, ;, amibõl,. w8 a) Az elsõ egenletbe helettesítve a másodikat: 8 +, ebbõl -t kifejezve és behelettesítve a második egenletbe: + +,ebbõl, 8;,. b) Az elsõ egenlethez hozzáadva a második -szeresét: 7, ebbõl:, ;, ;, ;,. c) Az elsõbõl helettesítve a másodikba, beszorzás után: 7 +, ebbõl, ;,. d) A másodikból helettesítve az elsõbe, beszorzás után: +,ebbõl:, 6,. e) Az elsõ egenletbõl a másodikba helettesítve az + 6 egenlet adódik, ebbõl, ;, ;, ;,. f) Az elsõ egenletbõl a másodikba helettesítve az egenlet adódik, ebbõl, ;,. g) Összeadva az egenleteket: + 6, megoldva és visszahelettesítve:, ;, ; 6, ; 6,. h) A két egenlet bal oldalát szorzattá alakítva és elosztva az elsõt a másodikkal: ezt visszahelettesítve:, ;,., ; 9

10 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w8 w8 a) Mivel az nem megoldás, eloszthatjuk mindkét oldalt -tel: Helettesítsük az -et, ekkor + +. Az egenlet: ( ) 9 +. A megoldásai:., Visszahelettesítve: + A megoldásai:,. ; +. A megoldása:. b) Mivel az nem megoldás, eloszthatjuk mindkét oldalt -tel: Helettesítsük az -et, ekkor + +. Az egenlet: 6 ( ) 8. A megoldásai:., Visszahelettesítve: + A megoldásai:,. ; +. A megoldásai:,. a) Ha megvizsgáljuk az egenletet, kiderül, hog az megoldás, ennek megfelelõen alakítsuk: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ). A szorzat másik ténezõje is lehet :. A megoldásai:,. b) Az egenlet egik megoldása az. Alakítsuk szorzattá: ( + ) ( + ) 6 ( + ), ( + ) ( 6). Ha a másik ténezõ : 6, aminek a megoldásai:,. c) Az egenlet egik megoldása az. Alakítsuk szorzattá: ( ) + 9 ( ) + ( ), ( ) ( + 9+ ). A második ténezõbõl: + 9 +, aminek a megoldásai:,. Másodfokú egenlõtlenségek megoldások w8 a) < 7 vag > 7; b) ; c) 6 vag ³ 6; d) < < ; e) ÎR; f) nincs megoldás; g) ; h) 7 vag ³ 7; i) vag ; j) 8 < < ; k) < vag > ; l).

11 w8 a) b) c) a b c 7 < < ; vag ; < < 6; d) e) f ) d e f nincs megoldás; < 6 vag < ; ÎR; g) h) i) g h i ; < < ; ÎR; j) k) l) j k l,,,,,,,,,,, < vag < ; nincs megoldás. 7 ; w86 a) {; ; ; ; ; }; b) { ; ; ; ; ; ; ; ; ; }; c) { ; ; ; ; ; ; ; ; }; d) minden egész szám megoldás; e) { 7; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; }; f) { ; ; ; ; ; ; ; }; g) { 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; }; h) { 6; ; ; ; ; ; ; ; }; i) { ; ; ; 9; 8; 7; 6; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; 7; 8}.

12 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w87 a) Az kiemelése utáni másodfokú kifejezést alakítsuk szorzattá: + ( + ) ( ). A megoldás: vag. + b) Az kiemelése utáni másodfokú kifejezést alakítsuk szorzattá: 7 + ( ) ( + ) >. A megoldás: < vag < < > + > >. c) 8 vag ³, az elsõnek nincs megoldása, a másodikból: vag. d) < < 9, amibõl < < vag < <. w88 a) A nevezõ: + 7 >. b) ( + ) ( 6 ) >. A megoldás: <. A megoldás: < vag < < < +7> > > + > ( + ) ( ) c) ³, d). ( ) ( + ) ( ) ( + 9) ezért: vag < < vag. A megoldás: 9 < <. + > + > 7 + > +9> 9 >

13 8+ ( ) ( ) e) <. f ) ( + ) ( ) 7 ( ) ( + ). + 6 ( + ) ( ) A megoldás: < < vag < <. A megoldás: < vag < > > +> > > + > ( ) ( + ) + ( + ) ( ) g). h) ³. ( + ) ( 6) + ( ) ( ) A megoldás: < 6. A megoldás: vag < <. 6 + > 6 > + > > ( ) ( ) w89 a) >, ¹. Meghatározzuk, hog a feladatban szereplõ ( ), ( ) és ( ) kifejezések mel értékekre pozitívak, illetve negatívak. Az ábra szerint a megoldás: < vag < <. > > > b) ³ ¹, ¹., Redukáljuk nullára az egenlõtlenséget, majd a közös nevezõre hozatal és összevonás után kapjuk:. ( ) ( ) A kifejezések elõjelvizsgálata után a megoldás: <. ³ > >

14 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM c) ¹ ±. >, Redukáljuk nullára az egenlõtlenséget, hasonlóan a b) feladat megoldásához. A közös nevezõre hozatal, és az összevonás után + > + > a következõ egenlõtlenséghez jutunk: 8 + ( + ) <, melbõl: <. ( + ) ( ) ( + ) ( ) A hánadosban szereplõ kifejezések elõjelvizsgálata után kapjuk, hog az egenlõtlenség megoldása: < vag <. d), ¹, ¹. + > > Átalakítás után az alábbi egenlõtlenséghez jutunk: + ( ) ( + ) + melbõl:. ( + ), ( + ) A kifejezések elõjelvizsgálat után kapjuk, hog az egenlõtlenség megoldása: < vag <. e),. + Mivel a számláló konstans és negatív, íg a hánados akkor pozitív, ha a nevezõje negatív. A nevezõt teljes négzetté alakítva kapjuk: ( ), amel kifejezés soha nem lesz negatív. Az egenlõtlenségnek nincs tehát megoldása. 6 f), ¹, ¹. 6 > Mivel a számláló konstans és pozitív, íg a hánados akkor pozitív, ha a nevezõ pozitív. (Az egenlõség soha nem teljesülhet.) + 6> A6 kifejezést szorzattá alakítva: ( + 6) ( ) >, vagis ( + 6) ( ) < egenlõtlenséghez jutunk. Elõjelvizsgálatot tartunk. E szorzat akkor negatív, ha a két ténezõje ellenkezõ elõjelû (és ez egszerre teljesül). Az egenlõtlenség megoldása: 6 < <. 6 w9 Az, ha,. Az egenlõtlenség különbözõ alakú lesz: I. Ha vag, akkor + 7. Azaz 7, ennek megoldása: +. A feltétellel összevetve: vag +. II. Ha < <, akkor Azaz, ennek megoldása: vag. A feltétellel összevetve: < vag <. A végeredmén: vag +.

15 w9 a) A törtnek és a gököknek akkor van értelme, ha: 8 ³ és + 8 >. Az elsõ megoldása: vag 7. A második megoldása: < 6 vag <. A közös megoldás: < 6 vag > b) A göknek akkor van értelme, ha: 8 ³. + 8 A számlálót és a nevezõt szorzattá alakítva: ( 7) ( + ) ³. ( ) ( + 6) A megoldás: < 6 vag < vag > > w9 Mivel az egész számok körében keressük a megoldást, ha, akkor a harmadik egenlõtlenség miatt z, és a második miatt. Általában is igaz, hog ha valamelik ismeretlen, akkor a másik kettõ is az. Ha egik ismeretlen sem, adjuk össze a három egenlõtlenséget: + + z + + z+ z z, + + z + + z+ z, ( + ) + ( + z) + ( + z). A teljes négzetek nemnegatívak és az ismeretlenek -tól különbözõ egészek. Csak akkor kaphatunk megoldást, ha: ( + ), ( + z), ( + z). A teljes négzeteken belül a tagok nem lehetnek azonos elõjelûek, mert akkor pl. ½ + ½³ miatt ( + ) ³. Tehát csak az fordulhat elõ, hog és ellentétes elõjelû. Minden párra teljesülnie kellene az elõbbinek, ami lehetetlen. Tehát az egenlõtlenség-rendszer egetlen megoldása az egész számok körében a következõ számhármas: z.

16 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM Paraméteres másodfokú egenletek megoldások w9 w9 w9 Az adott egenlet gökei akkor egenlõek, ha a diszkriminánsa. Tehát átalakítva az egenletet, kapjuk, hog: (p ) + p p 7. Vagis: [ (p )] (p p 7). Az egenlet megoldásai: p és p. Valóban, a p helettesítéssel kapott egenletünk: +, ami ( ), íg tehát a parabola érinti az tengelt. A p helettesítéssel kapott egenletünk: + 9, vagis ( 7). Ez a parabola szintén érinti az tengelt. a) Az egenlet diszkriminánsa: 8b. Megoldásai: b, 7b. b) Az egenlet diszkriminánsa: 9 + b + 6b ( + b). Megoldásai: b,. c) Az egenlet diszkriminánsa: 89b (7b) b b. Megoldásai:., d) Ha b, akkor az egenlet elsõfokú, a megoldása:. Ha b ¹, akkor az egenlet diszkriminánsa: 6b +6b +(b + ), íg a megoldások: b. b, a) Vizsgáljuk meg, hog az egenlet diszkriminánsa mikor nemnegatív: ( b) 8 ( b+ ), b b 8. Ennek a megoldásai: ³ b vag b. Tehát az egenletnek nincs megoldása, ha < b < ; megoldása van, ha b, ekkor, vag ha b, ekkor ; megoldása van, ha > b, vag < b. b) Ha b, az egenlet elsõfokú, eg megoldása van:. Ha b ¹, vizsgáljuk meg, hog mikor lesz a diszkrimináns nemnegatív: 6 b ( b), b b+ 6. Megoldásai: b vag 8 b. Tehát az egenletnek nincs megoldása, ha < b < 8; megoldása van, ha b, ekkor, ha b, ekkor, ha b 8, ekkor ; megoldása van, ha b < vag < b < vag 8 < b. 6

17 w96 w97 w98 a) A törtek miatt ¹ b és ¹ b. A közös nevezõ az ( b) ( +b) 9b szorzat, ezzel beszorozva: ( + b) ( + b) + ( + 7b) ( b) 8 + 6b. Elvégezve a mûveleteket: b + b. Megoldóképlettel megoldva: 8b, b, ez utóbbi nem megoldás, az elõbbi pedig csak akkor, ha b ¹. Tehát ha b, az egenletnek nincs megoldása, ha b ¹, akkor 8b. b) Vizsgáljuk meg a nevezõket: + b + b ¹, mivel az + b + b egenlet diszkriminánsa b, csak akkor van megoldás, ha b, ekkor. Az b ¹ ésb ¹ mindkettõ teljesül, ha ¹ b. Tehát minden tört értelmezhetõ, ha ¹ b. Legen a közös nevezõ az ( + b + b ) ( b) b, ezzel beszorozva mindkét oldalt: ( b) b ( + b + b ). Megoldások: b, b, az elsõ a feltételek miatt nem megoldás. Tehát ha b, az egenletnek nincs megoldása, ha b ¹, akkor b. a) A kifejezés minden valós számra pozitív, ha az b +b + egenlet diszkriminánsa negatív: ( b) ( b+ ) <, b b <. Megoldása: < b <. b) A kifejezés minden valós számra pozitív, ha b > és a b + b + b egenlet diszkriminánsa negatív: ( b ) b ( b) <, ( b ) ( b + b) <, ( b ) ( b ) <. Az egenlõtlenség megoldása: < b <, és ez mindkét kezdeti feltételnek megfelel. a) A kifejezés minden valós számra negatív, ha b < és a b + b + + b + egenlet diszkriminánsa negatív: ( b+ ) b ( b+ ) <, ( b+ ) ( b) <. Az egenlõtlenség megoldásai: b < vag < b. Mindkét feltétel teljesül, ha b <. b) A kifejezés minden valós számra negatív, ha b < és a b + b egenlet diszkriminánsa negatív: b ( b) <, b b+ 6 <. Az egenlõtlenség megoldása: < b <. Mivel a két kezdeti feltétel metszete az üres halmaz, nincs olan b paraméterérték, amelre a kifejezés minden valós helen negatív értéket venne fel. 7

18 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w99 Vizsgáljuk meg elõször az egenlet diszkriminánsát: D (b +) +8 (b + ) >, ezért minden valós b esetén két megoldása van az egenletnek. Nézzük a gökök szorzatát:, negatív, mert b + >. b + A szorzat negatív elõjele azt jelenti, hog megoldásaink ellentétes elõjelûek, tehát a ]; [ intervallumba legfeljebb az egik gök kerülhet, a pozitív elõjelû. Gondoljunk most az f ()(b +) +(b + ) másodfokú függvénre, melnek b +> miatt minimuma van, és két zérushellel rendelkezik. A pozitív zérushel akkor kerül a ]; [ intervallumba, ha a függvén a és az heleken ellentétes elõjelû értéket vesz fel. Mivel f (), ezért f () b + + b + > kell teljesüljön. Ebbõl b + b >, ha b < vag < b. Tehát b < vag < b esetén teljesül, hog az egenletnek pontosan az egik göke esik a ]; [ intervallumba. Négzetgökös egenletek és egenlõtlenségek megoldások w a) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. b) Értelmezési tartomán: ³, megoldás: 86. c) Értelmezési tartomán: ³ megoldás:., d) Értelmezési tartomán: ³, nincs megoldás. e) Értelmezési tartomán: ³, megoldás: 9,. 77 f) Értelmezési tartomán: ³ megoldás: 8, 8. g) Értelmezési tartomán: ³ megoldás:., h) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. 7 i) Értelmezési tartomán: ³, azt kapjuk, hog, de ez nem megoldás. 7 j) Értelmezési tartomán: ³, megoldás:. 6 8 k) Értelmezési tartomán: ³ megoldás: 8,. l) Az értelmezési tartomán az üres halmaz, nincs megoldás. w a) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. b) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei: 7,. Csak 7 megoldás. 8

19 c) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. d) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:,, mindkettõ megoldás. e) Értelmezési tartomán:. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. f) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:, de csak az megoldás., g) Értelmezési tartomán: ³. Megoldások:,, mindkettõ megoldás. h) Értelmezési tartomán: ³ Megoldások:,, mindkettõ megoldás.. i) Értelmezési tartomán: ³ A másodfokú egenlet gökei:,.. Csak megoldás. j) Értelmezési tartomán: ³. A másodfokú egenlet gökei:,. Csak megoldás. k) Értelmezési tartomán: A másodfokú egenlet gökei:.., Csak megoldás. 8 l) Értelmezési tartomán: ³ Megoldások:, de csak az megoldás.. 8, w a) Értelmezési tartomán: ³. négzetre emelés után: ³. A megoldás: ³. 9 9 b) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: < A megoldás: <... c) Értelmezési tartomán: ³ Mivel az egenlõtlenség bal oldala nemnegatív, a jobb oldala. pedig negatív, ezért a megoldás: ³. d) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: > A megoldás: >... e) Értelmezési tartomán: ³ A bal oldala nemnegatív, a jobb oldala negatív szám, ezért nincs megoldás.. f) Értelmezési tartomán: ³ 8 Négzetre emelés után: A megoldás: g) Értelmezési tartomán:. Négzetre emelés után:. A megoldás:. h) Értelmezési tartomán:. Négzetre emelés után: >. A megoldás: <. w a) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldás: 7. 6 b) Értelmezési tartomán: ³ Két négzetre emelés után a megoldások:, Csak az elsõ megoldás... c) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások: 7,. Az ellenõrzésbõl kiderül, hog csak a második megoldás. 9

20 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM d) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások:,,,. Az ellenõrzésbõl kiderül, hog csak a második megoldás. e) Értelmezési tartomán: ³. Két négzetre emelés után a megoldások:, 6. Csak az elsõ megoldás. f) Értelmezési tartomán: Két négzetre emelés után a megoldások:, mindkettõ megoldás.., g) Értelmezési tartomán: ³ 6. Két négzetre emelés után a megoldások: 7,. Csak az elsõ megoldás. h) Értelmezési tartomán: Két négzetre emelés után a megoldások:. Csak a második megoldás.. 9, w a) Vegük észre, hog a négzetgök alatt teljes négzet alak áll, íg az egenlet: ½ ½., ha ³, Az abszolút érték definíciója miatt: ½ ½ +, ha <. Íg ³ esetén az egenlet: +, amelnek a diszkriminánsa negatív, ekkor nincs megoldás. Az < esetén az egenletünk: +, melnek az és gökei, az adott egenlet megoldásai. b) Az a) feladathoz hasonlóan az egenlet felírható ½ +½ ½½ alakban. Az abszolút érték definíciója miatt: Ha <, akkor az egenlet: ( ), amibõl. Ez nem megoldás az értelmezési tartománon. Ha <, akkor az egenlet: +, amibõl. Ez megoldása az adott eredeti egenletnek. Ha ³, akkor az egenlet: +, amibõl. Ez megoldása az adott egenletnek. Összefoglalva: az egenlet megoldásai: és. w c) Az egenlet felírható ½ ½ ½ ½ alakban. Az abszolút érték definíciója miatt: Ha <, akkor az egenlet: ( ), amibõl. Ha <, akkor az egenlet: ( + ), amibõl ¹. Ha ³, akkor az egenlet: + ( + ), amibõl Az egenlet megoldásai: és. a) Értelmezési tartomán: 9 ³, ha ³ vag. Vegük észre, hog a helettesítéssel a p p 6 egenlethez jutunk, amelbõl p és p. Ha p, akkor 9, ekkor 8, amibõl ± Ha p, akkor az egenletnek nincs megoldása, hiszen az oldal nemnegatív, a jobb oldal negatív. Ellenõrzés bal oldalon:. 8 9 ( 8 9) , mellel a jobb oldal eredménéhez jutottunk p egenletben a bal

21 b) Értelmezési tartomán: ³. Vegük észre, hog mindkét oldal négzetre emelése után a következõ egenlethez jutunk: ( + ), amibõl. + Ez megoldása az eredeti egenletnek. Ellenõrzés bal oldalon: Ezután az -et vigük be a gökjel alá:. A jobb oldalon álló kifejezéshez jutottunk. w6 a) Értelmezési tartomán: ³, ekkor a jobb oldal is pozitív. Négzetre emelés és rendezés után: >, amibõl a megoldás: < <. b) Értelmezési tartomán:, mindkét oldal nemnegatív, ha. Négzetre emelve és rendezve +, ennek megoldása vag. A végeredmén:. c) Értelmezési tartomán:. Ha +<,azaz <, a jobb oldal negatív, nincs megoldás. Ha ³, négzetre emelés után rendezve +, amibõl 6 vag. A végeredmén:. d) Értelmezési tartomán: ³ 7,. Ha >, a jobb oldal negatív, teljesül az egenlõtlenség. Ha, négzetre emelés és rendezés után: >, amibõl < <. Ebben az esetben a megoldás: <. A végeredmén: <. e) A négzetgök alatti kifejezésnek nincs zérushele, tehát minden valós számra értelmezhetõ. Ha <,vagis < a jobb oldal negatív, az egenlõtlenség teljesül., Ha ³ négzetre emelés és rendezés után: ³, amibõl, ebben az, esetben a megoldás:. A végeredmén:. f) Értelmezési tartomán: vag. Ha 6 + <, azaz < 8, a jobb oldal negatív, nincs megoldás. Ha ³ 8, négzetre emelés és rendezés után: , amibõl vag 6. Csak a második ad megoldást. A végeredmén: 6 vag.

22 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w7 a) Értelmezési tartomán: ³ Négzetre emelés után: ( 6 9) , Mivel a gök alatt teljes négzet áll: ½ ½ 8. Ha ³, az egenlet: 8, megoldása:,. Ha <, az egenlet: + 8, nincs megoldás. b) Értelmezési tartomán a valós számok halmaza. Vezessünk be új változót: +, ahol ³. Az egenlet: 6+, ennek megoldásai:,, a második nem megoldás. Az elsõt visszahelettesítve: +, +. Megoldások:,. c) Értelmezési tartomán: ³ 9. Alakítsuk át a gök alatti kifejezéseket (érdemes a másodikkal kezdeni): ½ 9½, ( ) Az egenlet: ½ 9½+ ½ 9½. Három esetre bontva: I. Ha 9<, akkor 9+ 9, amibõl 9, nincs benne a kiindulási halmazban. II. Ha 9<, akkor 9 + 9, minden számra igaz, ami benne van a kiindulási halmazban. III. Ha 9, akkor , amibõl 9. Tehát a megoldás: 9, amibõl négzetre emelés után 8. d) Értelmezési tartomán: ³, és láthatóan az nem megoldás. Alakítsuk a hatodik gök alatti kifejezést: ( ) 9 ( ) ( ) ( 9) ( ) ( + ). Osszuk el az egenlet mindkét oldalát a nem nulla, 6 ( ) ( + ) kifejezéssel. Az egenlet az osztás után: ( ) ½ ½

23 Vezessünk be új változót: 6. + Az új egenlet: + 6 7, beszorzás után: Alakítsuk a bal oldalt: 6 6 +, 6 ( ) ( ), 6 ( ) ( ) ( + ), ( ) ( 6 ). Ha, akkor nincs megoldás. Ha 6, akkor, csak az elsõ megoldás., 6 Visszahelettesítve: 6, amibõl ami eleme az értelmezési tartománnak. +, w8 Értelmezési tartomán: ³. Az abszolút érték miatt az elsõ ténezõ nemnegatív, csak akkor van megoldás, ha a második ténezõ pozitív: + >, aminek a megoldása: < <. Összevetve az értelmezéssel: <. Ilen -ek esetén az elsõ ténezõ: <. A második ténezõ: < + ( ). Mivel mindkét ténezõ legfeljebb, a szorzatuk csak úg lehet, ha mindkét ténezõ -gel egenlõ. Ez pedig csak akkor igaz, ha. w9 Értelmezési tartomán: ³. Mivel az egenlet bal oldala nemnegatív, ezért p ³, ami azt jelenti, hog akkor ad megoldásokat, ha p ³. Négzetre emelés után rendezzük az egenletet: (p + ) + p. Akkor van megoldás, ha a diszkrimináns nemnegatív: D (p + ) 6 (p ) 8p + ³, aminek a megoldása: p ³. ami csak 8 Összevetve a kezdeti feltétellel azt kapjuk, hog p ³ esetén lesz az egenletnek megoldása. Meg kell vizsgálnunk, hog teljesül-e ilen esetekben a megoldásokra az értelmezés ³ feltétele. Ha p ³, akkor D ³, mivel a megoldások: p+ ± D,, 8 az egik gök: p+ + D p+ + p+ ³ ³ > Tehát ha p ³, akkor az egenletnek biztosan van megoldása. p,

24 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM A számtani és mértani közép, szélsõérték feladatok megoldások w a) A számtani közép:, a mértani közép 9, különbségük 6. b) A számtani közép: 9,, a mértani közép 8, különbségük,. c) A számtani közép:,, a mértani közép, különbségük,. d) A számtani közép: 6, a mértani közép 6, különbségük. e) A számtani közép:,, a mértani közép»,, különbségük»,. f) A számtani közép:, a mértani közép»,98, különbségük»,. g) A számtani közép: 79, a mértani közép» 66,97, különbségük»,. h) A számtani közép:, a mértani közép»,, különbségük» 697,. w a) 6; b) 6,; c) ; d),7. w A négzet oldala cm. w a) v átl. 6,» ;, b) v átl. 7,» ; c) v átl. 7,» w w w6 Átlagosan,%-kal csökkent az üzemanag ára. I. megoldás. Ha a négzetek oldalának hossza a és b, akkor a kerület: a + b, amibõl a + b. A területek négzetösszege: a + b a + ( a) a a + (a ) +. Minimális, ha a cm, ekkor b cm. Íg a területösszeg minimuma cm. II. megoldás. Az a + b (a + b) ab minimális, ha ab maimális. A számtani és mértani közép közötti egenlõtlenség alapján: akkor maimális a szorzat, ha a b. a b ab +, a) Ha a téglalap oldalainak hossza a és b, akkor a +b, vagis a +b. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: a+ b ab 6, a szorzat maimális, ha a b, tehát a megoldás a négzet.

25 w7 w8 b) Legen a vízpartra merõleges oldal hossza, akkor a másik oldal. Keressük a ( ) szorzat maimumát. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: + ( ) ( ) a szorzat maimális, ha, amibõl. Tehát a téglalap oldalait m és m hosszúra kell választani. Legen a és b a téglalap két oldalán elhelezett járólapok száma. a) Ebben az esetben a b. Keressük a (a + b) kifejezés minimumát. A számtani és mértani közép közötti összefüggés alapján: a+ b az összeg akkor minimális, ha a b. A minimális kerület 8 cm. b) Most a b, és újra a (a + b) kifejezés minimumát keressük. Alkalmazzuk az elõzõ módszert: a+ b ³ a b, ³ a b, az összeg minimális, ha a b»,. Mivel a járólapokat nem vághatjuk el, ez nem valósítható meg. Keressük az a b egenlet egész megoldásait, és vizsgáljuk meg, hog mikor lesz minimális a (a + b) kifejezés. A lehetséges szorzatok: 8. Rendre kiszámítva a kerületeket: 8; 8; 6; 8; ;. Tehát akkor lesz a legkisebb a kirakott téglalap kerülete, ha a két különbözõ oldal mentén, illetve darab járólapot helezünk el. a) A hajók távolságát Pitagorasz-tétellel számolva: d( ) + km, d( ) + 6, km., b) A távolság négzete t idõ múlva: d(t) ( 8t) + ( t) 8t 88 t + 8 (t,) + 8. A hajók közötti távolság, óra múlva lesz a legkisebb. c) A minimális távolság: d min. 8 89, km.

26 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w9 Alakítsuk át a bizonítandó állítás bal oldalát, ha ab : a + b ( a b) + a b ( a b) + ( a b) + a b a b a b a b. Mivel a b >, alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közötti egenlõtlenséget: Akkor van egenlõség, ha a + és b Ezzel az állítást beláttuk. ( a b) + ³ ( a b). a b a b. Másodfokú egenletre vezetõ problémák megoldások w a) Az ( + ) egenletbõl a két szám a és vag a és a. b) Az + ( + ) egenletbõl a két szám az és 7 vag a 7 és. + c) Az egenletbõl a két szám a és vag a és. w a) Az ( ) 6 egenletbõl a két szám a és 8. b) Az + ( ) 8 egenletbõl a két szám a 8 és. c) Az ( ) egenletbõl a két szám a és. w Az ( + ) + egenlet alapján a vásárolt sapkák száma. w Az ( + ) + 9 egenletbõl a négzetek oldala cm és 8 cm. w ( ) Az 9 egenletbõl a bajnokságban résztvevõ csapatok száma. w Az + ( + ) ( + ) egenlet megoldásából a téglalap oldalai 7 cm és cm. w6 Az ( + ) ( + ) + 6 egenlet megoldása alapján a két szám a és vag a és. w7 8 8 Az egenlet: Megoldása alapján 6» sebességgel haladtak, és óra alatt értek célhoz.. w8 Az egenlet: Megoldás: az ana óra, a lána 6 óra alatt takarítana ki egedül.. w9 Az egenlet: 9 Beszorzás és összevonás után: 9. A muskátli 9 palánta Ft-ba kerül, 6 darabot lehet megvenni Ft-ból. w n ( n ) a) Az n egenletbõl n. n ( n ) b) Az + n egenlet pozitív megoldása»,8. Tehát nincs ilen sokszög. n ( n ) c) Az 9 egenletbõl a sokszög 7 oldalú. 6

27 w A képernõ 8,%-a: 6,6 cm. A keret területébõl felírható egenlet: ,6. A keret körülbelül cm széles. 7 cm cm w Jelöljük -szel azt, amenni autót gárt naponta a hagomános részleg. Az egenlet: Beszorzás után: 9. A pozitív megoldása:. A két üzem, naponta, illetve autót gárt, az elsõ nap, a második 6 nap alatt. w Tudjuk, hog n különbözõ dologból -t n n n -féleképpen választhatunk ki. ( ) Az egenlet: ( ) ( ) + 8. Beszorzás után: 7. A pozitív megoldás:. Tehát az osztálban -en vannak. w Legen a háromjegû szám:. A következõ egenletrendszer írható fel: A másodikból -t helettesítve az elsõ egenlet: 9 +. Aminek megoldásai: 7,,. Csak az elsõ lehet számjeg, ebbõl. A keresett szám a 7, ellenõrzéssel látható, hog valóban megfelel. w a) Legen a nõk száma, a férfiaké. ( ) ( ) A puszik száma:, a kézfogások száma:. Mivel >, ezért az elsõ tört nagobb, tehát több puszi van, mint kézfogás. 7

28 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM b) A kézcsókok száma: 8, és tudjuk, hog + 7. A második egenletbõl -t kifejezve és beírva az elsõbe: A megoldások:,. A férfiak számára, adódik, a feladat feltételeinek az elsõ számpár felel meg. Tehát a társaságban nõ és férfi van. A kézfogások száma: 78. w6 w7 a) Ha az ezüst fakanál árát elsõ alkalommal %-kal emelték, akkor a következõ egenlet írható fel: + +,. Beszorzás és egszerûsítés után: + 6. Az egenletnek csak a pozitív megoldása felel meg:. Tehát az ezüst fakanál árát elõször %-kal, másodszor %-kal emelték. b) Ha %-os volt a karácson elõtti emelés, akkor a következõ egenlet írható fel: + 8,. A beszorzás és egszerûsítés után: + 6. Aminek megoldásai: 8,. Mindkét megoldás megfelel. Tehát az aran fakanál árát decemberben vag 8%-kal vag %-kal emelték. a) Ki kell számítanunk h() értékét: h() + +. Tehát a kilövés után másodperccel méter magasan lesz a rakéta. b) Alakítsuk teljes négzetté a függvén hozzárendelési szabálát: h(t) t + t + (t ) +. Amibõl kiderül, hog másodperc múlva lesz a legmagasabban, a földtõl méterre. c) Amikor földet ér, h lesz. Meg kell oldani a következõ egenletet: t + t +. A megoldások: t 9, t. Csak a pozitív megoldás felel meg. Tehát a rakéta 9 másodperccel a kilövés után ér földet. 8

29 Veges feladatok megoldások w8 a) 7 ÎZ; b) ÎQ; c) ÎN; d) ÎZ. w9 a) b) ;, ;, c) 7, d),, ; ;, e), ; f) ; g) ; h), 6, ; i),. w a) ; b) < vag < ; 8 c) ; d) < vag < ; e) < ; f ). w a) b) c) ( ) ( ) ( +) < vag >.. < vag >. Megjegzés: A feladat nem kéri a megoldás típusát, íg megoldható függvének felhasználásával vag algebrai úton is. Ezért adtunk elõször mindhárom feladatra függvének felhasználásával kapott eredmént, majd csak az a) feladatra következzenek más megoldási lehetõségek is: I. megoldás Az ( ) > rendezése után kapjuk, hog: 6 + >. Határozzuk meg a bal oldalon álló kifejezés zérusheleit (, + + ). Mivel az egütthatója pozitív, a parabola felfelé níló, íg egszerû ábrát készítve kapjuk, hog: < vag >. 9

30 MEGOLDÁSOK. ÉVFOLYAM w w II. megoldás Rendezés után kapjuk, hog: 6 + >. Megoldás lehet a bal oldali kifejezés szorzattá alakítása: ( ) ( ) >. Ábrát készítünk és megkapjuk, hog a bal oldal akkor pozitív, ha: < vag >. Ha a befogók és, a következõ egenletrendszert kapjuk:. + Az egenletrendszerbõl a befogók hossza: cm és cm. Ha a sokszögek oldalszáma és, az alábbi egenletrendszerhez jutunk: ( ) ( ) ( ) 8º+ ( ) 8º 7º A második egenletbõl érdemes helettesíteni. A sokszögek 7, illetve oldalúak. w a) A { ÎR½ }; B { ÎR½ < vag < }. b) A È B R. c) A Ç B { ÎR½ < vag < }. w w6 a) Teljes négzetté alakítás után kapjuk: 9 f () +, 9 amelbõl leolvasható, hog az f függvénnek maimuma van az helen, értéke. A zérushelek megállapíthatóak a másodfokú egenlet megoldóképletével. E szerint 6 és az egenlet két zérushele. b) Teljes négzetté alakítás után kapjuk: g() ( ) +, amibõl leolvasható, hog a függvénnek minimuma van az helen, értéke. A zérushelek meghatározásánál vegük észre, hog a diszkrimináns negatív, mert: b ac, ezért a g függvénnek nincs zérushele, nem érinti és nem metszi az tengelt. Az egenletrendszer megoldásaiból a következõ nég pont adódik: P (; ), P (; ), P ( ; ), P ( ; ). B P > A P > P P 6

31 w7 a) A gökök négzetösszege: + ( + ) b) Az egenletbõl 8. c) A hiánzó számjeg:. w8 Ha b, az egenlet elsõfokú, megoldása:. Ha b ¹, a másodfokú egenlet diszkriminánsa: D (b +) (b ) b b + (b ). Ha b, eg valós megoldás van:. Ha b ¹, a diszkrimináns pozitív, tehát két valós megoldás van. 9. 6