Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Átírás

1 Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk: egészen meglepő mutatvánokat vihetünk végbe a segítségével. Ez az írás éppen erről szól. Persze, feltehető a kérdés, hog miért pont most? A válasz az, hog az olan üges / ingenes rajzoló programok, mint amilen a Graph is, nagon megkönnítik az amúg eléggé bonodalmas munkát: ~ segítenek leellenőrizni a képleteket, függvénábrázolással; ~ gorsan és pontosan elkészítik a függvének grafikonját. Erre mondják, hog aranat ér. A feladat és megoldása keletkezési körülméneiről A műszaki életben gakran találkozunk anagok, szerkezetek, berendezések jelleggörbéjével, más néven karakterisztikájával. Ezt általában méréssel veszik fel. Ezek a grafikusan ( is ) adott függvének gakran bonolultak, képük sokszor nem egenes, ill. sík, hanem valamilen görbe vonal, ill. felület. Eg görbe vonal azonban sokszor egenes szakaszokkal közelíthető, ezáltal a jelleggörbe nemlineáris függvéne helettesíthető lineáris függvének sorával. Erre mutat példát az. ábra is [ ].. ábra Itt két különböző anag σ = f ( ε ) szakító - diagramja látható, feltüntetve az egenesekkel való közelítés megvalósítási módját is. Eg másik példát is megmutatunk a. ábrán [ ]. Ezen az szemlélhető, hog eg elektromos erősítő töröttvonal alakúnak vett I = f ( U ) karakterisztikáját hogan lehet részfüggvénekből összerakni. Ez az ábra már közvetlenül csatlakozik írásunk témájához.

2 . ábra A könvekben néha azt írják, hog az egenesekkel való közelítéssel a műszaki feladat kénelmesen megoldható. Ez nem egészen igaz minden esetben; uganis: ha a karakterisztika közelítő egenes szakaszainak különálló lineáris függvéneivel dolgozunk, akkor a szakaszhatárok kezdő és végpontjaival összefüggő többi menniségre vonatkozó kezdő és végpontokat a számítás során meg kell keresni, mert pl. azok valamel levezetett függvén számítási határai, akkor a megoldás komolabb nehézségekbe ütközhet. Ezzel szemben, ha a karakterisztikát egetlen akár sok részből összetett függvénnel írjuk le, akkor a leíró függvén a karakterisztika töréspontjait uganúg kezeli, mint bármel szakasz közbenső pontját. Ez komol könnebbséget jelenthet. Az már eg másik kérdés, hog a karakterisztika különböző egenes szakaszait egségesen kezelő közelítő függvén már nem lineáris, miközben a lineáris közelítéssel a megoldás során fellépő egenletek linearitását próbáltuk biztosítani. Szóval, amit megnertünk a réven, azt elvesztettük a vámon. Vag mégsem? Erre a választ annak a konkrét feladatnak a megoldása során kaphatjuk meg, amelben a karakterisztika szerepet kapott. A. ábra első sorában ábrázolt függvént az alatta lévő egségfüggvénekkel kétféleképpen is össze lehet állítani. Látható, hog mindegik összetevő függvén a teljes értelmezési tartománon értelmezve van, nem csak annak valamel szakaszán. Éppen ez az a címben is említett keletkezési körülmén, ami hosszas elmélkedés és a segítő technika megjelenése után a jelen írás eredméneihez is vezetett. Az összetett feladatok legenek azok bármik is megoldása ma már lénegesen támaszkodik a számítógépes segítségre, az azonban ma sem mindeg, hog a legőzendő nehézségek milen nagok.

3 3 A feladat Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Feladatul tűztük ki magunknak, hog felállítjuk a 3. ábra szerinti, darab egenes szakaszból álló töröttvonallal jellemezhető karakterisztikának a teljes értelmezési tartománon működő egetlen egenletét. Adott:, ; m,m, m,m. Keresett: A megoldás f,, m,m,m,m ;. Ahogan az a felvezetés alapján már várható, a megoldást a teljes értelmezési tartománon működő egségfüggvénekből rakjuk össze. Bár ezek már viszonlag régóta ismertek, a műszaki élet mindennapjaiban mégsem sűrűn találkozunk velük. Ennek bizonára az az egik oka, hog ha nem is olan elegáns, de megbízhatóan működő egéb megoldások is rendelkezésre állnak. Ez a helzet pl. a tartók igénbevételi függvéneinek leírása esetében is. Bevezető jellegű, matematikával foglalkozó könvekben is találkozhatunk a mondott speciális függvénekkel [ 3 ], [ ].

4 Megoldásunk lelke az ( egik ) egségfüggvén, melnek alapalakját és annak keletkezését a. ábrán szemlélhetjük.. ábra Ebből eg nújtás / zsugorítással, majd eltolással ld. az 5. ábrát is! : m (0) m (0) () () ábra A 3. ábra függvénének összetevő függvéneit egenként felírjuk, majd konkrét adatokkal ábrázoljuk. Az ábrázolás adatai, a 3. ábrának megfelelően: m 3; m ; m ; m ; ; 3. Ha jól dolgoztunk, a Graph - os végeredmén a 3. ábra szerinti lesz.

5 5 A munkát három részre bontjuk: először a jobb oldali, másodszor a baloldali grafikon - résszel foglakozunk, harmadszor pedig egesítjük a két felet. A.) A jobb oldali grafikon - rész és függvénének előállítása m m..) Grafikonja a. ábrán látható. f()=/*(3*+abs(3*)) ábra

6 m m..) Grafikonja a 7. ábrán látható. 3 f()=-/*(3*(-)+abs(3*(-))) ábra

7 7 3. ) Most érdekessége miatt képezzük az előző két függvénösszegét! m m m m. Grafikonja a 8. ábrán látható. + f()=/*(3*+abs(3*))-/*(3*(-)+abs(3*(-))) ábra

8 8 m m..) 3 Grafikonja a 9. ábrán látható. 8 3 f()=/5*(-+abs(-)) ábra

9 9 5.) ( jobb) 3 m m m m m m. Grafikonja a 0. ábrán látható. 0 (jobb ) = f()=/5*(-+abs(-))+/*(3*+abs(3*))-/*(3*(-)+abs(3*(-))) ábra

10 0 B.) A bal oldali grafikon - rész és függvénének előállítása m m..) Grafikonja a. ábrán látható. 3 f()=/3*(-abs()) ábra

11 m m. 7.) 5 Grafikonja a. ábrán látható. 5.5 f()=/3*(-(+3)+abs(+3)) ábra

12 m m m m. 8.) 5 Grafikonja a 3. ábrán látható. + 5 f()=/3*(-abs())+/3*(-(+3)+abs(+3)) ábra

13 3 m m. 9.) Grafikonja a. ábrán látható. f()=/*(+3-abs(+3)) ábra

14 0.) (bal) 5 m m m m m m. Grafikonja a 5. ábrán látható. ( bal ) = f()=/*(+3-abs(+3))+/3*(-abs())+/3*(-(+3)+abs(+3)) ábra C. Az összegzett grafikonrészek függvénének előállítása

15 5.) ( jobb) (bal) m m m m m m m m m m m m. Grafikonja a. ábrán látható. = ( jobb ) + ( bal ) f()=/*(+3-abs(+3))+/3*(-abs())+/3*(-(+3)+abs(+3))+/5*(-+abs(-))+/*(3*+abs(3*))-/*(3*(-)+abs(3*(-))) ábra

16 Megállapíthatjuk, hog a. ábra képe egezik a 3. ábráéval. Most nézzünk néhán fontos speciális esetet! m m m ; m m m ;. S.) Ekkor az függvén átalakítások után az alábbi alakot veszi fel: m m * m ; még más alakban is: m m * m. Az ábrázoláshoz az m 3; m ; adatokat vettük fel. 5 * grafikonja a 7. ábrán látható. 0 * f()=/5*+3/0**(abs(/+)-abs(/-)) ábra

17 7 m m m. S.) Ekkor nilvánvalóan: ** m. m m, m 0. S3.) Ekkor * - ból: m ***., ahol m. Az ábrázolást az m 3; adatokkal elvégezve kaptuk a 8. ábrát. 0 f()=3*(abs(/+)-abs(/-)) ábra Ezt a különösen érdekes függvént mindjárt alkalmazzuk is.

18 8 Ez megfelel a tökéletesen rugalmas ideálisan képléken test anagmodelljének, íg az, ; ***, jelölésekkel *** - ból kapjuk, hog: F F F F F ( ).. ( A ) Most foglalkozzunk * - gal! Ez megfelel a tökéletesen rugalmas lineárisan felkeménedő test anagmodelljének, íg az m E, m E további jelölésekkel * - ból kapjuk, hog: k E E k ( ) Ek F. F F ( A ) Az eddigi jelölések megnevezése: ~ σ : a normálfeszültség ( előjeles nagsága ); ~ ε : a fajlagos núlás; ~ σ F : a foláshatár ~ ε F : a folási núlás ~ E : a rugalmassági modulus; ~ E k : a felkeménedési modulus. Az ( A ) és ( A ) diagramok középpontos szimmetriával bírnak, ahol a centrum: az origó. A szimmetrikus jelleggörbével bíró anag( - modell ) esetén az anag húzásra és nomásra egformán viselkedik. A.) pontbeli általánosabb eset aszimmetrikus diagramjára az Olvasó már önállóan is elvégezheti az átbetűzést. A töréspontok lekerekítéséről Látjuk, hog az abszolútértékes függvének töréspontot is tartalmaznak. Ez néha gondot okozhat, pl. a függvén differenciálhánadosának meghatározásánál. Ennek elkerülésére is szolgál az [ 5 ] - ből vett ötlet a töréspontok / sarkok lekerekítésére. Ezt a 9. ábrával szemléltetjük. Az ábrák függvénei: ; a. Látjuk, hog milen lekerekítő hatása van eg 0 < a < érték alkalmazásának.

19 9 f()=abs() f()=sqrt(sqr()+sqr(0.)) ábra Akalmazzuk ezt az eljárást ( A ) - re! Ekkor azt kapjuk, hog F F ahol F ( ). k k, ( A 3 ) 0 k. A 0. ábra a 8. ábra adataival és k = 0, - vel készült.

20 0 0 f()=3*(abs(/+)-abs(/-)) f()=3*(sqrt(sqr(/+)+sqr(0.))-sqrt(sqr(/-)+sqr(0.))) Hasonlóan eljárva ( A ) - vel: 0. ábra E E k ( ) Ek F k k. F F ( A ) A már eddig is alkalmazott számértékekkel a függvén grafikonja a. ábrán látható.

21 0 f()=/5*+3/0**(abs(/+)-abs(/-)) f()=/5*+3/0**(sqrt(sqr(/+)+sqr(0.))-sqrt(sqr(/-)+sqr(0.))) ábra Összefoglalás Ebben a dolgozatban letisztáztuk, rendezetten összefoglaltuk eg sok évvel ezelőtti elgondolásunk néhán eredménét. Minthog a szilárdságtani szakirodalomban ezzel íg még nem találkoztunk, ezért is érdekes lehet a nemlineáris anagmodellekkel foglakozó érdeklődő Olvasók számára. Eg önállóan megoldandó feladat Írja fel a. ábrán látható függvén általános, majd pedig az ábrára vonatkozó konkrét kifejezését! Végezze el uganezt a lekerekített változatra is!

22 ábra Irodalom: [ ] V. I. Feodosev: Strength of Materials MIR, Moscow, 98. [ ] V. M. Ovszjanko: Szintez elektronnüh modelej deformírujemüh objektov Nauka i Tehnika, Minszk, 98. [ 3 ] J. M. Gelfand ~ E. G. Glagoljeva ~ A. A. Kirillov ~ E. E. Snol: A koordináta - módszer Műszaki Könvkiadó, Budapest, 975. [ ] Ja. B. Zeldovics ~ A. D. Miskisz: Az alkalmazott matematika elemei Gondolat, Budapest, 978. [ 5 ] Ja. B. Zeldovics: Ismerkedés a felsőbb matematikával és fizikai alkalmazásaival Gondolat Kiadó, Budapest, 98. Mir Kiadó, Moszkva, 98. Sződliget, 009. szeptember 7. Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár