Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Átírás

1 Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008.

2 Een kéirat a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére késült kivonatos anag. tárg elsajátítását segítő anagok találhatók a URL-címen! silárságtan felaata a silár test kváistatikus (lassú) terhelésekre aott válasainak visgálata. Test anagát tekintsük homogénnek (egnemű) és iotrópnak (tulajonságai irántól függetlenek) és lineárisan rugalmasnak, továbbá terhelés hatására a test kis (a test méreteihe képest kicsi) eformációt (kis elmoulást) és kis alakváltoást ( 1) senve, íg silárságtani jellemői köthetők a terhelés előtti geometriáho. esültség fesültségi állapot visgálatakor a résekre bontott test egensúlát vessük semügre. n normálisú belső határoló felület mentén megosló erőrenser (belső erőrenser) p n sűrűségvektorát a továbbiakban fesültségvektornak neveük. p n fesültségvektor eg n normálisú elemi felületen felbontásra kerül: 1 σ n n p n p n σ n n n n p n τ n n m τ mn l τ ln τ n Jelölje σ n = n. p n R 0 a normálfesültséget, továbbá τ n = p n σ n n a nírófesültség-vektort. n normálisú felületelem síkjába eső τ n vektor m és l iránú össetevői lesnek a τ mn = m. τ n és τ ln = l. τ n nírófesültségek. Eg pont elemi körneetének fesültségállapotát a e pontra illeskeő elemi felületeken ható fesültségvektorok össesége aja. Eg p n fesültségvektor bioníthatóan a n normálvektor p n =T. n alakú függvéne. Elemi körneetként értelmeett köéppontú, koorináta-tengelekkel párhuamos,, és olalhossúságú kockán (elemi kockán) semléltetjük a poitív előjellel vett fesültségeket: fesültségeket foglaljuk a T fesültségtenorba: T = σ τ τ τ σ τ τ σ τ σ τ fesültségek mértékegsége a N τ mm τ 2 (1 N mm 2 =1Ma). fesültségtenor ismeretében eg a n által kijelölt iránba vett τ normálfesültség a τ σ σ τ n = n. p n = n.t. n σ móon, a n által kijelölt síkon m iránba vett nírófesültség peig a τ mn = m.t. n móon sámítható ki.

3 2 köéppontú elemi kocka síkjába eső fesültségeket mutatja a ábra. tengelre vett nomatékból M p = 0 σ τ 2 2 τ 2 2 τ = 0 követkeik, hog τ = τ. Et a másik két koorinátasíkra is elvégeve arra jutunk, hog σ τ τ σ τ = τ és τ = τ. fesültségtenor mellékátlóiban álló fesültségek tehát megegenek, aa T fesültségtenor simmetrikus tenor. τ σ ioníthatóan létenek egmásra kölcsönösen merőleges e 1, e 2, e 3 egségvektorok által jelölt iránok (főiránok), mel iránokban a σ 1 σ 2 σ 3 jelű főfesültségek értelmeettek, míg a egségvektorok, mint normálisok által kijelölt síkokon a τ nírófesültségek minig eltűnnek. E a T e i = σ i e i sajátértékprobléma. 1. péla: emléltessük elemi kockán a pontban ismert T fesültségtenort, maj határouk meg a egmásra kölcsönösen merőleges n = 1 ( e +4 e ) és m = 1 (4 e e ) egségvektorok által kijelölt iránokho tartoó σ n és σ m normálfesültségeket, valamint τ mn nírófesültséget! emléltetés során a fesültségek előjelét a őket simboliáló nilak iránítása jelöli. T tenorban álló τ = 32 Ma esetén a neki megfelelő normálisú olallapon iránba mutató níl a negatív előjel miatt most jobbról balra mutat. T = Ma korábbiak alapján sámítható a σ n = n.t. n = {[ ] } = = {1 [ ( 32)] + 4 [1 ( 32) + 4 ( 80)] + 0} = = 88 Ma, σ m = m.t. m = {[ ] } = = {4 [ ( 1) ( 32)] + ( 1) [4 ( 32) + ( 1) ( 80)] + 0} = =48Ma normálfesültség és a τ mn = m.t. n = 1 {[ ] 17 nírófesültség } = Ma = {4 [ ( 32)] + ( 1) [1 ( 32) + 4 ( 80)] + 0} = =

4 tenor elemi kockán történő semléltetése jól mutatja at, hog a normálisú lapon nem jelennek meg nírófesültségek, eért a irán főiránt jelöl, továbbá σ les a egik főfesültség. főiránok egmásra merőlegesek, íg a síkban keresenő másikkétfőirán. felaatban 1 kijelölt n és m vektorok esetén τ mn =0aóik, eért n és m egségvektorok jelölik ki a másik két főiránt. három főfesültséget, valamint a hoájuk tartoó főiránokat a e σ 1 = σ =60Ma e 1 = e m σ 2 = σ m =48Ma e 2 = m e 2 σ 3 = σ n = 88 Ma e 3 = n e n 3 móon növekvő sorrenben sokás megani. 2. péla: Eg silár test pontjában a T fesültségtenor a alábbi alakban ismert: T = Ma. Keressük meg a T tenorho tartóó főfesültségeket és főiránokat! Vegük ésre, hog a másoik oslopban álló minkét nírófesültség érus, íg e jelöli ki a egik főiránt, míg a σ =4Manormálfesültség a ebben a iránban vett főfesültség les. Et a körülmént kihasnálva serkestés útján, a ún. Mohr-féle köriagramból, is meghatárohatjuk a főfesültségeket és a főiránokat. Mohr iagramon minhárom oslopnak eg-eg pont felel meg, mivel a oslopokból eg σ és legfeljebb eg nem érus értékű τ fesültség sármaik. iagram vísintes tengele mentén a előjelheles σ normálfesültségek, függőleges tengele mentén peig a absolút értékben vett τ nírófesültségek kerülnek felmérésre. első oslopban álló σ = 4 Maés τ = 8 Mafesültségek előbbiek serinti felmérése után a X( 4, 8) jelű pontot, míg a harmaik oslopból vett σ =8Manormálfesültség és a τ = 8 Ma nírófesültség felhasnálásával a (8, 8) jelű pontot határouk meg a iagramon. ionítható, hog a kiserkestett pontok eg, a vísintes σ tengelen vett O köéppontból rajolt, félköríven helekenek el. O köéppont megkeresése a vísintes σ tengel felett aonos magasságban ( τ = τ = τ =8Ma)lévő X és jelű pontok köötti vonalsakas sakasfeleő merőlegesének megserketéséből, vag peig a felaat jelöléseit felhasnálva a σ + σ = 8 4 =2Ma 2 2 képletből történhet. keresett kör sugara is serkethető, vag peig ebben a esetben a r R = (σ σ + σ ) τ 2 = p =10Ma móon sámítható. iagramon íg megrajolt félkörív σ tengelt két helen, a másik két főfesültségnél metsi. [Ma] 10 X γ R 1-10 σ 3-1 Y 1 O σ 2 10 σ 1 [Ma] Eután a másoik oslopból előálló Y (σ =4Ma,τ =0)pontot vessük fel, maj e pont és a előbbiekben serkestett körív σ tengelen vett metséspontjai köött két további körívet rajolunk meg. vísintes σ tengelen lévő három metséspont aja meg a három főfesültséget, melek köül a legnagobbat σ 1 =12Ma, a másoik legnagobbat σ 2 =4Ma,alegkisebbetσ 3 = 8 Majelöli.

5 4 Mohr-féle köriagram segítségével a vonatkoó főtengelek is meghatárohatók. Miután a σ 2 = σ = =4Mafőfesültséghe tartoó főtengel, a tengel, már ismert a 1 másik két főtengelek a síkban található. Mohr iagramban a σ 1 főfesültséghe tartóó 1 jelű főtengel és a tengel által beárt 8 Ma α 1 sög a σ 1 -nél a σ tengelre állított merőleges, valamint et a 8 pontot ponttal össekötő sakas által beárt sögnek felel meg. 1 jelű főtengel mellékelt ábrán történő berajolása úg történik, 3 4 hog a pontho kötött KR tengelétől felmérjük a α 1 söget a síkban, még peig a elemi kocka normálisú lapján vett τ 4 8 nírófesültség iránában. 3 jelű főtengel peig a már megrajolt két főtengel által kifesített síkra les merőleges. lakváltoás silár test pontjainak terhelés hatására bekövetkeő mogásai kétféleképpen jellemehetők. Egrést a test két pontját össekötő sakas eltolóhat és merevtestserűen elforulhat, miköben hossa nem váltoik, aa a test pontjai merevtestserű mogást végenek. Másrést alakváltoások lépnek fel, aa test pontjait össekötő sakasok hossa, valamint a sakasok egmással beárt söge váltohat. síkon vett pont terhelés hatására a 0 pontba kerül, valamint a ereetileg hoákötött és sakasok és végpontjai a 0 és 0 pontokba kerülnek. ereetileg koorináta-tengelekkel párhuamos és íg eréksöget u u beáró sakasok hossa (núlás, röviülés), valamint általuk be- árt sög is váltoik. pont iránú elmoulását u(, ), a iránút peig a v(, ) függvén (elmoulásmeő) jellemi. Képeük a és 0, illetve és 0 végpontok különbségeinek másoik tagig vett Talor-sorait: 0 = u + u +..., 0 = u + u +..., amelek alapján ε = 0 0 = u, 0 = v + v +..., 0 = v + v +..., u π γ 2 u ε = v és γ = u + v. u Et a másik két koorinátasíkra is elvégehetjük. pontho kötött elemi triéeren semléltetjük a poitívnak tekintett ε fajlagos núlásokat és γ fajlagos sögtorulásokat. lakváltoási jellemőket a ε alakváltoási tenorba foglaljuk: 1 γ γ ε 2 2 γ 2 γ = 1 2 e γ 1 ε 2 γ γ γ 1 2 γ ε 1 2 γ 2 tenor simmetrikus tenor, aa mellékátlóiban álló fajlagos sögtorulások aonosak (pl.: ε e 1 2 e ε γ = 1 2 γ ). alakváltoási tenor ismeretében a n által kijelölt iránba vett 1 γ núlás a 2 1 γ ε 2 n = n.. n móon sámítható ki, a n és m által beárt eréksög sögváltoása peig γ mn =2 m.. n les. alakváltoási tenornak is léteik a e i = ε i e i (i = 1,...,3) sajátértékproblémája, aa léteik legalább három egmásra kölcsönösen merőleges e 1, e 2, e 3 egségvektorok által jelölt főirán, amel iránokban ε 1 ε 2 ε 3 főnúlások értelmehetők, aonban a e 1, e 2, e 3 vektorok által kijelölt iránok egmással beárt eréksöge a terhelés hatására nem váltoik, aa γ minig eltűnik. v v v 2 v v

6 5 rimatikus ruak húása, nomása húókisérlet során megfigelhetjük, hog a tengelre néve hengeres kialakítású próbatest tengelen mért hossa a aott húóerő hatására l >0 mértékben megnúlik és köben kerestmetsetének átmérője = o < 0 mértékben lecsökken. megfigelésből követkeően felírhatjuk a ε = l = állanó, ε k = σ = νε = állanó, l o o fajlagos núlásokat. Továbbá a is megfigelhető, R e hog a, és síkokkal párhuamos síkok R p alakváltoás után is síkok maranak, íg γ = N > 0 N > 0 γ = γ =0. próbatestből kimunkált,, és tengelekkel párhuamos élű, elemi kockák eformációja minenütt aonos, ebből követkeően eg tetsőleges pontban a ε 0 0 = 0 ε 0 = 0 0 ε νε νε ε l o o o l o l alakváltoási tenor írható fel, ahol a próbatest N > 0 anagára jellemő oisson-sámotν jelöli. próbatest és iránokban terheletlen, követkeésképp csak a lineáris rés N > 0 ε σ = N móon sámítható normálfesültség léteik, aa T = = 0 0 σ N 0 0 általunk visgált esetben a húóerő hatására bekövetkeő alakváltoás kicsi, íg a létrejövő o átmérőkülönbség is kicsi, ekképen a o területkülönbség nagságrenje még kisebb les. Követkeésképp a műsaki sámításokban a ereeti kerestmetset o területével ( = o ) sámolunk. fesültség és a alakváltoás köötti T =T ( ) kapcsolatot leíró anagtörvén, a σ = Eε egserű Hooke-törvén a sakítóiagram lineáris sakasán, a R p aránossági határig van érvénben. Jól alakítható fémeknél a R p -t és a R e (σ ) foláshatárt (a fesültséget, amelet a test anaga maraanó alakváltoás nélkül még elvisel) nem különbötetjük meg. Előforul aonban, hog a sakítóiagramból a jellemő fesültségek, íg a R p fesültség nem állapítható meg pontosan, ilenkor a sakítóiagramon mért 0.02% maraanó núlásho tartoó fesültséget feleltetjük meg neki, míg a 0.2% maraó núlásho tartoó fesültséget tekintjük foláshatárnak. Össefoglalva tehát eg test anagát a ν oisson-sám (0 < ν < 0.5), valamint a E Young-féle rugalmassági moulus mint anagállanók jellemik. erkeeti acélra ν =0.3; E = Ma; σ = 250 Ma körüli értékek a jellemők. Méreteés, ellenőrés kérései általunk visgált serkeetekkel semben elvárás, hog reneltetésserű hasnálat során ne károsojanak, aa a terhelés megsűnése után maraanó alakváltoás bennük ne marajon vissa. Ecélból fesültségcsúcsra történő méreteést alkalmaunk, aa a terhelések hatására ébreő (absolútértékben) legnagobb, σ ma jelű fesültség a serkeet anagára megengeett σ meg fesültséget nem halahatja meg. σ meg megengeett fesültséget a σ foláshatár és eg válastott n>1 bitonsági téneő hánaosaként értelmeük. Eek alapján a σ ma = σ ma σ meg = σ n képlet alapján méreteünk és ellenőrünk..

7 6 Megjegés: Nomás (N <0) esetén is a húásnál felírt össefüggések érvénesek. Karcsú ruak esetén aonban fellép a ún. kihajlás jelensége, amelet itt külön nem visgálunk. Íg csak ömök ruat (a rú hossa a kerestmetset jellemő méretének legfeljebb 12-serese lehet) terhelhetünk nomással, anélkül hog a kihajlás megjelenne. 1. péla: aott téglalapkerestmetsetű ruat N rúerő húásra terheli. Legen a =30mm; b =60 mm; l = 300 mm; E = Ma; ν =0.25. b N N a l Határouk meg, hog N = 9000 N húóerő eseténmekkoralesarú l megnúlásának és a és b olalváltoásának nagsága! ε = l/l képletet és a Hooke-törvént alapul véve kapjuk a l = ε l = Nl = E = mm megnúlást. a és b olalak váltoásának mértéke peig a kerestiránú núlásokból aóó les. rú (téglatest) íg ε = ε = νε = ν N E = = a = ε a = = mm b = ε b = = mm V =(a + a) (b + b) (l + l) a b l = 6.75 mm 3 térfogataváltoást senve, aa a térfogat nem mara állanó! Megjegés: térfogatváltoás a rugalmas alakváltoására jellemő tulajonság. fémes anagok képléken alakváltoása pélául térfogat állanósággal párosul. 2. péla: N =80kNrúerővel terhelt rúcsatlakoást k =4csavarral valósítjuk meg. N N sereléskor ébreő fesültségeket elhanagolva határouk meg a eges csavarok magkerestmetsetének süks. méretét, ha aokra σ meg =100Ma!

8 7 eges csavarokra eső húóerő N cs = N k =20kNles. elhasnálva a képletet kapjuk, hog süks. = 200 mm 2. σ = N cs süks. = σ meg N süks. = 100 Ma 3. péla: Mekkora N erővel húák a k = 114 arab egenként =1mm átmérőjű elemisálbólálló acélsoron kötelet, ha a benne ébreő fesültség σ kötél = 300 Ma? soronkötél kerestmetsetének öss = k 2 π 4 = π =28.5π mm 2 4 a össterülete. Et felhasnálva kapjuk, hog a kötelet N = σ kötél öss = π = N = 27 kn erővel húák. rimatikus ruak egenes hajlítása Tekintve a alábbi tartó igénbevételi ábráit megállapíthatjuk at, hog a C sakas tistán hajlított. C D a h a T - - C D M h a a l C D Kiragava C-ből eg l hossúságú sakast a követkeőket figelhetjük meg: a. a síkban tekintett tengellel párhuamos sakasok (sálak) köös köéppontú körívekké görbülnek. felső sálak megnúlnak, míg a alsók megröviülnek. b. a síkban ugane figelhető mega tengellel párhuamos sakasoknál c. a síkkal párhuamos síkok síkok, míg tengellel párhuamos sakasok egenesek maranak és elforulnak. ρ. a tengelen mért l hossúságú köépvonal váltoatlan nagságú mara. φ l berajolt kocka hálóból íg eg új ortogonális háló les.

9 8 megfigelések alapján a ε = (ρ + )φ l l l = (ρ + )φ l ρφ l = ρφ l ρ = κ és ε = ε = νε = ν ρ fajlagos núlásokat írhatók fel, ahol ρ jelöli a görbült tartó köépvonalának görbületi sugarát, κ peig a görbületét. Megállapítható, hog a alakváltoási tenor mátriában sereplő fajlagos núlások a visgált pont heletétől nem függetlenek. ortogonalitás miatt peig γ = γ = γ =0.Íga pont alakváltoási állapotát leíró tenor mátria formailag a húásnál megfigeltel aonosnak aóik. lkalmava a egserű Hooke-törvént kapjuk a σ = E ρ képletet a iránú normálfesültségre. Et felhasnálva képeük a fesültségi ereőket a négsögkerestmetsetű tartó kerestmetsetén: E = σ e = e = 0, ρ aa a kerestmetset súlpontjába reukált ereő érus értékű les, mivel a kerestmetset simmetrikus tengelre és íg a integrál eltűnik. súlpontba reukált M = M h e = ( e + e ) σ e = ( e + e ) E ρ e E E = e + e 2 ρ ρ { } { } I I nomaték képletében álló I a tengelpárra vett másorenű nomaték a kerestmetset és tengelekre vett simmetriája miatt el fog tűnni. Ebből aóóan a két olal össevetése után a koorinátától lineárisan függő σ fesültségre a σ = M h képlet aóik, ahol I jelöli a tengelre (a hajlítás tengelére) vett másorenű nomatékot. képletbe a M h nomatékot Nmm-ben, a I másorenű nomatékot mm 4 -ben, míg a koorinátát mm-ben sokás helettesíteni, hog a σ fesültség Ma-ban aójon. Megjegés: kerestmetset súlpontján áthalaó simmetriatengel, valamint a rá merőleges súlponti tengel les a kerestmetset ún. tehetetlenségi főtengele. egmásra kölcsönösen merőleges súlponti és tehetetlenségi tengelekre minig iga, hog I =0. előőek alapján pélául a I kerestmetseteken berajolásra került és tengelek a kerestmetsetek tehetetlenségi főtengelei. Ha a kerestmetsetet síkjában terhelő nomatékvektor párhuamos valamel tehetelenségi főtengellel, akkor egenes hajlításról besélünk. hajlítás tengelétől a kerestmetset legtávolabbi pontjának e = ma távolságát (a sélsősál távolságát) beveetve efiniáljuk a K = I [mm 3 ] σ M e h < 0 Mh > 0 tengelre vett kerestmetseti téneőt. Ha a tengel nem simmetriatengel, lás pl. a ábrán is, a e =ma(e 1,e 2 ). Et felhasnálva a σ ma = σ ma = M h σ σ ma σ ma K móon sámítható a maimális fesültség. e 1 e 2

10 9 íkiomok másorenű nomatékai területű síkiom és súlponti tehetetlenségi főtengeleinek ismeretében a I = 2, I = 2, I = és I = r 2 = = I + I másorenű nomatékokat efiniálhatjuk. Egserű alakatok nomatékaira a integrálás elvégése után árt alakú képletek aónak, melekből a másorenű nomatékokat a síkiomok geometriai méreteinek helettesítése után sámíthatjuk ki. a sélességű ésb magasságú téglalap esetén pélául a súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékok a I = b 2 a 2 = b = a = a b 2 = b 2 2 = a b b 2 = ab3 12, I = ba3 12 össefüggések alapján sámíthatók, míg a és tengelekre vett kerestmetseti téneők a K = ab b = ab2 6, K = ba a = ba2 6 a képletekből aónak. Megjegés: sabvános kerestmetsetek geometriai aatait (terület, súlpont, súlponti tehetetlenségi főtengelek, másorenű nomatékok, kerestmetseti téneők, stb.) a különböő sabvánok tartalmaák. Méreteés, ellenőrés kérései esültségcsúcsra méreteünk a σ ma σ meg = σ n képlet alapján, ahol a n>1 a bitonsági téneőt jelöli. 1. péla: ábrán látható móon a konolos kéttámasú tartót eg =8kNerő terheli. elaat a rú méreteése hajlításra, ha a ábrának megfelelően b =3a és a rú anaga acél, melre σ meg = 160 Ma. b C 1 m 2 m b=3a σ M h [knm] 8 knm a σ hajlítónomatéki ábra megrajolása után a kerestmetset bionult a veséles kerestmetsetnek M h ma =8kNm. Itt ébreő és tengelmenti fesültségeloslást mutatja a jobbolali ábra. előőek alapján sámítjuk a K = ab2 6 = a (3a)2 = a3 kerestmetseti téneőt, melet helettesítve a fesültségcsúcsra történő méreteés képletébe nerjük a M h ma σ meg K össefüggést, ahonnan aóik a a 3 s végeremén. 2 3 r M h ma 2 = 3 σ meg =32.18 mm 33 mm

11 10 2. péla: Határouk meg legfeljebb mekkora erővel terhelhető a alább váolt tartó, ha a tartó anagára megengeett fesültség értéke 150 Ma! C m 4 m M h 2 nomatéki ábráról leolvasható a M h ma =2 [Nm] maimális hajlítónomaték. nomatékot megaó össefüggésben megjelenő távolság méterről miliméterre történő átváltása után a maimális hajlítónomatékot a M h ma = 2000 formában kell a σ ma = M h ma = 2000 = K = fesültség képletbe helettesíteni. fesültségcsúcsra történő méreteés képletének felhasnálásával kapott 12 ma = σ meg 32 egenlet átreneése után a ma = = 400 N 12 ereménre jutunk. Határouk meg legfeljebb mekkora erővel terhelhető a tartó, ha a gerenát a ereeti elreneéshe képest 90 o -al elforítjuk a tengel körül. Ekkor σ ma = M h ma K = = 12 16, aa ma = = 200 N. 12 les a eremén. felaatból levonhatjuk at a általános tanulságot, hog a egenes hajlításra igénbe vett gerenákat minig a keskenebb olalukra állítva célserű beépíteni. 3. péla: ábrán látható I acélból késített konolt a befalaástól l 1 =1.4m és l 2 =1.75 m távolságra elhelekeő futómacska kerekek 1 =10.5kN és 2 =13.5kN erővel terhelik. M h l 1 l selvén h[mm] K [cm 3 ] K [cm 3 ] [cm 2 ] I I I I mellékelt tábláatból válassuk ki, hog milen méretű I acélt kell alkalmani, ha a tartó anagára megengeett fesültség értéke 140 Ma!

12 felaat megolásakor fesültségcsúcsra méreteünk, aa elősör a konol veséles kerestmetsetén fellépő M h ma = M h () = 1 l l 2 = = Nmm hajlítónomaték értékét határouk meg, amel birtokában sámítható a K süks. = M h ma = = mm 3 = cm 3 σ meg 140 sükséges kerestmetseti téneő. I selvénekhe tartoó sabvánból kiírt aatokból késített tábláatunkban keressük meg a első, K süks. kerestmetseti téneőnél nagobb K (3. oslop) téneővel bíró sabvános kerestmetsetet. Eek alapján a kiválastott I220kerestmetsetből kell a tartót elkésíteni. Csavarás csavarásra igénbevett körkerestmetsetű primatikus rú l hossúságú sakasából kivett pontho kötött Rϕ koorinátarenserben eg elemi négetalapú hasábot visgálunk. e R e ϕ > 0 e ϕ e > 0 11 l e R > 0 γ > 0 e ϕ e ϕ e visgált l hossúságú rúsakas megfigeléséből a alakváltoás jellegére követketethetünk: kerestmetsetek saját síkjukban forulnak el, íg eeken a körlapokon kijelölt anagi vonalak nem torulnak, aa γ Rϕ = γ R = ε =0. rúátmérője sem váltoik ε R =0. ábra alapján a terhelés előtt tengellel párhuamos sálak tengelű egenletes γ emelkeésű hengeres csavarvonalakká görbülnek. tengelre merőleges egenessakasok a körül forulnak el. Hossuk nem váltoik, aonban a távolságra lévő körlapok egmásho visonított φ = ϑ sögelforulása a lineáris függvéne les, ahol ϑ =áll. a fajlagos elcsavaroási söget jelöli. φ r > 0 γ > 0 Kis alakváltoások esetén a -ből 0 -be történő érintőiránú elmoulásra felírt rφ = γ össefüggésből a φ = ϑ helettesítésével jutunk a γ = rϑ képletre, mivel a ϕ és tengelek köötti γ ϕ = γ sögtorulás nem érus értékű követkeik, hog: = γ ϕ γ ϕ 0 igelembevéve a palást terheletlenségét, valamint a eformáció jellegét arra jutunk, hog csavarás esetén τ ϕ = τ ϕ fesültségek ébrenek.

13 12 pontbeli τ ϕ fesültség a pontbeli γ ϕ fajlagos sögtorulásból a τ ϕ = Gγ ϕ alakú csavaráskor érvénes Hooke-törvén segítségével sámítható ki, ahol G [Ma] a csústató rugalmassági moulus. Megjegés: onos anagra vett E, G és ν anagállanók össetartonak, aa kettő ismeretében a harmaik sámítható. fajlagos sögtorulást és a τ ϕ fesültséget a nomatékból sámíthatjuk. Képeük a ún. fesültségi ereőket a tartó kerestmetsetén: ereő sámítása a kerestmetset súlpontjába a = Gϑr {} e ϕ = Gϑ e r e R = 0 } { τ ϕ e e R ereménre veet, mivel a integrál a körkerestmetset simmetriája miatt eltűnik. súlpontba sámított e = r e R e ϕ Gϑr = Gϑ e { } r 2 e { } I nomaték képletéből a I p poláris másorenű nomaték beveetése után jutunk a fajlagos elcsavaroási sögek és a r=0ϕ=0 ϑ = I G r=0 és Φ = ϑ = I G e R τ ϕ = τ ϕ = Gγ ϕ = Gϑr = r {} I γ e ϕ r τ ϕ fesültség sámítására solgáló össefüggésekre. Íg a T ϕ fesültségtenor mátria > 0 T = 0 0 τ ϕ 0 τ ϕ 0 alakú les. Eg átmérőjű körkerestmetset poláris és súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékait a 2 2π 2 r4 I = r 2 rϕr =2π r 3 2 r =2π = 4 π , I = I = I p 2 = 4 π 64, képletekből, a vonatkoó kerestmetseti téneőket peig a = 3 π 16, K = K = 2I = 3 π 32 K = I e = 2I képletekből határohatjuk meg. D külső és belső átmérőjű körgűrűkerestmetset poláris és súlponti és tengelekre vett másorenű nomatékait a D 4 4 π I =, I = I = I p D = 4 π D 64 össefüggésekből, a vonatkoó kerestmetseti téneőket peig a K = I e = 2I D 4 D = 4 π, K = K = 2I D 4 16D D = 4 π 32D képletekből sámítjuk. Csavarás esetén körkerestmetsetnél a kerület, míg körgűrűkerestmetsetnél a külső D átmérőhö tartoó kerület pontjai lesnek a veséles pontok. Eekben, aa a paláston τ ma maimális csavarófesültség

14 ébre, amelet a beveetett K p kerestmetseti téneő birtokábana τ ma = K > 0 móon sámítunk. képletbe a nomatékot Nmm-ben, a K p poláris kerestmetseti téneőt mm 3 -ben kell behelettesíteni, hog τ ereménül a τ ma fesültséget Ma-ban kapjuk. poitív csavaró igénbevételnek kitett körkerestmetset súlponti és tengele mentén ébreő fesültségeloslásokat semléltetjük: τ a tengelmentén a τ, a tengelementén peig a τ fesültséget. fesültségeloslás is semléletesen mutatja, hog a csavarás tengelétől távolova lineárisan nő afesültség. ábrán látható móon a kerestmetsetre berajolt csavarónomaték forgatási értelme mutatja, hog a sugártól lineárian függő fesültségeloslások merre mutatnak. Méreteés, ellenőrés kérései esültségcsúcsra méreteünk a τ ma τ meg = τ n képlet alapján, ahol a n>1 a bitonsági téneőt jelöli. 1. péla átmérőjű tengelhe mereven kapcsolóó D átmérőjű tárcsa kerületén állanó és erőkből álló erőpár műköik. atok: =5kN;D =0.4m. 13 D L [knm] 2 2 Méreteük fesültségcsúcsra a tengelt, ha anagának τ meg =60Maa csavarásra megengeett csústatófesültsége! és kerestmetset köti tengelsakast a erőpárból sámított állanó = D =5 0.4 =2kNm csavarónomaték terheli. megrajolt igénbevételi ábra alapján a sakas kerstmetsetei egformán vesélesek. körkerestmetset kerületi pontjai a veséles pontok csavarás esetén. Íg a τ ma τ meg fesültségcsúcsra történő méreteés alapképletébe a körkerestmetset K poláris kerestmetseti téneőjét helettesítve aóó 16 3 τ meg π össefüggés alapján válastjuk a s r 16 M 3 c τ meg π = 6 3 =55.37 mm 60π tengelátmérőt.

15 14 2. péla ábrán váolt L =0.8 mhossúságú és átmérőjű körkerestmetstű ruat, a ábrán látható móon, a =31.8 Nmnomaték csavarásra terheli. nírási rugalmassági moulus G = Ma. ' ' φ τ τ L Méreteük a ruat, ha a két sélső ( és ) kerestmetsetek egmásho visonított sögelforulásának megengeett értéke Φ meg = ra ( kerestmetseteken a -ből -ba történő forgást tekintjük poitívnak.), maj eután ellenőriünk fesültségcsúcsra τ meg =30Mamellett! terheléselőtti rú végein felvett függőleges tengelek köül a kerestmetsethe kötött, gonolatban függőlegesen maraó tengelhe képest a csavarónomaték forgatási értelme serint Φ söggel forul el a tőle L távolságra lévő kerestmetsetbeli 0 tengel. relatív sögelforulásnak a megengeett érték alatt kell marani, aa a Φ Φ meg össefüggés írható fel, amelbe a Φ-re érvénes formulát helettesíve a 32 L 4 πg Φ meg össefüggésre jutunk. Et átreneve kapjuk a s r 32 M 4 c L Φ meg πg = π = 30 mm eremént. Válssuk a =30mmátmérőt és ellenőriük le a ruat a τ ma τ meg képlet alapján, amel serint 16 3 π = π = 6 Ma <τ meg =30Ma, aa a rú megfelel. 3. péla ábrán váolt körgűrűkerestmetsetű, jobb végén befalaott ruat a M 1 =0.3 knm és a M 2 =0.5 knm nomatékok csavarásra terhelik (a, ill. kerestmetsetekben). l 1 =600mm, l 2 = 400 mm. D M 1 M 2 C l 1 l 2 [knm] Méreteük a ruat, ha ismeretes a D/ =3/2 átmérővison és τ meg =70Maa megengeett fesültség a

16 tengel anagára, valamint határouk meg a rú kerestmetsetének a kerestmetsethe visonított Φ sögelforulását, ha G = Ma a nírási rugalmassági moulus! igénbevételi ábra megrajolása után megállapítható, hog a sakas kerestmetsetei a vesélesek és eeket ma =0.3kNm terheli. fesültségcsúcsra történő méreteés csavarás esetén érvénes ma τ meg K formulájába a D 4 4 π K = 16D = ([ 3 2 ]4 4 )π = poláris kerestmetseti téneőt helettesítve kapjuk a s 384M 3 c ma 65τ meg π = π össefüggést. r π 24 = π = 20 mm Válassuk a =20mmbelső átmérőt, amelhe a D =30mmkülső átmérő tartoik. Íg D 4 4 π π I = = = mm les a poláris másorenű nomaték. Et felhasnálva a rú kerestmetsetének a kerestmetsethe visonított sögelforulása a Φ = l I G = =0.035 ra képletből aóik. rimatikus ruak össetett igénbevételei Ebben a résben tárgaljuk a több igénbevétel egüttes hatásának (össetett igénbevételnek) kitett rú méreteésének és ellenőrésének kéréseit. ere hajlítás ere hajlításról akkor besélünk, ha a kerestmetsetet síkjában terhelő M nomatékvektor egik súlponti tehetetlenségi főtengellel sem párhuamos. fere hajlítás igaolhatóan két egenes hajlítás superpoíciójaként is megaható a σ (, ) = M h I + M h I össefüggés alapján, amel serint a kerestmetset és súlponti tehetelenségi tengeleire vett M h, M h hajlítónomatékok, valamint I, I másorenű nomatékok segítségével a tetsőleges (, ) koorinátájú pontban sámítható a σ normál fesültség. kerestmetseten keressük aon kitüntetett pontok helét, ahol a ébreő fesültség érus értékű les. eképpen felírt 1 σ = 0 M h >0 M h + M h = 0 I I M h >0 σ egenletből a átreneés után a = M h I M h I össefüggésre, a ún. érusvonal egenletére jutunk. ábrán piros sagatott vonallal jelölt érusvonal áthala a súlponton és a kerestmetsetet két résre bontja. egik résen a poitív, a másikon a negatív normálfesültségek ébrenek. érusvonal beveetésével a kerestmetset veséles pontjait können megállapíthatjuk, mivel aok értelemserűen a érusvonaltól legtávolabbi pontok lesnek ( ábrán eeket 1 és 2 jelöli). Eekben a 2 σ 15

17 16 pontokban ébreő maimális fesültség a σ ma = σ ( 1 )= σ ( 2 ). fesültségcsúcsra történő méreteés és ellenőrés során a fere hajlítás esetén ébreő maimális σ ma fesültség eg a anagra jellemő fesültségből a bitonság figelembevételével megállapított σ meg megengeett fesültségen nem léphet túl, aa σ ma σ meg. Megjegés: igénbevételek előjelsabálából követkeően η M h > 0 s M h > 0 M h > 0 a M h nomaték poitív előjelű, ha vektorának irána tengeliránnal ellentétes! 1. péla ábrán váolt téglalapkerestmetsetű primatikus rú veséles K kerestmetsetének igénbevétele a súlpontba reukált = 0, M = (240 e +90 e )Nmereő vektorkettőssel aott M h <0 M h >0 σ Határouk meg a érusvonal egenletét, maj jelöljük be a kerestmetset ábráján a érusvonalat, továbbá ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra, ha σ meg =80Ma! M nomatékvektorból a előjelsabál figelembevételével állapítjuk meg a M h = Nmm és M h = Nmm súlponti tehetetlenségi tengelekre vett nomatékokat és a kerestmetset aataiból meghatárouk a vonatkoó I = = mm és I = = mm másorenű nomatékokat. σ Eek behelettesítésével a érusvonal egenlete a = M h I = M h I = 2 3 les. ábrán saggatott piros vonallal bejelölt érusvonaltól legtávolabbi 1 ( 15, 20) mm és 2 (15, 20) mm jelű pontok lesnek a kerestmetset veséles pontjai. veséles pontokban ébreő σ ma = σ ( 1 )= M h 1 + M h = (20) + ( 15) = 45 Ma I I fesültség kisebb, mint a σ meg =80Ma, tehát a rú megfelel. Húás (nomás) és egenes hajlítás rú kerestmetsete egiejűleg húásra (nomásra) és eg a kerestmetset súlponti tengelével párhuamos egenes hajlításra van igénbevéve, akkor a kerestmetset aott pontjában a superpoició elve alapján a két hatás σ 0 ( )= N és σ 00 ( )= M h fesültsége össegőik, aa σ ( )=σ 0 ( )+σ 00 ( ). fesültségcsúcsra történő méreteés és ellenőrés során a ébreő maimális σ ma fesültség eg a anagra jellemő fesültségből a bitonság figelembevételével megállapított σ meg megengeett fesültségen nem léphet túl, aa σ ma σ meg. I

18 kerestmetset veséles pontjának és íg σ ma megkeresése a tengelmenti fesültség eloslások megrajolásával történik. 1. péla Eg T acélból késült tartó veséles K kerestmetsetének igénbevétele a súlpontba reukált =( 9 e )knés M = (700 e )Nmereő vektorkettőssel aott. Méreteük a tartót fesültségcsúcsra, ha anagának σ = 120 Ma afolásihatáraésn =2a előírt bitonsági téneő! ábra mellett néhán, a sabvános T kerestmetsethe tartoó aatot foglaltunk össe: selvén h[mm] e [mm] I [cm 4 ] K [cm 3 ] [cm 2 ] 17 h e M h >0 T T T T T felaat megolása a tengelmenti fesültségeloslás jellegheles megrajolásával keőik. Ebből megállapítható a veséles pont a kerestmetseten: h e M h >0 σ σ σ fesültségi állapotok superpoíciója a tengelmenti fesültségeloslás össegésével semléletesen követhető. Íg a bejelölt pontban ébreő σ ma = N + M h K fesültséget kell a korábban elmonottak serint össevetni a σ meg = σ /n =60Mafesültséggel. σ ma képletében ismeretlenként a és K jelenik meg, eért a egserűség miatt élünk a követkeő iterációs lehetőséggel: Elősör hajlításra méreteünk, maj a kapott ereménnél nagobb, hoá legköelebb eső sabvános kerestmetset aataival ellenőrünk nomásra és hajlításra. Ha nem felel meg a kerestmetset, akkor értelemserűen a követkeő, nagobb méretűt vessük és arra ellenőrünk. Et aig ismételjük, amíg a tartó meg nem felel. M h K K M h = σ meg 60 σ meg = mm 3 =11. 6cm 3 alapján a tábláatból a K alapján a T80selvént válastjuk ki. ellenőrést a T80selvén aataival elvégeve, a σ ma = N + M h K = = =61.32 Ma >σ meg

19 18 ereménre jutunk, íg válastjuk a rákövetkeő T90 acélt, melre a σ ma = N + M h K = = = Ma <σ meg les, aa a T90selvén megfelel. Megjegés: előbb bemutatott méreteési móser pár lépés után minig ereménre veet. 2. péla ábrán váolt L = 0.6 mhossúságú és = 80 mm átmérőjű körkerestmetsetű ruat a =47.1 kn nagságú erők húásra terhelik, amelek hatásvonala (0; a =20mm; L) és (0; a =20mm; 0) pontokat össekötő tengellel párhuamos egenes. a L Ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra, ha σ meg =30Ma! rúsakas igénbevétele ún. ecentrikus húás les, mivel a húóerők hatásvonala nem a kerestmetsetek súlpontjain hala kerestül. erő pontba reukálásával eg M h = a = = Nmm nomaték aóik, aa a felaat húásból és egenes hajlításból álló össetett igénbevételre veet. fesültségeloslás jellegheles megrajolása után megállapítható, hog a kerestmetset veséles pontja a pont. Itt ébre a σ ma = N + M h K = 4N 2 π + 32M h 3 π = π fesültség, amel kisebb mint a σ meg =30Maíg a rú megfelel. Húás (nomás) és csavarás π = Ma kör-, vag körgűrűkerestmetsetű ruat egiejűleg húás (ömök rú esetén esetleg nomás) és csavarás vesi igénbe. ábrán látható móon a primatikus rúnak a tengel a köépvonala és a M és vektorok kerestmetsetből kifelé mutatva a igénbevételi előjelsabálok alapján poitív előjelű csavarást és húást okonak. K l rúeg pont fesültségi állapota a két megaott egserű igénbevétel által okoott fesültségi állapotokból a T =T 0 +T00 móon superponálóik, aa T = τ ϕ = 0 0 τ ϕ. 0 0 σ 0 τ ϕ 0 0 τ ϕ σ M

20 fesültségcsúcsra történő ellenőrés, méreteés során elősör vesélesség (károsoás) alapján hasonlítjuk össe a rú pontjaiban előálló fesültségi állapotokat, maj a legvesélesebb pontra végeük el a ellenőrést, méreteést. Húás (nomás) és csavarás esetén a tenorban (fesültségi állapotban) σ és τ fesültségek is serepelnek. Íg a visgált fesültségi állapotok követlenül nem hasonlíthatóak össe egmással, eért a őket helettesítő egserű, e vesélességi sempontból velük egenértékű fesültségi állapotokat keresünk. legegserűbb fesültségi állapot a egetlen σ 1 főfesültséggel (σ 2 = σ 3 =0)jellemehető egtengelű fesültségi állapot. eig tárgalt esetek ie tartotak. T tenor által leírt fesültségi állapotho keressük meg a vesélesség sempontjából vele egenértékű egtengelű fesültségállapotot, amelet a illető (általános) fesültségi állapotho tartoó σ re jelű reukált (egenértékű) fesültségnek neveük. megaott T tenorho a σ 1 = σ r ³σ τ 2 2 ϕ, σ 2 =0, σ 3 = σ r ³σ τ 2 2 ϕ főfesültségek tartonak. Eek segítségével képeük a Mohr elmélet serint r ³σ σ Mohr 2 q re = σ 1 σ 3 =2 + τ 2 2 ϕ = σ 2 +4τ 2 ϕ a Huber-Mises-Hencke (von Mises) elmélet serint peig a r 1 q σ HMH re = 2 [(σ 1 σ 2 ) 2 +(σ 2 σ 3 ) 2 +(σ 1 σ 3 ) 2 ]= σ 2 +3τ 2 ϕ reukált fesültségeket, amelek birtokában a σ re ma = p σ 2 ma + βτ 2 ma σ meg képlet serint a sokott móon méreteünk, ahol β =4Mohr serint és β =3HMH serint. 1. péla ábrán váolt, balolali végén befogott, = 40 mm átmérőjű, l = 600 mm hossú, tömör tengelt a M =( e )Nm nomaték és a =( e )kn erő terheli. K l Ellenőriük a ruat fesültségcsúcsra a Huber-Mises-Henck-féle elmélet alapján, ha σ meg =10Ma! tengel teljes hossa mentén a csavarónomaték és a nomóerő nagsága állanó, eért a tengel minen eges kerestmetsete egformán veséles. Kiválastva eek köül a egiket a kerestmetset tengelei mentén ábráoljuk a fesültségeloslásokat. Jól látható móon a veséles pontok a ábrán pirossal megjelölt kerületi pontok lesnek. kerület eges pontjaiban egiejűleg peig a σ ma = N = π = 6Ma és τ ma = = = K Ma π fesültségek ébrenek. eekből sámított Huber-Mises- Henck-féle elmélet serint vett σ HMH re ma = p σ 2 ma +3τ 2 ma = p =9.165 Ma maimális reukált fesültség kisebbnek aóik, mint a megengeett σ meg =10Mafesültség. Íg a tengel megfelel. M 19

21 20 Hajlítás és csavarás hajlításból és csavarásból álló össetett igénbevétel esetében is csak a kör-, illetve körgűrűkerestmetsetű primatikus rú méreteésének és ellenőrésének kéréseit visgáljuk. előőek alapján a reukált fesültség sámítását kell elvégeni a fesültségi állapotok össevetéséhe, mivel a pontbeli fesültségi állapotot jellemő, Rϕ hengerkoorináta-renserben felírt T tenorban σ és τ ϕ fesültségek vannak. igénbevételi ábrák alapján megállapított veséles C kerestmetseten tistán hajlításból a hajlítás tengelétől vett legtávolabbi pontok (piros sínnel jelölt 1 és 2 pontok), míg csa- 1 varásból a kerületi pontok (öl sínnel jelöltek) aónak vesélesnek. Ebből követkeik, hog össetett igénbevétel esetén a 1 és 2 pontok jelölik a kerestmetset veséles pontjait. 1 (és íg a 2 )jelű veséles pontban a σ ma = σ ( 1 )= M h(c) és τ ma = τ ϕ ( 1 ) = (C) 2 K K fesültségek ébrenek. reukált fesültség sámítására peig a σ re ma = p σ 2 ma + βτ 2 ma σ meg képlet érvénes, ahol β =4Mohr és β =3HMH serint. ehelettesítve ebbe a össefüggésbe a σ ma és τ ma képletét, valamint kihasnálva at, hog kör-, illetve körgűrűkerestmetsetek esetén K =2K és a K kerestmetseti téneőt a neveőben kiemelve kapjuk, hog r 2 2 s Mh (C) Mc (C) σ re ma = + β = 1K M K 2K h 2 (C)+β 4 2 (C). { } M re ma eveetve a M re jelű reukált nomatékot a fesültségcsúcsra történő méreteést, ellenőrést a M re ma σ meg K képlet alapján végeük el. tengel méreteése tehát a reukált nomaték ismeretében úg történik, mintha a tengelt a M re nomaték hajlításra terhelné. tengel veséles kerestmetsete peig a vonatkoó nomatéki ábrák megrajolása után a tengel kerestmetseteinél sámított reukált nomatékok össevetésével kerül kiválastásra. veséles kerestmetsetben ébreő legnagobb reukált nomatékot M re ma jelöli. σ meg megengeett fesültség ismeretében peig ebből kisámítjuk a sükséges K süks. = M re ma σ meg kerestmetseti téneőt, amel birtokában a tengel átmérőjét kiválastjuk. Megjegés: gakorlatbanelőforul, hog eg általánosan terhelt tengel esetén célserű külön-külön megrajolni a M h és M h nomatéki ábrákat. két nomaték M h e és M h e vektora egmásra merőleges, eért a Mh 2 = M h 2 + M h 2 les a ereőjük négete. Et helettesítve a M re össefüggésbe a hajlítónomaték helett a r M re = Mh 2 + M h 2 + β 4 2 képletre jutunk. 1. péla Ismeretesek a D külső és belső átmérővel renelkeő körgűrű kerestmetsetű, primatikus tengel hajlító és csavarónomatéki ábrái. Méreteük a tengelt fesültségcsúcsra Mohr-féle elmélet serint a D/ =2átmérővison és a tengel anagára vonatkoó σ meg = 200 Ma ismeretében!

22 D C D M h M h -5 [knm] [knm] [knm] jánlott iroalom E 7 megaott nomatéki ábrák alapján keressük a tengel veséles kerestmetsetét. E célból a vesélesnek tűnő kerestmetsetekben a Mohr elmélet serint sámított reukált nomatékok kisámítását és egmással történő össehasonlítását végeük el: + kerestmetsetben Mre Mohr ( + )= p =8.6kNm a D kerestmetsetben peig Mre Mohr (D) = p =11kNm a reukált nomaték nagsága, aa a D kerestmetset a veséles. Íg Mre Mohr ma = M re Mohr (D). K képletét a D =2 átmérővison helettesítésével a D 4 4 π π K = = = 153 π 32D alakra houk. Et behelettesítve jutunk a méreteés 64M Mohr re ma 15 3 σ meg π képletére, ebből peig a s r 64M Mohr 3 re ma σ meg π = 6 3 = mm π eremén aóik a belső átmérőre. 21 [1.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. ilárságtan I., TankönvKiaó, uapest, [2.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. Mechanikai élatár I., TankönvKiaó, uapest, [3.] Mechanikai Tansék Munkaköössége. Mechanikai élatár II., TankönvKiaó, uapest, [4.] H. G. teger, J. ieghart, E. Glauninger. Műsaki mechanika 1. tatika, súrlóás, silárságtan, Műsaki Könvkiaó, uapest, [5.]. öge, W. chlemmer. Mechanikai és silárságtani felaatgűjtemén, Műsaki Könvkiaó, uapest, 1993.