5. modul Térfogat és felszínszámítás 2

Átírás

1 Matematika A 1. évfolyam 5. modul Térfogat és felszínszámítás Készítette: Vidra Gábor

2 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Forgáshenger, forgáskúp felszíne és térfogata. Csonkakúp felszínének és térfogata, képletbe helyettesítéssel azok kiszámolása. A gömb felszínének és térfogatának alkalmazása feladatokban. Beírásos feladatok. 8 óra 1. évfolyam Poliéderek térfogata, felszíne. Sokszögek területe, kerülete, síkidomok és testek hasonlósága. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése.

3 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás, számlálás: A zsebszámológép biztos használata. A műveleti sorrend biztos alkalmazása, különösen a térgeometria összetettebb képleteinél való behelyettesítéskor. Mennyiségi következtetés: Testek ismert adataiból logikus szabály szerint a többi elem kiszámítása. Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni. A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Valóságból vett mért értékű feladatok matematikai átfogalmazása, azok megoldása, és az eredmények visszakonvergálása a valós problémába. A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén. Szöveges feladatok, metakogníció: Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése. Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata. A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Az eddig tanult síkidomok kerületének és területének rendszerező áttekintése. Ugyanazon síkidom területének többféle képlete közötti kapcsolat felfedeztetése. A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége. Az adatok rendszerezése, egy feladaton belül a szükséges egységrendszer kiválasztása, és arra való átszámítás. Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése. Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben.

4 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 4 AJÁNLÁS A modul óráin javasoljuk a modulhoz készült bemutató használatát: megtaláljuk benne a modul mintapéldáit és elméleti anyagát. Természetesen ekkor a tanulók ne használják a Tanulók könyvét, hanem csoportosan próbálják a mintapéldát megoldani. Érdemes felhívni a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva. Igyekeznünk kell, hogy megtaláljuki a csoportmunka és az egyéni feladatmegoldás helyes arányát, ezért a modulvázlatban több helyen szerepel a tetszőleges módszerrel megjegyzés. Nem kell minden feladatot megoldani a modulból. A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra (lásd vegyes feladatok) és arra is, hogy a modul anyagát a heti óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni. Az utolsó fejezet (V.) sok olyan feladatot tartalmaz, amely az ismeretek alkalmazására készít fel. Azt javasoljuk, hogy próbáljunk a rendelkezésünkre álló idővel úgy gazdálkodni, hogy ezekből minél több feladat megoldására lehetőségünk legyen. Meggondolandó a meg nem oldott feladatokat jutalom reményében feladni a tanulóknak. ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát. Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel. Emelt szint Térgeometriai feladatok megoldása.

5 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 5 TÁMOGATÓ RENDSZER Bemutató (kivetíthető power point), amely tartalmazza az elméleti anyagot és a mintapéldákat; 5.1 kártyakészlet csoportalakításhoz (a 17. feladat ennek részfeladata, ha nem használjuk a kártyakészletet); 5. triminó (összefoglaló jellegű, a vegyes feladatok előtt javasoljuk). A TANANYAG JAVASOLT ÓRABEOSZTÁSA 1. óra: A henger térfogata, felszíne. óra: Feladatok megoldása. óra: A kúp térfogata, felszíne 4. óra: Feladatok megoldása 5. óra: A csonkakúp térfogata, felszíne 6. óra: Feladatok megoldása 7. óra: A gömb térfogata, felszíne 8. óra: Beírt testek

6 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I. A henger térfogata, felszíne 1. Hengerrel kapcsolatos ismeretek összefoglalása (frontális, tanári Metakogníció, figyelem, rendszerezés Bemutató magyarázat). Csoportalakítás (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció. Mintapéldák feldolgozása Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés 1. és. mintapélda (bemutató) 4. Hengerrel kapcsolatos feladatok (csoportmunkában és egyénileg) Kooperáció, kommunikáció, 1. és. csoportmunkában, metakogníció, mennyiségi következtetés, 5. feladatok házi feladatként ajánlottak számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata feladatokból válogatunk (tetszőleges módszer) II. A kúp térfogata, felszíne 1. Kúppal kapcsolatos ismeretek összefoglalása (frontális, tanári magyarázat) Metakogníció, figyelem, rendszerezés Bemutató. Csoportalakítás (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció 5.1 kártyakészlet. Bevezető feladatok (csoportmunkában; 18: igaz-hamis diákkvartett) Mennyiségi következtetés, számolás, 17. és 18. feladat becslés, ábrázolás, számológép használata 4. Mintapélda feldolgozása (csoportban) Kooperáció, kommunikáció, mennyiségi következtetés, becslés. mintapélda

7 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 7 5. Kúppal kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, mennyiségi következtetés, számolás, becslés, ábrázolás, számológép használata feladatokból válogatunk III. A csonkakúp térfogata, felszíne 1. Csonkakúppal kapcsolatos ismeretek (frontális, tanári magyarázat) Metakogníció, figyelem, rendszerezés Bemutató. Csonkakúppal kapcsolatos alapfeladatok (csoportmunka) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, 6 8. feladatok ábrázolás, matematikai szöveg érté- se, képletek alkalmazása. Vulkánmodell megtervezése (csoportmunka; elkészítés: házi feladat) Kommunikáció, kooperáció, 4. mintapélda (bemutató) metakogníció, mennyiségi következtetés 4. Csonkakúppal kapcsolatos feladatok (tetszőleges módszerrel) Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása 9 0. feladat IV. A gömb térfogata, felszíne 1. Gömbbel kapcsolatos ismeretek (frontális, tanári magyarázat) Metakogníció, figyelem, rendszerezés Bemutató. Feladatmegoldás (41 4. csoportmunkában, a többi tetszőleges módszerrel) Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai 1 5. feladatokból válogatunk. Testekkel kapcsolatos feladatok megoldása (összefoglaló jellegű, az eddigi ismeretek alkalmazása) szöveg értése, képletek alkalma- zása 5. triminó

8 Matematika A 1. évfolyam 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS Tanári útmutató 8 V. Testekkel kapcsolatos számítások 1. Mintapéldák megoldása (csoportmunkában) Metakogníció, kommunikáció, kooperáció, 5. és 6. mintapélda számolás, becslés, ábrázolás, mate-. Összetett testekkel, csomagolással kapcsolatos feladatok megoldása Javasolt: feladat (csoportmunkában). Beleírt testekkel kapcsolatos feladatok megoldása (csoportmunkábanmatikai szöveg értése, képletek alkalmazása Javasolt: feladat 4. Feladatok megoldása Számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása feladatok közül válogatunk

9 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 I. A henger A henger származtatása, jellemzői Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy egyenes, amely az alapsíkkal nem párhuzamos. Ha a görbe minden pontján keresztül párhuzamost húzunk az adott egyenessel (alkotók), hengerfelületet kapunk. Ezt elmetszük egy, az alapsíkkal párhuzamos síkkal (fedőlap). Az így keletkező, az alaplap és a fedőlap közé eső térrészt nevezzük hengernek. Ha a görbe kör, a test neve körhenger. Egyenes körhengernél az alkotók merőlegesek az alapsíkra. A test görbe határoló felületét palástnak nevezzük. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a testmagasságot. A hasáb térfogatához hasonló a henger térfogata: az alapterület és a testmagasság szorzatával határozhatjuk meg. Körhenger esetén: V = r π M, ahol r az alapkör sugara, M a testmagasság. Az egyenes körhenger (a továbbiakban ezt nevezzük hengernek, ha a feladat szövege nem utal a henger egyéb tulajdonságaira) felszínének kiszámításakor figyelembe vesszük, hogy a henger palástja síkba kitarítve téglalap. A henger felszíne: A = r π + rπm = rπ ( r + M ). Módszertani megjegyzés: A mintapéldákat és a feladatokat csoportban célszerű feldolgozni. Használjuk a modulhoz készült bemutatót: a mintapéldákat vetítsük ki, hagyjunk a csoportoknak néhány percet a megoldásra, majd együtt ellenőrizzük az eredményt. A mintapéldákban alapfeladatokat találunk. A Tanulók könyvét ekkor a gyerekek ne használják!

10 10 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Mintapélda 1 Az üvegben a címke szerint 750 ml méz található. Milyen magasan áll a méz a henger alakú üvegben, ha az alaplap belső átmérője 9 cm? 750 ml = 750 cm. A térfogat képlete V = r π M, behelyettesítve 750 = 4,5 π M M 11,8 cm. A méznek az üvegben kb. 1 cm magasan kell állnia. Mintapélda Egy henger magassága kétszerese az alaplap átmérőjének. Mekkora a térfogata, ha a felszíne 985, cm? M = d = 4r ; behelyettesítve a felszín képletébe: A = rπ ( r + 4r) = rπ 5r = 10r π = 985, (cm ). 985, r = 5,6 (cm). A térfogat értéke a V = r π M = 4r π összefüggésből: 10 π V 06,9 cm. Feladatok 1. Számítsd ki annak a hengernek a térfogatát és felszínét, amelyet egy 16 cm 10 cm-es téglalap megforgatásával kapunk, ha a téglalapot a a) rövidebb oldalának felezőmerőlegese; b) hosszabb oldalának felezőmerőlegese; c) rövidebb oldala; d) hosszabb oldala körül forgatjuk meg. Töltsd ki a táblázatot! r M V A a) 5 cm 16 cm 156,6 cm 659,7 cm b) 8 cm 10 cm 010,6 cm 904,8 cm c) 16 cm 10 cm 804,5 cm 61,8 cm d) 10 cm 16 cm 506,5 cm 16,6 cm

11 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 11. Az a és b oldalú téglalapot megforgatjuk az a oldala körül, a keletkező test térfogata V, felszíne A. Keresd meg az összetartozó betű szám párosokat! A) a = 15 ; b = 5; B) a = 18 ; b = 1 ; C) a = 4 ; b = ; D) b = 7 ; a = ; 1) V A 18 = ; ) 5 A 0 = V 1 ; ) V A 15 = ; 4) 8 V 6 =. A 7 A ; B 1; C 4; D. Ügyesebb tanulók számolás helyett észrevehetik, hogy V A ab π = bπ = ab ( a + b) ( a + b).. Mekkora az ábrán látható henger térfogata? a = 15 cm. a Az alapkör kerülete: K = rπ = a r = 4, 77 az alapkör π sugara, a testmagasság M = 15 cm. Így a térfogat nagysága V = r π M 107, cm. 4. Egy 6 hengeres motorról a henger leírásában a következőt találjuk: furat / lökethossz = 89,00/74,8 mm. Hány cm -es a motor? A furat átmérője a henger alapkörének átmérője, a lökethossz pedig a henger 89 magassága. d = 89 r = = 44,5( mm). A hengerek együttes térfogata V = 6 r π M 79 cm. 5. Kati mamája egy fektetett félhenger alakú fóliasátrat szeretne, amelyikben ki is tud egyenesedni. Ezért szeretnék, hogy a méter hosszú sátor teteje méter magas legyen. a) Hány m fóliával lehet a sátrat bevonni? b) Hány m a sátor térfogata?

12 1 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ r π a) r = m T = = π 6,8 (m ), A = T + P = 4π + r π M = 50π 157 m. r π b) V = T M = 144,51 m. 6. Egy henger kiterített palástja négyzet, a felszíne 84,5 cm. Mekkora a térfogata? A testmagasság egyenlő az alapkör kerületével: M = rπ, ezért a felszín: A = rπ ( r + M ) = rπ ( r + rπ ) = r π (1 + π ) r = A π (1 + π ) 8,6 (cm), M 54 cm. A henger térfogata V 1547 cm. 7. Egy betoncső külső átmérője 50 cm, a belső átmérő 40 cm. Mekkora a 6 méteres betoncső tömege, ha a beton sűrűsége 00 kg/m? (A sűrűséget a ρ = V m összefüggés adja, ahol m a tömeg, V a térfogat, és a csőben levő levegő tömege elhanyagolható.) A cső falának térfogatát a két henger térfogatának különbsége adja: ( r r ) πm = ( 0,5 0, ) 6 0,44( m ). 1 πm r πm = 1 V = r π A tömeg m = ρ V 9 kg. 8. Egy henger alakú vödör átmérője 6 cm, és felmosáskor 0 cm magasan áll benne a víz. A felmosószer kupakján ez áll: 5 liter vízhez 1 kupakkal öntsön. Hány kupakkal kell öntenünk felmosáskor a vödörbe? r = 1 cm; M = 0 cm; V = 1 π ,6 cm 10, 6 liter, vagyis jól megtöltött kupakkal kell beleönteni. 9. Egy henger alaplapjának átmérője harmada a testmagasságnak. Mekkora a) a térfogata, ha a felszíne 95,8 cm ; b) a felszíne, ha a térfogata 17,1 dm.

13 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 M = d = 6r, így V = 6r π és A = 14r π. a) 14r π = 95,8 r cm V 508,9 cm ; b) 6r π = 17,1 r,6 dm A 4, 6 dm. 10. Egy körhenger alakú hordó átmérőjének és magasságának aránya 5 : 6. Úgy szeretnénk az oldalukra fordítva és kiékelve elhelyezni egymás mellett a hordókat, hogy közöttük 8-10 cm hely maradjon. Hány ilyen 15 hektoliteres hordót tudunk elhelyezni egy 7,5 méter hosszú pincerészben? 150 dm V = = cm. V = r π M = (,5x) π 6x = 7,5 x π = , 750 ahonnan x 10,8(cm), d 54 cm cm-rel megnövelve 6 64 cm. 1,1, ,7, vagyis elég közel egymáshoz 1 hordót tudunk elhelyezni Egy ferde henger alkotói 55 -os szöget zárnak be a 8 cm átmérőjű alaplappal, az alkotók hossza 10 cm. a) Válaszd ki, hogy milyen alakú a ferde henger palástja! b) Mekkora a henger térfogata? a) D. b) M = 10 sin 55 8, cm, a térfogat V = 4 π 8, 41, cm. 1. Egy henger palástja síkba kiterítve 1 cm 18 cm-es téglalap. Mennyi a henger felszíne és térfogata? Ne csak egy megoldásra gondolj!

14 14 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Ha a magasság 1 cm, akkor az alapkör kerülete 18 cm, és ekkor a sugár 18 r =,9 cm. Ekkor V =,9 π 1 17 cm és A =,9π(,9 + 1) 71, 4 cm. π Ha a magasság 18 cm, akkor r 1,9(cm); V 04,1 cm ; A 7,6 cm. 1. Egy henger palástja olyan négyzet, amelynek átlója 1π. Mekkora a térfogata és a felszíne? 1π M a négyzet oldala: M = 1π M = = 6 π 6, 6 (e). Az alaplap kerülete is a négyzet oldala, ezért r π = 6 π r = 4, (e). Az alkotó: a = M + r 6,9 (e). V 1474,1(e ), A 40,4(e ). 14. Egyenlő oldalú henger (az alapkör átmérője egyenlő a magassággal) a) térfogata 155,1 m. Mennyi a felszíne? b) felszíne 851,7 dm. Mennyi a térfogata? a) r = 7 m, M = 14 m, A = 9, 6 m ; b) r =1, dm, M = 4, 6 dm, V = 1169, dm. 15. Egy 15 cm átmérőjű, 4 cm magasságú körhenger alakú üvegben a vízszint az átmérő kétharmadánál van, ha az üveget elfektetjük. Hány liter víz van az üvegben? A víz alakja egy olyan henger, amelynek alapterülete egy körszelet és magassága 4 cm. A víz térfogata a henger alapterületének és magasságának szorzataként számítható. A körcikk α,5 középponti szöge cos = α 141 miatt , 7,5 az alapterület 19 1 r π + r sin141 15, cm. 60 Innen V = T M 558 cm 5, liter.

15 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 15 II. A kúp Adott az alapsíkon egy görbe vonallal határolt síkidom (alaplap) és egy pont az alapsíkon kívül (csúcspont). Ha a görbe minden pontját egyenesek segítségével összekötjük az adott ponttal, kúpfelületet kapunk. A keletkező korlátos testet kúpnak nevezzük. Ha a zárt görbe kör, a test neve körkúp. Egyenes körkúpnak nevezzük a körkúpot, ha a pontnak az alaplap síkjára eső merőleges vetülete az alapkör középpontjába esik. A test határoló felületét nevezzük palástnak (egyenes körkúp síkba kiterített palástja körcikk; a palást az alaplapot nem tartalmazza), a csúcspont és a görbe pontjai által meghatározott szakaszokat pedig alkotóknak. Az alaplap síkjának és a csúcsnak a távolsága adja a kúp magasságát. Ha az egyenes körkúpot elmetsszük egy olyan síkkal, amely a kúp magasságának egyenesét tartalmazza (tengelymetszet), akkor egyenlőszárú háromszöget kapunk (alapja az alapkör átmérője, szárai a kúp alkotói). Másként: az egyenes körkúp tengelymetszete egyenlőszárú háromszög. A szárak által bezárt szöget (φ) a kúp nyílásszögének nevezzük. Az egyenes körkúp szimmetrikus bármely, a tengelyét tartalmazó síkra. A sugár, a testmagasság és az alkotók között fennáll az r + M = a összefüggés. Bizonyítható, hogy a kúp térfogata a gúla térfogatához hasonlóan, a alapterület magasság V = összefüggéssel számító ki. Az egyenes körkúp térfogata tehát: r π M V =, ahol r az alapkör sugara, M a kúp magassága.

16 16 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Az egyenes körkúp felszínének meghatározásához a kúpot az egyik alkotója mentén szét kell vágnunk : a palást síkba kiterítve egy körcikk, amelynek ívhossza egyenlő az alapkör kerületével. A körcikk területe kiszámítható a T körcikk i r = rπ a összefüggéssel, ami most T körcikk = = raπ, ez a kúp palástjának felszíne. Ehhez hozzáadva az alapkör területét a kúp felszínére az A = rπ ( r + a) képletet kapjuk. Az egyenes körkúp térfogata: V r π M =, felszíne: A = rπ ( r + a). A képletben r az alapkör sugara, M a kúp magasságának, a az alkotójának a hossza. Feladatok Módszertani megjegyzés: Az 5.1 kártyakészletet használhatjuk csoportmunkához, de használhatjuk csoportalakításhoz is. A módszer neve: feldarabolt négyzet. A kártyakészlet használatának a célja az, hogy a tanulók a kúp nyílásszögének szögfüggvénnyel történő kiszámítását gyakorolják. A kúpok adatai különbözőek, de 4-4 kártyán azonos a nyílásszög értéke. Ha csoportalakításhoz használjuk a kártyakészletet, akkor az azonos nyílásszöget kapó tanulók kerülnek egy csoportba. Minden kártyának száma van, az utolsó oszlopban megtalálhatók az azonos négyest alkotó kártyák számai. Összesen 6 kártya van a készletben. Ha kevesebb a tanulócsoport létszáma, a leírás segítségével vegyük ki a fölösleges kártyákat (például ha fős az osztály, akkor ne osszuk ki a,1 -nak megfelelő 4 kártyát, amelyek száma 7, 10,, 5. ) Ha nem csoportalakításra használjuk a kártyákat, akkor a cél az azonos nyílásszögű kúpok csoportosítása. A kártyakészletből 16 kártya adatai megtalálhatók a következő feladatban, ezt célszerű kitűzni csoportmunkában: minden tanuló 4 különböző jellegű számítást végezzen (például az egyik tanuló az A jelűeket, másik a B jelűeket stb). A csoport akkor készül el, ha mind a négy négyes csoportot megtalálták.

17 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 17 nyílásszög( ) r d a M K alapkör T alapkör Kártyaszám 60,0 4 4,5 1,6 1,6 1 60, , 18,8 8, 15 60,0 4,8 9,6 9,6 8, 0, 7,4 0 60, ,1 69,1 80,1 0 8, ,5 5,1 50, 6 8,6 6 4,5,4 18,8 8, 1 8, , 6,8 14, 1 8, ,4 75,4 45,4 77, , 1,4 78, , ,5 6,8 14, 77,4 7, ,4 47,1 176,7 77,4 16 5,6 0,0 100,5 804, 5 9,0, 4,4 8,8 8,5 1,8 15, 16 9,0, ,6,0 8,5 1 9, ,0 100,5 804, 9 9, ,4 1,4 78,5 17 5,7 6 1,5 1, 18,8 8, 4 5, ,6 75,4 45,4 1 5,7,8 7,6 17,1 16,7,9 45,4 4 5, ,5 9,1 11,9 185,4 1, ,5 7,9 44,0 15,9 8 1, ,5 91,9 106,8 907,9 5 1, ,9 75,4 45,4 11 1, , 15,7 156, , 6 7,5 6,9 18,8 8, 6 47, ,5 11,5 1,4 78,5 6 47, ,7 7,7 11,1 8 47, 9 18,5 0,6 56,5 54,5 19, ,0 6,8 14, 7, ,8 75,4 45,4 10, ,5 1,4 78,5, , 50, 01,1 5 67, , 6,0 5,1 50, 9 67, ,5 1,4 78,5 67, ,0 6,8 14, 7 67, ,4 94, 706,9 4

18 18 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 16. Számítsd ki a következő adatokkal megadott kúpok nyílásszögeit, és csoportosítsd az egyenlőket! (Minden távolságadat cm-ben értendő. K az alapkör kerülete, T a területe, a az alkotó hossza, r az alapkör sugara, M a kúp magassága.) A1. r =, a = 4; A. r =, M =,4; A. a = 1, K = 47,1; A4. M = 19,4, T = 78, 5 B1. r =,, a = 8,8; B. r =, M = 5,; B. a = 15, K = 6,8; B4. M = 0, T = 804, C1. r = 4, a = 6; C. r = 10, M = 1,5; C. a = 64, K = 100,5; C4. M = 19,1, T = 80, 1 D1. r = 5, a = 8; D. r =,5, M = 1,6; D. a = 9,6, K = 0,; D4. M = 1,4, T = 45, 4

19 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 19 nyílásszög( ) r a M K alapkör T alapkör No. 60,0 4,5 1,6 1,6 A1 60,0 6 5, 18,8 8, B 60,0 4,8 9,6 8, 0, 7,4 D 60, ,1 69,1 80,1 C4 8, ,5 5,1 50, C1 8,6 4,5,4 18,8 8, A 8, , 6,8 14, B 8, ,4 75,4 45,4 D4 77, , 1,4 78,5 D1 77, ,5 6,8 14, C 77,4 7,5 1 9,4 47,1 176,7 A 77,4 16 5,6 0,0 100,5 804, B4 9,0, 8,8 8,5 1,8 15, B1 9,0,5 14 1,6,0 8,5 D 9, ,0 100,5 804, C 9, ,4 1,4 78,5 A4 Csoporttagonként csoportosítva: nyílásszög( ) r a M K alapkör T alapkör No. 60,0 4,5 1,6 1,6 A1 8,6 4,5,4 18,8 8, A 77,4 7,5 1 9,4 47,1 176,7 A 9, ,4 1,4 78,5 A4 9,0, 8,8 8,5 1,8 15, B1 60,0 6 5, 18,8 8, B 8, , 6,8 14, B 77,4 16 5,6 0,0 100,5 804, B4 8, ,5 5,1 50, C1 77, ,5 6,8 14, C 9, ,0 100,5 804, C 60, ,1 69,1 80,1 C4 77, , 1,4 78,5 D1 9,0,5 14 1,6,0 8,5 D 60,0 4,8 9,6 8, 0, 7,4 D 8, ,4 75,4 45,4 D4 Módszertani megjegyzés: A következő feladatot igaz-hamis diákkvartettben ajánljuk feldolgozni. Kérjünk indokolást is a csoportoktól! 17. Döntsd el a következő állításokról, hogy melyik igaz és melyik hamis. a) A kúp alkotójának hossza egyenlő a testmagasságával (a = M). b) Ha a kúp alkotója kétszerese az alapkör átmérőjének, akkor a kúp nyílásszöge 9. c) Minden kúp nyílásszöge egyenlő a kiterített palást középponti szögével. d) Ha egy kúpban a kiterített palást félkör, akkor a nyílásszöge 90.

20 0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ e) A palást középponti szöge és az alapkör sugara egyértelműen meghatározza a kúpot. f) Ha egy kúpot kétszeresére nagyítunk, a palástjának felszíne is kétszeresére növekszik. a) H; b) I; c) H; d) H; e) I; f) H. Módszertani megjegyzés: A következő alapfeladatot csoportmunkában célszerű elvégezni. 18. Egy a alapú, b szárú egyenlőszárú háromszöget megforgatunk a szimmetriatengelye körül. Állítsd térfogatuk szerint növekvő sorrendbe a keletkező kúpokat! A B C D a 0,8 dm 1 dm 6 cm 1 cm b 10 cm 8 cm 1, dm 8 cm A sorrend: C, A, B, D. a b V (cm ) A 0,8 dm 10 cm 15,6 B 1 dm 8 cm 16,5 C 6 cm 1, dm 109,5 D 1 cm 8 cm 199,5 Mintapélda Egy alul nyitott kúp alakú sátor alapkörének átmérője 4 m. Szeretnénk felállni a sátorban, ezért úgy akarjuk elkészíteni, hogy a szélétől 1,5 m távolságban 1,9 m magas legyen. a) Milyen magas a sátor? b) Mekkora a kiterített sátorlap körcikkének középponti szöge? c) Hány m anyagból készíthető el a sátorlap? a) A hasonlóság miatt M = 1,9, 5 m. 1,5 b) Az alkotóra érvényes: a + = r M, ebből a = +,5,m. A körcikk sugara egyenlő az alkotóval, ívhossza pedig az alapkör kerületével. A középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával, ezért

21 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 i α = 60. i = rπ = 4π (m), Kkör = aπ 6, 46π (m). K kör 4π A középponti szög nagysága: α = 60. 6,46π i a c) A körcikk területe: T = 0, körcikk m. Tehát a sátorlap elékészítéséhez kb. 0, m anyag kell. Feladatok 19. Egy csokigyárban naponta 1000 darab csokikúpot gyártanak, amelyet egyenként fóliába csomagolnak. A kúpok alapkörének átmérője és magassága egyaránt 4 cm. a) Hány liter csokoládéból készül el a napi készlet? b) Mekkora felületű fóliát használnak naponta csomagolásra, ha a hajtogatás miatt 5%- kal többet kell számítani? π 4 a) V = , 9 cm 01 liter. b) Az alkotó hossza a = r + M = 0 4, 47 cm; A = 1000 rπ ( r + a) 1, π ( + 4,47) 1, ,8 cm 51, m. 0. Egy kúp alkotója 15 cm. A csúcstól számítva a testmagasság negyedénél elvágjuk a kúpot egy alaplappal párhuzamos síkkal. A keletkező síkmetszet területe 15,9 cm. Mekkora az eredeti kúp térfogata és felszíne? A keletkező síkmetszet egy T területű kör, aminek a T sugara x =, 5 (cm). A hasonlóság miatt ennek 4- π szerese az alapkör sugara, vagyis r = 9 (cm). M = 15 9 = 1 (cm). 9 π 1 A térfogat V = 1017,9 cm. A felszín A = 9π (9 + 15) 678,6 cm.

22 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 1. Egy kúp kiterített palástjának területe 6 cm, az alkotó és az alaplap hajlásszöge Mekkora a kúp térfogata és a palást középponti szöge? A palást területe P = r a π. A sugár r = a cos 7 18', ezt beírva 6 = a π cos7 18', ahonnan a 8, 5 (cm), r, 4 (cm). M = a sin 7 18' 8 (cm). A térfogat: V A = P + r π 81,1 cm.,4 π 8 = 48, cm, a felszín. Egy 4,8 m sugarú körlapot négy egybevágó körcikkre vágunk. Milyen magas körkúp alakú sátor készíthető egy-egy darabból? Az alkotó hossza 4,8 m, a negyedkörív hossza egyenlő az alapkör kerületével. 1 Ezért rπ = 4,8π r = 1, m. A testmagasság M = a r 4, 65 m. 4. Egy kúp palástjának felszíne π területegység, alapkörének területe π területegység. Mekkora a kúp nyílásszöge? A szokásos jelölésekkel T = r π T = P = r a π P r a ϕ = sin ϕ sin = π = π 1 = ϕ = 45, ϕ = Egy kúp felszíne 79 π, alkotója 8 egységgel hosszabb a sugaránál. Mekkora a térfogata? Másodfokú egyenletre visszavezethető feladat. a = r + 8, A = rπ ( a + r) = = r π( r + 8) 79π = rπ(r + 8). Innen kapjuk az r + 4r 96 = 0 egyenletet, aminek pozitív megoldása: r = 18 (e). Ekkor a = 6(e), M = a r 18, π 18,76 térfogat V 665, 1(e ). (e), a

23 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertani megjegyzés: A következő feladat szerepelt a 005. májusi középszintű érettségi feladatsorban. 5. Egy forgáskúp alapkörének átmérője egyenlő a kúp alkotójával. A kúp magasságának hossza 5 cm. Készíts vázlatot! a) Mekkora a kúp felszíne? b) Mekkora a kúp térfogata? c) Mekkora a kúp kiterített palástjának középponti szöge? a) Pitagorasz-tétel alkalmazásával: ( ) a r a = r = összefüggést: 4 = r + ( 5 ) A felszín A = rπ ( r + a) = 75π 5,6 cm Behelyettesítve az r, ahonnan r = 5 cm, a = 10 cm. r π M b) A térfogat V = 6,7 cm. c) A körcikk sugara a = r, ívhossza rπ, vagyis az alapkör kerülete. Az α középponti szög egyenesen arányos a körív hosszával: α rπ r r = α = 60 = 60 = aπ a r r π α a π α Vagy másképpen: i = a π = α =

24 4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ III. A csonkakúp Ha a kúpot elmetsszük egy, az alaplappal párhuzamos síkkal, akkor egy kisebb kúpot és egy másik testet is kapunk, amelyet csonkakúpnak nevezünk. Az alaplap és a fedőlap síkjának távolsága adja a csonkakúp testmagasságát. Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp térfogata: ( r + r R R ) M π V = +. Megjegyzés: a képlet levezetésekor felhasználjuk, hogy a levágott (ún. kiegészítő kúp) hasonló ahhoz a kúphoz, amiből a csonkakúp keletkezett. Módszertani megjegyzés: Célszerű megjegyezni, hogy ez az összefüggés analóg a csonkagúla térfogatának képletével. A kapcsolat felfedezését egy kis segítséggel a diákok maguk is megteszik. A csonkakúp felszínét megkapjuk, ha az alapkör és a fedőkör területéhez hozzáadjuk a csonkakúp palástjának felszínét. A palást síkba kiterítve körgyűrűcikket alkot. ( a) A csonkakúp felszíne A = r + R + ( r + R) π. A a felszín, r az alapkör sugara, R a fedőkör sugara, a az alkotó. Módszertani megjegyzés: A következő mintapélda egy csonkakúp alakú modell elkészítése úgy, hogy csak az adatokat ismerjük, és rendelkezésünkre áll a csonkakúp és a kiegészítő kúp körcikkének mintája A4-es lapon. Ezt a tanuló kivághatja, azonban neki kell elkészítenie az alapkört és a fedőkört, és a csonkakúp magassága alapján kiszámítania azt, hogy a körcikkből mekkora sugarú körcikket kell kivágnia a kívánt magasságú modellhez. Figyelmeztessük a gyerekeket, hogy a ragasztáshoz hagyjanak fülecskéket a körökön. Szükséges anyagok: a körcikk kinyomtatva, db kartonlap, szögmérő, olló, körző, papírragasztó. (Az eszközök között külön fájlban találjuk a képet nyomtatáshoz.) Ha nincsenek kedvező tapasztalataink a tanórai vágással-ragasztással kapcsolatban, akkor a mintapéldát vegyük át úgy, hogy csak a mintához szükséges számításokat végezzék el a gyerekek csoportmunkában, és az elkészítést esetleg otthonra adjuk fel.

25 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 A feladatokat a gyerekek megosztják egymás között: egyik csoporttag az alapkör sugarát határozza meg, a másik a fedőkörét stb. Ha nem tudják meghatározni, akkor vágják ki a körcikket és végezzenek méréseket. A Tanulók könyvét ne használják, mert a megoldás levezetése megtalálható a mintapéldában. Mintapélda 4 Készítsük el egy csonkakúp alakú vulkán kicsinyített modelljét A4-es papírok felhasználásával! A 14 cm sugarú körcikk még ráfér az A4-es kartonra úgy, hogy 8 -os a középponti szöge. Az alapkört, a fedőkört és a körgyűrűcikk kisebb ívét neked kell kiszámítanod és megrajzolnod. A modell magassága 8 cm legyen! Figyelj arra is, hogy a ragasztáshoz a megfelelő helyeken fülecskéket kell hagyni. 8 8 A körcikk ívhosszából kiszámítjuk az alapkör sugarát: i = K alapkör = 14 π, és ez egyenlő az R sugarú kör kerületével: 14 π = R π, ahonnan 60 8 R = 14 8,9 cm. 60 A magasság: M = 8 cm, a fedőkör sugarát szögfüggvény segítségével állapítjuk meg: R 8,9 8 8 cosα = = α 50, 5. a = 10,4 cm, x = 6,6 cm sinα tgα Mivel x = R r, r, cm. A körcikkből 14 a,6 cm sugarú körcikket kell kivágni.

26 6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Feladatok 6. Egy csonkakúp alapkörének sugara 9 cm, a fedőköré 4 cm, az alkotója 15 cm. a) Számítsd ki a csonkakúp térfogatát! b) Számítsd ki a csonkakúp palástjának területét és felszínét! A szokásos jelölésekkel a = M + ( R r) M = 00 14, 1 a) Képletbe helyettesítés után V 196,8 cm ; b) P = ( r + R) a π 61,6 cm ; A 917, cm. (cm). 7. Egészítsd ki a táblázat hiányzó részeit! Minden adat azonos egységrendszerben értendő. r a fedőkör sugara, R az alapkör sugara, M a csonkakúp magassága, a az alkotó, P a palást felszíne, A a csonkakúp felszíne és V a csonkakúp térfogata. r R a M V P A a) ,9 1999,1 565,5 958, b) ,0 570, 94,5 41,7 c) , 4861,0 111,0 1797,0 Módszertani megjegyzés: Gyakorlásképpen feladhatjuk a körcikk középponti szögét is kérdésként. 8. Egy csonkakúp alapkörének sugara 1 cm, a fedőköré 8 cm, a magassága 15 cm. a) Számítsd ki a kiegészítő kúp alkotójának hosszát! b) Számítsd ki, hogy mekkora középponti szögű körcikkből lehet elkészíteni a csonkakúp palástját! c) Számítsd ki, hogy a kiegészítő kúp térfogata hány százaléka a csonkakúp térfogatának!

27 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 a) Az alkotó hossza a = = 41 15, 5 (cm). 1 a + x A hasonló háromszögek miatt = 8 x x 1(cm) a kiegészítő kúp alkotója. Rπ b) α = a + x π ( ) c) A kiegészítő kúp magassága: y = x 8 9, 95 (cm); 15 π 8 9,95 π ( ) 100 4%. 9. Egy gyertyaöntő olyan csonkakúp alakú gyertyákat önt, amelyek alapkörének átmérője 10 cm, a fedőköré 6 cm, és a magassága 8 cm. a) Hány gyertyát tud kiönteni 50 liter folyékony viaszból? b) Minden gyertyát külön celofánba csomagol, és a gyertya felszínénél 17%-kal többet kell számolnia a csomagoláshoz. Hány m celofánt használ fel a kiöntött gyertyák csomagolásához? a) 50 liter = 50 dm = cm. Egy gyertya térfogata: V 410, 5 cm, , 8, 410,5 vagyis 11 gyertyát tud kiönteni. b) Az alkotó hossza a = 8 + = 68 8, 5, egy kúp felszíne A = 100π 14. cm. A szükséges celofán 50 A 1, ,7 cm 1,8 m. Módszertani megjegyzés: A következő feladatot csoportmunkában javasolt feldolgozni. 0. Összekeveredett az építőjáték, szétestek a kúpok. A számok csonkakúpokat, míg a betűk kiegészítő kúpokat jelölnek, és a távolságok cm-ben adottak. Találd meg az összeillőket az alábbi adatok alapján! Az ábra csak illusztráció. A) M = 6 cm, a = 1 dm; B) M = 8 cm, a = 1 dm;

28 8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ C) r = cm; a = 58 mm; D) r = cm; a = 0,5 dm; 1) M = 100 mm; a = 11,7 cm; ) r = cm; R =,1 dm; M = 16 cm; ) M = 7 mm; a = 1, dm; 4) r = 6 cm; R = 90 mm; a = 1,5 dm. A) D) kúpokat jelöl, amelyeknél a az alkotó, M a magasság, r az alapkör sugara. 1) 4) csonkakúpokat jelöl, amelyeknél R az alapkör sugara, r a fedőkör sugara, a az alkotó, M a magasság. r egyenlősége mellett vizsgálnunk kell azt is, hogy ha egy kúpot és egy csonkakúpot összerakunk, akkor az illesztés helyén ne keletkezzen törés. Ez akkor biztosítható, ha az ábrán a tengelymetszetekben jelölt α szögek megegyeznek. Kúp eseténsin α = r a R r, csonkakúp esetén sin α =. a Kúp Csonkakúp sin α r M a r R M a A) ) 8 17,6 7, 1 0,8 B) ) ,6 C) 4,9 5,8 1) ,7 0,517 D) 4 5 ) ,6

29 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 IV. A gömb A gömb a természet egyik, talán a legfontosabb alapformája. Bizonyítható, hogy az egyenlő térfogatú testek közül a gömbnek a legkisebb a felszíne, ezért ugrik össze gömb alakú cseppé a folyadék, ha teheti (például a higany). Az égitestek alakja többé-kevésbé gömb, és kis golyókkal modellezzük a természet sok jelenségét (például az atommagot és a körülötte keringő elektronokat csakúgy, mint a gázrészecskéket az ideális gázban, vagy a légszennyezést okozó aeroszol részecskéket). Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy indítsunk kutatási projekteket érdekes, gömb alakú tárgyakról, épületekről (Atomium Brüsszelben, kupolás épületek stb.). Például nagyon sok gömb alakú vírust találunk. A gömb egy adott ponttól (a középponttól) egyenlő távolságra levő pontok halmaza a térben. Minden síkmetszete kör, a legnagyobb területű síkmetszetet főkörnek nevezzük. Ha a gömböt egy síkkal metsszük, akkor gömbsüveg keletkezik (a gömbsüvegre vonatkozó összefüggéseket megtalálod a függvénytáblázatban). A gömb térfogatát, illetve felszínét az integrálszámítás segítségével határozzuk meg, ami túlmutat a középszintű érettségi tananyagán. Feladatok Az r sugarú gömb térfogata és felszíne: V = 4 r π, A = 4 r π 1. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! r a gömb sugara, V a térfogata, A a felszíne. r A V a) 11,1 11,1 b) 4,5 54,5 81,7 c), 60,8 44,6 d) 5 14, 5,6 Módszertani megjegyzés: A következő feladathoz javasoljuk diákkvartett módszert.

30 0 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy melyik igaz, illetve melyik hamis! a) Ha egy gömb sugarát háromszorosára növeljük, a felszíne és a térfogata is háromszorosára változik. b) Az egység sugarú gömb felszínének mérőszáma háromszorosa a térfogat mérőszámának. c) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát cm-rel növeljük, a felszíne 4 ( r + ) -nel növekszik. d) Ha egy 5 cm-nél nagyobb r sugarú gömb sugarát cm-rel növeljük, a térfogata 4 r π -vel növekszik. e) Ha két gömb felszínének különbsége 490 cm, akkor a két gömb sugarát R-rel és r- rel jelölve R r = 9. a) H; b) I; c) H; d) H; e) I.. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelyre igaz, hogy térfogatának mérőszáma duplája a felszíne mérőszámának? 4 r π = 4r π r = 6 egység. 4. Egy 7 cm átmérőjű üveggolyó belül üreges, a falvastagság 6 mm. Mekkora az üveggolyó tömege, ha az üvegben elhanyagolható súlyú levegő van, és az üveg sűrűsége ρ = 800 kg/m, és a tömeg az m = ρ V képlettel számolható? A belső sugár,9 cm, a külső,5 cm. A térfogat a két gömb térfogatának 4 V m = ρ V 0, kg. 6 különbsége: = π(,5,9 ) 77,4 cm 77,4 10 m.

31 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 1 5. Mekkora oldalú fémkockából tudnak önteni 10 darab, 4,6 cm átmérőjű gömböt? 4 V = 10, π = 6115,8 cm. A kocka térfogata a, tehát a = 6115,8 18, cm. Módszertani megjegyzés: Az eddigi ismeretek összefoglalásához javasoljuk az 5. triminót. A triminó összefoglaló: a Térfogat és felszínszámítás modul végén javasoljuk, hogy a modulban használt képleteket felelevenítsék vele a diákok. Az összeillő éleken egy szám+betű, illetve szám kombinációt találunk, amely kulcsként szolgál az üzenet megfejtéséhez. A szám+betű jelöli azt, hogy az üzenet hányadik betűjét kell kikeresni a kódtáblázatból. A kódtáblázatból a betű-szám kombináció adja a megfelelő betűt. Például ha egy összeillő élen a 1C5 kombinációt kapjuk, akkor az üzenet 1. betűjéről van szó, amelyet a kódtáblázat C5 mezője nyújt a számunkra. A feladat az üzenet megtalálása, a kódtáblázat a projektorral kivetíthető. Az üzenet: Használd, vagy elveszted. (A tudásra vonatkozik.) H-1B-4;A-A-0;Sz-D-6;N-4C-5;Á-5A-1;L-6C-;D-7A-5; V-8E-5;A-9A-0;Gy-10B-; E-11A-6;L-1C-;V-1E-5;E-14A-6;Sz-15D-6;T-16E-0;E-17A-6;D-18A-5 A kódtáblázat: A A0 É B0 J C0 Ó D0 T E0 Á A1 F B1 K C1 Ö D1 U E1 B A G B L C Ő D Ú E C A Gy B Ly C P D Ü E Cs A4 H B4 M C4 R D4 Ű E4 D A5 I B5 N C5 S D5 V E5 E A6 Í B6 O C6 Sz D6 Z E6 Feladatok Minden távolságadat azonos mértékegységrendszerben értendő. Henger r = 6; M = 8; V = 88π. H-1B-4 r = 5; M = 1; A = 170π. L-6C- r = 4,; M = 0; V = 1108,5. A-A-0

32 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ r = 1; M = 8; A = 480π. A-9A-0 Kúp a = 10; ϕ = 60 ; r = 5. r = 5; ϕ = 84 ; V = 7,5π. r = 7; ϕ = 90 ; A = 71,64. r = 6; a = 10; A = 96π. r = 8,5; M = 1,8; V = 968,45. r = 8; ϕ = 69,7 ; a = 14. Sz-D-6 V-8E-5 Sz-15D-6 E-11A-6 E-17A-6 L-1C- Csonkakúp r = 6; R = 9; M = 1; V = 148,85. r = 1; R = 0; a = 14; A = 116,46. r = 9; R = 15; M = 1; A = 789,69. r =,6; R = 7,; M = 10; V = 950. r = 8; R = 15; a = 1; A = 565π. N-4C-5 D-7A-5 T-16E-0 D-18A-5 V-1E-5 Gömb r = 1; T Főkör =144π; V = 04π. Á-5A-1 r = 5,5; A =80,1; V = 696,91. Gy-10B- V r = 18; =? = 6. A E-14A-6

33 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ

34 4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ V. Testekkel kapcsolatos számítások Mintapélda 5 A szilikon tömítőanyagot hengerekben árulják. A henger belső átmérője 45 mm, a tubus hossza 1,6 cm, és az aljától 4 cm-nyi helyet nem szilikon tölt ki. A henger folytatása egy 10,6 cm alkotójú csonkakúp alakú kinyomócső, amelynek egyik végén 8 mm, a másik végén mm átmérőjű a lyuk. Hány méteres egyenes csíkot tudnánk kinyomni a csőből? (A benne található szilikon folyékony, összenyomhatatlan.) A henger sugara,5 cm, magassága 17,6 cm. A hengerbe töltött szilikon térfogata: V =,5 π 17,6 80 (cm ). A kinyomócső magassága: , 96 (mm), kinyomás után a kinyomócsőben 10,596 π V 1 (cm ), vagyis a maradó szilikon térfogata: = ( 0,4 + 0,4 0,1 + 0,1 ), kinyomott csík térfogata 80, = 77, 67 (cm ). A kinyomott szilikoncsík sugara 1 mm, az egyenes csíkot hengerként számolva, a 77,67 hossza: x = 888,51 mm 8,84 m. 0,1 π Mintapélda 6 Egy szabályos, négyzet alapú gúla oldallapjai 8 cm oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beírható és a köré írható gömb sugara? A gömbök középpontjai a gúla magasságán találhatók. A beírt gömb esetén: m = 8 = 4, M = m 4 = 5,66 (cm). A derékszögű háromszögek r M r a M 8 5,66 hasonlósága miatt = r = =, 1 (cm). a m m + a 8 + 8

35 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 A köré írható gömb középpontja egybeesik az alaplap középpontjával, mert a négyzet átlója egyenlő a testmagasság kétszeresével, így a sugár: R = a = 4 5, 7 (cm). Ha ezt nem vesszük észre, akkor a jelölt derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt. y = a = 4 (cm), y + M a a R = y + ( M R) R = = = = a = 4 cm. M a Összetett testek 6. A szomszéd szeretett volna hétvégi telkére egy jurtát, és találtunk is egy angol nyelvű honlapot az interneten, ahol rendelni lehet. A szavak jelentése: Diameter: átmérő Wall Height: falmagasság Roof Height: tetőmagasság feet: láb (1 láb = 0,48 cm) Forrás: [ MongolianGer.aspx] Diameter (feet) 1 Wall Height (feet) 4 Roof Height (feet) 7'6" Mekkora a jurta felszíne és térfogata? (Az egyszerűség kedvéért modellezzük alul-felül nyitott henger és kúp összerakásával a jurtát.) Megjegyzés: A hüvelyk a tízes számrendszeren alapuló mértékrendszer előtti időszak azon alapegységeinek egyike, amely az emberi test egyik részét, a hüvelykujj nagyságát vette mértékül. A hüvelyk a tizenkettes mértékrendszerbe tartozik; egy lábnak a 1-ed része. Egy hüvelyk 1 vonalból áll, azaz,6 cm (tehát egy vonal 0, cm). Négy hüvelyk (azaz 10,4 cm) alkotott egy markot. A hüvelyk német neve (Zoll) is elterjedt: coll. Ezt az elnevezést főleg kézművesek, ácsok, asztalosok használták (colos deszka, colos szeg stb.). [Forrás: Magyar néprajzi lexikon.]

36 6 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Módszertani megjegyzés: A feladatban nem közöltük, hogy mit jelent a 7 6 jelölés, de az idézett forrásból megérthető. A csoport remélhetőleg rájön arra, hogy az nem biztos, hogy 7,6 láb, hanem coll, és a 6 coll éppen fél lábnak felel meg. Nem adta meg a feladat azt sem, hogy milyen mértékegységben kérjük a megoldást, de a hazai SI miatt m -ben kérjük a végeredményt. Számolni egyszerűbb és célszerűbb lábban a kevesebb törtszám miatt. Az alapkör sugara r = 6 láb, a henger magassága 4 láb, a kúp magassága,5 láb, az alkotó hossza a = 6 +,5 6, 95 láb, a felszín: A = P + P = rπm + raπ = rπ (M + a) 81,8 láb, amit cm -be átváltva henger kúp henger 81,8 0, ,6 cm 6, m. henger r πm kúp M kúp A térfogat V = r πm + = 584, 4 + henger r π M henger láb, ami 584,4 0, cm 16,6 m. Módszertani megjegyzés: Az ilyen kis jurtákat általában szaunának vagy meditációs teremnek használják. 7. Az ábra egy 9 mm átmérőjű lőszer oldalnézetét mutatja. Végezz méréseket az ábrán, és számítsd ki a lövedék felszínét és térfogatát! 9 Az ábrán lemért adatok alapján az ábra és a lőszer adatainak aránya k = =. 1 7 Minden távolságadatot szorozni kell k-val, hogy a lőszer adatait megkapjuk. Így a henger hossza 10, (mm), a csonkakúp magassága 7,7 (mm), a fedőkör sugara,4 (mm). A térfogat az egyes részek térfogatának összege: 7,7π V = 4,5 π 10, + ( 4,5 + 4,5,4 +,4 ) 95 mm. A felszínnél számolhatunk úgy, hogy a csonkakúp felszínéhez hozzájön a henger ( a) + RπM = π. A csonkakúp alkotója a =,1 + 7,7 8 palástja: A r + R + ( r + R) (mm). A felszín A 546,4 mm. Ezek közelítő értékek, a mérési és kerekítési hibák miatt hasonló eredmények jönnek ki.

37 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 7 8. Egy csonkakúp alakú parfümös üveget kartondobozba csomagolnak. A doboz méretei: 6 cm 6 cm 8 cm, a parfümös üveg méretei: a fedőlap átmérője 5 cm, az alaplap átmérője cm, a magassága 7 cm. a) Hány ml parfüm van az üvegben, ha az üveg térfogatának 56%-a a folyadék? b) A doboz térfogatának hány százaléka üres, azaz nincs kitöltve a parfümös üveggel? a) V 89,8 cm, 89,8 0,56 50, cm, az üvegben kb. 50 ml parfüm van. üveg 88 89,8 b) V doboz = 88 cm, az arány ,8 % darab 9 cm átmérőjű, gömb alakú gyertyát csomagolnak kartondobozba, szorosan egymás mellé. a) A doboz térfogatának hány százalékát töltik ki a gyertyák? b) A sérülések elkerülése érdekében a gyertyák közé az alaplap közepére egy hungarocell hengert tolnak, ami a gyertyákat érinti, és nem engedi elmozdulni. Legfeljebb mekkora legyen a henger sugara? a) A doboz méterei: 18 cm x 18 cm x 9 cm, így a térfogata 9 18 = 916 cm ,8 A gyertyák térfogata 4 4,5 π 156,8 cm. A keresett arány 100 5,4 %. 916 b) A henger alapkörének sugara a KEC egyenlőszárú derékszögű háromszög átfogójának és a gyertyák sugarának a különbsége: r ( 1) 1,86 cm. 40. Egy teniszlabdagyárban labdát csomagolnak kétféle csomagolásba: négyzetes oszlop, illetve henger alakú, műanyag oldalfalú dobozba. A dobozokat kartonokkal zárják le, mindkét végükön. A labdák átmérője 6,5 cm.

38 8 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a) Mekkora területű kartonra, illetve műanyagra van szükség az egyes dobozok elkészítéséhez? b) A dobozok térfogatának hány százaléka a három teniszlabda térfogata? c) Anyagfelhasználás és térkitöltés szempontjából melyik dobozt célszerűbb gyártani? a) A négyzetes oszlop méretei: 6,5 cm x 6,5 cm x 19,5 cm. A karton területe = 6,5 84,5 cm, a fólia területe 4 6,5 19,5 = 507 cm. A henger alakú doboz esetén a szükséges karton,5 π 66,7 cm, a fólia területe,5 π 19,5 98, cm. 4 b) A teniszlabdák térfogatának összege,5 π 41,8 cm. A négyzetes oszlop térfogata 6,5 = 41,8 8,88 19,5 8,88 cm, az arányuk 100 5,4 %. A henger 41,8 térfogata,5 π 19,5 647,07 cm, a térkitöltés ,7 %. 647,07 c) Anyagfelhasználás és térkitöltés szempontjából is a hengeres dobozt célszerű gyártani. Módszertani megjegyzés: A következő feladat szerepelt a 006. februári érettségin cm átmérőjű fagolyókat négyesével kis (téglatest alakú) dobozokba csomagolunk úgy, hogy azok ne lötyögjenek a dobozokban. A két szóba jövő elrendezést felülnézetből lerajzoltuk. A dobozokat átlátszó műanyag fóliával fedjük le, a doboz többi része kartonpapírból készül. A ragasztáshoz, hegesztéshez hozzászámoltuk a doboz méreteiből adódó anyagszükséglet 10%-át. a) Mennyi az anyagszükséglet egy-egy dobozfajtánál a két felhasznált anyagból különkülön?

39 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 9 b) A négyzet alapú dobozban a fagolyók közötti teret állagmegóvási célból tömítő anyaggal töltik ki. A doboz térfogatának hány százalékát teszi ki a tömítő anyag térfogata? a) A négyzet alapú doboznál: T 64(cm ), T = 18 (cm ). Azt anyagszükséglet alap = oldal 1,1 19 = 11, cm papír, és 1,1 64 = 70, 4 cm fólia. A téglalap alapú doboznál: T 64(cm ), T = ( + 8) 4 = 160 alap = oldal (cm ). Azt anyagszükséglet 1,1 4 = 46, 4 cm papír, és 1,1 64 = 70, 4 cm fólia. b) A doboz térfogata = 56 cm 4 π, a négy golyó együtt 4 14 cm. A keresett arány: 100 = 100 = 47,7 48% Módszertani megjegyzés: A következő feladatot javasoljuk csoportmunkában feldolgozni, szakértői mozaik módszerrel. 4. Egy 8 cm belső átmérőjű, 9,5 cm belső magasságú csészében dl víz van. Mennyivel emelkedik meg a vízszint, ha a csészébe beletesszük az alábbi tárgyakat? Minden távolságot cm-ben adtunk meg. A vízszint magasságát meghatározzuk (x) és minden esetben ellenőrizzük, hogy a csészéből kifolyik-e a víz a tárgyak belehelyezésekor. dl = 0, dm = 00 cm = 4 π x, ahonnan x 6 cm. A vízszint növekedését (y) hasonlóan számítjuk: V tárgy y =. 4 π 5 Az eredmények: a) y =, 5cm; 4 π

40 40 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ 5 5 4,85 b) M = 6 4,85(cm), = 0, 8 y cm; 4 π 4 π c) 4 π 6,9 y = =, 5cm; d) M = 8 4 6,9(cm), y =, cm; 4 π 4 π 1 5,74π M 6 1,75 5,74(cm), cm. 4 π e) = y = ( 1,75 + 1,75 + ), 1 4. Egy ipari alpinista csoport azt a megbízást kapja, hogy fesse le az itt látható, hengerből és kúpból összeállított kilátó külső felületét. A tető kúp alakú, a torony szélétől cm távolságra nyúlik ki. Az egész torony magassága 5,1 m. Határozd meg, hogy a tetőre és a vakolatra használt festékből hány m -re valót kell a csapatnak beszereznie! Az egyik fajta festék a henger palástjához kell: A 7, 1 = rπm = π 0 458,7 m 7, + 0,8 = 4,05 4,, a másik fajta a kúp palástjához. A kúp sugara: (m), magassága 5,1 ( 0 + 0,9) = 4, ( m), alkotója + 4,05 5,8 (m). A kúp palástja: A = raπ = 4,05 5,8 π 74, m. 44. Az ábrán látható dísz egy derékszögű háromszög átfogó körüli megforgatásával keletkezett. Két kúpot kaptunk, az egyik magassága 4,5 cm, a másiké 8 cm. a) Mekkora a dísz külső felszíne? b) Mekkora a dísz tömege, ha a sűrűsége 1, g/cm? A megoldáshoz magasságtételt alkalmazunk: r = 8 4,5 = 6 (cm), az alkotók hossza: a = (cm), és a = 8 + 4,5 7, 5 (cm). 1 = 1 =

41 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 41 a) A felület: = rπ( a + a ) 9, 9 A cm. 1 ( ) r π M1 + M b) A térfogat: V = 471, (cm ), a tömeg m = ρ V 574, 9 g. Beírt és köré írható testek 45. Egy 8 cm sugarú, 15 cm magasságú fakúpból a lehető legnagyobb sugarú gömböt akarjuk kifaragni. A kúp anyagának hány százalékát kell eltávolítani? A beírt gömb sugarát kell kiszámolnunk. a = = 17 (cm), Vkúp 1005, cm, a hasonló háromszögek miatt 8 a =, ahonnan r 15 r r 4,8(cm), V 46, cm. A keresett százalék: = gömb 46, 1005, %. 46. Egy gömb köré és a gömbbe írt kocka éleinek különbsége 8 cm. Mekkora a gömb térfogata és felszíne? A gömb köré írt kocka éle a gömb átmérője: a = r, a gömbbe írt kockának pedig r a testátlója egyenlő a gömb átmérőjével: b = r b =. A kettő különbsége: r 1 8 = = r 1 r r 9,46 cm. V 546, cm, A 114,6 cm. 47. Mekkora annak a kockának az éle, amelyet egy 16 cm alapélű, 0 cm magasságú szabályos négyoldalú gúlába írunk úgy, hogy a kocka egyik lapja a gúla alaplapján található, másik négy csúcsa pedig a) az oldallapok magasságvonalain; b) az oldaléleken?

42 4 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ a) x y =. A hasonlóság miatt ahonnan 0 x y =, 0 8 ( 10 8) x 160 8x = = x x = 7, cm , így x 16 b) y =, z = = 8. A hasonlóság miatt z y 0 = 0 x x 8,9 cm. 8 0 =, innen x 0 x 48. Egy félgömb alakú színpadi sátrat 4 függőleges és a felső végüket összekötő 4 vízszintes, 5,6 méteres, kockát formázó fémoszlop tart. A kocka alaplapjának középpontja éppen a gömb középpontjában található. Mekkora a sátorponyva felszíne? a = 5, 6 m, a y =. Felírva a Pitagorasz-tételt R = a + y R = a 6,86 m. Tehát a felszín kb. 95,7 m. 49. Egy szabályos, négyzet alapú gúla oldallapjai a oldalú szabályos háromszögek. Mekkora a beleírható és a köré írható gömb sugara a-val kifejezve? A gömbök középpontjai a testmagasságon találhatók. A beírt gömb esetén:

43 5. modul: TÉRFOGAT ÉS FELSZÍNSZÁMÍTÁS TANÁRI ÚTMUTATÓ 4, a a a m M a m = = = =. A derékszögű háromszögek hasonlósága miatt ( ) ( ) = + = + = = a a a m M a r m r M a r. A köré írható gömb középpontja az alaplap középpontjával egybeesik, mert a négyzet átlója egyenlő a testmagasság kétszeresével, így a sugár: a R =. Ha ezt nem vesszük észre, akkor a jelölt derékszögű háromszögre írjuk fel a Pitagorasz-tételt. a y =, ( ) a a a a M M y R R M y R = = = + = + =.

44 44 MATEMATIKA A 1. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ Vegyes feladatok 50. Két hasonló henger felszínének aránya 4 : 5, az egyik alapkörének sugara 15 cm-rel nagyobb a másik alapkörének sugaránál. A kisebb henger felszíne 16, cm. Mekkora a nagyobb henger térfogata? Hasonló testek felszínének aránya egyenlő a hasonlóság arányának négyzetével, 4 ezért a hasonlóság aránya k = k =, azaz a nagyobb henger alapkörének sugara: r = r 1. A szöveg alapján r 1 r1 = r1 = 15 r1 = 10 cm, r = 5 cm. A 1 = r1 π( r1 + M1) = 16,5. Így M 4 1 cm, M = 60 cm. A nagyobb henger térfogatav = 5 π , 7 cm. 51. Egy 4 cm magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az alaplappal párhuzamos síkkal elvágni, hogy a lemetszett kúpnak fele akkora legyen a) a térfogata; b) a palástja, mint az eredeti kúpnak? M a) A hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe, így 19 cm távolságban kell elvágni. b) A hasonló testek felszínének (és kúpok esetén a palást felszínének is) aránya a M hasonlóság arányának négyzete, így 17 cm távolságban kell elvágni. 5. Csúcsára állított kúpot magasságának feléig töltünk meg vízzel. A testmagasság hány %-áig ér a víz, ha a kúpot megfordítva az alaplapjára állítjuk? A víz térfogata a kúp térfogatának nyolcada