hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

Átírás

1 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó keretmetetben) heli koordinát-rendert veünk fel: e e, e, e - köépvonl görbületi ugr lkváltoá előtt, - köépvonl görbületi ugr lkváltoá után Előjel: - h ívho méréének iránábn hldv görbületi köéppont jobbkére eik, kkor, - h ívho méréének iránábn hldv görbületi köéppont blkére eik, kkor A rúd terhelée: f ftt fnn vonl mentén ( köépvonl mentén) oló terhelé Egenúli egenletek íkgörbe rudkr: dn T ft, d A N () rúderő é T () níróerő nem független egmától N dt fn, d d T A hjlító nomték é T níróerő köött ugnoln öefüggé vn, mint egene rudknál d Igénbevételek: terhelé imeretében igénbevételek értelmeé lpján htárohtók egoldndó feldt: - lkváltoái jellemő(k) htároá, - rúd keretmetetein ébredő feültég (elolá) htároá 511 A lkváltoái jellemők előállítá Kiinduló feltételeéek: - rúd köépvonl terhelé előtt ugrú körív, - rúd primtiku, továbbá keretmetetei tengelre immetrikuk - rúd igénbevétele tit hjlítá, - rúdbn egtengelű feültégi állpot lép fel 1 rn Grhof ( ) német mérnök 81

2 A rúd keretmetete: Alkváltoái feltételeéek: - lkváltoá után keretmetetek íkok mrdnk é merőlegeek mrdnk deformálódott köépvonlr, - lkváltoá orán ugrú, körív lkú köépvonl ugrú körívvé görbül nomték htáár e e P e P e állndó állndó O Terhelé előtt Terhelé után A köépvonltól távolágr lévő konentriku körív hoánk fjlgo váltoá: A feültégi állpot egtengelű: E E 1 - hiperbol H, kkor é A hiperbol imptotái: H, kkor, H, kkor E 1, 8

3 H, kkor E 1 A feültégelolá emléltetée: e 1 e V m O 51 A feültég é igénbevétel kpolt eültégi eredők igénbevételek: ) A eredő erő: dae da ( A) ( A) da m áltlábn O görbületi köéppont felé eő élő álbn ( ( A) ábrán V pontbn) vn b) A eredő nomték: R da e e e da e klár egenletek: da ( A) da ( A) ( A) ( A) e egenlet identikun (onon) teljeül, h keretmetet immetritengele, A -l jelölt egenletekből é kifejehető -el: Grhof - formul: A I r 8

4 Jelölé feültégelolá ábráján: A, Ir da - keretmetet tengelére ámított redukált máodrendű ( A) nomték (áltlábn Ir I ) A görbületi ugár é hjlító nomték előjele: O 51 Redukált máodrendű nomték d O e 1 e Értelmeé: O Ir da ( A) A honló háromögekből: Ir d d I ( A) da ( A) da Eg módoított (ggtott vonlll rjolt) keretmetet tengelre ámított I máodrendű nomtékát kell htároni A rúd görbültégének jellemée: em m e1, e, hándo rúd görbültégére jellemő menniég e H H e m e m m hándo kii, kkor rúd ngon görbült ng, kkor rúd enhén görbült 514 A Grhof - elmélet lklmhtóág H H 4, kkor Grhof formulát é I r t hnáljuk e m 4 81, kkor Grhof formulát é I r I-t hnáljuk e m 84

5 H e m 8 1, kkor görbe rúd egene rúdként keelhe tő: I 515 A köépvonl lkváltoái jellemői lkváltoá A köépvonl görbületének váltoá: O O 1 1 r I E A élő keretmetetek egmál beárt ögének váltoá: l, hol l rúd köépvonlánk ho I E I E r r 516 A eredmének áltlánoítá Tptltok erint Grhof-féle elmélet kkor i jó köelítéként hnálhtó, h - íkgörbe rúd igénbevétele tetőlege íkbeli igénbevétel: N, T, - köépvonl nem körív, de feltételeük hog görbületi ugár k kimértékben é ln váltoik rúd köépvonl mentén, - rúd nem primtiku, de feltételeük hog keretmetet lkj, vg geometrii elhelekedée k kimértékben é ln váltoik rúd köépvonl mentén Köelítő oldá (uperpoíió): Hjlítá:, A I Húá/nomá: Nírá: r N A T I egene rudkr vontkoó öefüggé Erően görbült rudknál húá/nomából é nírából ármó feültégek nem ámíthtók egene rudkr érvéne öefüggéekből Alkváltoái energi: 85

6 Rúderkeeteknél áltlábn hjlítái energi dominán: U U hjl U 1 I E d A ilárdágtn munktételei (Betti, Ctiglino,) ugnúg érvéneek, mint egene é törtvonlú trtóerkeeteknél 517 Gkorló feldtok íkgörbe rudkr 5171 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá A Kidolgoá: K R B l Adott: A A keretmetetében beflott, neged körív köépvonlú, kör keretmetetű íkgörbe rúd geometriáj é terhelée: R,, d eldt: ) A N N rúderő-, T T níróerő- é hjlító nomtéki függvének htároá, igénbevételi ábrák rjolá jellemő értékek dáávl b) A A keretmeteten feültégelolá htároá ) A N N rúderő-, T T níróerő- é h hjlítónomtéki függvének htároá, igénbevételi ábrák rjolá jellemő értékek dáávl: A trtót terhelő erőt trtó tetőlege K keretmetetének úlpontjáb redukáljuk A íg kpott vektorkettő klári koordinátái kereett igénbevételek A előjelek igénbevételek előjel bálánk felelően dódnk A K N N o, T T in, h R o Eeknek függvéneknek ábráoláávl kpjuk igénbevételi ábrákt: h r Enrio Betti (18-189) ol mtemtiku é mérnök Crlo Alberto Ctiglino ( ) ol mtemtiku é fiiku 86

7 Rúderő ábr: Níróerő ábr: Nomtéki ábr: N T h R b) A A keretmeteten feültégelolá htároá: A A keretmetet igénbevétele: húá-nomá é hjlítá N h h, hol A A I r N húá-nomából ármó normálfeültég, A A R R R hjlítából ármó normálfeültég A Ir R A Ir R d d A A keretmetetben h R, R, A redukált máodrendű nomték: Ir da ( A) A feültégelolá: h d 517 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá, terhelhetőége Adott: A A keretmetetében beflott, neged körív köépvonlú trtó geometriáj é terhelée A trtó drb L 465 elvénű idomél, melnek keretmetetét lábbi ábr emlélteti kétféle elrendeében R mm, 4P, n, kn t 87

8 A 6 e m 19,6 e m R B ) eet b) eet eldt: ) A mimáli redukált feültég htároá mindkét eetben, Kidolgoá: kn terhelé mellett b) A 1m, illetve m mimáli terhelőerő htároá mindkét eetben, n bitonági téneő figelembe vételével t bál íkgörbe rudk ámítáánál: / em 4 Grhof-formul é r m I lklmá 4 / e 1, Grhof-formul é I lklmá 1 / e egene rúdr vontkoó öefüggéek m R Ebben eetben: 7,4 Grhof-formul; e e 4,4 m I I m 4 4,4 m ( 9) A veéle keretmetet A keretmetet, A keretmetet igénbevételei: N kn, T, R 6 Nm (ld előő feldt) ) eet: h h B C N h h R R R R R R A R A I R A R A I R I R R R ,6 1 B B,9 P I R 4, 41 19,6 B R R 6 4,4 1 81,49 P 8 I R 4, 41 59,6 C C C 88

9 red m 1m C 81,49 P n 1m t red m 4 4,91 kn n 81,49 t red m b) eet: B C h R R 6 B 8 4,4 1 6,1 P I R 4,4 1 4,4 B B R R 6 19,6 1 6,58 P 8 I R 4,4 1 8,4 C C red m B m 6,1 P n red m C m t 4 6,44 kn n 6,1 t red m egjegé: A kétféle elrendeét öehonlítv egértelműen b) eet kedveőbb, mert ugnoln önúl é bitonági téneő mellett b) váltot erinti rúd terhelhetőége ) váltotho m 6,44 képet: 1,1 -ere 4,91 1m 517 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá, redukált máodrendű nomték A R Q B b P Adott: A R ugrú, neged körív köépvonlú, tégllp keretmetetű primtiku rúd, melet A keretmetetben erővel é nomtékú erőpárrl terhelünk A B keretmetet mereven befogott R mm, 4 mm, b 6 mm, kn eldt: ) A B keretmetet tengelre ámított I red máodrendű nomtékánk htároá b) A B keretmetet, P é Q pontjibn ébredő normál feültég htároá, h 89

10 ) értékének htároá úg, hog B keretmetet P é Q pontjábn redukált feültégek egeenek Kidolgoá: ) A B keretmetet tengelre ámított I red máodrendű nomtékánk htároá: I ln r da b d b 1 A, A dtokt beheletteítve: I r ln mm 4 1 A fentihe honló integrndu primitív függvénét nem mindig kpjuk árt lkbn E eetben integrndut orb kell fejteni é eután htvánfüggvének öegeként kell integrálni: f f f f f!! A f függvén n-ik deriváltj helen: f A negedrendű köelíté eetén: r I b d b d n n! n b b ,78 mm b) A B keretmetet, P é Q pontjibn ébredő normál feültég htároá, h kn é : bál íkgörbe rudk ámítáánál: / em 4 Grhof-formul é r m I lklmá 4 / e 1, Grhof-formul é I lklmá 1 / e egene rúdr vontkoó öefüggéek m R Ebben eetben: 7,4 Grhof-formul, I r hnáltávl e e 4,4 m m 9

11 A előjel-konvenió erint rúderő poitív, nomték poitív, görbületi ugár negtív: N 1 N, h R 96 Nm A Grhof-formulából:, mm N R R, h h A AR Ir Ir ( R ), h eültégek pontbn:, P pontbn:,1 4,78 P, Q pontbn:,1 11,81 P, ) értékének htároá úg, hog B keretmetet P é Q pontjábn redukált feültégek egeenek: A előjel-konvenió erint rúderő poitív, nomtéki igénbevétel poitív, görbületi ugár negtív: N 1 N, h R, mm N R R A AR Ir AR Ir ( R ) h h A Grhof-formul: A normál feültégnek kell egenie keretmetet P é Q pontjibn, vgi egenlet oldáát kereük:,1,1 R R R R P AR I ( R ) AR I ( R ) Q r Q r P Q R R P, R Q RP A fenti egenlőég k kkor teljeül, h R R R 96 Nm Ebben eetben keretmetet igénbevétele húá-nomá, mi homogén feültégelolát ho létre egjegé: 91

12 Beveetve váltoót, I r redukált máodrendű nomték é I máodrendű nomték I r I ábráolhtjuk: hándoát fenti I r b ln 1 öefüggé felhnáláávl E függvén íkgörbe rudk ámítáár hnált bált mgrá: Például, h I 4, kkor r 1,4, mi t jelenti, hog I r k 4%-kl különböik e I m I -től Tehát ebben eetben I r redukált nomték helett jó köelítéel egene rudknál értelmeett I máodrendű nomtékot hnáljuk Kevébé görbült rudk eetén ( 4 /em ) tehát nem ükége redukált nomték kiámítá 5174 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá C R R B R A Adott: A R ugrú, félkörív köépvonlú, kör keret-metetű trtó, melet A pontbn nomtékú erőpárrl terhelünk 4 Nm, R 6 mm, 5 P eldt: ) A igénbevételi függvének htároá, igénbevételi ábrák rjolá é veéle keretmetetek htároá b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján 9

13 ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-féle öefüggéel Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg feltétel nem teljeül red m Kidolgoá: ) A igénbevételi függvének htároá, igénbevételi ábrák rjolá é veéle keretmetetek htároá: N h T R Előjelbál: ; N o, R T in, R h o, h R R R h 1 o Veéle keretmetet: C R b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján: C B A N R T R h h N A I éreteé k hjlítár: 5 K d 41 d 5,4 mm,14 5 ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel 9

14 Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg 5P feltétel nem teljeül red m Ellenőré: görbe rúd húái é hjlítái igénbevétellel N, hol előjelbál értelmében: A A I R e m r R P Q O é d 5,4, mm A N, kn R 6 N hú 6,56 P A ,151 P, A( R) 57 6 hú 6,56 P R 1 4,7 4 / em 1 : Grhof-formul, Ir I d 5,4 d 5,4, , I 4 mm I 6,56P , ,7 P 6,56 1,7 1,11 P, , , 7 Q 6,56 1,7 9,9 P Q 9,P 5P, trtó ilárdágtni empontból nem felel! A trtó átmérőjét növelni kell! A átmérő értékét lépőeteen növelve é újr elvégeve ) pontbn leírt ámítáokt, d 8 mm eetén érjük el kívánt feltételt 5175 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá, méreteée A A K B R C Adott: A R ugrú, félkörív köépvonlú, kör keretmetetű trtó, melet B pontbn erővel terhelünk 7kN, R 6 mm, 5 P A C eldt: 94

15 ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg m 5P feltétel nem teljeül Kidolgoá: ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá: A támtó erőrender htároá: A, C, A e Igénbevételek: A T N h e Ro Igénbevételek AB kon: N o in, T in o, R h 1 o Rin Igénbevételek BC kon: N o, T in, h R 1 o N T h A red Igénbevételi ábrák K B Veéle keretmetet: R C K keretmetet, hol rúderő é hjlító nomték bolút értéke i mimáli A níróerőnek, mi nomték deriváltj, itt éruhele vn: T in o tg 6,4 K b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján A veéle keretmetet K keretmetet ( K 6,4), hol igénbevételek: 95

16 N( K) o6,4 in 6,4 5,447 7, N, T ( K) in 6,4 o6,4, R h ( K) 1 o6,4 R in 6,4 11,447 4, ,6 Nm N A I N 786 N 59,6 Nm d éreteé k hjlítár: K d 59,6 d mm 6, ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg m 5P feltétel nem teljeül: Ellenőré: görbe rúd é húá+hjlítá N h h R, hol A AR I R R P Q O r red N 786 N, 59,6 Nm, R h d,1416 8mm A, 4 4 N 786 hú,6 P, A 8 h 6 59,6 11,4 P, AR 8 1,6 hú 9, P R e m R 1 5,45 4 / em 1 Grhof-formul, Ir I d 96

17 I 4 4 d, mm 4 I eültégek bejelölt pontokbn: 9,P, 59,6 6 9, 1 111,66 P, 6 P ,6 6 9, ,8 P Q Q 1,P 5P, trtó ilárdágtni empontból nem felel! A trtó átmérőjét növelni kell! A átmérő értékét lépőeteen növelve é újr elvégeve ) pontbn leírt ámítáokt, d 4 mm eetén érjük el kívánt feltételt 5176 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá, méreteée A R K B R C R Adott: A R ugrú, félkörív köépvonlú, kör keretmetetű trtó, melet B pontbn nomtékú erőpárrl terhelünk 4 Nm, R 6 mm, 9 P eldt: ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg m 9P feltétel nem teljeül Kidolgoá: ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá: T h R N red N o, T in, R R Hjlítónomték AB kon: h R Ro o 1 R Hjlítónomték BC kon: 1 o h 97

18 Igénbevételi ábrák: N R T A B C R R h b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján: éreteé B keretmetetben I d éreteé k hjlítár: K d 5 1 d, ,15 mm ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felelne, átmérő növelée ddig, míg m 9P feltétel nem teljeül: Ellenőré: görbe rúd é hjlítá B keretmetetben A ellenőrét méreteé eredménénél ngobb átmérőre végeük el d mm Grhof formul: 98 red

19 N, A A I R r P Q A előjelbál értelmében: R d, mm A 4 4 N N, hú A 1,6 P, 14 1,6 6 A AR hú 1,6 P R e m O R / em 1 Grhof-formul, Ir I d d, I 7854 mm I eültégek bejelölt pontokbn: 1,6P, 6 1, 6, 1 8,9 P, P Q 1, 6 (, 1) 95 P Q red 95P 9P A trtó ilárdágtni empontból nem felel! A trtó átmérőjét növelni kell! A átmérő értékét lépőeteen növelve é újr elvégeve ) pontbn leírt ámítáokt, d 1 mm eetén érjük el kívánt feltételt 5177 feldt: íkgörbe rúd igénbevételei, feültégelolá, méreteée C R B R A R b Adott: A R ugrú, félkörív köépvonlú, tégllp keretmetetű trtó, melet B pontbn Nm nomtékú erőpárrl terhelünk R 5 mm, b, 1 P 99

20 eldt: ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felelne, átmérő növelée ddig, míg m 1P feltétel nem teljeül Kidolgoá: ) A igénbevételi ábrák rjolá, veéle keretmetetek é igénbevételi függvének htároá: e Igénbevételek: A T N h e Ro Rúderő é níróerő: N o, T in R R Hjlítónomték AB kon: h R Ro 1 o R Hjlítónomték BC kon: h 1 o Veéle keretmetet: B N R T h red Igénbevételi ábrák: A B C / R b) A rúd méreteée hjlítár egene rudkr érvéne öefüggé lpján: éreteé B keretmetetben R I 1

21 éreteé k hjlítár: K , mm ) A rúd ellenőrée hjlítár é húá-nomár Grhof-öefüggéel Amenniben trtó nem felel, átmérő növelée ddig, míg m 1P feltétel nem teljeül: Ellenőré: görbe rúd é hjlítá B keretmetetben A ellenőrét méreteé eredménénél ngobb méretre végeük el: 11 mm, b mm N h h A előjelbálból: R A A Ir A b 11 4 mm P N N, hú A h, A AR 15 1,4 P 6 4 1,5 Q R hú 1,4 P red R e I m O R 5 4,55 4 / em 1 : Grhof-formul, Ir I I 9761 mm red 1 1, 1,4P , 4, P, P ,4 (,1) 57,6 P Q 1 Q 57,6P 1P A trtó ilárdágtni empontból nem felel! A trtó méreteit növelni kell! A méret értékét lépőeteen növelve é újr elvégeve ) pontbn leírt ámítáokt, 1 mm, b 4 mm eetén érjük el kívánt feltételt 11

22 5 Primtiku rudk bd vrá bd vrá: rúd ( keretmetet) pontjink tengel iránú elmoduláát emmi em kdálo ( ) Gátolt vrá: rúd pontji nem modulhtnk el bdon tengel iránábn ( ) A gátolt vránk vékonelvénű rudknál vn jelentőége Itt k bd vrál fogllkounk 51 Egkt oldá - rúd keretmetetének lkj tetőlege A r l P R H Al P R n eltételeéek: - q, - H plát terheletlen: ( n ), -, - da, ( A) n R da e ( A) Dinmiki peremfeltételek: - H plát terheletlen n eültégi állpot: Egenúli egenletek: - Al -en rúd igénbevétele vrá: - da, ( A) R da e ( A) A -en igénbevétel vrá ugn, mint A,,, hol,, teljeülnek!, l -en 1

23 A egenúli egenlet teljeüléét eg U, feültégfüggvén beveetéével érjük el A Prndtl 4 -féle feültégfüggvén: U, -, helkoordinátánk leglább kétereen differeniálhtó függvéne U U A feültégek ármttá:, Beheletteítve egenúli egenletbe: A feültégvektor: e e A U, - peremfeltételeket, - Hooke törvént, U U, egenlet identikun teljeül U U U U e e e e e U e -nk még ki kell elégítenie: - komptibilitái egenletet, A peremfeltételek kielégítée: - A plát terheletlen: n, n U Beltrmi - ihell komptibilitái egenletek n n, n A pláton n n n n n érintő iránú Átlkítá: n U e n U e n U t - A A é l t iránmenti derivált P t U g Uállndó Önkéne (élerű) váltá A rúdvégeken: g n 4 Ludwig Prndtl ( ) német fiiku é mérnök 1

24 A eredő erő: da Bionítjuk, hog eredő erő null ( A ) l da U eda A feültégvektorr kpott öefüggét beheletteítve: ( A) ( A) Átlkítá Gu-Otrogrdkij 5 -féle integrál átlkítái tétellel: A l t g n U e da mert U = állndó é g g e U n d t C da C n d ( ) ( A) g l A orá oráok köül bármelik lehet U t d U t d, g g t d mindig fennáll g A feltétel tehát teljeül, h keretmetet peremgörbéjén U állndó (előő peremfeltétel) A keretmetet pontjár ámított nomték: Átlkítá: A A l l R da e ( A ) e R U e da U R e e R U da l l e R U da e RU R U da A A l e RU da e R UdA, A Al l l Gu-Otrogrdkij-tétel g n RU d, mert U g 5 ihil Viljevi Otrogrdkij ( ) oro mtemtiku 14

25 R U da U da A A l Ugni: R e e e e 1+1= l U da A vró nomték i kiámíthtó U feültégfüggvénből ( A) A Beltrmi-ihell féle komptibilitái egenletek kielégítée: 1 I 1 I, 1 1 I I,, mert I A úttó feültégeket beheletteítve: U U U U A Hooke törvén é kinemtiki egenletek felhnáláávl: U állndó U G Poion-féle differeniálegenlet hol: G - úttó ruglmági modulu, - fjlgo ögelfordulá A elmodulámeő előállítá: H u u u,, v v v,, w w w, u f u v f f v f u w df w,,, d G d f f d, hol állndó (fjlgo ögelfordulá) 15

26 v w f előővel egeő gondoltmenetből Elmodulámeő koordináták: u, v w, w,, kielégítik öe kinemtiki feltételt A elmodulávektor:,,, u e R w e keretmetet öggel elfordul keretmetet pontji tengel iránbn i elmodulnk - tetőlege helen levő keretmetet ögelfordulá = keretmetethe képet A eredmének öefogllá: Primtiku rudk bd vrái feldt viveethető eg U(,) feültégfüggvén htároáár U(,) Prndtl-féle feültégfüggvén nem tetőlege 1) Ki kell elégítenie: U G Poion -féle differeniálegenletet é U g peremfeltételt ) A igénbevétel é feültég ármttá feültégfüggvénből: U, da, U e C ( A) Titán geometrii trtlmú feültégfüggvén beveetée:,, U, U G U A U, -r vontkoó egenletek: 1) U, U g ) G U, da GI, ( A) hol, ( A) k keretmetet geometriájától függ I U da keretmetet vrái máodrendű nomték A I titán geometrii jellemő, k keretmetet geometriájától függ A úttó feültég: GU e 16

27 A fjlgo ögelfordulá: A ögelfordulá: GI GI A Prndtl-féle membrán nlógi: A nlógi feültégfüggvén é feített é felfújt membrán lkj köött áll fenn A nlógi lpj: - differeniál egenlet onoág - peremfeltétel N N/mm A membránt keretmetet lkjánk felelő furtr (lukr) feítjük rá g A keretmetet lkj tetőlege N - membrán íkjáb eő feítőerőűrűég, p - membrán íkjár merőlege nomá N p N/mm N (, ) A membrán lkjánk differeniálegenlete: Peremfeltétel: g p, N A differeniálegenlet é peremfeltétel i oln, mint bd vránál eültégfüggvén többöröen öefüggő trtomán eetén: Peremfeltételek feültégfüggvénre: U (, ) U1 U g, U U U g1 g U U 1 = állndó, = állndó A ábrán láthtó, hog feültégfüggvén keretmetet g külő peremén éru, g 1 é g belő peremeken pedig állndó g g 1 g 17

28 5 Köelítő oldá Vékonelvénű rudk bd vráár köelítő oldát állítunk elő Vékonelvénűnek tekintünk eg rúdkeretmetetet kkor, h elvén vtgági méretei lénegeen kiebbek, mint keretmetet jellemő méretei ) Nitott vékon elvénű rudk - Vékonflú tégllp elvén b v eültégek: U v Köelítő feültégfüggvén: U G 4 U U Poion egenlet: G, G G - teljeül v Peremfeltételek: U teljeül, b U nem teljeül A peremfeltétel perem ki kán nem teljeül köelíté!, U G lineári elolá v v bv Cvrónomték: U da Gb d G, 4 ( A) v I G I bv A keretmetet vrái máodrendű nomték: I eültégek G heletteíté után:, m I I I - Öetett nitott vékonflú elvén ( vékon tégllp eredméneinek áltlánoítá) b v b v bv i I i 1, I G I i, v 1 b 1 18

29 - Görbe köépvonlú nitott vékonflú elvén v () 1 I v d b A többi öefüggé váltotln lkú b) Zárt vékonelvénű elvénű rudk U 1 O A k U (, ) v Köelítő feültégfüggvén: U1 U, h v eltételeük, hog U, elvén vtgág mentén lineárin váltoik Cúttó feültég: U U1 állndó v A feültégelolá elvén vtgág mentén állndó A lineári U függvén lépő köelítée: U da A U U k 1 1 A ( A) k U 1 v Ak v Bredt 6 - formul 4A A keretmetet vrái máodrendű nomték: I 1 d v A - árt elvén köépvonl áltl körbeárt felület területe k k 6 Rudolf Bredt (184-19) német gépémérnök é mtemtiku 19

30 5 Gkorló feldtok bd vrár 51 feldt: Háromög keretmetetű primtiku rúd bd vrá Adott: h A ábrán láthtó egenlő oldlú háromög keretmetet, melnek igénbevétele bd vrá A keretmetet U U, feültég függvénét követkeő lkbn kereük: U h G h eldt: ) Annk vigált, hog dott feültégfüggvén teljeíti-e előírt peremfeltételeket é Poion-egenletet b) A feültégelolá é feültégi állpot htároá ) A egenúli egenlet teljeüléének ellenőrée d) A keretmetet vrái máodrendű nomtékánk kiámítá Kidolgoá: ) Annk vigált, hog dott feültégfüggvén teljeíti-e előírt peremfeltételeket é Poion-egenletet: A feültégfüggvéntől követeljük, hog leglább kéter foltonon differeniálhtó legen, továbbá keretmetet kontúrgörbéjén onon éru legen A htvánfüggvének kárhánor foltonon differeniálhtók Peremfeltételek: - A egenletű oldlélen ( háromög lpj): U h G h - A h egenletű oldlélen ( háromög jobboldli oldl): h h U h h G h - A h egenletű oldlélen ( háromög bloldli oldl): h h U h h G h A Poion-egenlet: U G A máodrendű priáli deriváltk kiámítá: U 6 G G U G,, h h h 11

31 U G G h h h h 4h h U G G 4 h h h h h U U G G U h G h h A Poion-egenlet: b) A feültégelolá é feültégi állpot htároá: U G U G 4h h, h h eültégelolá tengel mentén ( eültégelolá tengel mentén ( ): G h, h G, h ): 4h h eültégelolá bloldli oldlél mentén ( h ): G G h, h h h A úttó feültég vektor: G G e e he he h h A oldlél normálvektorávl vló klári orá útján igolhtó, hog úttó feültég párhumo oldléllel, vgi oldlélre merőlege öetevője null: G G n e e h e h e h h G h h A negtív előjelre ért vn ükég, mert, irán ellentéte tengel iránávl h Beveetve új váltoót: G h h G h h h h E ugn függvén, mint mit tengel menti feültégelolár kptunk A úttó feültég oldléleken párhumo óbn forgó oldléllel, miből követkeik, hog rúdnk, melnek keretmetetét eddig vigáltuk, mindhárom oldllpj terheletlen Eg n normáliú felület ugni kkor terheletlen, h n n 111

32 Primtiku rudk vrá eetén:, n n n A orát elvégeve feültégvektor elő két koordinátájár nullát kpunk, hrmdik koordinát pedig: n n igelembe véve feültégtenor immetriáját, e kifejeé éppen normálvektor é úttó feültég vektor klári ort, mi kkor null, h úttó feültég párhumo keretmetet kontúrvonlávl ) A egenúli egenlet teljeüléének ellenőrée: Egenúli egenlet: q, hol: klár egenletek:,,, q ivel -től nem függ feültégtenor egik koordinátáj em, erinti priáli deriváltk nullávl egenlők Íg elő két egenlet: onoág A feültégfüggvén definíiój erint: U U, U U Beheletteítve hrmdik egenletbe:, mi mindig teljeül, h feültégfüggvén leglább kéter foltonon differeniálhtó d) A keretmetet vrái máodrendű nomtékánk kiámítá: 11

33 h U da 4 h G dd h A elhnáljuk feültégfüggvén immetriáját tengelre: U U Íg integrált k keretmetet jobb felére ámítjuk ki é orouk kettővel: h 4 h G dd h Előör erinti integrálát végeük el, mert ennek htároott integrálnk integrálái trtomán függ -től h h d h h h h 4 1 h 4 Et kifejeét még integrálni kell erint -tól -ig é oroni integrnduból kiemelt G h -vl: G h h d G h igelembe véve IG öefüggét, vrái máodrendű nomték: I egjegéek: ) eültégfüggvénnel oldott vrái feldtnál egenúli egenlet onnl teljeül, hien k vege priáli deriváltk egenlőégét követeli, mi leglább kéter foltonon differeniálhtó függvéneknél mindig teljeül b) elmerül kérdé, hog kpott vrái máodrendű nomték mekkor átmérőjű kör keretmetetű rúd nomtékávl egeik 7 I D D 1,94 5 A belül írhtó kör átmérője: DB,5774 A körülírhtó kör átmérője: DK 1,1548 A kpott eredmén körülírhtó kör átmérőjéhe vn köelebb 11

34 5 feldt: Ellipi keretmetetű primtiku rúd bd vrá B b A Adott: A ábrán láthtó ellipi keretmetet igénbevétele bd vrá A keretmetet Prndtl-féle feültég függvénét követkeő lkbn kereük: 1 U C b eldt: ) A feültégfüggvénben ereplő C egütthtó htároá b) A I vrái máodrendű nomték htároá ) A feültég állpot é elmodulá állpot htároá Kidolgoá: ) A feültégfüggvénben ereplő C egütthtó htároá: A feültégfüggvénnel emben három követelmént támtunk: legen leglább kéter foltonon differeniálhtó, keretmetet kontúrjin értéke legen éru (többöröen öefüggő trtomán eetén belő kontúrokon legen kontn), teljeüljön rá U G Poion-egenlet A elő két követelmén teljeül, mert feültégfüggvén kárhánor foltonon differeniálhtó é kontúron ( ellipi pontjin) feültégfüggvén értéke null A U G Poion-egenlet pedig lklm rr, hog C egütthtót htárouk: A máodrendű priáli deriváltk kiámítá: U C, U C, b Poion-egenlet: U C, U C b U U b U C G b b) A I vrái máodrendű nomték htároá: U da C 1 da A A b A integrál kiámítááho váltoó-trnformáiór vn ükég: b C b o ; in U C 1 o in C 1 b A trnformáió Jobi-determinán: G 114

35 , o in b o b in b, bin b o A integrál kiámítá:, A 1 4 U da C 1 b d d bc b C 4 b G b A vrái máodrendű nomték I b b ) A feültég állpot é elmodulá állpot htároá: U C G b b A feültégek elolá lineári U C b G b G b A keretmetet veéle pontjánk htároá: ivel normálfeültég nin, eért veéle pontot úttó feültég bolút ér- 4 4 tékének mimumhele dj: b E kifejeé, illetve pontokbn ve fel lokáli élőértéket (ekkor válik nullává úttó feültég bolút értékének priáli deriváltj) A A pontbn: ; U C b bg G b b b U C bg A B pontbn: ; G b b b ivel b, eért B pontbn fellépő úttófeültég bolút értéke ngobb A pontbn fellépőnél A keretmetet veéle pontj: B pont A úttófeültég irántngene: A keretmetet kontúrjáho ( ellipihe) húott érintő meredekége: b 1 b b d b d 1 b d d b b 115

36 A úttófeültég keretmetet kontúrján érintőiránú E t jelenti (bionítá előő feldtbn), hog rúd, melnek keretmetetét vigáljuk, terheletlen pláttl rendelkeik G A feültégi tenor: b b b A Hooke-törvén egítégével htárohtjuk lkváltoái tenort: A b b b A lkváltoái tenorból htárohtó elmodulámeő: A főátlóbn lévő éruok mitt: u u u, v w, v v,, w w, eltételeve t, hog vrá orán keretmetetek elfordulnk egmáho képet, de keretmetetek lkj (elő rendben) nem váltoik é úlpontjik továbbr i úlponti egenere enek: A geometrii egenletek: u ivel é b hol w u(,, ) e R w, e, hol R e e u(,, ) e e w, e u v v, íg b K -nk tetőlege függvéne Honlóképpen: b hol w b u w, b v w b b b b w 1 K K b b b b w 1 L L L -nek tetőlege függvéne A eredméneket öevetve: L K állndó E állndó keretmetet pontjink egerű iránú eltolá, mivel nem fogllkounk Íg elmodulámeő: b u(,, ) e e e u v b w,, 116

37 5 feldt: Tégllp keretmetetű primtiku rúd bd vrá b Adott: A ábrán láthtó tégllp keretmetetű primtuku rúd, melnek igénbevétele bd vrá eldt: ) A Prndtl-féle feültégfüggvén köelítő é egkt előállítá b) A előállított feültégfüggvének emléltetée ) A keretmetet feültégeloláánk é veéle pontjink htároá d) A feültégeloláok emléltetée Kidolgoá: ) A Prndtl-féle feültégfüggvén köelítő é egkt előállítá: A feültégfüggvénnel emben nég követelmént támtunk: legen leglább kéter foltonon differeniálhtó, íg vege priáli deriváltji egenlők, vgi teljeítik egenúli egenletet, keretmetet kontúrjin értéke legen éru (többöröen öefüggő trtomán eetén kontúrokon legen kontn), íg kontúr terheletlen, belőle ármttott feültég nomtékánk felületi integrálj egeen vró nomtékkl, teljeíte U G Poion-egenletet (e komptibilitá feltétele) A köelítő oldá előállítá: A nég oldlél egenletét nullár redukálv é öeorov kpjuk köelítő feültégfüggvént: U, C b 4 4 E kifejeé kárhánor foltonon differeniálhtó, íg vege priáli deriváltji egenlők, vgi teljeíti egenúli egenletet A függvén éru értéket ve fel keretmetetet htároló tégllp minden ege pontján, íg úttó feültég kontúrrl párhumo le A C egütthtó htároá: U, 4 C U b, 4 C U U da C da A A, C dd b b 18 Átrendeve: C b b b C 117

38 A feültégfüggvén:, 18 b U b 4 4 E feültégfüggvén onbn nem teljeíti Poion-egenletet: U b C 4 U C 4 U b C, 4 U C, 4 U U b U C áll 4 4 A íg kiámított feültégállpot é elmodulá állpot nem egkt oldá A egkt oldá előállítá: A U G Poion-egenletet homogeniálv U Lple-egenlethe jutunk, melnek oldái például U1 inh in, U inh o U oh in é U oh o függvének Tekintük f, oh o 4 függvént 1, E teljeíti Lple-egenletet, h 1, ugni f, oh 1 o oh 1 o 1 f, A f, feltétel pártln ám egenletű oldlkon kkor teljeül, h k, hol k k k A g, Ck oh o függvén tehát Lple-egenlet oldá é tégllp függőlege oldli mentén teljeíti peremfeltételt i (E nem Lple- k 1,, 5 egenlet áltláno oldá, de bioníthtó, hog rr nin i ükég!) A Poion-egenlet eg priáli oldáát már imerjük feldt köelítő oldáából: g, G 4 A egkt oldá eetén Prndtl-féle feültég függvént lábbi lkbn kereük: k k U, G Ck oh o 4 k 1,, 5 H C k egütthtókt úg váltjuk, hog feültégfüggvén tégllp víinte oldli mentén i eltűnjön, kkor mind nég követelmént ikerül kielégíteni, vgi egkt oldáho jutunk A C k egütthtók htároá: 118

39 A k b eetén D egütthtók htároá: kb k U, G Ck oh o 4 k 1,, 5 D k G Dk o 4 k1,, 5 k k G o d Dk o d 4 k1 8 A htároott integráláokt elvégeve: D k 1 G k A Prndtl-féle feültégfüggvén egkt oldá eetén:, k 1 8 G k k U G 1 oh o 4 k 1,, 5 k oh kb A egütthtók neveőjében ereplő k mitt or gorn konvergál A nulldik köelíté peremfeltételt nem teljeítő, U G köelítő - 4 oldá A elő köelíté: k 1, 8 G U G oh oh o 4 b b) A előállított feültégfüggvének emléltetée: A ábrákon G 1,, b 6, C 1 b U, C 4 4 Nem elégíti ki Poion-egenletet A peremfeltétel mind nég peremen teljeül U, G 4 A Poion-egenletet kielégíti A tengellel párhumo peremeken peremfeltétel teljeül Nem teljeíti peremfeltételt tengellel párhumo peremeken 119

40 1 U, G 4 8 G oh o ohb A Poion-egenletet kielégíti A tengellel párhumo peremeken peremfeltétel teljeül Köelítőleg teljeíti peremfeltételt tengellel párhumo peremeken ( hullámo peremen) ) A keretmetet feültégeloláánk é veéle pontjink htároá: Köelítő oldá: A feültégfüggvén:, b U C, 4 4 U 6 b 4 E éru tengelen é lineári feültégelolá tengel mentén: 9 b A tengellel párhumo egeneek mentén i lineári elolá, de tengeltől távolodv egre kiebb mimáli feültég, míg - prboliku ökkenét követve tégllpot htároló oldlk mentén teljeen eltűnik U 6 b b 4 E éru tengelen é lineári feültégelolá tengel mentén: 9 b A tengellel párhumo egeneek mentén i lineári elolá, de tengeltől távolodv egre kiebb mimáli feültég, míg prboliku ökkenét követve tégllpot htároló oldlk mentén teljeen eltűnik A veéle pontok ; pontok ( tengel é tégllp kontúrjánk metetei), 9 hol feültég: m b A egkt oldá:, k 1 8 G k k U G 1 oh o, 4 k 1,, 5 k oh kb k 1 U 8 G k k 1 inh o, k 1,,5 k oh kb 1

41 k1 U 8 G k k 1,,5 oh G 1 oh in k k kb A nulldik köelíté vidj peremfeltételt nem teljeítő oldát 1 A elő köelíté: 8 G oh b inh o 1 U 8 G G oh in oh b A vró nomték kiámítá: r da da da b A A A 8 G da G oh in dd oh b A b b 16 G G 5 inh b 6 oh b, b 8 G da inh o dd oh b A b 16 b b G b oh inh 5 oh b b 16 b G G I I b, 1 b G b 6 4 ; 1 8 inh o 1 16 ; b 4 oh b 6 1 U 8 oh in 1 16 oh b b 4 6 A veéle pontok keretmetet nég ú, hol d) A feültégeloláok emléltetée: 8 1 5,47 1 m 1 16 b b

42 A ábrákon Köelítő oldá: 4,, b 6 U 6 b 4 U 6 b b 4 Nem teljeíti Poion-egenletet A egkt oldá nulldik köelítée:, 1 b Nem teljeíti peremfeltételt A egkt oldá elő köelítée: A Poion-egenletet teljeíti, peremfeltételt köelíti 1 8 inh o 1 16 b 4 oh b 6 1, 1 1 U 8 oh in 1 16 oh b b 4 6, 1

43 54 feldt: Nitott vékon elvénű primtiku rúd bd vrá h v 1 v b b Adott: A ábrán váolt U5 elvénű ( 6) primtiku rúd geometriáj é ng A rúd igénbevétele bd vrá h 5 mm, b 8 mm, v1 5 mm, v 7 mm, 15 P eldt: ) A elvén I vrái máodrendű nomtékánk htároá b) A mimáli vró nomték htároá Kidolgoá: v 1 b v 1 h v A vlóágo elvént állndó flvtgágú nitott elvénnel modelleük A feldtot erre modellre oldjuk v ) A elvén I vrái máodrendű nomtékánk htároá: 1 1 v I 1 h v v1 b v I , mm 4 b) A mimáli vró nomték htároá: m v m I I A veéle pontok U elvén két áránk belő- é külő felületén vnnk, mert v v 1 m red m ohr m v I m I 999, Nmm=1,4 Nm v 7 55 feldt: Nitott vékon elvénű primtiku rúd bd vrá Adott: A ábrán váolt nitott elvénű primtiku rúd geometriáj é ng A rúd igénbevétele bd vrá 1

44 1 mm, 15 mm, 1 mm, v1 1 mm, v 1 mm, v 5 mm eldt: 1 v 1 v v ) A elvén I vrái máodrendű nomtékánk htároá b) A m mimáli úttó feültég htároá, h 1 Nm ) A rúd fjlgo ögelforduláánk htároá, h 1 Nm é G 8 1 P 4 Kidolgoá ) A elvén I vrái máodrendű nomtékánk htároá: I 1v 1 v v 1,8 1 mm b) A m mimáli úttó feültég htároá, h 1 Nm : v 1 m m 1 9,9 P 5 1 I 1,8 1 1 ) A rúd fjlgo ögelforduláánk htároá, h 1 Nm é P: 1 1,4 1 rd/m GI 81 1, G feldt: elvágott vékonflú ő vrá d D Adott: A ábrán láthtó felvágott vékonflú ő geometriáj é terhelée: 8 Nm, D 4 mm, d 6 mm, l 1m eldt: ) Annk htároá, hog milen foláhtárú ng felel n 1,5 -e bitonággl b) A rúdvégek köötti ögelfordulá htároá, h 9 G 8 1 P Kidolgoá: 14

45 ) Annk htároá, hog milen foláhtárú ng felel n 1,5 -e bitonággl: Dd 4 6 Dd 4 6 dk 8 mm, v mm A vrái máodrendű nomték kiámítááho köépkör kerületét hnálhtjuk, mert felvágá k jelentéktelen mértékben ökkenti elvén ívhoát: 1 1 8, , mm 4 I v dk A keretmetet veéle pontji: külő- é belő kör vlmenni pontj v 8 m 1 5, P 1 I 18, 1 R red m m m 1, 6 P ( ohr), m 87,1 P ( HH ) n red m ( ohr) 1,5 1, 6 15,9 P n red m ( HH ) 1,5 87,1 1, 7 P b) A rúdvégek köötti ögelfordulá htároá, h 8 rd,14, 1 9 IG 18, m l l,14 1,14 rd =18 IG 57 feldt: Tégllp keretmetetű árt elvén vrá 9 G 8 1 P : v v 1 Adott: A ábrán láthtó tégllp keretmetetű árt elvén geometrii méretei é terhelée: Nm, 1 mm, b mm, v1 1 mm, v 5 mm b P P 1 eldt: ) A P 1 é P metetben ébredő úttó feültégek kiámítá b) A rúdvégek köötti ögelfordulá htároá, h l m, 1 G 8 1 P Kidolgoá: ) A P 1 é P metetben ébredő úttó feültégek kiámítá: A v b v k ( )( 1) mm, 15

46 P 1 P 5 1,55 P, Av k ,1 P Av k b) A rúdvégek köötti ögelfordulá htároá, h l m, v b v d 95, v v1 v Ak 418, I 1,7 1 m 1 d 95 v l 4,6 1 rd =,1 6 1 IG 1, feldt: Vékonflú ő vrá Kidolgoá: d D 1 G 8 1 P : Adott: A D külő- é d belő átmérőjű, l hoúágú élő, melnek igénbevétele vrá D 4 mm, d mm, l 1 mm, 1 Nm, G 8 GP eldt: ) A nírófeültégnek, I vrái máodrendű nomtéknk é ővégek ögelforduláánk htároá Bredt-formul felhnáláávl (köelítő oldá) b) A eredmén öehonlítá egkt oldál ) A nírófeültégnek, I vrái máodrendű nomtéknk é ővégek ögelforduláánk htároá Bredt-képlet felhnáláávl: d k D d D d 5 mm, v 5 mm, A 1,4 P Av I k 8 4 Ak 49, ,81 m, 1 d 1,99 v l IG 16, d 4 k 4 k 9,6 1 m 1 d k,5,141 d 1,99, v v,5 7,4 1 rd 16

47 b) A eredmén öehonlítá egkt oldál Körgűrű keretmetet polári máodrendű nomték: 4 4 D d 7 4 I p 1,7 1 m,, I D 1, 11,6 P, m 7 I p 1,7 1 l I G 1, p 7,8 1 rd p A máodrendű nomtékbn fellépő reltív hib kiámítá: I D d 4 4 A 4 k 1 D d D d d 64 v D d D d, 4 4 D d D d D d I I p 64 D d I p D d D d d Beveetve ő reltív flvtgágát jellemő k vionámot, D I Ip 1 k k k 1 k 1 I k k p Et hándot ábráolv: H ő nem vékonflú, köelítő Bredt-formul ponttln: h belő átmérő k fele külő átmérőnek ( k,5 ), kkor oldá reltív hibáj: 1% A digrm kingítv: 17

48 Körülbelül 1 %-r ökken reltív hib, h belő átmérő külő átmérőnek 8%- A Bredt-képlet tehát jó köelíté műki gkorltbn előforduló vékonflú övek eetén 18