N-ed rendű polinomiális illesztés

Átírás

1 ed rendű polinomiális illesztés 1 oldl Tegük fel, hog dottk vlmilen fiziki menniség függvénében mért értékek, zz mérési értékpárok, hlmz ( db mérési pont) A mérés mindig trtlmz vlmekkor bizontlnságot mért értékeket illetően, miközben áltlábn feltehető, hog folmtok hátterében eg jól becsülhető, z dott elrendezésre jellemző összefüggés húzódik meg A mérés folmán ennek rögzített képzeletbeli függvénnek vonlát lövöldözzük körbe kpott értékpárjinkkl A mérés hibáj zz pontonkénti eltérések mértéke keresett összefüggéstől átlgolássl persze jvíthtó, menniben mérési bizontlnság fehérzj természetű (zz teljesen véletlenszerűnek tekinthető) H vlmilen elv, vg korábbi ismeretek lpján sejtjük, hog keresett függvén milen lkú, kkor zok prmétereit meghtározv z dott elrendezés viselkedését egszerű képletekbe öntve vizsgálhtjuk vg vonhtunk le további következtetéseket Erre kiválón lklms polinomiális illesztés módszere A keresett függvént ilenkor polinomként közelítjük úg, hog nnk hibáj mért értékektől minimális legen mérési trtománbn H zj jelhez képest kismértékű és homogén eloszlású (zz többi ponthoz képest ng kiugró értékeket nem trtlmz) módszer ngon jól hsználhtó, mert kár kevés mérési pont esetén is jó becslést d keresett függvénre Adott tehát db mérési pontpár, ezek lpján keressük függvénünket z = lkbn, hol M polinom fokszám Ez zért lehetséges, mert szinte minden, kellően sokszor differenciálhtó foltonos függvén közelíthető ilen polinom lkbn Tlorsorfejtés szerint (z áltlunk ismertek áltlábn ilenek, kivéve pl z egségugrást, ill zokt, melekben törés, ugrás, szkdás vn) A hib mértékének definiálásár képezzük következő négzetes hibfüggvént: = 2 Azz vesszük mért értékeket és keresett függvén értékeit ugnzon mérési pontokbn (i), ezeket kivonjuk egmásból, mjd z íg keletkezett különbségek négzetösszegét állítjuk elő Ez zért is jó, mert íg hibák előjelei nem ejtik ki egmást zt összegzéskor Mint láthtó is, kis eltérések lig, ngok viszont jelentősebben kihtnk végeredménre Ezért is fontos, hog mérési pontjinkt túlnomórészt hitelesnek mondhssuk Beírv 1t 2be: = Láthtó, hog feldtbn z epszilon hibfüggvén vlójábn z j egütthtók M dimenziós függvéneként jelenik meg Ennek függvénnek kellene minden j t figelembe véve minimálisnk lennie Ismert, hog vlmilen függvén dott változó szerinti szélsőértéke ott vn, hol nnk z dott változó szerinti deriváltj null Itt hibák növelésével egre ngobb hibfüggvénértékek dódnk Ezt végtelenségig lehet fokozni, zz függvén felülről nem korlátos A hibák csökkentése esetén viszont elérhető hibfüggvén legkisebb értéke, null Ekkor minden mért pont pontosn keresett függvénen vn Azz hibfüggvénnek csk minimumhele vn, elég csk egszerűen szélsőértéket keresni, nnk további vizsgáltár nincs szükség

2 2 oldl Mivel z j egütthtók mindegike kiht hibfüggvén lkjár, előállítjuk z összes prciális deriváltt és z dódó egenleteket mint egenletrendszert oldjuk meg: =!2 #! $ = 0 =!2 #! $ = 0 =!2 #! $ = 0 M+1 db egenlet Tekintve, hog z eges egenletek nullávl egenlők, 2es szorzókt el is hghtjuk Átrendezve z eges sorokt, kphtó:!! =!!! =!!! =! Az összegzés sorrendje megfordíthtó, vlmint z dott összegzés futóindeétől nem függő szorzó konstnsok bból kiemelhetők (iszerint z j ilen):!( ) =!!( ) =!!( ) =! A jszerinti összegzés kibontv következőt jelenti:

3 + + + =! =! =! oldl hol z első sor első tgj éppen * +,, mert bármilen szám nulldik htván 1 és z összegzést szer kell elvégezni Az egenletrendszert egszerűbben, mátrivektor szorztként célszerű továbbikbn felírni Átírv (0tól kezdődik z indeelés!): 0! =!! A bl felső srokból jobb lsó srok felé indulv mind ngobb részmátriokt véve juthtunk z egre mgsbb fokszámú polinomillesztés egenleteihez Például, h eg egenest szeretnénk mért ponthlmzr illeszteni (elsőrendű illesztés) z (6 = +, ) lkbn, hol legngobb htván 1, részmátriot és vektorokt is elég z egenletrendszer 1 soráig figelembe venni (bekeretezve): *!9 : 7!9 : 7!9 : < =, = 7 =!> :!> : 9 :! Ebben speciális esetben viszonlg egszerű és szemléletes képletet lehet kifejezni Visszírv z első rendre vontkozó egenleteket mátriból:

4 oldl 0!! Az első egenletből: ezt beírv második egenletbe és részletezve z egszerűsítési A! ( 0 #( ( ( )! ) $! ) ) kphtó Bevezetve felülvonást z dott menniség mérésből szármzó átlgár, z egütthtókr következő egenletek dódnk: = 7 6 B 8 B 6 B 8 B 8 B < 8 B < =, 6 B = 7 8 B A problém számítógépen egszerűbben mgsbb rendű esetben is können megoldhtó Gusselimináció segítségével A következőkben formálisn muttjuk be z eljárást

5 oldl A korábbi Med rendű illesztésre kpott egenletrendszert Gusseliminációhoz átírjuk úg, hog z lpmátriot z egenletek jobb oldlávl, mint oszloppl bővítjük: 0!!! Ezután vlmilen strtégi szerint, pl főelemkiválsztás módszerével bl oldli részmátriot felső tringulárissá tesszük Kiválsztjuk zt sort, melnek első eleme nem null Ezt sort kicseréljük z elsővel Ezután, z első sor nniszorosát djuk többi sorhoz egenként, hog zokbn z első elemek rendre kinullázódjnk Most z lsó M1 db sorrl ugnezt végezzük és íg tovább, egészen ddig, míg bl oldli részmátri főátlój ltt már csk null elemek lesznek Az első sor cserétől eltekintve természetesen nem változik, de z egségességért keletkezett mátri elemeit egformán evel jelöljük (mint eredmén): D, D, D, D, Visszírv mátrilkb: C 0 D, D, D, E 0 0 D, D, D, D, D, D, 0 D, D, C E C E= D, 0 0 D, D, Láthtó, hog lulról indulv megoldás können visszfejthető Az utolsó sorból: honnn: Ezután z M1dik sor: honnn: D, = D, = F = D, D, D G,G G +D G, = D G, = FG7 = D G, D G, D G,G Hsonlón, feljebb hldv sorokbn, z összes szükséges egütthtó rendre kiszámíthtó Mgj: Az egütthtók két egmásb ágzott forciklussl meghtározhtók, íg futási idő o(m 2 ) A számolást z eredeti mátri jobb lsó eleme (i 2M ) is korlátozhtj ng Mek esetén Itt hibát túlcsordulás (i>>1), vg kerekítési htár átlépése (0<i<1) okozht Áltlábn szokásos double tárolási osztál mellett nem szokás M>8 t megdni