Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Átírás

1 Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban nincs változás. Az alábbi áramlástani feltevésekkel élünk: Az áramlás -dimenziós, az áramlási sík koordinátái,, a sebességkomponensek u, v Az áramlás stacionárius Az áramlás turbulens, a Renolds feszültség τ t A foladék összenomhatatlan A fal melletti térben a nomás állandó Gravitációs erőtér szerepe elhanagolható b U u(,) A fenti feltételekkel a foladék áramlását leíró mozgásegenlet és a kontinuitási egenlet az alábbi egszerű alakú: u τ t + v = ρ () v + =. () Feltehetjük, hog v << u, mert számításaink eredménét nem a szilárd fal, illetve a nílás közelében, hanem a sugárban kívánjuk használni. Ahhoz viszont, hog a kontinuitási egenlet mindkét tagja megmaradjon, szükséges, hog ekkor az -iránú változás lénegesen nagobb legen, mint az -iránú változás, azaz >>. Ez a megkötés magarázza azt, hog az () mozgásegenlet jobb oldalán a csúsztatófeszültség -iránú deriváltja miért nem szerepel. A baloldali második tag viszont nem hanagolható el a másik konvektív tag mellett, mert a kis v komponens van megszorozva az u komponens nagmértékű megváltozásával, ami uganakkora nagságrendű, mint az első tagban a nag u és a kismértékű u-változás szorzata.

2 Összenomhatatlan foladék forgásszimmetrikus áramlásának számítása, vag síkáramlás számítása során mindig definiálhatunk eg kétszer foltonosan deriválható ψ(,) áramfüggvént az alábbi módon: ψ ψ u = ; v = (3) A kontinuitási egenletbe ezt az egelőre tetszőleges függvént behelettesítve a másodrendű veges deriváltak azonossága miatt a () egenlet automatikusan teljesül. A fenti ábrán látható összetartó szaggatott vonal páron belül az u sebesség még megegezik a résből kilépő foladék U sebességével, azon kívül kisebb U -nál. A széttartó szaggatott vonal pár mutatja a foladéktér azon tartománát, amin belül a sugár u sebessége zérusnál nagobb, az azon kívüli részben a foladék áll. A széttartó szaggatott vonal pár szimmetriatengeltől mért távolságát jelöljük = )-szel. A sugár teljes szélessége tehát ). A tapasztalattal egezően feltehetjük, hog a ) érték -től lineárisan függ, azaz ) = k. A sugár szétterülésének és a sugárbeli sebesség csökkenésének oka a különböző sebességű foladékrészek közötti turbulens keveredés. A turbulens áramlásra jellemző τ t Renolds-feszültség a µ t turbulens viszkozitásból számítható a Newton-féle hipotézis szerint: τ t = µ t. (4) A µ t turbulens viszkozitás pedig az l keveredési úthossz hipotézissel íg írható: µ t = ρl. () Behelettesítve ()öt (4)-be és figelembe véve, hog a sebességderivált negatív azt kapjuk, hog τ t = ρl. (6) Ugancsak a mérési tapasztalatok igazolják azt, hog a keveredési úthossz arános a sugár B félszélességével, tehát arános -szel: l = c. (7) Írjuk fel az impulzus tételt a szabadsugár fal és eg tetszőleges = áll. keresztmetszet közötti szakaszára olan széles ellenőrző felületre, ami a sugár teljes ) szélességét tartalmazza. Mivel a sugáron kívüli részben a nomás mindenütt állandó, íg a belépő foladék impulzusa egenlő az szelvénbeli távozó foladék impulzusával. be ki ) b ρ U = I = I = ρ u (, ) d. (8) Egszerűsítsünk ρ-val. Írjuk az u(,) sebességet u ma () u * (,) alakba, ahol u * a dimenziótlan sebességeloszlás. Második lépésben dimenziótlanítsuk az távolságot is. Ekkor

3 b U = u ma ) ) ) * * ( ) u (, ) d = u ( ) ) u, d ma Az egenlőségsor bal oldalán eg állandó menniség van. A jobb oldalon a ) függvénről feltettük, hog lineáris, azaz ) = k. Ekkor k * * áll. = uma k u (, ) d = uma u d. k k Tegük fel, hog a dimenziótlan integrál értéke nem függ az szelvén helétől, vagis tegük fel, hog az új η = változó bevezetésével eg hasonlósági transzformáció végezhető el. Ekkor u ma = Áll., azaz a korábbi aránosságokra is visszaemlékezve uma ; B ; l. (9) Az áramfüggvén (3) szerinti definíciója szerint ψ = u uma, emiatt végül a transzformált η változótól egelőre tetszőleges F(η) függvén szerint függő áramfüggvént az alábbi alakban keressük: ψ = F ( η) = F, valóban deriválással ellenőrizhető hog ekkor F ( ) ( η) u = ψ = F η =. () Hasonlóan: ( η) ψ F v F = = + ( η) = ( ηf ( η) F ( η) ). () Az u sebesség -, ill. -szerinti deriváltjait kiszámítva és beírva az () mozgásegenletbe figelembe véve a (6) egenletet is azt kapjuk, hog d ( F + FF = c F ) dη A bal oldalról können látható, hog az FF függvén η-szerinti deriváltjával egenlő, azaz egszeri integrálás után az F(η) függvénre vonatkozó közönséges differenciálegenlet:. F F = c F. () Határozzuk meg ezek után az F(η) függvénre vonatkozó peremfeltételeket. A v sebességkomponens a sugár szimmetriasíkjában az =, avag η = helen zérus. Ez () miatt azt jelenti, hog F() =. (3) Az u sebességeloszlás szimmetrikus a sugár szimmetriatengelére, emiatt ott a sebesség - iránú deriváltja zérus, ami a () egenlet továbbderiválásával azt adja, hog F () =. (4) 3

4 Bár a () differenciálegenletre vonatkozó, a (3), (4) peremfeltételekkel egértelműen definiált peremértékprobléma numerikus módszerrel eg tetszőleges konstans erejéig megoldható, szerepel a megoldásban a (7) képlettel bevezetett c állandó. Ezért utolsó analitikus lépésként végezzük el az η független változó újabb lineáris transzformációját a η ξ = 3 c összefüggés alapján. Jelöljük az F(ξ) transzformált függvén ξ-szerinti deriváltját F & -tal. Ekkor a peremértékprobléma alakja: & F&& F, ( ) = & ( ) = F F = ; F. () Itt az F függvén ismét csak eg konstans erejéig van meghatározva, hiszen ha eg F(ξ) függvén megoldása a differenciálegenletnek, akkor annak tetszőleges konstansszorosa is megoldás, valóban γ F ξ γ F& ξ = γ && F ξ = γ F&, (6) ( ) ( ) ( ) ( ) γ-val jelöltük a tetszőleges konstanst. Az u sebességkomponens értéke a szimmetriatengelben, ahol u az adott szelvénben a legnagobb, u ma : A (7) képletben a γ egütthatót úg megválasztva, hog ( ) u = γf& ma. (7) legen, végül u F & ( ) = (8) ( ) u ( ) F& ( ξ ), =. (9) ma A () peremértékprobléma numerikus megoldása során az ott megadott második peremfeltétel helett ezt a (8) peremfeltételt írjuk elő. Kereskedelmi szoftverek tartalmaznak olan nemlineáris közönséges differenciálegenlet megoldó eljárásokat, amelekkel az íg módosított () peremértékprobléma megoldása előállítható. Az eredmént az alábbi ábra F & - jelű grafikonja mutatja. Ezen kívül az ábrába berajzoltuk a megfelelően transzformált mérési pontokra jól illeszkedő φ ( ξ ), 693ξ = e () függvén φ-vel jelölt grafikonját is. A ξ = helen φ () =,. Látható, hog az elméleti úton kapott függvén és a mérésekre illeszkedő közelítő függvén Gauss görbe grafikonja közel halad egmáshoz. 4

5 Az alkalmazások során az, fizikai koordinátákkal kívánjuk megadni a sebességeloszlást. A mérési eredménekre illeszkedő jó közelítés az 7 u = uma e () képlet. Ennek a képletnek és a () közelítő képletnek az egbevetéséből a ξ változó korábbi definícióját is figelembe véve számolással können ellenőrizhetően az adódik, hog c =,. Mivel a szabadsugár széle azzal az = ) ponttal jelölhető ki, ahol az u sebesség komponens már gakorlatilag zérus értékű ez a pont az F jelű elméleti grafikon ξ,4 abszcisszájú pontja, akkor egszerű számolással azt kapjuk, hog B = k,4, hiszen 7 k A sugár fél nílásszöge α = arctg,4 = 3,. e = e, 693, 4 Ezt az egenes-párt rajzoltuk meg a fejezet elején látható ábrán széttartó szaggatott vonalpárként. Azok a pontok pedig, ahol a szabad sugárban az u sebesség komponens u ma / -re csökken, az ±, egenes páron vannak. A turbulens szabad sugarakat kísérletileg alaposan és körültekintően vizsgálták, ezért a mérési eredmének alkalmasak a korszerű például a k-ε modellen alapuló numerikus CFD kódok ellenőrzésére is. A (8) impulzustétel alapján már számítható a szétterjedő szabadsugár impulzusa, ellenőrizhető, hog annak a () közelítő képlettel számolt értéke állandó-e. Hasonlóan, integrálással a szabadsugárban áramló foladék -tengel mentén növekvő térfogatárama is meghatározható..

6 Q ) ( ) = H u(, )d, () = ahol H-val jelöltük a kiömlő résnek az áramlási síkra merőleges, b -nál lénegesen nagobb méretét. Nilván Q() = H b U és Q() > Q() bármel pozitív értékre, hiszen a sugár a körnezetében lévő nugvó foladéktérből foltonosan anagot gorsít fel a turbulens impulzus-csere révén. Végül a kör alakú níláson kilépő forgásszimmetrikus szabadsugár sebességeloszlására vonatkozó közelítő összefüggés: 7 r u = uma e, (3) ahol r a szimmetriatengeltől mért radiális távolságot, pedig most is a kiömlőnílástól mért távolságot jelöli. A hengerszimmetrikus szabadsugár fél kúpszöge α = 4,. A k értéke most,6. Mérési példa: A következő oldalon hengerszimmetrikus szabadsugár mért sebességeloszlása látható az Áramlástan Tanszéken készült laboratóriumi mérés jegzőkönve alapján. A körkeresztmetszetű kiömlő nílás sugara =,4 mm. A mérési síkok a kiömlő nílástól mérve 6 mm-ként helezkedtek el. A légsebesség a kiömlő nílás síkjában u ma = 4 m/s volt. 6

7 3 3 z= , 46,4 4,6 34,8 9 3, 7,4,6,8,8,6 7,4 3, 9 34,8 4,6 46,4, z=3 7 63,8 8, 46,4 4,6 34,8 9 3, 7,4,6,8,8,6 7,4 3, 9 34,8 4,6 46,4, 8 63, z=6 7 6, 48,8 4,7 36,6 3, 4,4 8,3, 6, 6,, 8,3 4,4 3, 36,6 4,7 48,8 6, z=9 7 6, 43,7 37, 3, 8,7, 6, 6,, 8,7 3, 37, 43,7 6, z=3 7 4,8 4 34, 8,,8 7,,4,7,7,4 7,,8 8, 34, 4 4, z= z= 7, 6,8,6 8,4 4, 4, 8,4,6 6,8, 7 7