Halmazok Egész számok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Halmazok Egész számok"

Átírás

1 Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív számok bevezetését Kínában a Kr. e. II I. században az elsőfokú egenletrendszerek egütthatói között már találunk negatív számokat is. Az indiai matematikusok 5 9 táján már figelembe vették a negatív megoldásokat is. Európában aránlag későn jelentkeztek a negatív számok. A XII XV. századbeli itáliai matematikusok a hián jelölésére kezdték használni. Ebben az időben a virágzó kereskedelem és az egenletek elméletének fejlődése sürgette az új számok bevezetését. Cardano (5 576) olasz matematikus már tekintetbe vette, de fiktív számoknak nevezte őket. Stifel (487? 567) német matematikus, aki a másodfokú egenletek megoldását egszerűsítette, a negatív számokat abszurd számoknak nevezte. Még a francia Viète (54 6) is elvetette a negatív számokat, Descartes (596 65) 67-ben megjelent Geometria című könvében még hamis számoknak hívta, de már minden előítélet nélkül használta őket. (Sain Márton: Matematikatörténeti AC) Az összeadás és a szorzás korábban már említett műveleti tulajdonságai az egész számok körében is érvénben maradnak.. példa Végezzük el az alábbi műveleteket! Figeljünk a műveleti ű sorrendre! a) ( 6) + 7 b) c) 8 ( ) 5 + ( 6) ( 4).7. ábra Stifel a) ( 6) + 7 = = 6 b) = = 9 c) 8 ( ) 5 + ( 6) ( 4) = 8 ( 8) = = = 5 Az egész számok körében végezhetünk osztást, pl. 4 : = 4 = ábra Viète Azt is tudjuk, hog ez nem minden esetben tehető meg, mert pl. a : = már nem egész szám. Ahhoz, hog ezt az osztást is elvégezhessük, bővítenünk kell a számfogalmat.

2 Algebra, számelmélet 6.. Két tag összegének és különbségének a szorzata a a a a 6.6. ábra Átalakítás 4. példa Eg négzet oldala nagobb, mint egség. Hogan változik a négzet területe, ha két szemközti oldalát egséggel csökkentjük, a másik két szemközti oldalát egséggel növeljük? Legen a négzet oldalaa, a, a >! Ekkor a négzet területe: T = a. Ha eg a > oldalú négzet két szemközti oldalát csökkentjük -vel, a másik kettőt növeljük -vel, akkor olan téglalapot kapunk, amelnek oldalai a és a + egség hosszúak. Ennek területe t = (a )(a + ). Végezzük el a kifejezések szorzását! Ekkor t = a + a a 4 = a 4 = T 4. Tehát a négzet területe 4 területegséggel csökken. A feladat kapcsán eg újabb nevezetes szorzattal ismerkedünk meg, két tag összegének és különbségének a szorzatával. Jelöljük a két tagot a-val és b-vel! (a + b)(a b) = a ab + ba b = a b. Tétel Két tag összegének és különbségének a szorzatát megkapjuk, (a+b)(a b) = ha az első tag négzetéből kivonjuk = a a második tag négzetét. b Röviden: (a + b)(a b) = a b. 5. példa Végezzük el az alábbi műveleteket! a) + a a 5 4 a 4 a b) + bc bc ábra A tudás fája a) Két tag összegének és különbségének a szorzatát megkapjuk, ha az első tag négzetéből kivonjuk a második tag négzetét. + a a 5 = 5 = a 5 4 Röviden: + a a a 5 5 =

3 Függvének a) Igen, mert minden diákhoz pontosan eg olan hónapot rendelünk, amelben született. b) Nem, hiszen előfordulhat olan, akihez több hónapot is rendelünk, mert például István névnap augusztus -án, -án, szeptember -án és december 6-án is van. Sőt, lehet az osztálnak olan tanulója is, akinek több keresztneve van. Ehhez a tanulóhoz több hónapot is rendelünk. c) Nem, mert lehet olan szék, amelen nem ül senki. Tehát nem minden elemhez rendelünk hozzá..6. ábra oldog szülinapot!. példa Az alábbi + + hozzárendelések függvént adnak-e meg? Ha igen, írjuk le a függvént jelölésekkel! a) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a kétszeresét. b) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a pozitív osztóit. c) Minden pozitív természetes számhoz hozzárendeljük a legkisebb prímosztóját. a) Igen, hiszen minden pozitív egész számnak pontosan eg kétszerese van. A függvén jelölésekkel: g: + +, g(( ) =. b) Nem, mert pl. a 4-hez az -et, a -t és a 4-et hozzá kell rendelni. c) Nem, mert az -hez nem rendelünk semmit. 4. példa A sík pontjainak halmazát jelöljük S-sel. Legen adott az S síkon eg t egenes. Az S pontjaihoz rendeljük hozzá az S pontjait úg, hog minden ponthoz hozzárendeljük a t-re vonatkozó tükörképét. Függvén-e ez a hozzárendelés?.7. ábra Hiánzik valaki? A tengeles tükrözés általános iskolában már tanult hozzárendelési szabálát felhasználva tudjuk, hog igen. Ebben a példában az értelmezési tartomán és az értékkészlet is ponthalmaz, ráadásul a két halmaz egenlő. Ez a hozzárendelés kölcsönösen egértelmű is. 5. példa Fogalmazzuk meg szavakkal az alábbi függvéneket! a) f:, (( ) b) g: +, c) h:, +.8. ábra Jól látom? a) Minden racionális számhoz rendeljük hozzá a számnak és a nála eggel kisebb számnak a szorzatát! b) Minden pozitív egész számhoz rendeljük hozzá a reciprokát! c) Minden valós számhoz rendeljük hozzá az ellentettjénél hárommal nagobb számot!

4 A függvénfogalom definíciójában két halmaz között teremtünk kapcsolatot. Ezek nemcsak számhalmazok lehetnek, hanem az elemeik lehetnek emberek, pontok, székek, lehet hőmérséklet, idő stb. A hozzárendelési szabált is megadhatjuk többféleképpen: utasítással, képlettel, táblázattal, grafikonnal. Legenen az f: +, f(( ) = 6 6. példa utolsó számjege és legen g: +, f(( ) = 6! Hasonlítsuk össze a két függvént! Mind az f, mind a g függvén értelmezési tartomána a pozitív egész számok halmaza. Mivel a 6 minden pozitív egész kitevőjű hatvána 6-ra végződik, ezért az f függvén minden pozitív egészhez a 6-ot ren- deli, ahogan a g függvén is. Ekkor azt mondjuk, hog a két függvén egenlő. Definíció Két függvén akkor és csakis akkor egenlő, ha érte lmezési tartománuk azonos, és az értelmezési tartomán bár- mel elemére a két függvén helettesítési értéke egenlő. Uganez matematikai jelekkel: Legen f: D f R f, f(( ) és a g: D g R g, g(( ) két függvén! f g D D és D esetén f ) = g ( ) f g f.9. ábra f( ( ) = Az alábbi hozzárendelések közül a) melek függvének; b) melek kölcsönösen egértelműek? Adjuk meg a függvének értelmezési tartománát, értékkészletét, a -höz tartozó helettesítési értékét! f: A g: A h: A i: A p p p p 5, 5, 5, 5,.. ábra. feladat. Az alábbi hozzárendelések közül melek határoznak meg függvént? a) Eg gimnázium minden tanulójához rendeljük hozzá az előző év végi matematikaosztálzatát! b) Minden osztálzathoz rendeljük hozzá azt a diákot, akinek az előző év végi matematika-érdemjege ez az osztálzat! c) A 7-ben megjelent regénekhez rendeljük hozzá a könvet megjelentető kiadót! d) A 7-ben megjelent versekhez rendeljük hozzá a vers költőjét! e) A Föld minden városához rendeljük hozzá a földrajzi szélességüket! f) A Föld minden országához rendeljük hozzá az ország folóit!

5 Függvének. Fogalmazzuk meg szavakkal az alábbi függvéneket! + + a) f :, f ( )= b) g:, + c) h:, h( )= d) i: [ ; [, i( )= e) j:, 7 utolsó számjege, ha > 5 f) k:, k( )= 4+ 5, ha 5 4. Olvassuk el az alábbi matematikai jelekkel leírt kifejezéseket! a) f ( 4, 5)= b) g ( )= c) h 5 = 4 i ( 5)=, Írjuk le matematikai jelekkel az alább megadott függvéneket! a) Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. b) Minden egész számhoz hozzárendeljük a háromszorosát. c) Minden pozitív számhoz hozzárendeljük a reciprokánál -gel kisebb számot. d) Minden negatív racionális számhoz hozzárendeljük a köbénél 7-tel nagobb számot. e) Minden egnél nagobb pozitív egész számhoz hozzárendeljük a nála nem nagobb pozitív egészek szorzatát. f) Minden kétjegű pozitív egész számhoz hozzárendeljük az -et, ha a szám prím, és a -t egébként. 5 6.Legen az f :, f ( )= 4 és a g:, g( )=! + Határozzuk meg 4 a) az f és g függvének ; ; ; ; helen vett helettesítési értékeit; b) az f g ( ) szorzat értékét; f () 5 c) az tört értékét; g ( ) d) a f g kifejezés értékét! 7. Egenlők-e az alábbi f és g függvének? 4, ha a) f :, f ( )= + és g:, g( )= 4, ha =, ha, 5 b) f : \, f ( )= és g: \, g( )=, ha <, c) f :, f ( )= 5 utolsó számjege g: + {} 5, g( )= 5 { } ( )= d) f : 57 ;,,,, f és g : az egjegű pozitív prímekhez hozzárendeljük a náluk kettővel kisebb számokat

6 . A koordináta-rendszer I. A továbbiakban a valós számok valamel részhalmazán értelmezett, valós értékű függvénekkel foglalkozunk. Az ilen függvéneket valós függvéneknek nevezzük, ábrázolásuk a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben történhet. (.. ábra) A síkbeli koordinátarendszer lénege, hog a sík pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egértelmű hozzárendelést hozunk létre. A koordináta-rendszer két egmásra merőleges tengelből áll, ezek számegenesek, a metszéspontjuk az origó. A egik tengel az vag abszcisszatengel, a másik pedig az vag ordinátatengel. Eg síkbeli ponthoz rendelt rendezett számpár első tagja a pont koordinátája vag abszcisszája, amel a pont tengeltől mért előjeles távolságát adja meg. A második tagja a pont koordinátája vag ordinátája, amel a pont tengeltől való előjeles távolsága. Már általános iskolában is ábrázoltunk függvéneket, elsősorban lineáris függvéneket, koordináta-rendszerben. Most nézzünk néhán példát arra vonatkozólag, hogan lehet ponthalmazokat szemléltetni a koordinátasíkon! második neged P( 4;) harmadik neged O elsô neged negedik neged.. ábra Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer. példa Adott a koordinátasíkon az A(4; 6) és a ( ; 6) pont. Az A pont origóra vett tükörképe legen C, a pont origóra vett tükörképe pedig D pont! Készítsünk ábrát! Milen négszög az ACD négszög? Határozzuk meg a területét! Ha eg pontot tükrözünk az origóra, akkor a koordinátái ellentettjükre változnak. Ez alapján a C( 4; 6), a D(; 6) pont lesz. (.. ábra) Mivel a négszög középpontosan szimmetrikus, ezért paralelogramma. A területét úg számítjuk ki, hog az egik oldalát megszorozzuk a hozzá tartozó magasságával. Ez alapján a területe: T = 6 területegség. ( ;6) O C D.. ábra. példa A(4;6). példa Olvassuk le a.. ábráról az A,, C, D rácspontok koordinátáit! Milen négszöget határoznak meg a pontok? Határozzuk meg a négszög területét! D C Az A,, C, D pontok koordinátái: A( 4; ), (5; ), C(; 4) és D( ; 4). A négszög trapéz, mert az A oldala párhuzamos a CD oldalával, de az már nem igaz, hog paralelogramma, mert a másik két 9 oldala nem párhuzamos. A területe: T = + 5 5= 5 területegség. A O.. ábra. példa

7 Függvének A(;) ( ;) O C(; ) A (; ).4. ábra Első lépések H A G O E C F.5. ábra Trükkös megoldás. példa Vegük fel a koordinátasíkon az A(; ) pontot! Legen az a pont a koordinátasíkon, amelnek abszcisszája az A pont abszcisszájának ellentettjénél eggel nagobb, ordinátája pedig az A pont ordinátájánál kettővel kisebb! Legen C az a pont, amelet úg kapunk, hog az A pontot tükrözzük az tengelre, és a kapott pont abszcisszáját eggel csökkentjük! Határozzuk meg az AC háromszög területét! A pont abszcisszája vag koordinátája -nél eggel nagobb szám, azaz, míg ordinátája vag koordinátája. Az A pont tengelre vett tükörképe az A (; ) pont, íg C(; ). (.4. ábra) Próbáljuk a lehető legkevesebb számolással, eg üges trükk felhasználásával meghatározni a háromszög területét! Vegük fel a.5. ábrának megfelelően az EFGH téglalapot! A téglalap EF oldala egség, FG oldala 6 egség, íg annak területe 8 területegség. Ebből kiindulva meghatározhatjuk a kérdezett értéket, ha kivonjuk a téglalap területéből a EC, a CFG és a GH derékszögű háromszög területét. Mivel eg derékszögű háromszög területét megkaphatjuk úg, hog két befogójának a szorzatát elosztjuk kettővel, íg 4 TEC = 6 = TCFG = 4 (t.e.), = (t.e.), THA = = (t.e.). Tehát az AC háromszög területe 8 területegség. b) a) P( ;5) 4. példa Határozzuk meg a koordinátasíkon azon pontok halmazát, amelek koordinátáira teljesülnek az alábbi feltételek! a) = b) = és = 5 c) = vag = 5 O.6. ábra 4. a), b) példa 5 a) Ennek a feltételnek azok és csak azok a pontok felelnek meg, amelek az tengelt a (; ) pontban metsző, arra merőleges egenesen vannak. (.6. ábra) b) Mivel a két feltételnek egütt kell teljesülnie, ezért a megoldás a P( ; 5) pont. (.6. ábra) c) Mivel a két feltétel közül legalább az egiknek teljesülnie kell, ezért a keresett ponthalmaz két egenes, amelek a.7. ábrán láthatók. O.7. ábra 4. c) példa 5. példa Adott az alábbi két ponthalmaz: A { }; { }. Ábrázoljuk a koordináta-rendszerben az A és a halmazt! Szemléltessük a koordinátasíkon az a) A ; b) ( ) ( ) halmazokat! 4

8 Mivel az A halmaz esetén a keresett pontok koordinátája tetszőleges, és az -nál nem kisebb, ezért ennek a halmaznak az = egenes és az attól pozitív iránban levő félsík felel meg. Hasonló megfontolások alapján a halmaz az = egenes és az attól negatív iránban levő félsík. (.8. ábra,.9. ábra) O A O O.8. ábra A halmaz.9. ábra halmaz.. ábra A a) Két halmaz metszetének definíciója alapján azon pontok halmazát keressük a koordinátasíkon, amelek mindkét halmaznak elemei. A keresett halmaz a.. ábrán látható. A foltonos vonal azt jelöli, hog a határ is hozzátartozik a ponthalmazhoz. b) Az A\\ azon pontok halmaza, melek az A halmaznak elemei, de a halmaznak nem. Ez alapján a.8. ábrán besatírozott részből ki kell venni a.9. ábrán látható síkrészt. Hasonló megfontolások alapján a \A\ halmaz esetén a.9. ábrán besatírozott részből ki kell venni.8.ábrán besatírozott részt. Íg az előző két halmaz uniója a.. ábrán látható síkrész. A szaggatott vonal azt jelöli, hog a határ nem tartozik hozzá a ponthalmazhoz. O.. ábra ( A ) ( A) Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(4; 4), ( 5; 7), C(; 8), D( ; ), E(; ), F( 6; )!. Határozzuk meg az előző feladatbeli A, és C pontok által meghatározott háromszög területét!. Vegük fel azon pontokat a koordináta-rendszerben, amelek koordinátáira az alábbiak teljesülnek! Írjuk le matematikai jelekkel a koordináták közötti összefüggéseket! a) Az abszcisszája 5-nél nem nagobb pozitív egész szám, az ordinátája kettővel nagobb az abszcisszájánál. b) Az abszcisszája 5-nél nem nagobb pozitív egész szám, az ordinátája kétszerese az abszcisszájának. c) Az abszcisszája és közé eső, -mal osztható szám, az ordinátája az abszcisszájánál -gel kisebb. d) Az ordinátája 7-nél kisebb, -nél nem kisebb egész szám, az abszcisszája pedig az ordináta felénél eggel nagobb szám.

9 Függvének 4.Ábrázoljuk azon pontok halmazát a koordinátasíkon, amelek koordinátái teljesítik az alábbi feltételeket! a) = 4 b) = c) = és = 5 d) = vag = 4 e) < < 5 f) 4 g) és h) 4 vag 5. Adott két halmaz: A = {( ; ),, 5} ; = {( ; ),, > }. Ábrázoljuk a koordinátasíkon az alábbi halmazokat! a) A b) A c) A\ d) \A e) A f) A 6. A dott a koordinátasíkon a P(; 5) pont. Tükrözzük a P pontot az = egenesre, íg kapjuk a Q pontot! Ezután a P és a Q pontot is tükrözzük az F(; ) pontra, az íg kapott pontok legenek P és Q. Milen négszög a PQP Q négszög? Határozzuk meg a területét! 7. Eg bolha a koordináta-rendszer origójában ül. Minden ugrása eg egség hosszú, és csak jobbra vag felfelé ugorhat. Hán különböző helre juthat el, ha legfeljebb ugrást tesz meg? 8.Hán különböző helre juthat el legfeljebb ugrással az előző bolha, ha balra illetve lefelé is ugorhat?. Függvének F szemléltetése ábra Níldiagram Az eddigi példáinkban a két halmaz közötti hozzárendeléseket, függvéneket Venn-diagrammal szemléltettük, elemeik között nilakkal jelöltük a hozzárendelési utasítást. A valós függvéneket más módon is szemléltethetjük. Legen az f :{ 4, }, f ( )= + függvén! Vegünk fel két párhuzamos számegenest (.. ábra)! Az egik szemléltesse az f függvén értelmezési tartománát, a másik számegenes az f függvén értékkészletét! Az értelmezési tartomán minden eleméből (-ből) eg níl vezet az értékkészlet -hez rendelt eleméhez ( f(( )-hez). Az íg kapott ábrát níldiagramnak nevezzük. Az ábrázolás megkönnítése érdekében készítsünk értéktáblázatot: írjuk fel az értelmezési tartomán elemeit és mindegik alá a hozzá rendelt helettesítési értéket! (.. ábra). példa Szemléltessük a, } g :, g függvént níldiagrammal! ( ) + = + Készítsünk értéktáblázatot! 6

10 A g függvén níldiagrammal való ábrázolása már nem olan könnű, mint az f függvéné, és a.. ábrán kiigazodni is nehéz. Célszerű a níldiagramnál jobb ábrázolási módot keresni. Ha az előző példában a hozzárendelést olan számpárokkal szemléltetjük, ameleknek első eleme a g értelmezési tartománából való ( ), a második eleme az -hez rendelt g(( ), akkor nolc rendezett számpárt kapunk, és ezekhez hozzárendelhetjük (kölcsönösen egértelmű módon) a koordinátasík nolc pontját. (Hol?) 4 + g ( ) = + (Mennit?) Rendezett számpárok ( ; g(( )) 7 4; 7 ; ( ; ) ; (; ) ; A derékszögű koordináta-rendszerben az ehhez a 8 számpárhoz rendelt pontok halmaza a g függvén grafikonja (.. ábra). Definíció Legen f: A függvén, és A, a valós számok halm mazának eg részhalmaza. Ekkor az f függvén grafikonján vag képén azon pontok halmazát értjük a derékszögű koordinátarendszerben, amel pontok első koordinátája az A halmaz eleme: (), a második koordinátája pedig az -hez tartozó függvénérték: f(( ) ; 4 5 ; ábra Ábrázolás níldiagrammal (Mennit?) n g (Hol?).. ábra Ábrázolás ko or dinátasíkon (Mennit?) n ( ; f(( )) (Hol?).4. ábra Eg tetszőleges f függ- vén grafikonja vag képe. példa Ábrázoljuk az alábbi függvéneket derékszögű koordináta-rendszerben! Hán pontból áll a függvének képe? Öszszeköthetők-e ezek a pontok a grafikonok megrajzolásakor? Rendeljük hozzá minden -nél nem kisebb pozitív egjegű egészhez a) a nála kettővel kisebb számot; b) a legnagobb prím osztóját! (Mennit?) n f Az a) pontban megadott függvén (képe:.5. ábra) matematikai jelekkel: { } { } ( )= f : ; ; ; ; ; ; ; 4567 ; ; ; ; ; ; ;, f (Hol?).5. ábra Az f függvén képe

11 Függvének (Mennit?) i (Hol?).6. ábra Az i függvén képe f(( ) = ( ;f( )) (; ) (; ) (4; ) (5; ) (6; 4) (7; 5) (8; 6) (9; 7) A b) pontban megadott függvén (képe:.6. ábra) matematikai jelekkel: { } { } ( )= legnagobb prím osztója. i: ; ; ; ; ; ; ; 57 ; ; ;, i i(( ) 5 7 ( ;i( )) (; ) (; ) (4; ) (5; 5) (6; ) (7; 7) (8; ) (9; ) (Mennit?) n Az f és az i függvén értelmezési tartomána is a {; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} nolcelemű halmaz, ezért mindkét függvén grafikonja nolc elszigetelt pontból áll. Íg az említett függvének képének megrajzolásakor ezek a pontok nem köthetők össze. [ [ ( ). példa Ábrázoljuk az f f + 4 függvént derékszögű koordináta-rendszerben! (Hol?).7. ábra Az f függvén grafikonf jának néhán pontja (Mennit?) n f (Hol?) Mivel az f függvén értelmezési tartomána végtelen sok elemet tartal- maz, ezért nem tudjuk a grafikon minden pontját kijelölni. A grafikon néhán pontját ábrázolhatjuk. (.7. ábra) Vajon az ábrázolt pontok ösz- szeköthetők-e a grafikon megrajzolásakor? Ha igen, akkor milen vonallal köthetők össze? Jelenlegi ismereteink alapján ezekre a kérdésekre nem tudunk válaszolni, de tapasztalataink alapján elfogadjuk (ezt később igazoljuk), hog a vázolt pontok eg egenesre illeszkednek. A függvén képe eg szakasz, amelhez a ( ;8) hozzá tartozik (tömött karikával jelöljük); a (4;4) pont pedig már nem (üres karikával jelöljük). Az f függvén képének van olan pontja, amel az tengelnek is pontja, ez a pont fontos jellemzője a függvénnek. E pont első koordinátáját a függvén zérushelének nevezzük..8. ábra Az f függvén grafikonjaa Definíció Eg f függvén zérusheleinek nevezzük az értelmezési tartománának mindazon értékeit, amelekre f( ( ) =. (Szemléletesen: a függvén grafikonja és az tengel közös pontjának első koordinátája.) 8

12 4. példa Adott az f függvén grafikonja (.9. ábra). a) Adjuk meg az f függvén értelmezési tartománát, értékkészletét és zérusheleit! b) f( ) =? Menni a függvén helettesítési értéke -nél? c) Mel valós -re teljesül, hog f(( ) =? Hol veszi fel a függvén a értéket? d) Mel valós -re teljesül, hog f(( ) >? Hol vesz fel a függvén -nél nagobb értéket? a) Az f függvén értelmezési tartomána: azon értékek halmaza, amelekhez értékeket rendel, tehát D f = ] 4; 7]; értékkészlete: azon értékek halmaza, ameleket hozzárendeltünk az -ekhez, íg R f = [ ; 5]; zérushelei (szemléletesen az tengellel való közös pontok első koordinátái, abszcisszái): ;,6; 6. b) Az f függvén = helen vett helettesítési értéke az.9. ábráról leolvasva közelítőleg, matematikai jelekkel f( ). c) Az f(( ) = egenlet megoldásakor keressük az változó azon értékeit, amelekhez az f függvén -t rendel. A keresett értékek tehát: = ; = ; = 5; 4 = 7. (.. ábra) d) Az f(( ) > egenlőtlenség megoldásakor keressük azokat a változó értékeket (-eket), amelekhez az f függvén -nél nagobb értéket ren- del. (Szemléletesen: hol halad az f függvén gafikonja az = egenletű egenes fölött?) A keresett értékek a feladat c) részének megoldása és a.. ábra alapján: 4 < < vag < < 5, ahol. (Mennit?) n 4 (Hol?).9. ábra Az f függvén grafikonja f.. ábra Kék szín jelöli a 4. példa d) részének megoldását Ábrázoljuk az alábbi függvéneket derékszögű koordináta-rendszerben! Hán pontból áll a függvének képe? Összeköthetők-e ezek a pontok? Rendeljük hozzá minden -nél nem nagobb pozitív egészhez a) a reciprokának hatszorosát; b) az ellentettjénél -vel kisebb számot!. Adott az f függvén grafikonja (.. ábra). a) Adjuk meg az f függvén értelmezési tartománát, értékkészletét és zérusheleit! b) Mivel egenlő f()? c) Mel valós -re teljesül, hog f( ( ) = 5? d) Mel valós -re teljesül, hog f( ( ) < 5? f 4.. ábra A. feladathoz tartozó f függvén grafikonja

13 Geometria E C F Definíció Eg háromszög két oldalának felezőpontját össze- kötő ő szakasz a háromszög egik középvonala. (.6. ábra) (Minden háromszögnek három középvonala van.) A.6. ábra Háromszög középvonala Tétel A háromszög bármel középvonala párhuzamos a háromszög harmadik (általa össze nem kötött) oldalával, és hossza ennek az oldalnak a felével egenlő. Az ábra jelöléseivel: EF A és EF = A. A A C F E E.7. ábra Tükrözzük a háromszöget az F pontra! A izonítás: Tükrözzük a háromszöget az adott középvonal egik végpontjára (F-re)! Mivel ez a pont a háromszög egik oldalfelező pontja, íg az AA C négszög eg paralelogramma. (.7. ábra) Az E, az F és az E pont eg egenesbe esik, és a tükrözés távolságtartó tulajdonsága miatt az E is felezőpontja az A oldalnak. Tehát EE középvonala az AA C paralelogrammának. Íg EE A és EE = A. Ezzel a párhuzamosságot igazoltuk. A hosszra vonatkozó állítás pedig azért teljesül, mert EF = EE = A. Vegük észre (a lecke. példája alapján), hog eg háromszög oldalfelező merőlegesei egbeesnek a középvonal-há- romszög magasságvonalaival! Azt is észre vehetjük az. példa ábráján, hog a tükrözésekhez használt segédszakaszok is eg ponton mennek át. Ezek olan nevezetes vonalai a háromszögnek, amilenekkel eddig nem találkoztunk. s a C.8. ábra Háromszög súlvonala A Definíció A háromszög egik csúcsát a szemközti oldal fele- zőpontjával összekötő szakaszt a háromszög súlvonalának nevezzük. (.8. ábra) Minden háromszögnek három súlvonala van. Szokásos jelölése: s a, s b, s c.. példa Mutassuk meg, hog a háromszög bármel két súlvonala harmadolva metszi egmást! (A metszéspont a csúcstól távolabbi harmadolópontba esik.) F K sb P.9. ábra FE KL és FE = KL E L s c C Legenek E és F a háromszög oldalfelező pontjai (.9. ábra), P az s b és az s c súlvonal metszéspontja, K és L pedig a P, illetve a CP szakasz felezőpontjai! Egrészt FE középvonala az AC -nek, íg FE C és FE = C. 6

14 <. példa Oldjuk meg a 4 4 = egenletet a valós számok halmazán! Az egenlet alaphalmaza a, értelmezési tartomána pedig mindazon valós számok halmaza, amelekre a négzetgökvonás definíciója miatt az 4+ 4 feltétel teljesül. Az 4+ 4= ( ), ezért az 4+ 4 feltétel bármel valós szám esetén fennáll, íg az egenlet értelmezési tartomána. Továbbá az egenlet bal oldalán a négzetgökvonás elvégezhető, íg az = egenlethez jutunk, amel az eredeti egenlettel ekvivalens. Az abszolút érték definíciója alapján:, ha, azaz ; = +, ha <, azaz <. A feladat megoldását két esetre kell bontanunk. Egik esetben az egenlet megoldását a -nél nem kisebb valós számok között, a másik esetben a -nél kisebb valós számok között keressük. I. eset: ha, akkor az egenlet () = alakba írható. Az egenlet megoldására = adódik, ami nem tesz eleget az feltételnek, ezért az eredeti egenletnek sem megoldása. II. eset: ha <, akkor az egenlet () + = alakba írható. Az egenlet megoldására = adódik, ami eleget tesz az feltételnek, a vizsgált tartománba esik. Mivel az () alatti egenlet megoldása során ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az = az eredeti egenletnek is megoldása. Az I. és a II. eset miatt az eredeti egenlet megoldása =. > 5.5. ábra Nem varázslat ábra Nem bűvésztrükk 4. példa Oldjuk meg a + 7 egenletet az egész számok halmazán! Az egenlet alaphalmaza és értelmezési tartomána az. A felírt egenlet két abszolút értékes kifejezést is tartalmaz. A definíció szerint: +, ha +, azaz ; + =, ha + <, azaz <., ha, azaz ; = +, ha <, azaz <. Az + kifejezés az = -nél, az kifejezés az = -nál vált előjelet. Mivel a kifejezések előjelét uganazon -ek esetén kell ismernünk ahhoz, hog az abszolútérték jeleket el tudjuk tüntetni, ezért az egenletet az = és az = által meghatározott három intervallumon (I. <, II. < és III. ) kell vizsgálnunk. II. I. II I ábra Ahán gerek, anni eset

15 Statisztika. példa Adjuk meg a fent vizsgált sokaság testmagasság szerinti eloszlását!.5. ábra Eléred?.6. ábra Nem is olan nag a különbség, még te is megnőhetsz!.7. ábra Melikünk átlagos? A vizsgált sokaságban a testmagasságok 54 cm-től 79 cm-ig terjednek, az adatfajták száma (6) a sokaság méretéhez, elemszámához (5) képest nag. Ilenkor az adatokat célszerű tovább csoportosítani. Az adatokat ötös csoportokba oszthatjuk. Ilenkor azt mondjuk, hog a magasságokat 5 cm-es osztálokba soroltuk (az osztálközszélesség 5). Testmagasság (cm) Az intervallumhoz tartozó gakoriság ( f i ) Relatív gakoriság ( g i ) % (5) (8) 6 Σ 5 Az adatok osztálba sorolása az adatok jobb átláthatóságát, könnebb kezelhetőségét teszi lehetővé, uganakkor információvesztéssel jár.. példa Adjuk meg a fent vizsgált sokaság testtömeg szerinti eloszlását! A. példában látottakhoz hasonlóan járunk el, a tömegeket kg-os osztálokba soroljuk (az osztálközszélesség ). Testtömeg (kg) Az intervallumhoz tartozó gakoriság ( f i ) Relatív gakoriság ( g i ) % (4) (68) Σ 5

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens Tartalom

Részletesebben

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak . Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői

VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? Tárg, téma Geometria, algebra és számelmélet. Előzmének A feladatsor jellemzői Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben, abszolút érték fogalma, oszthatóság fogalma, (skatula

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12.

Függvények évfolyam. Szerkesztette: Orosz Gyula december 12. Függvének 7 8. évfolam Szerkesztette: Orosz Gula 016. december 1. Technikai munkák (MatKönv project, TEX programozás, PHP programozás, tördelés...) Dénes Balázs, Grósz Dániel, Hraskó András, Kalló Bernát,

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly

Csoportmódszer Függvények I. (rövidített változat) Kiss Károly Ismétlés Adott szempontok szerint tárgyak, élőlények, számok vagy fizikai mennyiségek halmazokba rendezhetők. A halmazok kapcsolatát pedig hozzárendelésnek (relációnak, leképezésnek) nevezzük. A hozzárendelés

Részletesebben

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása.

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,

Részletesebben

Koordináta-geometria II.

Koordináta-geometria II. Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben