VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? A feladatsor jellemzői

Átírás

1 VIII.4. PONT A RÁCSPONTOK? Tárg, téma Geometria, algebra és számelmélet. Előzmének A feladatsor jellemzői Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben, abszolút érték fogalma, oszthatóság fogalma, (skatula elv). Cél Geometriai vag számelméleti tulajdonsággal jellemzett ponthalmazok ábrázolása a koordináta-rendszerben; szakasz felezőpontjának kiszámítása egszerű esetben. Az absztrakció fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ menniségi viszonaiban Alkotás és kreativitás Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Egüttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató Javasoljuk, hog a feladatokat a diákok a számozás sorrendjében oldják meg. Logikailag szorosabban egmáshoz kapcsolódnak az 3. és a 4 5. feladatok. Az 3. feladatoknál biztassuk a diákokat konkrét pontok keresésére, behelettesítésére, megrajzolására, főleg, ha nincs ötletük az elinduláshoz. Ha már korábban szerepeltek a függvének, akkor érdemes rákérdezni, hog melik ponthalmaz lehet függvén grafikonja. A 2. a) és b) feladatban az és és a vag szavak miatti alapvető különbségre hívjuk fel a figelmet, valamint az. f) algebrai és 2. c) geometriai megfogalmazások hasonlóságára és különbségére. A 3. f) feladat megoldása után érdemes rákérdezni a kapott alakzatokra: a b) d) és az f) különbözőségére. Milen n esetén kapunk olan négzetrácsot, mint a b) és a d) feladatokban? (Prímekre.) A 4. feladat megoldása után mindenképpen egeztessük a kapott számolási módszert, amivel eg szakasz felezőpontjának koordinátáit lehet kiszámolni. Az 5. feladathoz szükség van a skatula-elvre, ha még nem szerepelt korábban, akkor ezzel előkészíthető. Nélkülözhetetlen a páros-páratlan tulajdonság absztrakt használata. VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok.oldal/7

2 Az 3. feladatoknál az indoklás mélségében lehet differenciálni. Kitől mit várunk: megelégszünk-e a rajzzal vag inkább algebrai, számelméleti jellegű okoskodást szeretnénk hallani. A feladatsor megoldása során érdemes megfigelni, hog mennire képesek a tanulók elvonatkoztatni a konkrét adatoktól, és mennire képesek átlátni az összefüggéseket. A megértés szintjét jelzi, hog eg-eg eljárás esetén végig tudják-e gondolni a megoldást odavissza (azaz a végeredmén megadásából kiinduló inverz feladat megoldása mennire sikeres). Mivel a feladatsor lénegében fokozatosan nehezedő kérdéseket tartalmaz, az eges diákok képességeinek fejlesztését jól mutatja, hog melik feladatig jutottak el a megoldásban, illetve a megértésben. Legkönnebb feladatok (minimumfeladatok):. a), b), d); 2. a); 3. a), b); 4. a), b), c), d). Közepesen nehéz (mindenkinek ajánlott) feladatok:. c), e); 2. b); 3. c), d); 4. e), f), g); 5. a), b). A legjobbaknak ajánlott feladatok:. f); 2. c); 5. c). VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 2.oldal/7

3 PONT A RÁCSPONTOK? Feladat sor SZÍNES FELADATOK. Színezd ki a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, melek és koordinátáira igaz, hog a) = b) = c) = d) + = 4 e) 4 f) = 4 2. Színezd ki a koordináta-rendszerben azokat a pontokat, meleknek a) az tengeltől és az tengeltől való távolsága legalább két egség; b) az tengeltől vag az tengeltől való távolsága legalább két egség; c) az tengeltől és az tengeltől való távolságuk összege legalább nég egség! Rácspontoknak nevezzük a koordináta-rendszer egész koordinátájú pontjait. 3. Színezd ki azokat a rácspontokat, amelekre igaz, hog a) koordinátáinak összege páros; b) koordinátáinak szorzata páros; c) koordinátáinak összege hárommal osztható; d) koordinátáinak szorzata hárommal osztható! FELEZÜNK? 4. Adott öt pont: A(0; 2), B(; 7), C(5; 6), D(7; 3), E(4; 0). a) Hán olan szakasz van, melek végpontjai az öt pont közül valók? Rajzold meg a szakaszokat! b) Rajzold be a szakaszok felezőpontjait, és olvasd le a koordinátáit! c) A fenti szakaszok között hán olan van, melnek a felezőpontja is rácspont? d) Adj meg két rácspontot, melek által meghatározott szakasz felezőpontja is rácspont! e) Ha adottak eg szakasz két végpontjának koordinátái, akkor hogan lehet kiszámolni a szakasz felezőpontjának koordinátáit? f) Milen számok lehetnek a hiánzó koordináták, ha a KL, MN, PQ, RS és TU szakaszok felezőpontja is rácspont? K (2 ; 4) L (6 ;?) M ( ; 5) N (? ; 7) P (3 ; 5) Q (8 ;?) R (4 ; ) S (? ;?) T ( 2 ; 6) U (? ;?) g) Milen esetben lesz két rácspont által meghatározott szakasz felezőpontja rácspont? 5. a) Igaz-e, hog bármel három egész szám között biztosan van kettő, amelnek az átlaga is egész szám? b) Igaz-e, hog nég rácspont között mindig van kettő, amelek által meghatározott szakasz felezőpontja is rácspont? c) Igaz-e, hog öt rácspont között mindig van kettő, amelek által meghatározott szakasz felezőpontja is rácspont? VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 3.oldal/7

4 . a) MEGOLDÁSOK b) c) d) e) f) VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 4.oldal/7

5 2. a) b) c) Lásd. f) feladat! VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 5.oldal/7

6 3. a) b) c) d) VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 6.oldal/7

7 4. B C A D E a) Tíz szakasz van b) F AB ;, F BC 3 ;, F CD 6 ;, F DE ;, F EA (2; ), F AC ; 4, F CE ; 3, F EB ;, F BD (4; 5), F DA ; c) Két ilen szakasz van: az AE és a BD. d) Például: P(6; 5), Q(8; ), F PQ (7; 3). e) A megfelelő koordinátákat össze kell adni, és el kell osztani kettővel. Íg kapjuk a felezőpont koordinátáit. (A megfelelő koordináták számtani közepét vesszük.) f) K(2; 4) L(6; ps) M( ; 5) N(ptl; 7). A PQ szakasz esetén a felezőpont. koordinátája 5,5, függetlenül a hiánzó második koordinátától, íg a felezőpont nem lehet rácspont. R(4; ) S(ps; ptl) T( 2; 6) U(ps; ps). g) Két rácspont által meghatározott szakasz felezőpontja pontosan akkor rácspont, ha a megfelelő koordináták azonos paritásúak. 5. a) Igaz. A három szám között biztosan van két páros vag két páratlan szám. Ezek átlaga egész szám. b) Nem igaz. Például (0; 0), (0; ), (; ), (; 0) nég ilen pont. A léneg az, hog paritás szempontjából négféle rácspont van: (ps; ps), (ps; ptl) (ptl; ps) (ptl; ptl). Nég ilen típusú pont esetén semelik szakasz felezőpontja nem lehet rácspont. c) Igaz. Az előzőek (és a skatula elv) miatt biztosan lesz két olan rácspont, ami azonos paritású. VIII. Koordináta-geometria VIII.4. Pont a rácspontok 7.oldal/7