V.9. NÉGYZET, VÁGOD? A feladatsor jellemzői

Átírás

1 V.9. NÉGYZET, VÁGOD? Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Geometriai megközelítésen keresztül a mértani sorozat tulajdonságaival, első n tagjának összegképletével való ismerkedés. Előzmények Téglalap területe, sorozatok fogalma, a mértani sorozat. A mértani sorozat első n tagjának összegképlete. Cél Geometriai számítások, a mértani sorozat összegképletének gyakorlása. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor feldolgozása két módon történhet, attól függően, hogy milyen célra szeretnénk használni. Ha a diákok már ismerik a mértani sorozat első n tagjának összegképletét, akkor a feladatsor alkalmas arra, hogy az ebben a témában szerzett tudást elmélyítse, és szemléletes geometriai tartalommal összekötve illusztrálja. Ebben az esetben a feladat egyéni munkával történő önálló feldolgozásra alkalmas, de a megoldásokat mindenképpen érdemes közösen megbeszélni. A feladatsor feldolgozható egész osztállyal, verseny formában is, a cél az, hogy ki végzi el gyorsabban az egyes számításokat. Ebben az esetben a kérdéseket fokozatosan kell adagolni. A kritikus pontokon lehet, hogy tanári beavatkozásra (segítségre) van szükség. Ha a diákok még nem ismerik a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képletet, akkor ez a feladatsor lehetőséget ad ennek bevezetésére, megismertetve a tanulókat a speciális esetben felírt összegképlettel. Ezt követően az általánosítás lehetőségeit megkeresve felírhatjuk a tetszőleges mértani sorozat esetén érvényes alakot. Ebben az esetben a feladatsort mindenképpen közös, csoportos feldolgozásra ajánljuk, igen erős tanári közreműködéssel. A feldolgozás során adható tanári segítség, illetve útmutatás a jelen feladatsor- V. Függvények, sorozatok V.9. Négyzet! Vágod?.oldal/5

2 hoz adott megoldások visszafelé olvasása, azaz először arra a megoldásra kell rávezetni a diákokat, amely a geometriai összefüggéseket felhasználva egyszerű számítással adódik, majd ebből átalakításokkal kaphatjuk meg a kívánt algebrai alakokat. A kapott kifejezések felhasználásával tanári segítséggel végezhető el az általánosítás. (A nehézségi szintek jelölésénél a második feldolgozási módot vettük figyelembe.) A feladatsor megoldása során érdemes megfigyelni, hogy a tanulók megértették-e a feladat szövegét; tudják-e alkalmazni a komplementer-módszert; felismerik-e, hogy mértani sorozatot kapnak. Fontos azt is kideríteni, hogy kik tudják alkalmazni a sorozatokról tanultakat. Az. feladat b), c) és d) kérdésének megválaszolása a kétféle feldolgozási módban más-más eredményességi szintet jelent. A folyamatos visszajelzés, megbeszélés hatására a soron következő feladatok megoldásához sok segítséget és mintát kaphatnak egymástól (is) a diákok. A nehezebb kérdések például az. d) feladat önálló megválaszolása ezek után már a többségtől elvárható. A. c) feladat a végtelen összegzés miatt nehéz, de a szemléletes megoldás megértése mindenkitől, a határértékes megoldás megértése csak az emelt szintű érettségire készülőktől várható el. V. Függvények, sorozatok V.9. Négyzet! Vágod?.oldal/5

3 NÉGYZET, VÁGOD? Feladat sor. Egység oldalú négyzetet darabolunk. Első lépésben úgy, hogy két egybevágó téglalapot kapjunk. Az egyik területe legyen T, a másik téglalapot tovább darabolva két egybevágó négyzetet kapunk. Az egyik területe legyen T, a másik négyzettel viszont hasonlóan járunk el, mint az eredeti négyzettel. A területek jelölésénél az indexeket értelemszerűen növeljük. Az ábra az első néhány lépést mutatja. a) A feldarabolást folytatva add meg T értékét! b) Számítsd ki a T T... T c) Mekkora az első síkidom területének összege? (T +T + +T =?) d) Mekkora az első olyan téglalap területének összege, amelyik nem négyzet?. Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögnek rajzoljuk meg a középvonalait. Az így kapott háromszögnek ismét rajzoljuk meg a középvonalait, és ezt az eljárást folytassuk. Az első háromszög kerülete legyen K, területe T, a második háromszög kerülete K, területe T és így tovább. a) Mennyi lesz a K? b) Számítsd ki a K K K c) Mekkora az első háromszög kerületének az összege? d) Mennyi lesz T? e) Számítsd ki a T T T f) Mekkora az első háromszög területének az összege? V. Függvények, sorozatok V.9. Négyzet! Vágod?.oldal/5

4 MEGOLDÁSOK. a) T, T, T 8,, T V. Függvények, sorozatok V.9. Négyzet! Vágod?.oldal/5. b) A területek mérőszámai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. a = T =, q =. Így az első hét tag összege S = = 8 [felhasználtuk a 8 mértani sorozatban az első n tag összegére vonatkozó képletet (ha q ): n q S n = a ]. q Másképp Mivel a T egy négyzet területének a fele, egy ilyen fél kell a T T... T összeghez, hogy az területű négyzetet kapjuk. Így a keresett összeg: T T... T. 8 8 c) A területek mérőszámai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. a =T =, q =. Így az első tag összege S = = [felhasználtuk a mértani sorozatban az első n tag összegére vonatkozó képletet (ha n q q ): S n = a ]. q Másképp Mivel a T egy téglalap területének a fele, egy ilyen fél kell még a T T... T összeghez, hogy az területű négyzetet kapjuk. Így a keresett összeg: T T... T d) Keressük a T T... T99 összeget, azaz.... Valójában az a, q mértani sorozathoz kell meghatároznunk az S értéket. S =.

5 Másképp (akár az. megoldás újraértelmezéseként) Mivel T = T, T = T,, T = T99, így ha az első száz tag összegéből elhagyjuk a páros indexűek összegét, akkor a maradék tag (a páratlan indexűek) öszszege éppen az eredeti összeg -része lesz. Vagyis T T... T99 = S =.. a) K ; K ; K ; K. 6 b) S 5. 6 A zárójelben egy mértani sorozat tagja van összeadva, ahol q. S 6 8 5, c) S 99 = 6. d) T ; T ; T ;... T 6. e) S 5, 0, 5. 6 f) S 99, 0, 5. V. Függvények, sorozatok V.9. Négyzet! Vágod? 5.oldal/5