Másodfokú függvények

Átírás

1 Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú függvének grafikonja parabola.

2 Ábrázoljuk az f() = függvént! Ábrázoljuk az f() = függvént! Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg ( )-gel

3 Ábrázoljuk az f() = 5 függvént! Ábrázoljuk az f() = függvént! Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg 5 -del. Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg ( )-del

4 Ábrázoljuk az f() = függvént! Ábrázoljuk az f() = 3 függvént! Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg -vel. Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg 3-mal

5 Ábrázoljuk az f() = + függvént! Az függvént az tengel mentén toljuk el egséggel fölfele. Ábrázoljuk az f() = 5 függvént! Az függvént az tengel mentén toljuk el egséggel lefele

6 Ábrázoljuk az f() = + függvént! Az függvént szorozzuk meg -gel, majd az tengel mentén toljuk el egséggel fölfele. Ábrázoljuk az f() = függvént! Az függvént szorozzuk meg -gel, majd az tengel mentén toljuk el egséggel lefele

7 Ábrázoljuk az f() = (+) függvént! Az függvént az tengel mentén toljuk el egséggel balra. Ábrázoljuk az f() = ( 5) függvént! Az függvént az tengel mentén toljuk el 5 egséggel jobbra

8 Ábrázoljuk az f() = (+) függvént! Az függvént szorozzuk meg ( )-gel, majd az tengel mentén toljuk el egséggel balra. Ábrázoljuk az f() = ( 3) függvént! Az függvént szorozzuk meg ( )-gel, majd az tengel mentén toljuk el 3 egséggel jobbra

9 Ábrázoljuk az f() = (+) + 3 függvént! Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg -vel, majd toljuk el az tengel mentén egséggel balra, ezután tengel mentén 3 egséggel fölfele

10 Ábrázoljuk az f() = 5 ( ) + 5 függvént! Az függvén minden pontjának f() értékét szorozzuk meg 5 del, majd toljuk el az tengel mentén egséggel jobbra, ezután tengel mentén 5 egséggel felfele

11 Függvének jellemzése értelmezési tartomán A változó lehetséges értékeinek a halmaza. jelölés:d f ÉK: értékkészlet A lehetséges függvénértékek halmaza. jelölés:r f ZH: Szélsérték min: ma: Monotonitás mon. n: mon. csökken: Paritás: zérushel minimum maimum monoton n monoton csökken Eg f függvén zérusheleinek nevezzük az értelmezési tartománának mindazon értékeit, melre f() =. Az a pont, ahol a függvén érintimetszi az tengelt Eg függvénnek minimuma van az értelmezési tartománhoz tartozó helen, ha az ott felvett f( ) függvénértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvén. Eg függvénnek maimuma van az értelmezési tartománhoz tartozó helen, ha az ott felvett f( ) függvénértéknél nagobb értéket sehol sem vesz fel a függvén. Azt mondjuk, hog az f függvén monoton növekv az értelmezési tartomán eg intervallumán, ha az intervallum bármel < elemeihez rendelt függvénértékekre az f( ) f( ) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hog az f függvén szigorúan monoton növekv az értelmezési tartomán eg intervallumán, ha az intervallum bármel < elemeihez rendelt függvénértékekre az f( ) < f( ) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hog az f függvén monoton csökken az értelmezési tartomán eg intervallumán, ha az intervallum bármel < elemeihez rendelt függvénértékekre az f( ) f( ) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hog az f függvén szigorúan monoton csökken az értelmezési tartomán eg intervallumán, ha az intervallum bármel < elemeihez rendelt függvénértékekre az f( ) > f( ) reláció áll fenn. Legen az értelmezési tartománának minden elemével egütt annak ellentettje is eleme az értelmezési tartománának; ( D f, akkor D f ) és Eg függvént párosnak nevezünk, ha minden értelmezési tartománbeli elem ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvénértékeket rendeli; (minden D f esetén f() = f( )). Eg függvént páratlannak nevezünk, ha minden értelmezési tartománbeli elem ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvénérték mínusz egszeresét rendeli; (minden D f esetén f() = f( )).

12 Példák f() = f() = R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: hel: = érték: = ma.: Mon.csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [ R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon.csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ]

13 f() = 5 f() = R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: hel: = érték: = ma.: Mon. csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [ R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ]

14 f() = f() = R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: hel: = = ma.: érték: = Mon. csökken: ma.: ( ; ] Mon. csökken: n: [ ] ; ) ; ] Paritás Mon. n: páros [ ; [ R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ]

15 f() = + f() = R ÉK: R és ZH: Sz.é. min.: hel: = érték: = ma.: Mon. csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [ R ÉK: R és 5 ZH: Sz.é. min.: hel: = érték: = 5 ma.: Mon. csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [

16 f() = + f() = R ÉK: R és ZH: = ; = Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ] R ÉK: R és ZH: Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ]

17 f() = (+) f() = ( 5) R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: hel: = érték: = ma.: Mon. csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [ Paritás - R ÉK: R és ZH: = 5 Sz.é. min.: hel: = 5 érték: = ma.: Mon. csökken: ] ; 5] Mon. n: [5 ; [ Paritás

18 f() = (+) f() = ( 3) R ÉK: R és ZH: = Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ] Paritás R ÉK: R és ZH: = 3 Sz.é. min.: ma.: hel: = 3 érték: = Mon. csökken: [3 ; [ Mon. n: ] ; 3] Paritás

19 f() = (+) + 3 f() = 5 ( ) R ÉK: R és 3 ZH: Sz.é. min.: hel: = érték: = 3 ma.: Mon. csökken: ] ; ] Mon. n: [ ; [ Paritás R ÉK: R és 5 ZH: = ; = 9 Sz.é. min.: ma.: hel: = érték: = 5 Mon. csökken: [ ; [ Mon. n: ] ; ] Paritás