Diszkrét matematika 2. estis képzés

Átírás

1 Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék tavasz

2 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 2. Intervallumok Legyen (X ; ) egy részbenrendezett halmaz. Ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z az x és y közé esik, ha x z és z y, akkor azt mondjuk, hogy z szigorúan az x és y közé esik. Az összes ilyen elem halmazát [x, y], ill. (x, y) jelöli. Az [x, y), ill. (x, y] jelölések definíciója analóg. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor [{a}, {a, b, c}] = { {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c} } ; Ekkor ({a}, {a, b, c}) = { {a, b}, {a, c} }. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor [2, 12] = { 2, 4, 6, 12 } ; Ekkor (2, 12) = { 4, 6 }.

3 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 3. Intervallumok Ha x y, de nem létezik szigorúan x és y közé eső elem, akkor x megelőzi y-t. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a} megelőzi {a, b}-t, illetve {a, c}-t. Legyen X a pozitív egész számok halmaza az osztója relációval. Ekkor 2 megelőzi a 4, 6, 10, 14 elemeket. Az {y X : y < x} részhalmazt az x elemhez tartozó kezdőszeletnek nevezzük. Legyen X az {a, b, c} halmaz hatványhalmaza a részhalmaz relációval. Ekkor az {a, b} elemhez tartozó kezdőszelet: {, {a}, {b} }.

4 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 4. Részbenrendezések Hasse-diagramja Ha egy részbenrendezett halmaz elemeit pontokkal ábrázoljuk, és csak azon x, y párok esetén rajzolunk irányított élt, amelyre x megelőzi y-t, akkor a részbenrendezett halmaz Hasse-diagramját kapjuk. Néha irányított élek helyett irányítatlan élt rajzolunk, és a kisebb elem kerül lejjebb

5 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 5. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Az (X, ) részbenrendezett halmaz legkisebb eleme: olyan x X : y X, x y; legnagyobb eleme: olyan x X : y X, y x; minimális eleme: olyan x X : y X, x y, y x; maximális eleme: olyan x X : y X, x y, x y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatósággal: 8 legkisebb elem: 1, legnagyobb elem: nincs, minimális elem: 1, maximális elemek: 5, 6, 7,

6 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 6. Legkisebb, legnagyobb, minimális, maximális elem Megjegyzések Minimális és maximális elemből több is lehet. Ha a halmaz rendezett, akkor a minimális, és legkisebb elem, továbbá a maximális és legnagyobb elem egybeesik. Ha X -nek létezik egyértelmű minimális, ill. maximális eleme, akkor azt min X, ill. max X jelöli. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatósággal: 8 min X = 1, max X nincs

7 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 7. Korlátok Egy (X ; ) részbenrendezett halmaz x eleme az Y X alsó korlátja, ha y Y : x y; felső korlátja, ha y Y : y x. Ha az alsó korlátok halmazában van legnagyobb elem, akkor ez az Y infimuma: inf Y, ha a felső korlátok halmazában van legkisebb elem, akkor ez az Y supremuma: sup Y. Legyen X = {1, 2,..., 8} az oszthatósággal: {1, 2, 3} alsó korlátja: 1, felső korlátja: 6, 8 infimuma: 1, supremuma: {4, 6} alsó korlátjai: 1, 2, 5 felső korlátja: nincs, 2 infimuma: 2, supremuma: nincs

8 Relációk Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 8. Korlátok Ha az X részbenrendezett halmaz bármely nem üres, felülről korlátos részhalmazának van supremuma, akkor felső határ tulajdonságúnak nevezzük, ha bármely nem üres, alulról korlátos részhalmazának van infimuma, akkor X -et alsó határ tulajdonságúnak nevezzük. A természetes számok halmaza az oszthatóságra nézve alsó és felső határ tulajdonságú: Ha Y = {a 1, a 2,... }, akkor inf Y = lnko(a 1, a 2,... ), felső határa lkkt(a 1, a 2,... ). A racionális számok halmaza a szokásos rendezésre nézve sem alsó sem felső határ tulajdonságú: Y = {r Q : r 2} halmaznak van felső korlátja (pl.: 1000, 999, 2, 1, 42,... ), de nincs (racionális) supremuma (a supremum 2 Q lenne).

9 Függvények Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 9. Függvények Egy f X Y relációt függvénynek (leképezésnek, transzformációnak, hozzárendelésnek, operátornak) nevezünk, ha x, y, y : (x, y) f (x, y ) f y = y. Az (x, y) f jelölés helyett ilyenkor az f (x) = y (vagy f : x y, f x = y) jelölést használjuk. Az y az f függvény x helyen (argumentumban) felvett értéke. f = {(x, x 2 ) R R : x R} reláció függvény: f (x) = x 2. Az f 1 = {(x 2, x) R R : x R} inverz reláció nem függvény: (4, 2), (4, 2) f 1.

10 Függvények Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 10. Függvények Az f X Y függvények halmazát X Y jelöli, így használható az f X Y jelölés. Ha dmn(f ) = X, akkor az f : X Y jelölést használjuk. Megjegyzés Ha f : X Y, akkor dmn(f ) = X és rng(f ) Y. Legyen f (x) = x. Ekkor f R R, de nem f : R R. f : R + 0 R. f : R + 0 C.

11 Függvények Diszkrét matematika 2. estis képzés tavasz 11. Függvények Az f : X Y függvény injektív, ha x, x, y : (f (x) = y f (x ) = y) x = x ; szürjektív, ha rng(f ) = Y ; bijektív, ha injektív és szürjektív. Megjegyzés Egy f függvény pontosan akkor injektív, ha f 1 reláció függvény. Az f : R R, f : x x 2 függvény nem injektív, és nem szürjektív: f ( 1) = f (1), rng(f ) = R + 0. Az f : R R + 0, f : x x 2 függvény nem injektív, de szürjektív. Az f : R + 0 R+ 0, f : x x 2 függvény injektív és szürjektív, tehát bijektív. Megjegyzés Az, hogy egy f : X Y függvény szürjektív-e, függ Y -tól. Ha Y Y, akkor f X Y X Y, így az f : X Y függvény biztos nem szürjektív.