Az előadások dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Az előadások dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája:"

Átírás

1 Tájékoztató a Halmazok és függvények tárgy 2017/2018. tanév I. félévi kurzusairól és számonkéréséről Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája Az előadás kódja: TTMBE0201, TMOE0205, heti óraszáma: 2, kreditértéke: 3. Az előadás időpontja: csütörtök ; helyszíne: Matematikai és Földtudományi Épület M 426 tanterem. Előadó: Boros Zoltán ( zboros@science.unideb.hu) Az előadások dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája: szeptember 14.: Halmazelméleti alapfogalmak, aiómák. Halmaz megadása tulajdonsággal. Russel tétele. Műveletek halmazokkal, műveleti tulajdonságok. Hatványhalmaz. De Morgan azonosságok. szeptember 21.: Rendezett párok, Descartes-szorzat. A reláció fogalma, reláció értelmezési tartománya, értékkészlete, inverze. Halmaz reláció általi képe. Relációk kompozíciója, a kompozíció tulajdonságai. szeptember 28.: A függvény fogalma, injektív, szürjektív, bijektív függvények. Halmazok függvény általi ősképe, az őskép és a halmazműveletek kapcsolata. Függvények kompozíciója. Ekvivalencia reláció és indukált osztályozás. Részbenrendezési reláció (parciális rendezés), halmaz alsó/felső korlátja, minimuma, maimuma, infimuma, szuprémuma, minimális/maimális eleme. október 5.: Részbenrendezett halmaz teljessége. Intervallumok. Rendezett halmaz, jólrendezett halmaz; (maimális) lánc. Jólrendezett halmazok kezdőszegmensei. Indeelt halmazcsalád. A kiválasztási aióma és ekvivalens alakjai: Zermelo jólrendezési tétele, Hausdorff-féle maimum-elv, Kuratowski Zorn-lemma. október 12.: Tarski-féle fipont-tétel. Halmazok számossága. Egyenlő számosság, kisebb vagy egyenlő számosság. A számossági relációk tulajdonságai, Schröder Bernstein-tétel. Hatványhalmaz számossága (Cantor tétele). október 19.: A valós számok aiómarendszere, a testaiómák és rendezési aiómák néhány következménye. Az abszolút érték függvény. A Dedekind-tétel és a Cantor-féle metszettétel. október 26.: 1. zárthelyi dolgozat (a gyakorlatok tananyagából) november 9.: Természetes számok. Archimédeszi tulajdonság. Teljes indukció és a rekurzív definíció elve. A binomiális tétel és a Bernoulli-egyenlőtlenség. november 16.: Egész számok, az egész rész és törtrész-függvény. Racionális és irracionális számok, sűrűségi tételek. A valós számok meghatározottsági tulajdonsága. A p-adikus törtbefejtés. november 23.: Az n-edik gyök fogalma és létezése, racionális kitevőjű hatványok. Nevezetes egyenlőtlenségek: a számtani, mértani és harmonikus közepek közti egyenlőtlenség; a Cauchy- Bunyakovszkij- Schwarz- és a Minkowski-egyenlőtlenség. 1

2 november 30.: A komple számok halmaza és algebrai struktúrája. Komple szám valós része, képzetes része, konjugáltja és abszolút értéke. A Cauchy- Bunyakovszkij- Schwarz-egyenlőtlenség komple számokra. december 7.: 2. zárthelyi dolgozat (a gyakorlatok tananyagából) december 14.: Számhalmazok számossága. Végtelen és véges halmazok. Véges halmazok jellemzése. Megszámlálhatóan végtelen és kontinuum számosság. Végtelen halmaz megszámlálható részhalmaza. N, Z, Q, R és C számossága. A gyakorlatok órarendje: A gyakorlat kódja: TTMBG0201, TMOG0205, heti óraszáma: 2, kreditértéke: 2. Órarendi időpont Tanterem Gyakorlatvezető csütörtök M 204 Boros Zoltán csütörtök M 316 Pénzes Evelin péntek M 204 Pénzes Evelin A gyakorlatok dátuma (2017-ben) és tervezett tematikája: szeptember : Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (halmazműveletek azonosságainak igazolása; példák). szeptember : Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (Descartes-szorzatra és halmazműveletekre vonatkozó azonosságok igazolása; példák halmazok relációk általi képére). szeptember : Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (példák halmazok függvény általi képére, ősképére; ezekre vonatkozó azonosságok igazolása; példák relációkra, tulajdonságok ellenőrzése illetve cáfolása). október 5 6.: Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (példák részbenrendezett halmazokra; a linearitás, a teljesség és a jólrendezettség vizsgálata). Valós függvények invertálhatósága, értékkészlete (egyszerűbb esetekben), az inverz meghatározása (konkrét példák). október : Az előadás anyagához kapcsolódó elméleti feladatok (néhány egyszerűbb állítás halmazok számosságára). Egyenlőtlenségek megoldása (másodfokú és arra visszavezethető polinomiális egyenlőtlenségek; törtfüggvényeket tartalmazó egyenlőtlenségek; abszolút értéket tartalmazó egyenlőtlenségek). október : Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása (a megoldás során felhasznált aiómák, definíciók és állítások kiemelésével). október : Az előző heti előadás anyagához kapcsolódó elméleti feladatok (a valós számok aiómarendszere egyszerűbb következményeinek igazolása). Példák halmaz pontos alsó (illetve felső) korlátjának meghatározására. november 9 10.: Azonosságok és egyenlőtlenségek igazolása teljes indukcióval. Intervallum-sorozatok metszete, egyesítése (példák). 2

3 november : Egész illetve racionális számokkal paraméterezett számhalmazok pontos alsó illetve felső korlátainak meghatározása. Példák p-adikus törtbe fejtésre. november : Nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazásai. november 30 december 1.: Egyenlőtlenségek igazolása (teljes indukció illetve nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazásával). december 7 8.: Az előző heti előadás anyagához kapcsolódó elméleti és gyakorlati feladatok (műveletek komple számokkal; komple számok abszolút értéke; az abszolút értékre vonatkozó azonosságok és egyenlőtlenségek igazolása). december : Nehezebb feladatok (a feladatgyűjteményekben alább *-jellel hivatkozott feladatok) és egyéb szorgalmi feladatok megoldása. A felkészüléshez ajánlott jegyzetek: [BM-Ap] Bessenyei Mihály: Analízis Példatár, (DE Mat. Int., 2014) [1 72. Feladat (2 10. old.)], [BZ-Ha] Boros Zoltán: Halmazelméleti alapok, Z-Halmazelmeleti alapok.pdf [GF-Ma] Gecse Frigyes: Matematikai alapok, Z-Press Kiadó, Miskolc, [LK-A1] Lajkó Károly: Analízis I. (KLTE Mat. és Inf. Int., 1998) [I II. fejezet (7 37. old.)] [LK-K1] Lajkó Károly: Kalkulus I. (DE Mat. Int., 2003) [I II. fejezet (9 33. old.)] [LK-K1p] Lajkó Károly: Kalkulus I. példatár, (DE Inf. Int., 2004) [I II. fejezet (9 31., 34. old.)] [PZs-A] Páles Zsolt: Bevezetés az analízisbe [I II. fejezet (1 37. old.)], [RJ-A1] Rimán János: Matematikai analízis I. Líceum Kiadó, Eger, [RJ-Af] Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Líceum Kiadó, Eger, [Rudin] Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, [SzL-H&f] Székelyhidi László: Halmazok és függvények (Híd a felsőbb matematikához), Palotadoktor Bt.,

4 A tananyag számonkérése A tantárgy teljesítéséhez gyakorlati és kollokviumi jegyet kell szerezni. A korábban ebből a tantárgyból megszerzett gyakorlati jegyek természetesen érvényesek. A gyakorlat teljesítése: A gyakorlatok tananyagát a gyakorlatvezetők határozzák meg (a fentiekben javasolt tematika figyelembe vételével). A gyakorlatokon az aktív (!) részvétel kötelező (a gyakorlatvezetők a gyakorlatokon rendszeresen bevonják a feladatok megoldásába a jelenlévő hallgatókat és nyilvántartják a hiányzásokat; háromnál több igazolatlan hiányzás esetén illetve abban az esetben, ha a hallgató felkészületlensége miatt több esetben nem tud vagy nem akar közreműködni a feladatok megoldásában megtagadják az aláírást). A gyakorlati jegy megszerzéséhez két dolgozatot kell megírni (ez alól a hiányzás igazolása sem mentesít, igazolt távolmaradás esetén pótdolgozat írandó). Dolgozatonként legfeljebb 25 pont, összesen maimum 50 pont szerezhető. A gyakorlatokon új vagy nehezebb feladatok megoldásának bemutatásáért a gyakorlatvezető a hallgatónak a félév folyamán összesen legfeljebb 10 szorgalmi pontot adhat, amit a gyakorlati jegy megállapításakor hozzáadunk a dolgozatok összpontszámához. A dolgozatban szorgalmi feladatként adott problémák kidolgozásáért szerezhető többletpontok a dolgozat pontszámába beszámíthatók, de így is dolgozatonként legfeljebb 25 pont adható (a dolgozat szorgalmi feladatainak megoldásáért járó, de a dolgozat pontszámába a maimum elérése miatt be nem számítható többletpontok a féléves maimum 10 pontos szorgalmi pontszámba számíthatók be). A dolgozatokat az erre kijelölt időpontokban (az előadás helyén és idősávjában) kell megírni: október 26. csütörtök 10.00, M 426: első dolgozat; december 7. csütörtök 10.00, M 426: második dolgozat; december 18. hétfő 10.00, M : javító dolgozat (opcionális). A javító dolgozat alkalmával lehetőséget adunk valamelyik dolgozat újraírására vagy pótlására (minden hallgató az igazolt hiányzások miatt szervezett pótlástól eltekintve legfeljebb egy dolgozatot javíthat vagy pótolhat). Az újraírt dolgozat eredeti pontszámát töröljük és az új pontszámmal helyettesítjük (függetlenül attól, hogy melyik a nagyobb). A felkészülést segítik a következő oldalakon található mintadolgozatok is. A gyakorlati jegy megállapítása: 0 20 pont pont pont pont pont A teremfoglalás csak a vizsgahirdetési időszakban lesz véglegesítve. 4

5 Halmazok és függvények 1. mintadolgozat (október 26., csütörtök 10:00, M 426) Az alábbi feladatok összpontszáma 25, megoldási idő 100 perc. használható. Feladatok Tankönyv, jegyzet nem 1. Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C halmazok esetén A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (3 pont) 2. Igazolja, hogy ha X, Y halmazok, f : X Y akkor minden A, B Y esetén f 1 (A \ B) = f 1 (A) \ f 1 (B). (3 pont) 3. Legyen R [0, 1] [0, 1] az alábbi módon értelmezett reláció: (, y) R (azaz Ry) pontosan akkor, ha 4 6y 9. Döntse el, hogy R függvény-e, refleív-e, szimmetrikus-e, illetve tranzitív-e! ( =6 pont) 4. Igazolja, hogy ha f függvény és g f, akkor g is függvény! (2 pont) 5. Injektív-e az alábbi módon megadott függvény: f() = (1 + ) ( R)? Ha igen, adja meg f inverzét! (3 pont) 6. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenségeket! ; ; (3+2+3=8 pont) 7. Szorgalmi feladat: Legyen f : X Y. Igazolja, hogy az f függvény akkor és csak akkor injektív, ha létezik g : Y X úgy, hogy minden X esetén g(f()) = teljesül! (5 pont) 5

6 Halmazok és függvények 2. mintadolgozat (december 7., csütörtök, 10:00, M 426) Az alábbi feladatok összpontszáma 25, megoldási idő 100 perc. használható. Feladatok Tankönyv, jegyzet nem 1. Igazolja, hogy tetszőleges, y R esetén ( )y = y! (2 pont) 2. Igazolja, hogy ha, y R, 0 < < y, akkor 3. Igazolja, hogy minden n N esetén 1 y < 1 teljesül! (5 pont) k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6! (4 pont) 4. Igazolja, hogy [n, + [=! n=1 (4 pont) 5. Igazolja, hogy ha 0 < R és 2 = 3, akkor / Q! (5 pont) 6. Igazolja, hogy bármely, y, z [0, + [ esetén 8yz ( + y)(y + z)( + z)! (5 pont) 7. Szorgalmi feladat: Igazolja, hogy minden n pozitív egész számra 2 k(k + 1)(k + 2) = (n + 1)(n + 2), 2 (k + 1) < és 1 k 3 < 5 4 teljesül! (2+2+1=5 pont) { } 3n Szorgalmi feladat: Legyen H = n + 2 n N. Meghatározandó inf H és sup H. Létezik-e min H illetve ma H? ( =5 pont) 6

7 A gyakorlatokra ajánlott feladatok A dolgozatok előtt egyéni felkészülésre ajánlottak a mintadolgozatok feladatsorai. A gyakorlatokra ajánlottak az ajánlott példatárak tananyaghoz illeszkedő feladatai, különösen az alábbiak (a * szimbólummal megjelölt feladatok szorgalmi feladatnak tekintendők): [BM-Ap]: 1 6., 7.*, , 13.*, 14.*, , 19.*, 20.*, , 35.*, 36.*, 37., 38.*, 39.*, 40.*, 41.*, 42., 43.*, , , , 60.*, 61.*, 62.*, 63.*, 64.*, 65.*, 66.*, , 69.*, 70.*, 71.*, 72.* feladatok; [BZ-Ha]: Példák (2-5.) vizsgálata (részbenrendezés-e, rendezés-e, jólrendezés-e, teljes-e). Az érvelésekben felhasználható az 1. példa, vagyis az, hogy (R, ) teljes rendezett halmaz, amelyben R sem alulról, sem felülről nem korlátos. Vizsgálandók továbbá azok az esetek, amikor a 2. és 5. példában R helyett N szerepel (felhasználva, hogy (N, ) jólrendezett halmaz). [LK-K1p]: I , II feladatok. További gyakorló feladatok: 1. Jelölje X Y azt, hogy az X és Y halmazok egyenlő számosságúak, illetve jelölje H X az f: X H függvények halmazát! Igazolja, hogy ha A C és B D, akkor A B C D és B A D C. 2. Határozza meg a valós számok azon legbővebb részhalmazát, amelyen az f függvény az alábbi képlettel értelmezhető! Határozza meg f értékkészletét! Vizsgálja meg, hogy f injektív-e, és ha annak bizonyul, határozza meg az inverzét! f() = 2 +, f() = 1, f() = , f() = , f() =, f() = Határozza meg az alábbi egyenlőtlenségek valós megoldásainak halmazát: , , , , 2 + < 1, , 1 2, , 4. Igazolja, hogy minden n pozitív egész számra 2 n 1 k n 2n , 1 k k 1 + ( 2) n 1 1 ( 2) n 1 ( 2 1) 5. Legyen H 1 = { n } 2n + 1 n N és 1 k k < { és H 2 = s + 4s } s ]0, + [ Q. Meghatározandó inf H j és sup H j. Létezik-e min H j illetve ma H j (j = 1, 2)? [Jelölés: inf H = ha H alulról nem korlátos, illetve sup H = + ha H felülről nem korlátos]. 6. Határozza meg az alábbi komple számok valós részét, képzetes részét és abszolút értékét: 1 + i 1 i, 3 2 i + 7i 1 + 2i, ( 3 + i) 2017 ( 3 i)

8 További nehezebb (elméleti) feladatok: 1. Igazolja, hogy a Zorn-lemma (amit Kuratowski Zorn-lemmaként is szoktak említeni) ekvivalens a Hausdorff-féle maimum-elvvel! 2. Igazolja, hogy a Hausdorff-féle maimum-elvből következik Zermelo jólrendezhetőségi tétele! 3. Igazolja, bármely két jólrendezett halmaz közül az egyik beágyazható a másikba (beágyazáson injektív, szigorúan monoton növekvő leképezést értünk)! 4. Adjon példát olyan rendezett testre, amelyikben a természetes számok halmaza felülről korlátos! 5. Tegyük fel, hogy az (F,, +, ) rendezett testben a természetes számok halmaza (a legszűkebb induktív halmaz) felülről nem korlátos, továbbá a n, b n F, esetén n N a n a n+1 b n+1 b n (n N) [a n, b n ]. Igazolja, hogy a rendezés teljes! Az elméleti vizsga teljesítése Beszámoló nehezebb elméleti feladatok megoldásából: Aki a szorgalmi időszak alatt kidolgozza legalább két nehezebb elméleti feladat (a fentiek, valamint [BM-Ap]: 40., 41., 61.(iv), 62.(iii),(v)) megoldását és azt (másolatban) eljuttatja az előadóhoz, jelentkezhet beszámolóra (a szorgalmi időszak vége előtt). A külön egyeztetett időpontban szervezett beszámolón a hallgató szóban is bemutatja a megoldását. Ennek során a feladatban szereplő fogalmakkal és a gondolatmenetben felhasznált tételekkel, állításokkal kapcsolatban néhány kérdésre is válaszolnia kell (a tananyag egyéb fejezeteiből nem kell külön készülni). Sikeres beszámoló esetén az előadó megajánlott jegyet jegyez be (jeles vagy jó vizsgajegyet, a teljesítmény függvényében). Amennyiben a beadott megoldás nem áttekinthető vagy erősen hiányos, a beszámolóra jelentkezést az előadó elutasíthatja. Elutasított vagy sikertelen beszámolót követően (illetve a hallgató által el nem fogadott megajánlott jegy esetén) is letehető a rendes szóbeli vizsga (kollokvium). Az elméleti vizsga (kollokvium) szabályai: A kollokvium szóbeli, tételhúzással, írásbeli felkészüléssel. A tételsor ezen tájékoztató utolsó oldalán található. A tétel-lapokon megjelölt tétel(eke)t (két rövidebb vagy egy terjedelmesebb témakört) kell kidolgozni az írásbeli felkészülés során. Elvárható, hogy a vizsgázó az ismertetett fogalmakat példákon is be tudja mutatni. A tétel kidolgozása során a bizonyítások leírására vagy felvázolására (majd részletesebb szóbeli ismertetésére) is törekedjenek! Természetesen a hosszabb, összetettebb bizonyítások ismerete csak a jeles illetve (részben) a jó érdemjegy megszerzéséhez követelhető meg. A vizsga során a felkészültség minél pontosabb felmérése érdekében a kihúzott tétel áttekintése mellett a tananyag más részeiből (a többi tétel anyagából) is kapnak kérdéseket (fogalmakra, alapvető tételekre vonatkozóan). A felkészülés folyamán különösen ügyeljenek az alább felsorolt alapvető fogalmak (definíciók) illetve tételek pontos megtanulására, mivel ezek hibátlan ismertetése (a kihúzott vizsgatétel témakörében illetve a vizsga során feltett kérdésre válaszolva) elengedhetetlen a kollokvium sikeréhez! 8

9 Alapfogalmak Tartalmazás, egyenlőség halmazok között. Halmazműveletek. Két halmaz Descartes-szorzata; reláció, függvény. Halmaz reláció általi képe, reláció (ill. függvény) értelmezési tartománya, értékkészlete. Injektív, szürjektív, bijektív függvény. Halmazok számosságának összehasonlítása (egyenlő, kisebb vagy egyenlő, kisebb). A (részben-) rendezett halmaz aiómái. Alulról/felülről korlátos halmaz, minimum, maimum, (pontos) alsó/felső korlát. Teljes (részben-) rendezett halmaz. A valós számok aióma-rendszere (testaiómák, rendezési aiómák, a műveletek kapcsolata a rendezéssel, teljesség). Természetes, egész és racionális számok; egész rész, abszolút érték. Az n-edik gyök fogalma; racionális kitevőjű hatványok. Komple számok (alaphalmaz, műveletek); komple szám valós/képzetes része, abszolút értéke. KOLLOKVIUMI TÉTELEK 1. Halmazműveletek (unió, metszet, különbség, komplementer, hatványhalmaz) és azonosságaik; tartalmazás és egyenlőség. 2. Rendezett elempár, két halmaz Descartes-szorzata; kapcsolat a tartalmazással és a műveletekkel. Reláció fogalma, jelölése. Relációk inverze és kompozíciója. Halmaz reláció általi képe és kapcsolata a halmazműveletekkel. 3. Függvény fogalma, megadása. Függvények kompozíciója. Halmaz függvény általi képe illetve ősképe és kapcsolata a halmazműveletekkel. Injektív, szürjektív, bijektív függvény. Indeelt halmaz-család. 4. Az ekvivalencia-reláció fogalma és kapcsolata az osztályozással. Példák. 5. (Részben)rendezett halmazok; alsó/felső korlát, minimális/maimális elem, minimum, maimum, infimum, supremum, teljesség; példák. Intervallumok. Jólrendezett halmazok. A kiválasztási aióma és ekvivalens alakjai. 6. Tarski-féle fipont-tétel. Halmazok számossága; Schröder Bernstein-tétel, Cantor-tétel. 7. A valós számok aióma-rendszere; testaiómák, a műveletek monotonitása, a (teljes) rendezett test fogalma; a testaiómák következményei; rendezett testek tulajdonságai (pl. 0 < 1). 8. Az abszolút érték és tulajdonságai. A Dedekind-tétel és a Cantor-féle metszet-tétel. 9. Természetes számok. Archimédeszi tulajdonság. Teljes indukció és a rekurzív definíció elve. Véges sok valós szám összege, szorzata. A binomiális tétel és a Bernoulliegyenlőtlenség. 10. Egész és racionális számok. Az egész rész függvény. A racionális számok sűrűsége. A valós számok halmazának meghatározottsága. A p-adikus törtek. 11. Hatványozás. Az n-edik gyök létezése, azonosságai. Racionális kitevőjű hatványok és azonosságaik. Nevezetes egyenlőtlenségek. 12. A komple számok halmaza; a komple abszolút érték. 13. Számhalmazok számossága. 9

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája

Az előadások és gyakorlatok időpontja, tematikája Tájékoztató a Differenciál- integrálszámítás tárgy 28/29. tanév I. félévi kurzusairól számonkéréről Az előadások gyakorlatok időpontja, tematikája Az előadás kódja(i): TTMBE23, TMOE27, TTMBE83; heti óraszáma:

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1. Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 1 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK111E, INDK111G Félév: 2015/2016-I. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?

Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom? Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

Halmazelméleti alapfogalmak

Halmazelméleti alapfogalmak Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy 1. előadás: Halmazelmélet Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy hozzátartozik-e,

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai

BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Tantárgy: Matematika Osztály: 10. B Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 108 Tankönyv: Hajdu Sándor Czeglédy István Hajdu

Részletesebben

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK112E, INDK112G Félév: 2015/2016-II. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)

1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja) 1. gyakorlat (2016. 09. 12.), Bevezető analízis 1., 2016. ősz A színek jelentése: fekete az előzetes vázlat; piros, ami ehhez képest módosult. 1. Három matematikus bemegy egy kocsmába, és rendel. A nagy

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának

Részletesebben

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDK112E, INDK112G Félév: 2016/2017-II. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: 2 + 2 (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele:

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz

TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ. Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz I. évfolyam BA TANTÁRGYI ÚTMUTATÓ Gazdasági matematika I. tanulmányokhoz TÁVOKTATÁS 2015/2016-os tanév I. félév A KURZUS ALAPADATAI Tárgy megnevezése: Gazdasági matematika I. (Analízis) Tanszék: Módszertani

Részletesebben

harmadik, javított kiadás

harmadik, javított kiadás Lajkó Károly Analízis I. harmadik, javított kiadás Debreceni Egyetem Matematikai és Informatikai Intézet 00 1 c Lajkó Károly lajko @ math.klte.hu Amennyiben hibát talál a jegyzetben, kérjük jelezze a szerzőnek!

Részletesebben

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató

Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van.

HALMAZOK. A racionális számok halmazát olyan számok alkotják, amelyek felírhatók b. jele:. A racionális számok halmazának végtelen sok eleme van. HALMAZOK Tanulási cél Halmazok megadása, halmazműveletek megismerése és alkalmazása, halmazok ábrázolása Venn diagramon. Motivációs példa Egy fogyasztó 80 000 pénzegység jövedelmet fordít két termék, x

Részletesebben

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI INBGM0101-17 Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita 2017/2018. I. félév 2. gyakorlat Az alábbi összefüggések közül melyek érvényesek minden A, B halmaz

Részletesebben

PPKE ITK, 2014/2015 tanév. I. félév. Tantárgyi adatok és követelmények

PPKE ITK, 2014/2015 tanév. I. félév. Tantárgyi adatok és követelmények PPKE ITK, 2014/2015 tanév I. félév Tantárgyi adatok és követelmények Tantárgy neve: Óraszám: Lineáris algebra 2 óra előadás, kedd, 8-10, Simonyi terem 2 óra gyakorlat Honlap: digitus.itk.ppke.hu/~b_novak

Részletesebben

TANMENET. Matematika

TANMENET. Matematika Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:

Részletesebben

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar

Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Matematika A1a-Analízis (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Kód: BMETE90AX00; Követelmény: 4/2/0/V/6; Félév: 2016/17/2; Nyelv: magyar; Előadó: Dr. Fülöp Ottilia Gyakorlatvezető: Dr. Fülöp

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

KÖVETELMÉNYEK 2017/ félév. Informatika II.

KÖVETELMÉNYEK 2017/ félév. Informatika II. Tantárgy neve Informatika II. Tantárgy kódja TAB1110 Meghirdetés féléve 4. Kreditpont 1 Heti kontakt óraszám (elm. + gyak.) 0 + 1 Félévi követelmény Előfeltétel (tantárgyi kód) TAB1109 Tantárgyfelelős

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató

Kalkulus 2 (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Kalkulus (Informatika BSc PTI) tantárgyi tájékoztató Tárgykód(ok): INDKE, INDKG Félév: 04/05-II. Előadó: Boros Zoltán Óraszám: + (előadás + tantermi gyakorlat) Kredit: 5 (kötelező) Előfeltétele: Kalkulus

Részletesebben

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel

Részletesebben

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.

Leképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok. Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. 1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HLMZOK halmaz axiomatikus fogalom, nincs definíciója. benne van valami a halmazban szintén axiomatikus fogalom,

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Matematikai logika és halmazelmélet

Matematikai logika és halmazelmélet Matematikai logika és halmazelmélet Wettl Ferenc előadása alapján 2015-09-07 Wettl Ferenc előadása alapján Matematikai logika és halmazelmélet 2015-09-07 1 / 21 Tartalom 1 Matematikai kijelentések szerkezete

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM - INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Cserép Máté 2009.01.20. A dokumentum a programtervező informatikus szak Diszkrét matematika I. kurzusának vizsgaanyagát

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar

Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Matematika G1 és A1a-Analízis tárgyak (keresztfélév) TÁRGYKÖVETELMÉNY Gépészmérnöki Kar Tárgykódok: BMETE93BG01, BMETE94BG01, BMETE90AX00 Kurzuskódok: G00, G01, G02, H0, H1, HV Követelmény: 4/2/0/V/6;

Részletesebben

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer

Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Óbudai Egyetem Mikroelektronikai és Technológia Intézet Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Tantárgy neve és kódja: Matematika II. KMEMA21TND Kreditérték:

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

Dr. Vincze Szilvia;

Dr. Vincze Szilvia; 2014. szeptember 17. és 19. Dr. Vincze Szilvia; vincze@agr.unideb.hu https://portal.agr.unideb.hu/oktatok/drvinczeszilvia/oktatas/oktatott_targyak/index/index.html 2010/2011-es tanév I. féléves tematika

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.

2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság. Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések

1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések 1.1 Halmazelméleti fogalmak, jelölések Alapfogalmak (nem definiáljuk) Halmaz x eleme az A halmaznak x nem eleme A halmaznak Jelölések A,B,C, x A x A SiUDWODQ V]iRN Halmaz megadása: Elemeinek felsorolásával:

Részletesebben

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ

MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ MATEMATIKA I. JEGYZET 1. RÉSZ KÉZI CSABA GÁBOR Date: today. 1 KÉZI CSABA GÁBOR 1. Logikai állítások, műveletek 1.1. Definíció. Matematikai értelemben állításnak nevezünk egy olyan kijelentést, melynek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3.

dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3. Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2008. november 3. ### Szamoss1www.tex, 2008.09.28. Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen halmazok méretét, elemeinek

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben

1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor

1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor 1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak dr. Kallós Gábor 2017 2018 Köszönetnyilvánítás Köszönetnyilvánítás (Acknowledgement) Ez a gyakorlati feladatsor nagyban épít a következő könyvre Elements

Részletesebben