Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Átírás

1 Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve Dr. Blahota István Tantárgyfelelős beosztása Főiskolai docens 1. A tantárgy általános célja és specifikus célkitűzései A tárgy keretében a hallgatók a Matematikai Analízis alapvető témaköreivel ismerkednek meg. A szerzett ismereteket feladatmegoldásokban alkalmazzák.. A tantárgy tartalma Halmazok, relációk és függvények. Rendezett halmazok. Halmazok számossága, számhalmazok számosság Nyílt és zárt halmazok. Halmazok távolsága és átmérője. Valós számok axiómarendszere. Természetes, egész és racionális számok. Hatványozás. Nevezetes egyenlőtlenségek. Valós számsorozatok. Sorozatok korlátossága és monotonitás Sorozatok konvergenciáj Határértéktételek sorozatokr Műveletek sorozatokkal. Cauchy-sorozatok. Teljesség. Sorok, sorok konvergenciáj Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergenci Műveletek sorokkal. Elemi függvények. Függvények korlátossága és monotonitás Függvény határértéke, folytonossága és egyenletes folytonosság Határérték és folytonosság kapcsolata, monoton függvények. Műveletek folytonos függvényeken. Kompaktság. A kompaktság jellemzése. Kompakt halmazon folytonos függvények tulajdonságai. Összefüggőség. Monoton függvények. Függvénysorok pontonkénti és egyenletes konvergenciáj Hatványsorok. Konvergencia sugár. A differenciálszámítás elemei. Egyváltozós függvények deriváltj Differenciálási szabályok. Határfüggvény és összegfüggvény differenciálás L'Hospital szabály. Lagrange-féle maradéktag, Lagrange-féle középérték tétel, Rolle-féle középérték tétel. Lokális szélsőérték, konvexitás, monotonitás. Függvényvizsgálat. Magasabbrendű deriváltak, Taylor-sorok. Az integrálszámítás elemei. Primitív függvény. Határozatlan integrál. Határozott integrál. Darboux tétel. Egyváltozós függvények Riemann-integrálj Integrálási szabályok. Integrálhatósági kritériumok. Integrálható függvények főbb osztályai. Az integrál alaptulajdonságai. Newton-Leibniz-formul Az integrál mint a felső határ függvénye. Parciális és helyettesítéses integrálás. Racionális törtfüggvények integrálása, racionalizáló helyettesítések. Terület, ívhossz, forgástest térfogata és felszíne. Riemann-Stieltjesintegrál. Improprius integrálok.

2 Tételsor: 1. Relációk, függvények. Halmazok számossága, számhalmazok számosság. Nevezetes egyenlőtlenségek.. Valós számsorozatok. Konvergencia és műveletek. Nevezetes sorozatok határértéke. 4. Numerikus sorok, konvergencia-kritériumok, műveletek sorokkal. 5. Függvények folytonossága, korlátosság és monotonitás, műveletek folytonos függvényeken. 6. Függvények határértéke, határérték és folytonosság kapcsolata, monoton függvények. 7. Függvénysorok és hatványsorok. 8. Elemi függvények, a differenciálhányados fogalm 9. Differenciálhatóság és folytonosság. Deriválási szabályok. A differenciálszámítás középérték tételei. 10. Magasabbrendű deriváltak, Taylor-sorok. Lokális szélsőérték, konvexitás, monotonitás. L Hospital-szabály. 11. Határozatlan integrál, integrálási szabályok. 1. Riemann-integrálhatóság, Darboux tétel. A Newton-Leibniz formul 1. Improprius integrálok. A Riemann-Stieltjes integrál. Mintadolgozatok: (Mellékelve). Évközi ellenőrzés módja Két zárthelyi dolgozat írás 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai

3 5. A kötelező ill. ajánlott irodalom Csernyák László (szerk.): Analízis. Tankönyvkiadó, 001. W. Rudin: Matematikai analízis alapjai. Műszaki Kiadó, Makai I.: Bevezetés az analízisbe. Tankönyvkiadó, Kántor S.: Analízis I. Tankönyvkiadó, 199. Császár Á.: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, 198. Leindler L. - Schipp F.: Analízis I. (Egységes jegyzet), Természettudományi Karok, Tankönyvkiadó, Rimán J.: Matematikai analízis feladat gyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, 199. B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis (Feladatgyűjtemény). Tankönyvkiadó, Makai I.: Differenciál és integrálszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 198. Pál J. - Schipp F. - Simon P.: Analízis II. Tankönyvkiadó, 198. Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás. Műszaki Kiadó, 001. Bárczy Barnabás: Integrálszámítás. Műszkai Kiadó, 000. Páles Zsolt: Bevezetés az analízisbe. Matematikai és Informatikai Intézet, Kossuth Lajos Tudományegyetem, Debrecen, A tantárgy tárgyi szükségletei és ellátása Kréta, tábla (esetlegesen táblaíró filctoll, megfelelő táblával.)

4 Első dolgozat A. változat 1. Legyen a n = 6n +n n +. Vizsgáljuk meg monotonitás, korlátosság szempontjából! Ha konvergens számoljuk ki a határértékét, valamint keressünk ɛ = 0, 01-hoz küszöbindexet! (8 pont). Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékeit (6 pont): b n = n n + 1 n + 1 c n = sin(n) n d n = ( n 1 n + ) n. Mennyivel egyenlő az alábbi mértani sor összege? ( pont) 4. Számítsuk ki az alábbi sorösszeget! ( pont) 5. Konvergensek-e az alábbi sorok? (4 pont) n=1 n (n)! n=1 n=0 ( ) 1 n n n n= ( ) n 6. Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket (6 pont): x x + x x 5x + 6 sin(x ) x x x ( ) x x 1 x + B. változat 1. Legyen a n = 6n+1 n +. Vizsgáljuk meg monotonitás, korlátosság szempontjából! Ha konvergens számoljuk ki a határértékét, valamint keressünk ɛ = 0, 01-hoz küszöbindexet! (8 pont). Számítsuk ki az alábbi sorozatok határértékeit (6 pont): a n = n+ + 9 n 1 ( ) n n n b n = c n = n n n. Mennyivel egyenlő az alábbi mértani sor összege? ( pont) Számítsuk ki az alábbi sorösszeget! ( pont) 5. Konvergensek-e az alábbi sorok? (4 pont) n=1 (n)! n 1 n=0 n=0 (n+1)(n+) n n

5 6. Számítsuk ki az alábbi függvényhatárértékeket (6 pont): x x x 0 x 5x sin(x ) x x 4 x ( ) x 1 x + Második dolgozat A. változat 1. Deriválja le az alábbi függvényeket! (++ pont) (x x )( x) b. ( x + x ) sin x c. tg (4x) cos x. Legyen f(x) = 1 x +1. Határozzuk meg a monotonitási intervallumokat, lokális szélsőértékhelyeket és azok típusát! (++ pont). Végezzük el az alábbi integrálásokat! (4+ pont) x + x (x + x ) dx b. x x 1 dx 4. Számoljuk ki az alábbi két függvény által közrezárt területet! (7 pont) f(x) = x g(x) = x + 1 B. változat 1. Deriválja le az alábbi függvényeket! (++ pont) x + x x b. sin( x cos x) c. sin( x ) cos x. Legyen f(x) = x x. Határozzuk meg a konvexitási intervallumokat és az inflexiós pontokat! (5+ pont). Végezzük el az alábbi integrálásokat! (+4 pont)

6 x + 1 x dx b. + x π 0 (x + sin x)(x cos x) dx 4. Számoljuk ki az alábbi két függvény által közrezárt területet! (7 pont) f(x) = x 4 g(x) = 1 C. változat 1. Deriválja le az alábbi függvényeket! (++ pont) ( x x )( x) b. (e x + x e ) sin x c. 4 sin(4x) cos x. Legyen f(x) = x x +1. Határozzuk meg a monotonitási intervallumokat, lokális szélsőértékhelyeket és azok típusát! (++ pont). Végezzük el az alábbi integrálásokat! (+4 pont) x (x + x ) dx b. x 1 dx 4. Számoljuk ki az alábbi két függvény által közrezárt területet! (7 pont) f(x) = x g(x) = x