A kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e

Átírás

1

2 Dr. Gergó Lajos elõadásjegyzetei alapján készítették: Dr. Gergó Lajos Dr. Meskó Attiláné Gillemotné Dr. Orbán Katalin Semmelweis Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, Egyetemi Gyógyszertár, Gyógyszerügyi Szervezéstani Intézet Dr. Gergó Lajos Budapest, 2005, 2010 ISBN-ekönyv Az e-könyv alapja: dr. Gergó Lajos: Matematika gyógyszerészhallgatók számára (ISBN ) 2005-ös kiadás. A könyv és adathordozó (legyen az e-könyv, CD vagy egyéb digitális megjelenés) szerzõi jogi oltalom és kizárólagos kiadói felhasználási jog alatt áll. Az e-könyv kódrendszer DRM, avagy digitális másolásvédelem feltörése bûncselekmény! Bármely részének vagy egészének mindennemû többszörözése kizárólag a szerzõ és a kiadó elõzetes írásbeli engedélye alapján jogszerû. Semmelweis Verlag A kiadásért felel dr. Táncos László, a Semmelweis Kiadó igazgatója Nyomda alá rendezte Békésy János Borítóterv: Táncos László SKD: SKD043-e

3 TARTALOMJEGYZÉK Bevezetés Halmazok Halmaz Ahalmazmegadása Halmazműveletek Számhalmazok Függvények Afüggvénydefiníciója Függvényinverze Valósfüggvényektulajdonságai Függvényműveletek Függvénymegadása Halmazok számossága Néhány fontos inverz függvény... 28

4 4 Tartalomjegyzék 4.1. Gyökfüggvények Exponenciálisfüggvények Trigonometrikusfüggvények Valós számsorozatok A számsorozat definíciója, tulajdonságai A konvergencia definíciója, műveletek konvergens sorozatokkal A legfontosabb konvergens sorozatok Műveletek konvergens sorozatokkal Divergens sorozat +, határértéke Végtelensorok,mértanisor Függvények határértéke Bevezetés A függvény határértéke véges helyen véges A függvény határértéke a véges helyen végtelen A függvény határértéke a végtelenben véges A függvény határértéke a végtelenben végtelen Jobb-ésbaloldalihatárérték Alapműveletekéshatárérték Néhány elemi függvény határértéke ± -ben Polinomok Racionális törtfüggvények Folytonosság Differenciálszámítás A differenciálhatóság definíciója Aderiváltgeometriaijelentése Az alapműveletek és a deriválás kapcsolata A deriváltfüggvény és az alapfüggvények deriváltjai Összetett függvény deriváltja Inverzfüggvényderiváltja f(x) g(x) alakú függvények deriválása Magasabbrendűderiváltak... 65

5 Tartalomjegyzék L Hospitalszabály Függvényvizsgálat Néhányalkalmazás Integrálszámítás Határozatlanintegrál Integrálásiszabályok Racionális törtek integrálása Egyéb trükkök, átalakítások, szabályok alkalmazása Határozottintegrál Integrálhatóság A határozott integrál tulajdonságai Alkalmazások Impropriusintegrál Többváltozós függvények Halmazok Descartes-szorzata Kétváltozós valós függvények Kétváltozós függvények szemléltetése Kétváltozós függvények határértéke Többváltozós függvények differenciálhatósága Szélsőértékszámítása Legkisebbnégyzetekmódszere Vonalintegrál Differenciálegyenletek Differenciálegyenletre vezető gyakorlati feladatok Sugárzás intenzitásának csökkenése Élő szervezetek szaporodása, fogyása Kémiaireakciók Rekeszmodellek, kompartment modellek Irodalomjegyzék...128

6

7 BEVEZETÉS Ez a jegyzet az I. éves gyógyszerészhallgatók számára készült. Elsősorban a matematika előadás anyagát tartalmazza, de számos feladatot is kidolgoztunk éppen azért, hogy az adott témát, fogalmat azonnal megvilágítsuk egy-egy gyakorlati példa megoldása kapcsán. Jelen jegyzet tömörsége nem véletlen. Célunk az volt, hogy az előadáson bevezetett tömör matematikai nyelven csak a lényeget foglaljuk össze minden bővebb, külön magyarázat nélkül. Éppen ezért ebben a formában csak az előadás kiegészítésének tekintjük. Mivel a vizsgákon az elméleti tudást kérjük számon, nagy segítség lehet az anyag pontos elsajátításához, megtanulásához és a vizsgára való felkészüléshez. A matematika oktatásának célja elsősorban a tanulmányok során előforduló természettudományos tárgyakkal (fizika, kémia, biológia) kapcsolatos matematikai fogalmak, eszközök megismertetése, helyes használatuk elsajátítása. Nem mondhatunk le bizonyos szintű matematikai szemlélet, gondolkodás kialakításáról sem. Mindezek mellett fontos szempont számunkra a világos gondolkodásra, pontosságra, precíz fogalmazásra nevelés is, aminek szintén kiváló eszköze a matematika. A jegyzet megírása során örömmel támaszkodtunk elődeink kiváló munkáira is (lásd Irodalomjegyzék).

8 8 Bevezetés Köszönetet mondok kollégáimnak, Dr. Meskó Attilánénak és Gillemotné Dr. Orbán Katalinnak, hogy részt vettek a jegyzet elkészítésében. Köszönettel tartozom Olajos Adriennek szép munkájáért, a jegyzet gondos gépeléséért, Gergó Balázsnak az ábrák megrajzolásáért és Dr. Szili Lászlónak a menet közben felmerülő Latex problémák megoldásában nyújtott sok segítségéért. Budapest, szeptember 13. Dr. Gergó Lajos

9 1. HALMAZOK 1.1. HALMAZ A halmaz és a halmaz eleme alapfogalmak, ezeket nem definiáljuk. Tapasztalataink szerint halmaz alatt dolgok, fogalmak, matematikai objektumok stb. jól meghatározott gyűjteményét, együttesét, csoportját értjük. A halmazt megadtuk, ha minden dologról el tudjuk dönteni, hogy hozzátartozik-e a halmazhoz, vagy sem. Egy x dolog, ha hozzátartozik egy A halmazhoz, akkor azt mondjuk, hogy eleme A-nak. Jelölés: x A. Egy y dolog, ha nem tartozik az A halmazhoz, akkor y nem eleme A-nak. Jelölés: y A A HALMAZ MEGADÁSA a) A halmaz megadható elemeinek felsorolásával (sorrend mindegy, minden elem csak egyszer írandó). Legyenek a, b, c, d, e elemei az A halmaznak, ezt így jelöljük: A := {a, b, c, d, e}.

10 10 1. Halmazok Példa: A := {1, 3, 7}, B := {cm, m, kg}. b) A halmazt megadhatjuk elemei tulajdonságaival is. Az A halmaz legyen olyan x elemek halmaza, melyek a T (x) tulajdonsággal rendelkeznek, ezt így jelöljük: A := {x T (x)}. Példa: A := {x R x 1}, B := {n N 2 n}, C := {n Z n =5k +3,k Z} Definíció: A B, ha x A x B. Szóban: az A halmaz részhalmaza a B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme eleme a B halmaznak is. Ebből egyenesen következik, hogy minden halmaz önmagának részhalmaza. Jelölés: Az üres halmazt jelölje. Ez a halmaz nem tartalmaz egyetlen elemet sem. Ennek egyenes következménye, hogy A, bármely A esetében. A következő definícióban kimondjuk, hogy azok az egyenlő halmazok, amelyek ugyanazokat az elemeket tartalmazzák Definíció: A = B, ha A és B elemei ugyanazok. Ezek után kimondható az alábbi állítás, amely a halmazok egyenlőségével foglalkozik Tétel: A = B A B B A. A halmazokat szokásos úgynevezett Venn diagramokkal szemléltetni. A Venn diagramok zárt görbékkel határolt síkbeli alakzatoknak feleltetik meg a halmazokat.

11 IRODALOMJEGYZÉK [ 1 ] Dr. Nagy János, Matematika gyógyszerészek részére, Budapesti Orvostudományi Egyetem Gyógyszerésztudományi Kar, 1969 [ 2 ] Hajtman Béla, Matematika gyógyszerészhallgatók részére, Semmelweis Orvostudományi Egyetem, Gyógyszerésztudományi Kar, 1973 [ 3 ] Hajtman Béla, Matematika orvosok és gyógyszerészek részére, Medicina Könyvkiadó, Budapest, 1980 [ 4 ] Leindler L., és Schipp F., Analízis I., ELTE, Budapest, 1994 [ 5 ] Pál J., Simon P., Schipp F., Analízis II., ELTE, Budapest, 1994