2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

Átírás

1 24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

2 A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével írható le teljesen minden mozgás vagy változás, legyen az akár mechanikai vagy elektromos-mágneses folyamat, illetve gazdasági-társadalmi változás. De ez még nem minden: a differenciálszámítással bonyolult szabályokat-törvényeket egyszerűbbekkel közelíthetünk akár tetszőleges pontossággal, az egyes folyamatok irányultságát, optimális értékeit pedig egzakt módon meghatározhatjuk. Mindezeken túl a differenciálszámítás, ha alapvetően alkalmazáscentrikusan tanítjuk-tanuljuk, nem nehéz: csupán néhány szabályt kell megismernünk és odafigyeléssel alkalmaznunk. Bonyolult előismeretek nem szükségesek a megtanulásához: az elemi számolási-matematikai ismeretek mellett a tanult függvénytanra, valamint a határérték-számításra építünk. Dr. Ábrahám István

3 Tartalomjegyzék.) Függvény határértéke véges helyen 2.) Függvény határértéke végtelenben 3.) Függvények folytonossága

4 Tartalomjegyzék.) Függvény határértéke véges helyen 2.) Függvény határértéke végtelenben 3.) Függvények folytonossága

5 Példa Ábrázoljuk az f() = / függvényt! =? függvény határértéke véges helyen ( -ban a függvény értelmezve van)

6 Példa =? függvény határértéke véges helyen ( -ban a függvény nincs értelmezve)

7 Példa?? függvény határértéke -ben

8 Bevezetőül A számegyenesen bármely ponthoz meg tudunk adni hozzá konvergáló, valós számokból álló sorozatot. Az lehet egy függvény értelmezési tartományának eleme is. Tekintsük az f() = 2+ függvényt. Az =3 pontjához adjunk meg olyan sorozatokat, melyek a 3-hoz konvergálnak! Bármely számhoz végtelen sok, hozzá konvergáló sorozat adható meg, legegyszerűbben úgy, hogy az illető számhoz egy nullsorozatot adunk.

9 Bevezetőül Ha a függvény az környezetében mindenhol értelmezve van, akkor az -hoz tartó ( n ) sorozat egyes értékeihez tartozó függvényértékek is sorozatot alkotnak. f() = 2 + ; = 3; pl.: n = 3 + /n

10 Példa n 3 f( ) n n n n n n f( n )

11 Példa n 3 f( ) n n n n n n f( n ) n = = 3 + / = 4 f(4) = = 9

12 Példa n 3 f( ) n n n n n n f( n ) n = = 3 + / = 4 f(4) = = 9 n = 2 2 = 3 + /2 = 7/2 f(7/2) = 2 7/2 + = 8

13 Példa n n f( n ) n = = 3 + / = 4 f(4) = = 9 n = 2 2 = 3 + /2 = 7/2 f(7/2) = 2 7/2 + = 8 n = 3 3 = 3 + /3 = /3 n 3 f( ) n n n n f(/3) = 2 /3 + = 25/3

14 Példa n n f( n ) n = = 3 + / = 4 f(4) = = 9 n = 2 2 = 3 + /2 = 7/2 f(7/2) = 2 7/2 + = 8 n = 3 3 = 3 + /3 = /3 n = 4 4 = 3 + /4 = 3/4 f(/3) = 2 /3 + = 25/3 f(3/4) = 2 3/4 + = 5/2 n 3 f( n ) 2 n n

15 Példa n n f( n ) n = = 3 + / = 4 f(4) = = 9 n = 2 2 = 3 + /2 = 7/2 f(7/2) = 2 7/2 + = 8 n = 3 3 = 3 + /3 = /3 n = 4 4 = 3 + /4 = 3/4 n 3 n f(/3) = 2 /3 + = 25/3 f(3/4) = 2 3/4 + = 5/ ; ; ; ;... f n 2 3 n f( n ) 2 n n

16 Példa n 3 n f 2 3 n n ( n ) 3 n 3 f( n n ) 7 2 7

17 Függvény határértéke véges helyen Az f függvénynek az helyen határértéke az A, ha minden ( n ) esetén (f( n )) A. Feltétel, hogy a függvény az környezetében értelmezve legyen. A függvény határértékének jelölése: f ( ) A

18 Megjegyzés.) A definícióban szereplő ( n ) sorozatnak tetszőlegesnek kell lennie, azaz az -hoz a sorozat nemcsak jobbról vagy balról konvergálhat, hanem egyszerre mindkét oldalról is. 2.) Ha a bal és a jobboldali határértékek megegyeznek, akkor a függvénynek van határértéke az helyen.

19 Példa Adjunk meg az f() = 2+ függvény esetén az =3 ponthoz balról és jobbról konvergáló sorozatokat! 3 (2 )? 3 (2 )? bal oldali határérték jobb oldali határérték

20 Megjegyzés f( ) bal oldali határérték = f( ) jobb oldali határérték Ha a bal és a jobboldali határértékek megegyeznek, akkor a függvénynek van határértéke az helyen.

21 Bal és jobboldali határérték Ha az -hoz minden balról konvergáló ( n ) sorozat esetén (ekkor a sorozat minden tagjára: n ) a függvényértékek sorozata tart A b -hez, akkor A b bal oldali határérték. f( ) A jobb oldali határérték fogalma a fentiekkel teljesen analóg. A b f ( ) A j

22 Határértékre vonatkozó műveletek A határértékképzés művelettartó, azaz ha B g A f ) ( ; ) ( akkor R A f f B A g f g f B A g f g f B A g f g f ; ) ( ) ( ) ( / ) ( )) ( )/ ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( (

23 Függvény határértéke véges helyen.) Ha a függvény az helyen értelmezve van, akkor a határértéke megegyezik a helyettesítési értékével. 2.) Ha a függvény az helyen nincs értelmezve, akkor jobb és baloldali határértéket kell számítanunk!

24 Példa??; n n?

25 Tartalomjegyzék.) Függvény határértéke véges helyen 2.) Függvény határértéke végtelenben 3.) Függvények folytonossága

26 Függvény határértéke + végtelenben Legyen D R felülről nem korlátos halmaz, f: D R adott függvény továbbá n D olyan sorozat, amelyre: n n Ha az (f( n )) sorozat minden ilyen tulajdonságú ( n ) sorozat esetén konvergens és f( akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek létezik a határértéke a végtelenben és ez A-val egyenlő: n ) f( ) A A

27 Függvény határértéke - végtelenben Legyen D R alulról nem korlátos halmaz, f: D R adott függvény továbbá n D olyan sorozat, amelyre: n n Ha az (f( n )) sorozat minden ilyen tulajdonságú ( n ) sorozat esetén konvergens és f( akkor azt mondjuk, hogy az f függvénynek létezik a határértéke a mínusz végtelenben és ez A-val egyenlő: n ) f( ) A A

28 Nevezetes határértékek A sorozat-analóg határértékek:,,, 4.) 3.) 2.) ), (.) ha a ha a a ha a e k e R k

29 Nevezetes határértékek 8.) cos 7.) sin 6.) ) ( ln 5.) a a és aállandó a a a a

30 Tartalomjegyzék.) Függvény határértéke véges helyen 2.) Függvény határértéke végtelenben 3.) Függvények folytonossága

31 A függvény folytonossága ha f( ) 3 ha A folytonosság téveszméje: a függvény grafikonját a ceruza felemelése, áthelyezése nélkül nem tudtam megrajzolni! A függvény folytonossága pontbeli tulajdonság.

32 Példa Az f() = ( racionális szám) függvény esetén, a függvényértékek végtelenül közel vannak egymáshoz, hiszen bármely racionális számhoz végtelenül közel végtelen sok racionális szám van. Ugyanakkor minden (, f()) függvénypont között lyuk van, mert bármely két racionális szám között van irracionális szám, tehát a definiált pontok nem köthetőek össze.

33 Függvény folytonossága Az f függvény folytonos egy pontban, ha egyszerre eleget tesz a következő három feltételnek:.) a függvényt értelmezzük az pontban és annak környezetében (azaz van helyettesítési érték); 2.) van határértéke a függvénynek az pontban; 3.) a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel: f( ) f( )

34 Bal és jobboldali folytonosság Beszélhetünk balról illetve jobbról folytonos függvényekről:.) Az f() függvény balról folytonos az pontban, ha csak a baloldali határértéke egyezik meg a helyettesítési értékével: f( ) f( ) Jobboldali folytonosságnál: f( ) f( )

35 Példa: egészrész függvény =2 helyen a függvény helyettesítési értéke: f(2)=2. a bal oldali határérték: a jobb oldali határérték: 2 A függvény jobbról folytonos, balról nem.

36 Függvény folytonossága - definíciók.) Az f függvény az értelmezési tartományának egy szakaszán (egy intervallumon) folytonos, ha az intervallum minden pontjában folytonos. 2.) A folytonosság művelettartó, azaz két folytonos függvénnyel műveletet végezve (alapműveletek, összetett-függvény) a kapott új függvény is folytonos lesz mindazokon a helyeken, ahol a művelettel az értelmezési tartomány nem sérül, nem szűkül,nem keletkezik szakadása.

37 Szakadási hely - definíciók.) Ha az f függvény az értelmezési tartományának valamely pontjában nem folytonos, akkor ott a függvénynek szakadási helye van. 2.) Az f függvénynek az -ban elsőfajú szakadása van, ha itt létezik a jobb és baloldali határértéke. Ha még az is teljesül, hogy a jobb és baloldali határérték megegyezik, akkor ez a szakadás megszűntethető. A függvény szakadási helye másodfajú, ha nem elsőfajú.

38 Példa n n Az f() = / függvénynek a -ban elsőfajú szakadás van, mert létezik a bal és a jobboldali határértéke.

39 Példa Az f függvénynek az = helyen elsőfajú szakadása van, ami megszűntethető.

40 Példa Adja meg az alábbi függvénynek a határértékét az = 2; = pontokban és a -ben! 4 f( ) 2

41 Példa Adja meg az alábbi függvénynek a határértékét az = 2 pontban! 2 7 f( ) 2 5 6

42 Példa 7 f( ) határozatlan alakú tört Határozatlan alakúnak nevezünk egy törtet, ha / vagy / alakú.

43 Példa Ha ilyen tört határértékét szeretnénk kiszámolni, első lehetőségünk a szorzattá alakítás (ez a zérushelyek megkeresésével történik!) A szorzattá alakítással rendszerint ugyanaz a szorzótényező jelenik meg a számlálóban, mint a nevezőben, és ezzel elérjük, hogy a tört egyszerűbb alakra hozható a következő nevezetes határérték segítségével: a a a

44