f(x) a (x x 0 )-t használjuk.
|
|
- Ádám Hegedüs
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) és x D Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim f(x) = a, vagy Állítás. A határérték, ha létezik, akkor egyértelmű. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges határértéke x 0 -ban, de nem egyértelmű. Akkor van két olyan szám a, a R, a a hogy minden ε > 0-hoz vannak olyan δ(ε), δ (ε) > 0 számok, melyekre Ebből f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ (ε) és x D f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ (ε) és x D. 0 a a = a f(x) + f(x) a < 2ε ha 0 < x x 0 < min{δ(ε), δ (ε)} és x D. Mivel itt ε > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. Megjegyzés. Határérték létezhet az x 0 pontban akkor is, ha a függvény nincs értelmezve a pontban de torlódási pontja annak (egy halmaz torlódási pontja ui. nem feltétlenül pontja a halmaznak). Éppen emiatt lényeges a definícióban a 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítja azt, hogy x x 0. Tétel. [átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = a akkor és csakis akkor, ha bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén lim f(x n ) a (n ). Másképpen megfogalmazva: az f függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor lesz f határértéke az a szám, ha az értelmezési tartományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) sorozatot véve, melynek elemei x 0 -tól különbözőek, a függvényértékek (f(x n )) sorozata a hoz konvergál. így Bizonyítás. Ha lim f(x) = a, és x 0 x n x 0 (n ), akkor δ(ε) > 0-hoz van olyan N (δ(ε)) > 0, hogy ami azt jelenti, hogy f(x n ) a (n. x n x 0 < δ(ε) ha n > N (δ(ε)), f(x n ) a < ε ha n > N (δ(ε)), Indirekt bizonyítást használunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) a (n ), de a lim f(x) = a nem Ez utóbbi azt jelenti, hogy Ennek tagadása azt jelenti, hogy (ε > 0) (δ(ε) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε)) ( f(x) a < ε)]. (ε > 0) (δ(ε ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε )) ( f(x) a ε )]. 1
2 2 Innen δ(ε ) = 1 n -t véve [( (xn D) 0 < x n x 0 < 1 ) ] ( f(x n ) a ε ) n de akkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) a (n ), ami ellentmondás. Megjegyezzük, hogy a P Q implikáció ekvivalens ( P ) Q-val, így tagadása (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt a tagadás műveletének logikai jele). Példák. ld. előadás. Átfogalmazás. f(x) a < ε f(x) K(a, ε) 0 < x x 0 < δ(ε) x D x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D ahol K(a, ε) az a pont ε sugarú környezetét jelöli. Ennek segítségével a definíció átfogalmazható: lim f(x) = a, ha a pont bármely K(a, ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan K(x 0, δ) környezete, hogy ha x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D, akkor f(x) K(a, ε). Ez az átfogalmazás lehetőséget ad a határérték definíciójának kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy + + torlódási pontja D R-nek, ha bármely környezetében van D-beli pont (ami nyilvánvalóan mindig különböző + -től). 1. A definíció kiterjeszthető arra az esetre, amikor x 0, a R b. Például, az x 0 =, a = esetben a határérték definíciója: legyen x 0 = torlódási pontja D-nek, akkor lim f(x) = azt jelenti, hogy hogy bármely környezetéhez van -nek olyan környezete, hogy ha x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéből vesszük, akkor f(x) benne lesz előbbi környezetében. Vagy, ami ugyanaz, bármely K < 0 számhoz van olyan δ(k) > 0 szám, hogy x f(x) < K ha x > δ(k), és x D. 2. Jobb- és baloldali határérték (csak x 0 R-ben). Tegyük fel, x 0 a D [x 0, + [ D ], x 0 ] halmaz torlódási pontja. Ha a D [x 0, + [ halmazra leszűkített függvény D ], x 0 ] határértéke az x 0 pontban az a szám, akkor azt mondjuk, hogy f jobboldali határértéke a, és ezt baloldali lim f(x) = a +0 lim 0 f(x) = a-val jelöljük. Másképpen fogalmazva, legyen x 0 a D [x 0, + [ halmaz torlódási pontja. Akkor mondjuk, hogy az f : D D ], x 0 ] R R függvénynek az a szám a jobboldali határértéke az x 0 pontban, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, baloldali hogy f(x) a < ε ha 0 < x x 0 < δ(ε) δ(ε) < x x 0 < 0 és x D
3 Definíció. Legyenek f, g : D R R, akkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorzatukat, hányadosukat az (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. Tétel. [határérték, monotonitás és műveletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy lim f(x) = a, lim g(x) = b. Akkor bármely c R mellett lim (f + g)(x) = a + b, lim (cf)(x) = ca, lim (fg)(x) = ab, lim (f/g)(x) = a/b, ha b 0. Ha f(x) g(x) (x D, x x 0 ), akkor a b. Ha f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és a = b, akkor lim h(x) = a. Bizonyítás. Az átviteli elv alapján sorozatok határértékének tulajdonságaiból következik. A tétel akkor is igaz, ha a, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy a jobboldali kifejezések (a + b, ca, ab, a/b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, ahol f : D R R, g : f(d) R, az f és g függvényekből összetett függvénynek nevezzük, f a belső, g a külső függvény. h jelölésére használjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } az f függvény értékkészlete). Tétel. [összetett függvény határértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). Ha x 0 D, lim f(x) = a, a / f (D \ {x 0 }), és lim g(x) = b y a akkor lim h(x) = b. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) akkor y n := f(x n ) a (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n a, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonossága 3 Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ε > 0-hoz van olyan δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε ha x x 0 < δ(ε) és x D Ha x 0 D D akkor f folytonos x 0 -ban akkor, és csakis akkor, ha lim f(x) = f(x 0 ). Ha x 0 D, de x 0 / D, akkor x 0 a D izolált pontja, izolált pontokban f a definíció alapján mindig folytonos. Tétel. [átviteli elv függvény folytonosságára] Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ).
4 4 Környezetes átfogalmazás. Az f : D R R függvény folytonos az x 0 D pontban akkor és csakis akkor, ha f(x 0 ) bármely K(f(x 0 ), ε) környezetéhez van x 0 -nak olyan K(x 0, δ) környezete, hogy ha x K(x 0, δ), akkor f(x) K(f(x 0 ), ε). Tétel. [folytonosság es műveletek] Ha f, g : D R R folytonosak az x 0 D pontban, akkor f + g, cf, fg, f/g (ha g(x 0 ) 0) is folytonosak x 0 -ban. Továbbá, a h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (ahol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -ban, ha f folytonos x 0 -ban és g folytonos az y 0 := f(x 0 ) pontban. 5.3 Folytonos függvények globális tulajdonságai Definíciók. Az f : D R R függvényt alulról alulról korlátosnak nevezzük, ha értékkészlete felülről felülről korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekvőnek csökkenőnek nevezzük D n, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 2 ) Az f : D R R függvényt szigorúan monoton növekvőnek csökkenőnek nevezzük D n, ha bármely x 1 < x 2, x 1, x 2 D esetén f(x 1 ) < f(x 2 ) f(x 1 ) > f(x 2 ) Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek lokális (helyi) maximuma minimuma az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma minimuma az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy esetén. f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D, x x 0 Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek globális (abszolút) maximuma minimuma van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. f(x 0 ) f(x) Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek szigorú globális (abszolút) maximuma minimuma van az x 0 D pontban, ha f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén.
5 5 Állítás. Folytonos függvény jeltartó, azaz ha f : D R R folytonos az x 0 D pontban, és f(x 0 ) 0 akkor van olyan δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) ha x K(x 0, δ) D, ahol sg a szignum (előjel) függvényt jelöli. Bizonyítás. A folytonosság miatt ε := f(x 0 ) /2-höz van olyan δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 ha x x 0 < δ(ε) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, akkor az előző egyenlőtlenséget részletesen kiírva kapjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vagy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), ha x G(x 0, δ) D, ami mutatja állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény folytonos az A D halmazon, ha f az A halmaz minden pontjában folytonos. Tétel. [folytonos függvény korlátossága] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény korlátos. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, akkor vannak olyan k, K R amelyekre k f(x) K minden x [a, b] mellett. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülről. Akkor minden n N-hez van olyan x n [a, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük az A := { x n : n N } halmazt. Ha A véges halmaz, akkor van olyan x k0 eleme A-nak, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, azaz, x n = x k0 ha n > n 0. Ha A végtelen halmaz, akkor a Bolzano-Weierstrass tétel alapján A-nak van (legalább egy) x 0 torlódási pontja. x n [a, b] és [a, b] zártsága miatt x 0 [a, b]. Vegyünk az x 0 pont K(x 0, 1) környezetéből egy x 0 -tól különböző A-beli x n1 pontot. Ezután az x 0 pont K(x 0, d 1 ) környezetéből, ahol d 1 = x n1 x 0, válasszunk egy olyan x 0 -tól különböző x n2 A pontot melyre n 2 > n 1 legyen (ilyen biztosan van, mert az x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot tartalmaz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontja). Az x n3 pontot a K(x 0, d 2 ) környezetből választjuk, ahol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hasonlóan folytatva, egy olyan x nk A (k N) sorozatot kapunk mely x 0 -hoz konvergál. (Az x nk (k N) sorozatot az x n (n N) sorozat részsorozatának nevezzük). Mivel véges A esetén x nk := x k (k N), x 0 := x k0 -t véve ugyanez a helyzet, így mondhatjuk, hogy az x n (n N) sorozatból mind véges, mind végtelen A esetén kiválasztható egy x 0 [a, b]-hez konvergáló részsorozat. Mivel feltevésünk szerint f(x nk ) > n k (k N) így k -vel f x 0 -beli folytonossága miatt kapjuk, hogy f(x 0 ), ami ellentmondás, bizonyítva állításunkat. Tétel. [maximum, minimum létezése] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a függvényértékek szuprémumát és infimumát függvényértékként. Azaz ha f : [a, b] R folytonos [a, b]-n, és akkor vannak olyan x m, x M [a, b] amelyekre m := inf{ f(x) : x [a, b] }, M := sup{ f(x) : x [a, b] } f(x m ) = m, f(x M ) = M. Azt is mondhatjuk, hogy korlátos zárt intervallumon folytonos függvénynek van maximuma és minimuma ezen az intervallumon.
6 6 Bizonyítás. Azt mutatjuk meg, hogy van olyan x M [a, b] melyre f(x M ) = M, a másik állítás igazolása hasonló. Tetszőleges n N esetén M 1 n nem felső korlátja a függvényértékeknek, igy van olyan x n [a, b], hogy M 1 n < f(x n) M (n N). Az előző tétel bizonyításához hasonlóan, kiválasztható az x n (n N) sorozatból egy olyan x nk (k N) részsorozat, mely valamely x M [a, b] elemhez konvergál. De akkor M 1 n k < f(x nk ) M (k N), amiből k -vel a folytonosság miatt M f(x M ) M adódik, azaz f(x M ) = M. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvény egyenletesen folytonos a D 1 D halmazon, ha bármely ε > 0-hoz van olyan (csak ε-tól függő) δ(ε) > 0 amelyre f(x) f(y) < ε ha x y < δ(ε) és x, y D 1 Ha f csupán folytonos D 1 -en akkor a bármely ε > 0-hoz és bármely y D 1 -hez van olyan (y-tól is függő) δ(ε, y) > 0 amelyre f(x) f(y) < ε ha x y < δ(ε, y) és x D 1 Tétel. [Cantor tétele] Korlátos zárt intervallumon folytonos függvény ott egyenletesen folytonos. Nem bizonyítjuk. Tétel. [közbenső értékek tétele] Egy intervallumon folytonos függvény felvesz bármely két függvényérték közötti értéket is függvényértékként. Azaz, ha f : I R folytonos az I intervallumon, és f(α) y 0 f(β) valamely α, β I-re, akkor van olyan x 0 az α, β között, amelyre f(x 0 ) = y 0. Ebből következik, hogy egy intervallumon folytonos függvény értékkészlete is egy intervallum. Bizonyítás. Feltehető, hogy f(α) < y 0 < f(β). A határozottság miatt tegyük fel, hogy α < β és legyen A = { x [α, β] : f(x) < y 0 }. A felülről korlátos, nemüres halmaz, így van pontos felső korlátja: sup A = x 0 [α, β]. Megmutatjuk, hogy f(x 0 ) = y 0. Ha f(x 0 ) > y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]-ba eső környezetében is f(x) > y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = α, amiből f(α) = f(x 0 ) > y 0 adódik, ami ellentmond feltételezésünknek. Ha f(x 0 ) < y 0 volna, akkor az x f(x) y 0 függvény x 0 -beli jeltartósága miatt x 0 egy [α, β]-ba eső környezetében is f(x) < y 0 volna, de akkor x 0 csak ugy lehetne felső korlátja A-nak, ha x 0 = β, amiből f(β) = f(x 0 ) < y 0 adódik, ami ismét ellentmond feltételezésünknek. Így csak f(x 0 ) = y 0 lehet, bizonyítva állításunkat. Tétel. [inverz függvény folytonossága] Egy intervallumon folytonos, szigorúan monoton függvény injektív, és inverze is folytonos, és szigorúan monoton (ugyanolyan értelemben mint az eredeti függvény).
7 7 Azaz ha f : I R folytonos, szigorúan monoton az I intervallumon akkor f injektív, és az f 1 : J I (létező) inverz függvény folytonos J-n, és ugyanolyan értelemben monoton, mint f (ahol J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete). Nem bizonyítjuk. Szigorú monotonitás helyett injektivitást feltéve is folytonos az inverz függvény. Tétel. [inverz függvény folytonossága] Egy intervallumon folytonos és injektív függvény inverze is folytonos. Azaz ha f : I R folytonos és injektív az I intervallumon és J := f(i) = { f(x) : x I } az f függvény értékkészlete, akkor az f 1 : J I inverz függvény folytonos J-n. Nem bizonyítjuk. 5.4 Az elemi függvények folytonossága Az exponenciális és trigonometrikus függvények középiskolában tanult definícióját elfogadva további fontos függvényeket definiálunk. Definíciók. ln x := az e x függvény inverze, ln :]0, [ R, a x := e x ln a (x R) ahol a > 0, log a x := az a x függvény inverze, ahol 0 < a 1, log a :]0, [ R. A trigonometrikus függvények inverzeit az alábbi módon definiáljuk. Definíciók. arcsin x := a sin [ π 2, π 2 ] x függvény inverze, arcsin : [ 1, 1] [ π 2, ] π 2, arccos x := a cos [0,π] x függvény inverze, arccos : [ 1, 1] [0, π], arctan x := a tan ] π 2, π 2 [ x függvény inverze, arctan : R ] π 2, π 2 [, arcctg x := a ctg ]0,π[ x függvény inverze, arcctg : R ]0, π[ Definíció. Az f(x) = c (x R), (ahol c R tetszőleges konstans), f(x) = x (x R), f(x) = e x (x R), f(x) = ln x (x > 0), f(x) = sin x (x R), f(x) = arcsin x (x [ 1, 1]) függvényeket, és ezekből a 4 alapművelet (összeadás, kivonás, szorzás, osztás), összetett függvény képzése, leszűkítés egy intervallumra operációk véges sokszori alkalmazásával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük. Tétel. A f(x) = x α := e α ln x (x > 0) általános hatványfüggvény, a trigonometrikus függvények és inverzeik, polinomok, racionális törtfüggvények (azaz polinomok hányadosai) elemi függvények. Bizonyítás. Ezen függvények ismert azonosságok felhasználásával kifejezhetők a definíció első részében felsorolt 6 elemi függvény segítségével a 4 alapművelet és összetett függvény képzése által. Tétel. Az elemi függvények folytonosak.
8 8 Bizonyítás. Elég az f(x) = c, x, e x, sin x függvények folytonosságát igazolni (ezekből az inverz függvény folytonoss ágára vonatkozó tétel miatt következik az f(x) = ln x, arcsin x folytnossága, majd a folytonosság és műveletek kapcsolata miatt a tétel. f(x) = c, f(x) = x folytonossága a definíció alapján nyilvánvaló. A sin függvény folytonossága sin x sin x 0 = 2 sin x x 0 2 cos x + x 0 2 x x 0 < ε ha x x 0 < δ(ε) = ε miatt következik. Az exponenciális függvény folytonosságat nehezebb igazolni, itt nem bizonyitjuk. 5.5 Nevezetes függvényhatárértékek Tétel. lim (1 + x) 1 e x 1 sin x x = e, lim = 1, lim x 0 x 0 x x 0 x = 1. Bizonyítás. Az első állítás a sorozatok határértékére vonatkozó lim (1 + x n) 1 xn = e ha 0 xn 0 (n ) n egyenlőségből következik. A másodikat úgy igazolhatjuk, hogy y = e x 1 transzformációval y 0 ha x 0, így e x 1 y lim = lim x 0 x y 0 ln(y + 1) = lim 1 = 1 y 0 ln(1 + y) 1 y ln e = 1. Az utolsó igazolásához felhasználjuk a geometriai meggondolásból adódó sin x < x < tg x ha 0 < x < π 2 egyenlőtlenséget. Ebből sin x-szel való osztással 1 < x sin x < 1 cos x, és x 0-val a rendőrtétel alapján adódik állításunk.
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenMolnár Bence. 1.Tétel: Intervallumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervallum. 0,ami ellentmondás uis. f (x n ) f (y n ) ε > 0
Anlízis. Írásbeli tételek-bizonyítások Molnár Bence 1.Tétel: Intervllumon értelmezett folytonos függvény értékkészlete intervllum Legyen I R tetszőleges intervllum és f I R folytonos függvény R f intervllum
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
RészletesebbenKalkulus MIA. Galambos Gábor JGYPK
Kalkulus MIA Műszaki informatikus asszisztens http://jgypk.u-szeged.hu/tanszek/szamtech/oktatas/kalkulus.pdf Galambos Gábor JGYPK 2013-2014 Kalkulus MIA 1 1 A Kalkulus főbb témái: Intervallum, távolság,
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebben