Boros Zoltán február
|
|
- Ottó Vincze
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n nyílt... Differenciálhatóság fogalma.. Definíció. Azt mondjuk, hogy f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, R {}} m n { ha létezik A L(R n, R m ) úgy, hogy f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m lim x x 0 x x 0 R n 0. () Ekkor az f (x 0 ) A lineáris leképezést (avagy mátrixot) az f függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának (deriváltjának) nevezzük..2. TÉTEL. [Lineáris approximálhatóság]: Ha f : D R m és x 0 D, akkor az alábbi feltételek ekvivalensek: (a) f differenciálható x 0 -ban; (b) A L(R n, R m ) és r : D R m úgy, hogy lim x x 0 r(x) x x 0 0 és f(x) f(x 0) A(x x 0 ) + r(x) (x D); (c) A L(R n, R m ) és ω : D R m úgy, hogy lim ω(x) ω(x 0 ) 0 és f(x) f(x 0 ) A(x x 0 )+ x x 0 ω(x) (x D). x x 0 Továbbá (a) (b)-ben és (c)-ben A f (x 0 ).
2 Bizonyítás. A definíció (és a következő megjegyzés) alapján nyilvánvaló..3. Megjegyzés. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m, x 0 D és az A R m n mátrix j-edik sorvektora A j (j, 2,..., m), akkor f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) R m lim x x 0 x x 0 R n 0 R [ ] lim f(x) f(x0 ) A(x x ) x x 0 x x 0 0 R m j {, 2,..., m} : lim x x0 x x 0 [f j(x) f j (x 0 ) A j (x x 0 )] 0 R Tehát f differenciálható x 0 -ban j {, 2,..., m} : f j differenciálható x 0 -ban és f (x 0 ) f f 2(x 0 ) (x 0 ).. f m(x 0 ).4. TÉTEL. Ha f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor f folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Mivel f lineárisan approximálható, a (c)-beli A és ω választásával f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ) + x x 0 ω(x) A(x x 0 ) + x x 0 ω(x) A x x 0 + x x 0 ω(x) ezért lim x x0 f(x) f(x 0 ) Irány menti és parciális derivált.5. Definíció. Legyen f : D R m, x 0 D és e R m ( e ). A D e f(x 0 ) lim t 0 t (f(x 0 + te) f(x 0 )) határértéket, ha létezik, az f függvény x 0 -beli e irány menti deriváltjának nevezzük..6. Megjegyzés. Ha I R intervallum úgy, hogy 0 I és t I : x 0 + te D, valamint ϕ(t) x 0 + te (t I), akkor D e f(x 0 ) ϕ (0). 2
3 .7. TÉTEL. Ha f : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor minden e R n esetén létezik D e f(x 0 ) és D e f(x 0 ) f (x 0 ) e. Bizonyítás. A lineáris approximálhatóság (c) alakja szerint t (f(x 0 + te) f(x 0 )) t [A(te) + te ω(x 0 + te)] A(e) + tehát D e f(x 0 ) A e f (x 0 ) e. t e ω(x 0 + te), }{{} t }{{} ω(x 0 )0 sgn(t) {,}.8. Definíció. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m, x 0 D és e i (0,..., 0,, 0,..., 0) R n, ahol az, az i-edik pozícióban van, akkor a D i f j (x 0 ) D ei f j (x 0 ) valós számot, ha létezik az f függvény j-edik koordináta-függvénye x 0 pontbeli i-edik (változó szerinti) parciális deriváltjának nevezzük (i, 2,..., n; j, 2,..., m)..9. Megjegyzés. Ha I R nyílt intervallum úgy, hogy x 0,i I és t I : (x 0,,..., x 0,i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) D, valamint akkor D i f j (x 0 ) ϕ (x 0,i ). ϕ(t) f j (x 0,,..., x 0,i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) (t I), A(z).9. megjegyzés szerint a parciális deriváltak egyváltozós, valós értékű függvények deriváltjaként számolhatók. A(z).8. definíció és a(z).7. tétel alábbi következménye azt mutatja, hogy az előbbiek szerint az egyváltozós kalkulus eszközeivel számítható parciális deriváltak megadják a vektorváltozós, vektorértékű függvény adott pontbeli deriváltjának mátrix reprezentációját a természetes bázisokra nézve. Ez egyébként igazolja a derivált egyértelműségét is..0. TÉTEL. Ha f (f, f 2,..., f m ) : D R m differenciálható az x 0 D pontban, akkor j {, 2,..., m} : i {, 2,..., n} : létezik D i f j (x 0 ) R és f (x 0 ) D f (x 0 ) D 2 f (x 0 )... D n f (x 0 ) D f 2 (x 0 ) D 2 f 2 (x 0 )... D n f 2 (x 0 )... D f m (x 0 ) D 2 f m (x 0 )... D n f m (x 0 ) Rm n. 3
4 .3. A differenciálhatóság elegendő feltétele.. TÉTEL. Legyen x 0 R n, δ > 0. Ha f : K(x 0, δ) R úgy, hogy x K(x 0, δ) : i {, 2,..., n} : D i f(x), akkor h R n, h < δ esetén c, c 2,..., c n K(x 0, δ) : f(x 0 + h) f(x 0 ) D i f(c i )h i (2) i (ahol h (h, h 2,..., h n )). Bizonyítás. Legyen i {, 2,..., n} és K i { (x 0, + h,..., x 0,i + h i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) : t I i }, ahol I i [x 0,i, x 0,i + h i ], ha h i > 0, illetve I i [x 0,i + h i, x 0,i ], ha h i < 0, valamint ϕ i (t) f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, t, x 0,i+,..., x 0,n ) (t I i ). A Lagrange-féle középérték-tétel szerint t i Ii és : ϕ i (x 0,i + h i ) ϕ i (x 0,i ) ϕ i(t i )h i ϕ i(t i ) D i f (x 0, + h,..., x 0,i + h i, t i, x 0,i+,..., x 0,n ) D }{{} i f(c i ) c i (i, 2,..., n), tehát f(x 0 + h) f(x 0 ) ( f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, x 0,i + h i, x 0,i+,..., x 0,n ) i ) f(x 0, + h,..., x 0,i + h i, x 0,i, x 0,i+,..., x 0,n ) (ϕ i (x 0,i + h i ) ϕ i (x 0,i )) i D i f(c i )h i. i.2. TÉTEL. Legyen D R n nyílt. Tegyük fel, hogy az f : D R m függvény minden koordináta függvényének minden parciális deriváltja létezik az x 0 D pont egy környezetében. (a) Ha a parciális deriváltak korlátosak x 0 x 0 -ban. egy környezetében, akkor f folytonos (b) Ha a parciális deriváltak folytonosak x 0 -ban, akkor f differenciálható x 0 -ban. 4
5 Bizonyítás. Mindkét állítást elengedő m esetre igazolni, mert f f 2 ( ) ( folytonos f x. differenciálható 0 ban j {,..., m} : f j f n folytonos differenciálható x 0 ban. Legyen r > 0 úgy, hogy K(x 0, r) D és f : D R minden parciális deriváltja létezik K(x 0, r) pontjaiban. (a) Tegyük fel, hogy i {,..., n} : x K(x 0, r) : D i f(x) M R. Ekkor h R n, h < r esetén az előző tétel szerint c i K(x 0, r) (i,..., n) úgy, hogy ) f(x 0 + h) f(x 0 ) D i f(c i )h i i D i f(c i ) h i M h i (b) Ugyancsak az előző tétel és bizonyítást felhasználva h R n, h < r esetén c i K(x 0, r) : c i x 0 h (i,..., n) és f(x 0 +h) f(x 0 ) D i f(c i )h i i D i f(x 0 )h i + (D i f(c i ) D i f(x 0 )) h i i i A h + ω(x 0 + h) h, ahol A (D f(x 0 ) D 2 f(x 0 )... D n f(x 0 )) R n (L(R n, R)) és ω(x 0 + h) { n h i (D if(c i ) D i f(x 0 )) h i, ha h 0 [ R n ], 0, ha h 0. Mivel D i f folytonos x 0 -ban, ε > 0 : δ ]0, r] : x R n, x x 0 < δ esetén D i f(x) léteik és D i f(x) D i f(x 0 ) < ε, ezért h < δ esetén ω(x 0 + h) < ε h h < nε, tehát lim h 0 ω(x 0 + h) Megjegyzés. f a D minden pontjában létezik és f : D R m n folytonos j {,..., m} : i {,..., n} : D i f j (x) és D i f j : D R n folytonos. A továbbiakban ezen ekvivalens tulajdonságokra úgy fogunk hivatkozni, hogy f : D R m folytonosan differenciálható. 5
6 2. Differenciálási szabályok 2.. TÉTEL. [Összetett függvény differenciálhatósága]: Legyen k, n, m N, D R k nyílt, E R n nyílt, g : D E differenciálható az x 0 D pontban, f : E R m differenciálható az y 0 g(x 0 ) pontban és F (x) (f g)(x) f(g(x)) (x D). Ekkor F differenciálható az x 0 pontban és F (x 0 ) f (g(x 0 )) g (x 0 ). (3) Bizonyítás. A feltevés szerint A f (y 0 ) R m n, B g (x 0 ) R n k [tehát A B létezik és A B R m k ], továbbá léteznek ω f : E R m, ω g : D R n úgy, hogy Ezért lim ω f (y) ω f (y 0 ) 0, y y 0 lim ω g (x) ω g (x 0 ) 0, továbbá x x0 y E : f(y) f(y 0 ) A(y y 0 ) + y y 0 ω f (y) és x D : g(x) g(x 0 ) B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x). y 0 {}}{ F (x) F (x 0 ) f(g(x)) f( g(x 0 )) A(g(x) g(x 0 )) + g(x) g(x 0 ) ω f (g(x)) A [B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x)] + B(x x 0 ) + x x 0 ω g (x) ω f (g(x)) A B(x x 0 ) + x x 0 ω(x) (x D), ahol ω : D R m úgy, hogy ω(x 0 ) 0 és x D \ {x 0 } : ω(x) A ω g (x) + x x 0 B(x x 0) + ω g (x) ω f(g(x)), valamint lim A ω g (x) A ω g (x 0 ) A 0 0, x x0 x x 0 B(x x 0) x x 0 B x x 0 B és lim x x0 ω g (x) 0, ezért δ > 0 : x x 0 δ esetén x x 0 B(x x 0) + ω g (x) B + ω g(x) B +, illetve g folytonos x 0 -ban, mert differenciálható x 0 -ban és ω f folytonos y 0 g(x 0 )-ban, így ω f g folytonos x 0 -ban, ezért lim ω f (g(x)) ω f (g(x 0 )) 0, tehát lim ω(x) 0 ( R m ). x x 0 x x0 6
7 2.2. Következmény. (lánc-szabály) Az előző tétel feltétele és jelölései mellett D i F j (x 0, x 02,... x 0,k ) D l f j (g (x 0,..., x 0,k ), g 2 (x 0,..., x 0,k ),... g n (x 0,..., x 0,k )) D i g l (x 0,..., x 0,k ) l (i,..., k ; j,..., m). Speciális eset: k m esetén F (x 0 ) D l f(g (x 0 ), g 2 (x 0 ),..., g n (x 0 )) g l(x 0 ). l 2.3. TÉTEL. Ha D R n nyílt és az f, g : D R m, λ : D R függvények differenciálhatóak az x 0 D pontban, akkor f+g, f, g, λf, illetve λ(x) 0 (x D) esetén λ f is differenciálható x 0-ban, továbbá (f + g) (x 0 ) f (x 0 ) + g (x 0 ) ; (λf) (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 ) + λ(x 0 ) f (x 0 ) ; ) (x 0 ) ( λ f [λ(x 0 )] 2 [λ(x 0)f (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 )] ; f, g (x 0 ) [g(x 0 )] T f (x 0 ) + [f(x 0 )] T g (x 0 ), azaz ( m ) m [ f j g j (x 0 ) gj (x 0 )f j(x 0 ) + f j (x 0 )g j(x 0 ) ]. j j Bizonyítás. A szabályok igazolhatók közvetlenül a definíció (illetve a lineáris approximálhatóság) alapján, vagy visszavezethetők az előző tételre. Ez, utóbbi módszer céljából legyen Φ : R 2m R m R m R m úgy, hogy ϕ : R m+ R m úgy, hogy Φ(x, y) x + y ((x, y) R m R m ), ϕ(x, λ) λx ((x, λ) R m R), ψ : R m (R \ {0}) R m úgy, hogy ψ(x, λ) λ x ((x, λ) Rm (R \ {0})), illetve Ω : R 2m R m R m R úgy, hogy Ω(x, y) x, y ((x, y) R m R m ). 7
8 Ekkor Φ (x, y) ( ) (f + g) (x 0 ) [Φ (f, g)] f (x 0 ) Φ (f(x 0 ), g(x 0 )) (x 0 ) g f (x (x 0 ) 0 ) + g (x 0 ) ; λ x ϕ 0 λ... 0 x 2 (x, λ) λ x m ( λ f (λf) (x 0 ) (ϕ (f, λ)) (x 0 ) ϕ (f(x 0 ), λ(x 0 )) λ(x 0 ) E m m f (x 0 ) + f(x 0 ) λ (x 0 ) ; λ x ψ (x, λ) 0 λ... 0 x 2 λ λ x m ) (x 0 ) (ψ (f, λ)) (x 0 ) ψ (f(x 0 ), λ(x 0 )) ( f (x 0 ) λ (x 0 ) ( f (x 0 ) λ (x 0 ) (λ(x 0 )) 2 [λ(x 0) E m m f (x 0 ) f(x 0 ) λ (x 0 )] ; ) ) Ω (x, y) (y T, x T ) ( ) f f, g (x 0 ) Ω (f(x 0 ), g(x 0 )) (x 0 ) g [g(x (x 0 ) 0 )] T f (x 0 ) + [f(x 0 )] T g (x 0 ). 3. Középérték-tétel és következménye 3.. TÉTEL. (Lagrange): Ha D R n nyílt halmaz és x, y D úgy, hogy x y, valamint D tartalmazza az x és y pontokat összekötő I(x, y) szakaszt, továbbá az f : D R differenciálható, akkor u I(x, y) \ {x, y} : f(y) f(x) f (u)(y x). I(x,y) Bizonyítás. {}}{ Legyen ϕ(t) f[ ( t)x + ty] (t [0, ]). Ekkor ϕ : [0, ] R differenciálható és ϕ (t) f [( t)x + ty] (y x) (t [0, ]. 8
9 Az egyváltozós Lagrange-féle középérték- tételből következik, hogy ξ ]0, [ úgy, hogy f(y) f(x) ϕ() ϕ(0) ϕ (ξ)( 0) ϕ (ξ) f [( ξ)x+ξy](y x) f (u)(y x), ahol u ( ξ)x + ξy I(x, y) \ {x, y} Következmény. Ha D R n nyílt és f : D R m folytonosan differenciálható, akkor minden K D kompakt, konvex halmazhoz L K R úgy, hogy x, y K : [,,f lokálisan Lipschitz. ] f(y) f(x) L K x y. Bizonyítás. Legyen j {,..., m}. Mivel K kompakt és f j : D R n folytonos, ezért f j korlátos a K halmazon, azaz létezik M j R úgy, hogy u K : f j(u) M j, tehát x, y K : f j (y) f j (x) f j(u j )(y x) f j(u j ) y x M j y x, tehát illetve f(y) f(x) max{m,..., M m } y x, f(y) f(x) m max{m,..., M m } y x L }{{} K y x. L K 9
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenLosonczi László. Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar
Szélsőértékszámítás Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Szélsőértékszámítás 1 / 21 2. SZÉLSOÉRTÉKSZÁMÍTÁS 2.1 A szélsőérték fogalma, létezése Azt
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebben2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz
Az implicitfüggvény-tétel 2. sillabusz a Többváltozós függvények kurzushoz Mi az hogy sillabusz? Ez egy olyan iromány ami segédanyagnak készült. Vázlatos pontatlan (szándékoltan) hiányos. Segíti a tanulást
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebben1. Az integrál tégla-additivitása
Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenA lineáris programozás alapjai
A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................
Részletesebben4. Előadás: Erős dualitás
Optimalizálási eljárások/operációkutatás MSc hallgatók számára 4. Előadás: Erős dualitás Előadó: Hajnal Péter 2018. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét d
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenGazdasági matematika I.
Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenKÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK
KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK KINETIKAI TULAJDONSÁGAI Boros Balázs ELTE, Matematikai Intézet Formális reakciókinetikai szeminárium (BME) 2008. október 7. és 14. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK
RészletesebbenSzemidenit optimalizálás és az S-lemma
Szemidenit optimalizálás és az S-lemma Pólik Imre SAS Institute, USA BME Optimalizálás szeminárium 2011. október 6. Outline 1 Egyenl tlenségrendszerek megoldhatósága 2 Az S-lemma 3 Szemidenit kapcsolatok
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenÓravázlatok: Matematika 2.
Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II.
Írta: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék
RészletesebbenDIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY,
DIFFERENCIÁLÁS, GRADIENS VEKTOR, HESSE MÁTRIX, LÁNCSZABÁLY, IMPLICIT FÜGGVÉNY TÉTEL DR NAGY TAMÁS egyetemi docens Miskolci Egyetem Alkalmazott Matematikai Tanszék A bemutatott kutató munka a TÁMOP-B-0//KONV-00-000
RészletesebbenTartalomjegyzék. 1. Előszó 1
Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenGazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Emberi erőforrások, gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok nappali tagozat Gazdasági matematika 1 Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév I. félév 1/5 Tantárgy megnevezése
RészletesebbenNemkonvex kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek pontos dualitással
pontos dualitással Imre McMaster University Advanced Optimization Lab ELTE TTK Operációkutatási Tanszék Folytonos optimalizálás szeminárium 2004. július 6. 1 2 3 Kvadratikus egyenlőtlenségrendszerek Primál
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebben