KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK
|
|
- Lóránd Mezei
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK KINETIKAI TULAJDONSÁGAI Boros Balázs ELTE, Matematikai Intézet Formális reakciókinetikai szeminárium (BME) október 7. és 14. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 1 / 86
2 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 2 / 86
3 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 3 / 86
4 JELÖLÉSEK 1/2 R + = {x R x > 0} a pozitív valós számok halmaza R 0 = {x R x 0} a nemnegatív valós számok halmaza R n + = R + R + a pozitív térszeglet R n 0 = R 0 R 0 a nemnegatív térszeglet minden R n -beli topológiai fogalom az euklideszi topológiára vonatkozik skaláris szorzaton az R n -beli standard skaláris szorzatot értjük BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 4 / 86
5 JELÖLÉSEK 2/2 p és q egészek esetén legyen p, q = {k Z p k q} A i,j az A mátrix (i, j)-edik eleme A,j az A mátrix j-edik oszlopa A i, az A mátrix i-edik sora x R n esetén legyen supp(x) = {s 1, n x s 0} BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 5 / 86
6 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 6 / 86
7 KÉMIAI ANYAGOK A 1, A 2,..., A n kémiai anyagok A jelöli ezen anyagok halmazát, amely feltevésünk szerint nemüres és véges az A halmazt szinte mindig azonosítjuk az 1, n halmazzal az 1, n halmaz egy elemére tipikusan az s betűvel fogunk utalni BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 7 / 86
8 KOMPLEXEK 1/2 az imént említett kémiai anyagok ún. komplexeket alkotnak egy komplex megadható úgy, hogy minden egyes anyaghoz hozzárendelünk egy nemnegatív egészet jelölje C 1, C 2,..., C c ezen komplexeket, illetve C a komplexek halmazát, amely feltevésünk szerint nemüres és véges a C halmazt szinte mindig azonosítjuk az 1, c halmazzal BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 8 / 86
9 KOMPLEXEK 2/2 az 1, c halmaz egy elemére tipikusan az i és j betűkkel fogunk utalni gyakran a C i = p 1 A 1 + p 2 A p n A n jelölést használjuk az i-edik komplex megadására, ahol tehát p s nemnegatív egész minden s 1, n esetén p s neve: az A s anyag sztöchiometriai együtthatója az i-edik komplexben C-ben minden komplex csak egyszer szerepel, azaz i, j 1, c, i j esetén létezik s 1, n, hogy az A s anyag sztöchiometriai együtthatója különbözik a C i és C j komplexekben BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 9 / 86
10 REAKCIÓK a komplexek átalakulnak más komplexekké, ezt reakciónak nevezzük matemaikailag egy reakciót egy komplexekből álló rendezett párral fogunk jelölni, a (C i, C j ) reakción azt értjük, hogy a C i komplex átalakul a C j komplexszé (ilyenkor C i -t reagensnek, C j -t terméknek nevezzük) a reakciók halmazát R jelöli, annak elemszámát m, mely feltevésünk szerint pozitív szinte mindig az (i, j) jelölést használjuk a (C i, C j ) helyett feltesszük, hogy (i, i) alakú reakció nincs feltesszük, hogy minden komplex szerepel legalább egy reakcióban BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 10 / 86
11 PÉLDA anyagok: A = {A 1,..., A 8 } komplexek: C = {C 1,..., C 7 }, ahol C 1 = A 1 + A 2, C 2 = A 3, C 3 = A 4 + A 5, C 4 = A 6, C 5 = 2A 1, C 6 = A 2 + A 7 és C 7 = A 8 reakciók: R = { (C1, C 2 ), (C 2, C 1 ), (C 2, C 3 ), (C 3, C 4 ), (C 4, C 3 ), (C 5, C 6 ), (C 6, C 7 ), (C 7, C 6 ), (C 7, C 5 ) } n = 8, c = 7 és m = 9 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 11 / 86
12 RAJZ Sokszor hatékony rajzban megjeleníteni egy reakcióhálózatot. Megjelenítjük a komplexeket, majd komplexek közt futó nyilakkal reprezentáljuk a reakciókat. A 1 + A 2 A 3 A 4 + A 5 A 6 2A 1 A 2 + A 7 A 8 Valójában (C, R) egy irányított gráf, ezentúl így fogunk rá tekinteni. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 12 / 86
13 KÉMIAI REAKCIÓHÁLÓZAT DEFINÍCIÓ (KÉMIAI REAKCIÓHÁLÓZAT) Legyen A kémiai anyagok halmaza, C az A-beli anyagokból alkotott kémiai komplexek halmaza, R pedig a C-beli komplexekből alkotott kémia reakciók halmaza a fentiek szerint. Ekkor a (A, C, R) hármast kémiai reakcióhálózatnak nevezzük. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 13 / 86
14 A KOMPLEXEK MÁTRIXA A komplexek kényelmesen megadhatók egy n-szer c-es mátrixszal, melynek elemei nemnegatív egészek. Ezt a mátrixot B-vel jelöljük, és a komplexek mátrixának nevezzük. A B s,i elem tehát az A s anyag sztöchiometriai együtthatóját jelöli a C i komplexben. B = R 8 7 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 14 / 86
15 KINETIKA 1/4 Jelölje x R n 0 a reakcióhálózatban szereplő anyagok koncentrációját, azaz x s jelöli az A s anyag koncentrációját. Egy folytonos idejű modellt fogunk tekinteni, melyben az anyagok koncentrációja időben egy autonóm differenciálegyenlet szerint fejlődik. DEFINÍCIÓ (SEBESSÉGFÜGGVÉNY) Legyen (A, C, R) egy reakcióhálózat. Legyen (i, j) R. Egy lokálisan Lipschitz folytonos R (i,j) : R n R függvényt az (i, j) reakció egy sebességfüggvényének nevezzük, ha R (i,j) (x) 0 és R (i,j) (x) > 0 supp(b,i ) supp(x) minden x R n 0 esetén. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 15 / 86
16 KINETIKA 2/4 Példa sebességfüggvényre ((i, j) R, x R n ): n R (i,j) (x) = κ (i,j) x 1 B 1,i x 2 B 2,i x n B n,i = κ (i,j) x s B s,i, ahol κ (i,j) > 0 konstans. DEFINÍCIÓ (REAKCIÓRENDSZER) Legyen (A, C, R) egy reakcióhálózat. Legyen R : R n R m tetszőleges függvény, melynek a koordinátafüggvényei a reakciókkal vannak indexelve. A (A, C, R, R) négyest kémiai reakciórendszernek nevezzük, ha R (i,j) : R n R minden (i, j) R esetén az (i, j) reakció egy rate függvénye. Ha a sebességfüggvények a fenti módon vannak értelmezve, akkor tömeghatás típusú kinetikáról beszélünk. s=1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 16 / 86
17 KINETIKA 3/4 A differenciálegyenlet (mely autonóm, és állapottere R n ): ẋ = f x = (R (i,j) x) (B,j B,i ) (i,j) R Minden ξ R n esetén létezik egy, a nullát tartalmazó J(ξ) maximális nyílt intervallum és létezik egyetlen φ( ; ξ) : J(ξ) R n differenciálható függvény, amelyre φ( ; ξ) = f φ( ; ξ) és φ(0; ξ) = ξ. Legyen J + (ξ) = J(ξ) R + és J 0 (ξ) = J(ξ) R 0. Később lesz: a nemnegatív térszeglet pozitívan invariáns! BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 17 / 86
18 KINETIKA 4/4 Legyen q : R 1, m egy bijekció. Definiáljuk S R n m k-adik oszlopát így: S,k = B,j B,i, ahol q(i, j) = k. Az S mátrixot sztöchiometriai mátrixnak nevezzük. S képterét sztöichiometriai altérnek nevezzük, és S-sel jelöljük S = A differenciálegyenlet új alakja: ẋ = S R x BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 18 / 86
19 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 19 / 86
20 INCIDENCIAMÁTRIX 1/2 DEFINÍCIÓ (IRÁNYÍTOTT GRÁF INCIDENCIAMÁTRIXA) Legyen D = (V, A) irányított gráf, ahol V = 1, c és A = 1, m. Ekkor a c-szer m-es k 1, ha i, I i,k = k +1, ha i, 0, különben I mátrixot a D incidenciamátrixának nevezzük. ÁLLÍTÁS Az I oszlopai lineárisan összefüggenek D-ben van (nem feltétlenül irányított) kör. KÖVETKEZMÉNY rank I = c l, ahol l a gráf összefüggő komponenseinek száma. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 20 / 86
21 INCIEDNCIAMÁTRIX 2/2 Az incidenciamátrix blokkdiagonális alakja: I I 2 0 I = R( 0 0 I l r cr ) ( r mr ) Az incidenciamátrix egy másik blokkos alakja: I = [I 1, I 2,..., I l ] R c ( r mr ) ÁLLÍTÁS ran I = {v R c v Nr +1 + v Nr v Nr +c r ahol N r = r 1 i=1 c i (r 1, l). = 0 minden r 1, l}, BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 21 / 86
22 ÁRAMOK 1/7 Legyen D = (V, A) irányított gráf és T V. Legyen A δ out (T ) = {(i, j) A i T, j V \T } T -t elhagyó élek halmaza A δ in(t ) = {(i, j) A i V \T, j T } T -be belépő élek halmaza Legyen y : A R tetszőleges függvény. Legyenek δy out (T ) = y(i, j) δ in y (T ) = (i,j) A δ out (T ) (i,j) A δ in (T ) y(i, j) BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 22 / 86
23 ÁRAMOK 2/7 DEFINÍCIÓ (ÁRAM) Legyen D = (V, A) irányított gráf. Az y : A R függvényt áramnak nevezzük, ha δy out ({i}) = δy in ({i}) minden i V esetén ÁLLÍTÁS Legyen D = (V, A) irányított gráf. Legyen y : A R tetszőleges függvény. Ekkor y pontosan akkor áram, ha y ker I. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 23 / 86
24 ÁRAMOK 3/7 Nevezzünk egy áramot pozitívnak, ha y(i, j) > 0 minden (i, j) A esetén. ÁLLÍTÁS Legyen D = (V, A) irányított gráf. Ekkor pontosan akkor létezik D-n pozitív áram, ha annak minden összefüggő komponense erősen összefüggő. BIZONYÍTÁS Tegyük fel, hogy van pozitív áram D-n. Legyen D = (V, A ) egy összefüggő komponense. Ha ez nem erősen összefüggő, akkor létezik T V, hogy A δ out (T ) = és A δ in(t ). Ez a T halmaz megsérti a megmaradási szabályt. Tegyük most fel, hogy D minden komponense erősen összefüggő. Használjuk fel azt, hogy ilyenkor minden élen át megy irányított kör, és hogy minden irányított körhöz természetesen adódik egy áram. (Az a tulajdonság kell még, hogy áramok összege áram.) BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 24 / 86
25 ÁRAMOK 4/7 ÁLLÍTÁS Legyenek u, v R n + lineárisan független vektorok. Ekkor span{u, v} (R n 0 Rn 0 ). (Jelölje Rn 0 a Rn 0 kúpot.) TÉTEL Legyen D = (V, A) erősen összefüggő irányított gráf. Legyen κ : A R + tetszőleges függvény. Ekkor létezik y : A R pozitív áram, amelyre y(i, j 1 ) κ(i, j 1 ) = y(i, j 2) κ(i, j 2 ) teljesül minden (i, j 1 ), (i, j 2 ) A esetén. Sőt, az ilyen y lényegében egyértelmű (elég egyet venni, és annak pontonkénti pozitív skalárszorosai kiadják az összeset). BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 25 / 86
26 ÁRAMOK 5/7 BIZONYÍTÁS Legyen i V. Jelölje t i az i-ből induló élek számát (t i = A δ out (i) ). Ekkor t i 1 homogén lineáris feltételünk van az i csúcsban a κ-kból. Összesen i V (t i 1) = ( i V t i) c = m c feltétel a κ-kból. Plusz még c feltétel abból, hogy y-nak áramnak kell lennie. Ez összesen m homogén lineáris feltétel az m ismeretlenre. Mivel az I sorainak összege a nullvektor, így van nemtriviális y, ami a pozitivitást leszámítva minden feltételt teljesít. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 26 / 86
27 ÁRAMOK 6/7 BIZONYÍTÁS Most belátjuk, hogy a pozitivitást leszámítva minden feltételt teljesítő megoldásnak minden koordinátája azonos előjelű. Legyen y egy megoldás. A κ-s feltétel miatt az egy csúcsból induló éleken azonos előjelűek y értékei. Emiatt értelmes az alábbi: V = {i V y(i, j) < 0 olyan élekre, melyeknek töve i} V 0 = {i V y(i, j) = 0 olyan élekre, melyeknek töve i} V + = {i V y(i, j) > 0 olyan élekre, melyeknek töve i} Tegyük fel, hogy V és V 0 V +. Mivel D erősen összefüggő, ezért A δ out (V ). Ekkor ellentmondás. 0 > δy out (V ) = δy in (V ) = δy out (V 0 V + ) 0, BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 27 / 86
28 ÁRAMOK 7/7 BIZONYÍTÁS Tehát V = vagy V 0 V + =. Ha V 0 V + =, akkor V = V. Ha V =, akkor V = V 0 V +. Az előzőhöz hasonlóan kapjuk, hogy szükségképpen V 0 = vagy V + =. Kapjuk tehát, hogy van csupa pozitív koordinátájú megoldás is. Az egyértelműség a tétel előtti állításból azonnal következik. Magától értetődik, hogy a tétel hogyan szól olyan gráfokra, amiknek esetleg több összefüggő komponense van, de azok mind erősen összefüggőek. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 28 / 86
29 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 29 / 86
30 ÉSZREVÉTEL Emlékeztető: ẋ = S (R x) Könnyen látható: S = B I Tehát: ẋ = B I (R x) BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 30 / 86
31 LINKAGE CLASS Komplexek gráfja: (C, R), ennek összefüggő komponenseit linkage class-oknak nevezzük. Jelölje ezeket (C 1, R 1 ), (C 2, R 2 ),..., (C l, R l ) Jelölje c r, illetve m r az r-edik linkage class-ban szereplő komplexek, illetve reakciók számát (r 1, l). BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 31 / 86
32 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 1/7 DEFINÍCIÓ A δ = c l rank S mennyiséget a reakcióhálózat deficienciájának nevezzük. A korábbi példában δ = = 0. A deficiencia nem függ a dinamikától! Csak a reakcióhálózattól függ! S = span{b,j B,i R n (i, j) R} S = span{b,j B,i R n i, j C r valamely r 1, l-re} BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 32 / 86
33 REAKCIHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 2/7 ÁLLÍTÁS S = S BIZONYÍTÁS S S nyilvánvaló. Nyilván S = span{b,j B,i R n (i, j) R vagy (j, i) R}. Legyen i, j C r valamely r-re. Ekkor van i 0 = i, i 1,..., i l 1, i l = j (nem feltétlenül irányított) út i-ből j-be. Ezért B,iq B,iq 1 S minden q 1, l. Továbbá l B,j B,i = (B,iq B,iq 1 ) q=1 miatt B,j B,i S. Tehát S S. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 33 / 86
34 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 3/7 ÁLLÍTÁS δ 0 BIZONYÍTÁS Kell dim S c l. Rögzítsük i r C r -t minden r 1, l esetén. S = span{b,j B,ir R n j C r \{i r } valamely r 1, l-re} Megmutatjuk, hogy S = S. Nyilván S S. A másik irányhoz legyen r 1, l fix. Legyen i, j C r, i j. Ekkor B,j B,i = (B,j B,ir ) (B,i B,ir ), és így S S. S definíciójából dim S l (c r 1) = c l. r=1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 34 / 86
35 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 4/7 ÁLLÍTÁS δ = dim ker S dim ker I BIZONYÍTÁS A dimenziótétel és rank I = c l alapján dim ker S dim ker I = (m rank S) (m rank I) = = rank I rank S = c l rank S Az alternatív definíció és S = B I-ből azonnal következik δ 0. Javaslunk egy harmadik definíciót a deficienciára. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 35 / 86
36 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 5/7 B = B = [B 1, B 2,..., B l ] R n c B 1 B 2 B l R (n+l) c ÁLLÍTÁS dim ker S dim ker I = dim ker B BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 36 / 86
37 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 6/7 BIZONYÍTÁS Legyen e 1,..., e t1 bázis ker I-ben és e 1,..., e t1, e t1 +1,..., e t2 bázis ker S-ben. Jelölje U az e t1 +1,..., e t2 vektorok által kifeszített alterét. Ekkor Ie t1 +1,..., Ie t2 egy t 2 t 1 elemű független rendszer ran I-ben. Látható, hogy Ie t1 +1,..., Ie t2 ker B. Tehát dim ker S dim ker I = t 2 t 1 dim ker B. Megmutatjuk, hogy dim ker S dim ker I dim ker B. Legyen f 1,..., f t3 bázis ker B-ben. Az incidenciamátrix képterére vonatkozó állítás miatt f 1,..., f t3 ran I. Nyilván I U bijekció U és ran I között. Ezért (I U ) 1 f 1,..., (I U ) 1 f t3 független elemek U-ban. Így dim ker B = t 3 t 2 t 1 dim ker S dim ker I. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 37 / 86
38 REAKCIÓHÁLÓZAT DEFICIENCIÁJA 7/7 TÉTEL δ = c l rank S = dim ker S dim ker I = dim ker B A deficiencia nemnegativitása azonnal látszik az új definícióból. Továbbá az is azonnal látszik, hogy a deficiencia nem függ attól, hogy a linkage class-okon belül hogyan vannak a reakciók. A B R (n+l) c mátrix jelentése. Vezessünk be l új anyagot: A n+1,..., A n+l. Az r-edik linkage class-ban minden komplexhez adjunk hozzá A n+r -t (r 1, l). Ekkor az új reakcióhálózatban éppen B a komplexek mátrixa. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 38 / 86
39 LINKAGE CLASS DEFICIENCIÁJA 1/6 S = [S 1,..., S l ] R n ( r mr ) DEFINÍCIÓ A δ r = c r 1 rank S r mennyiséget az r-edik linkage class deficienciájának nevezzük. A korábbi példában rank S 1 = 3 és rank S 2 = 2. Ezért δ 1 = = 0 és δ 2 = = 0. ÁLLÍTÁS Legyen r 1, l. Legyen S r = ran S r és Ekkor S r = S r és δ r 0. S r = span{b,j B,i R n i, j C r }. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 39 / 86
40 LINKAGE CLASS DEFINCIENCIÁJA 2/6 I = [I 1,..., I l ] R c ( r mr ) B = [ B 1,..., B l ] R (n+l) ( r cr TÉTEL δ r = c r 1 rank S r = dim ker S r dim ker I r = dim ker B r BIZONYÍTÁS Legyen r 1, l fix. Ekkor ker I r és (C r, R r ) incidenciamátrixának magja megegyezik. Hasonlóan, ker B r és [ B r 1 1 ] R (n+1) cr magja megegyezik. Így a korábbi tétel alkalmazható az r-edik linkage class alkotta reakcióhálózatra. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 40 / 86
41 LINKAGE CLASS DEFICIENCIÁJA 3/6 ÁLLÍTÁS δ 1 + δ δ l δ, ahol egyenlőség pontosan akkor áll, ha S = S 1 S l. BIZONYÍTÁS Mivel S = [S 1, S 2,..., S l ], így rank S l r=1 rank S r. Tehát ( l l l ) ( l ) ( l ) δ r = (c r 1 rank S r ) = c r 1 rank S r = r=1 r=1 r=1 r=1 r=1 ( l ) = c l rank S r c l rank S = δ. r=1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 41 / 86
42 LINKAGE CLASS DEFICIENCIÁJA 4/6 Alternatív bizonyítás ran I = ran I 1 ran I l felhasználásával: l δ r = r=1 l (dim ker S r dim ker I r ) = r=1 l ((m r rank S r ) (m r rank I r )) = r=1 ( l ) = rank S r + rank I rank S + rank I = r=1 = (m dim ker S) + (m dim ker I) = δ Újabb alternatív bizonyítás az állítás felére: l δ r = r=1 l dim ker B r = r=1 ( l l ( l ) (c r rank B r ) = c r ) rank B r = r=1 r=1 r=1 ( l ) = c rank B r c rank B = dim ker B = δ r=1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 42 / 86
43 LINKAGE CLASS DEFICIENCIÁJA 5/6 ÁLLÍTÁS Jelölje B = ran B és B r = ran B r (r 1, l). Ekkor az alábbiak ekvivalensek: (I) δ = δ δ l, (II) S = S 1 S l, (III) B = B1 B l. ÁLLÍTÁS Tegyük fel, hogy δ = 0. Ekkor δ = δ δ l. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 43 / 86
44 LINKAGE CLASS DEFICIENCIÁJA 6/6 f r (x) = (i,j) R r R (i,j) (x)(b,j B,i ) ÁLLÍTÁS Tegyük fel, hogy δ = δ δ l. Legyen x R n. Ekkor f (x) = 0-ból következik, hogy f r (x) = 0 minden r 1, l. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 44 / 86
45 TARTALOM 1 JELÖLÉSEK 2 KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK 3 GRÁFELMÉLETI TUDNIVALÓK 4 DEFICIENCIA 5 REAKCIÓHÁLÓZATOK DINAMIKAI TULAJDONSÁGAI BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 45 / 86
46 R n + ÉS Rn 0 POZITÍV INVARIANCIÁJA 1/5 ẋ = f (x) = R (i,j) (x)(b,j B,i ) = S R(x) = B I R(x) (i,j) R DEFINITION Legyen K R n. A K halmazt pozitívan invariánsnak nevezzük, ha φ(t; ξ) K minden ξ K és minden t J + (ξ) esetén. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 46 / 86
47 R n + ÉS Rn 0 POZITÍV INVARIANCIÁJA 2/5 ÁLLÍTÁS = (i,j) R B s,i >0 f s (x) = (i,j) R R (i,j) (x)(b s,j B s,i ) = R (i,j) (x)(b s,j B s,i ) + } {{ } β s + (x) (i,j) R B s,i =0 R (i,j) (x)b s,j } {{ } βs 0 (x) Tegyük fel, hogy x s = 0 valamely s 1, n és x R n 0 esetén. Ekkor β s + (x) = 0 és f s (x) = βs 0 (x) 0. Továbbá, sgn(f s (x)) csak supp(x)-től függ. BIZONYÍTÁS Emlékeztető: R (i,j) (x) > 0 supp(b,i ) supp(x) minden x R n 0 esetén. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 47 / 86
48 R n + ÉS Rn 0 POZITÍV INVARIANCIÁJA 3/5 TÉTEL Legyen G : R 2 R a második változójában lokálisan Lipschitz folytonos. Legyen I R nyílt intervallum, és legyen u, v : I R differenciálható függvények. Legyen [a, b] I egy kompakt intervallum. Tegyük fel, hogy u(a) v(a) és hogy u(t) G(t, u(t)) v(t) G(t, v(t)) minden t [a, b]-re. Ekkor u(t) v(t) minden t [a, b]-re. ÁLLÍTÁS Legyen ξ R n 0 és legyen s 1, n olyan, hogy ξ s > 0. Legyen t J + (ξ). Tegyük fel, hogy φ(t; ξ) R n 0 minden t [0, t ]-re. Ekkor φ s (t ; ξ) > 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 48 / 86
49 R n + ÉS Rn 0 POZITÍV INVARIANCIÁJA 4/5 BIZONYÍTÁS F(t, y) = f s (φ 1 (t; ξ),..., φ s 1 (t; ξ), y, φ s+1 (t; ξ),..., φ n (t; ξ)), if 0 t t, = F(0, y), if t < 0, F(t, y), if t < t ẏ = F(t, y), y(0) = ξ s G(t, p) = F(t, p) F(t, 0) ż = G(t, z), z(0) = ξ s BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 49 / 86
50 R n + ÉS Rn 0 POZITÍV INVARIANCIÁJA 5/5 KÖVETKEZMÉNY R n + pozitívan invariáns KÖVETKEZMÉNY R n 0 pozitívan invariáns KÖVETKEZMÉNY Legyen ξ R n 0 és legyen s 1, n olyan, hogy ξ s > 0. Ekkor φ s (t; ξ) > 0 minden t J + (ξ)-re. Pozitív koncentráció nem válhat nullává véges idő alatt! BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 50 / 86
51 Vegyük észre, hogy vagy az összes sztöchiometriai osztály korlátos, vagy egyik sem. A korlátos esetben nem fordulhat elő véges felrobbanási idő! BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 51 / 86 SZTÖCHIOMETRIAI OSZTÁLYOK Emlékeztető: S R n m a sztöchiometriai mátrix, S = ran S a sztöchiometriai osztály. DEFINÍCIÓ Legyen p R n 0. A P = (p + S) Rn 0 halmazt sztöchiometriai osztálynak nevezzük. Egy P sztöchiometriai osztályt pozitívnak nevezünk, ha P R n +. φ(t ; ξ) ξ = (i,j) R ÁLLÍTÁS t 0 R (i,j) (φ(τ; ξ))dτ(b,j B,i ) A sztöchiometriai osztályok pozitívan invariánsak.
52 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 1/8 Legyen H 1, n. Jelölje H c = 1, n\h. F H = {x R n 0 x s = 0 s H} cl(f H ) = {x R n 0 x s = 0 s H} Legyen x R n 0. Ekkor x F H supp(x) = H c x cl(f H ) supp(x) H c BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 52 / 86
53 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 2/8 ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n. Ekkor F H pontosan akkor pozitívan invariáns, ha f s (x) = 0 minden s H és minden x F H esetén. BIZONYÍTÁS Ha F H pozitívan invariáns, akkor könnyen látható, hogy f s (x) = 0 minden s H és minden x F H esetén. A másik irány nehezebb. Azon múlik, hogy a megoldás egyértelmű. Részletek a szakdolgozatban. ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n, x F H és s H. Ekkor f s (x) = 0 pontosan akkor, ha (i, j) R, B s,i = 0 és B s,j > 0 fennállása esetén supp(b,i ) H c. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 53 / 86
54 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 3/8 DEFINÍCIÓ Legyen E = {(s, (i, j)) A R B s,i > 0} {((i, j), s) R A B s,j > 0}. Az (A R, E) páros gráfot anyagok-reakciók gráfnak nevezzük. C 1 = A 1 + 3A 2 C 2 = 2A 3 C 3 = 4A 1 + A 4 C 4 = A 3 A 1 A 2 A 3 A 4 3 (C 1, C 2 ) (C 2, C 1 ) (C 3, C 4 ) BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 54 / 86
55 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 4/8 DEFINÍCIÓ A (C i, C j ) reakciót input reakciónak nevezzük az A s anyagra vonatkozóan, ha ((i, j), s) E. A (C i, C j ) reakciót output reakciónak nevezzük az A s anyagra vonatkozóan, ha (s, (i, j)) E. R I H R O H = {(i, j) R létezik olyan s H, amire ((i, j), s) E} }{{} B s,j >0 = {(i, j) R létezik olyan s H, amire (s, (i, j)) E} }{{} B s,i >0 DEFINÍCIÓ A H 1, n halmazt szifonnak nevezzük, ha R I H RO H. {A 4 }, {A 1, A 3 }, {A 1, A 2, A 3 }, {A 1, A 3, A 4 }, {A 2, A 3, A 4 } és {A 1, A 2, A 3, A 4 } BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 55 / 86
56 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 5/8 TÉTEL Legyen H 1, n. Jelölje H c a 1, n\h halmazt. Ekkor az alábbiak ekvivalensek: (I) H szifon, (II) F H pozitívan invariáns, (III) cl(f H ) pozitívan invariáns, (IV) f s (x) = 0 minden s H és minden x F H esetén, (V) f s (x) = 0 minden s H és minden x cl(f H ) esetén, (VI) létezik x F H, hogy f s (x) = 0 minden s H esetén, (VII) minden s H esetén (i, j) R, B s,i = 0 és B s,j > 0 implikája, hogy supp(b,i ) H c. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 56 / 86
57 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 6/8 BIZONYÍTÁS (v) (iv) nyilvánvaló; (iv) (v) f folytonossága miatt. (iv) (vii) korábbi állítás. (iv) (vi) nyilvánvaló; (vi) (vii) korábbi állítás. (ii) (iii) korábbi állítás miatt; (iii) (ii) amiatt, hogy pozitív anyagkoncentráció nem válhat nullává véges idő alatt. (ii) (iv) a korábbi fő állítás miatt. Tegyük fel, hogy (vii) teljesül. Legyen (i, j) R I H. Legyen s H olyan, hogy B s,j > 0. Ha B s,i > 0, akkor (i, j) R O H. Ha B s,i = 0, akkor (vii) miatt létezik s H, amire B s,i > 0. Így (i, j) R O H. Tegyük fel, hogy R I H RO H. Legyen s H és (i, j) R, amire B s,i = 0 és B s,j > 0. Ekkor (i, j) R I H. A feltétel miatt (i, j) RO H. Emiatt létezik s H, amire B s,i > 0. Következésképpen s supp(b,i ) és s / H c. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 57 / 86
58 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 7/8 ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n. Legyen ξ F H. Ekkor létezik H H úgy, hogy φ(t; ξ) F H minden t J + (ξ). Továbbá, F H pozitívan invariáns. BIZONYÍTÁS Legyen s 1, n esetén t s = min { inf{t J 0 (ξ) φ s (t; ξ) > 0}, sup J(ξ) }. Ekkor t s 0 minden s 1, n esetén. Legyen H = {s 1, n t s > 0}. Ekkor H H. Elég megmutatni, hogy t s = sup J(ξ) minden s H. Tegyük fel indirekt, hogy létezik s H, amire t s < sup J(ξ). Legyen t = min{t s s H and t s < sup J(ξ)}. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 58 / 86
59 POZITÍVAN INVARIÁNS KÚPOK R n 0 HATÁRÁN 8/8 BIZONYÍTÁS Ekkor t > 0 és supp(φ(t; ξ)) = (H ) c minden t (0, t )-re. Ha megmutatjuk, hogy F H pozitívan invariáns, akkor kapjuk az ellentmondást. Részletek a szakdolgozatban. F H pozitív invarianciája ugyanezzel a technikával adódik, kivéve hogy t -t ilyenkor sup J(ξ)-nek definiáljuk. ÁLLÍTÁS Az előző állításban H már H által meg van határozva (azaz H megegyezik minden ξ F H esetén). Algoritmus is adható H megtalálására. Az állítás bizonyítása és az algoritmus a szakdolgozatban. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 59 / 86
60 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 1/13 E = {x R n 0 f (x) = 0} egyensúlyi pontok E + = {x R n + f (x) = 0} belső egyensúlyi pontok ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy reakciórendszert.tegyük fel, hogy δ = 0 és legyen x R n 0. Ekkor x E R(x) ker I. DEFINÍCIÓ Ha (C, R) minden komponense erősen összefüggő, akkor azt mondjuk, hogy a reakcióhálózat gyengén megfordítható. TÉTEL δ = 0, E + a reakcióhálózat gyengén megfordítható. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 60 / 86
61 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 2/13 TÉTEL Tekintsünk egy zéró deficienciájú, tömeghatás elvű rendszert. Ekkor E + a reakcióhálózat gyengén megfordítható. BIZONYÍTÁS Tegyük fel, hogy a reakcióhálózat gyengén megfordítható. Legyen x R n +. Definiáljuk az y : R R + függvényt y(i, j) = κ (i,j) n s=1 x B s,i s módon. Meg kell mutatni, hogy létezik olyan x R n +, amire y pozitív áram és y(i, j 1 ) κ (i,j1 ) = y(i, j 2). κ (i,j2 ) BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 61 / 86
62 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 3/13 BIZONYÍTÁS Pontosan az ilyen áramokat vizsgáltuk a gráfelméleti részben! Legyen y : R R + olyan áram, ami teljesíti a κ-s feltételeket. Kell α R l + és x R n +, hogy l α r yr (i, j) = κ (i,j) r=1 n s=1 x B s,i s minden (i, j) R esetén. Innentől y és a κ-k fixek, α és x keresendő. Van m darab egyenletünk, de abból az egy csúcsból induló élekhez tartozó egyenletek megegyeznek! Az ilyenekből csak 1-et hagyjunk meg, ezzel minden csúcsban 1 egyenletünk lesz. Legyen p : C R olyan injekció, hogy p(i) töve i minden i C esetén. Legyen y i = y (p(i))/κ p(i) i C-re. Tehát y R c +. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 62 / 86
63 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 4/13 BIZONYÍTÁS Jelölje y r R cr + az y R c +-nak az r-edik linkage classhoz tartozó koordinátáiból álló vektort. log c (y ) = log c 1 (α 1 y 1 ). log c l (α l y l ) log c 1 (y 1 ). log c l (y l ) = B T log n (x) = B T [ log n (x) log l (α) ] BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 63 / 86
64 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 5/13 ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megforítható, zéró deficienciájú tömeghatás kinetikájú rendszert. Legyen x 1, x 2 E +. Ekkor log n (x 2 ) log n (x 1 ) S. BIZONYÍTÁS Létezik α 1, α 2 R l +, amire B T [ log n (x 1 ) log l (α 1 ) ] [ = B log T n (x 2 ) log l (α 2 ) Ha i 1, c és a C i komplex az r-edik linkage classban van, akkor ]. log(α 2 r ) log(α 1 r ) = B,i, log n (x 2 ) log n (x 1 ). Ha (i, j) R, akkor B,j B,i, log n (x 2 ) log n (x 1 ) = 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 64 / 86
65 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 6/13 TÉTEL Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Ekkor E +. Továbbá, ha x E +, akkor E + {x R n + log n (x) log n (x ) S }. ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy tömeghatás kinetikájú rendszert, amire δ = δ δ l. Tegyük fel, hogy E +. Rögzítsük x E + -et. Ekkor E + {x R n + log n (x) log n (x ) S }. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 65 / 86
66 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 7/13 BIZONYÍTÁS Legyen x R n +, amire log n (x) log n (x ) S. Legyen i 1, c és definiáljuk a π i : R n 0 Rn + R 0 függvényt π i (x, y) = n s=1 ( ) Bs,i xs módon. Legyen (i, j) R. Ekkor B,j B,i, log n (x) log n (x ) = 0. Utóbbi a π i (x, x ) = π j (x, x ) alakban írható. Eszerint π i (x, x ) = π j (x, x ) minden i, j C r (r 1, l). Jelölje π r ezt a közös értéket. y s BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 66 / 86
67 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 8/13 BIZONYÍTÁS = f (x) = l r=1 TÉTEL l f r (x) = r=1 (i,j) R r κ (i,j) l r=1 n κ (i,j) x B s,i (i,j) R r s=1 s (B,j B,i ) = ( n ) (xs ) B s,i π i (x, x )(B,j B,i ) = s=1 Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Legyen x E +. Ekkor E + = {x R n + log n (x) log n (x ) S }. l π r f r (x ) r=1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 67 / 86
68 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 9/13 ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Ekkor E + C -diffeomorf R n (c l δ) -hez. Ezért, E + az R n tér egy n (c l δ) dimenziós C differenciálható sokasága, ami ráadásul összefüggő. BIZONYÍTÁS Legyen x E +. Definiáljuk a Θ : R n R n + függvényt a y [x 1 ey 1,..., x ne yn ] T hozzárendeléssel. Ekkor Θ egy C -diffeomorfizmus. Mivel dim S = c l δ, ezért dim S = n (c l δ). Könnyen ellenőrizhető, hogy Θ(S ) = E +. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 68 / 86
69 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 10/13 LEMMA Legyen S a sztöchiometriai altér és P = (p + S) R n 0 egy pozitív sztöchimetriai osztály valamely p R n +-re. Ekkor minden x R n +-re létezik egyetlen x R n +, amire x P R n + és log n (x) log n (x ) S. BIZONYÍTÁS Legyen x R n +. Minden s 1, n-re definiáljuk az L s : R R függvényt L s (y) = xs e y p s y módon. Ekkor {y R L s (y) v} kompakt minden v R-re. Definiáljuk a Q : R n R függvényt a Q(y) = n s=1 L s(y s ) formulával. Ekkor Q folytonosan differenciálható és {y R L s (y) v} kompakt minden v R-re. Szorítsuk meg Q-t S -re, és legyen y S a minimumhelye. Ekkor ((gradq)(y )) T = [x1 ey 1,..., xne y n ] T p (S ) = S. Legyen x R n + olyan, hogy log n (x) = y + log n (x ). Egyértelműség: n s=1 (x s 1 xs 2 )(log(xs 1 ) log(xs 2 )) = (x 1 x 2 ) T (log n (x 1 ) log n (x 2 )) = 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 69 / 86
70 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 11/13 TÉTEL Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Ekkor P E + = 1 minden P pozitív sztöchiometriai osztályra. BIZONYÍTÁS E + jellemzése és az előző lemma azonnal adja az állítást. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 70 / 86
71 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 12/13 C 1 = A 1 + A 2 C 2 = 2A 1 + A 2 [ ẋ1 ẋ2 ] [ 1 = x 1 x 2 0 ] [ + x1 2 1 x 2 0 ] = [ (1 x1 )x 1 x 2 0 ] x 2 E + z x P z E 0 1 x 1 BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 71 / 86
72 BELSŐ EGYENSÚLYI PONTOK 13/13 Rögzítsük i 1, c-t. Definiáljuk a q i : R n + R n + R függvényt a q i (x, y) = B,i, log n (x) log n (y) formulával. Definiáljuk a Φ : R n + R n + R 0 függvényt a formulával. ÁLLÍTÁS Φ(x, y) = (i,j) R (q j (x, y) q i (x, y)) 2 Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Legyen x E + és x R n +. Ekkor x E + Φ(x, x ) = 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 72 / 86
73 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 1/ ÁLLÍTÁS Legyen (i, j) R és x R n 0 olyan, hogy supp(b,i) supp(x). Ekkor supp(b,j ) supp(x) {s 1, n f s (x) > 0}. ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n olyan, hogy F H pozitívan invariáns. Legyen x F H és (i, j) R. Ekkor supp(b,i ) supp(x) supp(b,j ) supp(x). Legyen E 0 = E\E +. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 73 / 86
74 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 2/ ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n olyan, hogy F H pozitívan invariáns. Legyen x F H. Ekkor, ha létezik irányított út i C és j C között, akkor supp(b,i ) supp(x) supp(b,j ) supp(x). Speciálisan, ha (C, R ) egy erősen összefüggő részgráfja (C, R)-nek, akkor vagy supp(b,i ) supp(x) minden i C -re vagy supp(b,i ) supp(x) minden i C -re. ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n. Tegyük fel, hogy F H E 0. Ekkor H szifon. ÁLLÍTÁS Tegyük fel, hogy B egyik sora sem tűnik el és (C, R) erősen összefüggő. Legyen H 1, n. Ekkor vagy F H E 0 = F H vagy F H E 0 =. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 74 / 86
75 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 3/ Legyen H 1, n szifon. Jelölje K = {x R n x s = 0 s H}. Definiáljuk a P : K R n lineáris leképezést (Px) s = x s (s H c ) formulával, ahol n = H c. (Az R n -beli vekrotok koordinátái a H c halmaz elemeivel lesznek indexelve.) KONSTRUKCIÓ Legyen (A, C, R, R) egy kémiai reakciórendszer. Legyen H 1, n szifon. Egy új rendszert konstruálunk, az ahhoz tartozó mennyiségeket felülvonás jelzi. A = {A s A s H c } R = {(i, j) R supp(b,i ) H c } Ha R =, akkor F H E 0 = F H. Csak R = esetén folytassuk a konstrukciót. C = {i 1, c létezik olyan (j 1, j 2 ) R, amire j 1 = i vagy j 2 = i} BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 75 / 86
76 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 4/ KONSTRUKCIÓ A komplexek mátrixa az új rendszerben: B R n c, ahol B s,i = B s,i (s H c, i C). Jelölje x az új állapotváltozót. Definiáljuk az új sebességfüggvényeket a R (i,j) (x) = R (i,j) (P 1 x) formulával ((i, j) R, x R n ). Legyen f (x) : R n R n a f (x) = (i,j) R R (i,j) (x)(b,j B,i ) formulával definiálva. Az új differenciálegyenlet: ẋ = f x. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 76 / 86
77 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 5/ ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n szifon. Tegyük fel, hogy R =. Legyen i C. Ekkor supp(b,i ) H c. Ezért f (x) = Pf (P 1 x) minden x R n + esetén. ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n szifon. Tegyük fel, hogy R =. Legyen ξ F H. Ekkor J(Pξ) J(ξ), J 0 (Pξ) = J 0 (ξ) és P 1 φ(t; Pξ) = φ(t; ξ) minden t J(Pξ)-re. ÁLLÍTÁS Legyen H 1, n szifon. Tegyük fel, hogy R =. Ekkor E 0 F H = {x F H Px E + }. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 77 / 86
78 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 6/ Korábbi állítás miatt S = span{b,j B,i R n (i, j) R} P 1 S = span{b,j B,i R n (i, j) R}. ÁLLÍTÁS A gyenge megfordíthatóság öröklődik az új hálózatra. Sőt az új hálózat linkage class-ai az eredeti hálózat linkage class-ai közül kerülnek ki. Tegyük fel, hogy az eredeti rendszer gyengén megfordítható. Legyen G = {r 1, l supp(b,i ) H c minden i C r }. (G = R = ) ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megfordítható reakcióhálózatot. Ekkor δ r = δ r minden r G-re. Továbbá, ha δ = l r=1 δ r, akkor δ = r G δ r. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 78 / 86
79 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 7/ TÉTEL Tekintsünk egy renszert, aminek kinetikája tömeghatás típusú. Tegyük fel, hogy az új rendszer gyengén megfordítható, δ r 1 és r δ r = δ. Ekkor F H E 0. Sőt, (F H E 0 ) (p + P 1 S) = 1 minden p F H -re. Továbbá, F H E 0 egy n (c l δ) dimenziós C differenciálható sokasága R n -nek. ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Ekkor E véges sok R n -beli C differenciálható sokaság uniója. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 79 / 86
80 HATÁRON LEVŐ EGYENSÚLYI PONTOK 8/ Legyen H 1, n szifon. Legyen Q : R n R n a K -ra való ortogonális projekció. ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás típusú kinetikával ellátott rendszert, amire δ = l r=1 δ r. Tegyük fel, hogy x E és H 1, n szifon. Ekkor Qx E 0. Definiáljuk a Ψ : R n 0 Rn + R 0 függvényt: Ψ(x, y) = (e π j (x,y) e π i (x,y) ) 2 (i,j) R ÁLLÍTÁS Tekintsünk egy gyengén megfordítható, tömeghatás kinetikájú rendszert. Tegyük fel, hogy δ r 1 minden r 1, l-re és δ = δ δ l. Legyen x E + és x R n 0. Ekkor x E Ψ(x, x ) = 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 80 / 86
81 EGYENSÚLYI PONTOK STABILITÁSA 1/5 Legyen F R n 0 pozitívan invariáns halmaza az ẋ = f x egyenletnek és p F olyan, hogy f (p) = 0. DEFINÍCIÓ Azt mondjuk, hogy p az F-re vonatkozóan stabil, ha ε > 0 η > 0, amire q F B η (p) φ(t; q) p < ε t 0. DEFINÍCIÓ Azt mondjuk, hogy p az F-re vonatkozóan aszimptotikusan stabil, ha stabil F-re vonatkozóan és η > 0, amire q F B η (p) lim t φ(t; q) p = 0. DEFINÍCIÓ Azt mondjuk, hogy p az F-re vonatkozóan globálisan aszimptotikusan stabil, ha stabil F-re vonatkozóan és lim t φ(t; q) p = 0 q F. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 81 / 86
82 EGYENSÚLYI PONTOK STABILITÁSA 2/5 Tekintsünk egy gyengén megfordítható, zéró deficienciájú, tömeghatás kinetikájú rendszert. LEMMA Legyen x E +. Ekkor létezik olyan folytonos a : R n + R + függvény, amire log n (x) log n (x ), f (x) a(x)φ(x, x ) 4 + Φ(x, x ) x Rn +. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 82 / 86
83 EGYENSÚLYI PONTOK STABILITÁSA 3/5 Rögzítsük y R + -t. Definiáljuk a v y : R 0 R függvényt a v y (z) = z y log(τ) log(y)dτ formulával. Legyen x E +. Definiáljuk a V x : R n 0 R függvényt a formulával. LEMMA V x (x) = n v x s (x s ) = s=1 n s=1 xs (I) V x (x) > V x (x ) = 0 x R n 0 \{x }, (II) V x folytonosan differenciálható R n +-on, x s log(τ) log(x s )dτ (III) (gradv x )(x) = (log n (x) log n (x )) T x R n +, (IV) {x R n 0 V x (x) q} kompakt q R. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 83 / 86
84 EGYENSÚLYI PONTOK STABILITÁSA 4/5 ÁLLÍTÁS Legyen ξ R n 0 \E. Legyen x E +. Ekkor V x (φ( ; ξ)) : J(ξ) R szigorúan monoton csökkenő J + (ξ)-n. DEFINÍCIÓ Ha J(ξ) R 0 és létezik (t N ) N=1 J(ξ) sorozat, amelyre lim t N = és N lim φ(t N; ξ) = q N valamely q R n esetén, akkor q-t a ξ ω-határpontjának nevezzük. A ξ ω-határpontjait a ξ ω-határhalmazának nevezzük, és ω(ξ)-vel jelöljük. TÉTEL Tegyük fel, hogy φ(t; ξ) K t J + (ξ), ahol K R n kompakt. Ekkor J(ξ) R 0, ω(ξ) is nemüres, kompakt, összefüggő és pozitívan invariáns. Továbbá, lim t dist(φ(t; ξ), ω(ξ)) = 0. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 84 / 86
85 EGYENSÚLYI PONTOK STABILITÁSA 5/5 TÉTEL Legyen ξ R n 0. Ekkor J(ξ) R 0. TÉTEL Legyen P = (p + S) R n 0 egy pozitív sztöchiometriai osztály valamely p R n +-re. Legyen ξ P. Legyen x az egyértelmű belső egyensúlyi pont P-ben. Ekkor (I) vagy ω(ξ) = {x } vagy ω(ξ) E 0 P, (II) lim t dist(φ(t; ξ), E P) = 0, (III) x is stabil. Sőt, x aszimptotikusan stabil P-re vonatkozóan, (IV) x globálisan aszimptotikusan stabil P-re vonatkozóan P E 0 =. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 85 / 86
86 PERIODIKUS MEGOLDÁSOK TÉTEL Tekintsünk egy zéró deficienciájú reakciórendszert, ami nem gyengén megfordítható. Ekkor nincs olyan nemtriviális periodikus pálya, ami teljes egészében R n +-ben fekszik. TÉTEL Tekintsünk egy zéró deficienciájú, tömeghatás kinetikájú reakciórendszert, ami gyengén megfordítható. Ekkor nincs nemtriviális periodikus pálya. BOROS BALÁZS (ELTE, MATINT) KÉMIAI REAKCIÓRENDSZEREK FORM. RKIN. SZEM. (BME) 86 / 86
Boros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenAlap fatranszformátorok II
Alap fatranszformátorok II Vágvölgyi Sándor Fülöp Zoltán és Vágvölgyi Sándor [2, 3] közös eredményeit ismertetjük. Fogalmak, jelölések A Σ feletti alaptermek TA = (T Σ, Σ) Σ algebráját tekintjük. Minden
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenIván Szabolcs október 6.
Automaták irányítása II. Iván Szabolcs 2009. október 6. Tartalom 1 Alapfogalmak (ismét) 2 Egy kiterjesztés és egy ellenpélda 3 Pozitív részeredmények 4 A Road Coloring Problem Véges automaták Automata
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenA szimplex algoritmus
A szimplex algoritmus Ismétlés: reprezentációs tétel, az optimális megoldás és az extrém pontok kapcsolata Alapfogalmak: bázisok, bázismegoldások, megengedett bázismegoldások, degenerált bázismegoldás
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenAutonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAz állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a
. Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
Részletesebben