Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Átírás

1 Lineáris leképezések Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

2 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa 4 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 2 / 31

3 Mátrixleképezés, lineáris leképezés A mátrixleképezés fogalma D A : R n R m ; x Ax D képtér: Im(A) = O(A), magtér: Ker(A) = N (A) P a = (a1, a2, a3) R 3, A : R 3 R 3 : x a x. M Az a x vektori szorzat koordinátás alakban: a1 x1 a2x3 a3x2 y = a x = a2 x2 = a3x1 a1x3 a3 x3 a1x2 a2x1 a3x2 + a2x3 0 a3 a2 x1 = a3x1 a1x3 = a3 0 a1 x2 a2x1 + a1x2 a2 a1 0 x3 Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 3 / 31

4 Mátrixleképezés, lineáris leképezés M veletek mátrixleképezések között Á A + B = C A + B = C Á ca = C ca = C Á XY = Z X Y = Z Á B = A 1 B = A 1 Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 4 / 31

5 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Mátrixleképezések tulajdonságai A : R n R m egy tetsz leges mátrixleképezés, x, y R n, c, d R: Á A(cx + dy) = ca(x) + da(y), (A meg rzi a lineáris kombinációt) Á A(cx) = ca(x), (a leképezés homogén) A(x + y) = A(x) + A(y), (a leképezés additív) Á A0 = 0 Á Tetsz leges altér képe altér. Á Tetsz leges an altér képe an altér. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 5 / 31

6 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Lineáris leképezés D Legyen V és W két F test fölötti vektortér. Azt mondjuk, hogy az A : V W leképezés lineáris, ha homogén és additív, lineáris transzformáció, ha V = W. P deriválás: D : V W : f D(f ) = f P integrálás: D(cf ) = (cf ) = cf = cd(f ), és D(f + g) = (f + g) = f + g = D(f ) + D(g). 1 1 cf = c f, és (f + g) = f + g P Síkbeli forgatás, tükrözés, vetítés. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 6 / 31

7 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Vektortérb l vektortérbe képz lineáris leképezések Tétel Ekvivalens állítások: A : V W lineáris (homogén és additív). Tetsz leges x, y V, c, d F esetén A(cx + dy) = ca(x) + da(y) Tetsz leges x, y V és c F esetén A(cx + y) = ca(x) + A(y) x 1,..., x k V, c1, c2,..., c k F A(c1x c k x k ) = c1ax c k Ax k. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 7 / 31

8 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Lineáris R n R m leképezések Tétel A : R n R m egy tetsz leges függvény. Az A pontosan akkor lineáris, ha létezik egy olyan A m n mátrix, hogy az A függvény megegyezik az x Ax leképezéssel. Ekkor az e i standard egységvektorokkal Bizonyítás Ax = A(x1e 1 + x2e x n e n ) = x1ae 1 + x2ae x n Ae n = [ x1 ] Ae 1 Ae 2... Ae n. A = [Ae 1 Ae 2... Ae n ], x n = Ax Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 8 / 31

9 Mátrixleképezés, lineáris leképezés A mátrixleképezés hatásának szemléltetései x Ax Bx Cx Dx [ 5 A = ] [ 3 B = ] C = [ ] D = [ ] R n R m Im(A) 0 Ker(A) 0 Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 9 / 31

10 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Lineáris leképezés mátrixa különböz bázisokban [x] B L B [Lx] B [x] B L B [Lx] B C B A C B A C B A C A B = C 1 B A [x] A L A [Lx] A [x] A L A [Lx] A L B C B A = C B A L A L A = C A B L B C B A = C 1 B A L BC B A Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

11 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Hasonlóság T Deníció C T C 1 Az n n-es A mátrix hasonló a B mátrixhoz, ha létezik olyan invertálható C mátrix, hogy B = C 1 AC. Jelölés: A B. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

12 Mátrixleképezés, lineáris leképezés Hasonlóság Tétel (Hasonló mátrixok hatása) Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, melyekben e két mátrix ugyanannak a lineáris leképezésnek a mátrixa. Bizonyítás B = C 1 E C AC E C. Tétel (Hasonlóságra invariáns tulajdonságok) Ha A és B hasonló mátrixok, azaz A B, akkor 1 r(a) = r(b), 2 dim(n (A)) = dim(n (B)), 3 det(a) = det(b), 4 trace(a) = trace(b). Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

13 Alkalmazás: dierenciálhatóság Vektor-vektor függvények dierenciálhatósága M D = lim h 0 f (x+h) f (x) h lim h 0 f (x+h) f (x) Dh h = 0 lim h 0 f (x+h) f (x) Dh h = 0. D Azt mondjuk, hogy az f : R n R m függvény dierenciálható az x helyen, ha létezik olyan D f,x : R n R m lineáris leképezés, melyre f(x + h) f(x) D f,x h lim = 0. h 0 h A D f,x leképezést az f függvény x ponthoz tartozó deriváltleképezésének nevezzük. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

14 Alkalmazás: dierenciálhatóság Derivált y dy dy y x x + dx dx x Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

15 Alkalmazás: dierenciálhatóság Derivált x f(x) zoom=1.50 f(x) x f(x) zoom=3.75 f(x) Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

16 Alkalmazás: dierenciálhatóság Jacobi-mátrix Tétel (Jacobi-mátrix) Ha az f : R n R m ; (x1, x2,..., x n ) (f1, f2,..., f m ) függvény dierenciálható az x helyen, akkor a lineáris D f,x deriváltleképezés mátrixa a következ, ún. Jacobi-mátrix: f1 (x) f1 (x)... f1 x1 x2 x n (x) D f,x = (f 1, f2,..., f m ) (x1, x2,..., x n ) (x) = f2 (x) x1. f m (x) x1 f2 (x)... f2 x2 x n (x)..... f m (x)... f m x2 x n (x) Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

17 Alkalmazás: dierenciálhatóság Jacobi-determináns és az integrál transzformációja ϑ y r ϑ r ϑ r x Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

18 Alkalmazás: dierenciálhatóság Függvények kompozíciójának deriváltja Tétel (Láncszabály) Legyen f : R k R m, g : R n R k két függvény. Ha g dierenciálható az x helyen, és f a g(x) helyen, akkor f g dierenciálható az x helyen, és deriváltleképezése, illetve annak mátrixa: D f g,x = D f,g(x) D g,x, illetve D f g,x = D f,g(x) D g,x. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

19 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa Forgatás Á Forgatás 2D-ben: [ Ai Aj ] [ ] cos α sin α = sin α cos α Á Forgatás tengely körül 3D-ben: cos α sin α cos α 0 sin α sin α cos α 0, 0 cos α sin α, sin α cos α sin α 0 cos α T Rodrigues-formula: az e R 3 egységvektor egyenese körül α szöggel: R = I + sin α[e] + (1 cos α)[e] 2 = I + sin α[e] + (1 cos α)(ee T I) T Kvaterniókkal: q = cos α 2 + (e 1i + e2j + e3k) sin α 2 a forgatást jellemz kvaternió, a (v1, v2, v3)-hoz tartozó kvaternió v = v1i + v2j + v3k. Az elforgatott: qvq 1, ahol q 1 = cos α (e 1i + e2j + e3k) sin α 2 M számolás kvaterniókkal: i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k,... szorzás: (a + u)(b + v) = ab u v + av + bu + u v. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

20 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa Mer leges vetítés és tükrözés Á Egyenesre való mer leges vetítés mátrixa P = 1 b T b bbt (P = ee T ). Á Síkra való mer leges vetítés mátrixa P = I nn T. Á [ Síkbeli tükrözés ] mátrixa az x-tengellyel α/2 szöget bezáró egyenesre: cos α sin α. sin α cos α Á Síkra való tükrözés mátrixa P = I 2nn T. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

21 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa Vetítés Á P 2 = P Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

22 2- és 3-dimenziós geometriai transzformációk mátrixa Eltolás Á 2D: (x, y) (x + a, y + b) a z = 1 egyenlet síkban: x x + az T y = y + bz z z mátrixa T = [ T i j k ] 1 0 a = 0 1 b Á 3D: (x, y, z) (x + a, y + b, z + c) eltolás: a x a x x + a T = b c, T y z = b y c z = y + b z + c Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

23 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Alterek direkt összege D V U és W U két tetsz leges altér. Azt mondjuk, hogy W a V kiegészít altere, vagy komplementer altér, ha V W = {0}, V + W = U, és azt mondjuk, hogy U a V és W alterek direkt összege, amit V W jelöl. T Ekvivalens állítások: V W = {0} és V + W = U, azaz V és W kiegészít alterek, U minden vektora egyértelm en áll el egy V- és egy W-beli vektor összegeként, V W = {0} és dim V + dim W = n. P ha A R m n, akkor S(A) N (A) = R n, O(A) N (A T ) = R m. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

24 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Mer leges vetítés R n egy alterére Tétel Ha W az R n egy altere, és az A mátrix oszlopvektorai a W egy bázisát alkotják (A teljes oszloprangú), akkor a W altérre való mer leges vetítés, azaz a proj W leképezés mátrixa A(A T A) 1 A T. Bizonyítás Legyen a v R n vektor W-re es mer leges vetülete w. A oszloptere W, ezért létezik olyan x vektor, hogy Ax = w. W = O(A), így W = N (A T ), tehát v w benne van A T nullterében. Eszerint A T (v w) = 0, azaz A T (v Ax) = 0, innen A T Ax = A T v. Az A mátrix teljes oszloprangú, így A T A invertálható, azaz x = (A T A) 1 A T v, amib l proj W v = w = Ax = A(A T A) 1 A T v. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

25 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Melyik mátrix mer leges vetítés mátrixa? T Egy P mátrix pontosan akkor mer leges vetítés mátrixa, ha P = P T = P 2. P = A(A T A) 1 A T P 2 ( = A(A T A) 1 A T) 2 = A(A T A) 1 A T A(A T A) 1 A T = P, P T = (A(A T A) 1 A T) T ( = A (A T A) 1) T A T = A(A T A) 1 A T = P. Tegyük fel, hogy P = P T = P 2. Megmutatjuk, hogy P az O(P)-re való mer leges vetítés mátrixa. Ehhez elég megmutatnunk, hogy az x Px vektor mer leges O(P)-re bármely x vektor esetén. A P 2 = P feltétel miatt P(x Px) = Px P 2 x = 0, tehát x Px N (P), de P = P T, így x Px N (P T ). Ez épp azt jelenti, hogy x Px mer leges O(P)-re, és ezt akartuk belátni. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

26 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Altért l való távolság D x R n, W R n altér. x-nek a W altért l való távolságán a W altér x-hez legközelebbi w vektorának t le való távolságát értjük. T Legjobb közelítés tétele: Az x vektornak egyetlen W-beli legjobb ˆx közelítése van, nevezetesen ˆx = proj W x. B x w = (x proj W x) + (proj W x w). els kifejezés W, a második W eleme! (x proj W x) (proj W x w) Pithagorász: x w 2 = x proj W x 2 + proj W x w 2. x w 2 x proj W x 2 egyenl ség csak akkor állhat fönn, ha w = ˆx = proj W x K R n = W W. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

27 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Altért l való távolság P Bontsuk fel az x = (8, 4, 2, 1) vektort W = span((1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 0))-be es és W-re mer leges vektorok összegére. M A W-re való mer leges vetítés mátrixa P = W(W T W) 1 W T, ahol W két oszlopa a megadott két bázisvektor: W = , amib l Px = 0 1/2 1/ /2 1/2 0 2 = proj W x = Px = (8, 1, 1, 0) és x proj W x = (0, 3, 3, 1) Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

28 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Egyenletrendszer optimális megoldása D Az Ax = b optimális megoldásain az Ax = proj O(A) b megoldásait értjük. T Az Ax = b egyenletrendszer optimális megoldásai megegyeznek az A T Aˆx = A T b egyenletrendszer megoldásaival (normálegyenlet-rendszer). Ezek közül egyetlen egy esik az A mátrix sorterébe, a legkisebb abszolút érték. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

29 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Lineáris és polinomiális regresszió T Az (x i, y i ) (i = 1, 2,... n) párokhoz tartozó, y = â + ˆbx egyenlet regressziós egyenes paraméterei kielégítik az [ ] [â ] [ ] n xi xi x 2 = yi i ˆb xi y i egyenletet. Ez egyértelm en megoldható, ha van legalább két különböz x i érték. B Megoldandó: 1 x1.. 1 x n [ ] a = b y1.. A hozzá tartozó normálegyenlet-rendszer [ ] 1 x1 [â ] [ ] y x1 x2... x.. = n ˆb x1 x2... x., n 1 x n y n Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31 y n

30 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Vetítés D U = V W, így bármely u U egyértelm en el áll u = v + w alakban, ahol v V, w W. A v vektor az u vektornak a V altérre W mentén való (vele párhuzamosan vett) vetülete. D Ez lineáris transzformáció, vetítésnek vagy projekciónak nevezzük. M minden P vetítés az Im P-re Ker P mentén való vetítés. Á Mátrixa: U = R n, V bázisa { v 1, v 2,..., v r }, W bázisa { w 1, w 2,..., w n r }. Legyen U = [v 1 v 2... v r w 1 w 2... w n r ] = [V W]. Mivel Pv i = v i (i = 1, 2,..., r) és Pw j = 0 (j = 1, 2,..., n r), ezért a P leképezés P mátrixára U invertálható, ezért PU = P[V W] = [PV PW] = [V O]. P = [V O]U 1 = [V O][V W] 1. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31

31 Mer leges vetítés és a legjobb közelítés Vetítés T A projekció tulajdonságai: Legyen P : R n R n egy projekció. 1. R n -nek van olyan bázisa, melyben a mátrixa P = diag(1, 1,..., 1, 0,..., 0). 2. I P is projekció: Ker(I P) = Im P, Im(I P) = Ker P, 3. r(p) = trace(p). Wettl Ferenc Lineáris leképezések március / 31