Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Átírás

1 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön képes lesz egy képlettel vagy geometriai leírással adott leképezés linearitását eldönteni az R n vektortérben; egy képlettel megadott leképezés linearitását eldönteni a valós sorozatok körében; egy képlettel megadott leképezés linearitását eldönteni a valós polinomok körében; egy lineáris leképezés képterének és magterének meghatározására, és ezzel az injektivitás és szürjektivitás eldöntésére; vektorterek izomorájának eldöntésére a dimenzió segítségével; egy lineáris leképezés mátrixának felírására és ennek segítségével konkrét vektorok képének meghatározására; lineáris leképezések kompozícióját megadó mátrixok megadására. Elméleti, fogalmi célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó gyakorlaton való aktív részvétellel Ön a linearitáson keresztül megérti a m velettartó leképezés fogalmát, és el tudja képzelni, hogy ez más struktúrák esetén is értelmes fogalom; érzékeli, hogy a linearitás igen er s megkötés egy leképezésre; érzékeli annak a jelent ségét, hogy egy lineáris leképezés egy mátrixszal is megadható, és így a gyakorlatban könnyen végrehajtható; megérti, hogy az izomorf struktúrák lényegében ugyanazok; a dimenziótétel kapcsán megtapasztalja az inejtivitás és a szürjektivitás közti kapcsolatot; látja a mátrixszorzás egy alkalmazási lehet ségét. A téma jelent sége A vektorok körében ugyanolyan fontosak a lineáris leképezések, mint a számok körében a szokásos lineáris függvények, azaz az f (x) = ax + b alakú függvények. Gyakran van szükség arra, hogy valamilyen mért értékekb l álló vektorokat egy programmal (lineárisan) transzformáljuk; látni fogjuk, hogy ez mátrixok segítségével könnyen elvégezhet. A többváltozós függvények körében is fogunk találkozni lineáris függvényekkel. A függvénygrakon egyenessel való közelítéséhez hasonlóan itt a síkkal való közelítést alkalmazhatjuk, ami kiindulási ponttól való eltérésvektor lineáris függvénye.

2 A kódoláselméletben is fontos szerepet játszanak a lineáris leképezések. A legegyszer bb hibajelz kódolás abban áll, hogy egy számsorozat után biggyesztjük a számok összegét is, így ha a számsorozat továbbítása során valamelyik szám "megsérül", azaz a címzett mást kap helyette, akkor ezt az ellen rz összegb l azonnal észreveszi. Ez, és ennek a módszernek a nagyobb hibákat is jelz általánosításai mind lineáris leképezések. Szükséges fogalmak és módszerek korábbról vektortér; altér; zártsági feltételek ellen rzése; lineáris kombináció; injektív ill. szürjektív leképezés; ekvivalenciareláció; bázis, dimenzió, szám n-esek tere; dimenzió meghatározása; mátrix mátrixok szorzása; Formális deníció Deníció. Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon T test feletti vektorterek. A V 1 -b l V 2 -be ható A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha m velettartó, azaz (i) 8u; v 2 V 1 -re A(u + v) = Au + Av; (ii) 8u 2 V 1 ; 8 2 T -re A(u) = (Au) 2 Írásmód: A(u) helyett Au. Szavakkal megfogalmazva: (i) összeg képe egyenl a képek összegével; (ii) konstansszoros képe egyenl a kép konstansszorosával; Forgatás, mint lineáris leképezés A forgatás a síkot önmagára képezi le. Ha egy függvény értelmezési tartománya és képhalmaza megegyezik, transzformációról beszélünk. Azaz a forgatás egy geometriai transzformáció. A lineáris transzformáció egy olyan lineáris leképezés, ahol... Vajon az origó körüli forgatás lineáris transzformáció-e? dolgozunk, így értelmezhet az összeg és a konstansszoros. Itt nem pontokkal, hanem a megfelel helyvektorokkal a) Két helyvektor összegét elforgatjuk. b) A két helyvektort elforgatjuk, majd a képeiket összeadjuk. Ugyanoda jutunk?

3 3 ÁBRA: Igen, a forgatás egybevágósági transzformáció, így a két háromszög egybevágó! Hasonlóan: a) Egy helyvektor konstansszorosát elforgatjuk. b) A helyvektort elforgatjuk, majd megszorozzuk ugyanazzal a konstanssal. Ugyanoda jutunk? További példák Példa. 1. A síkon az x-tengelyre vonatkozó vetítés lineáris transzformáció. Ez igazolható geometriai úton is (ábra), de egyszer en koordinátákkal való számolással is: Tipp: A vetítés az x = (x 1 ; x 2 ) vektorhoz hozzárendeli a V x = (x 1 ; 0) vektort. TÁBLÁN Példa. 2. A síkon az eltolás nem lineáris transzformáció. Tipp: szinte tetsz leges két vektor az összeadásra nézve, itt is számolhatunk koordinátákkal. Az eltolás mértéke is tetsz leges, válasszunk valami egyszer t! Példa. 3. A polinomok körében a deriválás lineáris leképezés-e? Tipp: Ellen rzésképpen írjuk fel a linearitás két axiómáját erre a konkrét esetre, és gondoljuk meg, igazak-e ezek a deriválásra! Formális deníció Deníció. Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon T test feletti vektorterek. A V 1 -b l V 2 -be ható A függvényt lineáris leképezésnek nevezzük, ha m velettartó, azaz (i) 8u; v 2 V 1 -re A(u + v) = Au + Av; (ii) 8u 2 V 1 ; 8 2 T -re A(u) = (Au) Szavakkal megfogalmazva: (i) összeg képe egyenl a képek összegével; (ii) konstansszoros képe egyenl a kép konstansszorosával; Megjegyzés. Az (i)-beli + jelek nem ugyanazt a m veletet jelölik, hasonlóan a skalárral való szorzás sem ugyanaz (ii)-ben. Megjegyzés. V 1 minden eleméhez egyértelm a kép, hiszen függvény. Megjegyzés. V 2 -beli elem sképe nem feltétlenül egyértelm és nem feltétlenül létezik (nem feltétlenül injektív, ill. szürjektív). Egyszer következmények Tétel. I. A0 1 = 0 2, ahol 0 i a V i vektortér nulleleme. (Nullvektor képe nullvektor) II. A( u) = (Au) Bizonyítás. I. Trükk: u = u =A() Au = A(u ) /linearitás a jobb oldalon Au = Au + A0 1 = Au

4 4 Au Au = (Au + A0 1 ) Au /komm. és asszoc. Au Au = (Au Au) + A0 1 /vektortérax. (V 2 -ben!) 0 2 = A0 1 = = A0 1 II. 0 2 = A0 1 = A(u + ( u)) = Au + A( u)= Au } Egyszer következmények Tétel. III. A( 1 u 1 + : : : + k u k ) = 1 Au 1 + : : : + k Au k. Bizonyítás. Speciálisan két tényez re az összefüggés:a(a + b) = A(a) + (b). Bizonyításban felhasználjuk a két axiómát: A(a + b) = A(a) + A(b) = A(a) + A(b) Következmény. Egy leképezés akkor és csak akkor lineáris, ha megtartja a kéttagú lineáris kombinációt, azaz A(a + b) = A(a) + A(b). Bizonyítás. A lineáris leképezések a tétel szerint megtartják a lineáris kombinációt. Fordítva, az összeg megkapható = 1; = 1-gyel, a skalárszoros pedig = c; = 0-ként. Megjegyzés. A következmény segítségével egy lendülettel ellen rízhet, hogy egy leképezés lineáris-e. Képtér, magtér Deníció. Legyen A lineáris leképezés V 1 -b l V 2 -be. A képtere: a képelemek halmaza. A magtere: a 0 2 -re képezett elemek halmaza. Jelölés: ImA = fy 2 V 2 j 9x 2 V 1 : Ax = yg = faxj x 2 V 1 g a képtér, KerA = fx 2 V 1 j Ax = 0 2 g. Tétel. ImA altér V 2 -ben, KerA altér V 1 -ben. Bizonyítás. Magtér: zárt-e az összeadásra és a skalárral való szorzásra? Egyszer bben: zárt-e a lineáris kombinációra? u; v 2 KerA )?u + v 2 KerA Au = Av = 0 )?A(u + v) = 0 A(u + v) = A(u) + A(v) = = 0 Képtér esetén hasonlóan. (HF) Példák } Példa. Legyen V 1 = V 2 a sík. Ekkor lineáris leképezés: origó körüli elforgatás: Ez egy injekció, azaz origó csak az origónak a képe, vagyis KerF = f0g. Mivel szürjekció is, minden pontnak van se, azaz ImF = V 2. vetítés az x-tengelyre: Az egész y-tengely az origóba megy, azaz KerV = f(; 0; y) j y 2 Rg. Az értékkészlet ImV = x-tengely.

5 deriválás: KerD: Milyen polinomok deriváltja a 0? ImD: Milyen polinomok kaphartóak meg deriválással? Tetsz leges V 1 és V 2 esetén V 1 minden elemének feleltessük meg a V 2 nullelemét. Ez a nulla leképezés jelölés: O. V 1 = V 2 = V és minden elem képe önmaga. Ez az identikus leképezés, id V. Izomorzmus Deníció. Izomorzmus: bijektív lineáris leképezés. V vektortér izomorf Z-vel, ha van V! Z izomorzmus. Jelölés: V = Z. Izomorf vektorterek a mi szempontunkból megkülönböztethetetlenek. Izomorzmus eldönthet a kép- és magtere alapján: Tétel. Az A : V 1! V 2 lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorzmus, ha KerA = f0g és ImA = V 2. Bizonyítás. ImA = V 2 pontosan azt jelenti, hogy V 2 minden eleme kép, azaz A szürjektív. KerA = f0g ) injektivitás: Tfh. Au = Av, következik-e, hogy u = v? A(u v) = Au Av = 0, tehát u v 2 KerA = f0g, így u = v. Fordítva, tfh. A injektív, és legyen u 2 KerA. Ekkor Au = 0 = A0, így az injektivitás miatt u = 0!, vagyis KerA = f0g. } Megjegyzés. f0g helyett az egyszer bb 0 jelölést használjuk. Izomorzmus Tétel. Az izomora ekvivalenciareláció, azaz V = V V = Z esetén Z = V V = Z és Z = W esetén V = W Bizonyítás. Identikus leképezés, izomorzmus inverze, izomorzmusok szorzata (összetett függvény)... } Mik az osztályok? Mivel azonosítható egy osztály? Mi az osztályok jellemz reprezentánsa? Sejtés: T n, az n-komponens vektortér a jellemz n-dimenziós vektortér. n-dimenziós vektorterek Tétel. Ha V a T test feletti n-dim. vektortér, akkor V = T n. Bizonyítás. Rendeljük egy u 2 V vektorhoz egy el re rögzített bázisban adódó koordinátáit. Ez a hozzárendelés izomorzmus: Legyen u 1 ; ; u 2 ; : : : ; u n egy bázis V -ben és legyen A : V! T n 1 u 1 + : : : + n u n 7! ( 1 ; : : : ; n ) Ez bijektív, hisz a ránézésre megadható az inverze. (Mi az?) 5 Továbbá lineáris leképezés is, ld. TÁBLA! }

6 6 Következmény. Két azonos dimenziós vektortés izomorf. Bizonyítás. Ha mindkett n-dimenziós, akkor mindkett izomorf T n -nel. A tranzitivitás miatt egymással is izomorfak. } Tehát az azonos dimenziós vektorterek egy osztályba esnek. Már csak azt kell belátni, hogy a különböz dimenziós vektorterek nem lehetnek izomorfak. Kontrapozícióval: Tétel. Ha két vektortér izomorf, akkor azonos dimenziósak. Bizonyítás. Tfh. U = V. Ekkor van egy A : U! V izomorzmus. Legyen u 1 ; : : : ; u n bázis U-ban, azt állítjuk, hogy Au 1 ; : : : ; Au n bázis V -ben. (Bázis képe bázis) Generátorrendszer: Legyen v 2 V. Szürjektivitás ) létezik u 2 U, hogy Au = v. A linearitása miatt Független: v = Au = A( 1 u 1 + : : : + n u n ) = 1 (Au 1 ) + : : : + n (Au n ): 1 (Au 1 ) + : : : + n (Au n ) = 0 ) A( 1 u 1 + : : : + n u n ) = 0 = A0: Az injektivitás miatt 1 u 1 + : : : + n u n = 0, s mivel u i -k függetlenek, 1 = : : : = n = 0. } Dimenziótétel Tétel. Legyen U véges dimenziós és V tetsz leges vektortér T test felett, A : U! V lineáris leképezés. Ekkor dim KerA + dim ImA = dimu: Bizonyítás. Legyen dim U = n; dim KerA = s. b 1 ; : : : ; b s bázis KerA-ban. Ezt kiegészítjük b s+1 ; : : : ; b n vektorokkal U bázisává. Állítjuk, hogy Ab s+1 ; : : : ; Ab n ImA bázisa lesz. Generátorrendszer: Ha Au egy tetsz leges elem ImA-ban, és u = 1 b 1 + : : : + n b n. Ekkor Au = A( 1 b 1 + : : : + n b n ) = 1 Ab 1 + : : : + n Ab n = s+1 Ab s+1 + : : : + n Ab n : Függetlenség: Tegyük fel, hogy s+1 Ab s+1 + : : : + n Ab n = 0. Ekkor A( s+1 b s+1 + : : : + n b n ) = 0, azaz x = s+1 b s+1 + : : : + n b n 2 KerA. Viszont így x felírható x = 1 b 1 + : : : + s b s alakban is. Tehát 1 b 1 + : : : + s b s s+1 b s+1 : : : n b n = 0 ami a b 1 ; : : : ; b n bázis volta miatt azt jelenti, hogy i = 0 minden i-re. } Következmény. Legyen A a véges dimenziós V vektortér lineáris transzformációja (önmagára való lineáris leképezése). Ekkor ImA = V, KerA = 0: Más szavakkal: egy lineáris transzformáció akkor és csak akkor injektív, ha szürjektív is. Lineáris leképezések szorzása Deníció. Legyenek U; V és W ugyanazon T test feletti vektorterek, A : V! W; B : U! V lineáris leképezések. A és B szorzata, másképpen kompozíciója: AB : U! W leképezés, melyre (AB)u = A(Bu). El ször a másodiknak írt B-t alkalmazzuk!! Ez ugyanaz a leképezésszorzás, mint els félévben, csak itt speciális leképezésekre használjuk. Teljesül a zártság a szorzásra: Tétel. Lineáris leképezések szorzata is lineáris leképezés.

7 7 Bizonyítás. HF. A linearitás szabadsági foka Az, hogy egy leképezés lineáris, nagyon er s megkötés. Tétel. Legyen b 1 ; : : : ; b n bázis az U vektortérben, valamint legyenek c 1 ; : : : ; c n tetsz leges elemek az ugyanazon test feletti V vektortérben. Ekkor pontosan egy olyan A : U! V lineáris leképezés létezik, melyre Tehát a lineáris leképezés egy rögzített bázis elemeinek képével jellemezhet. Bizonyítás. Egyértelm ség: Legyen u 2 U. Ekkor u = 1 b 1 + : : : + n b n egyértelm en. Ha (1) teljesül A-ra, akkor azaz Au egyértelm en meghatározott. Ab i = c i i = 1; 2; : : : ; n (1) Au = A( 1 b 1 + : : : + n b n ) = 1 c 1 + : : : + n c n ; Létezés: az a leképezés, ami egy u = 1 b 1 + : : : + n b n U-beli vektorhoz a 1 c 1 + : : : + n c n V -beli vektort rendeli, lineáris... } Lineáris leképezés mátrixa Egy lineáris leképezés megadható U-beli báziselemek képével. Ezek a V -beli képek felírhatók V -beli báziselemek lineáris kombinációiként. Ezeket az együtthatók egyértelm en meghatározzák. Deníció. Legyen U egy rögzített bázisa a 1 ; : : : ; a n, a V egy r gzített bázisa pedig b 1 ; : : : ; b k. Egy A : U! V lineáris leképezés a 1 ; : : : ; a n és b 1 ; : : : ; b k bázispár szerinti mátrixán azt a k n-es mátrixot értjük, amelyiknek j-ik oszlopában az Aa j vektornak a b 1 ; : : : ; b k bázis szerinti koordinátái állnak. Jele [A] a;b. Példa Példa. Az origó középpontú, szög forgatás mátrixa a standard bázisban: Példa. Az x-tengelyre való vetítés mátrixa: Példa. A legfeljebb harmadfokú polinomok terében a deriválás mátrixa: Lineáris leképezés mátrixa

8 8 Legyen Aa 1 = 11 b b 2 + : : : + k1 b k Aa 2 = 12 b b 2 + : : : + k2 b k. Ekkor Aa n = 1n b 1 + 2n b 2 + : : : + kn b k [A] a;b = : : : 1n : : : 2n... k1 k2 : : : kn 1 C A Vektor mátrixa Ahhoz, hogy a mátrix segítségével könnyedén tudjuk végrehajtani a lineáris leképezéseket, szükséges értelmezni egy vektor mátrixát. Deníció. Legyen c 1 ; : : : ; c r bázis a V vektortérben. Minden v 2 V vektor egyértelm en írható v = g 1 c 1 + : : : + g r c r alakban. A v vektornak a c 1 ; : : : ; c r bázis szerinti mátrixán (koordináta vektorán) a (oszlop)mátrixot értjük. Mátrix és leképezés [v] c = Tétel. Legyen az U bázisa a 1 ; : : : ; a n a V egy bázisa pedig b 1 ; : : : ; b k. Legyen A 2 Hom(U; V ) és v 2 U. Ekkor r 1 C A [Av] b = [A] a;b [v] a : A bázis a gyakorlatban általában a standard bázis. Egy korábbi tétel szerint tetsz leges mátrixhoz pontosan egy olyan lineáris leképezés létezik, aminek ez a mátrixa. A fenti tétel szerint ez éppen a mátrixszal való balrólszorzás. Ahhoz, hogy megállapítsuk egy leképezés linearitását, a következ t is tehetjük: 1. Felírjuk a "mátrixát" a báziselemek képei alapján. 2. Ellen rizzük, hogy a mátrixszal való szorzás az eredeti leképezést valósítja-e meg. Példák Lineáris leképezés-e az x-tengelyre való tükrözés? Az e 1 = (1; 0) képe önmaga, az e 2 = (0; 1) képe (0; 1). A képeket beírva egy mátrix oszlopaiba: T =

9 9 Ekkor egy tetsz leges vektor képe: T (x; y) = (x; y) =? Ez teljesül, azaz ez egy lineáris leképezés, a mátrixa pedig a fenti. Lineáris leképezések kompozíciója x y Tétel. Legyen az U bázisa a 1 ; : : : ; a n, a V egy bázisa b 1 ; : : : ; b k, W egy bázisa pedig c 1 ; : : : ; c r. Legyen továbbá A 2 Hom(V; W ); B 2 Hom(U; V ). Ekkor [AB] a;c = [A] b;c [B] a;b : Azaz a szorzatleképezés mátrixa a leképezések mátrixainak szorzata. Bizonyítás. Egy tetsz leges u 2 U vektor képe az AB leképezés mellett: (AB)(u) = A(B(u)) = A([B] a;b [u] a ) = [A] b;c ([B] a;b [u] a ) = ([A] b;c [B] a;b ) [u] a : Azaz az AB lineáris leképezést az [A] b;c [B] a;b mátrixxal való szorzás valósítja meg, tehát ez a leképezés mátrixa! } Összefoglalás Ezen az el adáson megismerkedtünk a lineáris leképezés fogalmával. Készen állunk arra, hogy a gyakorlaton eldöntsük egy leképezés linearitását akár a deníció alapján, akár a mátrixa segítségével. A képtér és a magtér egy új eszközt ad a kezünkbe az injektivitás és a szürjektivitás vizsgálatához, amit a dimenziótétel tesz teljessé. Megismerkedtünk az izomora fogalmával, és megtudtuk, hogy az izomora igen egyszer en, a dimenzió segítségével dönthet el. Megtanultuk, hogy a lineáris leképezést meghatározzák a báziselemek képei, azaz n-dimenziós értelmezési tartomány esetén egy lineáris leképezést elegend n független vektor képével megadni. Ennek alapján egyértelm en lehet kódolni egy lineáris leképezést egy mátrixban is, ehhez persze rögzíteni kell egy bázist mind az értelmezési tartományban, mind a képhalmazban. Ezek után a lineáris leképezés végrehajtása nagyon könny, egyszer en balról kell szorozni a mátrixszal a kérdéses vektort, illetve annak koordináta-mátrixát. Ellen rz kérdések 1. Mikor nevezünk egy leképezést lineárisnak, és mikor izomorzmusnak? 2. Mondjon egy geometriai transzformációt, ami lineáris, és egy olyat, ami nem. 3. Mi a lineáris leképezés képtere és magtere? 4. Mondja ki a vektorterek izomorájának szükséges és elegend feltételét! 5. Hogy kapjuk egy lineáris leképezés mátrixát? 6. Milyen összefüggés van egy L lineáris leképezés M mátrixa, és egy x vektor képe között? Megoldások Példa. 1. V (u + v)? =?V (u) + V (v) V (u + v) = V ((u 1 ; u 2 ) + (v 1 ; v 2 )) = V (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ) = (u 1 + v 1 ; 0) V (u) + V (v) = V (u 1 ; u 2 ) + V (v 1 ; v 2 ) = (u 1 ; 0) + (v 1 ; 0) = (u 1 + v 1 ; 0)

10 Példa. 2. Válasszuk a jobbra egy egységgel való eltolást: T (x 1 ; x 2 ) = (x 1 + 1; x 2 ) Legyen u = (1; 2); v = (2; 3). Ekkor T (u + valsznsgivltoz) = T (3; 5) = (4; 5) és T (u) + T (v) = (2; 2) + (3; 3) = (5; 5). A kett nem egyenl, azaz nem lineáris a leképezés. Példa. 3. Igen, lineáris leképezés: D(f + g) = (f + g) 0 és D(f ) + D(g) = f 0 + g 0, a kett egyenl. D(cf ) = (cf ) 0 illetve cd(f ) = cf 0, a kett egyenl. 10