Elemi átalakítások. Dr. Maróti György. valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal.
|
|
- Hunor Szilágyi
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Elemi átalakítások Dr. Maróti György Egyenletrendszerek helyett mátrixok Az elz témakörben számos egyenletrendszeren végeztünk ekvivalans átalakításokat. Emlékeztetül ezek két egyenlet felcserélése; valamelyik egyenlet beszorzása egy nullától különböz számmal. valamelyik egyenlet számszorosának hozzáadása egy másik egyenlethez. Ugyanakkor észrevehetjük, hogy az egyenlerendszerek átalakítása során csak az egyes egyenletekben lév együtthatókkal számoltunk. A változók hazsnálata valójában csak ahhoz kellett, hogy a megszokott "egyenlet alakot" megtarthassuk. Jogosan merül fel a gondolat, hogy számításainkat elegend lenne az együtthatókat tartalmazó téglalap alakú táblázaton, vagyis az egyenletben szerepl számokból álló mátrixon elvégezni. Tekintsük például az egyenletrendszert, és képezzük az együtthatóból és a szabad tagokból álló bvített mátrixot. Ezután végezzük el az egyenletrendszeren a már megismert átalakításokat úgy, hogy közben a bvített mátrix esetében megfogalmazzuk az analóg mveleteket. Egyenletrendszer Átalakítás Mátrix Átalakítás
2 Az els egyenletet kivonjuk a másodikból, háromszorosát a negyedikbl. A mátrix elemei úgy alakulnak át, hogy els sorának elemeit kivonjuk a második sor megfelel elemeibl, majd az els sorban lév elemek háromszorosait kivonjuk a negyedik sor megfelel elemeibl. A második és a harmadik egyenletet felcseréljük A mátrix úgyalakul át, hogy a második és harmadik sorát felcseréljük. A második egyenletet hozzáadjuk a negyedikhez A mátrix második sorának elemeit hozzáadjuk a negyedik soárnak megfelel elemeihez. A harmadik egyenletet kivonjuk a negyedikbl. A mátrix harmadik soránek elemeit kivonjuk a negyedik sor megfelel elemibl.
3 Definíció Az lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixán vagy csak röviden mátrixán illetve bvített mátrixán rendre a következ mátrixokat értjük,. Az egyenletbl álló ismeretlenes egyenletrendszer az együtthatómátrixa -es, míg a bvített mátrixnak eggyel több oszlopa van, így típusaa. Eszerint bármely egyenletrendszerhez hozzárendelhet egy -es mátrix, az bvített mátrixa. Másrészt bármely -es mátrix felfogható valamely egyenletrendszer bvített mátrixának. Valóban nem kell mást tennünk, mint a mátrix soraiban található balról jobb elemeket rendre - nel megszorozni, venni ezen szorzatok összegét és egyenlvé tenni a sor utolsó elemével. A kapott egynletrendszer bvített mátrixa a kiindulási mátrix. Például mátrixhoz a most ismeretetett eljárás a
4 egyenletrendszert rendeli, és ennek bvített mátrixa valóban a fenti kiindulási mátrix. Definíció Egy mátrix sorain elvégzett elemi átalakítások alatt az alabbi mveletek valamelyikét értjük. 1. Sorcsere. A mátrix két sorának felcserélése. 2. Beszorzás. A mátrix valamely sorának nem nulla számmal való szorzása, mely alatt azt értjük, hogy az adott sor elemeit azok számszorosával helyettesítjük. 3. Hozzáadás. A mátrix valamely sora számszorosának hozzáadása egy másik sorhoz. Ez azt jelenti, hogy valamely sor elemeit helyettesítjük önmagának és a másik sor megfelel eleme számszorosának összegével. Az -edik és -edik sor cseréje a következ képpen szemléltethet:. Az -edik sor konstanssal való beszorzása. Az -edik sorhoz az -edik sor -szeresének hozzáadása A kipontozott elemeket az egyes elemi átalakítások változalanul hagyják. Kidolgozott feladatok 1. Feladat
5 Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Sorcsere: az els és harmadik sor cseréje. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás. (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)
6 2. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást, kézi számolással és Mapleben is. Beszorzás: a második sor szorzása 3-mal. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.4) (1.1.5) (1.1.6)
7 (1.1.6) 3. Feladat Tekintsük a mátrixot és hajtsuk végre az alábbi elemi átalakítást kézi számolással és Mapleben is. Hozzáadás: a második sor háromszorosának hozzásadása a harmadik sorhoz. A kapott mátrixot alakítsuk is vissza elemi átalkakítással a kiindulás mátrixszá. Megoldás (1.1.7) (1.1.8)
8 (1.1.9) A kidolgozott feladatok alapján világos, hogy mindegyik elemi transzformáció "megfordítható", abban az értelemben, hogy az elemi átalakítás eredményeként keletkezó mátrix alkalmas elemi átalakítással visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Ebbl az is következik, hogy ha valamely mátrixra elemi átalakítások egy sorozatát alkalmazzuk, akkor a kapott mátix ugyancsak visszaalakítható az eredeti mátrixszá. Nem kell ugyanis mást tennünk, mint az alkalmazott elemi átalakítások "megfordításait" fordított sorrendebn alkalmazni. A kapott eredmény fontos számunkra, így tétel formájábanis kimondjuk. Tétel Ha a mátrix az mátrixból elemi átalakításokkal keletkezik, akkor is megkapható -bl elemi átalakítássokkal.v Eléggé nyilvánvaló, hogy az egyenletek ekvialens átalakításai és a mátrixok elemi átalakítássai párba állíthatók. Az egyenletek cseréje megfelel a sorcserének, az egyenlet beszorzása megfelel a beszozásnak, míg az egyik egyenlet számszorosának hozzáadása a másik egyenlethez megfelel a hozzáadás elemi átalakításnak. Az is világos, hogy ha egy egyenletrendszernek veszzük a bvített mátrixát, majd ezen elemi átalakításokat végzünk, végül a felírjuk a kapott mátrixhoz tartozó egyenletendszert, akkor olyan egyenletrndszerhez jutunk, ami a kiindulási egyenletrendszerbl ekvivalens átalakítokkal megkapható, és mint ilyen az eredetivel ekvivalens. A fenti ábra élei fordított írányban is bejárhatók. Ha kiindulunk egy mátrixból (legyen legelább két
9 oszlopa), és veszzük a hozzá tartotó egyenletrendszert, majd ezen ekvivalens átalakításokat végzünk, végül a kapott egyenletrendszernek vesszük a bvített mátrixát, akkor olyan mátrixhoz jutunk, ami a kiindulási mátrixból elemi átalakítássokal nyerhet. Ez a két észrevétel feljogosít bennünket arra, hogy az egynletrendszereket és zon bvítet mátrixait egyenrangúnak tekintsünk, és gondolatmenetünk során bármikor áttérjünk egyik fogalomról a másikra. Ez nagyon kellemes lehetség, ugyanis a számításokat, átalakításokat könnyebb és nem utolsó rövidebb mátrixokon elvégezni, a megoldások meghatározása során azonban elnyösebb az egynletrendszeres alakkal dolgozni. Lépcss alak Definíció Az mátrix -edik sorában lév balról számított legels nem nulla elemet az -edik sor felemének, idegen szóval pivot elemnek nevezzük.7 Világos, hogy ha egy mátrix -edik sorában van nullától különböz elem akkor van felem is abban sorban. Ugyanakkor csupa nullát tartalmazó sorokban nincs felem.a felem segítégével bevezethetjük a mátrix lépcss alakjának fogalmát. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix lépcss alakú, ha eleget tesz az alábbi két feltételnek. 1. Felemet nem tartalmazó sor alatti sorban sincs felem. 2. Bármely két egymás utáni felemet tartalmazó sorban az alsó sor feleme a felette lév sor felemétl jobbra helyezkedik el. A felemet nem tartalmazó sorok csupa nullából állnak. Ugyanis ha egy sorban van nullátó különböz elem, akkor ezek közül kiválaszthatjuk a bal szélst, ami az adott or feleme lesz. A definíció 1. pontja tehát azt kövelteli meg, hogy ha egy sorban csupa nulla áll, akkor az alatta lév összes sorban is csak nullák szerepelhetnek. Így tehát ha egyáltalán vannak a mátrixban nulla sorok,
10 akkor azok a mátrix "alján" helyezkednek el, kissé szabatosabban azok a mátrix utolsó sorai. A definíció 2. pontja pedig szemléletesen azt követeli meg, hogy ha két egymás alatti sor mindegyikében van felem, akkor a felül lév sor elején kevesebb nulla áll, mint az alul lév sor elején. Ugyanis a fels sor feleme alatt szükségképpen nulla van. Például az alábbi -es mátrixok mindegyike lépcss alakú:,,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 Bizonyítás A bizonyítást a mátrix sorainak száma szerinti teljes indukcióval végezzük. Tekintsünk az mátrixot, melynek sora van. Mivel minden egy soros mátrix lépcss alakú, így állításunk esetén teljesül. Tegyük fel hogy állításunk soros mátrixokra teljesül és tekintsünk az melynek sora van. Ha nullmátrix, akkor készen vagyunk, hiszen minden nullmátrix lépcss alakú. Ellenkez esetben válasszuk ki -nak a legels nem nulla oszlopát, legyen ez a -adik. Ebben kell lennie olyan sornak, amelyben van nullától különböz elem (ami egyben felem is). Cseréljük fel ezt a sort az els sorral. Ezzel egy elemi átalakítással elértük, hogy a mátrix els sorában van felem. Mátrixunk alakja tehát ahol. Ezután az els sor -szorosát vonjuk a ki a második sorból, és így tovább az -szorosát vonjuk a ki az ( -edik sorból. Ezekkel az elemi átalakításokkal elérjük, hogy mátrixunk
11 alakot ölt. Ha az els sor elhagyásával keletkez mátrix már lépcs alakú, akkor készen vagyunk, ugyanis ekkor a teljes mátrix is lépcss alakú. Ellenkez esetben folytassuk lépcs alakra hozást olyan elemi átalakításokkal, amelyek az els sort nem érintik. Az ilyen átalakításokat egyben a mátrix elemi átalakításai is és viszont.ez a mátrix pedig, mivel miatt elemi átalakításokkal lépcss alakra hozható.7 sora van, az indukciós feltevés Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás 2. Feladat Hozzuk lépcss alakra a mátrixot. Megoldás
12 3. Feladat Hozzuk lépcss alakra az mátrixot. Megoldás
13 4. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás A Maple csomagjának alcsomagja tartalmazza a számunkra szükséges parancsokat. Annak érdekében, hogy az eljárások rövid neveit hazsnálhassuk, kiadjuk a Az utasítás outputját letiltottuk. Hozzuk létre a feladatban szerepl mátrixot, és hajtsuk végre a MultiplyRow eljárást. Ennek els paramétere a mátrix, amelynek valamelyik beszorozni kívánjuk, második paramétere a sor indexe a harmadik pedig a konstans, amivel szorzunk. (2.2.1) (2.2.2)
14 (2.2.2) A kiadott parancs, mint az annak outputja is mutatja, beszorozta a mátrix els sorát -del. Ezután az els sor háromszorosát akarjuk kivonni a második sorból. Itt azonban legyünk résen! A Maple csak az AddRow eljárást kínálja, tehát valamely sor számszorosának hozzáadását tudjuk elvégezni. Persze megijedni nem kell, hiszen az els sor 3-szorosának kivonását elvégezhetjük a (-3)- szorosának hozzáadásával. (2.2.3) Az els paraméter maga a mátrix, a második az a sorindex, amihez hozzáadunk, a harmadik paraméter az a sorindex, aminek számszorosát hozzáadjuk, végül a negyedik a konstans, amivel szorzunk. A feladat befejezése ezekután már nem okozhat gondot. (2.2.4) 5. Feladat Hozzuk lépcss alakra Maple parancsok segítségéval a mátrixot. Megoldás
15 (2.2.5) for j from 2 to 5 do A:=AddRow(A,j,1,-A[j,1]/A[1,1]) od: A; (2.2.6) i:=2: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.7) i:=3: for j from i+1 to 5 do A:=AddRow(A,j,i,-A[j,i]/A[i,i]) od: A; (2.2.8)
16 (2.2.8) Redukált lépcss alak Egy mátrix lépcss alakja nincs egyértelkmen meghatározva, másszóval egy mátrixnak több lépcs alakja is lehet. Ha szeretnénk elérni az egyértelmséget, akkor további kikötést kell tennünk a lépcss alakra. Definíció Azt mondjuk, hogy az mátrix redukált lépcss alakú, ha 1. Lépcss alakú; 2. Minden felem A felemek oszlopaiban a felem az egyetlen nullátó különböz.7 Az alábbi -es mátrixok mindegyike redukált lépcss alakú:,,,, Tétel Bármely mátrix elemi átalakításokkal redukált lépcs alakra hozható.7 Bizonyítás Azt már látuk, hogy minden mátrix lépcss alakra hozható elemi átalakításokkal. Így csak arra kell rámutatni, hogy a lépcss alakból elemi átalakításokkal redukált lépcs alak nyerhet.
17 Tegyük fel, hogy az mátrix lépcss alakú. Minden olyan sort amelyben van felem szorozzunk be a felem reciprokával. Ezzel elértük, hogy minden felem 1, miközben nem rontottuk el a mátrix lépcssalakját sem. Végül soronként felülrl lefelé haladva minden sorra a benne található felem oszlopában nullázzuk ki (elimináljuk) a felem feletti elemeket. Könny elképzelni, hogy egy mátrix nem csak egyféle módon hozható lépcs alakra.ugyanis például ha egy lépcss alakot, melyben van felem, valamely számmal szorzunk, akkor új lépcss alakot kapunk. Ebbl azonnal következik, hogy egy mátrix végtelen sokféle képpen hozható lépcss alakra, és a lépcss alakra hozások végeredménye is végtelen sokféle lehet. A redukált lépcss alak azonban másként viselkedik. Tekintsül például a mátrixot, és hozzuk két különböz módon redukált lépcss alakra.
18 Bár két különböz átalakítássorozatot hajtottunk végre, mégis ugyanarra az eredményre jutottunk. Vajon véletlen-e ez? A választ a következ tétel adja meg, mely szerint akármilyen elemi átalakítás sorozat végén jutunk el a redukált lépcs alakhoz, mindíg ugyanarra az eredményre jutunk. Tétel Bármely mátrix redukált lépcs alakja egyértelmen meghatározott.7 Bizonyítás A bizonyítást négy észrevétellel kezdjük. 1. Észrevétel Az elemi átalakítások a mátix nulloszlopát nem változtatják meg, tehát a nulla oszlop bármelyik átalakítás után is nulla oszlop marad. 2. Észrevétel Redukált lépcss alakú mátrixból egy oszlopot elhagyva, redukált lépcss alakú mátrixot kapunk. 3. Észrevétel Legyen tetszleges mátrix, és legyen az (egyik) redukált alakja. Ekkor meghapható -ból elemei átalakítások egy sorozatával. Hagyjuk el mindkét mátrixból a -edik oszlopot. Akkor a keletkez mátrixból az mátrix ugyanazzal a elemi átalakítás sorozattal képezhet. 4. Észrevétel Ha az mátrixnak egy oszlopa van, tehát -es, akkor redukált lépcss alakja vagy. Valóban, az egyoszlopos nullmátrix redukált lépcssalakú, ha pedig az oszlopvektornak van nullától különböz eleme, akkor elemi átalakításokkal alakra hozható. És most rátérünk a tétel igazolásársa. Legyen az mátrix -es, a mátrix oszlopszáma, vagyis szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy redukált lépcss alakja egyértelmen meghatározott.
19 Tegyük fel, hogy. Ekkor redukált alakja egyértelmen meghatározott a 4. Észrevétel szerint. Tehát az állításunk esetén teljesül. Ezután tegyük fel, hogy állításunk -re teljesül, és tekintsük az -es mátrixot, és tegyük fel, hogy az és mátrixok mindegyike megkapcsható -ból elemi átalakításokkal, és mindkett redukált lépcss alakú. Ha van -nak csupa nullából álló oszlopa, mondjuk a -edik, akkor az 1. Észrevétel miatt és - edik oszlopa is csupa nullából áll. Hagyjuk el mindhárom mátrixból a -edik oszlopot, és jelöljük a keletkez mátrixokat rendre és -vel. A 3. Észrevétel szerint és az -bl nyerhet elemi átalakítások egy sorozatával, továbbá a 2. Észrevétel szerint mindkett redukált lépcss alakú. Ugyanakkor -nek oszlopa van (egy oszlopos mátrixbó oszlopelhagyással keletkezett), így rá alkalmazható az indukciós feltetevés, miszerint redukált alakja egyértelm. Kaptuk, hogy. De ekkor is teljesül, hiszen ezek úgy jönnek létre, hogy az és mátrixba ugyanazt az oszlopot (ami csupa nullaból áll) beszúrjuk ugyanarra a helyre (a -eik oszlop mögé). Nézzük azt az esetét, amikor -nak nincs csupa nullából álló oszlopa, akkor ez igaz az és mátrixokra is. Ugyanis, ha pl. pl. -nek valamelyik oszlopa nulloszlop lenne, akkor mivel is megkapható R-bl elemi átalakítások egy sorozatával, így -nak is lenne nulloszlopa. Ez pedig lehetetlen. Tehát sem -nek, sem pedig -nek nincs nulloszlopa. Ekkor viszont mindkett els oszlopában van felem (ami ráadásul 1). Ez a felem pedig nem lehet máshol csak az els sorban. Ugyanis, ha akármelyik másik sorban lenne, akkor akkor els sor els elem is nulla lenne, ugyanis felem felett csak 0 állhat. És mivel az összes többi sorban is van felem, így az els sor többi elemi is nulla lenne, ami ellentmond annak, hogy a redukált lépcss alakban a csupa nulla sorok a mátrix alján helyezkednek el. Kaptuk tehát, hogy. Mindkét mátrixban a felem alatt csak nullák állnak, így kijelenthetjük, hogy az és mátrixok els oszlopa azonos. Innentl kezdve már ismert a gondolatmenet. Elhagyjuk az els oszlopot az és, mátrixokból. A keletkez mátrixnak eggyel kevesebb oszlopa van, mint -nak, és belle 3. Észrevétel miatt az és redukált lépcss alakú mátrixok (ld. 2. Észrevétel) elemi átalakítással megkaphatók. Az indukciós feltevés miatt. Így ha ezeket kiegészítjük az oszlopvektorral, akkor rendre az ill. mátixokhoz jutunk. Ezzel nyertük, hogy. A bizonyítás kész.v Kidolgozot feladatok 1. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás
20 A feladatban szerpl mátrix már lépcss alakú. Így el kell érnünk, hogy a felemek 1-esek legyenek, és hogy a felemek felett csak nullá szerepeljenek. 2. Feladat Hozzuk redukált lépcss alakra a mátrixot. Megoldás Ez a mátrix is lépcss alakú. 3. Feladat Oldjuk meg az elz feladato Maple-ben!
21 Megoldás (3.3.1) (3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) (3.3.5)
22 Elemi mátrixok Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy milyen mátrixokat eredményeznek az elemi átalakítások akkor, ha azokat az egységmátrixra hajtjuk végre. Emlékeztetül az egységmátrix olyan diagonális mátrix, melynek fátlójában 1-esek állnak. Az egységmátrix a mátrix szorzás egységeleme, ugyanis egy mátrixot akár jobbról, akár balról egységmátrixszal szorzunk eredményül a kiindulási mátrixot kapjuk. (4.1) (4.2) (4.3) Az elemi átalakítások hatásait az egységmátrixra könny megmondani. Beszorzás. Ha az egységmátrix egy sorát a nem nulla konstanssal szorozzuk, akkor akkor annak a sornak a fátlójában lév 1-es -re változik. (4.4) (4.5)
23 (4.5) (4.6) Látjuk, hogy az átalakított egységmátrix azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy ha vele balról szorzunk egy mátrixot, akkor a szorzatmátrix az eredetibl az els sor -vel való szorzásával keletkezik. Könny meggyzdni arról, hogy ez a tulajdonság az egységmátrix többi sorára is érvényben marad. Megállapíthatjuk tehát, hogy ha az egységmátrix -edik sorát egy számmal szorozzuk, akkor olyan elemi mátrixot kapunk, amelyre a mátrix -ból úgy keletkezik, hogy annak -edik sorát -vel beszorozzuk. Hozzáadás. Adjuk hozzá az egységmátrix els sorát a másodikhoz, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.7) (4.8) Kellemes meglepetésünkre azt tapasztaljuk, hogy most az szorzatmátrix az -ból az els sor - szerének a harmadikhoz való hozzáadásával, vagyis ugyanazzal az elemi átalakítással, amelyet az egységmátrixon végeztünk. Célszer azonban ezt az észrvételt általánosan is rögzíteni. Észrevétel Az az elemi mátrix, amely az i-edik sorhoz a j-edik sor -szeresének hozzáadását végzi, az egységmátrixból úgy keletkezik, hogy abban az -edik sor -edik elemét -re változtatjuk.
24 Sorcsere. Cseréljük fel az egységmátrix els sorát a másodikkal, és a keletkez mátrixszal szorozzuk meg balról az mátrixot. (4.9) (4.10) Az eddigi tapasztalt tulajdonság most is érvényes: a szorzatmátrix -ból az els és második sor cseréjével keletkezik. Azt tapasztaltuk tehát, hogy az elemi átalakításokat el tudjuk végezni úgy, hogy a mátrixot alkalmas elemi mátrixszal balról megszororozzuk. És hogy könny legyen megjegyezni azt, hogy mivel kell balról szorozni kell, azt a mátrixot az egységmátrixból állíthatjuk el ugyanazzal az elemi átalakítással. Tétel Legyen olyan mátrix, ami az egyégmátrixból elemi átalakítással keletkezett. Ekkor tetszleges mátrixra az szorzat az -ból ugyanazzal az elemi átalakítással áll el, mint az egységmátixból. A tétel jelentsége inkább elmélti, mintsem gyakorlati. Értelmezhetnénk persze a tétel eredményét úgy, hogy az egy elemi átalakítás elvégzésének feladatát visszavezettük ugyanennek az elemi átalakításnak az egységmátrixon való elvégzésére és a mátrixsszorzás végrehajzására. Ez azonban csak nehezítené a gyakorlati számításainkat a mátrixszorzás bonyolultsága miatt. Haszna annak van, hogy az elemi átalakítások vizsgálatában mátrixalgebrai eszközöket vethetünk be. Mátrix inverzének meghatározása Vizsgáljuk meg az elemi mátrixok inverzeit (ha léteznek). (5.1)
25 (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) (5.6) (5.7) (5.8)
26 (5.8) (5.9) Tétel Az elemi mátrixok invertálhatók Tekintsünk egy -es mátrixot, tegyük fel hogy elemi átalakítások sorozatával egységmátrixszá alakítható. Az els elemi átalakítás eredménye legyen. A mádosik átalakítást már erre a mátrixra hatjuk végre, így annak eredménye Ha eljárásunk lépésbl áll, akkor annak végrehajtása után azt írhatjuk, hogy Mit modhatunk a mátrixról? Ennek -val való szorzata az egységmátrix, ami azt jelenti, hogy ez a mátrix nem más, mint inverze, tehát amit... alakba is írhatunk, hiszen az egységmárix. Ez az egyenlség pedig úgy értelmezhet, hogy ha az egyságmátrixra végrehajtjtjuk ugyanazokat az elemi átalakításokat, amelyek az mátrixot egységmátrixszá alakítják, akkor megkapjuk az inverzét. Annak érdekében, hogy ne kelljen külön elvégezni az egységmátrixszá alakítását, aztán minden egyen elemi átalakítást feljegyzni, mégpedig sorrendben, hogy azután ugyanazokat az elemi átalakításokat elvégezhessük az egységmátrixszon, azt a megoldást választjuk, hogy párhuzamosan végezzük el az elemi átalakításokat egyidajleg az mátrixon is az egységmátrixon. Ezt pedig úgy érjük el, az mátrixot kiagászítjük egy egységmátrix oszlopaival, a keletkez mátrixot alakítjuk redukált lépcs alakká. Megjegyzzük, hogy ha -nak létezik az inverze, akkor a redukált lépcss
27 alakja az egységmátrix. Kidolgozott feladatok 1. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét. Megoldás Egészítsük ki az oszlopait az egységmátrixszal, és alakítsuk redukált lépcss alakra.. Az inverz mátrix az eredmény harmadik és negyedik oszlopában található. Hogy valóban inverz mátrixszal állunk szemben, arról meg. szorat kiszámításával gyzdhetünk. = =. 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.1) (5.1.2)
28 (5.1.2) (5.1.3) (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7)
29 (5.1.8) (5.1.9) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. Megoldás (5.1.10) (5.1.11) (5.1.12)
30 (5.1.12) (5.1.13) (5.1.14) 2. Feladat Számítsuk ki az A= mátrix inverzét Mapleben. (5.1.15) (5.1.16)
31 (5.1.16) (5.1.17) (5.1.18) (5.1.19) Gyakorló feladatok 1. Igaz-e, hogy minden lépcss alakú mátrix, valamely egyenletrendszer mátixának lépcss alakja? 2. Igaz-e, hogy minden redukált lépcss alakú mátrix valamely egyenletrendszer mátixának redukált lépcss alakja? 3. Mutassuk meg, hogy ha az mátix elemi átalakításokkal a mátrixxá alakítható, akkor az mátrix is megkapható mátrix ból elemi átalakításokkal. 4. Milyen mátrixot kapunk, ha az -as mátrixot balról megszorozzuk az mátrixszal? És ha jobbról szorozzuk?
32 5. Adjunk meg olyan mátrixot, amivel az -as mátrixot balról megszorozva "elvégzi" az A els sorának c-vel való beszorzását. Adjuk meg ugyan ezt a harmadik sorra is. 6. Adjuk meg a mátrixokat, melyekkel balról szorozva elállítható az elemi általakítások (3x3-as mátrixokra).
Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenDETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.
DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenAz 1. forduló feladatainak megoldása
Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenSzámelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa
Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz
RészletesebbenFeladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenMátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenLINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL
LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenEgész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...
Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenSzöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?
148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
Részletesebbenvektor, hiszen ez nem skalárszorosa
Általános alaelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK ótzh ontozási útmutató 7. december. A ontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL. 1. Paramétert nem tartalmazó eset
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL 1.Példa: Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszert: 1. Paramétert nem tartalmazó eset x 1 + 3x 2-2x 3 = 2-2x 1-5x 2 + 4x 3 = 0 3x 1
RészletesebbenTanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása. 5), akkor
Integrálszámítás Integrálási szabályok Tanulási cél Szorzatfüggvényekre vonatkozó integrálási technikák megismerése és különböző típusokra való alkalmazása Motivációs feladat Valószínűség-számításnál találkozhatunk
RészletesebbenEGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍTÓGÉP-HASZNÁLAT LEHETŐSÉGE A LINEÁRIS ALGEBRA ÉS AZ OPERÁCIÓKUTATÁS ALAPJAINAK OKTATÁSÁBAN " Simplicitassigillum veri"
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMinden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
Részletesebben