1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
|
|
- Jázmin Fodor
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet a 22 -vel a másodikat a 12 -vel: a 11 a 22 x 1 +a 12 a 22 x 2 = b 1 a 22 a 21 a 12 x 1 +a 22 a 12 x 2 = b 2 a 12, majd vonjuk ki az első egyenletetből a másodikat: azaz Hasonlóan: a 11 a 22 a 12 a 21 x 1 = b 1 a 22 b 2 a 12, x 1 = b 1a 22 b 2 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 x 2 = b 2a 11 b 2 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 Ha az alábbi három ismeretlenes egyenletrendszert tekintjük: a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1 x = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 2 = b 2 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 2 x = b Ekkor egy hasonló, de lényegesen hosszabb számolás adja: ahol x 1 = p q, p = b 1 a 22 a + b a 12 a 2 + b 2 a 1 a 2 b a 1 a 22 b 1 a 2 a 2 b 2 a 12 a q = a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a Hasonló képlet adható x 2, x -ra Próbáljuk megérteni a nevezőket! A kétismeretlenes egyenletrendszerben a kéttagú összegek: a 11 a 22 a 12 a 21 A háromismeretlenes egyenletrendszerben a háromtagú összegek: a 11 a 22 a a 12 a 2 a 1 a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a Látjuk, hogy egy szorzatban az indexek első számai az 1, 2 ill 1, 2,, a második számokban pedig az 1, 2 ill 1, 2, számok összes permutációja jelenik meg Igy termzetes azt gondolnunk, hogy az a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n = b n egyenletrendszer megoldásánál az x i nevezőjében olyan n tényezős szorzatok jelennek meg, ahol az indexben az első számok: 1, 2,, n a második számokban az 1, 2,, n számok összes lehetséges permutációi szerepelnek Még meg kell értenünk a szorzatok előjelét Ehhez az inverziószám fogalmára van szükségünk 1 definíció Legyen az 1, 2,, n számok egy permutációja σ1, σ2,, σn Ekkor ebben a permutációban azon párok számát, ahol az előbbre lévő nagyobb mint a hátrébb lévő a permutáció inverziószámának hívjuk Jelöl: Iσ Például: Két szám eseten: Három szám esetén: I1, 2 = 0 I2, 1 = 1 I1, 2, = 0 I2,, 1 = 2 I, 1, 2 = 2 I, 2, 1 = I1,, 2 = 1 I2, 1, = 1 Látjuk azt, hogy a nevezőken + áll ha a 1σ1 a 2σ2 a nσn esetén Iσ az inverziószám páros szám szám, ha az Iσ páratlan, tehát n = 2 esetén az szorzat előjele: a 1σ1 a 2σ2 a nσn 1 Iσ Ezek alapján termzetes az alábbi definíció: 1
2 2 definíció Egy A = a ij n n mátrix determinánsa: deta = σ 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn, ahol az összegz az 1, 2,, n összes permutációjára vonatkozik Egy másik jelöl: deta = Példák: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 1 Egy 2 2-es mátrix determinánsát úgy számoljuk ki, hogy a főátlóban lévő elemeket összeszorozzuk kivonjuk ebből a mellékátlóban lévő elemeket szorzatát: = = 26 2 Egy -as determinánst a legegyszerűbb az ún Sarrus-szabállyal kiszámolni Ehhez a -as determinánst leírása után ismételjük meg az első két oszlopot formáljunk az átlósan elhelyezkedő számokból -tagú szorzatokat Ezeket adjuk össze oly módon, hogy a balról, fentről jobbra lefelé elhelyezkedő számok szorzatait +-szal a többieket -szal vesszük tekintetbe = = 106 Legyen A egy ún n n-es felső háromszögmátrix, azaz olyan mátrix, ahol a főátló alatt 0-k szerepelnek Ekkor a 11 a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 0 a a n = a nn 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn σ Nézzük meg, hogy ez a szumma milyen nem nulla szorzatokat tartalmaz! Az a nσn 0 csak akkor lehet, ha σn = n A a nσn 1 0 csak akkor lehet, ha σn 1 = n 1 vagy n Mivel σn = n, ezért σn 1 = n 1 Hasonlóan kapjuk, hogy σi = i minden 1 i n esetén Azaz csak egy összeggel kell számolnunk: az a 11 a 22 a nn -nel Mivel az I1, 2,, n = 0, ezért az előjel + lesz, így a 11 a 12 a 1 a 1n 0 a 22 a 2 a 2n 0 0 a a n = a 11 a 22 a nn a nn Az utolsó példa azért jelentős, mert a Gauss-elimináció során minden n n-es mátrix ilyen alakra hozható Így a következőkben azzal foglalkoznunk, hogy megértsük, hogy a Gauss-elimináció során alkalmazott sorműveletek milyen hatással vannak a determinánsra Példák: Legyen Ekkor A = deta = 10 1 Sorcsere: = 10, azaz a determináns a 1-szeresére változott 2 c 0-val való szorzás: Szorozzuk meg a második sort -mal: = 0, azaz a determináns szintén -szorosára nőtt Egy sorhoz adjuk hozzá egy másik sor c-szeresét: Adjuk például az első sorhoz a második sor dupláját: = 10, azaz a determináns értéke nem változott A fent látott tulajdonságok általában is igazak: 1 tétel 1 Ha egy n n-es mátrixban sorcserét hajtunk végre, akkor a determináns értéke 1-gyel szorzódik 2 Ha egy n n-es mátrixban egy sort beszorzunk egy c számmal, akkor a determináns is c-vel szorzódik Ha egy n n-es mátrixban egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor c-szeresét, akkor determináns nem változik Példa: Határozza meg az
3 determináns értékét! Megoldás: Emeljünk ki -at az első sorból: 6 9 = Adjuk hozzá az első sort a második negyedik sorhoz vonjuk ki a harmadik sorból az első sort: = Cseréjük fel a második harmadik sort: = Vonjuk ki a harmadik sorból a második sor dupláját: = Cseréljük meg a harmadik negyedik sort: = Vonjuk ki a negyedik sorból a harmadik sor hatszorosát: = = A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy a mátrixműveletek a determinánsokkal mit csinálnak Legyen Ekkor A = deta = 2, B = B = 11 Nyilván deta T = = 2 = deta, deta + B = = 50 deta + detb detab = 7 5 = 22 = detadetb, deta 1 = 2 1 = 1 2 = 1 deta A fent látott összefüggek általában is igazak: 2 tétel Legyen A = a ij n n B = b ij n n Ekkor 1 deta T = deta, 2 detab = detadetb, ha A invertálható, akkor deta 1 = 1 deta A determináns fogalmával már teljesen le lehet írni azokat a négyzetes mátrixokat, amelyek invertálhatók: tétel Egy A = a ij n n mátrix akkor csak akkor invertálható, ha deta 0 Bizonyítás: Tegyük fel, hogy A = a ij n n egy invertálható mátrix Ekkor létezik A 1 n n-es mátrix, hogy AA 1 = I n Ezért ezért 1 = I n = detaa 1 = detadeta 1, det A 0 Most tegyük fel, hogy deta 0 Alkalmazzuk deta-ra a Gauss-Jordan eliminációt Ekkor az eredmény vagy az I n egységmátrix vagy egy olyan mátrix, amelynek utolsó sorában csupa 0 van Nézzük meg, hogy a Gauss-Jordan elimináció során alkalmazott lépeknél a determináns hogyan változik! Sorcserénél a determináns -1-szeresre változik; ha egy sort c 0 számmal szorzunk, akkor a determináns is c-vel szorzódik ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor c-szeresét, akkor nem változik a determináns értéke Ezért ha olyan n n-es mátrixból indulunk ki, ahol a determináns nem-nulla, akkor a Gauss-Jordan eliminációval kapott mátrix determinánsa sem nulla Ezért nem lehet, hogy a fenti A mátrix esetén a Gauss-Jordan-elimináció olyan mátrixot eredményezzen, ahol az utolsó sorban 0-k vannak, mert akkor a determináns 0 lenne Így a Gauss- Jordan elimináció az I n egységmátrixot szolgáltatja, tehát a korábban megismert algoritmussal meghatározhatjuk A 1 -t, tehát létezik az inverz A következőkben a determins egy másik kiszámítási módját mutatjuk be Az A = a ij n n mátrix determinánsa: deta = σ 1 Iσ a 1σ1 a 2σ2 a nσn, ezért látjuk, hogy egy rögzített a ij szám olyan szorzatokban szerepel, ahol a tagok abból a mátrixból jönnek, amit
4 A = a ij n n mátrix i-edik sorának j-edik oszlopának elhagyásával kapunk Jelölje ennek determinánsát M ij Nézzük meg, hogy hogyan számítható ki ez alapján egy -as mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a = a 11 a 22 a + a 12 a 2 a 1 + a 1 a 21 a 2 a 1 a 22 a 1 a 11 a 2 a 2 a 12 a 21 a = a 11 a 22 a a 2 a 2 + a 12 a 2 a 1 a 21 a + a 1 a 21 a 2 a 22 a 1 = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 1 M 1 Érdemes bevezetni az előjeles aldetermináns fogalmát: Eszerint a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a C ij = 1 i+j M ij = a 11C 11 + a 12 C 12 + a 1 C 1 Ezt az zrevételt általánosítja a kifejti tétel: 4 tétel Legyen A = a ij n n, jelölje C ij az előjeles aldeterminánsokat Ekkor minden 1 i n esetén det A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in minden 1 j n esetén det A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj Az első képletet használatánál azt mondjuk, hogy az i- edik sor szerint fejtjük ki a determinánst, míg a második képletet használva a szóhasználat az, hogy a j-edik oszlop szerint fejtünk ki Mindig olyan sor vagy oszlop szerint érdemes kifejteni, amelyik a lehető legtöbb 0-t tartalmazza, mert így a lehető legtöbb olyan szorzat lesz, ahol az egyik tényező 0, tehát ezeket le sem kell írni Példa: Számítsuk ki az determináns értékét! Megoldás: A második sor szerint érdemes kifejteni Ekkor a 1 i+j előjelet legegyszerűbb az ún sakktáblaszabály szerint felírni, balodalt felül + jel van, egy sorban felváltva vannak + jelek, két egymás utáni sorban eggyel elcsusztatva vannak a + -ok Eszerint = = E két determinánst most megint kifejtjük, mondjuk az első sor szerint: = = így = = = 0, = = = 45 A kifejti tétel egy kis módosításával jutunk a ferde kifejti tételhez: 5 tétel Legyen A = a ij n n, jelölje C ij az előjeles aldeterminánsokat Ekkor minden 1 i n minden 1 j n esetén ha i j, akkor a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0 A kifejti a ferde kifejti tétel lehetőséget ad arra, hogy invertálható mátrix esetén az inverzet felírjuk Ehhez szükség van az adjungált mátrix definíciójára: definíció Az A = a ij n n mátrix adjungált mátrixát úgy kapjuk, hogy minden komponens helyett vesszük a hozzá tartozó előjeles aldetermináns, majd ezt transzponáljuk a főállóra tükrözzük Tömören: adja = C ji n n 6 tétel Ha A = a ij n n egy invertélható mátrix, akkor A 1 = 1 det A adja 4
5 Bizonyítás: Az inverz definíciója szerint azt kell megmutatni, hogy 1 A det A adja = I n, azaz AadjA = det AI n = det A det A det A det A Vegyük a AadjA szorzatot A szorzat i-edik sorának j-edik oszlopának eleme { det A, ha i = j a i1 C j1 + a i2 C j2 + + a in C jn = 0, ha i j a kifeti ferde kifejti tétel szerint Ez bizonyítja a tételt Példa: Határozza meg az 5 2 A = 2 mátrix inverzét! Megoldás: Könnyen látszik, hogy M 11 =, M 12 = 2, M 21 = 2, M 22 = 5, ezért C 11 =, C 12 = 2, C 21 = 2, C 22 = 5 Így Mivel ezért adja = A 1 = det A =, Végezetül visszatérünk a kiinduló problémára szeretnénk egy n ismeretlent tartalmazó n egyenletből álló lineáris egyenletrendszert megoldani, most már determinánsokkal Legyen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, A fenti egyenletrendszerből formált együtthatómátrix: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn A változók oszlopvektora: x 1 x n x 2 x = A konstansok oszlopvektora: b = b 1 b 2 b n Az egyenlet az ismert módon, tömören Ax = b alakba írható Ha A egy invertálható mátrix, akkor Az x = A 1 1 b = det A adja b adja b szorzat elvégze a következő adja: b 1 C 11 + b 2 C b n C n1 b 1 C 12 + b 2 C b n C n2, b 1 C 1n + b 2 C 2n + + b n C nn tehát Igy x 1 b 1 C 11 + b 2 C b n C n1 b 1 C 12 + b 2 C b n C n2 x 2 = 1 det A x m b 1 C 1n + b 2 C 2n + + b n C nn x j = b 1C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj det A Végezetül meg kell értenünk a számlálót Jelölje A j azt a mátrixot, amelyet úgy kapunk, hogy az A mátrixban a j-edik oszlopot kicseréljük a b oszlopvektorral Ekkor C ik - vel jelölve az A j aldeterminánsait kapjuk a j-edik oszlop szerint A j -t kifejtve, hogy det A j = b 1 C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj Mivel az A j A csak a j-edik oszlopban külömbözik, ezért a j-edik oszlophoz tartozó előjeles aldeterminánsok a két mátrixban megegyeznek, azaz C ij = C ij, 5
6 ezért det A j = b 1 C 1j + b 2 C 2j + + b n C nj, így x j = det A j det A A fent levezetett formulát Cramer-szabálynak hívják Példa: Oldjuk meg az x 2z = 6 x + 4y + 6z = 0 x 2y + z = 8 egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! Megoldás: Az együtthatómátrix: , 1 2 ennek determinánsa: det A = 44 A Cramer-szabályban szereplő mátrixok: A 1 = 0 4 6, 8 2 A 2 = A = az ő determinánsaik: det A 1 = 40,, így det A 2 = 72 det A = 152, x 1 = 40 44, x 1 = 72 44, x 1 =
1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
RészletesebbenI. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenDETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.
DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
Részletesebben11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
Részletesebben1. ábra ábra
A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll,
RészletesebbenTotális Unimodularitás és LP dualitás. Tapolcai János
Totális Unimodularitás és LP dualitás Tapolcai János tapolcai@tmit.bme.hu 1 Optimalizálási feladat kezelése NP-nehéz Hatékony megoldás vélhetően nem létezik Jó esetben hatékony algoritmussal közelíteni
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebbenés n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..
Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
RészletesebbenFeladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak
RészletesebbenMatematikai statisztika 1.
Matematikai statisztika 1 segédanyag Daróczi Gergely Szociológia Intézet 2010 Matematikai statisztika 1 01 Mátrixok A mátrix vízszintes vonalban elhelyezked elemei sorokat, függ leges vonalban elhelyezked
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenBodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak IV. modul: Lineáris algebra 9. lecke: n-dimenziós vektorok Tanulási cél: n -dimenziós vektorok fogalmának megismerése, majd műveletek
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenMátrixok. 3. fejezet. 3.1. Bevezetés: műveletek táblázatokkal
fejezet Mátrixok Az előző fejezetben a mátrixokat csak egyszerű jelölésnek tekintettük, mely az egyenletrendszer együtthatóinak tárolására, és az egyenletrendszer megoldása közbeni számítások egyszerüsítésére
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenLineáris algebra (10A103)
Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben12 48 b Oldjuk meg az Egyenlet munkalapon a következő egyenletrendszert az inverz mátrixos módszer segítségével! Lépések:
A feladat megoldása során az Excel 2010 használata a javasolt. A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Egyenletrendszerek megoldása Excelben. Solver használata. Mátrixműveletek és függvények
RészletesebbenMatematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak
Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly 27.4. 2 Tartalomjegyzék. I. előadás 5.. Kiegészítés az A2-ben tanultakhoz: Determináns....... 5... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:.
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 20.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 2011. október 20. 1. Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a P(3;1; 1) ponton és nincs közös pontja az alábbi egyenletrendszerekkel
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert
Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenBEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1
Wiener Gábor BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1 FELADATGYŰJTEMÉNY 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 BME SZIT Készült a Budapesti Műszaki és
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
Részletesebbenvektor, hiszen ez nem skalárszorosa
Általános alaelvek. Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok, MÁSODIK ótzh ontozási útmutató 7. december. A ontozási útmutató célja, hogy a javítók a dolgozatokat egységesen értékeljék. Ezért
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
Részletesebben1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?
Az informatikus lineáris algebra dolgozat B részének lehetséges kérdései Az alábbi listában azok a definíciók és állítások, tételek szerepelnek, melyeket a vizsgadolgozat B részében kérdezhetünk. A válaszoknál
Részletesebben5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.
A pivotálás hasznáról és hatékony módjáról Adott M mátrixra pivotálás alatt a következ½ot értjük: Kijelölünk a mátrixban egy nemnulla elemet, melynek neve pivotelem, aztán az egész sort leosztjuk a pivotelemmel.
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
RészletesebbenJuhász Tibor. Lineáris algebra
Juhász Tibor Lineáris algebra Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Lineáris algebra Eger, 2013 Készült a TÁMOP-425B-11/1-2011-0001 támogatásával Tartalomjegyzék
RészletesebbenValasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
RészletesebbenMA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok október 18.
Bevezetés a számításelméletbe I. Zárthelyi feladatok 2012. október 18. 1. Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely átmegy ap(1;;4) és aq(;6;10) pontokon és párhuzamos az x 9 = y +4 = z egyenletrendszerű
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenMátrixfelbontások BSc szakdolgozat
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Radnai Georgina Mátrixfelbontások BSc szakdolgozat Témavezető: Ágoston István Algebra és Számelmélet tanszék Budapest, 6 Tartalomjegyzék Bevezetés 4.
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
Részletesebben2014/2015-ös tanév II. féléves tematika
Dr Vincze Szilvi 24/25-ös tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik
RészletesebbenMatematika Plus 1 építőmérnök hallgatóknak
Matematika Plus építőmérnök hallgatóknak Simon Károly.5. Tartalomjegyzék. I. előadás 3.. Kiegészítés az A-ben tanultakhoz: Determináns....... 3... Elemi sor transzformációk hatása a determinánsra:. 5...
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Permutációk Waldhauser Tamás 2014 őszi félév 1. Definíció. Permutációnak nevezzük egy nemüres (véges) halmaz önmagára való bijektív leképezését. 2. Definíció. Az {1, 2,...,
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenEGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE
Lipécz György* EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE AVAGY A SZÁMÍTÓGÉP-HASZNÁLAT LEHETŐSÉGE A LINEÁRIS ALGEBRA ÉS AZ OPERÁCIÓKUTATÁS ALAPJAINAK OKTATÁSÁBAN " Simplicitassigillum veri"
Részletesebben